高中数学解析几何训练题精选(带答案)

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。

解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。

对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。

根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。

2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。

解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。

四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。

根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。

同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。

由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。

第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。

解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。

47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。

高一解析几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若点P(3, -4)在直线2x - 3y + 6 = 0上，则该直线的斜率是：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B2. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A3. 直线x + y = 1与圆x^2 + y^2 = 1相交于点A和点B，若AB的中点为(a, b)，则a + b的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B4. 椭圆x^2/4 + y^2 = 1的焦点坐标为：A. (±1, 0)B. (±2, 0)C. (0, ±1)D. (0, ±2)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，则AB的长度为______。

答案：√52. 抛物线y^2 = 4x的准线方程为______。

答案：x = -13. 双曲线x^2/9 - y^2/16 = 1的实轴长为______。

答案：64. 圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0的半径为______。

答案：5三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知直线l：y = -2x + 3与圆C：x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0相交于点P和Q，求线段PQ的长度。

答案：首先求出圆心C(3, 4)到直线l的距离d，使用点到直线距离公式，得到d = |-2*3 + 4 - 3| / √((-2)^2 + 1^2) = √5。

由于圆的半径r = 5，线段PQ的长度为2√(r^2 - d^2) = 2√(5^2 - (√5)^2) = 4√5。

2. 已知椭圆E：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0）的焦点在x轴上，且离心率e = √3/2，椭圆与y轴交于点(0, b)和(0, -b)，求椭圆的方程。

高中数学解析几何复习题集附答案高中数学解析几何复习题集附答案一、直线的方程在解析几何中，我们经常需要求解直线的方程。

直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

下面我们通过一些例题来复习直线的方程的求解方法。

例题1：已知直线L1经过点（2，3）和（4，1），求直线L1的方程。

解析：首先我们可以求出直线L1的斜率k。

直线L1的斜率可以通过两个已知点的坐标计算出来：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (4 - 2) = -1接下来，我们可以使用点斜式的形式来表示直线L1的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（2，3）代入方程中，得到：y - 3 = -1(x - 2)化简得到直线L1的方程为：y = -x + 5因此，直线L1的方程为y = -x + 5。

例题2：已知直线L2过点（3，-2）且与直线L1: 2x - 3y + 4 = 0 平行，求直线L2的方程。

解析：由于直线L2与直线L1平行，所以它们具有相同的斜率。

直线L1的斜率为：k = 2 / (-3) = -2/3因此，直线L2的斜率也为-2/3。

再结合已知直线L2过点（3，-2），我们可以使用点斜式来表示直线L2的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（3，-2）代入方程中，得到：y - (-2) = (-2/3)(x - 3)化简得到直线L2的方程为：3y + 2x + 10 = 0因此，直线L2的方程为3y + 2x + 10 = 0。

二、直线和平面的交点在解析几何中，我们经常需要求解直线和平面的交点。

我们可以通过直线的方程和平面的方程来求解交点的坐标。

下面我们通过一些例题来复习直线和平面交点的求解方法。

例题3：已知直线L3的方程为2x - y + 3z - 7 = 0，平面Q的方程为x + y - z + 4 = 0，求直线L3与平面Q的交点坐标。

高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。

解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。

解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。

由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。

即 k * (-3/k) = -1。

解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。

题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。

解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。

L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。

通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。

2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。

解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

新高考优质解析几何大题练习一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．26．（2021•平邑县校级开学）已知椭圆（a＞b＞0）过点（，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项．（1）求椭圆的标准方程：（2）直线l过点M（1，0），与椭圆分别交于点A，B，与y轴交于点N，各点均不重合且满足，，求λ+μ．27．（2022秋•青羊区校级月考）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|PF1|＝．（1）求椭圆的方程；（2）过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB 的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．28．（2022秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC 边的中点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点M为BC边的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线Γ，直线MF1与曲线Γ的另一个交点为N，线段MF2的中点为E，记，求S的最大值．29．（2022秋•迎泽区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）与圆O：x2+y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C 相交于不同的两点M，N．（1）求抛物线C的方程．（2）过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P（x0，y0）是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．参考公式：（cx2）′＝2cx，其中c为常数．30．（2022秋•香坊区校级月考）动点M与定点A（1，0）的距离和M到定直线x＝9的距离之比是常数．（1）求动点M的轨迹G的方程；（2）设O为原点，点B（﹣3，0），过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP、BQ分别与y轴交于R、S两点，求证：|OR|⋅|OS|为定值．新高考优质解析几何大题练习参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【答案】（1）p＝2，m＝4；（2）证明见解析．【解答】解：（1）由抛物线定义知：，则p＝2，又A（4，m）（m＞0）在抛物线上，则m2＝4×4，可得m＝4．（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）知：A（4，4），所以，，又AM⊥AN，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+32＝0，令直线MN：x＝ky+n，联立C：y2＝4x，整理得y2﹣4ky﹣4n＝0，且Δ＝16k2+16n＞0，所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4n，则，，综上，n2﹣16k2﹣12n﹣16k+32＝（n﹣4k﹣8）（n+4k﹣4）＝0，当n＝8+4k时，MN：x＝k（y+4）+8过定点B（8，﹣4）；当n＝4﹣4k时，MN：x＝k（y﹣4）+4过定点（4，4），即A，M，N共线，不合题意；所以直线MN过定点B（8，﹣4），又AD⊥MN，故D在以AB为直径的圆上，而AB中点为Q（6，0），即为定值，得证．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（Ⅰ）y＝±x．（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）因为点A（2，1）在双曲线上，所以﹣＝1，b2＝1，即双曲线C的方程为﹣y2＝1，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．（Ⅱ）设直线AE的方程为y＝k1（x﹣2）+1，直线AF的方程为y＝k2（x﹣2）+1，联立，得（1﹣2k1）2x2+（8k12﹣4k1）x﹣8k12+8k1﹣4＝0，所以x A+x E＝﹣＝，所以x E＝﹣2＝，y E＝，所以E（，），同理可得F（，），联立，得M（3，k1+1），同理N（3，k2+1），所以|MN|＝|k1﹣k2|，＝|MN|×2＝|k1﹣k2|＝，所以S△AMN不妨设k1＞k2，即k1＝k2+，所以E（，），又E，F在直线l上，所以，解得，所以k的值为2．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．【答案】（1）2；（2）（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【解答】解：（1）由l⊥x轴，△AMN为等腰直角三角形，可得|AF|＝|NF|＝|MF|，所以a+c＝，即c2﹣ac﹣2a2＝0，可得e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2或e＝﹣1（舍），所以双曲线的离心率为2；（2）由AB＝4，可得2a＝4，即a＝2，所以直线PQ的方程为：x＝1，由（1）可得离心率为2，可得c＝4，b＝＝2，所以双曲线的方程为：﹣＝1；由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+4，m≠±，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，可得y1+y2＝﹣，y1y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+8＝，x1x2＝（my1+4）（my2+4）＝m2y1y2+4m（y1+y2）+16＝，直线AM的方程为y＝（x+2），直线AN的方程为：y＝（x+2），令x＝1，可得P（1，），Q（1，），∵D（t，0），∴＝（1﹣t，），＝（1﹣t，），∵•＝（1﹣t）2+×＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2﹣9，∵∠PDQ为锐角，∴•＞0，∴（1﹣t）2﹣9＞0，∴t＜﹣2或t＞4．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）；（2）证明解析；定点为（﹣2，0）或（2，0）．【解答】解：（1）由题知，F2（c，0），其中一条渐近线为，即bx﹣ay＝0，所以，解得，所以，（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝mx+n代入，整理得：（5m2﹣4）x2+10mnx+5n2+20＝0，则，由Δ＝100m2n2﹣4（5m2﹣4）（5n2+20）＝80（n2﹣5m2+4）＞0得n2﹣5m2+4＞0，因为＝，所以，得n2＝4m2，即n＝±2m，所以直线l的方程为y＝m（x±2），所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝2m时，直线l过定点（﹣2，0）；所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝﹣2m时，直线l过定点（2，0）．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】（1）﹣y2＝1．（2）直线AD过定点（3，0）．点N在以QM为直径的圆上．【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，故设C的方程为﹣y2＝λ（λ≠0），又C过点P（3，）．所以﹣（）2＝λ，解得λ＝1，所以C的方程为﹣y2＝1．（2）证明：显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ为x＝my+1，B（x1，y1），D（x2，y2），A（x1，﹣y1），联立，消去x整理得（m2﹣3）y2+2my﹣2＝0，依题意m2﹣3≠0且Δ＝4m2+8（m2﹣3）＞0，即m2＞2且m2≠3，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，直线AD的方程为y+y1＝（x﹣x1），令y＝0，得x＝+x1＝＝＝＝＝3，所以直线AD过定点（3，0）．过Q点作QN⊥AD于N，设QM的中点为R，若N和M不重合，则△QNM为直角三角形，所以|RN|＝|MQ|，若N和M重合，|RN|＝|MQ|，所以点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）依题意，设圆心C（2，b），r＝b，，解得，所以所求圆方程为：．（2）证明：x＝0代入圆C方程，得y＝1或y＝4，所以B（0，1），A（0，4），若过B点的直线斜率不存在，此时A，P，Q在y轴上，∠PAB＝∠QAB＝0，射线AO平分∠PAQ；若过B（0，1）的直线l斜率存在，设其方程为y＝kx+1，联立整理得（2k2+1）x2+4kx﹣6＝0，Δ＝16k2+24（2k2+1）＝8（8k2+3）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，＝，∴∠PAB＝∠QAB．所以射线AO平分∠PAQ．综上，射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．【解答】解：（1）∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率或，即或；当时，由，得：a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为：；当时，方程无解；综上所述：双曲线C的方程为：．（2）由题意得：F2（2，0），假设存在定点M（m，0）满足题意，则恒成立；①当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，∴，∴，，∴＝＝0，∴（4k2+3）（1+k2）﹣4k2（2k2+m）+（m2+4k2）（k2﹣3）＝0，整理可得：k2（m2﹣4m﹣5）+（3﹣3m2）＝0，由，得：m＝﹣1；∴当m＝﹣1时，恒成立；②当直线l斜率不存在时，l：x＝2，则A（2，3），B（2，﹣3），当M（﹣1，0）时，，，∴成立；综上所述：存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）△AOB的面积为定值2，理由见解答．【解答】解：（1）∵双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点，∴c＝，又C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行，∴＝，又a2+b2＝c2＝5，解得a＝2，b＝1，∴双曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为y＝kx+m，联立，可得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴Δ＝64k2m﹣16（4k2﹣1）（m2+1）＝0，∴4k2＝m2+1，设直线l与x轴交点为D，则OD＝||，＝S△OAD+S△OBD＝＝，∴S△AOB又双曲线的渐近线方程为y＝±x，联立直线l：y＝kx+m，可得A（，），B（，），＝＝＝，∴S△AOB又4k2＝m2+1，＝2，∴△AOB的面积为定值．∴S△AOB9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．【答案】（1）x2+y2＝2（y≠0）；（2）直线MN恒过点（0，）．【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（﹣2，0），由sin B＝sin A，得，即，设C（x，y），则，整理得x2+y2＝2（y≠0）；（2）曲线E：x2+y2＝2（y≠0），由题意不妨设P（0，），Q（0，﹣），T（m，）（m≠0），TP：y＝，TQ：y＝，联立，得（m2+2）x2+4mx＝0，得M（，）；联立，得（m2+18）x2﹣12mx＝0，得N（，）．当m≠±3时，直线MN方程为y＝．∴直线MN恒过点（0，）．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由题意可知，P点轨迹为Γ是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a＝4，，所以a＝2，b＝1，所以Γ的方程为：；（2）因为直线l的斜率存在，设直线l的方程：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，消去y，整理得：（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，Δ＝（2k）2+4（k2+4）×3＝16（k2+3）＞0，所以，，所以，所以△QMN面积，设，所以在上单调递减，故当，即k＝0时，△BMN面积取得最大值，最大值为，所以△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）设M，N两点坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0），代入椭圆方程，得，则，可得，因为，所以，所以a2＝4，椭圆C的方程为．（2）设MN方程为y＝kx+m，则，所以（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以，，所以，所以＝，所以＝，解得m＝2k（舍）或m＝﹣k，若F在以MN为直径的圆内，则，即，，即4k2﹣12+8k2+3k2﹣12k2+3+4k2＝0，即7k2﹣9＜0，且k≠0，解得且k≠0，所以k的取值范围为．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，a＝2，＝，解得c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）依题意，设直线l：x＝ty﹣1，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，消去x并整理得：（t2+4）y2﹣2ty﹣3＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，|y1﹣y2|＝＝＝，由（1）知A（2，0），|AM|＝3，则有S＝＝＝，令u＝，显然函数y＝在[，+∞）上单调递增，，当且仅当，即＝±1时取等号．显然取等号情况不成立，故当＝时S取得最大值，即S≤，所以S的最大值为．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值．【解答】解：（1）由题意可知，，可得a2＝2c2，又a2＝b2+c2，可得a2＝2b2，所以椭圆方程为，将代入方程得：，解得b2＝4，所以a2＝8，所以椭圆C的方程：；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值，且定值为．由（1）可得A（0，2），将代入抛物线可得6＝2p，p＝3，所以抛物线方程为x2＝6y，所以，则设直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN的方程，，消去y，整理得（2+4k2）x2+12kx﹣7＝0，所以，，，所以＝，所以，直线AM，AN的斜率之积为定值．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）（0，1）．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵a2＝c2+1，∴，∴椭圆方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则.．由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，则，⇒6（m2﹣1）k2+（3m2+2m﹣5）＝0，由题意知上式对∀k∈R成立，∴m2﹣1＝0且3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1．∴存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【解答】解：（1）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距c＝1，即有短半轴长b＝1，所以椭圆C的标准方程为：．（2）依题意，设直线l方程为x＝my+1，由消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，假定存在点T（t，0），直线TM与TN的斜率分别为，，＝，要使k TM⋅k TN为定值，必有﹣1﹣2（1﹣t）+（1﹣t）2＝0，即，当时，∀m∈R，，当时，∀m∈R，，所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．【答案】（1）2；（2）（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．【解答】解：（1）设A（2py2，2py），则，令t＝y2∈[0，+∞），则，对于二次函数m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9，其对称轴为，当p≥3时，在[0，+∞）上单调递增，其最小值为9，即|AB|的最小值为3，不满足题意，当0＜p＜3时，，所以当时m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9取得最小值，即所以，解得p＝2或p＝4（舍），所以p＝2；（2）由（1）可得，当时，，点A（1，2），所以，直线AB的方程为y＝﹣x+3，由可得x2﹣10x+9＝0，解得x＝1或x＝9，所以D（9，﹣6），所以AD的中点为N（5，﹣2），所以直线EF的方程为y+2＝1⋅（x﹣5），即y＝x﹣7，设E（x1，y1），F（x2，y2），由可得y2﹣4y﹣28＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣28，所以线段EF的中点为，因为，所以d，D，E，F四点共圆，圆心为M（9，2），半径为8，所以该圆的方程为（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】；（2）四边形OMDN的面积是定值，其定值为．【解答】解：（1）因为圆E为△ABC的内切圆，所以|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|＝2|CP|+|AR|+|BR|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，所以，a＝2，则b＝1，所以曲线G的方程为．（2）由y≠0可知直线l的斜率存在，设直线l方程是y＝kx+m，由平面图形OMDN是四边形，可知m≠0，代入到，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，，．所以，所以，又点O到直线MN的距离，由，得，，因为点D在曲线G上，所以将D点坐标代入椭圆方程得1+4k2＝4m2．由题意四边形OMDN为平行四边形，所以OMDN的面积为，由1+4k2＝4m2，代入得，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．【答案】（1），（2）．【解答】解：（1）由抛物线定义可知：，得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，将点坐标代入抛物线方程得：∴点A坐标为，（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2），设M、N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立消去y，整理得：x2﹣4kx+8k＝0，由Δ＞0⇒16k2﹣32k＞0⇒k＜0或k＞2．且x1+x2＝4k，x1x2＝8k，又即（x1﹣2，y1）＝λ（x2﹣2，y2）∴，∵，∴，又，令，∴，又：k＜0或k＞2．∴k的取值范围是．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．【答案】y1y2＝﹣8，证明见解析．【解答】证明：设l：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得y2﹣4my﹣4n＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，∴x1+x2＝4m2+2n，x1x2＝n2．又•＝﹣4，∴x1x2+y1y2＝n2−4n＝−4，解得n＝2，∴y1y2＝﹣8．∴直线l方程为x＝my+2，∴直线l恒过点（2，0）．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．【答案】（1）k1+k2＝4．（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【解答】解：（1）因为x0＝1，所以y0＝﹣1．设过点M并与C1相切的直线方程为y＝k（x﹣1）﹣1．联立方程组整理得x2﹣kx+k+1＝0，则Δ＝（﹣k）2﹣4（k+1）＝k2﹣4k﹣4＝0．由题可知，k1，k2即方程k2﹣4k﹣4＝0的两根，故k1+k2＝4．（2）因为，所以可设过点M并与C1相切的直线的方程为．联立方程组整理得，则．由题可知，k1+k2＝4x0，．又，所以．当x0＞0时，，所以，当且仅当时，等号成立．当x0＜0时，，所以，当且仅当时，等号成立．故的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．【答案】（1）x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明过程见详解，定点（，0）．【解答】解：（1）动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2＜|F1F2|，所以动点M的轨迹为双曲线的左支，且2a＝2，c＝，所以可得a＝1，b2＝c2﹣a2＝10﹣1＝9，所以双曲线的方程为：x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明：由题意可得P，Q关于x轴对称，设直线PB的方程为：y＝kx+t，设P（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），联立，整理可得：（9﹣k2）x2﹣2ktx﹣t2﹣9＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，则直线BQ的方程为：y＝（x﹣x2）+y2，因为直线过N（4，0）点，所以0＝（4﹣x2）+y2，整理可得：（x2﹣4）（y2+y1）＝y2（x2﹣x1），即2kx1x2+（t﹣4k）（x1+x2）﹣8t＝0，所以+﹣8t＝0，整理可得：﹣2kt2﹣18k+2kt2﹣8k2t﹣72t+8tk2＝0，即k＝﹣4t，所以直线PB的方程为：y＝﹣4tx+t＝﹣4t（x﹣），可证得：直线PB恒过定点（，0）22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）．（2）存在点．【解答】解：（1）由题意，可得，而，所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，由，故，所以曲线E的方程为．（2）当直线l的斜率为不为0时，设直线l的方程为x＝my+1，设定点Q（t，0），联立方程组消x可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得，所以＝（my1+1﹣t）（my2+1﹣t）+y1y2＝＝，要使上式为定值，则，解得，此时，当直线l的斜率为0时，，此时，也符合；所以，存在点，使得为定值．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．【答案】（1）．；（2）|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．【解答】解：（1）由已知可得，结合a2+b2＝c2，解得，故双曲线E的方程；．（2）设直线方程y＝kx+4，M（x1，y1），N（x2，y2），直线DM的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得P（0，1﹣），直线DN的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得Q（0，1﹣），联立，消去y，整理可得（1﹣3k2）x2﹣24kx﹣54＝0，则，可得，|BP|+||BQ|＝4﹣y M+4﹣y N＝6+＝6+3×＝6+3×＝6+3×＝＝＝8﹣，又，∴3k+5∴|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），则，，由＝2，得c＝，解得：c＝2．∴a2＝b2+c2＝6，∴椭圆的方程为，离心率为；（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴＝k2（）＝．由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即，解得：k＝，符合Δ＞0，∴直线PQ的方程为y＝．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）△CFD'的面积存在最大值，最大值为．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，因为抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），则y2＝16x且c＝4，因为椭圆C2的离心率为e＝，解得a＝5，所以b2＝a2﹣c2＝9，故椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明：当直线l2的斜率k＝0时，不符合题意；当直线l2的存在且不为0时，设直线l2：y＝kx+b，令x＝﹣4，可得y＝﹣4k+b，则点M（﹣4，﹣4k+b），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得ky2﹣16y+16b＝0，则Δ＞0，所以，直线PA的斜率，同理可得直线PB的斜率为，直线PM的斜率为，因为k1+k3＝2k2，所以，即，整理可得，，所以b＝4k或b＝﹣4k，当b＝4k时，y1y2＝64，与A，B在x轴两侧矛盾；当b＝﹣4k时，直线l2的方程为y＝kx﹣4k，即直线l2恒过定点（4，0）；（ii）解：设C（x3，y3），D（x4，y4），D'（x4，﹣y4），设直线CD的方程为x＝ty+4（t≠0），代入椭圆C2的方程可得，（9t2+25）y2+72ty﹣81＝0，。

解析几何一.命题趋向与解题方法、技巧 1．圆锥曲线基础题 主要是考查以下问题：①圆锥曲线的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其p e c b a ,,,,五个参数的求解；②讨论圆锥曲线的几何性质；③曲线的交点问题，即直线与二次曲线和两圆的交点问题；④圆锥曲线的对称性，一是曲线自身的对称性，二是曲线间的对称性。

2．轨迹问题主要有三种类型：①曲线形状已知，求其方程；②曲线形状未定，求其方程；③由曲线方程讨论其形状（一般含参数）。

此类问题解题步骤通常是通过建立坐标系，设动点的坐标，依题意设条件，列出等式、代入化简整理即得曲线的轨迹方程。

基本方法有：直译法、定义法、代入法、交轨法、几何法、参数法。

3．参数取值范围问题通常依据题设条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围。

基本方法有定义法、函数法、方程法、不等式法及几何法。

4．位置关系常涉及直线与圆锥曲线交点的判定、弦长、弦中点、垂直、对称、共线等问题。

应注意充分利用圆锥曲线的基本性质及韦达定理、方程思想。

根据新教材的特点，常结合平面向量的基本知识进行考查。

5．最值问题通常是依题设条件，建立目标函数，然后用求最值的方法来处理；有时也可用数形结合思想，利用几何法分析。

6．韦达定理在解决解析几何问题中的主要应用韦达定理在解决解析几何问题中起着重要作用，特别是在解决有关弦长、两条直线互相垂直、弦中点、对称、轨迹、定点问题时能化难为易，化繁为简。

【专题训练】一 、选择题1．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是223,4b b ⎡⎤⎣⎦，则这一椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．]23,35[B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[ 2．已知A 、B 是抛物线px y 22=(0p >)上异于原点O 的两点，则“OA ·0OB =”是“直线AB 恒过定点(0,2p )”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件3．设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A BC ．2D 14．已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>与x 轴的正半轴交于点A O ，是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA MO ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．⎤⎥⎣⎦ C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭ 5．已知3AB =, A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动,O 为原点,1233OP OA OB =+，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ． 1422=+y xB ． 1422=+y xC ．1922=+y xD ．1922=+y x 6．已知直线:2430l x y ++=，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1:2两部分，则点Q 的轨迹方程为（ ）A ．2410x y ++=B ．2430x y ++=C ．2420x y ++=D ．210x y ++=二、填空题 7．过抛物线214y x =准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为,M N ，则直线MN 过定点 ．8．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =，则直线AB 的斜率为 ．9．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高34m ，当小船开始不能通航时，水面上涨到距抛物线拱顶相距 m ．三、解答题10．椭圆C 的一个焦点F 恰好是抛物线24y x =-的焦点，离心率是双曲线224x y -=离心率的倒数．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，当点G 的横坐标为14-时，求直线l 的方程．11．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A ，右焦点F 与点,B 的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率0≠k 的直线l ：2-=kx y ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点N M ,满足||||AN AM =，若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，说明理由．12．在ABC ∆中AC =B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 的方程是1y =-，当AC 在直线l 上运动时．（1）求ABC ∆外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过定点3(0,)2F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹E 于,M N 和,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值．【专题训练参考答案】1．解析：A 设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，设矩形在第一象限的顶点坐标为(),x y ，根据对称性该矩形的面积为224422x y x y S xy ab ab ab a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==≤+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即划出的矩形的最大面积是2ab ，根据已知22324b ab b ≤≤，即322b a b ≤≤，即1223b a ≤≤，故32c e a ===⎣⎦．2．解析：B3．解析：D 由题意，得1212PF F ===，又由椭圆的定义，得122PF PF a +=．即22c a +=，则1)a c =，得1ce a=，故选Ｄ．4．解析：D 设()M x y ，，则MA MO ⊥，得1y yx x a=-·．将其与椭圆方程联立，消去y 得222()()0x a b x a x b a --+=．由x a ≠，得22222ab ab x a b c==-．()M x y ，∵在椭圆上，[]x a a ∈-，∴， 又MA MO ⊥，则(0)x a ∈，，即220ab a c<<，2201b c <<∴，2222212a b c c +<=<，则2212c a >，e ∴．又01e <<∵，1e <<．5．解析：A 设()0,A a ，(),0B b ，则由3AB =得229a b +=．设(),P x y ，由1233OP OA OB =+得()()()12,0,,033x y a b =+，由此得32b x =，3a y =，代入229a b +=得2222999144x y x y +=⇒+=．6．解析：A 设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()11,x y ．∵Q 分线段OP 为1:2，∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=211212112111y y x x ，即⎩⎨⎧==y y x x 3311 ∵点P 在直线l 上，∴112430x y ++=，把113,3x x y y ==代入上式并化简，得2410x y ++=，为所求轨迹方程．7．解析：()0,1．8．解析：3± 涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．9．解析：2 如图 建立适当的坐标系，设拱桥抛物线方程为)0(22>-=p py x ，由题意，将()4,5B -代入方程得58=p ，∴抛物线方程为y x 5162-=．∵ 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为/AA ， 则()2,A A y ，由A y 51622-=，得45-=A y ，又知船面露出水面上部分为34m ，324A h y m =+=．即水面上涨到距抛物线拱顶2m 时小船不能通航．10．解析：（1）根据已知该椭圆的一个焦点坐标是()1,0F -，即1c =，双曲线224x y -=2，2，即2c e a ==，故2a =从而1b =， 所以所求椭圆的标准方程是2212x y +=．（2）设直线l 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y += 整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=（6分）直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根． 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+故20122221k x x x k =+=-+，()002121ky k x k =+=+． （9分）又AB 的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=-- （10分） 令0,y =得22200222221112121212424G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+=-++++，解得2k =±，故直线l的方程为()12y x =±+．11．解析：（1）依题意，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则其右焦点坐标为22,)0,(b a c c F -=，由=||FB 2，得2=，即2(24c +=，解得22=c ．又 ∵2=b ，∴ 12222=+=b c a ，即椭圆方程为141222=+y x ． （2）由||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412222y x kx y 消去y 得12)2(322=-+kx x 即012)31(22=-+kx x k （*）由0≠k ，得方程（*）的0144)12(22>=-=∆k k ，即方程（*）有两个不相等的实数根．设),(11y x M 、),(22y x N ，线段MN 的中点),(00y x P ，则2213112k kx x +=+，∴22103162k k x x x +=+=， ∴ 22220031231)31(262k k k k kx y +-=++-=-=，即)312,316(22kk k P +-+ ，0≠k ，∴直线AP 的斜率为k k k k k k 6)31(2231623122221+--=+-+-=， 由AP MN ⊥，得16)31(222-=⨯+--k kk ， ∴ 66222=++k ，解得：33±=k ，即33tan ±=α，又πα<≤0，故 6πα=，或65πα=，∴ 存在直线l 满足题意，其倾斜角6πα=，或65πα=．12．解析：（1）由椭圆方程22154x y +=得点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动．可设(1),(1),A m C m --则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB的垂直平分线方程为12y x -= ② P 是ABC ∆的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②由①和②联立消去m 得26x y =故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =（2）由图可知，直线1l 和2l 的斜率存在且不为零，设1l 的方程为32y kx =+， 12l l ⊥，2l ∴的方程为132y x k =-+．由23216y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得 2690x kx --= △=226360,k ∆=+>∴直线1l 与轨迹E 交于两点． 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,9x x k x x +==．2||6(1).MN k ∴===+同理可得：21||6(1).RQ k=+∴四边形MRNQ 的面积2211||||18(2)18(272.2S MN RQ k k =•=++≥+= 当且仅当221k k=，即1k =±时，等号成立．故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

高三数学解析几何练习及答案解析1．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，那么D与E的关系是()A．D＋E＝2 B．D＋E＝1C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，那么使|PF1||PF2|取最大值的点P为()A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．4．椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，假设连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，那么点P到y轴的间隔是()A.165 B．3 C.163 D.253解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴的间隔d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，应选A.5．假设曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程为()A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0解析 D 设切点为(x0，y0)，那么y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m＋y21n＝1，假设焦点在y轴上，那么1n0，即m0.7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为()A.54 B．5 C.52 D.5解析 D 双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，假设F1PF2＝60，那么PF1PF2＝()A．3 B.3C．23 D．2解析D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x 的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为()A.2B.3C．2 D．3解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.11．抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么双曲线的焦距为()A.5 B．25C.3 D．23解析B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程为y＝bax＝bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.12．抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的间隔为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为()A.19B.14C.13D.12解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，m2＝2p，而M到抛物线的焦点的间隔为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的间隔也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝19.13．直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，那么l1l2的充要条件是a＝.解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.【答案】 1314．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，那么实数k＝.解析∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的间隔d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.【答案】 14715．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段的长为．解析如图，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.在△OQM中，12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，|AQ|＝2555＝2，||＝4.【答案】 416．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，那么顶点A的轨迹方程为．解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如下图的坐标系，E、F分别为两个切点．那么|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a＝2，c ＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．【答案】 x22－y22＝1(x2)17．(10分)在平面直角坐标系中，圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解析 (1)设圆心为(a，b)，那么b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，那么弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，那么由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．综上，直线方程为x＝0.18．(12分)(xx合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由．解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，又A(－2,0)，那么AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.19．(12分)椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的间隔分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是曲线．解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.椭圆方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，由得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，代入①式并化简，得9y2＝112.点M的轨迹方程为y＝473(－44)，轨迹是两条平行于x轴的线段．20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．解析设P(x0，y0)(x00)，那么y20＝2x0，d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.∵a0，x00，(1)当01时，1－a0，此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；(2)当a1时，1－a0，此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.21．(12分)双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)∵双曲线离心率e＝2，设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，那么由点(4，－10)在双曲线上，知＝42－(－10)2＝6，双曲线方程为x2－y2＝6.(2)假设点M(3，m)在双曲线上，那么32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.22．(12分)实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的间隔与到直线x＝2的间隔之比的最小值等于曲线C的离心率．解析 (1)设S(x，y)，那么kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．∵m1，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.∵t0，t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的间隔，d2表示P 到直线x＝2的间隔，那么d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，d2＝2－a，d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，那么f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24＝－6a＋8a－23.令f(a)＝0，得a＝－43.∵当a－43时，f(a)0；当－432时，f(a)0.f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，d1d2min＝5f－43＝22，又椭圆的离心率为22，d1d2的最小值等于椭圆的离心率．。

高一解析几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点（1，2），则k+b 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：将点（1，2）代入直线方程y=kx+b，得到2=k*1+b，即k+b=2。

2. 已知点A（3，-2），B（-1，4），则直线AB的斜率k_AB 为（）A. 1B. -1C. 2D. -2答案：D解析：直线AB的斜率k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - (-2)) / (-1 - 3) = -2。

3. 直线l：y=2x+3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)答案：B解析：令y=0，解方程2x+3=0，得到x=-3/2，所以交点坐标为(3/2, 0)。

4. 已知直线l的方程为y=-x+1，若直线l关于y轴对称的直线方程为（）A. y=x+1B. y=-x-1C. y=x-1D. y=-x+1答案：A解析：关于y轴对称的直线，斜率互为相反数，截距不变，所以方程为y=x+1。

5. 已知圆C的方程为(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9，圆心C的坐标为（）A. (1, 2)B. (-1, 2)C. (1, -2)D. (-1, -2)答案：A解析：圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

根据题目中的方程，圆心C的坐标为(1, 2)。

6. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 16，圆C的半径为（）A. 4B. 2C. 8D. 16答案：A解析：圆的标准方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r为半径。

根据题目中的方程，半径r=4。

7. 已知圆C的方程为(x-3)^2 + (y+1)^2 = 25，圆C上一点P的坐标为（4，2），则点P到圆心的距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C解析：圆心坐标为(3, -1)，点P到圆心的距离为√[(4-3)^2 + (2+1)^2] = √(1+9) = √10 ≈ 3.16，最接近的选项为C。

高中解析几何专题练习1-圆1-221. 已知圆的方程为226490x y x y ++-+=，则圆心坐标为 ，圆的半径为 ．【答案】(3,2)-；22. 求圆心在直线23y x =+上，且过点(12)A ，，(2,3)B -的圆的方程 ．【答案】()()22115x y ++-=3. 已知圆22:230()C x y x ay a +++-=∈R 上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C 上，____a =．【答案】2-．4. 已知一圆的圆心为点(23)-，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求此圆的方程______．【答案】22(2)(3)13x y -++=5. 圆22220x y x y +-+=的周长是（ ）A ．B ．2π CD ．4π 【答案】A ．6. 如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）．A ．(11)-，B ．(11)-，C ．(10)-，D ．(01)-，【答案】D ；7. 点（2,1a a -）在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是 ． 【答案】115a -<<8. 已知ABC ∆三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三角形外接圆的方程是_______． 【答案】222143002x y x y +-++=9. 以点(5,4)A -为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．22(5)(4)16x y ++-= B ．22(5)(4)16x y -++=C ．22(5)(4)25x y ++-=D ．22(5)(4)25x y -++=【答案】A ；10. 若a ∈R ，则动圆22224510x y ax ay a +--+-=的圆心满足的方程为（ ）A ．221x y +=B ．222x y +=C ．20y x -=D ．20x y -=【答案】C ；11. 设0k >，则动圆22()(2)9x k y k +++=的圆心的轨迹恒过点（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)--C ．(2,1)D ．(2,1)--【答案】B ；12. 方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m << B ．1m >C ．14m <D ．14m <或1m >【答案】D ；13. 求以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程 【答案】22325(2)()24x y ++-=14. 半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，求这个圆的方程．【答案】22(1)(1x y -+-=．15. 已知圆C 的圆心是直线1,1x y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程为【答案】22(1)2x y ++=；16. 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=【答案】D ；17. 若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是 ．【答案】()2222x y ++=18. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为 ． 【答案】()()22235x y -++=19. 求过点(5,2)A ，(1,6)B ，且圆心在直线:330l x y --=上的圆的方程__________． 【答案】22(2)(3)10x y -+-=20. 若圆C 经过点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线220x y --=上．(1)求圆的方程；(2)若直线34y x b =-+和圆C 相切，求直线的方程．【答案】(1)直线AB 的斜率641402k -==- ∴AB 的垂直平分线m 的斜率为2-∴AB 中点的坐标为0422x +==，4652y +== ∴直线m 的方程为52(2)y x -=--，即290x y +-=又圆心在直线l 上，∴圆心是直线m 与直线l 的交点，解方程组290220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得41x y =⎧⎨=⎩∴圆心坐标为(4,1)C，又半径为5r CA =∴所求圆的方程是22(4)(1)25x y -+-=(2)∴直线304x y b +-=和圆C 相切，∴圆心到直线的距离为半径长，且圆心为(4,1)，半径为5∴5r =，解得： 414b =或94- ∴直线的方程为34410x y +-=或3490x y ++=21. a 为何值时，直线0l y a +-=与圆22:4O x y +=：(1) 相交；(2)相切；(3)相离．【解析】把直线l0y a +-=代入圆O 的方程224x y +=并整理，得224240x a -+-=．这个方程的判别式2464a ∆=-+．依次令0∆>，0∆=，0∆<，得44a -<<；4a =±；4a >，或4a <-．(1) 当44a -<<时，直线与圆相交．(2) 当4a =±时，直线与圆相切．(3)当4a >或4a <-时，直线与圆相离．22. 直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是（ ） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离【答案】B ；。

高中数学解析几何基础复习题集附答案高中数学解析几何基础复习题集附答案在高中数学中，解析几何是一个非常重要的内容。

解析几何是指在直角坐标系中，通过代数的方法来研究几何问题。

掌握解析几何的基础知识对于学习高中数学以及应用数学都非常有帮助。

为了帮助大家进行复习，下面将提供一些高中数学解析几何基础题目，并附上详细的答案解析。

1. 已知直线L1：2x + 3y = 5和L2: y = 4x - 1，求两直线的交点坐标。

解析：首先将直线L1和L2的方程组合，得到2x + 3(4x - 1) = 5，化简得到14x - 3 = 5，继续化简得到14x = 8，x = 8/14 = 4/7。

代入L2的方程求y的值，得到y = 4(4/7) - 1 = 16/7 - 7/7 = 9/7。

所以两直线的交点坐标为(4/7, 9/7)。

2. 已知直线L：x + y = 4和曲线C：x^2 + y^2 = 5，求直线与曲线的交点坐标。

解析：将直线L的方程代入曲线C的方程中，得到(x + y)^2 + y^2 = 5，展开得到x^2 + y^2 + 2xy + y^2 = 5，化简得到x^2 + 2xy + 2y^2 = 5。

由于直线L与曲线C有交点，所以存在某个x和y满足这个方程。

观察方程的左边，可以发现它可以写成(x + y)^2 + y^2 = 5，也就是(x +y)^2 = 5 - y^2。

由于(x + y)^2必须大于等于0，所以5 - y^2必须大于等于0，解这个不等式得到-√5 ≤ y ≤ √5。

将y的取值范围代入方程(x +y)^2 = 5 - y^2，解得x = 4 - y。

因此，两直线的交点坐标为(x, y) = (4 - y, y)，其中-√5 ≤ y ≤ √5。

3. 已知平面内三点A(1, 2)，B(3, -4)，C(-2, 3)，判断是否共线。

解析：判断三点是否共线可以利用向量的共线条件。

设有两个向量AB和AC，若这两个向量共线，则存在一个实数k，使得AB = kAC。

高中解析几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若点P(2,3)在直线l上，则直线l的方程不可能是（）A. 2x-y+1=0B. x+2y-7=0C. 3x-2y+4=0D. 4x+3y-5=02. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=25，圆心C的坐标为（）A. (1,2)B. (-1,-2)C. (3,-2)D. (-3,2)3. 直线2x+y-3=0与x轴的交点坐标为（）A. (3/2, 0)B. (0, 3)C. (3, 0)D. (0, -3)4. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率k为（）A. 1B. -1C. 0D. 无法确定5. 已知点A(1,2)，B(4,6)，则线段AB的中点坐标为（）A. (2,4)B. (3,4)C. (2.5,4)D. (3,3)6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，则双曲线C的离心率为（）A. √(1+(b/a)^2)B. √(1-(b/a)^2)C. √(a^2+b^2)D. √(a^2-b^2)7. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若点P(1,2)在抛物线C上，则抛物线C的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,2)8. 已知椭圆C的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，若椭圆C的离心率为e=√3/2，则椭圆C的长轴与短轴之比为（）A. 2:1B. 1:2C. √3:1D. 1:√39. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点(1,2)和(2,3)，则直线l的斜率k为（）A. 1/2B. 1C. 3/2D. 210. 已知直线l1: x+y-1=0与直线l2: 2x-y+3=0平行，则直线l1与l2之间的距离为（）A. √5B. 2√5C. √10D. 2√10二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知直线l的方程为3x-4y+5=0，若点P(2,-1)在直线l上，则直线l与x轴的交点坐标为________。

高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。