数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)

《解析几何》专题训练

一、选择题

1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程

1(,22x y x y a b a

b

+-+

=为相异正数),所表示的曲线

是

A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a ,

(,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知

它是非正方形的菱形.

2、若椭圆22

13620

x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为

A,

B,(-

C,(3,

D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又

20

2

93

PF e x ==

-,得03x =,

代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22

221x y a b -= 的离心率

e 2⎤∈⎥⎣⎦

，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。

（ C ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=

AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条

共切线。正确答案为C 。

5、双曲线122

22=-b

y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别

以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ） （A ）相交 （B ）相切

（C ）相离 （D ）以上情况均有可能

6、设方程1)19cos()19sin(20072

20072=+

y x 所表示的曲线是（ ）

（A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆

（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确07广西 解：))(1360(19)1360(19)19(1919

1003100322007

+∈+=+⨯=⨯=N n n

于是，

19sin )1919360sin()19

sin(2007=+⨯=n ，同理 19cos )19cos(2007=。

因为019sin 19cos >>

，故应选（C ）

7、过椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为

A,bc B,ab C,ac D,2

b A (1)当AB x ⊥轴时,1

(2)2

AFB S b c bc ∆=

⋅⋅=; (2)当AB 与x 轴不垂直时,设AB 的方程为y kx =,由222

21y kx x y a

b =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222

2222k a b y b k a =+. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,

则1y =

,2y =

,

1211()22AFB

S c y y ∆=+==

bc =<. 8、已知12,F F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的

任意一点，若

2

12

PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）

A ，(1,)+∞

B ，(1,2] C

， D ，(1,3]

D

2

2

21222

2

2(2)44448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +=

=++≥+=，当且仅当222

4a PF PF = 即22PF a =时取等号。这时14PF a =.由1212PF PF F F +≥，得62a c ≥， 即3c

e a

=

≤，得(1,3]e ∈.

二、填空题

9、若直线x cos θ＋y sin θ＝cos 2

θ－sin 2

θ（0＜θ＜π）与圆x 2

＋y 2

＝

4

1

有公共点，则θ的取值范围是 ．⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ

10、过椭圆12

32

2=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足）

，并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹

的离心率的取值范围是 ．⎪⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡1,33 设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所

以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧

=-+=y y x x 11)1(3λλ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[2

2

2=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33[321322322∈-=-λλ

λ。故选C 。

11、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，

则MO

MF

的最大值为 07江西

2

2y px =，则顶点及焦点坐标为()0,0,,02p O F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，若设点M 坐标为(),M x y ，则

2

2222

222

242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫

== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝

⎭()222222224

313234444

x px x px px x px x p x px ++=≤=+++++，

故

3

MO MF ≤．（当(

)(

),,M x y p p =或(

)()

,,M x y p p =-时取等号）