2020-2021学年天津市某校高二(上)第一次月考数学试卷(有答案)

专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。

1、现阶段主要是一元二次函数为主的。

核心思路是转化为“根的分布”。

2、函数单调性是解决问题的入口之一。

3、方程和函数思想。

特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。

如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。

2020-2021学年江西省某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 等于( ) A.−3 B.−1 C.3 D.12. 在△ABC 中，已知b =40，c =20，C =60∘，则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定3. 使不等式x 2−x −6<0成立的一个充分不必要条件是( ) A.−2<x <0 B.−3<x <2 C.−2<x <3 D.−2<x <44. 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A.30种 B.35种 C.42种 D.48种5. 在数列{a n }中， a 1=12，a n =1−1a n−1(n ≥2,n ∈N +)，则a 2020=( )A.12B.1C.−1D.26. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ≤sin 2B +sin 2C +sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.(0, 5π6]B.[5π6, π) C.(0, 2π3]D.[2π3, π)，7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=( ) A.63 B.45 C.36 D.278. 已知x >0，y >0，且1x+1+1y =12，则x +y 的最小值为( ) A.3 B.5 C.7 D.94值为( )A.1B.−1C.0D.210. 有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案( )A.680B.816C.1360D.145611. 已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n ，若数列{1a n+1+a n}的前n项和为5，则n=( )A.119B.121C.120D.122212. 设函数f(x)=mx2−mx−1，若对任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<−m+4恒成立，则实数m的取值范围为( )A.m≤0B.0≤m<57C.m<0或0<m<57D.m<57二、填空题如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________.三、解答题设p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，q：实数x满足|x−3|<1．(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若a>0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和T n(n∈N∗)．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos A=c cos B+b cos C.(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须参加一项，有几种不同结果？(2)每项竞赛只有且必须有一位同学参加，有几种不同结果？(3)每位同学最多参加一项，且每项竞赛只许有一位同学参加，有几种不同结果？数列{a n}满足a1=1，a n+a n+12a n+1−1=0．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)若数列{b n}满足b1=2，b n+1b n =2⋅a na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．设x，y满足约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2.(1)作出可行域；(2)求a+4b的值；(3)若不等式1a +1b≥mx2−x+(m+154)对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西省某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】等比中项【解析】此题暂无解析【解答】解：等比数列{a n}中，a1=S1=3+a，a2=S2−S1=6，a3=S3−S2=18，由a22=a1a3，得a=−1．故选B．2.【答案】C【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理列出关系式，将b，c，sin C的值代入求出sin B的值，即可做出判断．【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60∘，∴由正弦定理bsin B =csin C得：sin B=b sin Cc =40×√3220=√3>1，则此三角形无解．故选C．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：解不等式x2−x−6<0，得−2<x<3，令A={x|−2<x<3}，∴不等式x2−x−6<0成立的一个充分不必要条件，只有A符合题意.故选A .4.【答案】A【考点】排列、组合的应用计数原理的应用【解析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．故选A.5.【答案】A【考点】数列递推式【解析】无【解答】解：a2=1−1a1=1−2=−1，a3=1−1a2=1+1=2，a4=1−1a3=1−12=12，可得数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2020=a3×673+1=a1=12.故选A．6.【答案】C【考点】余弦定理正弦定理【解析】运用正弦定理和余弦定理，可得角A三角不等式，然后求解即可．【解答】得：a2≤b2+c2+bc，即cos A=b 2+c2−a22bc≥−12.∵A∈(0, π)，∴A∈(0, 2π3].故选C.7.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，即9，27，S9−S6成等差数列，∴S9−S6=45，∴a7+a8+a9=45.故选B．8.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将x+1+y＝2(1x+1+1y)(x+1+y)的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．【解答】解：∵x>0，y>0，且1x+1+1y=12，∴x+1+y=2(1x+1+1y)(x+1+y)=2(1+1+yx+1+x+1y)≥2(2+2√yx+1⋅x+1y)=8，当且仅当yx+1=x+1y，即x=3，y=4时取等号，∴x+y≥7，故x+y的最小值为7. 故选C.9.【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】通过令x=1和x=−1,代入化简即可得所需关系式，求解即可【解答】4解：当x=1时，得(2+√3)=a0+a1+a2+a3+a4=97+56√3，4当x=−1时，(√3−2)=a0−a1+a2−a3+a4=97−56√3，则由上式联立可得a0+a2+a4=97，a1+a3=56√3，∴(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=972−(56√3)2=9409−9408=1.故选A.10.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】根据题意采用挡板法，去掉3×4=12个苹果后，将剩余的苹果分成四份即可求解. 【解答】解：因为每个小朋友至少分得4个苹果，故先每人分3个苹果后，还剩30−3×4=18个，用隔板法，将剩余18个苹果有17个空，中间找3个位置用隔板插入即可，故分成四份有C173=680种.故选A.11.【答案】C【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】由已知推导出a n=2√n.a n+1=2√n+1=22，由此能求出n．【解答】，解：∵数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n∴a n2为首项为4，公差为4的的等差数列，∴a n2=4+4(n−1)=4n，即a n=2√n．∵a1=2，a n+1−a n=4a n+1+a n ，数列{1a n+1+a n}的前n项和为5，∴14(a2−a1+a3−a2+⋯+a n+1−a n)=14(a n+1−2)=5，∴a n+1=2√n+1=22，解得n+1=121，∴n=120．故选C.12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】由题意，mx2−mx−1<−m+4，x∈[1, 3]恒成立，可得m(x2−x+1)<5恒成立，讨论m与0关系，结合二次函数性质可得m的范围；【解答】解：函数f(x)=mx2−mx−1，即mx2−mx−1<−m+4，x∈{x|1≤x≤3}恒成立，可得m(x2−x+1)<5恒成立，当m≤0成立，显然恒成立，当m>0时，∵y=x2−x+1，x∈{x|1≤x≤3}的值域为{1≤x≤7}．∴0<m<57，综上可得实数m的取值范围为{m|m<57}.故选D.二、填空题【答案】84【考点】排列、组合的应用分类加法计数原理【解析】每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类【解答】解：分三种情况：①用四种颜色涂色，有A44=24种涂法；②用三种颜色涂色，有2A43=48种涂法；③用两种颜色涂色，有A42=12种涂法；三、解答题【答案】解：(1)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，当a =1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3． 由|x −3|<1，得−1<x −3<1，得2<x <4， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴ 实数x 的取值范围是2<x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，且a >0， 即p ：{x|a <x <3a}，q ：{x|2<x <4}. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 则q 是p 的充分不必要条件. 则{0<a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2．∴ 实数a 的取值范围是43≤a ≤2． 【考点】其他不等式的解法逻辑联结词“或”“且”“非”根据充分必要条件求参数取值问题 命题的否定【解析】（1）若a ＝1，根据p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即可求实数x 的取值范围； （2）根据￢p 是￢q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，当a =1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3． 由|x −3|<1，得−1<x −3<1，得2<x <4， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴ 实数x 的取值范围是2<x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，且a >0， 即p ：{x|a <x <3a}，q ：{x|2<x <4}. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 则q 是p 的充分不必要条件. 则{0<a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2．∴ 实数a 的取值范围是43≤a ≤2．【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q−6=0．又因为q>0，解得q=2．所以b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①.由S11=11b4，可得a1+5d=16②.联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n−2，{b n}的通项公式为b n=2n；(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，有T n=4×2+10×22+16×23+⋯+(6n−2)×2n，2T n=4×22+10×23+16×24+⋯+(6n−8)×2n+(6n−2)×2n+1，上述两式相减，得−T n=4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n−(6n−2)×2n+1=12×(1−2n)1−2−4−(6n−2)×2n+1=−(3n−4)2n+2−16．得T n=(3n−4)2n+2+16．所以，数列{a2n b n}的前n项和为(3n−4)2n+2+16．【考点】等差数列与等比数列的综合等差数列的性质等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3＝12，求出q，得到b n=2n．然后求出公差d，推出a n＝3n−2．(Ⅱ)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q−6=0．又因为q>0，解得q=2．所以b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①.由S11=11b4，可得a1+5d=16②.联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n =3n −2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n −2，{b n }的通项公式为b n =2n ；(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n =6n −2，有T n =4×2+10×22+16×23+⋯+(6n −2)×2n ，2T n =4×22+10×23+16×24+⋯+(6n −8)×2n +(6n −2)×2n+1，上述两式相减，得−T n =4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n −(6n −2)×2n+1=12×(1−2n )1−2−4−(6n −2)×2n+1 =−(3n −4)2n+2−16．得T n =(3n −4)2n+2+16．所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n −4)2n+2+16．【答案】解：(1)因为2a cos A =c cos B +b cos C ，所以2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，所以2sin A cos A =sin (B +C )=sin A .因为sin A ≠0，所以cos A =12.因为A ∈(0,π)，所以A =π3 .(2)因为a =3，由余弦定理得9=b 2+c 2−bc ，所以9=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc .因为bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−3bc ≥(b+c )24，所以b +c ≤6，当且仅当b =c 时等号成立.又因为b +c >a =3，所以b +c ∈(3,6]，即△ABC 周长的范围是(6,9] .【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为2a cos A =c cos B +b cos C ，所以2sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C ，所以2sin A cos A =sin (B +C )=sin A .因为sin A ≠0，所以cos A =12.因为A ∈(0,π)，所以A =π3 .(2)因为a =3，由余弦定理得9=b 2+c 2−bc ，所以9=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc .因为bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−3bc ≥(b+c )24，所以b +c ≤6，当且仅当b =c 时等号成立.又因为b +c >a =3，所以b +c ∈(3,6]，即△ABC 周长的范围是(6,9] .【答案】解：(1)让每一位同学选择，第一位同学有3种选择；第二、三、四位同学同样各有3种选择，由乘法原理，共有3×3×3×3=81（种）不同结果．(2)让竞赛项目去“选择”学生，第一个竞赛项目有4种选择，第二、三个竞赛项目同样有4种选择，所以共有43=64（种）不同结果．(3)由题意，从4位同学中选出3人，分别参加三项不同的竞赛，所以有A 43=24（种）不同结果．【考点】分步乘法计数原理排列、组合的应用【解析】【解答】解：(1)让每一位同学选择，第一位同学有3种选择；第二、三、四位同学同样各有3种选择，由乘法原理，共有3×3×3×3=81（种）不同结果．(2)让竞赛项目去“选择”学生，第一个竞赛项目有4种选择，第二、三个竞赛项目同样有4种选择，所以共有43=64（种）不同结果．(3)由题意，从4位同学中选出3人，分别参加三项不同的竞赛，所以有A 43=24（种）不同结果．【答案】(1)证明：若a n+1=0，则a n =0，这与a 1=1矛盾，∴ a n+1≠0．由已知得2a n a n+1−a n +a n+1=0，∴ 1a n+1−1a n =2， ∴ 数列{1a n }是以1a 1=1为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)可知，1a n =1+2(n −1)=2n −1， 由b n+1b n =2⋅a na n+1可知a n+1b n+1=2a n b n .又a 1b 1=2，∴a n b n=2×2n−1=2n，∴b n=(2n−1)⋅2n，∴S n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，则2S n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，∴−S n=2+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1=(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n=(2n−3)⋅2n+1+6．【考点】数列的求和数列递推式等差数列【解析】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义及通项公式、等比数列的求和公式、数列求和．【解答】(1)证明：若a n+1=0，则a n=0，这与a1=1矛盾，∴a n+1≠0．由已知得2a n a n+1−a n+a n+1=0，∴1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n }是以1a1=1为首项，2为公差的等差数列．(2)解：由(1)可知，1a n=1+2(n−1)=2n−1，由b n+1b n =2⋅a na n+1可知a n+1b n+1=2a n b n.又a1b1=2，∴a n b n=2×2n−1=2n，∴b n=(2n−1)⋅2n，∴S n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n，则2S n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，∴−S n=2+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1 =(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n=(2n−3)⋅2n+1+6．【答案】解：(1)画出约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b) =12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92.当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立， 等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 . 【考点】含参线性规划问题不等式恒成立问题函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用简单线性规划【解析】【解答】解：(1)画出约束条件{8x −y −4≤0，x +y +1≥0，y −4x ≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b )=12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92. 当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立，等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 .。

专题12动力学和能量观点的综合应用1.(2020-2021学年·湖南长沙一中月考)如图所示，固定在竖直平面内的轨道由直轨道AB 和圆弧轨道BC 组成，小球从斜面上A 点由静止开始滑下，滑到斜面底端后又滑上半径R ＝0.4 m 的圆轨道(不计轨道连接处能量损失，g 取10 m/s 2)。

(1)若接触面均光滑，小球刚好能滑到圆轨道的最高点C ，求斜面高h ；(2)若接触面均粗糙，小球质量m ＝0.1 kg ，斜面高h ＝2 m ，小球运动到C 点时对轨道压力大小为mg ，求全过程中摩擦阻力做的功。

【答案】 (1)1 m (2)－0.8 J【解析】 (1)小球刚好到达C 点，重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg ＝mv 2R从A 到C 过程机械能守恒，由机械能守恒定律得mg (h －2R )＝12mv 2解得h ＝2.5R ＝2.5×0.4 m ＝1 m 。

(2)在C 点，由牛顿第三定律知F N ＝F N ′＝mg由牛顿第二定律得mg ＋mg ＝m v 2C R从A 到C 过程，由动能定理得mg (h －2R )＋W f ＝12mv 2C －0解得W f ＝－0.8 J 。

2.(2020-2021学年·3月山东六地市在线大联考)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。

如图所示是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点、圆心角 θ＝60°，半径OC 与水平轨道CD 垂直，滑板与水平轨道CD 间的动摩擦因数μ＝0.2。

某运动员从轨道上的A 点以v 0＝3 m/s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回。

已知运动员和滑板的总质量为m ＝60 kg ，B 、E 两点与水平轨道CD 的竖直高度分别为h ＝2 m 和H ＝2.5 m 。

2021学年黑龙江省某校高二（上）第一次月考物理试卷（10月份）一、选择题（本题共12小题；在每小题给出的四个选项中，1-7小题只有一个选项正确，1-7每小题5分，共35分．8-12题有多个选项正确，每题6分，全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分，共30分．选择题总分65分．）)1. 下列说法中正确的是（）A.在一个以孤立的点电荷为中心、r为半径的球面上，各处的电势都相同适用于任何电场B.E=kQr2C.电场强度的方向就是放入电场中的电荷受到的电场力的方向D.当电荷初速度为零时，电荷只在电场力作用下的运动轨迹一定与电场线重合2. 根据电容器电容的定义式C=Q可知（）UA.电容器所带的电荷量Q越多，它的电容就越大B.电容器不带电时，两极板之间的电压为零C.电容器两极板之间的电压U越高，它的电容就越小，C与U成反比D.电容器不带电时，其电容为零3. 如图所示是某电场中的一条电场线，一电子从a点由静止释放，它将沿电场线向b点运动，下列有关该电场情况的判断正确的是（）A.该电场一定是匀强电场B.场强E a一定小于E bC.电子具有的电势能Ep a一定大于Ep bD.电势φa>φb4. 如图所示，Q为一带正电的点电荷，P为原来不带电的枕形金属导体，a、b为导体内的两点．当导体P处于静电平衡状态时（）A.a、b两点的场强大小E a、E b的关系为E a>E bB.a、b两点的场强大小E a、E b的关系为E a<E bC.感应电荷在a、b两点产生的场强大小E a′和E b′的关系是E a′>E b′D.感应电荷在a、b两点产生的场强大小E a′和E b′的关系是E a′＝E b′5. 如图所示，质量均为m的三个带电小球A、B、C放置在光滑绝缘的水平面上。

已知A 与B间、B与C间和C与A间的距离均为L，A球带电荷量Q A＝+q，B球带电荷量Q B＝+q．若在小球C上加一方向水平向右、大小未知的恒力F，恰好使A、B、C三小球保持相对静止。

天津市和平区耀华中学【最新】高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 2．函数223y x x =--的值域为（ ）A ．()4,-∞B ．[)4,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,-+∞ 3．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．f x x ＝， 2()g x =B ．2f x x ＝，21()g x x ＝＋C ．0f x ＝，()g xD ．f x g x x ＝4．将函数y x a =+的图象C 向左平移一个单位后，得到()y f x =的图象1C ，若曲线1C 关于y 轴对称，那么实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-3 5．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a6．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()2f x f x +=，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则()3f =（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2-7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩，则不等式()()243f a f a ->的解集为（ ）8．已知函数()2222x x t f x --=++的图象与x 轴有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ C ．(],2-∞- D ．[)2,-+∞二、填空题9．已知集合{}|21A x x =->，{}|B x x a =≤，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是______.10．函数()f x =的定义域为______.11．计算：())211032270.0021028---⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭______.12．函数()222321x x x f x x ++=++的值域为______. 13．已知函数()232x a f x x a +-=+在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.14．已知()f x 是定义在()1,1-上的偶函数，且在区间[)0,1上单调递减，则不等式()()1321f a f a -<-的解集为______.三、解答题15．设{}{}22280,2(2)40A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈.如果A B B =，求实数a 的取值范围．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，都有()()()f m n f m f n +=⋅，当0x >时，()01f x <<.（1）求()0f 的值；（2）证明：当0x <时，()1f x >.（3）证明：()f x 在R 上单调递减.（4）若()()33921x x x f k f ⋅⋅-->对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．C【解析】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个．故选C ．2．B【解析】【分析】配方后利用二次函数的性质可得函数的值域.【详解】∵函数223y x x =--的图象开囗向上，对称轴为1x =，∴2min 1234y =--=-，∴值域为[)4,-+∞.故选：B.【点睛】本题考查二次函数在R 上的值域，只要求出图象顶点的纵坐标即可，本题属于基础题. 3．D【分析】逐一分析四个答案中两个函数的定义域和解析式是否一致,即可得到答案.【详解】解：A 选项：()f x x x R ＝, 22()()(0)x g x x ,两个函数的定义域不一致,不是同一函数;B 选项：2f x x ＝,21()g x x ＝＋, 两个函数的对应法则不一致,不是同一函数;C 选项：0f x ＝,()1)g x x =, 两个函数的定义域不一致,不是同一函数;D 选项：f x x ,g x x ＝,两个函数的定义域均为R ,对应法则相同,故为同一函数.故选D【点睛】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数,根据两个函数是同一个函数的定义,函数的三要素均相等.如果定义域和对应法则一样,则函数值域也相同,为同一函数.4．B【分析】先求出()y f x =的解析式，再根据其图象关于y 轴对称可得实数a 的值.【详解】图象1C 对应的解析式为()1f x x a =++，又∵曲线1C 关于y 轴对称，∵()()f x f x =-， ∴11x a x a ++=-++，∴10a +=，即1a =-.故选：B.【点睛】本题考查偶函数的图像和性质，一般地，偶函数的图像关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数，本题为基础题.5．A【解析】试题分析：∵函数2()5x y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.6．D【分析】根据题设可得()()31f f =-，代入相应的解析式可求()3f 的值.【详解】∵()()2f x f x +=，∴()()()222f x f x f x ++=+=，∴()()4f x f x +=，∴()()141422f f -+=-=-+=-，∴()32f =-.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性和函数值的计算，注意利用周期性把要求的函数值转化到已知区间上的某点处的函数值，本题属于基础题.7．A【分析】画出()f x 的图象后可得()f x 为R 上的单调减函数，从而可去掉对应法则f 得到关于a 的不等式，其解集即为所求的解集.【详解】()f x 的图象如下：由图象可知，()f x 在定义域内为减函数，又∵()()243f a f a ->，∴243a a -<， ∴()()410a a -+<，∴14a -<<.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式，注意根据函数的图象判断单调性，本题属于中档题.8．C【分析】利用基本不等式可求函数的最小值，令所得最小值小于或等于零后可得实数t 的取值范围.【详解】∵()2222x x t f x --=++与x 轴有公共点，令22x m -=，则212x m -=， ∴12m m+≥，当且仅当1m =即2x =时等号成立，故()min 2f x t =+. 因为函数()f x 的图象与x 轴有公共点，故20t +≤即2t -≥，∴2t ≤-.故选：C.【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，注意利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”，本题为基础题.9．(),1-∞【分析】先求出A ，再利用包含关系可得实数a 的取值范围.【详解】集合A ={1x x <，或}3x >，又∵B A ⊆，∴1a <，∴(),1a ∈-∞.故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解及集合的包含关系，考虑后者时注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于基础题.10．(]3,0-【分析】根据解析式有意义可得12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，其解集为所求的定义域. 【详解】由题设有12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，∴解得03x x ≤⎧⎨>-⎩， ∴(]3,0x ∈-.故答案为：(]3,0-.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2*,2n N n ∈≥，n 为偶数）中，0a ≥；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.11．1679- 【分析】根据指数幂的运算性质可求代数式的值.【详解】原式231312350012-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)410219=+ 1679=-. 故答案为：1679-. 【点睛】本题考查指数幂的运算，注意幂的底数为负数时负号的正确处理，必要时转化为根式（如23278-=⎛⎫- ⎪⎝⎭）来看负号如何处理，本题为基础题.12．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】先求函数的定义域，然后利用分离常数法可以得到()221x x x f x =+++，再就0x =和0x ≠分类讨论，后者再利用双勾函数的性质求()f x 的范围，两者结合可得函数的值域.【详解】函数的定义域为R ,又()222321x x x f x x ++=++()22211x x x x x +++=++221x x x =+++， 当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，()1211f x x x=+++， 根据对勾函数1y x x =+的性质可知： 0x >时,min 2y =，∴()1223f x <≤+即()723f x <≤， 0x <时，max 2y =-，∴()12221f x +≤<-+即()12f x ≤<， 即()f x 的值域为71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分式函数的值域，对于分子分母均为二次形式的分式函数，一般选用分离常数的方法把分子的次数降低，再利用换元法把函数的值域问题转化为形如a y x x=+形式的函数的值域，本题属于中档题.13．()1,2【分析】先考虑函数的定义域为给定范围的子集时实数a 的取值范围，再分离常数得到()22a x af x -=++，结合函数的单调性可得2a -的符号，两者的公共部分即为所求的实数a 的取值范围.【详解】要使得()f x 有意义，则[)1,a -∉-+∞，所以1a -<-即1a >.()()22232x a a x a x a f x ax ++-+-==++22a x a -=++， ∵()22a x a f x -=++在[)1,-+∞上是增函数， 故20a -<. ∴201a a -<⎧⎨>⎩，即12a <<，∴()1,2a ∈.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查分式函数的单调性，先考虑给定范围为自然定义域的子集，再分离常数把分子分母两个变化的部分化成一个变化的部分，本题为中档题.14．22,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 利用偶函数的性质可以得到()()1321f a f a -<-，再利用[)0,1上的单调性去掉对应法则f 可得a 满足的不等式组，其解集即为所求的解集.【详解】∵()f x 在()1,1-是偶函数，且在[)0,1上递减，()()1321f a f a -<-， 故()()1321f a f a -<-， ∴132111311211a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，∴2253a <<，即22,53a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：22,53⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查函数的单调性和奇偶性，偶函数()f x 满足()()()f x f x f x ==-，利用这个性质可以实现对称两侧的函数值的转化，另外，解函数不等式，要依据单调性去掉对应法则f ，本题为中档题.15．a ＝2或a ≤－2.【解析】试题分析： 先由A ∩B ＝B 得B ⊆A .再解A ，则B ＝Ø，{0}，{－8}，{0，－8}，最后分别对应讨论，求解实数a 的取值范围．试题解析：∵A ＝{x |x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2. 当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足B ⊆A ．当B ＝{0，－8}时，202(2)840a a ∆>⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，可得a ＝2.综上可得，a ＝2或a ≤－2.16．（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）(,1k ∈-∞-+.【分析】（1）令0m =，1n =，化简后可得()0f 的值.（2）设0x <，由题设可得()()()f x x f x f x -+=-，从而得到()()1f x f x -=，结合()01f x <-<可得()1f x >.（3）利用单调性的定义可证()f x 在R 上单调递减.（4）原不等式等价于()33921x x x f k -+⋅->，利用单调性和（1）中的结论可得()()231320x x k -+⋅+>对任意的x ∈R 恒成立，参变分离后可求k 的取值范围.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．第I 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2,1,0,1,2U ，{}0A =，{}2|20B x x x =+-<，则()U A B =（ ）．A. {}1-B. {}1C. {}1,1,2-D. {}2,1,1--【答案】A 【分析】化简集合B ，根据补集和交集的概念运算可得结果. 详解】{2,1,1,2}UA =--,{|21}B x x =-<<,()U A B ={}1-．故选：A2. 设x ∈R ，则“11x <”是“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件．C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】解不等式，利用两个不等式的解集的包含关系可得答案.【详解】11x<等价于110x -<等价于10xx -<等价于(1)0x x ->等价于0x <或1x >， 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝等价于01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于0x <， 因为{|0}x x <{|x 0x <或1x >}，所以“11x <”是“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”的必要不充分条件．故选：B【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 3. 函数sin 2()x xxf x e e-=+在[–],ππ的大致图象是（ ）． A. B.C. D.【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性排除C 、D ，根据(0,)x π∈时，函数值的符号排除B ，故选A.【详解】因为sin 2()x x x f x e e -=+，所以()()()2sin 2sin x x x xx xf x f x e e e e----==-=-++，所以()f x 为[–],ππ上的奇函数，其图象关于原点对称，故C 、D 不正确； 当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()0f x >，故B 不正确; 故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.4. 已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80,150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a 的值是（ ）．A. 0.015B. 0.020C. 0.030D. 0.040【答案】B 【分析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，即可求得a 的值. 【详解】解：由频率分布直方图可知：()0.0030.0070.0080.0120.0302101a +++++⨯=，解得：0.020a =. 故选：B.5. 已知正方体1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的体积为36π，则正方体1111ABCD A B C D -的体积为（ ）．A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出球O 的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积. 【详解】解：球O 的体积为36π，即34363R ππ=， 解得：3R =，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，由题意知：2R即6=，解得：a =∴正方体1111ABCD A B C D -的体积(3V ==.故选：D.6. 设0.813a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.93b =，0.80.7log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.80.8013313a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.90.8331b a ∴=>=>，又0.80.70.70.7log log 1c =<=，c a b ∴<<.故选：D.7. 已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a =，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ，即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ===，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=，12πϕ=B. 23ω=，12ϕ11π=- C. 13ω=，24ϕ11π=-D. 13ω=，724πϕ=【答案】A由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 【考点】求三角函数的解+析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解+析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解+析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 9. 已知函数2(3),0()2,0k x x f x x k x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）． A. (,4)-∞- B. (4,)+∞ C. (,0)(4,)-∞+∞ D. (,4)(4,)-∞+∞【答案】B 【分析】判断可得()g x 为偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，求出()g x 在(0,)+∞上的解+析式，根据二次函数知识列式可得解.【详解】因为()()()g x f x f x =-+，所以()()()()g x f x f x g x -=+-=，所以()g x 为偶函数，因为()g x 有且只有四个不同的零点，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，且()()02040g f k ==-≠，即0k ≠，当0x >时，0x -<，()(3)f x k x -=-+，2()2f x x k =-，所以()g x =2(3)2k x x k -++-2x kx k =-+在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，所以2(0)00240g k k k >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆=->⎪⎩，解得4k >. 故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解+析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第Ⅱ卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题： 2．本卷共1小题，共10S 分．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10. 已知i 是虚数单位，则531ii+=-______________． 【答案】14i + 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】531ii+=-(53)(1)2814(1)(1)2i i i i i i +++===+-+, 故答案为：14i +.11. 二项式62x⎛- ⎝的展开式中常数项为_________.【答案】60 【分析】求出二项式的通项公式，再令x 对应的幂指数为0即可求解 【详解】二项式62x⎛⎝的展开式的通项公式为36662166(2)2(1)rr r r r r r r T C x C x ---+⎛==- ⎝,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为464462(1)60C -⋅-=，故答案为：60【点睛】本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题12. 已知圆C圆心在x 轴的正半轴上，且圆心到直线20x y -=，若点(M 在圆C 上，则圆C 的方程为______________________．【答案】()2214x y -+= 【分析】先由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.【详解】由题意，设圆C 的圆心为()(),00C a a >，因为圆心到直线20x y -=，5=，解得1a =，即圆心坐标为()1,0；又点(M 在圆C 上，所以半径为2r ==，因此圆C 的方程为()2214x y -+=. 故答案为：()2214x y -+=.13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为______________． 【答案】910【分析】先列出从5种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有2种的情况，再利用古典概型公式计算即可.【详解】解：从甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件随机选取3种， 共有以下10种等可能的情况：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊， 其中甲、乙、丙至多有2种被选取的有以下9种情况：甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，即所求概率为910， 故答案为：910. 14. 已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________.【答案】3+ 【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t+的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s +=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s =，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+．故答案为：3+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题． 15. 在菱形ABCD 中，23πBAD ∠=，2AB =，点M ，N 分别为BC ，CD 边上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最小值为______________． 【答案】32【分析】设||||||||BM CN BC CD =t =，01t ≤≤，将AM 和AN 用AB 、AD 表示，再根据向量数量的运算律进行求解可得结果. 【详解】设||||||||BM CN BC CD =t =，01t ≤≤， AM =AB BM AB +=+tBC AB t AD =+，AN AB BC CN =++AB BC tCD =++(1)AB AD t AB t AB AD =+-=-+，所以AM AN ⋅=()()(1)AB t AD t AB AD +⋅-+2(1)t AB =-2t AD +2(1)t t AB AD ++-⋅214(1)4(1)22()2t t t t =-+++-⨯⨯⨯-2222t t =-+，因为01t ≤≤，所以当12t =时，2222t t -+取得最小值32，即AM AN ⋅的最小值为32.故答案为：32【点睛】关键点点睛：将AM 和AN 用AB 、AD 表示，再根据向量数量的运算律进行求解是解题关键.三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin a A b B =，2223()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求()sin 2B A +的值．【答案】（1）33-2）26159【分析】（1）根据正弦定理可得2a b =，再结合余弦定理可得结果； （2）由cos A =求出sin A ，由sin 4sin a A b B =求出sin B ，根据同角公式求出cos B ，利用二倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，再根据两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】（1）由sin 4sin a A b B =以及正弦定理可得224a b =，得2a b =，由222)ac a b c =--得222b c a +-==，所以2222b c a bc +-=，所以cos A =. （2）由cos 3A =-得sin A ==， 由sin 4sin a A b B =得sin sin sin 426a A A Bb ===， 又A 为钝角，所以B为锐角，所以cos B ===所以sin 22sin cos 2B B B ===22cos 22cos 1216B B ⎛=-=⨯- ⎝⎭23=， 所以()sin 2B A +sin 2cos cos2sin B A B A =+233339⎛=⨯-+⨯= ⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AB AD ⊥，//BC AD ，点M 是棱PD 上一点，且2AB BC ==，4AD PA ==．（1）若:1:2PM MD =，求证：//PB 平面ACM ； （2）求二面角A CD P --的正弦值； （3）若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长． 【答案】（1）证明见解+析；（2）63；（3）22MD = 【分析】（1）连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，证明//MN PB ； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正弦值；（3）设(01)MD PD λλ=≤≤，用λ表示点M 坐标，利用线面夹角，求得λ得值及MD 得长. 【详解】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，//BC AD ，12BN BC BD AD ∴==， 又:1:2PM MD =，//MN PB ∴， 又MN ⊂平面ACM ， PB ⊄平面ACM//PB ∴平面ACM（2）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P (2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =， 又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，3cos ,3m n ==， 故二面角A CD P --2361()33-=. （3）设(01)MD PD λλ=≤≤，()0,4,4MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，(0,4,44)AM λλ∴=-，由（2）得平面PCD 法向量(2,2,2)n =，且直线AM 与平面PCD 6 224446cos ,(4)(44)AM n λλλλ+-∴==+-解得12λ=， 即12MD PD =， 又224442PD =+=， 故1222MD PD ==.【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>5角形面积为25 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 经过点(,0)A a -，且直线l 与椭圆C 交于点P （P 不在x 轴上），若点Q 在y 轴的负半轴上，APQ 是等边三角形，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2【分析】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c ，根据题中条件，列出关于,,a b c 的方程组求解，即可得出,,a b c ，从而可确定椭圆方程；（2）先由（1）得()30A -,，则直线l 的方程为()3y k x =+，联立直线与椭圆方程，求出222271224,4949k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设()()0,0Q t t <，根据题中条件，得到cos cos 60AP AQ PAQ ⎧=⎨∠=⎩，解方程组，即可求出结果.【详解】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c ，因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为所以有222122c ab c a b c⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此椭圆C 的方程为22194x y +=；（2）由（1）可得()30A -,，则直线l 的方程为()3y k x =+， 因为直线l 与椭圆C 交于点P （P 不在x 轴上），所以0k ≠，将()3y k x =+代入22194x y +=可得()22249336x k x ++=，整理得()2222495481360kxk x k +++-=，则22813649P A k x x k -⋅=+，即228136349P k x k --=+，所以22271249P k x k -=-+，因此()222271224334949P P k ky k x k k k ⎛⎫-=+=-+= ⎪++⎝⎭，即222271224,4949k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则2222227122424243,,49494949k k k AP kk k k ⎛⎫-⎛⎫=-+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭所以AP ==， 又点Q 在y 轴的负半轴上，设()()0,0Q t t <， 则()3,AQ t =，AQ ==，又APQ 是等边三角形，所以cos cos 60AP AQAP AQ PAQ AP AQ ⎧=⎪⋅⎨∠==⎪⎩，即22722412tk =⎪⎪⎨+⎪=⎪⎪⎩则()222272241349224149tktk k k +++==++， 所以()22121349k tk k +=++，则2221212122749k k tk k+--=+，整理得21549k t k -=+， 代入249k =+()()()222222224122594949k k k k +=+++， 则()()22226414925k k k +=++，整理得422711160k k +-=，解得21627k =，所以9k =±， 又215049k t k -=<+，所以0k >，故k =. 点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据APQ 是等边三角形，列出方程组cos cos 60AP AQPAQ ⎧=⎨∠=⎩，结合直线与椭圆方程，已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解；此类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力.19. 已知等比数列{}n a 满足3210a a -=，123125a a a =． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S （2）若数列{}n b 满足11b =，且*23111()23nn b b b b b n nN ++++-∈+=， ①求{}n b 的通项公式： ②求211ni i i a b-=∑．【答案】（1）5(31)6n -（2）①n b n =②55(1)333n n -⨯+ 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式可得结果； （2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则211211110125a q a q a a q a q ⎧-=⎨⋅⋅=⎩，解得1353q a =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以15(13)(1)3113n nn a q S q --==--5(31)6n =-. （2）①因为*23111()23nn b b b b b n nN ++++-∈+=， 所以2n ≥时，31211231n n b b b b b n -++++=--， 两式相减得1nn n b b b n+=-，即11n n b n b n ++=(2)n ≥， 又121b b =-，且11b =，所以22b =，1221b b =，所以11n n b n b n ++=*()n N ∈，即11n n b b n n+=+， 所以数列{}nb n 是常数数列，所以111n b b n ==，即n b n =. ②由（1）知111533n n n a a q --==⨯， 令n T =211ni i i a b-=∑11233521n n a b a b a b a b -=++++，即n T =01215555133353(21)33333n n -⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯，即1215(13353(21)3)3n n T n -=+⨯+⨯++-⨯， 所以2353(133353(21)3)3nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()123152123333(21)33n nn T n -⎡⎤-=+++++--⨯⎣⎦， 所以153(13)212(21)3313n n n T n -⎡⎤--=+⨯--⨯⎢⎥-⎣⎦， 所以52(22)323n n T n ⎡⎤-=-⨯-⎣⎦， 所以55(1)333n n T n =-⨯+，即211ni i i a b -=∑55(1)333nn =-⨯+【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的求和公式以及错位相减法是解决本题的关键. 20. 已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈．（1）若()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞；（3）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，得到()01f '=，对()f x 进行求导，再求解即可；（2）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；（3）构造函数()()()x f x g x x ϕ=+-，将原式化为：对于任意[0,)x ∈+∞，()min 0x ϕ≥恒成立，再利用1x e x ≥+进行适度放缩，从而判断()x ϕ的单调性，找到对应的参数范围即可. 【详解】（1）由题意知： ()2xf x e a '=-，()02120f e a a '∴=-=-，又()f x 在点(0,(0))f 的切线倾斜角为4π，()f x ∴在点(0,(0))f 的切线的斜率tan14πk ==， 即()1102f a '=-=， 解得：0a =；（2）由（1）知：()2xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数；②当0a > 时， 令()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，∴当(,ln(2))x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数，当(ln(2),)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(2),)a +∞上为增函数． 综上所述，当0a ≤ 时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞； （3）对任意的[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立， 即()()0f x g x x +-≥恒成立，将()(),f x g x 代入，并整理得：e 2[ln(1)](1)0x a x x x ++--+≥，设()=e 2[ln(1)](1)x x a x x x ϕ++--+，则原式等价于对任意的[0,)x ∈+∞，min ()0x ϕ≥恒成立， 则2()=e (21)1x a x a x ϕ'+-++， 下面证明：1x e x ≥+，令()1xg x e x =--，则()1x g x e '=-，令()10x g x e '=-=， 解得：0x =，∴当(,0),()0x g x '∈-∞<，()g x 单调递减；当(0,),()0x g x '∈+∞>，()g x 单调递增； 故()(0)0g x g ≥=，即1x e x ≥+，2()=e (21)1x a x a x ϕ'∴+-++21(21)1a x a x ≥++-++ 22212(21)(21)2=11x x a a a x x x ax x x +++-+-++-=++(12)=1x x a x +-+， ①当12a ≤时， ()0x ϕ'≥ 在[)0,+∞上恒成立，()ϕx 在[)0,+∞上单调递增，min ()(0)00x ϕϕ==≥恒成立，即()()f x g x x +≥，对[0,)x ∀∈+∞恒成立． ②当12a > 时， 1x e x ≥+，1x e x -∴≥-，即 11x e x≤-，在[]0,1x ∈成立， 故当(0,1)x ∈时，2()=e (21)1xa x a x ϕ'+-++12(21)11a a x x <+-+-+22(21)(21)1a x a x x +--=-， 21(0,)(0,1)21a x a -∈⊂+时，()0x ϕ'<， 知()ϕx 在21(0,)21a a -+上为减函数，()(0)0x ϕϕ<=， 即在21(0,)21a a -+上，不存在a 使得不等式()()f x g x x +≥对任意0x ≥恒成立． 综上所述：实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对参数的分类讨论以及应用1x e x ≥+对函数进行放缩.。

2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（）A.{0}∈{0, 1, 2}B.{0, 1}≠{1, 0}C.{0, 1}⊆{(0, 1)}D.⌀⊆{0, 1}2. 已知集合A＝{1, 3a}，B＝{a, b}，若A∩B={13}，则a2−b2＝（）A.0B.43C.89D.2√233. 设x>0，y>0，M=x+y1+x+y ，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是（）A.M＝NB.M<NC.M>ND.不能确定4. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a, b)=√a2+b2−a−b，那么φ(a, b)＝0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−12≤x≤−13}，则不等式x2−bx−a<0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|x<2或x>3}C.{x|13<x<12}D.{x|x<13x>12}6. 若a>0，b>0且a+b＝7，则4a +1b+2的最小值为（）A.89B.1 C.98D.102777. 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.−2<a≤−1或3≤a<4B.−2≤a≤−1或3≤a≤4C.−2≤a<−1或3<a≤4D.−2<a<−1或3<a<48. 下列说法正确的是（）A.若命题p，￢q都是真命题，则命题“(￢p)∨q”为真命题B.命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”与命题“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”真假相同C.“x＝−1”是“x2−5x−6＝0”的必要不充分条件D.命题“∀x>1，2x>0”的否定是“∃x0≤1，2x0≤0”二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）下列各不等式，其中不正确的是（）A.a2+1>2a(a∈R)B.|x+1x|≥2(x∈R,x≠0)C.√ab ≥2(ab≠0) D.x2+1x2+1>1(x∈R)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.x<1B.0<x<1C.−1<x<0D.−1<x<1下列命题正确的是（）A.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0，则a1+a ≥b1+b给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.集合M＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M＝{n|n＝3k, k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知集合A＝{x∈Z|x2−4x+3<0}，B＝{0, 1, 2}，则A∩B＝________．若“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．若不等式ax2+2ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．已知x>0，y>0，且x+3y＝xy，若t2+t<x+3y恒成立，则实数t的取值范围是________四、解答题：（本大题共6小题，共70分。

本册综合测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分)1．(2021·广西师大附属外国语学校高二月考)数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( ) A ．*1,n n a a n n N +=+∈B ． *1,2n n a a n n N n -=+∈≥，C ．()*11,,2n n a a n n N n +=++∈≥D ．*11,2()n n a a n n N n -=+-∈≥，【答案】B【解析】设数列1，3，6，10，15，…为{}n a ，所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=， *5415,2n n a a a a n n N n --=⋯-=∈≥，，，， 所以*1,2n n a a n n N n -=+∈≥，.故选：B.2．(2021·青海师大附中)设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，58a =，36S =，则( ) A ．它的首项是2-，公差是3 B ．它的首项是2，公差是3- C ．它的首项是0，公差是2 D ．它的首项是3，公差是2-【答案】C【解析】因为5148a a d =+=，31336S a d =+= 所以可解得10,2a d == 故选：C3．(2021·河南郑州 )在等比数列{}n a 中，25827a a a ⋅⋅=-，则37a a ⋅=( ) A ．9- B ．9 C ．27- D ．27【答案】B【解析】由等比中项的性质可得：228375a a a a a ⋅=⋅=故325855273a a a a a ⋅⋅=-=∴=-则23759a a a ==⋅故选：B4．(2021·安顺市第三高级中学 )若函数()y f x =可导，则“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】()0f x '=，但()'f x 在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时()f x 在零点处无极值， 但()f x 有极值则()'f x 在极值处一定等于0.所以“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的必要不充分条件. 故选：A5．(2021·全国高二专题练习)已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为( )A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=【答案】D 【解析】()()21x f x x x e =++，求导得：()()()()2221132x x xf x x e x x e x x e =++=+'+++，()02f ∴'= ，又()01f =，()f x ∴在(0())0f ，处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：D.6．(2021·全国高二课时练习)函数y ＝ln ||x x的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y ＝f (－x )＝ln ||x x--＝－f (x )， ∴y ＝f (x )＝ln ||x x为奇函数， ∴y ＝f (x )的图象关于原点成中心对称，可排除B. 又∵当x ＞0时，f (x )＝ln x x ， ()21ln xf x x -'=， ∴当x ＞e 时，()f x '＜0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减； 当0＜x ＜e 时，()f x '＞0， ∴函数f (x )在(0，e )上单调递增. 故可排除A ，D ，而C 满足题意. 故选：C.7．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(0，2π)上增【答案】A【解析】∵f ′(x )＝1－cos x >0在(0，2π)上恒成立， ∴f (x )在(0，2π)上为增函数. 故选：A8．(2021·河南郑州·高二期中(理))设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b +=+(a ，b 为常数)，则74a b =( )A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】 C【解析】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二课时练习)函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则( )A ．12x =为函数()f x 的零点 B ．2x =为函数()f x 的极小值点 C ．函数()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()2f -是函数()f x 的最小值【答案】BC【解析】解：由()f x '的图象可知，()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在(),2-∞-和1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2x =为()f x 的极小值点，所以B ，C 均正确； 12x =是()f x '的零点，但不一定是()f x 的零点，所以A 错误； ()2f -是函数()f x 的极小值，但不一定是最小值，所以D 错误.故选：BC.10．(2021·山东潍坊·高二期中)下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．其中，第2个图比第I 个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第n 个图的树枝数为n a ，数列{}n a 的前n 项和n S ，则下列说法正确的是( ) A ．12n n a -= B ．12nn n a a +=+C ．2n n S a n =-D ．13521221n n a a a a a n -+++⋅⋅⋅+=-+【答案】BC【解析】由题意，由图(3)可得37a =，对于A 中313247a -==≠，所以A 不正确；由图(2)比图(1)多出2个树枝，图(3)比图(2)多出4个树枝，图(4)比图(3)多出8个树枝，，由此可得12n n n a a +-=，即12n n n a a +=+，所以B 正确；由12nn n a a +-=，可得121121112()()12222112n n n n n n a a a a a a ---=+-++-=++++==--， 则12(12)2212n n n S n n +-=-=---，所以2n n S a n =-，所以C 正确； 由21nn a =-，可得135212(14)2241433n n n a a a a n n --+++⋅⋅⋅+=-=⋅---，又由2212212(21)121n n n a n n n +-+=⋅--+=--，所以D 不正确.故选：BC.11．(2021·全国高二专题练习)斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a 米的铁丝，需要截成n (n >2)段，每段的长度不小于1m ，且其中任意三段都不能构成三角形，若n 的最大值为10，则a 的值可能是( ) A ．100 B ．143 C ．200 D ．256【答案】BC【解析】不妨设10段铁丝长度为1210,,,a a a ，且12310a a a a ≤≤≤≤，依题意可知123a a a +≤，234a a a +≤，……，8910a a a +≤，11a ≥， 要使得n 最大，则12,,,n a a a 尽可能小，因此11a =，21a =，32a =，…，10115589a a ==，， 记斐波那契数列前n 项和为n S ，其中1011143,232S S ==，则有10111nk k S a a S =≤=<∑，故选：BC .12．(2021·广东汕尾·高二期末)已知函数()331f x x x =-+，则( )A ．函数()f x 的增区间为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()f x 的极小值为79C ．若方程()f x a =有三个互不相等的实数根，则71199a D ．函数()f x 的图像关于点()0,1对称 【答案】BD【解析】2()91f x x '=-，所以13x <-或13x >时，()0f x '>，1133x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在1(,)3-∞-和1(,)3+∞上递增，在11(,)33-上递减，A 错；函数()f x 的极小值为1739f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；函数()f x 的极大值为11139f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当71199a <<时，()f x a =有三个互不相等的实根，C 错；33()()313()12f x f x x x x x +-=-++⨯-++=，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称．D 正确．故选：BD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·河北石家庄·高二期末)写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x =_______________． 【答案】2x (答案不唯一)【解析】令2()f x x =(答案不唯一)， 则(0)0f =，()2f x x '=，令()0f x '=，则0x =，故函数在(),0-∞递减，在()0,∞+递增，故函数2()f x x =只有一个极值点. 故答案为：2x (答案不唯一)．14．(2021·全国高二课时练习)请写出一个符含下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 为无穷数列；②{}n a 为单调递增数列；③02n a <<.这个数列的通项公式可以是______. 【答案】12n a n=-.【解析】因为函数12n a n =-的定义域为*N ，且12n a n =-在*N 上单调递增，1022n <-<，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是12n a n =-，故答案为：12n a n=-.15．(2021·河南高二期末(理))设计一个蒙古包型的仓库，它由上､下两部分组成，上部分的形状是圆锥，下部分的形状是圆柱(如图所示)，圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是1，则该仓库的最大容积是___________.【解析】设圆锥的母线与轴的夹角为θ，则圆锥的底面半径为sin θ，高为cos θ，则仓库的容积为：()2223177sin cos 2sin cos sin cos cos cos 333V πππθθπθθθθθθ=+==-，02πθ<<， 令cos t θ=，3y t t =-，则01t <<，213y t '=-，0t <<0y '>1t <<时，0y '<，所以t =y V .. 16．(2021·辉县市第一高级中学高二月考(理))给出如下关于函数1ln ()xf x x+=的结论： ①对0x ∀>，都有()1f x ≤；②对1(0,1)x ∀∈，都2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =； ③1322f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④00x ∃>，使得()00f x x >.其中正确的有___________.(填上所有你认为正确结论的序号) 【答案】①③④ 【解析】2ln ()xf x x -'=，(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单增；(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单减； 故()(1)1f x f ≤=，①正确；0,()x f x →→-∞，故(0,1)x ∈时，()(,1)f x ∈-∞；,()0x f x →+∞→，故(1,)x ∈+∞时，()(0,1)f x ∈，故当(0,1)x ∈，取1()0f x <时，如21()0f e e e<-<，找不到2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =，②错误；132323232(1ln 2)(1ln )(23ln 2ln )(2ln(8))22323232f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=--=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(2ln12)03=-<，故③正确； ()21ln 1ln x x x f x x x x x ++--=-=，令2()1ln h x x x =+-， 则2112()2x h x x x x -'=-=，0x >，故2x ∈，()0h x '>，()h x单增；()2x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单减；故211()1ln ln 222h x h ≤=+=-⎝⎭， ∵11ln 2022->∴11ln 20f -=>⎝⎭，即00x ∃>，使得()00f x x >，④正确； 故答案为：①③④四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·福建宁德·高二期中)①x y e =；②ln y x =．若直线y x a =+为__________(选择①、②中的一个)的切线． (1)求切点坐标； (2)求实数a 的值．注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分．【答案】若选①，(1)(0,1)P ；(2)1a =；若选②，(1)(1,0)P ；(2)1a =-. 【解析】选择①(1)设切点()00,x P x e ，()xf x e '=，()001x f x e '==，解得000,1xx e ==，所以切点为(0,1)P ．(2)由(1)知切点为(0,1)P ，所以切线为1y x -=，即1y x =+，所以1a =．选择②(1)设切点()00,ln P x x ，()1f x x'=，()0011f x x '==，解得001,ln 0x x ==，所以切点(1,0)P ．(2)由(1)知切点为(1,0)P ，所以切线为1y x =-，所以1a =-．18．(2021·江苏镇江·高二期末)有三个条件：①函数()f x 的图象过点 (0,1)，且1a =；②()f x 在1x =时取得极大值116；③函数()f x 在3x =处的切线方程为4270x y --=，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．题目：已知函数321()232a f x x x xb =+++存在极值，并且______．(1)求()f x 的解析式；(2)当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的最值【答案】选①；(1)3211()2132f x x x x =+++；(2)max 41()2f x =，min 23()6f x =．选②：3213()2132f x x x x =-++；(2)min 5()3f x =，max 5()2f x =； 选③：3217()232f x x x x =-+-；(2)max 5()2f x =，min 13()6f x =-．【解析】选①：(1)(0)1==f b ，所以1a b ==，故3211()2132f x x x x =+++；(2)由2217()2024f x x x x ⎛⎫=++=++> ⎪⎝⎭'，所以()f x 单调递增，故max 41()(3)2f x f ==，min 23()(1)6f x f ==． 选②：因为321()232a f x x x xb =+++，所以2()2f x x ax '=++由题意知322111(1)1121326(1)120a fb f a ⎧=⨯+⨯+⨯+='⎪⎨⎪=++=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，故3213()2132f x x x x =-++，经检验()f x 在1x =时取得极大值，故符合题意，所以3213()2132f x x x x =-++， (2)22()23f x x x '=-+，令22()320f x x x '=-+=，所以1x =或2x =，所以(),1x ∈-∞或()2,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；因此()f x 在()1,2单调递减，在()2,3单调递增，则111(1)213263f =-++=，3215(2)222213233f =⨯-⨯+⨯+=，3215(3)332313232f =⨯-⨯+⨯+=，所以min 5()3f x =，max 5()2f x =； 选③： 由题意知5(3)2(3)2f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，又因为2()2f x x ax '=++， 所以32215(3)3323322(3)2222a fb f a ⎧=⨯+⨯+⨯+='⎪⎨⎪=++=⎩，解得272a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 所以3217()232f x x x x =-+-， (2)()22()22110f x x x x '=-+=-+>，所以()f x 单调递增，故32max 17()(3)33233522f x f ==⨯-+⨯-=，min 1713()(1)12326f x f ==-+-=-． 19．(2021·甘肃甘州 )已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，若2d q ==，且1a ，1b ，2a ，2b 成等差数列.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)21n a n =-，2n n b =；(2)21n n T n =+. 【解析】(1)∵1a ，1b ，2a 成等差数列，∴12111121222a a a d d b a a ++===+=+①， 又∵1b ，2a ，2b 成等差数列，∴1221322b b a b +==，得11322a b +=②， 由①②得11a =，12b =，∴()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，111222n n n n b b q --==⨯=； (2)()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 20．(2021·贵州师大附中高二月考(理))已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.(1)若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}3n a n a ⋅的前n 项和n S .【答案】(1)222n b n n =-+；(2)()121334n nn S +-⋅+=. 【解析】 (1)由11n n a a +=+知数列{}n a 是公差为1的等差数列故212a a d =+=，所以11a =，所以n a n =所以121n n b b n +=+- 所以1(1)(123)13523,22n n n b b n n -+--=++++-=≥ 所以22(1)(123)11(1)22,22n n n b n n n n -+-=+=+-=-+≥ 又11b =满足上式，所以222n b n n =-+；(2)由(1)可得33n a n n a n ⋅=⋅所以1231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯①；234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯②；①-②得12311313131233n n n n S +=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-+， 所以()13132313n n n S n +--=-⨯- 所以()121334n n n S +-⋅+=21．(2021·天津市第一百中学高三月考)已知函数32()61f x ax x =-+，a R ∈.(1)若2a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若4a =-，求函数在区间[2,3]-的最值；(3)若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，减区间是(0,2)；(2)最大值是9，最小值是161-；(3)((0,42)-．【解析】(1)2a =，32()261f x x x =-+，2()6126(2)f x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，减区间是(0,2)；(2)4a =-，32()461f x x x =--+，2()121212(1)f x x x x x '=--=-+，21x -<<-或03x <<时，()0f x '<，10x -<<时，()0f x '>，()f x 在(2,1)--、(0,3)是递减，在(1,0)-上递增，()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值(1)1f =-=-，又(2)9f -=，(3)161f =-，所以函数在区间[2,3]-的最大值是9，最小值是161-；(3)2()3123(4)f x ax x x ax '=-=-，0a =时，2()61f x x =-+是二次函数，不可能是三个零点；0a >时，0x <或4x a >时，()0f x '>，40x a<<时，()0f x '<，即()f x 在(,0)-∞和4(,)a +∞上递增，在4(0,)a 上递减，所以()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值2432()1f a a ==-+，函数有三个零点，则23210a-+<，a -<<以0a <<0a <时，0x >或4x a <时，()0f x '<，40x a <<时，()0f x '>，即()f x 在4(,)a -∞和(0,)+∞上递减，在4(,0)a 上递增，所以()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值2432()1f a a ==-+，函数有三个零点，则23210a-+<，a -<<以0a -<；综上，a 的取值范围是((0,42)-．22．(2021·全国高二单元测试)森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s 万立方米(1030s <<)的森林.设n a 为自2021年开始，第n 年末的森林蓄积量(单位：万立方米).(1)请写出一个递推公式，表示1n a +，n a 两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成()1n n a k r a k +-=-的形式，其中r ，k 为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s 最大为多少万立方米？(精确到1万立方米) 参考数据：85 5.964⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，957.454⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1059.314⎛⎫≈ ⎪⎝⎭. 【答案】(1)154n n a a s +=-；(2)()15444n n a s a s +-=-；(3)19. 【解析】(1)由题意，得()1120125%150a s s =⨯+-=-，()15125%4n n n a a s a s +=+-=-.① (2)将()1n n a k r a k +-=-化成1n n a ra k rk +=+-，② 比较①②的系数，得54r k rk s⎧=⎪⎨⎪-=-⎩， 解得544r k s⎧=⎪⎨⎪=⎩. 所以递推公式为()15444n n a s a s +-=-. (3)因为141505a s s -=-，且()10,30s ∈，所以140a s -≠，由(2)可知140a s -≠， 所以14544n n a s a s +-=-， 即数列{}4n a s -是以1505s -为首项，54为公比的等比数列， 其通项公式为()15415054n n a s s -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭， 所以()15415054n n a s s -⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭.2030年底的森林蓄积量为数列{}n a 的第10项，()9105415054a s s ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭. 由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以104120a ≥⨯，即()95415054804s s ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭， 即()415057.4541117.537.25480s s s s +-⨯=+-≥.解得19.17s ≤. 所以每年的砍伐量最大为19万立方米.。

高二数学上册第一次月考测试题（有答案）“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”四地六校联考2011--2012学年上学期第一次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝252.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填（A）k＞4?（B）k＞5?（C）k＞6?（D）k＞7?（第3题）3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．B．C．D．4.将51转化为二进制数得()A.100111(2)B.110110(2)C.110011(2)D.110101(2)5．读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILEiS=S+iI=i+1WENDPRINTSENDI=5S=0DOS=S+iI=i－1LOOPUNTILiPRINTSEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是（）A程序不同，结果不同B程序不同，结果相同C程序相同，结果不同D程序相同，结果不同6.（如图）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=－10则输出的是（）A.1B.0C.20D.－208..若点P（1，1）为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．B．C．D．9.三个数390,455,546的最大公约数是()A.65B.91C.26D.1310.数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是（）Ａ．和Ｂ．和Ｃ．和Ｄ．和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为()..12.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13.某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一､高二､高三各年级抽取的人数分别为________.14.已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2v1=2×5－5=5则v3=________.15.把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分)对甲､乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲､乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.（本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图；(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19．（本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？参考公式：20.（本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．21.（本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框=f()其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值.22．（本小题满分14分)已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y ＝x＋m.(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围．“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”四地六校联考2011--2012学年上学期第一次月考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、填空题(13)、15..10..20(14)、108．(15)16(16)512＜k≤34三、解答题1718.解析】(1)频率分布直方图如图…………6分(2)(克)…………12分19.解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x＝255＝5，y＝2505＝50，i＝15x2i＝145，i＝15y2i＝13500，i ＝15xiyi＝1380.于是可得b＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5；——————7分a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回归直线方程是＝6.5x＋17.5.——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．————————————12分20.【解析】：(1)平均数是=1500+≈1500+591=2091(元)．中位数是1500元，众数是1500元．——————————————4分(2)平均数是≈1500+1788=3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2)要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0, 即,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22.解析：(1)已知圆的标准方程是(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0＜a≤4)，则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2a.——————————2分直线l的方程化为：x－y＋4＝0.则圆心C到直线l的距离是|－2a＋4|2＝2|2－a|.——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L＝2(2a)2－(2|2－a|)2——————————5分＝2－2a2＋12a－8＝2－2(a－3)2＋10.∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为210.——————————7分(2)因为直线l与圆C相切，则有|m－2a|2＝2a，——————————8分即|m－2a|＝22a.又点C在直线l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m.——————————10分∴2a－m＝22a，∴m＝2a－12－1.∵0＜a≤4，∴0＜2a≤22.∴m∈－1,8－42]．——————————————————14分。

2020-2021学年天津市四校联考高二下学期期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0 1 3 4y 3.3 4.8 5.7 A．2.2 B．1.8 C．1.6 D．1.44．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m29．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是.（用数字作答）12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是，此时b ＝．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人得分超过85分的人数合计数女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.1 0.05 0.01 0.005 0.001P（K2≥k0） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣e x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．参考答案一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1} 【分析】可求出集合A，然后进行补集和并集的运算即可．解：U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{1，﹣2}，B＝{0，1}，∴∁U B＝{﹣2，﹣1}，A∪（∁U B）＝{﹣2，﹣1，1}．故选：B．2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：由x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3，由x﹣4＞0，得x＞4，即由x2﹣5x+6＞0不能得到x﹣4＞0，反之，由x﹣4＞0，能够得到x2﹣5x+6＞0．即“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0 1 3 4y 3.3 4.8 5.7 A．2.2 B．1.8 C．1.6 D．1.4【分析】先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．解：由题意可知，，，则样本中心在回归方程为＝0.85x+2.1上，所以，解得m＝1.4．故选：D．4．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析，结合函数的解析式分析可得当x＞0时，f（x）＝e x﹣cos x＞0，排除AC，又由f（﹣）＝＞0，排除B；即可得答案．解：根据题意，f（x）＝e x﹣cos x，当x＞0时，e x＞1而cos x≤1，则有f（x）＝e x﹣cos x＞0，即在y轴右侧，函数图象在x轴上方，排除A、C，又由f（﹣）＝﹣cos（﹣）＝﹣0＞0，排除B；故选：D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．解：因为共有2道选择题和3道填空题，依次不放回地随机抽取2道题作答，第1次抽到选择题，故剩下1道选择题和3到填空题，所以P（B|A）＝．故选：A．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，有＝15种分组方法，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，有A22＝2种安排方法，则有15×2＝30种报名方法，故选：C．7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．解：由f（x）＝xe x，得f′（x）＝e x+xe x，∴f′（2）＝3e2，又f（2）＝2e2，∴曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l的方程为y﹣2e2＝3e2（x﹣2），即y＝3e2x﹣4e2．取x＝0，得y＝﹣4e2，取y＝0，得x＝，∴曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是S＝．故选：A．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m2【分析】根据已知条件，可得人行道面积S＝，再结合均值不等式，即可求解．解：设草坪南北方向长为x米，则草坪东西方向长为，人行道占地面积为S平方米，∵要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，∴S＝＝，当且仅当，即x＝40时，等号成立，S取得最小值504．故选：D．9．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．解：对于①，令g（x）＝＝lnx，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，由0＜x1＜x2，可得g（x1）＜g（x2），即＜，即x1f（x2）＞x2f（x1），故①正确；对于②，令h（x）＝f（x）+x＝xlnx+x，h′（x）＝lnx+2，由h′（x）＞0可得x＞e﹣2，由h′（x）＜0可得0＜x＜e﹣2，所以h（x）在（0，e﹣2）上单调递减，在（e﹣2，+∞）上单调递增，当0＜x1＜x2＜e﹣2时，h（x1）＞h（x2），即x1+f（x1）＞x2+f（x2），故②错误；对于③，令m（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，m′（x）＝lnx，在（0，1）上，m′（x）＜0，m（x）单调递减，在（1，+∞）上，m′（x）＞0，m（x）单调递增，故当0＜x1＜x2＜1时，m（x1）＞m（x2），即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，所以f（x2）﹣f （x1）＜x2﹣x1，所以＜0，故③错误；对于④，因为lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞0，所以f（x）单调递增，由①可知，x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是∃n∈N，n2≤2n．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题p：∀n∈N，n2＞2n的否定￢p是：∃n∈N，n2≤2n．故答案为：∃n∈N，n2≤2n．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是126.（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得常数项．解：∵（x+）9的展开式中，通项公式为T r+1＝•，令9﹣＝3，求得r＝4，可得x3的系数是＝84，故答案为：126．12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5．【分析】利用正态曲线的对称性求解即可．解：因为数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），故正态分布曲线的对称轴为X＝9，因为P（X＜10）＝0.91，所以P（X＞10）＝1﹣0.91＝0.09，P（8≤X≤9）＝P（9＜X＜10）＝0.5﹣P（X＞10）＝0.5﹣0.09，所以P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5﹣0.09+0.09＝0.5．故答案为：0.5．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是．【分析】利用古典概型的概率公式以及分类计数原理进行分析求解即可．解：由题意，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球，现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率为＝．故答案为：．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是2，此时b＝．【分析】化简，利用基本不等式性质可求得答案．解：由a＞b＞0，且ab＝，＝＝（2a+b）+≥2＝2，当且仅当2a+b＝时，等号成立，故的最小值为2，由2a+b＝，ab＝，解得b＝，或b＝，由a＞b＞0，b＝舍去，故答案为：．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是2；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】函数f（x）的极值点的个数即f′（x）变号零点个数，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cos x，数形结合可得方程有2个解，进而得到函数f（x）的极值点的个数是2；函数f（x）在R上是增函数，即f′（x）⩾0在R上恒成立，即不等式a⩽3x2+cos x在R上恒成立，构造函数g（x）＝3x2+cos x，求函数g（x）的最值可求实数a的取值范围．解：f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，f（x）＝x3﹣6x+sin x，则f′（x）＝3x2﹣6+cos x，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cos x，作出函数y＝6﹣3x2和y＝cos x的图象，数形结合可知方程6﹣3x2＝cos x有两个解，即方程f′（x）＝0有两个解，所以f′（x）＝3x2﹣6+cos x有两个零点，且都为变号零点，所以函数f（x）的极值点个数是2．若函数f（x）在R上是增函数，则f′（x）⩾0在R上恒成立，即f′（x）＝3x2﹣a+cos x⩾0⇔a⩽3x2+cos x，令g（x）＝3x2+cos x，则g′（x）＝6x﹣sin x，因为g′′（x）＝6﹣cos x＞0，所以g′（x）在R上单调递增，又g′（0）＝0，所以当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，所以a⩽1．即a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：2；（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据已知条件，事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，分别计算出其所对应的概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，∴．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，即X的分布列为∴＝．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）由题意，利用不等式对应方程的关系，结合根与系数的关系求得b、c的值，再代入不等式求出对应的解集；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可求得a的取值范围；（Ⅲ）把b＝a﹣1，c＝a﹣2代入不等式f（x）＞0中，求含有字母系数的不等式的解集即可．解：（Ⅰ）由题意知：﹣1，2是方程x2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系，得，解得b＝﹣1，c＝﹣2，代入不等式bx2+cx+8≥0，可得：﹣x2﹣2x+8≥0，化简得（x+1）2≤9，解得﹣4≤x≤2，故所求不等式的解集为：[﹣4，2]．（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可得，解得a≥3，故实数a的取值范围为：[3，+∞）．（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，则不等式f（x）＞0化为x2+（a﹣1）x+a﹣2＞0，Δ＝（a﹣1）2﹣4×（a﹣2）＝（a﹣3）2≥0，当a＝3时，不等式化为x2+2x+1＞0，则不等式的解集为{x|x≠﹣1}，当a≠3时，两根为﹣1，2﹣a，当a＞3时，﹣1＞2﹣a，则不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，当a＜3时，2﹣a＞﹣1，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}，综上得：a＝3时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，a＞3时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，a＜3时，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，求导得f′（x）＝x﹣2+，由导数的几何意义可得k切＝f′（4），又f（4）＝2ln2，进而可得答案．（Ⅱ）求导得f′（x）＝，由于函数f（x）在x＝2处取得极值，则f′（2）＝0，解得a＝，分析f（x）的单调性，最值，即可得出答案．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，f′（x）＝x﹣2+，所以k切＝f′（4）＝，又f（4）＝×42﹣2×4+ln4＝2ln2，所以曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程：y﹣2ln2＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36+8ln2＝0．（Ⅱ）f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝＝，因为函数f（x）在x＝2处取得极值，所以f′（2）＝0，解得a＝，所以f（x）＝x2﹣x+lnx，f′（x）＝x﹣+＝＝，在（1，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（2，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（2）＝×22﹣×2+ln2＝﹣2+ln2，f（1）＝﹣，f（3）＝﹣+ln3，且f（1）＜f（3），所以f（x）的最大值为﹣+ln3，最小值为﹣2+ln2．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人得分超过85分的人数合计数女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.1 0.05 0.01 0.005 0.001P（K2≥k0） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【分析】（I）由图中可得，女生中不超过85的人数：超过85分的人数＝7：3，男生中不超过85分的人数：超过85分的人数＝1：1，根据男女生人数均为50人，即可补充联表的数据．（II）根据已知条件，运用独立性检验公式，即可求解．（III）运用分层抽样的方法，可知抽取的8人中男生占5人，女生占3人，且X取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）根据图可得，女生中得分不超过85分的人数50×，女生得分超过85分的人数50﹣35＝15，男生中得分不超过85分的人数，男生得分超过85分的人数25，即可得表中的数据得分超过85分的人数合计得分不超过85分的人数女生35 15 50男生25 25 50合计60 40 100（II）∵K2＝＝＞3.841，又∵α＝0.05，∴该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联．（III）由（I）可得，得奖人数中男生：女生＝5：3，从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，则男生占5人，女生占3人，则X取值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，随机变量X的分布列为X0 1 2 3PEX＝．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣e x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝1﹣e x，分析导数的正负，进而可得f（x）的单调区间．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣x+e x﹣2，求导得g′（x）＝﹣1+e x，，则若x＞0时，（x ﹣k）g′（x）+x+1＞0，转化为当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，只需k ＜h（x）min，即可得出答案．（Ⅲ）设p（x）＝x﹣lnx﹣1，求导分析单调性，最值，得p（x）≥p（0）＝0，即x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，进而可得答案．解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣e x，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）g（x）＝﹣f（x）﹣1＝﹣x+e x﹣2，g′（x）＝﹣1+e x，若x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，则x＞0时，（x﹣k）（﹣1+e x）+x+1＞0，当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，h′（x）＝+1＝，令H（x）＝e x﹣x﹣2，H′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，H′（x）＞0，H（x）单调递增，而H（1）＜0，H（2）＞0，所以H（x）在（0，+∞）内存在唯一的零点，设x0，则x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h（x0）＝+x0＝1+x0∈（2，3），所以k＜+x恒成立，所以整数k的最大值为2．（Ⅲ）证明：设p（x）＝x﹣lnx﹣1，p′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，当0＜x＜1时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，所以p（x）min＝p（1）＝0，所以p（x）≥p（0）＝0，所以x﹣lnx﹣1≥0，所以x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，所以1+++...+＞ln（n+1）．。

2021-2022学年河北省某校八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若x ▫是分式，则□可以是（ ）A.2B.3C.−6D.x +22. 下列各组图形中是全等图形的是（ ） A.B. C. D.3. 化简5x 20xy 的结果是（ ）A.14B.14xC.14yD.4y4. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（ ）A.两点之间线段最短B.垂线段最短C.两点确定一条直线D.三角形具有稳定性5. 分式1x−3与1−x 3−x 的最简公分母是（ ）A.(x −3)(3−x)B.3−xC.(x −3)2D.(3−x)26. 已知如图，两个三角形全等，则∠1等于( )A.73∘B.57∘C.50∘D.60∘7. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）A.对顶角相等B.全等三角形的对应边相等C.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等D.如果两个角都是45∘，那么这两个角相等8. 关于分式2xy3x−4y，下列说法正确的是（）A.分子、分母中的x、y均扩大3倍，分式的值也扩大3倍B.分子、分母的中x扩大3倍，y不变，分式的值扩大3倍C.分子、分母的中y扩大3倍，x不变，分式的值不变D.分子、分母中的x、y均扩大3倍，分式的值不变9. 如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（）解分式方程：xx−2−3−xx−2=1，解：x−(3−x)＝x−2…①x−3+x＝x−2…②x+x−x＝−2+3…③x＝1…④经检验：x＝1是原方程的解A.①②B.②④C.①③D.③④10. 如图，△ABC中，AB=AC，BE=EC，直接使用“SSS”可判定()A.△ABD≅△ACDB.△ABE≅△EDCC.△ABE≅△ACED.△BED≅△CED11. 已知△ABC不是等边三角形，P是△ABC所在平面上一点，P不与点A重合且又不在直线BC上，要想使△PBC与△ABC全等，则这样的P点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12. 若关于x的方程ax+1x−1=1有增根，则a＝（）A.−1B.−3C.1D.313. 如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为(a−1)m的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（）A.优选1号单位面积产量高B.优选2号单位面积产量高C.两种水稻单位面积产量相等D.优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量14. 老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是（）A.x−12x+1B.2x−1x−1C.x−12x−1D.2x+1x−1二、填空题（每小题4分，共12分）如图，已知△ABC≅△ADE，若AB＝5，AC＝2，则BE的值为________．分式3x2y9xy2化为最简分式的结果是________．如图，点O是△ABC的内一点，OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，M、N是AC上一点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠B＝100∘，则∠MON＝________．三、解答题（本大题共七个小题，满分66分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）已知：代数式4m−1．（1）当m为何值时，式子有意义？（2）当m为何值时，该式的值大于零？（3）当m为何整数时，该式的值为正整数？已知：∠α，以及线段b，c(b<c)求作：三角形ABC，使得∠BAC＝∠α，AB＝c，AC＝b．（不写作法，保留作图痕迹）小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE 的长度就是AB的长．（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程．先化简，再求值x−1x+1−x2+3x2−1，其中|x|≤1，且x为整数嘉淇同学的解法如下：（1）请指出他解答过程中开始出现的错误的步骤是________；（2）写出正确的解答过程．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AD=AB，求证：AC=AE．为了支援青海玉树人民抗震救灾，某公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？如图，AP // BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．（1）求证：AB＝AD+BC；（2）若BE＝3，AE＝4，求四边形ABCD的面积．参考答案与试题解析2021-2022学年河北省某校八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】D【考点】分式的定义【解析】根据分式的定义即可求出答案．【解答】分式的分母必须含有字母，2.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】根据全等图形的定义可得：只有B选项符合题意．3.【答案】C【考点】约分【解析】根据分式的基本性质把分子分母约去公因式5x即可．【解答】原式=5x5x⋅4y=1．4y4.【答案】D【考点】三角形的稳定性【解析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．5.【答案】B【考点】最简公分母【解析】首先把第一个分式分母变形，然后可得最简公分母．【解答】1 x−3=−13−x，最简公分母是3−x，6.【答案】C【考点】全等三角形的性质【解析】直接利用全等三角形的性质得出∠3=57∘，进而得出∠1=∠4，求出答案．【解答】解：如图所示：∵两个三角形全等，∴∠3=57∘，∴∠1=∠4=180∘−73∘−57∘=50∘．故选C.7.【答案】B【考点】命题与定理【解析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】A、逆命题为相等的角是对顶角，错误，不成立；B、逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；C、逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，错误，不成立，如22＝(−2)2，但2≠−2；D、逆命题是相等的两个角都是45∘，错误，不成立，8.【答案】A【考点】分式的基本性质【解析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】A、2×3x×3y3×3x−3×4y =9×2xy3(3x−4y)，故x、y同时扩大为原来的3倍，分式的值扩大为原来的3倍，此选项符合题意；B、2×3x×y3×3x−4y =3×2xy9x−4y，故分子、分母的中x扩大3倍，y不变，分式的值改变，此选项不符合题意；C、2×x×3y3x−3×4y =3×2xy3x−12y，故分子、分母的中y扩大3倍，x不变，分式的值改变，此选项不符合题意；D、2×3x×3y3×3x−3×4y =9×2xy3(3x−4y)，故分子、分母中的x、y均扩大3倍，分式的值扩大为原来的3倍，此选项不符合题意；9.【答案】C【考点】解分式方程【解析】分式方程解法中利用等式性质判断即可．【解答】根据等式基本性质的是①③，10.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】根据已知得出AB＝AC，AE＝AE，BE＝CE，根据SSS即可推出△ABE≅△ACE．【解答】解：∵在△ABE和△ACE中，{AB=AC, AE=AE, BE=CE,∴△ABE≅△ACE(SSS).故选C.11.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】本题是开放题，要想使△PBC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．【解答】如下图．以C点为圆心，CA为半径画弧，B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到P3；以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到P1、P2．12.【答案】A【考点】分式方程的增根【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】分式方程去分母得：ax+1＝x−1，整理得：(a−1)x＝−2，由分式方程有增根，得到a−1≠0时，x=−2a−1=1，即a＝−1，13.【答案】B【考点】分式的混合运算【解析】优选1号单位面积产量与优选2号单位面积产量差为600a2−1−600(a−1)2，利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再判断结果与零的大小可得答案．【解答】优选1号单位面积产量与优选2号单位面积产量差为：600 a2−1−600 (a−1)2=600(a−1)(a+1)(a−1)2−600(a+1)(a+1)(a−1)2=−1200(a+1)(a−1)2，∵a+1>0，(a−1)2>0，∴−1200(a+1)(a−1)<0，∴优选1号单位面积产量低于优选2号单位面积产量，即优选2号单位面积产量高，14.【答案】D【考点】分式的混合运算【解析】根据题意列出算式x+1x−1⋅xx+1+x2−1x2−2x+1，再根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】被遮住的部分是x+1x−1⋅xx+1+x2−1x2−2x+1=x+(x+1)(x−1)2=xx−1+x+1x−1=2x+1x−1，二、填空题（每小题4分，共12分）【答案】3【考点】全等三角形的性质【解析】利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】∵△ABC≅△ADE，∴AB＝AD＝5，AC＝AE＝2，∴BE＝AB−AE＝5−2＝3，【答案】x3y【考点】最简分式【解析】分子、分母约去3xy即可．【解答】3x2y 9xy2=x3y．【答案】80∘【考点】角平分线的性质等腰三角形的性质【解析】连接OB，根据全等三角形的判定得出△BCO≅△MCO，根据全等三角形的性质得出∠CMO＝∠CBO，同理∠ABO＝∠ANO，即可求出答案．【解答】连接OB，∵OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，∴∠BCO＝∠MCO，∠BAO＝∠NAO，在△BCO和△MCO中{CB=CM∠BCO=∠MCO CO=CO∴△BCO≅△MCO(SAS)，∴∠CMO＝∠CBO，同理∠ABO＝∠ANO，∵∠CBA＝∠CBO+∠ABO＝100∘，∴∠CMO+∠ANO＝100∘，∴∠MON＝180∘−(∠CMO+∠ANO)＝80∘，三、解答题（本大题共七个小题，满分66分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）【答案】若使式子有意义，则需满足m−1≠0，即m≠1；若使该式的值大于零，则4m−1>0，即m−1>0，m>1；若使该式的值为正整数，则(m−1)能够被4整除，所以m−1可以为1，2，4；即m＝2，3，5．【考点】分式有意义、无意义的条件分式的值【解析】此题可以从满足分式有意义的条件及大于零、取整等方面入手即可．【解答】若使式子有意义，则需满足m−1≠0，即m≠1；若使该式的值大于零，则4m−1>0，即m−1>0，m>1；若使该式的值为正整数，则(m−1)能够被4整除，所以m−1可以为1，2，4；即m＝2，3，5．【答案】如图，△ABC即为所求．【考点】作图—复杂作图【解析】作∠EAF＝α，在思想AE，射线AF上分别截取AB＝c，AC＝b，连接BC，△ABC即为所求．【解答】如图，△ABC即为所求．【答案】在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．故答案为：CB，DE；由题意得DG⊥BF，∴∠CDE＝∠CBA＝90∘，在△ABC和△EDC中，{∠CDE=∠CBACB=CD∠ACB=∠ECD，∴△ABC≅△EDC(ASA)，∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．【考点】全等三角形的应用【解析】（1）根据全等三角形的性质进行填空，构造全等三角形即可；（2）首先证明△ABC≅△EDC，进而可根据全等三角形对应边相等可得DE＝AB．【解答】在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．故答案为：CB，DE；由题意得DG⊥BF，∴∠CDE＝∠CBA＝90∘，在△ABC和△EDC中，{∠CDE=∠CBACB=CD∠ACB=∠ECD，∴△ABC≅△EDC(ASA)，∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．【答案】②原式=x−1x+1−x2+3(x+1)(x−1)=x2−2x+1(x+1)(x−1)−x2+3(x+1)(x−1)=−2(x+1)(x+1)(x−1)=−2x−1．【考点】绝对值分式的化简求值【解析】（1）找出错误的步骤即可；（2）写出正确的解法即可．【解答】开始出现的错误的步骤是②；故答案为：②；原式=x−1x+1−x2+3(x+1)(x−1)=x2−2x+1(x+1)(x−1)−x2+3(x+1)(x−1)=−2(x+1)(x+1)(x−1)=−2x−1．【答案】证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE.又∵∠2+∠AFE+∠E=180∘，∠3+DFC+∠C=180∘，∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，∴∠E=∠C.在△ABC和△ADE中，{∠BAC=∠DAE,∠E=∠C,AB=AD,∴△ABC≅△ADE(AAS)，∴AC=AE.【考点】全等三角形的性质与判定【解析】因∠1＝∠2，角的和差得∠ABC＝∠DAE，由三角形的内角和定理，对顶角求得∠E＝∠C，最后由角角边证明△ABC≅△ADE，全等三角形的性质求得AC＝AE．【解答】证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE.又∵∠2+∠AFE+∠E=180∘，∠3+DFC+∠C=180∘，∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，∴∠E=∠C.在△ABC和△ADE中，{∠BAC=∠DAE,∠E=∠C,AB=AD,∴△ABC≅△ADE(AAS)，∴AC=AE.【答案】设该公司原计划安排x名工人生产帐篷．20000×210+(1+25%)×(10−2−2)×(50+x)×2000010x=20000x＝750，经检验得：10×750≠0，∴x＝750是方程的解．该公司原计划安排750名工人生产帐篷．【考点】分式方程的应用【解析】设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，根据某公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成可求出原计划每天工人生产多少个，再根据工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务，可列出方程求解．【解答】设该公司原计划安排x名工人生产帐篷．20000×210+(1+25%)×(10−2−2)×(50+x)×2000010x=20000x＝750，经检验得：10×750≠0，∴x＝750是方程的解．该公司原计划安排750名工人生产帐篷．【答案】证明：延长AE交BC的延长线于M，∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AD // BC∴∠1＝∠M＝∠2，∠1+∠2+∠3+∠4＝180∘∴BM＝BA，∠3+∠2＝90∘，∴BE⊥AM，在△ABE和△MBE中，{∠3=∠4BE=BE∠AEB=∠MEB∴△ABE≅△MBE ∴AE＝ME，在△ADE和△MCE中，{∠1=∠M AE=ME ∠5=∠6；∴△ADE≅△MCE，∴AD＝CM，∴AB＝BM＝BC+AD．由（1）知：△ADE≅△MCE，∴S四边形ABCD＝S△ABM又∵AE＝ME＝4，BE＝3，∴S△ABM=12×8×3=12，∴S四边形ABCD＝12．【考点】全等三角形的性质与判定等腰三角形的性质【解析】（1）此题要通过构造全等三角形来求解，延长AE交BC的延长线于M；由AP // BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE＝∠M，即AB＝BM，因此直线证得AD＝MC即可；在等腰△ABM中，BE是顶角的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知：E是AM的中点，即AE＝EM，而PA // BM，即可证得△ADE≅△MCE，从而得到所求的结论．（2）由（1）的全等三角形可知：△ADE、△MCE的面积相等，从而将所求四边形的面积转化为等腰△ABM的面积，易得AM、BE的值，从而根据三角形的面积公式求得△ABM的面积，即四边形ADCB的面积．【解答】证明：延长AE交BC的延长线于M，∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AD // BC∴∠1＝∠M＝∠2，∠1+∠2+∠3+∠4＝180∘∴BM＝BA，∠3+∠2＝90∘，∴BE⊥AM，在△ABE和△MBE中，{∠3=∠4BE=BE∠AEB=∠MEB∴△ABE≅△MBE ∴AE＝ME，在△ADE和△MCE中，{∠1=∠M AE=ME ∠5=∠6；∴△ADE≅△MCE，∴AD＝CM，∴AB＝BM＝BC+AD．由（1）知：△ADE≅△MCE，∴S四边形ABCD＝S△ABM又∵AE＝ME＝4，BE＝3，∴S△ABM=12×8×3=12，∴S四边形ABCD＝12．。

2020～2021学年度第一学期期末七校联考高三数学出题学校：芦台一中 蓟州区第一中学第I 卷（选择题）一、单选题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合[1,2]M =，{}2230N x Zx x =∈--<∣，则M N =（ ）A ．[1,2]B ．{1,3}-C ．{1}D ．{1,2}2．对于实数a 、b ，0b a <<是11b a>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2()2e xf x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是（ ）A ．45B ．48C ．50D ．605．已知三棱锥A-BCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 3O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，3BD =，2BC =，CD = ）ABCD6．已知定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，(3)y f x =+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（ ）A ．12(10)(ln 2)f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．12(ln 2)(10)f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．12(ln 2)(10)f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．12(ln 2)(10)f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭7．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于原点O 的A ，B 两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B．y = C ．y x =± D ．2y x =±8．己知函数()2(|cos |cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题： ①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的图象关于直线4x π=对称；③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 的值域为[2,2]-，其中所有正确的编号是（ ） A ．②④B ．③④C ．①③④D ．②③9．已知函数2(43)3,0()log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩，（0a >，且1)a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x ||=-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 10．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+________．11．731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是________．（用数字填写答案）12．已知圆22:2260C x y x y +---=，直线l 过点（0，3），且与圆C 交于A 、B 两点，||4AB =，则直线l 的方程为________． 13．已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是________． 14．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X =________．15．已知扇形AOB 半径为1，60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足OP OA OB λμ=+，（λ，R μ∈），则λμ+的最大值是________；PA PB ⋅最小值是________．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =︒，b =1tan 2C =． （1）求边a ； （2）求sin(2)A B -． 17．（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，2AB =，且60DAB DBF ∠=∠=︒．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求钝二面角E-AF-B 的余弦值；（3）若M 为线段DE 上的一点，满足直线AM 与平面ABF所成角的正弦值为15，求线段DM 的长．18．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F 和2F ，离心率为12，以P 在椭圆E 上，且12PF F（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆C 右焦点2F ，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ 交椭圆于P ，记AOQ的面积为1S ，BPQ 的面积为2S ，若213S S =，求直线l 的方程．19．（本小题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且满足1236a a a +=，2434a a =，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n n S +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2238,,n n n n n n nb a n b bc a b n +++⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．20．（本小题满分16分）已知函数()ln 2xe f x x x a x=-+-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：22142121a a x x a ---<-．2020～2021学年度第一学期期末七校联考高三数学参考答案一、选择题二、填空题10．1i +11．35 12．3y =或433y x =+ 13．7+14．310，6515，32三、解答题 16．（I ）1tan 2C =且0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 5C∴=，cos 5C =，sin sin()sin cos cos sin 10A B C B C B C ∴=+=+=， sin sin a bA B=，45B =︒，b =sin sinb AaB∴=== （II ）由正弦定理sin sin c b C B=得：sin 2sin b Cc B ===，222cos 210b c a A bc +-∴===-， 又sin 10A =， 224cos 2cos sin 5A A A ∴=-=-，3sin 22sin cos 5A A A ==-，34sin(2)sin 2cos cos 2sin 525210A B A B A B ∴-=-=-⨯+⨯=17．（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， 且O 为AC 中点，FA FC =，AC FO ∴⊥，又FO BD O ⋂=，BD ⊂平面BDEF ，FO ⊂平面BDEF ，AC ∴⊥平面BDEF ．（2）连接DF ，四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，DBF ∴为等边三角形，O 为BD 中点，FO BD ∴⊥，又AC FO ⊥，BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，FO ∴⊥平面ABCD ．OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O-xyz ，如图所示，设2AB =，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2BD ∴=，AC =DBF 为等边三角形，3OF ∴=，(3,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，(0,0,3)F ，(1,0)AD ∴=--，(AF =-，(AB =-，(0,2,0)EF DB ==，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，则2223020AF n EF n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令11x =，则21z =，得(1,0,1)m =． 设平面ABF 的法向量为()222,,n x y z =，则22223030AF n x AB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令21x =，则2y =21z =，得(1,3,1)n =． 所以||10cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==． 又因为二面角E-AF-B 为钝角，所以二面角E-AF-B 的余弦值为5-（3）设(0,(0,)DM DE BF λλλλ===-=-，(01)λ≤≤，则(1,0)(0,)(1)AM AD DM λλ=+=--+-=--， 所以|||cos ,|||||5AM n AM n AM n⋅<>====⋅化简28410λλ+-=，解得：λ=．（舍） 所以12DM =． 18．【答案】（1）22143x y+=；（2）1(1)2y x =±-．【详解】解：（1）依题意，显然当P 在短轴端点时，12PF F 的面积最大为122c b ⨯⨯=即bc =12c e a ==，222a b c -=，解得24a =，23b =，21c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）因为213S S =，所以11||sin 3||||sin 22QP QB BQP QA QO AQO ∠=⨯∠‖， 所以||3||QP QO =，所以||4||OP OQ =， 当AB 斜率不存在时，21S S =，不合题意， 当AB 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，即3,4AB OP k k ⋅=-， 故直线OP 的方程为：34y x k=-， 联立2234143y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2221634P k x k =+， 联立34(1)y x k y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得22434Q k x k =+， 因为4P Q x x =224434k k =⨯+， 即214k =，解得：12k =±， 所以直线AB 的方程为1(1)2y x =±-．19．（1）依题意，由1236a a a +=，2434a a =，可得()21112321164a a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，因为0q >，所以解得12q =，112a =， 1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，*n N ∈， 对于数列{}n b ：当1n =时，111b S ==， 当2n =时，1(1)(1)22n n n n n n n b S S n -+-=-=-=， ∴当1n =时，11b =也满足上式，n b n ∴=，*n N ∈．（2）由题意及（1），可知：当n 为奇数时，22238381(2)2n n n n n n b n c a b b n n +++++⎛⎫==⨯ ⎪+⎝⎭2112(2)2n n n n +=-⨯+⨯，当n 为偶数时，12nn n n c a b n ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1321n A c c c -=++⋯+，242n B c c c =++⋯+， 则1321n A c c c -=++⋯+1335212111111112323252(21)2(21)2n n n n -+=-+-+⋯+-⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯ 1211112(21)2n n +=-⨯+⨯ 21112(21)2n n +=-+⨯， 24622462111124622222nn B c c c c n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2462221111124(22)222222n n B n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．两式相减，可得24622231111122222422222nn B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭135212211111222222n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222211122121212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯ ⎪⎝⎭- 212221112222112n n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21241332n n +⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，218341992n n B -+⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭，2122n n T c c c ∴=++⋯+()()13212462n n c c c c c c c -=++⋯+++++⋯+A B =+21211134182(21)2929n n n n -++⎛⎫=--⋅+ ⎪+⨯⎝⎭21251341184(21)92n n n -⎛⎫+⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．20．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，()ln 2xe f x x x a x=-+-，所以()22(1)(1)1()1x x x e x e x f x x x x-+-=-+='，0x >， 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)． （2）（i ）由题意可知(1)0f <，即120e a +-<，所以12e a +>， （ii ）不妨设12x x <．因为22(2)ln 222ln 222a ae ef a a a a a a a =-+-=-． 令21t a e =>+，()ln t eg t t t =-，2(1)()t e t tg t t'--=． 令()(1)th t e t t =--，则()1th t e t '=⋅-，()(1)0th t e t =⋅+'>'， 所以()h t '单调递增，又因为(1)0h e +>'，所以()h t 单调递增． 因为2(1)10e h e e++=->，所以()0g t '>，故()g t 单调递增．又因为1(1)()10e g e g e e -+>=->， 所以(2)0f a >，22x a <．设()ln 1x x x ϕ=-+，(0,)x ∈+∞， 1(1)()1x x x xϕ--=='-， 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，max ()(1)0x ϕϕ==． 所以ln 1x x ≤-，则112121111ln 212112*********a a e e f a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥+- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--， 令110,21m a e ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，所以1()0m e f m m m>->， 所以1121x a >-，所以22142121a a x x a ---<-．。