数学教师手册_广义角与极坐标

江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）》教案教学目标：1．理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；2．理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；3．已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．教学重点：极坐标系的理解与应用．教学难点：极坐标系的概念．教学过程：一、问题情境：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？练习如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：1．他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？2．如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？二、探究新知：思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：你会怎样描述图书馆．体育馆．办公楼．实验楼的相对位置？这些描述的对应位置是否惟一确定？（2）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？探究结果：（1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定．（2）到达图书馆，该位置惟一确定．（3）正东方向60m处与西北方向50m处．重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础．三、建构数学：（一）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点．引一条射线OX，叫做极轴．再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）．这样就建立了一个极坐标系．（二）极坐标的表示与注意点：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标．特别强调：ρ表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；θ表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角．特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系．们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角．③负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ．M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈四、数学应用：例1 写出下图中各点的极坐标：例2 在极坐标系中，1．已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； 2．已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈， 说明满足上述条件的点M 的所组成的图形．变式训练1．若ABC ∆的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A 2．若A ．B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积．（O 为极点）例3．已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标．⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点． 变式训练：1．在极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 ． )6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A 2在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标． 五、课堂练习：1．已知直角三角形两条直角边的长分别为6和8，选择两种不同的坐标系，表示它的顶点及外心的坐标．2．建立极坐标系，并画出点,6,4⎪⎭⎫ ⎝⎛πA ())32,3(,,1,3,5,45,3,2,2πππππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C B 3．在极坐标系中，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛67,5,32,3,6,4,6,4ππππD C B A ，则AB=_________，AC=____________，AD=___________，BC=___________，BD=_____________．4．设点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πA ，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴．直线l ．极点的对称点的极坐标（限定(]ππθρ,,0-∈>）．5．（2006年上海高考题）在极坐标系中，设O 是极点，A ．B 两点的极 坐标分别是(4,)3π．5(5,)6π-，则⊿OAB 的面积是 ． 6．在极坐标系中，已知两点2(3,),(1,)33A B ππ-，求A ，B 两点间的距离． 7．在极坐标系中，已知1122(,),(,)A B ρθρθ12(0,0)ρ>ρ>，求⊿AOB 的面积．六．回顾小结：1．建立一个极坐标系需要哪些要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向．2．极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种．是因为极角引起的．3．一点的极坐标有否统一的表达式？有．（ρ，2kπ+θ）七．课后作业：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[考纲传真] (教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第198页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标与极坐标系的概念图1在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值． 3．极坐标与直角坐标的互化4.5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b (0＜θ＜π)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．1 [由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得 2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.] 5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.(对应学生用书第199页)在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1. ∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点． 由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ＝x 即为所求直线l ′的方程．[跟踪训练] 求椭圆x 24＋y2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程.【导学号：79140385】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.① 将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1， 即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.[非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0， 即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点， 故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2， 所以实数m 的最大值为5－2.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.[跟踪训练] (2017·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.【导学号：79140386】[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.。

广义角与极坐标一、有向角有方向性的角，称为有向角，分为正角（逆时针旋转的角）及负角（顺时针旋转的角）。

二、广义角角度有正负之分，且不限于0° 与360° 之间。

三、同界角若两个广义角θ与φ，满足θ－φ＝360° × n ，n 为整数，则称θ与φ为同界角。

四、如下图所示，设θ是一个标准位置角，在θ的终边上任取一点P （x ﹐y ），且OP ＝r（r ＞0），我们定义sin θ＝yr ，cos θ＝xr ，tan θ＝yx，x ≠0。

五、单位圆上点的坐标如下图所示，P （x ﹐y ）在单位圆上，而x 轴的正向与OP 所夹的广义角为θ。

则单位圆上点P 的坐标可表示为P （cos θ﹐sin θ）。

六、广义角三角函数的性质平方关系：sin 2θ＋cos 2θ＝1。

商数关系：tan θ＝sin cos θθ。

（角θ的终边不在y 轴上）负角关系：sin （－θ）＝－sin θ，cos （－θ）＝cos θ， tan （－θ）＝－tan θ。

（角θ的终边不在y 轴上） 补角关系：sin （180°－θ）＝sin θ，cos （180°－θ）＝－cos θ， tan （180°－θ）＝－tan θ。

（角θ的终边不在y 轴上） 余角关系：sin （90°－θ）＝cos θ，cos （90°－θ）＝sin θ。

同界角：sin （360° × n ＋θ）＝sin θ，cos （360° × n ＋θ）＝cos θ， tan （360° × n ＋θ）＝tan θ。

七、直角坐标与极坐目标转换(1)若P 点的极坐标为[r ﹐θ]，则直角坐标为（x ﹐y ）＝（r cos θ﹐r sin θ）。

(2)若P 点不是原点且直角坐标为（x ﹐y ），则极坐标为[r ﹐θ]，其中r cos θ＝x r ，sin θ＝yr。

广义角与极坐标主题1广义角搭配课本P.22～P.251.有向角：一个夹角的两边为始边与终边，开始旋转的位置为始边，停止旋转的位置为终边，若旋转的方向为逆时针旋转则称为正角；若旋转的方向为顺时针旋转则称为负角，而旋转的圈数不予限制。

例：(1)始边为OX，终边为OA，且有向角为120°(2)始边为OX，终边为OB，且有向角为－150°注：①如上述条件所定义的夹角，亦称为广义角。

②若角的顶点为原点，始边在x轴的正向上，则称此角为标准位置角。

③若终边落在第几象限，则称此角为第几象限角。

④若终边落在坐标轴上时，则称此角为轴上角（象限角）。

例：(1)轴上角：270°(2)轴上角：－180°2.同界角：若两个广义角θ与φ有共同的始边与终边时，即θ与φ的角度相差360°的整数倍时（θ－φ＝360°×n，n为整数），则称θ与φ为同界角。

例：200°与560920200360(160)520000)236(nknk︒︒︒︒⨯⎧⎨︒︒︒︒⨯⎩，，為整數為整數，＋－，－，，－，皆为同界角，其中200°为最小正同界角，－160°为最大负同界角。

范例1同界角搭配课本例题2试求下列广义角的同界角θ，使0°≤θ＜360°。

(1)980°(2)－700°解(1)∵980°＝360°×2＋260°∴所求同界角θ为260°(2)∵－700°＝360°×（－2）＋20°∴所求同界角θ为20°类题试求下列广义角的同界角θ，使0°≤θ＜360°。

(1)2012°(2)－1019°解(1)∵2012°＝360°×5＋212°∴所求同界角θ为212°(2)∵－1019°＝360°×（－3）＋61°∴所求同界角θ为61°范例2同界角的判断搭配课本例题2下列何者是45°的同界角？ (A)2115°(B)－2115°(C)1215°(D)－1215°(E)405°。

1-2教学重点（教学时数：4～5节）●核心内容1. 推广“角的定义”，介绍广义角的概念。

2. 广义角的度量可为任意实数，因旋转方向不同，而有正角与负角之分(统称有向角)。

3. 将广义角置于坐标平面上，介绍标准位置角，而引进象限角的概念。

4. 标准位置角的终边有可能相同，而引进同界角的概念。

5. 将锐角的正弦、余弦与正切推广到广义角的正弦、余弦与正切。

6. 讨论－θ，180°±θ，90°±θ与θ的正弦、余弦、正切间的关系。

7. 任何广义角的正弦、余弦与正切可透过其参考角求得。

8. 介绍广义角的正弦、余弦与正切之间的关系。

9. 能够使学生了解弧度制的意义。

10.介绍极坐标的概念，并与直角坐标作互换。

●数学方法1. 具备平面坐标的概念。

2. 特别角的正弦、余弦与正切。

3. 比值的求法。

●数学思维1. 正负角是以逆时针与顺时针旋转方向作区分。

2. 由直角三角形的边长比，过度到点坐标与该点到原点的距离之比。

3. 任何广义角的正弦、余弦与正切可归结到利用其参考角来求。

1. 广义角讲课要点1. 推广“角”的定义，以利于更广泛的应用。

(1) 从运动物体旋转的角度，引进广义角。

(2) 考虑运动物体旋转的角度，不但有始边与终边之分，而且有旋转方向之别，因此就产生了正负角（有向角）。

2. 谈论有向角时，始边与终边有时不是重要的，因此可以其旋转角度来代替，如225° ( 正角) 或－120° ( 负角)。

3. 所有的有向角都可算是广义角。

补充例题从下午1点到3点30分，时针与分针旋转所成的有向角各是多少？解：分针旋转所成的角度为－900°；时针旋转所成的角度为－75°。

4. 如果进一步将广义角置于坐标平面上，使得它的顶点与原点重合，它的始边放在x轴的正向上，称为标准位置角，而有象限角的名称。

(1) 终边落在第一、二、三、四象限，就分别称为第一、二、三、四象限角。

三角壹﹑教学目标与节数贰﹑教材地位分析参﹑教学摘要本章由锐角的正弦﹑余弦﹑正切函数开始介绍﹐进而了解正弦﹑余弦﹑正切函数之间的基本关系﹐并逐步引入广义角三角函数的概念。

其次﹐再由三角形的边角关系导出正弦定理与余弦定理及海龙公式。

接着介绍差角公式与和角公式﹐并引进倍角及半角公式。

最后介绍基本的三角测量。

本章共分五节﹐内容重点如下：1-1直角三角形的边角关系1. 直角三角形边的比例：固定θ之直角三角形﹐不论大小﹐其任两边长的比值恒为定值﹐依此定义正弦﹑余弦及正切；介绍30°﹐45°﹐60°之正弦﹑余弦﹑正切值及一些简单求值问题。

2. sin θ﹐cos θ﹐tan θ的性质：根据正弦﹑余弦及正切函数之定义﹐引出商数关系﹑平方关系﹑余角关系﹐利用这些关系式﹐能处理求值问题及证明简单三角恒等式。

3. 锐角的三角函数：透过特殊角函数值及四分之一单位圆的图形﹐能了解θ为锐角时﹐当θ增加﹐正弦值变大﹐余弦值变小﹐正切值变大之事实；并建立当θ确定时﹐正弦﹑余弦及正切唯一确定之函数关系。

1-2广义角与极坐标1. 广义角：介绍广义角之定义﹐再介绍标准位置角及同界角之定义。

2. 广义角的三角函数：在标准位置角之终边上取一点﹐利用该点坐标及其至原点的距离来定义广义角的三角函数；并能判断正弦﹑余弦及正切函数在不同象限之正负情形并求值。

3. 广义角三角函数的性质：根据正弦﹑余弦及正切函数之广义角定义﹐可得商数关系及平方关系；接着再利用负角关系﹑补角关系﹑余角关系及同界角关系﹐得将任意角度以参考角来表示的公式。

4. 极坐标：介绍极坐目标表示法﹐并能将极坐标所表示的点与直角坐目标点互相转换。

5. 弧度：藉由观察弧長半徑的大小与圆心角的大小成正比，且这个比值与单位无关，也与圆形的大小无关，因此我们可以利用此值来衡量角度的大小，此即弧度的概念；其次让学生了解角度有弧度量与度度量两种表示方式，并能熟练单位换算。