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知识总结一、角的概念的推广1.角的定义（1）一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．（2）“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．2.“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.第一象限角：｛α|k360o π＜α＜k360o +90o ,k ∈Z ｝第二象限角：｛α|k360o +90o ＜α＜k360o +180o ,k ∈Z ｝第三象限角：｛α|k360o +180o ＜α＜k360o +270o ,k ∈Z ｝第四象限角：{α|k360o +270o ＜α＜k360o +360o ,k ∈Z ｝角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限。
3．终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意以下四点：(1)Z k ∈(2) α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二、弧度1、定义用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
1弧度的角指的是弧长与半径相等的圆弧所对应的圆心角，记作1rad 。
⑴平角=π rad 、周角=2π rad⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶圆心角α的弧度数的绝对值r l =α（l 为弧长，r 为半径） 2.角度制与弧度制的换算：360︒=2πrad180︒=π rad1︒=rad rad 017453.0180≈π 8.447157)180(1'''︒≈︒=πrad 3.两个公式（1）弧长公式：α⋅=r l 180r n l π= 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式lR S 21=3602R n S π=扇 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径3、任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线 有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线四、三角函数的基本关系1、平方关系：sin2α+cos2α=1;2、商数关系：五、三角函数的诱导公式口诀：奇变偶不变，正负看象限例题题型一角的集合表示及象限角的判定【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【例2】已知点P(sin 5π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( ) A．一B．二C．三 D．四题型二三角函数的定义【例3】已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.【例4】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝()．A．－45B．－35C.35D.45三、弧度制的应用【例5】4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【例6】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.四、三角函数线及其应用【例7】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.【例8】求下列函数的定义域：(1)y＝2cos x－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．题型五、利用诱导公式化简、求值【例9】已知tanθ＝2，则sin(π2＋θ)－cos(π－θ)sin(π2－θ)－sin(π－θ)＝()A. 2B. －2C. 0D. 2 3【例10】已知角α终边上一点P(－4,3)，则cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．题型六、同角三角函数关系的应用【例10】已知tan α＝2.求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.题型七三角形中的诱导公式【例11】在△ABC中，sin A＋cos A＝2，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．若将例11的已知条件“sin A＋cos A＝2”改为“sin(2π－A)＝－2sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．课下作业一、选择题1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在()．A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )3．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A ．－55B.255C ．－255 D ．－124．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12C.32 D ．±327．若cos α＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于 ( )A. －24B. 24C. －22D. 2 28．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22二、填空题9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________10．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.11．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为________．三、计算题12、已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．13、已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.14、若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．15、已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.。
高中三角函数讲义概述及解释说明1. 引言1.1 概述在高中数学课程中，三角函数是一个重要的内容。
它是研究角度和三角形等几何图形性质的基础工具，并且在实际生活中有广泛的应用。
掌握三角函数的定义、性质以及其在解决实际问题中的应用是每位高中生数学学习的必备知识。
1.2 文章结构本文将围绕高中三角函数展开讲述。
首先，我们将介绍高中三角函数的基本概念，包括角度和弧度的概念以及正弦、余弦和正切的定义。
然后，我们将探讨三角函数之间的关系与公式推导，包括同一角度不同三角函数之间的关系与变化规律，倍角、半角以及相关角公式推导与应用，以及其他三角函数如割、减等的公式与性质说明。
接下来，我们将着重介绍高中三角函数在解决实际问题中的应用，例如测量和测绘领域、机械工程和建筑设计领域，以及物理学和天文学领域。
最后，在结论部分，我们将对主要内容进行总结与回顾，并提出对高中三角函数学习的建议以及进一步研究方向的展望。
1.3 目的本文的目的是为高中生提供一份全面且易懂的三角函数讲义，帮助他们掌握高中三角函数相关知识，并能够将其应用于实际问题解决中。
通过本文的学习，读者将能够理解三角函数在几何图形、物理和工程等领域的重要性，并从中获得启示，拓宽自己在数学领域的思维方式和解决问题的能力。
2. 高中三角函数的基本概念：2.1 角度和弧度的概念：在高中数学中，我们常常用角度来表示一个角的大小。
角度是以度（°）为单位来衡量的，一个圆共有360°。
但在三角函数的研究中，也经常使用弧度来表示角的大小。
弧度是单位圆上与它所对应的弧长相等的一段弧所对应的长度，常用符号“rad”表示。
一周对应的弧长为2π，即一个圆心角为360°或2π弧度。
2.2 正弦、余弦和正切的定义：在三角函数中，最基本的三个函数是正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
这些函数可以通过单位圆上点的坐标来定义。
正弦函数(sin)：给定一个角θ，在单位圆上以θ作为终边所对应点(x, y)的y坐标即为该角θ的正弦值。
三角函数讲义（最新）三角函数复习讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=yx，定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in-απ2=co s α, co s ??-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间??+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。
三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； 在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减 对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。
专题16 三角函数的概念及诱导公式知识点一、同角三角函数的基本关系 (1)知识点二、三角函数的诱导公式 (1)知识点三、有关三角函数的常用结论 (2)题型01：同角三角函数的基本关系式 (2)题型02：sinα±cosα与sinαcosα的关系及应用 (6)题型03：利用诱导公式化简求值 (10)题型04：同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用 (13)知识点一、同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商数关系：tan x＝sin xcos x⎝⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ＋π2，k∈Z.知识点二、三角函数的诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan αtan_α－tan_α－tan_α知识点三、有关三角函数的常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.题型01：同角三角函数的基本关系式【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin c sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．【典例1】（1）（2021·镇原中学高一期末）若1sin 2α=，π(,π)2α∈，则cos α= 。
广义勾股定理和广义三角函数1 广义勾股定理勾股定理是古希腊数学家勾股提出的一个几何定理，它给出了在实数域中直角三角形的关系：三条边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
广义勾股定理是勾股定理的一般形式，它是指一般形式多项式中有一个系数为负的情况，它的一般形式是：ax²+by²+cz²+2fyz+2gzx+2hxy = 0。
其中a,b,c不全同时为0，并且f2+g2-ah≠0（a,b,c,h为非零实数）。
2 广义三角函数广义三角函数是一个多元函数，由多个三角函数组合而成，包括余弦函数、正弦函数、正切函数等。
广义三角函数也被称为N-象限函数，按照也可以将其分为三类：两象限函数、混合象限函数和四象限函数。
其中，两象限函数是一元函数，是正弦函数和余弦函数的线性组合；混合象限函数是二元函数，是λ+μ Cosx 和λ Cosx+μ Siny 的组合；四象限函数是三角函数的非线性组合。
我们把每种函数分别称为cosx,sinx,tanx,cotx,secx,cscx。
其中，cosx也称射函数，tanx也称归函数，这三类函数在平面几何和解三角形中都发挥了重要的作用。
广义三角函数还包括其他几类，如四象限函数、超象限函数等，这些函数可以用于求解多元微分方程以及复素的数学计算。
这些函数应用于工程学、生物学、航空航天等领域，在科学技术的发展中发挥了重要的作用。
总之，广义勾股定理表明的的结果在很多数学问题上都有所应用，而广义三角函数更是我们研究微分方程、解多元方程等数学问题不可或缺的帮手。
三角函数的广义定义与性质三角函数是数学中一类重要的特殊函数，在数学、物理、工程等学科中有着广泛的应用。
它们的广义定义和性质对于深入理解和应用三角函数是至关重要的。
本文将对三角函数的广义定义和性质进行讨论。
一、正弦函数和余弦函数的广义定义在直角三角形中，正弦函数和余弦函数是首先被引入并定义的。
对于任意给定角度θ，我们定义正弦函数sinθ和余弦函数cosθ如下：sinθ = 垂直边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边其中，斜边表示直角三角形的斜边长度，垂直边和邻边分别表示与给定角度θ相关的直角三角形中垂直于θ的边和与θ相邻的边的长度。
二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即在每个2π的区间内，函数的值重复。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 介于-1和1之间：对于任意角度θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1，-1 ≤ cosθ ≤ 1。
4. 正交性：正弦函数和余弦函数在不同角度上是正交的，即∫[0, 2π] sinθcosθ dθ = 0。
三、正切函数和余切函数的广义定义基于正弦函数和余弦函数的广义定义，我们可以引入正切函数和余切函数，它们分别定义如下：tanθ = sinθ / cosθ = 垂直边 / 邻边cotθ = cosθ / sinθ = 邻边 / 垂直边其中，正切函数tanθ等于正弦函数sinθ与余弦函数cosθ的比值，余切函数cotθ等于余弦函数cosθ与正弦函数sinθ的比值。
四、正切函数和余切函数的性质1. 周期性：正切函数和余切函数的周期均为π，即在每个π的区间内，函数的值重复。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ；余切函数也是奇函数，即cot(-θ) = -cotθ。
3. 无定义点：正切函数在所有使得余弦函数为零的点上无定义，即在θ = (2n+1)π/2处，n为整数；余切函数在所有使得正弦函数为零的点上无定义，即在θ = nπ处，n为整数。
（word完整版）⾼中数学专题系列三⾓函数讲义§1.1.1、任意⾓1、正⾓、负⾓、零⾓、象限⾓的概念.2、与⾓α终边相同的⾓的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形⾯积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意⾓的三⾓函数1、设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为⾓α终边上任意⼀点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三⾓函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊⾓0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三⾓函数值.§1.2.21、平⽅关系：1cos sin 22=+αα 2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三⾓函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最⼤最⼩值、对称轴、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.3、会⽤五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，⽆周期性π2=T π2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴⽅程：2x k ππ=+对称中⼼(,0)k π对称轴⽅程：x k π= 对称中⼼(,0)2k ππ+⽆对称轴对称中⼼,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三⾓函数的周期，对称轴和对称中⼼函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中⼼，只需令()2x k k Z πω?π+=+∈与()x k k Z ω?π+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类⽐可得.4、由图像确定三⾓函数的解析式利⽤图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,?要⽤图像的关键点来求.§1.6、三⾓函数模型的简单应⽤（要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两⾓差的余弦公式§3.1.2、两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=αα2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα+=-= 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三⾓恒等变换1、注意正切化弦、平⽅降次.2、辅助⾓公式)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a=).解三⾓形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=⽤途：⑴已知三⾓形两⾓和任⼀边，求其它元素；⑵已知三⾓形两边和其中⼀边的对⾓，求其它元素。
《三角函数应用》讲义一、三角函数的基本概念在数学的广阔领域中，三角函数是一类非常重要的函数。
它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
正弦函数 sin 是指在一个直角三角形中，某个锐角的对边与斜边的比值。
余弦函数 cos 则是该锐角的邻边与斜边的比值。
正切函数 tan 是对边与邻边的比值。
这些函数的定义域和值域都有特定的范围。
例如，正弦函数和余弦函数的值域都在－1 到 1 之间。
二、三角函数的图像和性质（一）正弦函数图像正弦函数的图像是一个周期为2π 的波浪形曲线。
它在 x ＝ 0 时取值为 0，在 x ＝π/2 时取值为 1，在 x ＝π 时取值为 0，在 x ＝3π/2 时取值为－1，然后在 x ＝2π 时又回到 0，如此循环。
正弦函数具有奇偶性，是一个奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)。
（二）余弦函数图像余弦函数的图像也是周期为2π 的曲线，不过它在 x ＝ 0 时取值为 1，在 x ＝π/2 时取值为 0，在 x ＝π 时取值为－1，在 x ＝3π/2 时取值为0，在 x ＝2π 时又回到 1。
余弦函数是偶函数，即 cos(x) ＝ cos(x)。
（三）正切函数图像正切函数的图像是一个周期为π 的波浪形曲线，但它在一些特定的点上没有定义，比如 x ＝π/2 ＋kπ（k 为整数）。
三、三角函数的应用实例（一）测量高度在实际生活中，如果我们想要测量一座山或者建筑物的高度，但又无法直接测量时，三角函数就可以派上用场。
假设我们站在离建筑物一段距离的地方，测量出我们与建筑物底部的水平距离，以及我们仰望建筑物顶部的仰角。
通过三角函数的正切关系，就可以计算出建筑物的高度。
例如，我们站在离建筑物 100 米的地方，仰角为 60°。
那么建筑物的高度 h 就可以通过 tan 60°＝ h ／ 100 计算得出。
（二）航海中的方向和距离计算在航海中，船只的航行方向和距离的计算经常用到三角函数。
广义的三角函数截至目前为止，我们所面临的角度问题主要是介于︒0至︒180之间，但是在日常生活或测量中，讨论的角度可能不限于︒0至︒180之间，例如：时钟时针、分针的转动角度，因此我们必须将角度的定义推广，以处理一些更复杂的问题。
在平面上，将一条射线OA 绕着端点O 旋转至另一条射线OB 的位置，即形成有向角AOB ∠，其中射线OA 称为始边，射线OB 称为终边，O 为顶点。
依照始边到终边旋转的方向不同，可分成下列两种情形：◆逆时钟方向旋转所成的角称为正向角，如下图(a)，AOB ∠逆时钟旋转了︒150，即︒+=∠150AOB (+号可省略)。
A始邊圖(a)A始邊圖(b)❖顺时钟方向旋转所成的角称为负向角，如上图(b)，AOB ∠顺时钟旋转了︒150，即︒-=∠150AOB 。
由始边转到终边的旋转量，即是有向角的角度，可以是逆时钟旋转的正向角：︒15、︒270、︒390、︒1000，或是顺时钟旋转的负向角：︒-45、︒-230、︒-360、︒-1000等，像这样打破︒0至︒180界限的角度，我们称之为广义角。
当我们将一个广义角θ的顶点置于坐标平面上的原点，始边置于x 轴的正向上时，则称θ为标准位置角。
若标准位置角的终边落在第一、二、三、四象限时，分别称θ为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角；又终边落在座标轴上，称θ为象限角。
在座标平面上讨论有向角时，通常会将有向角的角度标示在终边上，如右图(c)，其中有向角︒50与︒410的终边落在同一位置上，像这样具有共同始边和终边的有向角称之为同界角。
ㄧ般而言，任意两个同界角的角度相差︒360的整数倍，所以他们具有以下的关系：若有向角θ与ϕ是同界角，则︒⨯=-360n ϕθ，其中Z ∈n例题1找出下列各有向角的同界角θ，使0︒≤ θ<360︒．xy﹝即找出下列各有向角的最小正同界角﹞(1)1234︒． (2)1440︒． (3)－123︒． (4)－2000︒． (5)327︒．练习1写出下列各有向角的最小正同界角．(1)9876︒． (2)－234︒． (3)－1234︒．Ans ：(1)156︒． (2)126︒． (3)206︒．例题2设θ为第二象限角﹐则3θ可能为第几象限角？练习2若θ为第二象限角﹐则2θ可能为第 一﹐三 象限角.在2-1时，我们利用直角三角形的任两边长来定义锐角θ的六个三角函数值，当θ推广至广义角时，其三角函数值又是怎么定义的呢？在坐标平面上，我们讨论一标准位置角AOP ∠，如图(d)，当终边OP 落在第一象限，则θ为一锐角，选定终边上一点()y x P ,且令22y x r OP +==，此时r y=θsin 、rx =θcos 。
若角θ不限定为锐角，而是任意有向角，如：︒0、︒50、︒90、︒130、︒180、︒237或是︒-70、︒-165等，则点()y x P ,可能落在每一个象限或是坐标轴上，而y x ,就不恒为正数，亦可能为0，如图(e)，此时仍定义ry =θsin 、rx =θcos 。
根据上述的定义，我们先做进一步说明，当广义角θ的终边决定后，其θsin 与θcos 値不会受到点P 在终边上位置的影响。
θ若选定1==r OP 时，y y==1sin θ且x x==1cos θ，则()()θθsin ,cos ,=y x P ，因此我们可以说，设θ是一个有向角的角度，则此有向角的终边与单位圆的交点就是()θθsin ,cos 。
例如：◆=︒0sin ；=︒0cos ❖=︒90sin ；=︒90cos对任意有向角θ来说，θsin 与θcos 已经有了定义，我们再仿照锐角三角函数间的倒数与商数关系来定义广义角θtan 、θcot 、θsec 与θcsc ： 当θcos 0≠时，定义θtan θθcos sin =，θsec θcos 1=。
当θsin 0≠时，定义θcot θθsin cos =，θcsc θsin 1=。
而当有向角θ使0cos =θ时，则不定义θtan 与θsec ；0sin =θ时，则不定义θcot 与θcsc 。
在此，我们先归纳出有向角θ是第一、第二、第三、第四象限角时，θsin 、、tan θ、cot θ、sec θ、csc θ的正负符号： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角θsin θcos θtanθcot θsecθcsc接着，我们观察一些角度的关系，以辅助求出广义角的三角函数值。
当θ为一锐角时，第二象限角θ-︒180的终边与第一象限角θ的终边对称于y 轴，第三O圖(g)xyθ()θθsin ,cos P ϕ()ϕϕsin ,cos P '1象限角θ+︒180的终边与θ的终边对称于原点，第四象限角θ-的终边与θ的终边对称于x 轴，由于终边对称，终边与单位圆的交点亦会对称，因此可得以下结果：xy)θ()((θ-︒sin ,180cos ())θ-()((θ+︒sin ,180cos◆()=-︒θ180sin ， ()=-︒θ180cos ()=-︒θ180tan ， ()=-︒θ180cot ()=-︒θ180sec ， ()=-︒θ180csc ❖()=+︒θ180sin ， ()=+︒θ180cos ()=+︒θ180tan ， ()=+︒θ180cot ()=+︒θ180sec ， ()=+︒θ180csc ♦()=-θsin ， ()=-θcos ()=-θtan ， ()=-θcot ()=-θsec ， ()=-θcsc由以上结果可以知道，对于任意一终边不在坐标轴的有向角皆可利用对称关系找到其相对应的一锐角，并配合各象限角其三角函数值正负关系便可轻易求出广义角的三角函数值囉！ 例题3求出下列各角度之三角函数值。
练习3试求下列各式之値：(1)︒+︒-︒+︒0sin 50sec 4270cot 2360tan = -4(2)︒︒+︒︒+︒︒270cos 90csc 45tan 180cos 360cos 270sin = -2例题 4坐标平面上，设P 点在有向角150︒ 的终边上，且P 点距离原点4 单位， 求P 点坐标． Ans ：()2,32-P我们根据了锐角三角函数的倒数与商数关系定义出了广义角θ之θtan 、θcot 、θsec 与θcsc ，那么对于广义角来说，平方关系是否仍成立呢？答案是肯定的，理由如下：如图所示，可得cos 2 θ+sin 2 θ=1，因此cos 与sin 的平方关系成立． 又 当cos θ ≠0 时，sec 2θ－tan 2θ = 21cos θ－22sin cos θθ＝221sin cos θθ－＝22cos cos θθ = 1当sin θ ≠0 时，csc 2θ－cot 2θ =21sin θ－22cos sin θθ＝221cos sin θθ－＝22sin sin θθ =1．因此，θsec 与θtan 以及θcsc 与θcot 的平方关系也成立。
例题5(1)已知sin θ =13， 求cos θ 与tan θ 的值． (2)已知tan θ =－2， 求sin θ 与cos θ 的值． 练习5 已知cos θ =45， 求sin θ 与tan θ 之值． Ans ：(1)θ在第一象限，sin θ＝35，tan θ＝34． (2)θ在第四象限，sin θ＝35－，tan θ＝34－．在这一节的最后，我们要讨论的是角度与三角函数间的转换关系。
θ+︒360与θ的转换关系由于同界角具有相同的始边与终边，所以由广义角三角函数的定义可知：同界角的三角函数值相等，即()Z ∈nx(cos y()()()()()()θθθθθθθθθθθθcsc 360csc ,sec 360sec cot 360cot ,tan 360tan cos 360cos ,sin 360sin =+︒=+︒=+︒=+︒=+︒=+︒ θ-︒360与θ的转换关系由于θ-︒360与θ-是同界角的关系，因此它们的三角函数值相等，所以有()()θθθsin sin 360sin -=-=-︒； ()()θθθcos cos 360cos =-=-︒；()()θθθtan tan 360tan -=-=-︒； ()()θθθcot cot 360cot -=-=-︒； ()()θθθsec sec 360sec =-=-︒； ()()θθθcsc csc 360csc -=-=-︒。
在之前我们已讨论过锐角θ与θ±︒180的转换关系，但事实上，不论θ是任何有向角皆有相同的转换关系，因θ的终边与θ±︒180的终边之对称关系不因θ的大小而改变，所以我们有如下的关系：()θθsin 180sin -=+︒，()θθcos 180cos -=+︒ ()θθtan 180tan =+︒，()θθcot 180cot -=+︒ ()θθsec 180sec -=+︒，()θθcsc 180csc -=+︒ ()θθsin 180sin =-︒，()θθcos 180cos -=-︒ ()θθtan 180tan -=-︒，()θθcot 180cot -=-︒ ()θθsec 180sec -=-︒，()θθcsc 180csc =-︒而藉由θ±︒180角与锐角θ的关系，可推出θ±︒90、θ±︒270与锐角θ的关系：若θ是锐角，()()()()θθθcos sin 90sin ==+︒Ox θ()()()θθ+︒+︒90sin ,90cos y 1θ+︒90()θθsin ,cos()()()()θθθθsin 90cos 90180cos 90cos -=-︒-=+︒-︒-=+︒ 虽然在此讨论的θ是锐角，但对于任意有向角来说，上述的关系依然会成立。
而根据商数与倒数关系，我们可以推得另外四个三角函数的转换公式，并整理如下：因为()θθ±︒+︒=±︒90180270，所以相关的讨论可以利用前面的结论推得，此部份的证明请你自行练习推导，仅叙述结果如下：例题 6试求下列各三角函数的値。
(1)︒1035cot (2)︒390sec (3)()︒-210cos (4)()︒-1020tan 例题 7试求下列各式之値：(1)sin1590︒cos(－1860︒)＋tan1395︒cot(－960︒)(2)()()()()()θθθθθ-︒+︒++︒+︒-︒360sin 90cos 270tan 180cos 180sin练习7(1)tan330︒⨯sin2190︒⨯cos(－1395︒)＝126-(2)()()()()()()θθθθθθ+︒-︒⨯-︒+︒⨯+︒+︒180csc 180cos 270sin 90tan 90cos 180tan = -1例题 8若32sin =θ且︒<<︒18090θ，试求下列各値： ()θ+︒810sin ()θ+︒450cos ●()θ-︒630sin ❍()θ+︒990cos 练习8若54cos -=θ且︒<<︒270180θ，试求下列各値：()θ+︒450cot ()θ+︒1170sec ●()θ-︒1350tan ❍()θ+︒990cscAns: 43- 35 ●34 ❍45例题 9设cos100︒＝k ﹐试以k 表示以下各值：(1)sin(－170︒)＝__________. (2)cot(－80︒)＝_________.练习 9设sin(－100︒)＝k ﹐则cot260︒ .例题 10cos1︒＋cos2︒＋cos3︒＋……＋cos179︒＋cos180︒＝__________.练习 10sin1︒＋sin2︒＋sin3︒＋……＋sin179︒＋sin180︒＋sin181︒＋……＋sin359︒＋sin360︒＝ 0 .。
