数理统计复习题解答

数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。

8、设总体X 具有连续的分布函数()F x ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量1, , (1,2,,)0, i i i X Y i n X μμ>⎧==⎨≤⎩试确定统计量1ni i Y =∑的分布.解 由题意知(1,)i Y B p ，()1()1i i p P X P X μμμ=>=-≤=-， 1,2,,i n = .从而由二项分布定义知1(,)ni i Y B n p =∑ .14、设125,,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的样本.1)、试确定常数11,c d ，使得2221121345()()()c X X d X X X n χ++++ ，并求出n ;2)、试确定常数2c ，使得222212345()/()(,)c X X X X X F m n +++ ，并求出m 和n .解 1)、由题意知：12(0,2)X X N + ，345(0,3)X X X N ++(0,1)N，(0,1)N .故有：222(2)χ+ .即2221234511()()(2)23X X X X X χ++++ . 由上得：1111,,223c d n ===. 1)、由题意知：22212(2)X X χ+ ，345(0,3)X X X N ++22(1)χ .故有：221222(2,1)X X F + ，即221223453()2(2,1)()X X F X X X +++ . 由上得：23,2,12c m n ===.19、设12,,,n X X X 是来自总体[,]X U a b 的样本，试求：1)、(1)X 的密度函数;2)、()n X 的密度函数.解 因为[,]X U a b ，所以X 的密度函数与分布函数分别为1, [,],()0, [,],x a b f x b ax a b ⎧∈⎪=-⎨⎪∉⎩0, ,(), ,1, .x a x a F x a x b b a x b ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨-⎪>⎪⎩ 因此所求的(1)1()(1())()n f x n F x f x -=-11(1), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧-∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,],n n n b x x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩()1()(())()n n f x n F x f x -=11(), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,].n nn x a x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩21、设121,,,,,,m m m n X X X X X ++为来自总体2(0,)X N σ 的一个样本，试确定下列统计量的分布：1)、1miX Y =、21221mi i m ni i m n X Y m X =+=+=∑∑;3)、223221111()()mm n i i i i m Y X X m n σσ+==+=+∑∑. 解 1）、由2(0,) 1,2,,,1,,i X N i m m m n σ=++ ，知：21(0,)m i i X N m σ=∑ ，21(0,)m ni i m X N n σ+=+∑(0,1)miXN ∑ ，221()m ni i m X n χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑ . 1)、1()mmiimiXXX Y t n ===∑∑ ;2)、22122121222211122(,)mmii mii i i m nm nm ni i i i m i m i m XXn X n m Y F m n mm X X X nσσσσ===+++=+=+=+===∑∑∑∑∑∑;3)、222223221111()()(2)m m niimm ni i i i m XXY X X m n χσσ++==+=+=+∑∑∑∑22、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X ，2S 为样本方差，问样本容量n 取多大能满足22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭？ 解 已知：222(1)(1)n S n χσ-- ，由所求的22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭有： 0.95(1)32.67n χ-=.查表得0.95(21)32.67χ=.故有121n -=即22n =.23、从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，2212,S S 分别为两样本方差，求2122 2.39S P S ⎛⎫> ⎪⎝⎭.解 由题意可得2122(19,14)S F S ，易得221122222.391 2.39S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由上知2.39为(19,14)F 的分位数，即(19,14) 2.39p F =.查表得0.95(19,14) 2.39F =.于是2122 2.390.95S P S ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.故所求的221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1, a ,3);,0, x b f x a b a b b a ⎧≤≤⎪=<-⎨⎪⎩未知；其他，解矩估计法：因为总体X 的数学期望为,2a bEX +=方差()212b a DX -=所以 ()2*2,2,12a bX b a M +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得11a X b X ⎧=⎪⎨=+⎪⎩. 最大似然估计法：因为该总体X 的密度函数为()1, a ,;,0, x b f x a b a b b a ⎧≤≤⎪=<-⎨⎪⎩未知；其他，则该总体决定的似然函数为()()()()()1211, a ,1,2, ,,;,,;,0, ni n n i i x b i n b a L a b L a b x x x f x a b =⎧≤≤=⎪-==∏=⎨⎪⎩其他， 因为似然方程()()1ln ,0n L a b nab a +∂==∂-，()()1ln ,0n L a b nbb a +∂-==∂-，显然似然方程关于,a b 无解.这时利用似然估计的定义，当()1,2, i a x b i n ≤≤= 时，有()()()12n a x x x b ≤≤≤≤≤ ，则()()()()()()12111,,;,,n nnnL a b L a b x x x b a x x ==≤-- ，显然当 ()21a X =， ()2n b X =时，可使似然函数取最大值，因此,a b 的最大似然估计为，()211min i i na X X ≤≤==， ()21max i n i nb X X ≤≤==. ()()()228);11,x f x x θθθ-=--其中2,3,,0 1.x θ=<<解 矩估计法：因为总体X 的数学期望为()()222211x x X x x θθθ+∞-==⋅--=∑E ，所以2X θ=，得到 12Xθ=. 最大似然估计法：因为总体X 的分布密度为()()()22;11,x f x x θθθ-=--其中2,3,,0 1.x θ=<<则该总体决定的似然函数为()()()()()221211;,,;11i nnx n i i i i L L x x x f x x θθθθθ-====∏=∏-- ，其中2,3,,0 1.i x θ=<<当2,3,01i x θ=<< 时知()0L θ>，两边取对数得()()()11ln ln 12ln 2ln 1nn i i i i L x n x n θθθ==⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭∑∑，两边对θ求导得()1ln 21201n i i d L n x n d θθθθ=-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭∑ 令()ln 0d L d λλ=，得到 22Xλ=.12.设总体()2,X N μσ ，12,,,n X X X 为其样本，1)求常数k ，使 ()122111n i i i X X k σ-+==-∑为2σ的无偏估计量；2)求常数k ，使 11n i i X X k σ==-∑为σ的无偏估计量. 解1) ()()()()()()11222211111112n n i i i i i i i i E E x x E x E x E x E x k k σ--+++==⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑()()()()()()12211111[]2[]n i i i i i i i D x E x E x E x D x E x k -+++=⎡⎤=+-++⎣⎦∑()2122222212112n i n k kσσμμσμσ-=-⎡⎤=+-++==⎣⎦∑， 所以()21k n =-；19.设总体X 具有如下密度函数：1,01,(;)(0)0, ,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩其他，12,,,n X X X 是来自于总体X 的样本，对可估计函数()1g θθ=，求()g θ的有效估计量()gθ，并确定C R -下界. 解 因为总体X 的分布密度为1,01,(;)(0)0, ,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩其他，则该总体决定的似然函数为()()()11121,01,;,,;0, nn ni i i n i i x x L L x x x f x θθθθθ-==⎧∏<<⎪==∏=⎨⎪⎩ 其他，当()0112,n i x i <<= ，，时，由0θ>知()0L θ>，两边取对数得 ()()1ln ln +-1ln ni i L n x θθθ==∑，两边对θ求导得()11ln 11+ln ln nni i i i d L nx n x d n θθθθ==⎛⎫==--- ⎪⎝⎭∑∑， ()1211,,ln nn i i T X X X X n ==-∑ ，1110ln ln ln i E X x x dx xdx θθθ-==⎰⎰1111101ln ln x x x x dx x x θθθθθθ-=-=-=-⎰所以1ET θ=.根据教材中定理2.3.2知()1211,,ln n n i i T X X X X n ==-∑ 是()1g θθ=的有效估计量.C R -下界为()()2211g DT c n n θθθθ-'===- . 20.设总体X 服从几何分布：{}()()111,2,k P X k p p k -==-= ，对可估计函数()1g p p=，则 1)求()g p 的有效估计量()12,,n T X X X ；2)求方差DT 和信息量()I p ； 3)验证T 的相合性.解 1)因为总体X 的分布密度为{}()()111,2,k P X k p p k -==-=则该总体决定的似然函数为()()()()()11211;,,;11i nnx nn n i i i L p L p x x x f x p p p p p --====∏=∏-=- ，当0,1,2,i x = 时，由0p >知()0L p >，两边取对数得()()()ln ln ln 1L p n p nx n p =+--，两边对p 求导得()ln 111d L p n nx n n x dpp p p p ⎛⎫-=-=-- ⎪--⎝⎭所以()12,,n T X X X X =()()1111111k k k k EX EX k p p p k p p+∞+∞--====-=-=∑∑ 所以()12,,n T X X X X = 为()1g p p=的有效估计量. 2)由1)知()1nc p p =--，()()()()211c p g p I p n p p '==-， ()()()21g p np DT c p p '==-.3)()210,DX pDT DX n n np -===→→+∞，()12,,n T X X X X = 是相合估计量.28.假设0.5,1.25,0.8,2.0是总体X 的简单随机样本.已知()ln ,1Y X N μ= .1)求参数μ的置信度为0.95的置信区间；2)求EX 的置信度为0.95的置信区间.解 1)由题意可得411ln 0,44i i y x n ====∑，0.9750.05,10.975, 1.962u αα=-==，1σ=，0.9750.975110 1.960.98,+0 1.960.9822a y u b y u =-=-⨯=-==+⨯=， 所以参数μ的置信度为0.95的置信区间为[]0.98,0.98-.2)由()ln ,1Y X N μ= 得Y X e =且()()22,y Y f y y R μ--=∈.()()()2122y YYyY EX E ee f y dy edy eμμ-+∞+∞-+-∞-∞====⎰⎰，因为,YX e y R =∈是严格递增函数，参数μ的置信度为0.95的置信区间为[]0.98,0.98-，所以EX 的置信度为0.95的置信区间为0.48 1.48,e e -⎡⎤⎣⎦.29.随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：Ω）为A 批导线：0.143,0.142,0.143,0.137B 批导线：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140设测试数据分别服从()21,N μσ和()22,N μσ，并且他们相互独立，又212,,μμσ均未知，求参数12μμ-的置信度为0.95的置信区间.解 由题意得4511110.14125,0.139245i i i i x x y y ======∑∑，()()4522262611118.2510, 5.21034Ai Bi i i S x xS y y--===-=⨯=-=⨯∑∑，()()2212261212114,5, 6.57102A B Wn S n S n n Sn n --+-====⨯+-，()0.9750.00255,7 2.365W S t ==，()0.97570.002W a x y t S =--⨯=-， ()0.97570.0061W b x y t S =-+⨯=， 故参数12μμ-的置信度为0.95的置信区间为[]0.002,0.0061-.32.在105次设计中，有60次命中目标，试求命中率的置信度为95%的置信区间. 解 60470.5714,0.05105p X α=====，0.4763,0.6665a X u b X u =-==+=，命中率的置信度为95%的置信区间为[]0.4763,0.6665.1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？解 由题意知，()24.55,0.108X N ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=已知时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=已知时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为22220212222{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100X N μ ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知()2500,X N σ ，方差2σ未知.9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118n ni i i i s x xx x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=已知时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为22220212222{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率()%为 甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙：18.2,16.9,20.2,16.7假定含灰率均服从正态分布且2212σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异()0.05α=？解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：2212(,),(,)X N Y N μσμσ .5,4,21.5,18n m x y ====，22127.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。

数理统计期末复习题答案一、选择题1. 以下哪项不是描述统计学的特点？A. 描述性B. 推断性C. 数量化D. 客观性答案：B2. 正态分布的均值和方差之间的关系是：A. 均值是方差的两倍B. 均值是方差的平方根C. 均值和方差无关D. 均值是方差的平方答案：C3. 以下哪个选项不是参数估计的目的？A. 估计总体参数B. 估计样本参数C. 估计总体分布D. 估计总体特征答案：B4. 点估计与区间估计的区别在于：A. 点估计给出一个值，区间估计给出一个范围B. 点估计给出一个范围，区间估计给出一个值C. 点估计和区间估计都给出一个值D. 点估计和区间估计都给出一个范围答案：A5. 以下哪个不是假设检验的基本步骤？A. 建立假设B. 选择检验统计量C. 确定显著性水平D. 计算样本均值答案：D二、填空题1. 样本均值的期望等于总体均值，这是_______的性质。

答案：无偏性2. 总体方差的估计量是样本方差乘以_______。

答案：n/(n-1)3. 假设检验中的两类错误是_______和_______。

答案：第一类错误；第二类错误4. 置信度为95%的置信区间意味着，如果重复抽样，大约有95%的置信区间会包含总体参数。

5. 相关系数的取值范围是[-1, 1]，其中1表示_______，-1表示_______。

答案：完全正相关；完全负相关三、简答题1. 请简述中心极限定理的内容。

答案：中心极限定理指出，无论总体分布如何，只要样本量足够大，样本均值的分布将趋近于正态分布。

2. 什么是独立同分布的随机变量序列？答案：独立同分布的随机变量序列指的是一系列随机变量，它们相互独立，且每个随机变量都服从相同的分布。

3. 请解释什么是总体和样本，并给出它们在统计分析中的作用。

答案：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。

在统计分析中，由于直接研究总体往往不现实或成本过高，我们通过研究样本来推断总体的特征。

数理统计自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是描述数据集中趋势的度量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，我们通常会：A. 拒绝零假设B. 接受零假设C. 无法确定D. 需要更多数据答案：A3. 以下哪个选项是描述数据离散程度的度量？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 标准差答案：D4. 在简单线性回归分析中，回归系数β1表示：A. 自变量每变化一个单位，因变量的变化量B. 自变量每变化一个单位，因变量的平均变化量C. 自变量每变化一个单位，因变量的最小变化量D. 自变量每变化一个单位，因变量的最大变化量答案：B5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的度量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C6. 在统计学中，置信区间的宽度与以下哪个因素无关？A. 样本大小B. 置信水平C. 标准差D. 总体均值答案：D7. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的度量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 方差答案：C8. 在假设检验中，如果零假设是正确的，但被错误地拒绝，这种情况称为：A. 第一类错误B. 第二类错误C. 正确拒绝D. 正确接受答案：A9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的度量？A. 极差B. 标准差D. 方差答案：C10. 在统计学中，以下哪个选项不是数据的预处理步骤？A. 数据清洗B. 数据转换C. 数据标准化D. 数据解释答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是描述数据分布的度量？A. 均值B. 方差D. 峰度E. 极差答案：ABCD12. 在统计学中，以下哪些是假设检验的类型？A. 单尾检验B. 双尾检验C. 配对检验D. 方差分析E. 回归分析答案：ABCD13. 以下哪些是描述数据离散程度的度量？A. 极差B. 标准差D. 均值E. 四分位数间距答案：ABCE14. 在统计学中，以下哪些是数据的预处理步骤？A. 数据清洗B. 数据转换C. 数据标准化D. 数据解释E. 数据可视化答案：ABCE15. 以下哪些是描述数据分布形态的度量？A. 均值B. 方差D. 峰度E. 极差答案：CD三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果一组数据的平均数是50，中位数是45，众数是40，则这组数据的偏度是________。

本科数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是数理统计中的基本概念？A. 总体B. 样本C. 变量D. 常数2. 随机变量X的概率分布函数F(x)满足什么条件？A. 非负B. 单调递增C. 右连续D. 所有选项3. 以下哪个统计量是度量数据离散程度的？A. 均值B. 方差C. 众数D. 标准差4. 假设检验中，拒绝原假设的决策规则是基于什么？A. p值B. 置信区间C. 样本均值D. 样本方差5. 以下哪项不是参数估计的方法？A. 最大似然估计B. 贝叶斯估计C. 插值估计D. 矩估计6. 两个独立随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)为0意味着什么？A. X和Y是独立的B. X和Y是相同的C. X和Y的方差为0D. X和Y的均值相等7. 以下哪项是描述总体分布特征的参数？A. 样本均值B. 样本方差C. 总体均值D. 总体方差8. 在回归分析中，如果自变量和因变量之间存在线性关系，那么回归系数的符号表示什么？A. 正相关B. 负相关C. 无相关D. 强相关9. 以下哪项是描述数据集中趋势的统计量？A. 极差B. 四分位数C. 变异系数D. 标准差10. 以下哪项是假设检验中的两类错误？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 抽样误差和非抽样误差D. 总体误差和样本误差二、填空题（每题2分，共20分）1. 统计学中的“大数定律”表明，随着样本量的增大，样本均值会______总体均值。

2. 如果随机变量X服从标准正态分布，则其概率密度函数为______。

3. 在统计学中，一个数据集的中位数是将数据集从小到大排列后位于______位置的数值。

4. 相关系数的取值范围是______。

5. 假设检验的原假设通常表示为______，备择假设表示为______。

6. 在回归分析中，如果回归系数为正，则表示自变量和因变量之间存在______关系。

7. 统计学中的“中心极限定理”说明，即使总体分布未知，只要样本量足够大，样本均值的分布将近似为______分布。

习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏ 555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ2.解：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x nx x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293 =--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯=7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.248．解：由已知条件得：(1,),1()i X Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解:1) )1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2) λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3) ()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4) 1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1) ()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)ni i n S n S D X X D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1) ()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)222211,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞-===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎫⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T p P T p pP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X XX N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E X X D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mi i X N m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故 222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解：1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a X P 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P cT P cS X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1． 解： 矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni ii i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln ni i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln nii X n X X αα=⎛⎫ ⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解：1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤=2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3．1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑ 2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x x λλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+== 3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+== 联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni naX b X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX e dx t edt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰X αβ=+=22220()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ==-==极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx n i n L e nx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n n L L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x t x EX dx dte dt X θθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；1,ln ln i nx n nx i L e e L n nx λλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。

数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。

1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni i p2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ∙=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=n i iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=n i iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i iX X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。

解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i iX X，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi i i i X X P X X P sP s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752三．设总体X 的概率密度为f(x)=(1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。

数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。

则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。

若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。

随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。

则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。

解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。

抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。

所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。

2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。

问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。

设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。

要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。

首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。