高一数学下册期中联考测试题1

清江中学等四校2021-2021学年高一数学下学期期中联考试题〔含解析〕一、选择题：(每一小题4分，一共40分)的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．【详解】由直线x﹣y+3＝0，得其斜率为k＝1，设直线的倾斜角为θ〔0≤θ＜π〕，由tanθ＝1，得θ．应选：A．【点睛】此题考察直线的倾斜角，考察直线倾斜角与斜率的关系，是根底题．2.在△ABC中，，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设A＝k，B＝2k，C＝3k，由，得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60° ，C＝90°，∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2．应选C．3.如图，在正方体中，直线与的位置关系是〔〕A. 平行B. 相交C. 异面但不垂直D. 异面且垂直【答案】D【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，应选D.4.棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，那么SO⊥底面ABCD，AO，，由此能求出正四棱锥的体积．【详解】如图，底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，那么SO⊥底面ABCD，S正方形ABCD＝AB•BC＝1×1＝1，AO，，∴正四棱锥的体积：V．故答案为：C．【点睛】此题考察正四棱锥的体积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．过第一、三、四象限，那么实数满足〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．【详解】直线过第一、三、四象限，如下图；那么a＞0，-b＜0．即a＞0且b＞0．应选：C．【点睛】此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．6.在△ABC中，角的对边分别为a，b，c,假设，那么〔〕A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】由3b cos C＝c〔1﹣3cos B〕．利用正弦定理可得3sin B cos C＝sin C〔1﹣3cos B〕，化简整理即可得出．【详解】由正弦定理，设，∵3b cos C＝c〔1﹣3cos B〕．∴3sin B cos C＝sin C〔1﹣3cos B〕，化简可得 sin C＝3sin〔B+C〕又A+B+C＝π，∴sin C＝3sin A，∴因此sin C：sin A＝3：1．应选：C．【点睛】此题考察了正弦定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.7.m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面，那么以下命题中的真命题是 ( )A. 假设那么B. 假设，那么C. 假设，那么D. 假设，那么【答案】D【解析】试题分析：由A选项假设.那么直线，那么直线，，那么直线，那么成立.所以选D.考点：1.直线与平面的位置关系.2.平面与平面的位置关系.3.空间想象才能.与互相垂直，垂足为，那么的值是〔〕A. 24B. 20C. 0D.【答案】B【解析】∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.故答案选B。

2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数2iz 13i+=+的虚部是（ ） A ．12−B ．12C ．1i 2−D ．1i 22．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）A ．若a b ≠ ，则||||a b ≠B ．若//a b 且||||a b =，则a b =C ．若0a b ⋅=，则0a = 或0b = D ．若a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量3．已知平面向量(1,2)a =，(3,4)b − ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）A ．34,2525−B ．68,55 −C ．34,55 −D ．34,55 −4．已知tan 121tan αα−=+，则cos 24πα+的值为（ ）A．B． CD5．在ABC △中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得10AP =，若54PA mPB m PC =+−（m 为常数），则PD 的长度是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．若实数x ，y 满足332x y+=，21133xy n − =+，则n 的最小值为（ ） A ．2B ．8C ．9D ．127．在ABC △中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC △的面积为4，则22BC PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2B．C ．4D8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意的1x ，2,4x π∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−，且函数4y f x π=+为奇函数．若锐角ABC △的三个内角为,,A B C ，则（ ）A ．()()0f A fB +>B ．()()0f A f B +<C ．()()0f A f B +=D ．()()f A f B +的符号无法确定二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为()3sin ||62f x x ππϕϕ =+<  ，且经过点(2,3)，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期12T =B ．6πϕ=−C ．函数()y f x =在区间(2,8)上单调递减D ．函数(2)y f x =+是奇函数10．已知复数123,,z z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．若1213z z z z =，且10z ≠，则23z z =11．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，其中(0,)θπ∈，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP a xe ye ==+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在夹角为θ的坐标系xOy 中的坐标，记为()(,)a x y θ=，则下列结论正确的是（ ）A ．若3(1,2)a π= ，则||a =B ．若44,(3,a b ππ==− ，则a b ⊥C ．若对任意的12,5R e e λλ∈−最小值为52，则6πθ= D ．若对任意的(0,)θπ∈，都有1212e e e e λ−≥−恒成立，则实数(][),31,λ∈−∞−+∞三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sin cos θθ−sin 2θ=__________．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c b −=−，则角A =若I 为ABC △的内心，且AIIC λ=+，则λ=__________． 14．已知平面向量,a b，||2a =，||3b =，若存在平面向量c ，||1c = ，使得()()0a c b c −⋅−=，则||||a b a b −++的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量(1,2)a −，||b = ．（1）若//a b，求b 的坐标；（2）若(5)()a b a b +⊥−，求a 与b 夹角的余弦值．16．（15分）在ABC △中，角A ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b c bc a +−=． （1）求角A 的大小； （2）若2b =，1sin 7C =，求ABC △的面积．17．（15分）已知向量,cos )m x x ωω= ，(cos ,cos )(0,)n x x x ωωω=−>∈R，1()2f x m n =⋅− ，且()y f x =的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若0a >，且函数()y f x =在区间(,2)a a 上单调，求a 的取值范围．18．（17分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，已知2b =，4c =，23A π=．（1）若AD 平分BAC ∠，求AD 的长；（2）若D 为BC 边的中点，E ，F 分别为AB 边及AC 边上一点（含端点）．且AE xAB = ，AF y AC =，1x y +=，求DE DF ⋅ 的取值范围． 19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n ，满足10n z −=的所有复数22cos isin ()k k z k Z n nππ=+∈称为n 次单位根，其中，满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ≠，则称这种复数为n 次本原单位根．例如，4n =时，存在四个4次单位根1±，i ±，因为111=，2(1)1−=，因此只有两个4次本原单位根i ±； ②分圆多项式：对于正整数n ，设n 次本原单位根为12,,,m z z z ，则多项式()()()12m x z x z x z −−− 称为n 次分圆多项式，记为()n x Φ；例如24()(i)(i)1x x x x Φ=−+=+；回答以下问题：（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；（2）求出6()x Φ，并计算6321()()()()x x x x ΦΦΦΦ，由此猜想1264321()()()()()()x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ的结果，（将结果表示为1110()nn n n n x a x a xa x a −−Φ=++++ 的形式）（猜想无需证明）； （3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为12,,,m A A A ，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为12,B B ，复平面上一点P 所对应的复数z 满足||z =，求1212m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅的取值范围．。

2022~2023学年度第二学期期中联考高一数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|230,|lg(2)0M x x x N x x =--<=-<，则M N ⋂=（）A.{}|23<<x xB.{}|13x x -<<C.{}|31x x -<< D.∅【答案】A 【解析】【分析】解不等式求出集合,M N ，再求交集即可.【详解】∵集合{}{}223013M x x x x x =--<=-<<，{}{}|lg(2)023N x x x x =-<=<<，则{}23M N x x ⋂=<<故选：A.2.已知i 是虚数单位，若1i 5+=a ，则实数a =（） A.2 B.26C.-2D.±26【答案】D 【解析】【分析】根据复数模的概念求解即可.【详解】1i 5a += ，2215a ∴+=，解得26a =±，故选：D3.若向量()()1,0,2,1a b →→==，则向量a →在向量b →上的投影向量为（）A.255B.（45，25）C.（455，255）D.（4，2）【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可.【详解】向量a →在向量b →上的投影向量为2242(2,1=55555||||a bbb b b →→→→→→⋅⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭），，故选：B 4.“26k παπ=+，Z k ∈”是“3tan 3α=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若2,6k k Z παπ=+∈，则3tan tan 63πα==，若3tan 3α=，则,6k k Z παπ=+∈，不能推出2,6k k Zπαπ=+∈故“2,6k k Z παπ=+∈”是“3tan 3α=”的充分不必要条件，故选：A.5.计算：cos105cos 45sin 255sin135︒︒=︒︒（） A.32B.32-C.12D.12-【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式求解.【详解】因为cos105cos 45sin 255sin135︒︒︒+︒cos75cos 45sin 75sin 45︒︒︒︒=--cos 75cos 45sin 75si 4)5(n ︒︒︒+-︒=)cos(7545-︒-︒=cos30=-︒32=-故选：B.6.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC 的周长为π，则该勒洛三角形ABC 的面积为（）A.34B.2π34- C.π32- D.2π34+【答案】C 【解析】【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积．【详解】因为勒洛三角形ABC 的周长为π，所以每段圆弧长为ππ33l r ==，解得1r =，即正三角形的边长为1，由题意可得21π3π33231212342ABC C AB S S S --=-=⨯⋅⋅-⨯⨯=△曲扇形，故选：C7.已知函数()()πsin 0002f x A x A ωϕωϕ=+>>-<<（，，）的部分图象如图所示，1x ，2x 为f （x ）的零点，在已知21x x 的条件下，下列选项中可以确定其值的量为（）A.A sin φB.ωC.φωD.φ【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象可知，12,x x 是函数()f x 的两个零点，即可得21πx x ϕϕ-=-，利用已知条件即可确定ϕ的值.【详解】根据图象可知，函数()f x 的图象是由sin y A x ω=向右平移ϕω-个单位得到的，由图可知12()()0f x f x ==，利用整体代换可得120,πx x ωϕωϕ+=+=，所以21πx x ϕϕ-=-，若21x x 为已知，则可求得21π1x x ϕ=-.故选：D.8.锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，若()2c a a b =+，则sin A 的取值范围是（）A.23(,)22B.13(,)22C.12(,)22D.2(0,)2【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得2C A =，再求出A 的范围即可.【详解】由()2c a a b =+，得22c a ab =+，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，∴2222cos a ab a b ab C +=+-，即2cos b a a C =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A C B +=，∵()πB A C =-+，∴sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A C B A C A C +==⋅+，即()sin sin A A C =-.∵22c a ab =+，∴c a >，∴0C A ->，又ABC 为锐角三角形，∴ππ0,022A C A <<<-<，∴A C A =-，解得2C A =，又π02A <<，π0π32B A <=-<，π022C A <=<，∴ππ64A <<，∴2s n 2i 1,2A ⎛∈⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题正确的是（）A.设,a b是非零向量，则a b a b⋅= B.若1z ，2z 是复数，则1212z z z z ⋅=⋅C.设,a b 是非零向量，若a b a b +=- ，则0a b ⋅= D.设1z ，2z 是复数，若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】BC 【解析】【分析】根据向量数量积公式，判断AC ；根据复数的四则运算，以及复数模的公式，判断BD.【详解】A.设,a b 是非零向量，则cos ,a b a b a b ⋅= ，只有当//a b 时，cos ,1a b = ，a b a b ⋅= ，其他情况不相等，故A 错误；B .设1i,,R z a b a b ∈=+，2i,,R z c d c d ∈=+，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，()()222222222212z z ac bd ad bc a c b d a d b c =-++=+++()()2222ab dc =++，222212z z a b c d =++，所以1212z z z z =，故B 正确；C.设,a b 是非零向量，若a b a b +=- ，两边平方后得0a b ⋅= ，故C 正确；D.设1i,,R z a b a b ∈=+，2i,,R z c d c d ∈=+，()()12i z z a c b d +=+++，()()12i z z a c b d -=-+-，()()1222a b d z c z +=+++，()()2212z z a c b d -=-+-，若1212z z z z +=-，则0ac bd +=，又()()12i ac bd ad bc z z =-++，不能推出120z z =，故D 错误.故选：BC10.已知正实数a 、b 满足2a b +=，则下列结论正确的是（）A.1ab ≤B.2a b +≥C .332a b +≤ D.222a b +≥【答案】AD 【解析】【分析】利用基本不等式可判断ABD 选项，利用特殊值法可判断C 选项.【详解】因为正实数a 、b 满足2a b +=，对于A 选项，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，A 对；对于B 选项，因为()()2224+=++≤+=a ba b ab a b ，则2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立，B 错；对于C 选项，当32a =，12b =时，33333172222a b ⎛⎫⎛⎫+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，()22222222222222a b a b a b a b ab a b +++++++=≥==，当且仅当1a b ==时，等号成立，D 对.故选：AD.11.ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则“ABC 是直角三角形”的充分条件是（）A.sin cos A B =B.sin 2sin 2sin 2A B C +=C.cos cos a A b B =D.cos a B c=【答案】BD【分析】利用正弦函数的单调性可判断A 选项；利用两角和与差的正弦公式可判断B 选项；利用余弦定理可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为sin cos 0A B =>且A 、()0,πB ∈，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若A 为锐角，则πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时π2A B =-，即π2A B +=；若A 为钝角，则πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，且ππ,π22B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时π2A B =+，即π2A B -=.综上所述，ABC 为直角三角形或钝角三角形，A 不满足条件；对于B 选项，因为sin 2sin 2sin 2A B C +=，即()()()()sin 2sin sin C A B A B A B A B =++-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B A B A B =+-++-++--+-()()()2sin cos 2sin cos A B A B C A B =+-=-，即()sin cos sin cos C C C A B =-，因为()0,πC ∈，则sin 0C >，所以，()()()cos cos cos πcos A B C A B A B -==-+=-+⎡⎤⎣⎦，即cos cos sin sin sin sin cos cos A B A B A B A B +=-，所以，cos cos 0A B =，所以，cos 0A =或cos 0B =，因为A 、()0,πB ∈，则A 或B 为直角，故ABC 为直角三角形，B 满足条件；对于C 选项，因为cos cos a A b B =，即()()22222222a b c a b a c b bcac+-+-=，整理可得()()222220a bab c -+-=，所以，a b =或222+=a b c ，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 不满足条件；对于D 选项，因为222cos 2a c b c a B a ac+-==⋅，整理可得222b c a +=，所以，ABC 为直角三角形，D 满足条件.12.已知π04x <<，则下列不等式正确的是（）A.()()sin sin cos sin x x <B.()() sin cos cos sin x x <C.()()cos cos sin cos x x <D.()()sin sin cos cos x x <【答案】ABD 【解析】【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A 选项；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断BD 选项；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C 选项.【详解】当π04x <<时，20sin 2x <<，2cos 12x <<，对于A 选项，()2πcos sin sin sinx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且ππ2πsin ,222x ⎛⎫--∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，ππ0sin sin 22x x <<-<，因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故()()πsin sin sin sin cos sin 2x x x ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，因为π04x <<，则πππ442x <+<，因为ππsin cos 2sin 242x x x ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，即ππ0cos sin 22x x <<-<，因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则()()2πsin cos sin sincos sin xx x ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，因为函数()π2cos 2f x x =-在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()π0202f =-<，ππ2042f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以，存在0π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00π2cos 02f x x =-=，则00πcos cos 2x x -=，此时，()()000πsin cos sin cos cos cos 2x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错；对于D 选项，因为π04x <<，则πππ442x <+<，因为ππsin cos 2sin 242x x x ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，即ππ0sin cos 22x x <<-<，因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则()()πsin sin sin cos cos cos 2x x x ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，D 对.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,a k =，()2,2b k =- ，若()a b a + ∥，则实数k =___________.【答案】2-【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示直接解k 即可.【详解】由题意得，()3,22a b k +=-，因()a b a +∥，所以()12230k k ⨯--=，得2k =-.故答案为：2-.14.求值：()()2222lg 5lg 21log 5-+=+___________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算法则、换底公式求解．【详解】()()222222222lg5lg 2(lg5lg 2)(lg5lg 2)lg5lg 21log 5log 2log 5log 10-+=+-+=-+++lg 5lg 22lg 2lg 5lg 21=-+=+=故答案为：1.15.已知()πtan 23,tan 34αβα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，则tan β=___________.【答案】139-【解析】【分析】由πtan()34α+=-得tan 2α=，根据倍角正切公式求得4tan 23α=-，而tan tan[(2)2]βαβα=+-，利用差角正切公式即可求解.【详解】由π1tan tan()341tan ααα++==--得tan 2α=，所以22tan 4tan 21tan 3ααα==--，tan tan[(2)2]βαβα=+-tan(2)tan 21tan(2)tan 2αβααβα+-=++3133913344+==--⨯．故答案为：139-16.ABC 中，2212AB AC AC AB ⋅== ，点P 为ABC 所在平面内一点且0PA PB ⋅= ，则C =___________，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为___________.【答案】①.π2②.122+【解析】【分析】由2AB AC AC ⋅=uuu r uuu r uuu r 得0AC CB =⋅，从而得到π2C =，由2212AC AB = 可得22AC AB =，从而得到ABC 是等腰直接三角形，建立直角坐标系，令2AC BC ==，设(),P x y ，由0PA PB ⋅=得到点P的轨迹是以AB 为直径的圆，从而得到22xλμ-+=，由圆方程确定1212x -≤≤+，从而求解.【详解】因为2AB AC AC ⋅=uuu r uuu r uuu r ，所以()0AC AB AC =⋅- ，即0AC CB =⋅ ，所以AC CB ⊥，即π2C =，又因为2212AC AB = ，所以22AC AB = ，由正弦定理可得222sin sin 2B C ==，所以π4B =，所以ABC 是等腰直角三角形，令2AC BC ==，则22AB =，如图，以点C 为原点，以,CA CB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，则()()()2,0,0,2,0,0A B C ，()2,AP x y =- ，()2,2AB =- ，()2,0AC =- ，因为AP AB AC λμ=+ ，所以222x λμ-=--，即22x λμ-+=.因为0PA PB ⋅= ，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，所以点P 的轨迹方程为()()22112x y -+-=所以()212x -≤，即1212x -≤≤+，所以当12x =-时，22x λμ-+=有最大值，最大值为122+.故答案为：π2；122+四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()1,1,0,1a b =--= ，在①()()ta b a tb +⊥+ ；②ta b a tb +=+ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题（1）若______，求实数t 的值；（2）若向量(),c x y = ，且()1c ya x b =-+- ，求c r .【答案】（1）答案见解析（2）2c = 【解析】【分析】（1）选①，由向量垂直的坐标表示求解；选②由模的坐标表示求解；（2）由向量相等的坐标运算列方程组求得,x y 值，然后由模的坐标表示计算．【小问1详解】()(),1,1,1,ta b t t a tb t +=--+=-- 选①：由()()0ta b a tb +⋅+= ，得()210t t --=，即2310t t -+=解得352t -=或352t +=选②：由22||ta b a tb +=+ ，得()()()222111t t t -+-=+-，即21t =所以1t =±.【小问2详解】()()()()(),1,0,1,1x y c ya x b y y x y x y ==-+-=+-=-+ 所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1,c = 112c =+= ．18.已知z 是复数，2i z +和i1z -均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 的共轭复数z ；（2）记11i 1=+--m z z m m ，若复数1z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）22iz =+（2）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设()i ,R z a b a b =+∈，分别代入2i z +和i 1z -，再根据两者均为实数可求得2a =，2b =-，进而可求得复数z 的共轭复数z ；（2）化简11i 1=+--m z z m m ，再根据复数1z 对应的点在第三象限可建立不等式组2103201m m m m +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪-⎩，求解即可.【小问1详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则()2i 2i+=++z a b 由2i z +为实数，则20b +=，所以2b =-，由2i 22i 1i 1i 22z a a a -+-==+--为实数，则202a -=，所以2a =则22z i =-，复数z 的共轭复数22i z =+.【小问2详解】由（1）可知，11213222i i 11m m m z m m m m +-⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由1z 对应的点在第三象限，得2103201m m m m +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪-⎩，即102213m m m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或，解得10.2m -<<故实数m 的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭19.已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P (),x y ，若点P 位于x 轴上方且12x y +=.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求44sin cos θθ+的值.【答案】（1）72（2）2332【解析】【分析】（1）根据cos sin θθ+，cos sin θθ-，cos sin θθ三个直接的关系，可得sin cos θθ-.（2）由4422sin cos 12sin cos θθθθ+=-可得.【小问1详解】由三角函数的定义，1cos sin 2θθ+=，sin 0θ>，两边平方，得221cossin 2sin cos 4θθθθ++=则32sin cos 04θθ=-<，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin cos 0θθ->，7sin cos 12sin cos 2θθθθ-=-=.【小问2详解】由（1）知，3sin cos 8θθ=-，4422222923sin cos (sin cos )2sin cos 126432θθθθθθ+=+-=-⨯=.20.设函数2()2cos 23sin cos f x x x x m =++．其中,R m x ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并求此时()f x 在R 上的对称中心．【答案】（1）πT =（2）12m =，对称中心为ππ3,2122k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.【解析】【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简()f x ，进而求其最小正周期；（2）根据正弦型函数性质求()f x 值域，结合已知确定m 值，整体法求其对称中心即可.【小问1详解】由题设π()cos 23sin 212sin(2)16f x x x m x m =+++=+++，所以，最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2[,]666x +∈，故π2sin(2)[1,2]6x +∈-，所以()[,3]f x m m ∈+，故12m =时满足()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时π3()2sin(2)62f x x =++，令π2π6x k +=，Z k ∈，则ππ212k x =-，Z k ∈，所以()f x 在R 上的对称中心为ππ3,2122k ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈.21.如图，两个直角三角板拼在一起，45ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒.（1）若记,AB a AC b →→==uuu r uuu r ，试用,a b →→表示向量AD ，CD ；（2）若1AC =，求AE CD ⋅【答案】（1）3AD a b →→=+ ，()31CD a b →→=+- （2）3312-【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）由平行线分线段成比例可得312AE AD →-=，再由向量的数量积运算及性质求解即可.【小问1详解】由条件，得AC BC =，33BD BC AC ==，因为AC BC ⊥，BC BD ⊥，所以AC BD ∥，可得3BD AC =，33AD AB BD AB AC a b →→=+=+=+ ，()331CD AD AC a b b a b →→→→→=-=+-=+- .【小问2详解】由条件，得1AC BC ==，232AB BD CD ===，，，因为AC BD ∥，所以13AE AC ED BD ==，则131213AE AD -==+，()313133122AE AD a b CD a b →→→→→→--⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭ ，，则()313312AE CD a b a b →→→→→→-⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()223173323322a a b b →→→→--=+⋅+-，而222212112a b a b →→→→==⋅=⨯⨯=，，所以3312AE CD -⋅= .22.某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中2AB =百米，1BC =百米，AD CD =，AD CD ⊥，草坪内需要规划4条人行道DM ，DN ，EM ，EN 以及两条排水沟AC ，BD ，其中M ，N ，E 分别为边BC ，AB ，AC 的中点．（1）若90ABC ∠=︒，求排水沟BD 的长；（2）当ABC ∠变化时，求4条人行道总长度的最大值．【答案】（1）322（百米）；（2）3232+（百米）．【解析】【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在BCD △和BAD 中，分别利用余弦定理表示BD 可求；（2）先设ABC α∠=，BAC β∠=，ACB γ∠=，然后由余弦定理可表示AC ，再在ABC 中，由正弦定理：sin sin AC BC αβ=，可得sin sin ACαβ=，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式，结合函数的单调性可求最大值．【详解】解：（1）因为2ABC π∠=，2AB =，1BC =，所以5AC =，所以102CD =，因为2ABC ADC π∠∠==，所以：BAD BCD π∠+∠=，可得：cos cos BAD BCD ∠∠=-，在BCD △中：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，在BAD 中：222222cos 2cos BD AB AD AB AD BAD AB AD AB AD BCD =+-⋅⋅∠=++⋅⋅∠，解得：322BD =，即排水沟BD 的长为322百米；（2）设ABC α∠=，BAC β∠=，ACB γ∠=，由余弦定理得：254cos AC α=-．在ABC 中，由正弦定理：sin sin AC BC αβ=，得sin sin ACαβ=，连接DE ，在MDE 中，2MED π∠β=+，cos cos()sin 2MED πββ∠=+=-，由余弦定理：222292cos 1sin sin cos 44AC DM ME DE ME DE MED AC βαα=+-⋅⋅∠=++⋅=+-，同理：23sin cos 2DN αα=+-，设sin cos 2sin()4t πααα=-=-，(0,)απ∈，则(1,2]t ∈，所以933422DN DM EN EM t t +++=++++，该函数单调递增，所以2t =时，DN DM EN EM +++最大值为3(22)2+，所以4条走道总长度的最大值为3(22)2+百米．。

2023-2024学年湖北省高一下册期中联考数学试题一、单选题1．若复数45i z =+，则23z -=（）A ．1015i --B ．1015i -+C ．1415i +D ．1415i-【正确答案】B【分析】先求出45i z =-，进而求出23z -.【详解】因为45i z =+，所以45i z =-，所以()232345i 1015i z -=--=-+故选：B2．如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，则AB BC AD +-等于（）A ．ADB ．DBC ．DCD ．AB【正确答案】C【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.【详解】AB BC AD AC AD DC +-=-=.故选：C.3．设角α的终边经过点(34)P -，，那么()()sin 2cos παα-+-等于（）A ．15B ．-15C ．25D ．-25【正确答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义，分别计算sin α和cos α，再根据诱导公式对()()sin 2cos παα-+-化简，代入sin α和cos α的值，即可求出结果．【详解】∵角α的终边经过点(34)P -，，r PO =，∴4sin r α==45，33cos 5r α-==-，∴()()462sin 2cos sin 2cos 555παααα-+-=+=-=-.故选:D ．4．已知向量3(,sin )2a α= ，1(sin ,)6b α= ，若//a b ，则锐角α为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【正确答案】A【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.【详解】因为//a b ，所以sin 2α311264=⨯=，∴sin α＝±12．又α为锐角，所以α＝30°．故选：A5．为了得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos y x =的图像上（）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位B ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位C ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位D ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位【正确答案】B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.【详解】由πcos 228πcos 4y x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫= ⎝⎭-=⎪⎝⎭⎣⎦可知，函数cos y x =的图像每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得函数cos 2y x =的图像，再向右平移π8个单位，得函数πcos 24πcos 28y x x ⎛⎫==- ⎪⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥的图像.故选：B6．在复平面内，点(cos ,sin ),(sin(),cos())A B θθθθ--分别对应复数12,z z ，则21z z =（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【正确答案】D【分析】根据复数几何意义，求得12,z z ，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.【详解】由点(cos ,sin )A θθ和(sin(),cos())B θθ--分别对应复数12,z z ，可得1cos isin z θθ=+，2sin()i cos()sin i cos z θθθθ=-+-=-+，所以222221sin i cos (sin i cos )(cos isin )(sin cos )ii cos isin (cos isin )(cos isin )cos sin z z θθθθθθθθθθθθθθθθ-+-+-+====++-+.故选：D.7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A ．OA 与OH 的夹角为π3B ．OD OF OE+= C．OA OC -=D ．OA 在OD上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）【正确答案】C【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】2ππ84=，所以,OA OH 的夹角为π4，A 选项错误.由于四边形ODEF 不是平行四边形，所以OD OF OE +≠，AOC是等腰直角三角形，所以CA == ，2DH =，所以OA OC CA -==，C 选项正确.结合图像可知OA 在OD 上的投影向量与OD的方向相反，所以D 选项错误.故选：C8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B=，∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =，又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形.故选：B.二、多选题9．下列命题中，不正确的是（）A ．1()i a a -∈R 是一个复数B ．形如()i a b b +∈R 的数一定是虚数C ．两个复数一定不能比较大小D ．若a b >，则i ia b +>+【正确答案】BCD【分析】根据复数的概念逐项分析即得.【详解】由复数的定义可知A 命题正确；形如()i a b b +∈R 的数，当0b =时，它不是虚数，故B 命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C 命题错误；两个虚数不能比较大小，故D 命题错误．故选：BCD ．10．已知向量()2,1a =r ，2b a = ，且a b ⊥，则b = （）A ．()2,4-B ．()2,4--C ．()2,4-D ．()2,4【正确答案】AC【分析】设b的坐标，利用向量模的坐标公式及a b ⊥ 关系，建立方程组解出来即可.【详解】设(),b x y =，因为2b a = ，a b ⊥ ，所以2222420200b ax y x y a b ⎧=⎧+=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩ ，解得24x y =⎧⎨=-⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，故()2,4b =- 或()2,4b =-r．故选：AC.11．函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【正确答案】AD【分析】利用图像判断周期，求出ω，即可判断选项A ；利用特殊点求出ϕ，即可判断选项B ；得到函数的解析式()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C 、D.【详解】由图像知函数的周期1322230103T ππππω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得：3ω=，所以A 对；由五点对应法得()32102k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，因为02ϕπ≤<，所以5πϕ=，所以B 错误，所以()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当()2325k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，函数()f x 单调递减.取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为314,515ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图像的对称轴方程为()35x k k ππ+=∈Z ，即()315k x k ππ=-∈Z ，所以D 对．故选：AD12．下列命题正确的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若,a b b c ==，则a c= C ．若//a b．则存在唯一实数λ，使得a bλ= D ．若点P 为ABC 所在平面上一点，若20PA PC PB ++=，则APB △面积与ABC 面积之比为1：4【正确答案】BD【分析】A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由()PA PB PC PB +=-+确定P 的位置，进而判断面积关系.【详解】A ：当b 为零向量时//a c不一定成立，错误；B ：由条件知：a b c ==，正确；C ：,a b 为零向量时a b λ=中实数λ不唯一，错误；D ：由()PA PB PC PB +=-+，易知：P 为ABC 平行于AC 的中位线中点，则2ABC APC S S = 且APB BPC S S = ，故APB △面积与ABC 面积之比为1：4，正确.故选：BD 三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知tan 2,tan 3,,αβαβ==均为锐角，则αβ+=____________．【正确答案】34π/34π【分析】根据正切函数的和角公式，可得tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，由角的取值范围，可得答案.【详解】因为tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，,αβ锐角，0αβ<+<π，所以34αβπ+=．故答案为.34π15．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45,30︒︒，并测得120BCD ∠=︒，则黄河楼AB 的估计高度为_____________米．【正确答案】90【分析】根据仰角分别得出BC AB =,BD =，在BCD △中由余弦定理求解即可.【详解】在Rt ABC △中，45ACB ∠=︒，所以BC AB =，在Rt △ABD ，30ADB ∠=︒，所以tan 30ABBD=︒，即BD ，在BCD △中，120BCD ∠=︒，90CD =，由余弦定理，2222cos120BD BC CD BC CD =+-⋅︒，即2221390290()2AB AB AB =+-⨯⋅-，解得90AB =或45AB =-（舍去），即黄河楼AB 的估计高度为90米.故9016．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM NM ⋅的最大值为___________.【正确答案】3【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(C ，AC 中点122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+，1,22NM x y ⎛=+- ⎝⎭1(1)2AM NM x x y y ⎛⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x =-，∴2342323AM NM y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⋅=--+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵0y ≤≤0y =时，·AM NM的最大值为3.故3.四、解答题17．已知复数22(1)i()z m m m m =+-+-∈R ，其中i 为虚数单位．(1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)若m ＝2，设ii(,)iz a b a b z +=+∈-R ，试求a ＋b 的值．【正确答案】(1)2-(2)75【分析】（1）由实部等于0得到实数m 的值；（2）把复数iiz z +-整理成i a b +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．【详解】（1）由题意可得：220m m +-=，且10m -≠，2m ∴=-；（2）若m ＝2，则4i z =+，所以2i 42i 2i (2i)34ii i 42i 2i (2i)(2i)5z a b z +++++=====+----+，35a ∴=，45b =，75a b ∴+=.18．已知||6a = ，||4= b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-.（1）求向量a ，b的夹角θ；（2）求|3|a b +.【正确答案】（1）23πθ=（2）()1利用平面向量数量积的分配律求出a b ⋅,然后代入夹角公式求解即可;()2结合()1中a b ⋅的值,利用平面向量数量积的性质：()22222a ba ba ab b +=+=+⋅+ 进行运算，求出23a b + 的值,然后再开方即可.【详解】∵(2)(3)72a b a b -⋅+=-,∴22672a a b b +⋅-=- ，∵6a = ，4b = ,∴3661672a b +⋅-⨯=- ,解得12a b ⋅=-,由平面向量数量积的夹角公式得,∴121cos 642a b a b θ⋅-===-⨯,∵0θπ≤≤∴23πθ=.（2）因为222369a b a a b b +=+⋅+ ，所以()2336612916a b +=+⨯-+⨯ 108=∴3a b += 本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型.19．已知α，β为锐角，sin 7α=，11sin()14αβ-=-.(1)求3πsin()sin(π)2πcos()2ααα++-的值；(2)求sin β的值.【正确答案】(1)17(2)7198【分析】（1）已知sin α和sin()αβ-的值，可求cos α和cos()αβ-的值，诱导公式化简后求值；（2）()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，展开后代入已知数据即可求值.【详解】（1）α，β为锐角，sin 7α=，∴1cos 7α==，11sin()14αβ-=-，∴π02αβ-<-<，则cos()14αβ-==，则()3πsin()sin(π)cos sin 12cos πsin 7cos()2ααααααα++-⋅-===-（2）()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦111174⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=7198=20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+ ，求23x y +的值；(2)若6,60AB BAD ∠== ，求AC EF ⋅ .【正确答案】(1)1(2)9【分析】（1）利用向量的线性运算求EF ，结合平面向量的基本定理求得,x y ，进而求得23x y +.（2）先求得AB AD ⋅ ，然后利用转化法求得AC EF ⋅ .【详解】（1）因为1122CF CD AB ==- ，2CE EB= 所以2233EC BC AD == ，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- ，所以12,23x y =-=，故231x y +=.（2）AC AB AD =+ ，()221211223263AC EF AB AD AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴=== ，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= ，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= .21．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个POQ的养殖场(1)已知4PQO π∠=，求OP 的长度(2)问如何选取点,P Q ，才能使得养殖场POQ 的面积最大，并求其最大面积【正确答案】(2)OP OQ ==OPQ S平方千米.【分析】（1）运用正弦定理可求出OP 的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.【详解】（1）在OPQ 中，由正弦定理可得：sin sin PQ OPPOQ PQO =∠∠，代入数据得12ππsin sin 34OP =解之：OP =（2）在OPQ 中，由余弦定理可得2222πcos 32OP OQ PQ OP OQ+-=⋅令,OP a OQ b ==可得2213a b ab ab ab =++≥=，所以1.3ab ≤当且仅当3a b ==时取得又()21sin 2412OPQ S ab POQ ab km =∠=≤OP OQ ∴==OPQ S.22．已知向量33sin ,2ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ m x，ω⎫=⎪⎪⎝⎭n x ，0ω>，函数()f x m n =⋅ ．(1)若13ω=，求()f x 在[]0,3π上的单调递减区间；(2)若关于x 的方程()32=-f x 在[]0,1上有3个解，求ω的取值范围．【正确答案】(1)[]2,3ππ(2)10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】(1)化简得()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质可得函数()f x 的单调递减区间为()[2π6π,5π6π]Z k k k ++∈，进而可得在[]0,3π上的单调递减区间；(2)由题意可得π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而可得4π2π10π4π,0,,,,,33x ωωωω=L L ，结合题意可得10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，求解即可.【详解】（1）解：依题意，()33sin ,2ωω⎫⎛⎫=⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f x m n xx 13cos 2ωω⎫=-⎪⎪⎝⎭x x π3sin 6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当13ω=时，()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()π1π3π2π2πZ 2362k x k k +≤-≤+∈，得()2π6π5π6πZ k x k k +≤≤+∈，当0k =时，2π5πx ≤≤，故()f x 在[]0,3π上的单调递减区间为[]2,3ππ；（2）解：依题意，π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()π7π2πZ 66x k k ω-=+∈或()π11π2πZ 66x k k ω-=+∈，则()4π2πZ 3k x k ωω=+∈或()2π2πZ k x k ω+=∈．则4π2π10π4π,0,,,,33x ωωωω=L L ，则10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得10π2π3ω≤<，即ω的取值范围为10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。

一、单选题1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ．1132AB AD -1324AB AD -【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则， E BC F AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则 //,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m α【答案】B【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性质可判断//m n ,m n； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的位置关系可判断//m n //αβ,αβ或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而，故//m αα//l m l //β//l n //m n ，故B 正确；C ：若，则或相交，故C 错误； //,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误. //,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC 边的长度是A B ．C ．D【答案】B【详解】由图形可知．故选B ． 02,4,2,90AD BC AB ABC CD ===∠=∴==4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故. ()12112133V S S h =+=⨯+⨯=故选：D5．P 是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ） ABC A 20PB PC PB PC PA --+-=ABC A A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出0AB AC ⋅=的形状.ABC A 【详解】由，可得，即，20PB PC PB PC PA --+-= 2CB PB PC PA =+-CB AB AC =+u u r u u u r u u u r ，AB AC AC AB -=+等式两边平方，化简得，， AB AC AC AB -=+ 0AB AC ⋅= AB AC ∴⊥ 因此，是直角三角形. ABC A 故选：B.6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）A ．平面平面B ． BME //CAN AF CN //C ．平面D ．与相交//BM EFD BE AN 【答案】A【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知，且平面，平面，//AN BM BM ⊂BME //AN BME ，且平面，平面，所以平面平面，故正确.NC BE //BE ⊂BME //NC BME BME //CAN选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.AF CN选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.EFD BM选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.BE AN故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.7．在正三角形ABC 中，AB ＝2，，且AD 与BE 相交于点O ，则＝1,2BD DC AE EC == ·OA OBA ．－B ．－C ．－D ．－45342312【答案】B【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算．,OA OB,AB AC【详解】由题意画图如下因为,所以D 时BC 的中点，BD DC =所以,1122AD AB AC =+ 因为，12AE EC = 所以，13AE AC = 设，则,AO AD λ=1122AO AB AC λλ=+ 因为B,O,E 三点共线，所以存在实数 ，使得 μ()()1113AO AB AE AB AC μμμμ=+-=+-所以可得 解得 ()1=211=123λμλμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩1=21=4λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1144AO AB AC =+3144BO BA AO AB AC =+=-+所以11314444OA OB AO BO AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A A A2222311=16816311222cos 6021681634AB AB AC AC --+=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-A 故选B【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行数量积的运算．8．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的ABC A ,,A B C ,,a b c G ABC A ,56BG CG b c ⊥=cos A 取值是（ ） A ．B ．C ．D ．5975577511156175【答案】D【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到32AM a =，结合余弦定理整理得，从而求得. 22292cos a c b bc A =++22225cos 0c b bc A +-=61cos 75A =【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，G ABC A M BC ()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r由已知得， ,,BC a AC b AB c === 因为，所以， BG CG ⊥1122GM BC a ==又因为点是的重心，所以，则，G ABC A 12GM GA =1322AM a a a =+=又因为，所以，则， ()2214AM AB AC =+ ()222912cos 44a cb bc A =++22292cos a c b bc A =++又由余弦定理得，所以，整理得2222cos a c b bc A =+-()222292cos 2cos c b bc A c b bc A +-=++，22225cos 0c b bc A +-=因为，令，则， 56b c =()60b k k =>5c k =所以， ()()()()222526565cos 0k k k k A ⨯+⨯-⨯⨯=则. 12261cos 15075A ==故选：D..二、多选题9．已知，则下列命题正确的有（ ）((),cos ,sin a b θθ==A ．若，则B ．的最大值为2a b ⊥π3θ=a b ⋅C ．存在，使D ．的最大值为3θ||||||a b a b +=+a b - 【答案】BCD【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB ，当同向时，则有，将转化,a b ||||||a b a b +=+a b - 为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A ：，0a b a b⊥⇒⋅=即，(()πcos ,sin cos 2sin 06a b θθθθ=θ⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎝⎭ 所以，故A 错误；()()πππ,Z πZ 66k k k k θθ+=∈⇒=-∈对于B ：由A 知，π2sin 6a b θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ 所以当时，()()πππ2π,Z 2πZ 623k k k k θθ+=+∈⇒=+∈有最大值2，故B 正确；对于C ：当时，， π3θ=(1,2a b ⎛== ⎝，(1322a b ⎛⎛+=+=⎝⎝所以， ||3a b +==，1=所以，故C 正确；||||||a b a b +=+对于D：，(()()cos ,sin 1cos sin a b θθθθ-=-=- 所以())2221cos sin a b θθ-=-+，=()π52cos 54sin 6θθθ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭当，πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即时， ()()ππ2π2π,Z 2π,Z 623k k k k θθ+=-+∈⇒=-+∈取得最大值9，所以的最大值为3，故D 正确.2a b - a b - 故选：BCD.10．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）120ABC∠=︒A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A ，设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则，112π2π1,2π2π333r R =⋅⋅=⋅⋅解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A 错误；1,13r R ==312-=h ==对于B ，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，1π9π18π(1)2π33⨯+⨯=所以圆台的表面积为，选项B 正确； 1834ππππ939S =++=对于C ，圆台的体积为 ，选项C 正确； 22111π[(11)333V =⋅+⋅+=对于D ，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D 正确， 18πππ1:9:2493=∶∶故选：BCD ．11．在中，a ，b ，c 分别为的对边，下列叙述正确的是（ ） ABC A ,,A B C ∠∠∠A ．若有两解 45,A a b =︒==ABC AB ．若，则为等腰三角形 cos cos a bB A=ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，则为锐角三角形 sin :sin :sin 2:3:4A B C =ABC A 【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A ，B 的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C 的正误，用正弦定理和余弦定理可得D 的正误.【详解】若， 45,A a b =︒==sin sin a bA B=可得或，sin sin b AB a===60B =︒120B =︒此时有两解，A 正确； ABC A 若，则由正弦定理可得，所以, cos cos a b B A=sin sin cos cos A BB A =sin cos sin cos A A B B =即，所以有或， sin 2sin 2A B =22A B =22180A B +=︒即或，B 不正确； A B =90A B +=︒若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>π2B A >-因为在为减函数，所以，C 正确；cos y x =()0,ππcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭若，则由正弦定理可得， sin :sin :sin 2:3:4A B C =::2:3:4a b c =设，其中；2,3,4a k b k c k ===0k >则为最大边，， c 22222249161cos 022234a b c k k k C abk k+-+-===-<⨯⨯为钝角三角形，D 不正确.ABC A 故选：AC.12．如图，在棱长为1的正方体中，P 是上的动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11B DA ．直线与是异面直线 DP 1BCB ．平面 //CP 1A BDC ．的最小值是21A P PB +D ．当P 与重合时，三棱锥1B 1P A BD -【答案】ABD【分析】选项A ，利用平面可说明直线与是异面直线；11BB C C DP 1BC 选项B ，先证明平面平面，再由平面，得平面；11//CB D 1A BD CP ⊂11CB D //CP 1A BD 选项C ，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出1A P PB +BM BMN A 的值；BM 选项D ，认识到当P 与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正1B 1P A BD -方体来求外接球半径.【详解】A 选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线DP 11BB C C 1B 1BC 11BB C C 线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A 正确；DP 1BC B 选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平1CB 1CD 11//A D BC 11A D BC =11A BCD 行四边形，有，又平面，平面，所以平面， 11//CD A B 1CD ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD 1//CD 1A BD 同理可证平面，1//CB 1A BD 又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面， 1CD 1CB 11CB D C 11//CB D 1A BD 又平面，所以平面，故选项B 正确；CP ⊂11CB D //CP 1A BDC 选项，延长到，使得，1BB 2B 1211B B B D =21B D 在上取点，使得，21B D M 11111D M A D ==则，有.111A D P MD P ≅A A 1MP PA =故.1A P PB MP PB BM +=+≥过点作，交于点，M 12MN B B ⊥12B B N在中，因为，所以，又， 121B B D A 1211B B B D =212B D =111D M =所以， MN =1B N =1BN =BM =所以，故选项C 错误；1A P PB +D 选项，当P 与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 1B 1P A BD -1111ABCD A B C D -又正方体的棱长为1，故其外接球半径D 正确. 1111ABCD A B C D -R ==故选：ABD.三、填空题13．已知是方向相同的单位向量,且向量在向量方向上的投影向量为,求与||2,||3,a b e == b a b e - a的夹角__________.b θ=【答案】 23π【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解. a b e - cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==- 【详解】因为向量在向量上的投影向量为,a b e - 所以, cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==-即, 1cos ,2a b =- 因为,[],0,πa b ∈ 所以, 2π,3a b= 故答案为:. 2π314．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，r R =R 即看求解.【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，rR 12,2AB r AA r ==所以，可得，2R===R 所以外接球的体积， )333144ππ33V R r ==⋅=圆柱的体积为，232π22πV r r r =⋅=所以该球与圆柱的体积之比为12V V =15．如图所示，为了测量A 、B 两岛屿的距离，小明在D 处观测到A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A 、B 两岛屿的距离为__海里．【答案】【分析】先利用正弦定理求解AD 的长，再利用余弦定理求出AB ．【详解】由题意知∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠ACD ＝30°，CD ＝10，∠BDC =45°， 在三角形ACD 中，， 10sin 30sin 45AD =∴AD ＝在直角三角形BCD 中，BD ＝，在三角形ABD 中，AB=故答案为：16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则ABC A M AB 5,3,AB CM EF ==C 的取值范围是__________.⋅BE AF【答案】 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 74BE AF CE AB ⋅=⋅+ CE AB ⋅ ⋅BE AF 【详解】 ()()()2BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE ⋅=+⋅-=⋅+⋅--()()()()BC AC BM MC AM MC AM MC AM MC ⋅=+⋅+=-+⋅+ ，且. 222511944MC AM =-=-= 21CE = 即 2579144BE AF CE AB CE AB ⋅=-+⋅-=⋅+ 设与的夹角为，则. CE AB []0,θπ∈77cos 5cos 44BE AF CE AB θθ⋅+=+⋅= 因为，所以. []cos 1,1θ∈-BE AF ⋅∈ 7713275,5,4444⎡⎤⎡⎤-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为： 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知向量，，． a b ()1,1b =- ()()2a b a b -⊥+ (1)若，求实数的值； //4a b a b λλ++ （）（）λ(2)若设与的夹角为，求的大小．2a b + b θθ【答案】(1) 12λ=±(2)4πθ=【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组01a b ⋅=- a b 基底，再根据共线定理得出实数的值；λ（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入2a b + 夹角公式即可.【详解】（1）由可得：， ()()2a b a b -⊥+ ()()20a b a b -⋅+=即得，，2220a a b b +⋅-= ()1,1b =- 25a = 22b = 代入解得：，所以，是不共线的向量.1a b ⋅=- a b 由题可设：，因为，是不共线的向量， ()4a b a b λμλ++= a b所以且，解得． λμ=41λμ=12λ=±（2）由于， ()222143a b b a b b +⋅=⋅+=-+=，3a =+= 由与的夹角为：2a b + b θ()2c 2os a b b a b b θ+⋅===+⋅由于，所以．[]0,θπ∈4πθ=18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高．S ABC -3SO=(1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．【答案】(1)正三棱锥的表面积为(2)正三棱锥的体积为【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为，侧面积、底面积分别为， h '12,S S 过点O 作，与交于点E ，连接，则．OE AB ⊥AB SE ,SE AB SE h '⊥=由，即，可得. 122S S =21322a h '⋅⋅=⨯a'=由，则， SO OE ⊥222SO OE SE +=1133OE CE ===即．2223h ⎫''+=⎪⎪⎭．h '∴=6a =． 2226S ∴===1S =∴表面积12S S S =+==（2）正三棱锥的体积21113333ABC V S h S SO ==⋅=⨯=A 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.a b c ABC A A B C 22cos b c a C =+(1)求；A(2)若，求的周长. ABC A 3a =ABC A 【答案】(1)π3A =(2)8【分析】（1）由及正弦定理求解；22cos b c a C =+（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.bc 3a =b c +ABC A 【详解】（1）.由正弦定理可得： 22cos b c a C =+ ∴，2sin sin 2sin cos B C A C =+所以，()()2sin π2sin sin 2sin cos A C A C C A C --=+=+所以，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+， ∴sin 2cos sin C A C =为三角形内角，，解得，， C sin 0C ≠1cos 2A =(0,π)A ∈. π3A ∴=（2），， 11sin 22S bc A bc === 163bc ∴=由余弦定理得，，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，解得， 2169()33b c =+-⨯5b c +=的周长为.ABC A ∴8a b c ++=20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E 为棱的中点，平面与棱P ABCD -ABCD PC ABE 交于点F ． PD(1)求证：平面；//PA BDE (2)求证：F 为的中点；PD 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，根据ABCD 为平行四边形，得到G 为AC 的中点，再由E 为PC 的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；//GE PA （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF ，再利用线面平行的性质定//AB CD //CD 理得到求解.//CD EF 【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，因为ABCD 为平行四边形，所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以，又平面BDE ，平面BDE ，//GE PA PA ⊄GE Ì所以平面；//PA BDE （2）因为底面为平行四边形，ABCD 所以，//AB CD又 平面ABCD ， 平面ABCD ，AB ⊂CD ⊄所以 平面ABEF ，又平面平面，//CD ABEF ⋂PDC EF =所以，//CD EF 又因为E 为PC 的中点，所以F 为的中点.PD 21．如图，棱长为2的正方体中，P ，Q 分别是棱的中点．1111ABCD A B C D -1,DDAB(1)平面与直线交于R 点，求的值； PQC 1AA 1AR A R(2)在线段上是否存在点M ，使得面，若存在，请求出M 点位置并证明；若不存1CC //BM PQC 在，请说明理由．【答案】(1) 13(2)存在，为线段上靠近点的四等分点M 1CC C【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从CQ DA E PE 1AA R 114AR AA =而得到结果；（2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边PC N DC G ,NG NM MNQB 形，从而得到结果. 【详解】（1）延长和交于，连接，交于，CQ DA E PE 1AA R即平面与直线交于点，PQC 1AA R 因为为中点， ，所以为中点，Q AB AQ DC //A ED 于是， 1111111122244AR PD DD DD AA ==⨯==所以. 113AR A R =（2）存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面，M 1CC C //BM PQC 取中点，中点，连接，则，且，PC N DC G ,NG NM //MN GC MN GC =所以，且，所以四边形为平行四边形，//MN BQ MN BQ =MNQB 所以，又因为平面，平面，BM NQ //BM ⊄PQC NQ ⊂PQC 所以面.//BM PQC 22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽．设灯柱高，．60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒(1)当时，求四边形的面积；30θ=︒ABCD (2)求灯柱的高（用表示）；h θ(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值．【答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)，最小值为 ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；ACD A ABC A （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.S 【详解】（1）当时，， 30θ=︒1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=所以，AB BC =又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以是等边三角形，所以，ACD A 12AC AD ==所以在中，，即， ABC A sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠AB BC ==所以； 11sin1201212sin6022ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯=A A 四边形（2），，18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-在中，由正弦定理得， ACD A sin sin AD AC ACD ADC∠∠=所以 ()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC AB ABC ACB =∠∠所以， sin120sin AC h θ=︒所以，所以； AC θ==()8sin23045h θθ=︒≤≤︒（3）在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， ()sin 60BC θ=︒-所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sin cos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=-=-所以 ()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=+-=+， ()18sin28sin 2602θθθ⎛⎫=+=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为，所以， 3045θ︒≤≤︒120260150θ︒≤+︒≤︒所以当，即时，取最小值 260150θ+︒=︒45θ=︒S 4+故关于的函数表达式为，最小值为. S θ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+。

黄陂一中盘龙校区2024届高一数学期中训练（1）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．已知集合{}21A x x =-<<，集合{}B x m x m =-≤≤，若A B ⊆，则m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞2、复数312i z i－＝－的共轭复数为（）A ．1355i －B ．1355i－－C ．1322i－＋D ．1355i－3．已知3sin 35x π⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝，则7cos 6x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝（）A ．－45B ．－35C ．35D ．454、在ABC ∆中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上且2BE EC =，则(ED =)A ．1263AB AC-B ．1263AB AC+C ．1163AB AC-+D ．1263AB AC-+5、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．2a πB ．273aπC ．2113a πD ．25a π6、关于函数()()ϕ+=x sin A x f 2,有下列四个命题：甲：()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ5275，单调递增；乙：6π-是()x f 的一个极小值点：丙：函数()x f y =的图象向左平移3π个单位后所得图象关于y 轴对称；丁：3π是()x f 的一个极大值点。

其中只有一个是假命题，则该命题是（）A .甲B .乙C .丙D .丁7、如图，在平面斜坐标系XOY 中，θ=∠xoy ，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若21e y e x OP+=（其中21,e e分别是X 轴，Y 轴同方向的单位向量）。

则P 点的斜坐标为()y ,x ，向量OP 的斜坐标为()y ,x 。

有以下结论：①若 60=θ，()12-,P ,3=②若()11y ,x P ，()22y ,x Q ，则()2121y y ,x x OQ OP ++=+③若=OP ()11y ,x ，=OQ ()22y ,x ,则2121y y ,x x OQ OP +=∙其中正确的结论个数为()A 、0B 、1C 、2D 、38、已知函数()()sin f x A x ωϕ＝＋（0>A ，ω＞0，｜ϕ｜＜π）的部分图象如图所示，将()x f 的图象向右平移()0>a a 个单位长度，得到函数()x g ，若()x g 满足()2g x π－＝()x g ，则a 的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分).9、在复平面内，已知复数()()202120221i 1i a a ++-对应的点在第四象限，则实数a 的可能取值有（）A.3- B.2- C.1- D.010、若βα，满足()2121=β-α=αcos ,sin ,则β可以是（）A.6πB.2π C.56π D.π11、已知点O 为ABC ∆所在平面内一点，2340OA OB OC ++=，则下列选项正确的是()A ．1439AO AB AC=+ B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:1ABC AOC S S ∆∆=D ．若||||||1OB OC OA === ，则1cos ,4OA OB <>=12、数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）YOXθA ．若P ，Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值是4B ．勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是8(πC ．勒洛四面体ABCD 的体积是D ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、已知两个单位向量a →，b →满足1a b →→-=，当a b λ→→-取最小值时，λ=______．14、已知曲线sin()6y x πω=+关于(1,0)-对称，则||ω的最小值为_____________．15、写出一个同时具有下列性质①②③的函数()x f =.①定义域为R ;②值域为()1,∞-③对任意()∞+∈.x ,x 021且21x x ≠均有()()02121>--x x x f x f 16、《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果．《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等。

2023—2024学年度下学期湖北省部分普通高中联盟期中考试高一数学试题（答案在最后）考试时间：2024年4月23日下午14：30—16：30试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时必须使用2B 铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后、将试题卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．12．已知3sin cos 65παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．725-B ．725C ．2425-D ．24253．若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos αααα-=+（）A ．12B ．2C ．2-D ．12-4．“1cos 22α=-”是“1cos 2α=”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．33C ．23D ．226．要得到函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移3π个单位，然后横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B ．纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向左平移6π个单位．然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移3π个单位，然后横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）D ．纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向右平移6π个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）7．在ABC △中，AD 为边BC 上的中线，E 为边AD 的中点，若AB a = ，AC b = ，则EB 可用a ，b表示为（）A ．3144a b -B ．1344a b -C ．3144a b+ D ．1344a b+ 8．已知向量()1,0a = ，()2,1b = ，则向量a在向量b 方向上的投影向量为（）A ．255,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,05⎛⎫⎪⎝⎭C ．42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．42,55⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，共18分。

龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高一数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）命题学校：永定一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()21i 1i z =+⋅−= A ．22i +B ．22i −C ．22i −+D ．22i −−2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b =，712A π=，6C π=，则c =A ．1B ．2CD3.若平面向量()1,2m =−与n 的夹角是180°，且n = ，则n =A ．1,12−B ．1,12−−C ．11,2−D ．11,2 −4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，1cos 2B =−，sin sin a B bC =，则该三角形的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若a α∥，b α∥，则a b ∥ B ．若a b ∥，a α∥，则b α∥C ．若a α⊂，b α⊂，且a β∥，b β∥，则αβ∥D ．α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分6.已知平面上四个点()1,2A −，()1,1B ，()2,1C ，()3,4D ，则向量AB 在向量CD上的投影向量为A ．13,1010 −−B ．13,1010 −C ．D ．21,55−7.如图所示，在三棱柱111ABC A B C −中，若点E ，F 分别满足23AE AB = ，23AF AC =，平面11EB C F将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =A ．19∶8B ．2∶1C ．17∶10D ．16∶118.已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若()()sin sin sin a b A B c B −+=且2b =，则△ABC 外接圆面积的取值范围是 A ．(),2ππB ．(),4ππC ．4,43ππD ．()2,4ππ二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在复数范围内（i 是虚数单位），下列选项正确的是 A ．关于x 的方程310x −=的解为1x = B ．复数()2024i 23iz =+的虚部是5C ．若复数z 满足234i z =+D ．已知a ，b R ∈，若i a −+是关于x 的方程220x bx ++=的一个根，则1a =，2b = 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是 A ．cos 2cos 2A B A B >⇔< B ．sin 2sin 2A B A B >⇔>C ．若△ABC 是锐角三角形，sin cos A B >恒成立D ．若O 为△ABC 的外心，且7c =，3b =，则20AO BC ⋅=−11.如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是A ．三棱锥1A APD −的体积为定值B ．1A P ∥平面1ACDC ．1AP B P +的最小值为D ．当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，四面体111B PA C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数i z x y =+（x ，y R ∈），则复平面内满足1i z m −+=的点Z 的集合围成的图形面积为16π，则实数m = .13.“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计）14.在四面体ABCD 中，AC BC CD ===4AB AD BD ===AB ⊂平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，现将四面体以AB 为轴旋转，则线段EF 在平面α上投影长度的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数1i z a =+（a R ∈，i 为虚数单位）. （1）若()12i z −⋅为纯虚数，求实数a 的值； （2）若1izω=+，且复数ω在复平面内所对应的点位于第四象限，求a 的取值范围. 16.（15分）已知向量()3,4a = ，(),3bx =−.（1）当()()a b a b +⊥− 且0a >时，求a b − ；（2）当()3,7c = ，()a b c +∥ 时，求向量a 与b的夹角的余弦值.17.（15分）如图，梯形ABCD 是圆台12O O 的轴截面，E ，F 分别在底面圆1O ，2O 的圆周上，EF 为圆台的母线，160DO E ∠=°，已知4CD =，8AB =，G ，H 分别为2O B ，BF 的中点.（1）证明：平面CGH ∥平面12O O FE .（2）若三棱锥C -GBH ，求圆台12O O 的侧面积. 18.（17分）如图1，在平面四边形P ABC 中，PA AB ⊥，CD AB ∥，2224CD AB PD AD ====.E 是线段PC 上靠近P 端的三等分点，F 是线段CD 的中点，DE PF M = .将△PDC 沿CD 折成四棱锥P -ABCD ，连接P A ，PB ，BD ，如图2.图1图2（1）在图2中，证明：PA ∥平面. （2）在图1中，求PMMF的值. 19.（17分）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.（1）求出所有可能的三角形的面积.（2）如图，在平面凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD =，4DA =.①当A ∠大小变化时，求四边形ABCD 面积的最大值，并求出面积最大时BD 的值.②当1cos2A=时，△ABD所在平面内是否存在点P，使得PA PB PD++达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项ABABDAAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.题号 9 10 11 选项BCACDABD8.【详解】因为22a b bc −=，所以22a b bc =+.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−， 所以2222cos b bc b c bc A +=+−，即2b c bcosA =−， 由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =−，因为()C A B π=−+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 则sin sin cos cos sin B A B A B =−，即()sin sin B A B =−. 因为△ABC 是锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，所以22A B ππ−<−<.又sin y x =在,22ππ−B A B =−，则2A B =. 因为△ABC 是锐角三角形，所以02B π<<，022A B π<<，032C B ππ<=−<，所以64B ππ<<，由正弦定理得22sin sin b RB B ==，所以222sin sin 46R ππ<<2R <<， 所以外接圆面积()2,4S ππ∈.11.【详解】对于A ，11A APD P AA DV V −−==定值. 对于B ，由1A P ⊂平面11A C B ，平面11A C B ∥平面1ACD ，可得结论正确.对于C ，展开两线段所在的平面，得矩形11ABC D 及等腰直角三角形11B BC ，由余弦定理可计算1AP B P +的最小值为线段1AB .对于D 当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，点P 在点B 处，四面体111B PA C 的外接球即正方体的外接球，故外=，所以该球的体积为343R π=. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.4 13.163π14.14.【详解】如图，取AC 的中点G ，AB 的中点Q ，连接EG ，FG ，CQ ，DO ，∵E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，∴GF AB ∥，GE CD ∥，∵AC BC CD ===AB AD ==4BD =，∴122GF AB ==，12GE CD ==，则CQ AB ⊥，DQ AB ⊥，且CQ DQ Q = ，CQ ，DQ ⊂平面CDQ ，∴AB ⊥平面CDQ ，又CD ⊂平面CDQ ，∴AB CD ⊥，∴GE GF ⊥，在Rt △EGF 中，222222CD EF GE GF =+=+ ，当四面体绕AB 旋转时，∵GF AB ∥，AB ⊂平面α，GF ⊄平面α，∴GF ∥平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，且2GF =，长度不变. 当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的投影长最短为0，此时EF 在平面α上的投影11E F 2=，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的投影长最长为2CDGE ==，此时EF 在平面α上的投影11E F ，线段EF 在平面α上的投影长的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（本题满分13分） 解：（1）()()()()()12i 12i 1i 122i z a a a −=−+=++−.因为()12i z −⋅为纯虚数，所以120a +=，20a −≠， 所以12a =−. （2）由()()11i 1i1i 1i2a a z a ω++−+===++，复数ω所对应的点位于第四象限， 得1010a a +>−<，解得11a −<<.故实数a 的取值范围是()1,1−. 16.（本题满分15分） 解：（1）向量()3,4a =，(),3b x =− ，则()3,1a b x +=+，()3,7a b x −=− .由()()a b a b +⊥− ，可得()()0a b a b +⋅−=，即()()33170x x +−+×=，解得4x =或4x =−. 又0x >，所以4x =，则()4,3b =−，则()1,7a b −=−，所以a b =−=.（2）由()3,7c =，(),3b x =− ，得()3,4b c x +=+ .由()a b c +∥，可得()34430x ×−×+=，解得0x =， 所以5a =，3b = ，()304312a b ⋅=×+×−=− ， 124cos ,535a b a b a b ⋅−<>===−×.所以向量a 与b 的夹角的余弦值为45−.17.（本题满分15分） （1）证明：∵在梯形ABCD 中，4CD =，8AB =， ∴1212O C O B ∥. 又G 为2O B 的中点，∴2212O G O B =， ∴1212O C O G ∥.故四边形12O O GC 为平行四边形，∴12OG O O ∥.又OG ⊂/平面12O O FE ，12O O ⊂平面12O O FE ， ∴CG ∥平面12O O FE .∵G ，H 分别是2O B ，BF 的中点， ∴2GH O F ∥.又GH ⊂/平面12O O FE ，2O F ⊂平面12O O FE ， ∴GH ∥平面12O O FE .又CG GH G = ，CG ⊂平面CGH ，GH ⊂平面CGH ， ∴平面CGH ∥平面12O O FE .（2）解：设12O O h =由（1）可知12OG O O ∥，则CG 为三棱锥C -GBH 的高h . 故13G GB BH C H V S h ∆−=⋅⋅，由160DO E ∠=°，可得260AO F ∠=°， ∴2120BO F ∠=°. 又∵212GH O F ∥，2122BG O B ==，∴11sin1202222GBH S BG HG ∆=⋅⋅⋅°=××=.故1133C GBH GBH V S h h −∆=⋅⋅==， ∴5h =.在Rt △CGB 中，BC =故圆台的侧面积()()122242S r R l ππππ=+=+=. 18.（本题满分17分）（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE （图略）. ∵CD AB ∥， ∴AOB OOD ∆∆∽，又2CD AB =，所以2OC OA =， 又∵E 是线段PC 上靠近P 端的三等分点， ∴2CE PE =.故OC CEOA PE =， ∴OE PA ∥，∵PA ⊂/平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PA ∥平面BDE .（2）解：由DE PF M = ，可知D ，E ，M 三点共线，P ，F ，M 三点共线.由P ，F ，M 三点共线，可设PM PF λ=（01λ<<）， ∴1PF PM λ=.∵F 是CD 的中点，∴1122PF PD PC =+ ，∵E 是线段PC 上靠近P 端的三等分点， ∴3PC PE =，故11322PM PD PE λ=+，即322PM PD PE λλ=+ .由D ，E ，M 三点共线，可得3122λλ+=，解得12λ=.故1PMMF= 19.（本题满分17分） 解：（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为12+，3，4和2，31+，4，当三角形三边为12+，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值2223341cos 2339θ+−==××，sin θ=，1332S ∆=××=. 当三角形三边为2，31+，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值2224427cos 2448θ+−==××，sin θ=1442S ∆=××=.（2）①连接BD ，由余弦定理知222217cos 28AB AD BD BD A AB AD +−−==⋅，222cos 2CB CD BD C CB CD+−==⋅21312BD −，∴2178cos BD A =−，21312cos BD C =−，∴178cos 1312cos A C −=−，∴2cos 3cos 1A C −=. 又1114sin 23sin 2sin 3sin 22ABCD ABD BCD S S S A C A C ∆∆=+=×××+×××=+， ∴()2222sin 3sin 4sin 9sin 12sin sin A C A C A C +=++.又∵2cos 3cos 1A C −=，∴()22cos 3cos 1A C −=.∴224cos 9cos 12cos cos 1A C A C +−=.故()()22241cos 91cos 12sin sin ABCD S A C A C =−+−+ ()22134cos 9cos 12sin sin A C A C =−++13112cos cos 12sin sin A C A C =−−+()1212cos 24A C =−+≤，当且仅当A C π+=时，224ABCD S =，ABCD S 取得最大值，此时A C π+=，2cos 3cos 1A C −=，∴2cos 3cos 1A A +=，1cos 5A =，1cos 5C =−，2771312cos 5BD C =−=，BD =. ②把△APD 绕A 逆时针旋转60°，如图，则1P P →，1D D →，连接1BD .1APP ∆为等边三角形，则1AP PP =，11PD PD =，14AD AD ==，1133D AB D AD DAB ππ∠=∠+∠=+23π=， ∴1111PA PB PD PP PB PD BD ++=++≥（当且仅当1D ，1P ，P ，B 共线时取得最小值）， 此刻22211122cos1164213BD AB AD AB AD π=+−=++=，.。

福建省泉州市四校（晋江磁灶中学等）2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数)1(i i -在复平面内表示的点位于（ ）A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限 2.要得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只须要将函数)62cos(π+=x y 的图像（ ）A.向左平移6π个单位长度B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 3.如图，已知OAB ∆的直观图O A B '''∆是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么OAB ∆的面积是（ ）A.21 B.22C.1D.24.设n m ,是两条不同的直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A.若,////βαm m ，则βα//B.若,n m m ⊥⊥，α则α⊥nC.若,//n m m ，α⊥则α⊥nD.若,αβα⊥⊥m ，则β//m5.已知53)tan(=+βα，41)4-tan(=πβ，那么=+)4tan(πα（ ） A.237 B.2313 C.1813 D.1836.若向量）（2,1=→a ，）（1,0=→b ，→→→→+-b a b k a 2与共线，则实数k 的值为（ ） A.1- B.2- C.1 D.27.已知圆锥的表面积为π9，且它的侧面绽开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A.1B.3C.2D.28.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点，则→DF =( )A.→→+-AD AB 4321B.→→-AD AB 4321C.→→-AD AB 2131D.→→+AD AB 32219.已知三棱锥ABC P -的三条侧棱两两相互垂直，且,2,7,5===AC BC AB 则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A.38π B.328π C.316π D.332π 10.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，4-π=x 是函数)(x f 的一个零点，且4π=x 是图像的一条对称轴，若)(x f 在），（69ππ上单调，则ω的最大值为（ ）A.18B.17C.15D.13二、多项选择题:本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项是符合题目要求，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分.11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，则以下结论正确的事（ ）A.异面直线D A 1与1AB 所成的角为060B.直线D A 1与1BC 垂直C.直线D A 1与1BD 平行D.三棱锥CD A A 1-的体积为361a 12.ABC ∆是边长为1的等边三角形，已知向量,→→=a AB ,→→=b AC 则下列说法中正确的是（ ）A.)()(→→→→-⊥+b a b a B.23=⋅→→BC AB C.72=+→→b a D.若)2//()2(→→→→++b a b a λλ，则2=λ第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.=-000036cos 24cos 36sin 24sin ______________.14.已知平行四边形ABCD 的顶点)7,6(),1,3(),2,1(C B A ---,则顶点D 的坐标为___________.15.如图，在三棱柱的侧棱A A 1和B B 1上各有一动点P ,Q 且满意BQ P A =1，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥ABQP C -与三棱柱ABC C B A -111的体积比为_______________.16.如图，某湖泊湿地为拓展旅游业务，现打算在湿地内建立一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为0120的马路长度均超过2千米，在两条马路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建立两条观光线路PM ，PN ，测得2=AM ，千米，2=AN 千米，060=∠MPN ，则PN PM +的最大值为__________千米.四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知复数iiz -+=23. （1）求z 的共轭复数-z ；（2）若i b az -=+1，求实数b a ,的值.18.（本小题满分12分）已知向量,→a →b 的夹角为060，且）（1,0=→a . （1）若2=→b ，求→b 的坐标；（2）若)()(→→→→-⊥+b a b a ，R ∈λ，求→→+b a λ的最小值.第15题图第16题图19.（本小题满分12分）如图，ABCD PA 矩形⊥所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为045，求证：PCD MN 平面⊥.20.（本小题满分12分）已知函数3)6sin(sin 4)(--=πx x x f .（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的值域.21.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设()7cos cos a B b A ac +=，且sin2sin A A =.（1）求A 及a ；（2）若2b c -=，求BC 边上的高.22.（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，ABCD AEFC 平面平面⊥，AC EF //,AB AE =,EF AC 2=.（1）求证：AEFC BED 平面平面⊥；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且AC EA ⊥，求二面角D FC B --的余弦值.草稿纸2024年春季四校联合测试高一年数学科试卷（参考答案）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACDCABBBBD【解析】10.二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 11. ABD 12. AC二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2114.）6,2( 15. 3:1 16.34 【解析】15.设三棱柱的体积为V ，侧棱和上各有一动点P ，Q 满意，四边形PQBA 与四边形的面积相等，故四棱椎的体积等于三棱锥的体积，因为三棱锥等于三棱柱的体积的，所以四棱锥与三棱柱的体积比为16.设，因为，所以在中，由正弦定理得，，所以，，因此．因为，所以．所以当，即时，取到最大值三、解答题:本大题共6小题，共70分.17. （1）i z -=-1 （2）2,1=-=b a【解析】解：（1）因为i ii i i i i i z +=+=+-++=-+=1555)2)(2()2)(3(23所以i z -=-1 （2）由（1）得，i ai b a b i a b az -=++=++=+1)()1(所以由复数的相等得，1,1=+-=b a a 且，解得2=b18. （1）)1,3()1,3(-==→→b b 或（2）23【解析】解：（1）设),(y x b =→，因为→→→→→→⋅>=<ba b a b a ,cos 且y y x b a =⨯+⨯=⋅→→10，11022=+=→a ，所以有2160cos 0⨯=y，解得1=y 又因为222=+=→y x b ，所以3±=x ，即)1,3()1,3(-==→→b b 或（3）因为)()(→→→→-⊥+b a b a ，所以0)()(=-⋅+→→→→b a b a ，即22→→=b a 所以1==→→b a所以202222260cos 212)(λλλλλλ++=+⋅+=+=+→→→→→→→→→→b a b b a a b a b a43)21(122++=++=λλλ所以，当21-=λ时，→→+b a λ有最小值为2319.【解析】证明(1)取PD 的中点E ，连接NE 、AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE//DC ，NE=12DC又∵DC //AB ，AM ＝12AB ，∴AM =12CD ，∴NE=AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD . 又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD . ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE .∴CD ⊥MN ，又CD ∩PD ＝D ，∴MN ⊥平面PCD .20.（1）22T ππ==（2）[2,1]-【解析】解：（1）因为()4sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭4sin sin cos cos sin 66x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =--cos 2)sin 2x x =---sin 22x x =-2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22T ππ==. （2）因为64ππ≤≤-x ，所以322ππ≤≤-x .所以32326πππ≤+≤-x ，所以1)32sin(21≤+≤-πx . 所以2)32sin(21≤+≤-πx故()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,1]-. 3,7)1.(21π==A a 14213)2(=h【解析】解:（1）因为()7cos cos a B b A ac +=，依据正弦定理得， 7sin cos sin cos sin ,7A B B A a C +=7sin sin ,7C a C ∴=又因为sin 0,C ≠7.a ∴=sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴=因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =，(0,),.3A A π∈π∴=（2）由（1）知，7,.3a A π==由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+因为2b c -=，所以74,bc =+所以 3.bc =设BC 边上的高为h .11333sin 3.2224ABC S bc A ∴==⨯⨯=△11337,224ABC S ah h =∴⨯=△，321.14h ∴=22.（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以，又因为平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，所以平面AEFC，因为平面BDE，所以平面平面AEFC．（2）解：如图，连接FO，因为，四边形AEFC为直角梯形，且，所以可得四边形AEFO为矩形，，因为平面AEFC，平面AEFC，所以，因为，BD，平面ABCD，，所以平面ABCD，即平面ABCD，因为平面ABCD，所以，因为O为BD中点，所以，又，．所以．过B作交FC于G，则，所以为二面角的平面角，在中，所以，，同理，在中，由三角形面积公式得，则，在中，，所以二面角的余弦值为．。

浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一数学下学期期中联考试题（扫描版）2014学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学学科参考答案一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D C D C B B二、填空题：（本大题共7小题，第9、10小题每空2分，第11、12小题每空3分，第13、14、15小题每空4分，共36分.） 9.π4，2，4π10.552-，21-，5311.13 ，3392 12. 6π或62ππ+k （均给满分），21 13.2， 14.332 15.33三、解答题：（本大题共4小题，共44分.解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分10分） 解：（1）由 272cos 2cos42=-C C 得021cos 2cos 22=+-C C ………………3′ 所以21cos =C ………………4′即3π=C ………………5′（2）由余弦定理得ab b a C ab b a 3)(cos 27222-+=-+=………………7′ 又5=+b a ，所以6=ab ………………9′ 由233sin 21==∆C ab S ABC ………………10′ 17. （本小题满分10分）解：（1）由图知：,1=A ………………1′π4343=T ，得π=T ，所以2=ω ………………3′ 又,22122ππϕπ+=+⋅k 得32ππϕ+=k ，又因为πϕ20<≤，故3πϕ=.所以)32sin()(π+=x x f ………………5′（2）)2cos 1(3)32sin(sin 32)()(2x x x x f x g -++=+=π3)32sin(+-=πx ………………7′由223222πππππ+≤-≤-k x k 解得：12512ππππ+≤≤-k x k ………………9′所以，)(x g 的单调递增区间为Z k k k ∈+-]125,12[ππππ.………………10′18. （本小题满分12分）解：（1）因为//，)2,4(-+=y x ，),(y x =，所以042=---xy y x xy即02=+y x .………………① ………………4′ （2）)3,2(),1,6(--=++=y x BD y x AC ，0)3)(1()2)(6(=-++-+=⋅y y x x即0152422=--++y x y x ………………② ………………8′联立（1）（2）⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y x ………………10′当⎩⎨⎧=-=36y x 时，8||,4||==， 16=ABCD S当⎩⎨⎧-==12y x 时，4||,8||==，16=ABCD S所以：16=ABCD S . ………………12′19. （本小题满分12分）解：（1）当1=a 时，2)cos 1)(1(sin )(+--=x x x f21cos sin cos sin +-++-=x x x x令x x t cos sin +=，则21cos sin ],2,2[2-=-∈t x x t ，……………… 2′2)1(212121)(22+--=+-+--=t t t t g ………………4′ 当1=t 时，2)(max =t g ，当2-=t 时，23)(min -=t g .所以：)(x f 的值域为]2,23[-. ………………6′（2）a x a a x x f 2)cos )((sin )(+--=a a x x a x x 2)cos (sin cos sin 2+-++-=令x x u cos sin +=，则当],0[π∈x 时，21cos sin ],2,1[2-=-∈u x x u ，a a a u a a au u u h 22121)(21221)(2222++---=+-+--=…………8′ )(x f 在],0[π内有且只有一个零点等价于)(u h 在}2{)1,1[U -内有且只有一个零点)2,1[无零点. ………………10′因为1≥a ，所以)(u h 在)1,1[-内为增函数，①若)(u h 在)1,1[-内有且只有一个零点，]2,1[内无零点。