高考模拟数学试题(含答案) (5)

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

高考数学模拟试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为：A. an = 3n - 2B. an = 3n - 1C. an = 3nD. an = 3n + 13. 函数f(x) = 2x - 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 4D. 54. 圆x^2 + y^2 = 4的圆心坐标为：A. (0, 0)B. (2, 0)C. (0, 2)D. (-2, 0)5. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定6. 函数y = ln(x)的导数是：A. y' = 1/xB. y' = xC. y' = x^2D. y' = 1二、填空题（每题5分，共20分）1. 等比数列{bn}中，若b1 = 2，公比q = 3，则b3 = __________。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2) = __________。

3. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为 __________。

4. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 __________。

三、解答题（共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。

（10分）2. 已知圆C：x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，求圆的半径和圆心坐标。

（10分）3. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 6)，C(7, 10)，求三角形ABC的面积。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（五）数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合{}1,2,3A =，{}11B x x =->，则()RA B ⋂=ð（）A. {}1B. {}1,2C. {}1,2,3D. ∅2. 已知z 满足i 1z +=，则z 的最大值为（ ）A. 1B.C.D. 23. 函数()πcos 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在下列哪个区间上单调递增（ ） A. π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，3AB =，AD =，45BAD ∠=︒，则AC AE ⋅=（ ）A. 20B. 22C. 24D. 255. 已知圆1C ：2216x y +=与圆2C ：22160x y kx y m ++++-=交于A ，B 两点，当k 变化时，AB.的最小值为m =（ ） A. 0B. ±1C. ±2D. 6. 如图，在正三棱台111ABC A B C -中，若111422AB A B AA ===，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.13D.167. 一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ） A551024B.55512C.25256D.251288. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2e xg x f x x '=-+也是定义在R 上的奇函数，则关于x 的不等式()()21220g xg x -++>的解集为（）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()1,3-D. ()3,1-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某同学5次考试中数学、物理成绩如图所示，则（ ）A. 5次物理成绩第60百分位数是81B. 5次数学成绩的极差大于物理成绩的极差C. 5次物理成绩的标准差小于3D. 5次数学成绩的平均数大于110.的10. 函数()f x 的图像向左平移π6个单位长度后得到2π2sin cos 23y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像，则（ ）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图像关于点π,14⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D. 当π2x =时，()f x 取到最小值 11. 已知1xy=是等轴双曲线C 的方程，P 为C上任意一点，M ，则（）A. CB. C 的焦距为2C. 平面上存在两个定点A ，B，使得PA PB -=D. PM的最小值为2-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是______.13. 已知M ，N 为抛物线C ：24y x =上不关于x 轴对称的两点，线段MN 的中点到C 的准线的距离为3，则直线MN 的方程可能是________.（写出满足条件的一个方程即可）14.某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm 的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为_________3cm .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员.该店随机抽取男、女会员各100名进行调研统计，其中抽到男性星级会员25名，女性星级会员40名.（1）完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关?的男性会员 女性会员 合计星级会员 普通会员 合计（2）该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（5个球除颜色外其他均相同）的箱子里，会员从中有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若三次都没有摸到红球，则无优惠；若三次摸到1个红球，则获得九折优惠；若三次摸到2个红球，则获得八折优惠；若三次摸到3个红球，则获得七折优惠.若店内某件商品的标价为a 元，记会员实付费用为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.050.010.001x α 2.706 3.841 6.635 10.82816. 如图，圆锥的顶点为P ，AB 为底面圆O 的直径，C 是圆O 上一点，M 是PB 的中点，2AO BC PO ===，Q 为底面圆周上异于点A 的一个动点.（1）是否存在Q ，使得//PQ 平面MOC ?若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由； （2）记直线PQ 与平面MOC 所成角的最大值为θ，求sin θ.17. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()3,1M ，且C 与双曲线22153x y -=有相同的焦点.（1）求C 的方程；（2）直线l ：y x m =+不过第四象限，且与C 交于A ，B 两点，P 为C 上异于A ，B 的动点，求ABP面积的最大值()g m ，并求()g m 的最大值.18. 已知函数()()22ln 11ax f x x x =+-+，1x =是()f x 的极小值点.（1）求a 的值；（2）当0x ≥时，()f x mx ≤，求m 的取值范围；（3）求证：()*2ln 1ln 1ln 13,33n n n n ⎡-⎛⎛⎢+++⋅⋅⋅+>≥∈ +⎢⎝⎝⎣N . 19. 若有穷数列12:,,,(4)n A a a a n > 满足：()1,1,2,,i n i a a c c i n +-+=∈=R ，则称此数列具有性质c P .（1）若数列23:2,,,2,6A a a -具有性质c P ，求23,,a a c 的值；（2）设数列A 具有性质0P ，且12,n a a a n <<< 为奇数，当(),01,i j a a i j n >≤≤时，存在正整数k ，使得j i k a a a -=，求证：数列A 为等差数列；（3）把具有性质c P ，且满足212k k a a m -+=（*,,2nk k m ∈≤N 为常数）的数列A 构成的集合记作(),c T n m .求出所有的n ，使得对任意给定的,m c ，当数列(),c A T n m ∈时，数列A 中一定有相同的两项，即存在(),1,i j a a i j i j n =≠≤≤.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3A =，{}11B x x =->，则()RA B ⋂=ð（）A {}1B. {}1,2C. {}1,2,3D. ∅【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，利用交集和补集的运算，即可得出结果.【详解】因为{}11{0B x x x x =->=<或2}x >，{}R |02B x x =≤≤ð， 所以(){}R 1,2A B ⋂=ð..故选：B.2. 已知z 满足i 1z +=，则z 的最大值为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设i z a b =+，根据模长得到方程，求出()2211a b ++=，并求出20b -≤≤，从而得到[]0,2z =.【详解】设i z a b =+，则()i 1i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，由于20a ≥，故()2110b -+≥，解得20b -≤≤，则[]0,2z ===，故选：D3. 函数()πcos 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在下列哪个区间上单调递增（ ）A. π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.详解】令πππ2π242x k k -≤≤-，Z k ∈，得3ππππ+88k x k -≤≤， 令0k =可得，()f x 的一个增区间为3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，结合选项可得C 符合题意. 故选：C4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，3AB =，AD =，45BAD ∠=︒，则AC AE ⋅=（ ）【A. 20B. 22C. 24D. 25【答案】B 【解析】【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案.【详解】由题意可得AC AB AD =+ ，12AE AB BE AB AD =+=+，所以()12A D C AB A AB AD AE ⎛⎫++ ⎪=⋅⎝⎭⋅223122AB AB AD AD =+⋅+因为3AB =，AD =，45BAD ∠=︒，所以229,8,6AB AD AB AD ==⋅=，所以22AC AE ⋅=.故选：B5. 已知圆1C ：2216x y +=与圆2C ：22160x y kx y m ++++-=交于A ，B 两点，当k 变化时，AB最小值为m =（ ） A. 0 B. ±1C. ±2D. 【答案】C 【解析】【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合最值可得答案. 【详解】两圆的公共弦所在线的方程为：0kx y m ++=，圆心1C到直线的距离为d =，AB =，因为211k +≥≥，所以=，解得2m =±. 故选：C的6. 如图，在正三棱台111ABC A B C -中，若111422AB A B AA ===，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】在平面11B C CB 中，过1B 作1BC 的平行线，交CB 的延长线于F ，连接AF ，则1AB F ∠或其补角为异面直线1AB 与1BC 所成角，结合余弦定理可求角的余弦值.【详解】由正三棱台的性质可得四边形11A B BA 为等腰梯形，其中1111,//AA BB A B AB =， 如图，在梯形11A B BA 中，过1B 作1B E AB ⊥，垂足为E ， 而4212BE -==，故11cos 2B BE ∠=，故1AB ===.同理，1BC =.在平面11B C CB 中，过1B 作1BC 的平行线，交CB 的延长线于F ，连接AF ，则1AB F ∠或其补角为异面直线1AB 与1BC 所成角，因11//B F BC ，11//B C BF ，故四边形11B C BF 为平行四边形，故112B C BF ==，11B F BC ==，而120ABF ∠=︒，故AF ===故141cos 246AB F -∠===-，故异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为16， 故选：D .7. 一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ） A.551024B.55512C.25256D.25128【答案】C 【解析】【分析】就质子水平方向移动次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式可求概率. 【详解】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率6361C 4⎛⎫⎪⎝⎭；若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率622641A C 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率622461C A 4⎛⎫⎪⎝⎭；若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率6361C 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；故移动6次后仍然回到原点的概率为25256， 故选：C8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2e xg x f x x '=-+也是定义在R 上的奇函数，则关于x 的不等式()()21220g xg x -++>的解集为（）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()1,3-D. ()3,1-【答案】A 【解析】【分析】根据()g x 为奇函数及()f x '为偶函数可求()g x ，利用导数可判断()g x 为R 上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为()()2e xg x f x x =-+'，故()()2e 2e0xxf x x f x x --++'---='，故()()2e 2e xxf x f x -+-=+''，因为()f x 是定义在R 上奇函数，故()()0f x f x +-=， 故()()0f x f x ''--=，故()e exxf x -='+，故()e exxg x x -=-++，此时()e e1210xxg x -=--+≤-+<'，故()g x 为R 上的减函数，而()()21220g xg x -++>等价于()()2122g x g x ->--，即2122x x -<--即2230x x -->，故1x <-或3x > 故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某同学5次考试中数学、物理成绩如图所示，则（ ）的A. 5次物理成绩的第60百分位数是81B. 5次数学成绩的极差大于物理成绩的极差C. 5次物理成绩的标准差小于3D. 5次数学成绩的平均数大于110【答案】BD【解析】 【分析】根据百分位数，极差，标准差，平均数的计算公式依次得出答案.【详解】由题知，5次数学成绩从低到高依次排列为:96、101、108、120、128，5次物理成绩从低到高依次排列为:78、80、81、85、86.对于A 选项，因为560%3⨯=，所以5次物理成绩的第60百分位数为8185832+=，故A 选项错误； 对于B 选项，5次数学成绩的极差为1289632-=，5次物理成绩的极差为86788-=，数学成绩的极差大于物理成绩的极差，故B 选项正确；对于C 选项，5次物理成绩的平均数为78808185864108255++++==，3=>，故C 选项错误；对于D 选项，5次数学成绩的平均数为96101108120128553110.655++++==， 平均数大于110，故D 选项正确.故选：BD.10. 函数()f x 的图像向左平移π6个单位长度后得到2π2sin cos 23y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像，则（ ） A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图像关于点π,14⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D. 当π2x =时，()f x 取到最小值 【答案】BC【解析】【分析】利用三角变换和图象变换得到()cos 21f x x =-+，代入计算后可判断AD 的正误，根据定义可判断B 的正误，利用整体法可求判断C 的正误.【详解】2π12sin cos 21cos 2cos 2232y x x x x x ⎛⎫=+-=-++ ⎪⎝⎭1π2cos 21sin 2126x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故()ππsin 21cos 2136f x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭， 对于A ，()0cos 010f =-+=，故A 错误.对于B ，()()cos 21cos 21()f x x x f x -=--+=-+=，而x ∈R ，故()f x 为偶函数，故B 正确. 对于C ，令π2π,2x k k =+∈Z ，则ππ,24k x k =+∈Z ， 故()f x 的图像的对称中心对称为ππ,1,24k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，对称中心为π,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 正确. 对于D ，()πcos 212cos π12f x x f ⎛⎫=-+≤=-+=⎪⎝⎭，故π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 取到最大值，故D 错误. 故选：BC .11. 已知1xy =是等轴双曲线C 的方程，P 为C 上任意一点，M ，则（ ）A. CB. C 的焦距为2C. 平面上存在两个定点A ，B ，使得PA PB -=D. PM 的最小值为2-【答案】ACD【解析】【分析】根据等轴双曲线的离心率可判断A 的正误，根据1xy=图象的对称轴可求a ，从而可求c ，故可判断BCD 的正误.【详解】对于A ，因为1xy=，故A 正确. 对于B ，因为1xy =图象的对称轴为y x =和y x =-，由1y x xy =⎧⎨=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故双曲线顶点坐标为()()1,1,1,1--， 的故双曲线的实半轴长为a ==2c ==， 故焦距为4，故B 错误. 对于C ，因焦点在直线y x =上，故设焦点坐标为(),s s ，因为2c =，且双曲线的中心为原点，故224s =即2s =±，取(,A B，由双曲线的定义可得2PA PB a -==， 故C 正确.对于D ，由C 的分析可得M 为焦点，则min 2c PMa =-=，故D 正确，故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是______.【答案】(),1-∞-【解析】【分析】先给出命题p 的否定，由函数2()2f x x mx =-的单调性进行求解.【详解】命题p 的否定为：任意[]1,1m ∈-，使得函数2()2f x x mx =-在区间[,)a +∞内不单调， 由函数2()2f x x mx =-在(),m -∞上单调递减，在(),m +∞上单调递增，则a m <，而[]1,1m ∈-，得1a <-，故答案为：(),1-∞-13. 已知M ，N 为抛物线C ：24y x =上不关于x 轴对称的两点，线段MN 的中点到C 的准线的距离为3，则直线MN 的方程可能是________.（写出满足条件的一个方程即可）【答案】y x =（答案不唯一）【解析】【分析】先设出直线，联立方程，结合线段MN 的中点到C 的准线的距离为3可得答案.【详解】设直线:MN x my n =+，0m ≠，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，2440y my n --=， 216160m n ∆=+>，12124,4y y m y y n +==-，()21212242x x m y y n m n +=++=+，因为线段MN 的中点到C 的准线的距离为3，抛物线的准线为：=1x -， 所以12132x x ++=，所以222m n +=. 令1m =，得0n =，直线MN 的方程可能是y x =.故答案为：y x =（答案不唯一）14. 某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm 的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为_________3cm .【解析】【分析】画出四棱锥形包装盒的直观图，设AC BD O = ，连接PO ，易知PO ⊥平面ABCD ，设AB 、BC 的中点分别为E 、F ，连接PE 、PF ，设AB a =，BC b =，PO h =，即可得到242h b -=、a =，再由锥体的体积公式得到)531128P ABCD V h h h -=-+，最后构造函数利用导数求出体积最大值.【详解】如图是四棱锥形包装盒的直观图，设AC BD O = ，连接PO ，易知PO ⊥平面ABCD ， 设AB 、BC 的中点分别为E 、F ，连接PE 、PF ，设AB a =，BC b =，PO h =，则PE =24PE BC +=，所以4b +=，整理得242h b =-，所以242h b -=，同理2PF AB +=a +=，整理得27h =-，所以a =，所以2114332P ABCD h V abh --==⨯)())2253741128h h h h h h =--=-+， 因为,0a b >，所以()0,2h ∈，令()531128g h h h h =-+，()0,2h ∈， 则()()()4222533285281g h h h h h -=-'=+-， 因为25280h -<，所以当01h <<时()0g h '>，当12h <<时()0g h '<，所以()g h 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以当1h =时()g h 取得最大值，即()()max 118g h g ==，318=.【点睛】关键点点睛：本题关键是找到a，b，h的关系，将锥体的体积转化为h的函数，再利用导数求出函数的最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员.该店随机抽取男、女会员各100名进行调研统计，其中抽到男性星级会员25名，女性星级会员40名.（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关?男性会员女性会员合计星级会员普通会员合计（2）该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（5个球除颜色外其他均相同）的箱子里，会员从中有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若三次都没有摸到红球，则无优惠；若三次摸到1个红球，则获得九折优惠；若三次摸到2个红球，则获得八折优惠；若三次摸到3个红球，则获得七折优惠.若店内某件商品的标价为a元，记会员实付费用为ξ，求ξ的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.α0.1 0.05 0.01 0.001xα2.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）列联表见解析；可以认为星级会员与性别有关（2）分布列见解析；2225a . 【解析】 【分析】（1）补全22⨯列联表，写出零假设 ，计算2χ的值，并与临界值比较，得出结论；（2）求出ξ的不同取值，计算不同取值对应的概率，写出ξ的分布列，利用数学期望公式计算ξ的数学期望.【小问1详解】由题意得22⨯列联表 男性会员 女性会员 合计星级会员 25 40 65 普通会员 75 60135 合计 100100 200 零假设为0:H 星级会员与性别无关，则()226513200525607540200 5.11001028 3.841039χ⨯⨯⨯⨯-⨯≈>⨯==， 并根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为星级会员与性别有关；【小问2详解】由题意得，每次摸到红球的概率25p =，实付费用为ξ的取值为a ，0.9a ，0.8a ，0.7a ， ()33275125a P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2132354C 551250.9a P ξ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝=⎭， ()2232336C 55120.85P a ξ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭=，()3285.72501P a ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=， ξ的分布列为：ξ a 0.9a 0.8a 0.7aP 27125 54125 36125 8125所以ξ的数学期望()2754368220.90.80.712512512512525E a a a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 16. 如图，圆锥的顶点为P ，AB 为底面圆O 的直径，C 是圆O 上一点，M 是PB 的中点，2AO BC PO ===，Q 为底面圆周上异于点A 的一个动点.（1）是否存在Q ，使得//PQ 平面MOC ?若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由； （2）记直线PQ 与平面MOC 所成角的最大值为θ，求sin θ.【答案】（1）答案见解析.（2 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面平行得到直线与法向量垂直，求解参数，确定点Q 位置即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】存在点Q ，使得//PQ 面MOC ，如图作OK AB ⊥交圆O 于点K ，设O 为坐标原点，以OK 为x 轴，OB 为y 轴，OP 与z 轴， 建立空间直角坐标系，设()2cos ,2sin ,0Q αα，()0,2,0A -，()0,1,1M ，故()0,3,1AM = ，()2cos ,2sin ,2PQ αα=- ，易知()0,1,1OM = ，2BO BC CO ===，故BOC 是等边三角形，得)C ，故)OC = ， 设面OCM 的法向量为()1,,n x y z = ，可得1100OM n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z y +=+=⎪⎩，令x =3y =，3z =-，故得()13n =- ， 因为//PQ 平面MOC ，所以1PQ n ⊥ ，故1π6sin 6606PQ n ααα⎛⎫⋅=-++=-+= ⎪⎝⎭ ， 而Q 在为底面圆周上，故[]π,πα∈-，解得π2α=-或π6α=-，(其它根舍去) 当π2α=-时，()0,2,0Q -，与点A 重合，故舍去， 当π6α=-时，)1,0Q -，符合题意，此时Q 在劣弧AC 的中点处， 故存在点Q 且在劣弧AC 的中点处使得//PQ 平面MOC .【小问2详解】设直线PQ 与平面MOC 所成角为ϕ，由（1）可得sin ϕ 由三角函数性质得当2π3α=时，sin ϕ取得最大值，且()max sin ϕ=+ 又π0,2ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当sin ϕ取得最大值时ϕ取最大值， 又直线PQ 与平面MOC 所成角的最大值为θ，所以sin θ=. 17. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()3,1M ，且C 与双曲线22153x y -=有相同的焦点. （1）求C 的方程；（2）直线l ：y x m =+不过第四象限，且与C 交于A ，B 两点，P 为C 上异于A ，B 的动点，求ABP 面积的最大值()g m ，并求()g m 的最大值.【答案】（1）221124x y += （2）()g m =，[)0,4m ∈，最大值为9 【解析】【分析】（1）利用双曲线的焦点及椭圆所过点可求方程；（2）先利用弦长公式及平行直线间的距离求出面积表达式，利用导数求出最值.【小问1详解】设椭圆的焦距为2c，因为双曲线的焦点为()(),-，所以c =228a b -=； 因为椭圆过点()3,1M ，所以22911a b +=，解得2212,4a b ==， 所以C 的方程为221124x y +=. 【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，221124x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22463120x mx m ++-=， ()222Δ3616312192120m m m =--=->，因为直线l ：y x m =+不过第四象限，所以04m ≤<. 212123312,24m m x x x x -+=-=，AB === 设直线y x n =+与椭圆相切，则221124x y y x n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22463120x nx n ++-=， 由Δ0=得4n =±，因为直线l ：y x m =+不过第四象限，则三角形ABP 面积最大时取n =-4； 由题意，点P 为直线y x n =+与椭圆的切点时，ABP 的面积最大，此时ABP 的高为dABP 的面积为12S AB d ==， 即()g m =，[)0,4m ∈， 令()()()22416f m m m=+-，[)0,4m ∈， ()()()2442f m m m +'=--，当[)0,2m ∈时，()0f m '>，此时()f m 单调递增；当()2,4m ∈时，()0f m '<，此时()f m 单调递减；所以当2m =时，()f m 取到最大值，最大值为()2432f =，所以()g m 的最大值为9.18. 已知函数()()22ln 11ax f x x x =+-+，1x =是()f x 的极小值点. （1）求a 的值；（2）当0x ≥时，()f x mx ≤，求m的取值范围；（3）求证：()*2ln 1ln 1ln 13,33n n n n ⎡-⎛⎛⎢+++⋅⋅⋅+>≥∈ +⎢⎝⎝⎣N . 【答案】（1）1a =（2）[)1,+∞ （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，利用()10f '=，求得1a =，然后验证1x =为极小值点即可； （2）利用分离参数，对0x =和0x >进行分类讨论，转化为求函数的最值问题，即可求得；（3）利用分析法只需证明()()221ln 10014x f x x x x ⎛⎫=+-><< ⎪+⎝⎭，结合（1）中()f x 在()00,x 为增函数，即可证得()1004f x x ⎛⎫><<⎪⎝⎭，从而证得结论. 【小问1详解】定义域()1,∞-+， ()()()2222212111ax x ax x f x x x +-⋅'=-++()221211ax x x =-++， 因为1x =是()f x 的极小值点，所以()121024a f =-='，则1a =， 当1a =时，()()22ln 11x f x x x =+-+， 则()()221211x f x x x =-+'+()()4222111x x x x -+=++()()()()32221111x x x x x x -++-=++， 令()321h x x x x =++-，()22123213033h x x x x ⎛⎫=++=++> ⎪⎝⎭'， 则()h x 在()1,∞-+为增函数， ()110,120,28h h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则()h x 存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，所以()0f x '=有两根12011,,12x x x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 所以()f x 增区间为()01,x -和()1,∞+，减区间为()0,1x ，则1x =是()f x 的极小值点，所以1a =符合题意，故1a =.【小问2详解】由（1）知()()22ln 11x f x x x =+-+， 因为当0x ≥时，()f x mx ≤，则()22ln 11x x mx x +-≤+， ①当0x =时，00≤⋅m ，则R m ∈， ②当0x >时，()2ln 11x x m x x +≥-+，令()()()2ln 101x x g x x x x +=->+，则()max m g x ≥，令()()ln 1x H x x +=，()()2ln 11x x x H x x -+'+=， 令()()ln 11x x x x ϕ=-++，则()()201x x x ϕ'-=<+，即()x ϕ为减函数， 所以()()00x ϕϕ<=，即()H x 为减函数.令()()()ln 10F x x x x =+->，则()11011x F x x x-=-=+'<+， ()F x 在()0,∞+为减函数，()()00F x F <=，所以()()ln 10F x x x =+-<，即()ln 1x x +<，因为0x >，所以()ln 11x x +<，即x 趋近于0时，()H x 趋近于1. 令()21x m x x =-+，则()()22211x m x x -+'=， 当()0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 为减函数；当()1,x ∞∈+时，()0m x '>，()m x 为增函数； 因为0x >，则201x x >+，即()0m x <，且()00m =， 所以()()2ln 111x x g x x x +⎛⎫=+-< ⎪+⎝⎭，又()max m g x ≥，则m 1≥， 综上①②，m 1≥，所以m 的取值范围为[)1,+∞.【小问3详解】要证()*2ln 1ln 1ln 13,33n n n n ⎡-⎛⎛⎢+++⋅⋅⋅++>≥∈ +⎢⎝⎝⎣N ， 需证()*23ln 14,333n n n n n n ⎡--⎢>-≥∈+⎢⎣N ，即证()1ln 11n n ⎡⎢>+⎢⎣， 令())4,N x p n n n *==≥∈，易知()p n =[)4,+∞为减函数，1()(4)4x p n p==≤=<，又()0x p n==>，所以14x<<，因为)4,Nx n n*=≥∈，则()2211xn nx++=，所以()22111xn n x=++，则只需证()22ln11xxx+>+，即证()()221ln10014xf x x xx⎛⎫=+-><<⎪+⎝⎭，由（1）知()f x的增区间为()01,x-和()1,∞+，减区间为()0,1x，且1,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()f x在10,4⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，又()00f=，所以()f x在10,4⎛⎫⎪⎝⎭恒有()0f x>，即()()221ln10014xf x x xx⎛⎫=+-><<⎪+⎝⎭得证，所以()*2ln1ln1ln13,33nn nn⎡-⎛⎛⎢+++⋅⋅⋅++>≥∈+⎢⎝⎝⎣N成立. 【点睛】关键点点睛：本题解答关键主要有两个：一是利用拆分函数，利用函数单调性及两个函数在同一点处取到最值得到和函数的最值；二是利用数列的知识，把数列和的大小比较转化为通项公式的大小比较，构造函数可证结论.19. 若有穷数列12:,,,(4)nA a a a n>满足：()1,1,2,,i n ia a c c i n+-+=∈=R ，则称此数列具有性质cP.（1）若数列23:2,,,2,6A a a-具有性质cP，求23,,a a c的值；（2）设数列A具有性质0P，且12,na a a n<<<为奇数，当(),01,i ja a i j n>≤≤时，存在正整数k，使得j i ka a a-=，求证：数列A为等差数列；（3）把具有性质cP，且满足212k ka a m-+=（*,,2nk k m∈≤N为常数）的数列A构成的集合记作(),c T n m .求出所有的n ，使得对任意给定的,m c ，当数列(),c A T n m ∈时，数列A 中一定有相同的两项，即存在(),1,i j a a i j i j n =≠≤≤.【答案】（1）2；2；4（2）证明见详解（3）()42N n k k *=+∈ 【解析】【分析】（1）由数列23:2,,,2,6A a a -具有性质c P 的定义可得； （2）由数列具有性质c P 的定义和等差数列的定义可得.（3）分()42Nn k k *=+∈、()4N n k k *=∈和()43N n k k *=+∈三种情况讨论即得. 【小问1详解】由已知可得数列A 共有5项，所以5n =，当1i =时，有15264a a +=-+=，当2i =时，有24224a a a +=+=，所以22a =，当3i =时，有334a a +=，所以32a =，【小问2详解】数列A 具有性质0P ，且12,n a a a n <<< 为奇数，令21n k =+， 可得10k a +=，设12212310k k k k k a a a a a a a ++++=<<<<<<<< ，由于当(),01,i j a a i j n >≤≤时，存在正整数k ，使得j i k a a a -=， 所以324252212,,,k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++---- 这1k -项均为数列A 中的项， 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<-<-<-<-< ， 因此一定有3224235242122,,,,,k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-=-=-=-= 即3224324322122,,,,k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-=-=-=-= ， 这说明：23421,,,,k k k k a a a a ++++ 为公差为2k a +的等差数列，再数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列；【小问3详解】当()42N n k k *=+∈时，设A ：1a ，2a ，3a ，4a L ，212,k k a a -，212223244142,,,,,,k k k k k k a a a a a a ++++++ 由于数列具有性质c P ，且满足212k k a a m -+=， 由212k k a a m -+=和212k k c a a -=+，得c m =±，当c m =时，不妨设12a m a +=，此时：21a a m =-，411k a a +=，此时结论成立， 当c m =-时，同理可证，所以结论成立.当()4N n k k *=∈时，不妨设0,1c m ==，反例如下：2,21,22,23,,1,1,2,,23,22,21,2,k k k k k k k k ---+---+--+ 当()43N n k k *=+∈时，不妨设0,1c m ==，反例如下：()()()()()()()()12111,1,,1,0,1,2,11,1,11k k k k kk k k k k +---⋅+-⋅---⋅--⋅-⋅+ 综上所述，()42N n k k *=+∈符合题意.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。

2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省西华县2025届高考仿真模拟数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．223．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．211-B ．525-C ．25D ．251-4．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．5．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．36．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－37．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．58．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3210．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．99111．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．充分不必要条件12．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省兖州一中2024届高考模拟金典卷数学试题（五）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A B ．3C ．2D ．22．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-3．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．B ．2C ．12-D ．124．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．46．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．37．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1B ．2C ．2D ．48．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定9．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A ．55B ．32C ．12D ．110．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A 2B 3C ．1D 612．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。

江苏省南京市南京师范大学附属中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D 13 2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B 33a bC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+5．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-6．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 7．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（ ） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC + D ．2133AB AC + 8．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．810．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]11．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．212．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省杭州市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减4．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．5．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．32C ．12±D ．32±6．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2597．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C ．10D ．2010．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④11．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。