2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(51)双曲线B

课时作业(五十) 双曲线A 级1．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或k ＞－2D ．k ＞－22．(2012·云南昆明高三模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点到渐近线的距离等于实轴的长，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 53．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 4．(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.455．(2012·东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若△MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为( )A.32 B ．2 C. 2D. 36．(2012·江苏启东一模)若双曲线的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，渐近线方程为4x ±3y ＝0，则双曲线的标准方程为________．7．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．8．(2012·天津卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.9．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．B 级1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)2．(2012·重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.3.如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程．答案课时作业(五十)A 级1．A 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.2．D 该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，焦点F (±c,0)，由点到直线的距离公式可得，d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 由题意可得，b ＝2a ，∴e ＝1＋b 2a2＝ 5. 3．B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由PF 1中点为(0,2)知，PF 2⊥x 轴，P (5，4)，即b 2a ＝4，b 2＝4a ，∴5－a 2＝4a ，a ＝1，b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 24＝1.4．C 由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.5．B 如图所示，△AMF 为等腰直角三角形， |AF |为|AB |的一半，|AF |＝b 2a.而|MF |＝a ＋c ，由题意可得，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－ac －2a 2＝0. 两边同时除以a 2可得，e 2－e －2＝0， ∵e >1，解得，e ＝2.6．解析： 由题意可得，该双曲线焦点在x 轴上，c ＝5，b a ＝43.又∵a 2＋b 2＝c 2＝25，解之得，a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案： x 29－y 216＝17．解析： ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案： 28．解析： 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2.答案： 1 29．解析： 由PF 1→·PF 2→＝0得PF 1→⊥PF 2→， 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7. 答案： 710．解析： 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.11．解析： (1)由题意知a ＝23，一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|bc |b 2＋a 2＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． B 级1．B 如图所示，由题意知点P 在右支上．∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PF 2|≥2c (当点P 在右顶点时取等号)且|PF 1|－|PF 2|＜2c ，解得1＜ca ≤3，即1＜e ≤3，故选B.2．解析： ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎨⎧y ＝b 3ax ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.答案：3243．解析： (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴交点为Q 点． 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4·8·(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.。

卜人入州八九几市潮王学校课时作业(五十)B[第50讲双曲线][时间是：35分钟分值：80分]1．以下双曲线中，离心率为的是()A.－＝1B.－＝1 C．－＋＝1D．－＋＝12．[2021·质检]双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，那么实数m的值是()A．1B．－1 C．－D.3．假设k∈R，那么“k>5”是“方程－＝1表示双曲线〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2021·春招卷]假设椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，那么椭圆C的方程是________．5．[2021·古田县适应测试]与椭圆＋y2＝1一共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.－y2＝1B.－y2＝1C.－＝1D．x2－＝16．[2021·卷]设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假设直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.7．[2021·四校四联]双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，那么·的最小值为()A．－2B．－C．1D．08．[2021·质检]双曲线－＝1上到定点(5,0)的间隔是9的点的个数是()A．0B．2 C．3D．49．[2021·黄浦区二模]双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程是________．10．[2021·卷]在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，假设＝a e1＋b e2(a、b∈R)，那么a、b满足的一个等式是________．11．双曲线的渐近线为y＝±x，那么双曲线的离心率为________．12．(13分)[2021·质检]直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点，求l在y轴上的截距b的取值范围．13．(12分)双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，假设||＝2||，求直线l的方程．课时作业(五十)B【根底热身】1．C[解析]计算知，选项C正确，应选C.2．B[解析]由焦点坐标知，焦点在y轴上，m<0，∴双曲线的HY方程为－＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.3．A[解析]当k>5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k>5或者k<－2.应选A.4.＋＝1[解析]由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(，0)．设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，那么a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.【才能提升】5．B[解析]椭圆的焦点坐标为(±，0)，四个选项里面，只有－y2＝1的焦点为(±，0)，且经过点P(2,1)．应选B.6．D[解析]设双曲线的方程为－＝1，设F(c,0)，B(0，b)，直线FB的斜率为－，与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝.7．A[解析]由可得A1(－1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)，那么·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因为x2－＝1(x≥1)，所以·＝4x2－x－5，当x＝1时，·有最小值－2.应选A.8．C[解析](5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的间隔为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以一共有3个这样的点．9．y＝±x[解析]双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，即y＝±x.10．4ab＝1[解析]易知双曲线Γ的方程为－y2＝1，设P(x0，y0)，又e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，由＝a e1＋b e2，得(x0，y0)＝a(2，1)＋b(2，－1)，即(x0，y0)＝(2a＋2b，a－b)，∴x0＝2a＋2b，y0＝a－b，代入－y2＝1整理得4ab＝1.11.或者[解析]当焦点在y轴上时，＝，即9a2＝16b2＝16(c2－a2)，解得e＝；当焦点在x轴上时，＝，即16a2＝9b2＝9(c2－a2)，解得e＝.12．[解答]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(1－k2)x2－2kx－2＝0，那么⇒1<k<.设M(x，y)为AB的中点，那么∴M.∵P(－2,0)，M，Q(0，b)三点一共线，故b＝.设φ(k)＝－2k2＋k＋2，那么φ(k)在(1，)上是减函数，于是φ()<φ(k)<φ(1)，且φ(k)≠φ(0)．∴b>2或者b<－2－.【难点打破】13．[解答](1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，那么有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，那么b＝，所以所求的双曲线方程为x2－＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，那么l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)，因为||＝2||且M、Q、F一共线于l，所以＝2或者＝－2.当＝2时，x Q＝－，y Q＝k，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝(x＋2)，当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．综上：所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或者y＝±(x＋2)．。

第六节双曲线[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．[探究] 1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[探究] 2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x.[自测·牛刀小试]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4.2．双曲线方程：x2|k|－2＋y25－k＝1，那么k的范围是()A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：选D由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.3．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则一条渐近线的方程为()A．y＝3x＋1 B．y＝3x C．y＝－3x＋1 D．y＝3x解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±c 2－a 2a2x ＝±e 2－1x ，故渐近线方程为y ＝±3x .4．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7.5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为________． 解析：由已知可得c ＝4，a ＝2，所以b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1[例1] (1)(2012·大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35 C.34D.45(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [自主解答] (1)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×(42)×(22)＝34.(2)∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36.① 又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为方程y ＝3x ，∴ba＝ 3.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.[答案] (1)C (2)B ——————————————————— 双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |sin P ＝|PB －P A |AB ＝2a 2c ＝810＝45.2．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1·PF 2的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵P 在曲线上，∴x 203－y 20＝1，即x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1·PF 2＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.[例2] (1)(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43(2)(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8[自主解答] (1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，所以a ＝2.所以e ＝c a ＝32.(2)由题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)．易知抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2a 2＝1，x ＝－4，得16－y 2＝a 2.(*)因为|AB |＝43，所以y ＝±2 3.代入(*)式，得16－(±23)2＝a 2，解得a ＝2(a >0)．所以双曲线C 的实轴长为2a ＝4. 答案：(1)C (2)C ——————————————————— 研究双曲线几何性质时的两个注意点(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；(2)由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形即可求e ，并注意e >1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±34解析：选C b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝14，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12.[例3] 已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ |＝2|QF |，求直线l 的方程．[自主解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca ＝2，c＝2，所以a ＝1，则b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ |＝2|QF |且M ，Q ，F 共线于l ， 所以MQ ＝2QF 或MQ ＝－2QF . 当MQ ＝2QF 时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k . 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，解得k ＝±212.所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)．当MQ ＝－2QF 时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，解得k ＝±352.所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)． ——————————————————— 求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.4．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|. (1)求双曲线的离心率e ； (2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，若OP 1·OP 2＝－274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程．解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r )2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a )2＝4c 2.所以e ＝ 5. (2)b a＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )，则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274， 所以x 1x 2＝94.①由2PP 1＋PP 2＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝－2(x 1－x )，－2x 2－y ＝－2(2x 1－y )，即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b 2＝1.又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.②由①②得a 2＝2，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1.1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a ，b ，c 即可求得方程． (2)待定系数法①②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0).3个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .易误警示——双曲线几何性质的解题误区[典例] (2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 [解析] 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5.[答案] A [易误辨析]1．因对双曲线的几何性质不清，误以为c ＝10，错选C ；2．因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成12＝ab ，从而错选B.3．解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a ，b ，c 之间的关系式c 2＝a 2＋b 2与椭圆中a ，b ，c 之间的关系式a 2＝c 2＋b 2的混淆，从而出现解题错误等．[变式训练]已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上，则4a 2－9b 2＝1，又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4， 得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca＝2.法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若k ∈R 则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．3．(2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2.∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.4．(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝ca ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1·PF 2＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．0D ．4解析：选C ∵由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是两焦点坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取P (3，1)，则PF 1＝(－2－3，－1)，PF 2＝(2－3，－1)．∴PF 1·PF 2＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.6．(2012·皖南八校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是( ) A.233B. 3 C ．2D ．2 3解析：选A 依题意，应有b a ＝33，又ba ＝e 2－1，即e 2－1＝33，解得e ＝233. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：由题意得m >0，a ＝m ，b ＝m 2＋4，所以c ＝m 2＋m ＋4.由e ＝ca＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案：28．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：59．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b 2＝1，② 解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1.(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4， 平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.② 由①②得mn ＝203.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin 120°＝533.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)∵由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝3，解得b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2. ∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10.∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴[3(y 1＋y 2)]2＋⎣⎡⎦⎤33(x 1＋x 2)2＝10， ∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y 225＝1.则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22－1 D.x 22－y 25＝1 解析：选D ∵中点⎝⎛⎭⎫－23，－53，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y ＝x －1的两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2＝2b 25a2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2＝2b 2，a 2＋b 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝5.∴方程为x 22－y 25＝1.2．(2013·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12，故离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.答案：523．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)离心率是74.故在双曲线中，c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案：x 24－y 23＝14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.所以s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，故e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.。

2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）课时规范练64　双曲线基础　巩固练1.(2024·湖北武汉模拟)已知双曲线=1的离心率为2,则a=( )A A.-1 B.1C.-3D.3D解析已知双曲线C的一个焦点为(5,0),得c=5,则a2=c2-16=9,即a=3,所以双曲线的渐近线方程为y= ,即4x±3y=0.3.(2024·湖南岳阳模拟)已知k ∈R ,则“-2<k<3”是“方程 =1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B4.(2024·浙江绍兴模拟)已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若A 左支上的两点A,B与左焦点F1三点共线,且△ABF2的周长为8,则|AB|=( ) A.2 B.3C.4D.6解析因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,两式相加,得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4,又因为△ABF2的周长为8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,两式相减得|AB|=2.5.(2021·全国甲,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且A∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( )解析不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2A解析因为直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,则OE⊥F1P,而△OF1P为等腰三角形,必有|OP|=|OF1|,E为F1P的中点,而O为F1F2的中点,于是OE∥PF2,有PF1⊥PF2,且|PF2|=2|OE|=2a,则|PF1|=4a.令双曲线的焦距为2c,由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即c2=5a2,有e2=5,所以双曲线的离心率为B则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,C9.(2024·广东广州模拟)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为焦点的椭圆过A,B 两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( )AA标为(-2,0).因为|P A|+|PF2|=8,所以|P A|+2a-|PF1|=8,所以||P A|-|PF1||=|8-2a|≤|AF1|=2,所以3≤a≤5.因为a2-b2=4,所以b2=a2-4.11.(多选题)(2024·山东枣庄模拟)已知曲线C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,则下列BC说法正确的是( )A.C1的长轴长为B.C2的渐近线方程为x±2y=0C.C1与C2的离心率互为倒数D.C1与C2的焦点相同故选BC.BC故B正确.故选BC.13.若双曲线=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为 　.14.P为双曲线x2- =1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和5(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .解析双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)分别为两圆的圆心,圆F1与圆F2的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.15.(2022·全国甲,文15)记双曲线C: =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出2满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .的周长不小于18,所以|P A|+|PF|≥13.设F2为双曲线的左焦点,可得|PF|=|PF2|+2a,故|P A|+|PF|=|P A|+|PF2|+2a,当A,P,F2三点共线时,|P A|+|PF2|+2a取最小值|AF2|+2a,即5+2a,所以5+2a≥13,即a≥4.综合　提升练DA由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|.不妨设A(0,b).△P AF的周长为|AP|+|AF|+|PF|=|AP|+|AF|+2a+|PF1|,因为|AP|+|PF1|≥|AF1|,当A,P,F1三点共线时取等号.所以△P AF的周长的最ACD解析由双曲线方程可知,a2=3.又O为FF2的中点,M为FP的中点,可知OM∥PF2,则PF2⊥FN.从而PF2为线段MN的垂直平分线,所以|MF2|=|NF2|,即t+2a=3t-2a,创新　应用练21.(2024·湖南师大附中模拟)古希腊几何学家采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线,用平行于圆锥的轴的平面截圆锥得到双曲线的一支.已知圆锥PQ 的轴截面为等边三角形,平面α∥PQ,平面α截圆锥侧面所得曲线记为C,则A曲线C所在双曲线的离心率为( )解析如图,设平面α∥PQ,平面α与圆锥的母线P A交于点M,与圆锥底面交于EF,点E,F在底面圆上.AB是底面圆的直径,EF⊥AB.平面α与圆锥的侧面的交线为C.设点P在平面α内的投影为点O,以O为原点,PQ在平面α内的投影为x轴建立平面直角坐标系.设等边三角形P AB的边长为2,|AM|=m,EF与AB交于点H.本 课 结 束。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

2013年高考数学一轮复习课时训练 双曲线 北师大版A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(★)(2012·某某五校联考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲 A ．4＋23B.3－1 C.3＋12D.3＋1 解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选D.答案 D【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解.2．(2012·某某联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )． A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27，因此选B.答案 B3．(2011·某某)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 C4．(2011·全国新课标)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3. 答案 B5．(2011·某某模拟)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )． A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5 解析 如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→， 又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2 为矩形，因为矩形的对角线相等， 故有|PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →|＝2c ＝210. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·某某)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.解析 由已知得e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋m16＝2. ∴m ＝48. 答案 487．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析 ∵焦点坐标是(13，0)，∴9＋a ＝13，即a ＝4，∴双曲线方程为x 29－y 24＝1，∴渐近线方程为x 3±y2＝0，即2x ±3y ＝0.答案 2x ±3y ＝08．(2012·某某质检)设双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，则双曲线的离心率为________．解析 当焦点在x 轴上时，b a ＝23，即c 2－a 2a 2＝49，所以e 2＝139，解得e ＝133；当焦点在y 轴上时，b a ＝32，即c 2－a 2a 2＝94，所以e 2＝134，解得e ＝132，即双曲线的离心率为132或133.答案132或133三、解答题(共23分)9．(11分)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca ，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.10．(12分)求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)、⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．解 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1.令m ＝1a 2，n ＝1b 2，则方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116，n ＝19.∴a 2＝16，b 2＝9.所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·某某)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )．A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5.答案 B2．(★)如下图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以F 1，F 2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( )．A ．e 1＞e 2B ．e 1＜e 2C ．e 1＝e 2D ．以上皆非解析 (数形结合法)由题意|F 1F 2|为双曲线的焦距，由正三角形、正方形的性质，探求|PF 1|，|PF 2|与|F 1F 2|的关系，再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率e 1，e 2. 2a ＝|F 2M |－|F 1M |，由图1，知e 1＝2c 2a ＝|F 1F 2|⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12|F 1F 2|＝3＋1，由图2，知e 2＝2c 2a ＝|F 1F 2|⎝ ⎛⎭⎪⎫104－24|F 1F 2|＝10＋22，所以e 1＞e 2，故选A.答案 A【点评】 这是一道创新型优质试题，立意新、解法妙，解题方法是在分析图形的基础上，运用双曲线的最基本的知识定义解题.本题既考查了对“三基”的掌握情况，同时也考查了创新思维和灵活运用能力. 二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2011·某某)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析 根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2. 答案 2三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·某某模拟)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．6．(12分)(2012·某某联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解 ∵△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝12×43×3＝6.。

课时作业(五十一)A　[第51讲　双曲线] [时间：35分钟　分值：80分] 1．[2011·安徽卷] 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 B．2 C．4 D．4 2．[2011·成都二诊] 设集合P＝，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是( ) A．3 B．1 C．2 D．4 3．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( ) A.－y2＝1 B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1 4．双曲线－＝1的共轭双曲线的离心率是________． 5．[2010·课标全国卷] 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. B. C. D. 6．[2011·湖南卷] 设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 7．[2012·豫南九校联考] 从－＝1(其中m，n{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为( ) A. B. C. D. 8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b的值为( ) A．－ B. C．－或　D．2或－2 图K51－1 9．[2011·南开中学模拟] 如图K51－1，在等腰梯形ABCD中，ABCD且AB＝2AD，设DAB＝θ，θ，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1·e2＝________. 10．[2011·太原一模] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 11．[2011·大连模拟] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为________． 12．(13分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)． (1)求双曲线C的方程； (2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且F1PF2＝120°，求F1PF2的面积． 13．(12分)[2011·江西师大附中模拟] 双曲线E经过点A(4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝2. (1)求双曲线E的方程； (2)求F1AF2的角平分线所在直线的方程．课时作业(五十一)A 【基础热身】 1．C　[解析] 双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4. 2．B　[解析] 由于直线x－2y＋1＝0与双曲线－y2＝1的渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素．故选B. 3．A　[解析] 由||·||＝2|和||2＋||2＝40得|||－|||＝6. 4.　[解析] 双曲线－＝1的共轭双曲线是－＝1，所以a＝3，b＝，所以c＝4，所以离心率e＝. 【能力提升】 5．D　[解析] 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝.根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，所以e＝，故选D. 6．C　[解析] 根据双曲线－＝1的渐近线方程得：y＝±x，即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0，所以有a＝2，故选C. 7．B　[解析] 若方程表示圆锥曲线，则数组(m，n)只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P＝.故选B. 8．B　[解析] 由点P(a，b)到直线y＝x的距离为，可得a－b＝2，又P在双曲线x2－y2＝1上，a2－b2＝1，得a＋b＝. 9．1　[解析] 作DMAB于M，连接BD，设AB＝2，则DM＝sinθ，在RtBMD中，由勾股定理得BD＝，所以 e1＝＝， e2＝＝，所以e1·e2＝1. 10．[2，＋∞)　[解析] 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以≥tan60°＝，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2. 11.－＝1　[解析] ＝，即b＝a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以双曲线的方程为－＝1. 12．[解答] (1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)． 设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9. 又双曲线经过点(，4)，所以－＝1， 解得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C的方程为－＝1. (2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，c＝3. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4， 平方得m2－2mn＋n2＝16. 在F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36. 由得mn＝， 所以F1PF2的面积为S＝mnsin120°＝. 【难点突破】 13．[解答] (1)依题意，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，c2＝a2＋b2(c>0)， 由点A在双曲线上得－＝1，由离心率e＝2，得＝4两式联立， ∴双曲线E的方程为－＝1. (2)设F1(－4,0)，F2(4,0)，由A(4,6)，AF2⊥x轴， 设F1AF2的角平分线所在直线交x轴于点M(m,0)， 则点M到直线F1A，F2A的距离相等，直线F1A，F2A的方程分别为3x－4y＋12＝0，x＝4， 所以得＝4－m，解得m＝1，即m(1,0)， 故所求直线方程为y＝(x－1)，即2x－y－2＝0.。

第7讲双曲线一、知识梳理1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. 常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 二、教材衍化1．双曲线x 224－y 225＝－1的实轴长 ，离心率 ，渐近线方程 ．答案：10 75 y ＝±5612x2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ．答案：x 2－y 23＝1 3．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ． 答案：x 28－y 28＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( )(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区(1)忽视双曲线定义的条件致误； (2)忽视双曲线焦点的位置致误．1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是 ． 解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为 ．解析：若双曲线的焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±ba x ，由题意可得ba＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±abx ，由题意可得a b ＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233双曲线的定义及应用(典例迁移)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是 ．【解析】 双曲线x 24－y 2＝1中，a ＝2，b ＝1，c ＝ 5.可设点P 在右支上，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝16，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝1.【答案】 1【迁移探究】 (变设问)在本例条件下，则△F 1PF 2的周长为 ．解析：又(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋4|PF 1|·|PF 2|＝16＋8＝24，所以|PF 1|＋|PF 2|＝26，△PF 1F 2的周长为26＋2 5.答案：25＋26双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，当∠F 1PF 2＝90°时，S △PF 1F 2＝b 2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝ ．解析：由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) (2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程为 ．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1.【答案】 (1)C (2)x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 ①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D ．y 220－x 24＝1解析：选B.2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.2．(2020·合肥市第一次质检测)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y ＝12x ，则双曲线C 的方程为( )A.x 216－y 24＝1 B.x 24－y 216＝1 C.x 264－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选A.由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b ＝4，即b ＝2，又双曲线的焦点在x 轴上，则其一条渐近线的方程为y ＝b a x ＝12x ，可得a ＝4，所以双曲线C 的方程为x 216－y 24＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 双曲线的渐近线问题(2020·吉林第三次调研测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±24x【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，所以2a ＝22b ，即a ＝2b .所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .故选C.【答案】 C求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±abx .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称．角度二 双曲线的离心率问题(1)(2020·兰州市诊断考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．463(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ． 5【解析】 (1)由题意知2a ＝4，所以a ＝2.因为e ＝ca ＝3，所以c ＝23，所以b ＝c 2－a 2＝22，所以2b ＝42，即该双曲线的虚轴长为42，故选B.(2)法一：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c.由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫|PQ |22＝a 2，即⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝⎛⎭⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，故选A.法二：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，故选A.法三：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆的与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.【答案】 (1)B (2)A(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1.1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则斜率为正的渐近线的斜率为( )A.32B.12C. 3D ．2解析：选D.双曲线的离心率为5，即ca ＝5，所以b a＝c 2－a 2a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D. 2．(2020·陕西榆林二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，左顶点为A ，右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 在第一象限内的交点为B ，且直线AB 的斜率为12，则C 的离心率为 ．解析：把x ＝c 代入双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)得y ＝b 2a ，所以B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又A (－a ，0)，直线AB 的斜率为12，所以b 2aa ＋c ＝12，可得a 2＋ac ＝2c 2－2a 2，即2c 2－3a 2－ac ＝0， 即2e 2－3－e ＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：32思想方法系列14 方程思想求圆锥曲线的离心率(2020·河南洛阳一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若tan ∠MAN ＝－34，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2 C.43D ． 2【解析】 由题意可知 tan ∠MAN ＝－34＝2tan ∠MAF1－tan 2∠MAF ，解得tan ∠MAF ＝3，可得b 2ac －a＝3，可得c 2＋2a 2－3ac ＝0，e 2＋2－3e ＝0， 因为e ＞1， 所以解得e ＝2. 故选B. 【答案】 B(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，1)C ．(0，3－1)D ．(3－1，1)解析：选B.由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .因为△ABF 2是锐角三角形，所以∠AF 2F 1＜45°，所以tan ∠AF 2F 1＜1，即b 2a2c ＜1.整理，得b 2＜2ac ，所以a 2－c 2＜2ac .两边同时除以a 2并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)．又因为0＜e ＜1，所以椭圆的离心率e 的取值范围为(2－1，1)．[基础题组练]1．(2019·高考北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5，则a ＝( )A. 6 B ．4 C ．2D.12解析：选D.由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1， 所以c 2＝a 2＋1. 所以5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. 结合a >0，解得a ＝12.故选D.2．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5. 4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝y x －a ·y x ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ． 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a＝a 2＋4a 2a＝5，故选D.6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2020·陕西渭南期末改编)已知方程x 24－k ＋y 2k －2＝1，若该方程表示双曲线，则k 的取值范围是 ，若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ．解析：方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，若焦点在x 轴上，则4－k >0，k －2<0，解得k <2；若焦点在y 轴上，则4－k <0，k －2>0，解得k >4，则k 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －2>0，即2<k <3，则k 的取值范围为(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞) (2，3)8．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为 ，其离心率为 ．解析：因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，点P (1，3)在渐近线上，所以ba ＝ 3.在Rt △OPF 中，|OP |＝（3）2＋1＝2，∠FOP ＝60°，所以|OF |＝c ＝4.又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝23，a ＝2，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1，离心率e ＝ca＝2.答案：x 24－y 212＝1 29．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为3. 所以|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上． 解：(1)因为离心率e ＝2， 所以双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6， 所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：因为点M (3，m )在双曲线上， 所以32－m 2＝6，所以m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， 所以MF 1⊥MF 2，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．[综合题组练]1．(2020·河南鹤壁高中4月模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D ．2x ±3y ＝0解析：选C.因为F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝（3a ）2＋a 2－4c 22×3a ×a，所以3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，所以b 2a 2＝34，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为 ．解析：法一：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝ba .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a ＝2×ab 1－⎝⎛⎭⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.法二：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：23．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得，a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4， 所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A＋x B＝122k 1－3k 2<0，x A x B＝－361－3k2>0， 解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1。

课时作业(四十九) [第49讲 双曲线][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·银川一中月考] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 2．[2011·山东省实验中学二模] 如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为(A.58B.45C.43D.343．[2010·辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋124．[2011·佛山一检] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 能力提升5．[2010·福建卷] 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 6．[2010·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 7．[2010·课标全国卷] 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝18．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 39．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12．[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________________________________________________________________________.13．[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分)[2011·江西师大附中一模] 双曲线E 经过点A (4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝2.(1)求双曲线E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．15．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值和△ABC 的面积S .难点突破16．(12分)[2011·黄石调研] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a2c (c ＝a 2＋b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →＝2OB →，OA →·OC →＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝bc ，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k ＝－b a ，则有b c ⎝⎛⎭⎫－ba ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52.4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b 2＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝3，故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴b a ＝3②，联立①②解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1. 7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB ＝1.∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p2＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得c 2a 2－4c 2b2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c 2－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝6＋322＝3＋22，故e ＝1＋ 2.9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝ca ＝5.10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝ 2.11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎨⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca ＝2.方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca ＝2.14．[解答] 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，c 2＝a 2＋b 2(c >0)．(1)由A 在曲线上及e ＝2得⎩⎨⎧16a 2－36b 2＝1，a 2＋b 2a2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝3a 2，16a 2－12a 2＝1⇒⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝12，c 2＝16，∴双曲线E 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)，由A (4,6)，∴AF 2⊥x 轴，设∠F 1AF 2的平分线所在直线交x 轴于点M (m,0)(|m |<4)，则点M 到直线F 1A ，F 2A 的距离相等，直线F 1A ，F 2A 的方程分别为3x －4y ＋12＝0，x ＝4，所以得|3m ＋12|5＝4－m ，解得m ＝1，即M (1,0)，故所求直线方程为y ＝6－04－1(x －1)，即y ＝2x －2.15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2<0，x 1x 2＝－21－k2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2，依题意得2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →， 得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2k 2－1－2＝2k 2－1＝8，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m 2＝1，得m ＝±4， 但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×(－5)＋2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋12＝13，∴△ABC 的面积S ＝12×63×13＝ 3. 【难点突破】16．[解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2c ，a 3＝2c ，解得⎩⎨⎧a 2＝4，c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4，可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1，所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →＝(x 2－1，y 2)，因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1＝0，所以向量BP →，BN →共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<13，S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2|3t 2－1|＝633＋3t 21－3t 2，令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1u＝634⎝⎛⎭⎫1u －182－116，由u ∈(0,1]，所以1u ∈[1，＋∞)， 当1u ＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.。