北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案

2024.4 第1页（共6页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C（ 6 ）A（ 7 ）A（ 8 ）B（ 9 ）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）π3 π3（答案不唯一） （13）y =（14）6−n 13−（15）① ③ ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．………1分因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点．………2分因为D 为BC 的中点， 所以1//DE A C ．………3分又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1//AC 平面1AB D ． ………5分（Ⅱ）因为1AB AC ⊥，AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11A ACC ．………6分所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．2024.4 第2页（共6页）设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分因为AC ⊥平面11A ABB ，所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 所以3cos ,3||||AC AC AC 〈〉==⋅m m m ．………13分由题设，二面角11D ABA −−的平面角为钝角， 所以二面角11D AB A −−的余弦值为 ………14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =．………1分 在ABC △中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =．………3分因为sin 0,sin 0A B >>， 所以1cos 2B =． ………4分 又0πB <∠<， ………5分 所以π3B ∠=．………6分 （Ⅱ）选条件①：BC………7分设BC 边中点为M ，连接AM ，则AM =，4BM =．在ABM △中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+−⋅⋅，………9分 即2π21168cos3AB AB =+−⋅． 整理得2450AB AB −−=． 解得5AB =或1AB =−（舍）．………11分 所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅=△．………13分2024.4 第3页（共6页）选条件③：7b =．………7分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，………9分即222π7816cos3c c =+−⋅． 整理得28150c c −+=． 解得3c =或5c =．………11分当3c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△ 当5c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△．………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 因为549542>，所以甲进入决赛．………3分（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为242605=； “甲命中10环” 的概率可估计为242605=； “乙命中9环” 的概率可估计为301602=； “乙命中10环” 的概率可估计为151604=．………5分所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222212122212121113()()()()C ()C ()5452524100⨯+⨯+⨯⨯=． ………10分 （Ⅲ）7a =和8．（写出一个即可）………13分2024.4 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎩………3分解得224,3a b ==．所以椭圆G 的方程为22143x y +=． ………5分（Ⅱ）由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则(2,2)E k m +,直线OE 的方程为()2my k x =+． ………6分 由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(43)84120k x kmx m +++−=．………7分由2248(43)0=−+>Δk m ，得2243<+m k ．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122843kmx x k +=−+，212241243m x x k −=+． ………8分直线AC 的方程为11(2)2yy x x =++． ………9分联立直线AC 和OE 得11(2)()22y mx k x x +=++． 解得1111111244()44()(2)2M y y kx m x mmx k mx kk x y +===++++−．………11分同理可得224()4N kx m x mx k +=+．所以122112()(4)()(4)4(4)(4)M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++．………12分因为1221()(4)()(4)+++++kx m mx k kx m mx k22121222222222(4)()82(412)8(4)8(43)4343430kmx x k m x x kmkm m km k m km k k k k =++++−++=−++++=，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称． 所以||||=OM ON ．………15分2024.4 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln e =++x f x x x x ，所以1()1(1)e '=+++x f x x x． ………2分所以(1)2e 2f '=+．所以曲线()y f x =在点(,())11f 处切线的斜率为2e 2+．………4分（Ⅱ）当1a =−时，()ln()e =+−−x f x x x x ，()f x 的定义域为(,0)−∞．11()1(1)e (1)(e )'=+−+=+−x x f x x x x x． ………6分因为1e 0xx−<， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． ………9分 （Ⅲ）1e ()(1)()'=++xf x x x a．当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以()0'>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增．因为1()0>f a ，所以0a >不合题意．………11分当0a <时，()f x 的定义域为(,0)−∞．因为(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． 所以max 1()(1)1ln()e=−=−+−−f x f a a ． ………13分设1()1ln()e =−+−−g x x x ，则2211e 1()e e +'=+=x g x x x x ， 因为1(,)e ∈−∞−x 时，()0'<g x ；1(,0)e∈−x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调递减区间为1(,)e −∞−；单调递增区间为1(,0)e −．所以min 1()()1e=−=−g x g ．所以集合{|()1}−≥x f x 有且只有一个元素时1ea =−．………15分2024.4 第6页（共6页）（21）（共15分） 解：（Ⅰ）记1122i i i n in t a b a b a b =+++．因为1233,2,0t t t ===， ………3分 所以2=K ．………4分（Ⅱ）（ⅰ）B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =．因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有3m 个． 另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得 这两列的数均为1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有2C n r 个． 所以23C n m r =．当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解． 所以B 不满足3m r =．………9分（ⅱ）由（ⅰ）可得23C nm r =，即2C 3nr m =．下面考虑满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数：对B 中满足0≠i t 和3的−m K 行，每行恰有两组(,)p q 使1==i p i q b b 且p q a a ≠，所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为2C 2()2()3−=−n r m K K ．………11分设数列A 中有x 项为1，−n x 项为0．满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,)p q 的个数为()−x n x ． 所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为()−rx n x ．………13分所以2C ()2()3−=−n r rx n x K ．所以222C ()(33)326−=−=−+−nr rx n x r K x nx n n 22222331()()(4)6426424−+−=−−≥≥r n n r n n n n n n ． ………15分。

西城区高三统一测试数学（文科） .4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么UA B =（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ）2)，(0,2) （B ）2,0)，(2,0) （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则 （A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+ （B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=- （C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A ）3（B ）6 （C ）42（D ）258．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||x 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()xf x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____； 直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin 4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P 0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号 1 234 5 1 × √ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √√ ××5√ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √√× 8 √ × × × × 9 √ √ ××× 10 √ √√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．12 11．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．[ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a C A c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分] 所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分] 33sin 2A A = [ 9分] π3sin()6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB +3 [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[ 4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分] （Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分]又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=．因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分] 由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1-(1,0)- 0 (0,1) 1()g x '-0 -()g x21e 2+ ↘ 1↘12所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分]所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．11 / 11 所以 ||MN 的最小值为2，此时1a ． [13分]。

北京市西城区2022届高三4月第一次模拟考试试题数 学〔文科〕2022.4第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分. 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =〔 〕〔A 〕(2,2)-〔B 〕(1,2)-〔C 〕(1,2)〔D 〕(1,4)2．执行如下列图的程序框图，假设输入3x =，那么输出y 的 值为〔 〕 〔A 〕5 〔B 〕7 〔C 〕15 〔D 〕313．假设2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，那么以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕a c b << 〔B 〕c a b << 〔C 〕b c a <<〔D 〕c b a <<4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，那么复数12z z 对应的点位于〔 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限5．正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图 中的俯视图如下列图，那么其左视图的面积是〔 〕〔A 〕243cm〔B 〕223cm〔C 〕28cm〔D 〕24cm6．假设实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩那么|3|x y -的最大值为〔 〕〔A 〕6〔B 〕5〔C 〕4〔D 〕37．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．那么“10a >〞是“32S S >〞的〔 〕 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件8．集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.那么A 中所有元素之和是〔 〕〔A 〕120〔B 〕112〔C 〕92〔D 〕84第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9. 向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .假设,90︒〈-〉=a b a ，那么实数λ=_____. 10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如下列图的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．11.函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．12.圆22430x y x +-+=的圆心到直线30x y -=的距离是_____.13. 函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 那么()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．14. 如图，抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ， 2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =.给出以下三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列；② 对*n ∀∈N ，0n y >；③ 假设14y =，23y =，那么523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.〔本小题总分值13分〕在△ABC 中，2sin cos sin()B A A C =+． 〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕假设2BC =，△ABC 的面积是3，求AB ． 16.〔本小题总分值13分〕某校高一年级开设研究性学习课程，〔1〕班和〔2〕班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取假设干名学生组成研究性学习小组，从〔2〕班抽取了3名同学．〔Ⅰ〕求研究性学习小组的人数；〔Ⅱ〕规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率． 17．〔本小题总分值14分〕如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．〔Ⅰ〕求证：NC ∥平面MFD ； 〔Ⅱ〕假设3EC =，求证：FC ND ⊥； 〔Ⅲ〕求四面体NFEC 体积的最大值． 18.〔本小题总分值14分〕椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63，一个焦点为(22,0)F ．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，假设点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．19.〔本小题总分值13分〕如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上〔点C 在第一象限〕，CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．〔Ⅰ〕求面积S 以x 为自变量的函数式； 〔Ⅱ〕假设||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值． 20.〔本小题总分值13分〕对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换〞：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.这种“T 变换〞记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换〞，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．〔Ⅰ〕试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换〞能否结束假设能，请依次写出经过“T 变换〞得到的各数列；假设不能，说明理由；〔Ⅱ〕设123:,,A a a a ，()B T A =．假设:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012．〔ⅰ〕求a ，b ；〔ⅱ〕假设数列B 再经过k 次“T 变换〞得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由．数学〔文科〕参考答案及评分标准2022.4一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 1. C ； 2. D ； 3. D ； 4. B ； 5. A ； 6. B ； 7. C ； 8. C .二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9. 9； 10.54； 11.π； 12.1； 13.1-和0，1[,3]4-； 14.①②③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． …………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=．………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……7分 〔Ⅱ〕解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅．……9分 因为 2BC =，1πsin 323AB AC ⋅⋅=， 所以 228AB AC +=． ……………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ……………13分 16.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：设从〔1〕班抽取的人数为m ，依题意得27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ……5分〔Ⅱ〕设研究性学习小组中〔1〕班的2人为12,a a ，〔2〕班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的根本领件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． …9分2次发言的学生恰好来自不同班级的根本领件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ， ),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ……13分 17.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 〔Ⅱ〕证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥， 所以 ⊥NE 平面ECDF ， ……5分 所以 FC NE ⊥．…………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥．………………7分所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分 所以 FC ND ⊥．………………9分〔Ⅲ〕解：设x NE =，那么x EC -=4，其中04x <<．由〔Ⅰ〕得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ……………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分 18.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：设椭圆的半焦距为c ，那么22c =． ………………1分由63c e a ==， 得 23a =， 从而2224b a c =-=………………4分 所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ……………5分 〔Ⅱ〕解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ……………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k+=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，那么21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+．……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， …………11分即 22532611526k k k k++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． …………13分所以 23k =±． ……………14分 19.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ……1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+．……4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<．…………5分〔Ⅱ〕解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ……………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，那么2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分 ① 假设13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： x(0,1) 1 (1,3)k()f x ' +-()f x↗极大值↘所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． …………11分 ② 假设13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． …………13分 综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-． 20.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………3分 〔Ⅱ〕解：〔ⅰ〕因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． …………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．…7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………8分〔ⅱ〕方法一：由:B ,2,2b b +，那么B 经过6次“T 变换〞得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换〞后得到的数列也是形如“,2,2b b +〞的数列，与数列B “结构〞完全相同，但最大项减少12． 因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换〞后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换〞后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换〞得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ……………13分方法二：假设一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，那么称此数列与数列B “结构相同〞．假设数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，那么无论其顺序如何，经过“T 变换〞得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换〞得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换〞一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换〞得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换〞，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502． ……………13分。

西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号123 4 5 1 ×√ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √ √ ××5 √ √√√ √6 √××√ × 7 ×√√√× 8 √ ×× × × 9 √ √ ××× 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2xf x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分]所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分]从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分]π)6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin A B +取得最大值． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题．[ 5分] （Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分]所以12PF PC =．[ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分]所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分]因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：全优试卷所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分]所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷一、单选题1.设集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。

故答案为：B【答案】B2.设命题p：，则p为（）A． B．C． D．【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A【答案】A3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A． B．C． D．【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B【答案】B4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C【答案】C5.在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O，A，B三点不共线，则。

故答案为：B【答案】B6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。

故答案为：D【答案】D7.设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数在上存在零点；反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。

2023北京西城区高三一模数学试卷含答案2023年北京西城区高三一模数学试卷含答案注意：本试卷共8道大题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的编号填写在答题卡上。

1. 设函数$f(x)$的定义域为$D=\mathbb{R}$，则$f(x)=\frac{a}{x^2+b}$的图像关于直线$x=k$对称的条件是：① $k\neq 0$ ② $k=0$ ③ $a=b$ ④ $a\neq 0$A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④2. 已知实数$a$满足方程$x^2+(2a-1)x+a-1=0$有两个不等实根，则$a$的取值范围是：A. $a\in\left(0,\frac{1}{8}\right)$B. $a\in\left(-\infty,\frac{1}{8}\right)$ C. $a\in\left(-\infty, 1\right)$ D. $a\in\left(0, 1\right)$3. 若集合$A=\{1,2,3,4,5\}$，则集合$A$的子集个数是：A. 5B. 15C. 16D. 324. 设幂级数$\sum a_nx^n$的收敛半径为$R>0$，则$\sum(n+1)a_nx^n$的收敛半径为：A. $R$B. $\frac{1}{R}$C. $R+1$D. $\frac{1}{R+1}$5. 已知向量$\vec{a}=2\vec{i}+\lambda\vec{j}+3\vec{k}$与$\vec{b}=-\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$共线，且$\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{b}\right|$，则实数$\lambda$的值为：A. 0B. 1C. -1D. -26. 若数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+n$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{n^2}$的值为：A. 0B. 1C. 2D. $+\infty$7. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1+a_2=8$，$a_2+a_3=24$，则$a_1$的值为：A. $\frac{1}{3}$B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{5}$D.$\frac{1}{6}$8. 设随机变量$X\sim B(6, 1/2)$，即$X$服从参数为$(6, 1/2)$的二项分布，则$P\{X\leq1\}$的值为：A. $\frac{5}{64}$B. $\frac{11}{64}$C. $\frac{35}{64}$D.$\frac{57}{64}$9. 若$f(x)=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$，则$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=$A. 1B. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$C. $\sqrt{2}$D.$\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$10. 设$G$是一个含有$n$个顶点的简单连通图，若$G$中每个顶点的度数都小于等于3，则$G$中边的条数的取值范围是：A. $\frac{n}{2}\leq E\leq 3n-6$B. $\frac{n}{2}\leq E\leq 2n-3$C.$2n-3\leq E\leq 3n-6$ D. $\frac{n}{2}\leq E\leq \frac{3n}{2}-3$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）将答案填写在相应的题号后面的横线上。

2023北京西城高三一模数学2023.3本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =-<，则A B =I （A ）{1}-（B ）{1,2}（C ）{1,2,3}（D ）{1,0,1,2}-（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（A ）||y x =-（B ）22y x x =-（C ）sin y x=（D ）1y x x=-（3）设lg 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）a b c<<（4）在52()x x-的展开式中，x 的系数为（A ）40（B ）10（C ）40-（D ）10-（5）已知P 为ABC △所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（A ）1322AP AB AC=-+uu u r uu ur uuu r （B ）1233AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r（C ）3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r（D ）2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r（6）函数()sin 2tan f x x x =⋅是（A ）奇函数，且最小值为0（B ）奇函数，且最大值为2（C ）偶函数，且最小值为0（D ）偶函数，且最大值为2（7）已知双曲线C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C 的离心率为2”是“C的一条渐近线为y =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N 间的关系为2ln (1Mv N=+．若火箭的最大速度为12km /s ，则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：e 2.71828=L ）（A ）200（B ）400（C ）600（D ）800（9）设c ∈R ，函数,0,()22,0.x x c x f x c x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（A ）(0,1)（B ）{0}[1,)+∞U （C ）1(0,)2（D ）1{0}[,)2+∞U （10）n 名学生参加某次测试，测试由m 道题组成．若一道题至少有23n 名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了23m 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有23n 名学生成绩合格，且测试中至少有23m 道题为难题，那么mn 的最小值为（A ）6（B ）9（C ）18（D ）27第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021年西城区抽样测试高三数学文科试卷(西城区一模试卷)制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高三数学试卷〔文科〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

一共150分。

考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择题 一共40分〕一. 选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的。

1. 设全集{}{}U Z A B ===，，，，，，，1232345，那么B A C U ∩()等于〔 〕A. {}045，，B. {}01，C. {}45，D. {}23，2. 以下函数中既是奇函数，又在区间〔0，1〕上单调递减的是〔 〕A. y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12B. y x =log 12C. y x =sinD. y x=13. ()()a b ==-3486，，，，那么向量a 与b 〔 〕 A. 互相平行B. 互相垂直C. 夹角为30°D. 夹角为60°4. 在同一坐标系中，函数y x=-2与y x =-log 2的图象都正确的选项是〔 〕5. 假设球的外表积为16π，那么与球心间隔 为3的平面截球所得的圆面面积为〔 〕A. 4πB. 3πC. 2πD. π6. 以下判断正确的选项是〔 〕A. “正四棱锥的底面是正方形〞的逆命题为真命题。

B. “ac bc 22>〞的充要条件是“a b >〞。

C. 假设“p 或者q 〞是真命题，那么p ，q 中至少有一个真命题。

D. 不等式111x ->的解集为{}x x |<2 7. A 〔7，1〕，B 〔1，4〕，直线y ax =12与线段AB 交于点C ，且AC CB →=→2，那么a 等于〔 〕A. 2B. 1C.45D.538. 某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，那么不同的选人方式有〔 〕A. 56种B. 49种C. 42种D. 14种第二卷〔非选择题 一共110分〕二. 填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分，把答案填在题中横线上。

北京市西城区抽样测试 高三数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（西城·文·题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q D ．QP【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．（西城·文·题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x <+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得．（西城·文·题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10 B ．12 C ．15 D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（西城·文·题4）4．若0m n <<，则下列结论正确的是（ ）A ．22m n >B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22log log m n > D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确．（西城·文·题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A ．1212,x x s s >< B ．1212,x x s s =< C ．1212,x x s s == D ．1212,x x s s <>甲乙012965541835572【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．（西城·文·题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（西城·文·题7）7．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ）A ．2-B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是输出y xy = zx = y z<20 z = x +y x =1, y =1否是结束开始2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-．（西城·文·题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交D ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM MB CM MD ==知AC BD ∥，从而AC ∥平面β，故有AC l ∥，故B 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （西城·文·题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i 22+；11i 1ii i 1i 22-++=+=+． （西城·文·题10）10．在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ．【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．A（西城·文·题11）11．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 【解析】 13；222(2)44cos6013a b a a b b -=-⋅︒+=．（西城·文·题12）12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x = ．【解析】 1-或10；当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得10x =．（西城·文·题13） 13．在ABC ∆中，C 为钝角，32AB BC =，1sin 3A =，则角C = ，sinB = ． 【解析】 150°，2236-； 由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BC A ==⇒=，又C 为钝角，故150C =︒； 13221223sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛⎫-=+=+=⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． （西城·文·题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．现给出下列命题：①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．1O -1yx三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （西城·文·题15）15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =． ⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”， 第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（西城·文·题16）16．（本小题满分12分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值；⑵求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos2cos2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos2sin cos2cos2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以10sin α=， 所以sin 2cos sin 10cos 2αααα-=（西城·文·题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．侧（左）视图正（主）视图PDCBA222222444【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在PAC ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点，所以AD PC ⊥， 所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4BC =，由⑴知90ADC ∠=︒，BC ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B ADC -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．OQABC DP因为O 为CQ 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，所以ACBQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，2242PQ AP AQ =+=．（西城·文·题18）18．（本小题满分14分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆直角三角形，求m 的值．【解析】 ⑴已知2341c a a ==， 所以2,3a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得55m -< 设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当AOB ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为AOB ∠为直角，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， 所以212122()0x x m x x m +++=，所以222888055m m m --+=，解得2105m =；ii ）当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角， 由直线l 的斜率为1，可得直线OA 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-， 又2214x y +=，所以211521545x x =⇒= 1114255m y x x =-=-=，依题意55m -<0m ≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m 的值为2105455（西城·文·题19）19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++，n *∈N ，已知1b m =，232mb =，其中0m ≠． ⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m =时，求n b ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围． 【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m =；2122b a a =+，所以12322a a m +=，解得22ma =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++，……………………②， ②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++，所以111223111123212nn n b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n 为奇数时，1311,22n ⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（西城·文·题20）20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ． ⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x mx m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x =或2x m =-， 因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值． ()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ， 解()f x =0，得()f x 的零点为214m m m x --=224m m mx +-=结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >． 因为0m <，所以120x x <<，并且221444(2)2m m m m m mx m m ---+----=+=24444|2|4(2)1022m m m m m m m -+--+-+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．11 / 11。