第9讲 三维几何建模-1

描述形体拓扑信息的根本目的是便于直接对构成形体 的各面、边及顶点的参数和属性进行存取和查询，便于实 现以面、边、点为基础的各种几何运算和操作。
例如：多面体的面、边和顶点间的九种拓扑关系
面面邻接关系 面上点的关系 面上边的关系
点与面连接关系 点点连接关系 点与边连接关系
边面邻接关系
边点连接关系
边边连接关系
计算机图形学与CAD技术
华中科技大学 国家CAD支撑软件工程技术研究中心
第8讲 几何造型-Ⅰ
1. 几何形体的计算机内部表达 2. 实体模型的CSG、BREP表达
3. 实体模型的其它表达方法
本章目的 1．了解计算机内部是怎样表达三维机械零部件模型 2．了解实体模型CSG、BREP表达的基本原理 3．了解实体模型的其它表达方法
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
第8讲 几何造型-I
1．几何形体的计算机内部表达 2．实体模型的CSG、BREP表达 3. 实体模型的其它表达方法
实体模型能够完整地、无歧义地表示 三维形体，已成为各种图形系统的核心。 在实体模型的表示中，出现了许多方法， 基本上可以分为三大类 空间分解表示 构造表示(CSG)
几何造型技术
几何造型技术是研究在计算机中，如何表达物体模型形 状的技术。几何造型通过对点、线、面、体等几何元素 的数学描述，经过平移、旋转、变比等几何变换和并、 交、差等集合运算，产生实际的或想象的物体模型。
第8讲 几何造型-I
1．几何形体的计算机内部表达 2．实体模型的CSG、BREP表达 3. 实体模型的其它表达方法
4. CSG表示可方便地转换成边界（Brep）表示。
缺点：
1. 对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类的限制， 也就是说，CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性；
2. 不能进行形体的局部修改，例如，不能对基本体素的交 线倒圆角；
3. 由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示 在 CSG 中，集合运算效率低，显示 CSG 表示的形体需要较 长的时间。
BREP表达数据结构举例
Brep表示法的优点：
1. 表示形体的点、线、面等几何元素是显式表示、使得形体 的显示很快并且很容易确定几何元素之间的连接关系； 2. 可对Brep法的形体进行多种局部操作，比如倒角； 3. 便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面粗 糙度等。 4. Brep表示覆盖域大，原则上能表示所有的形体
线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为 直线、圆弧、二次曲线及样条曲线组成 。
线框模型在计算机内存储的数据结构：
顶点表：记录各顶点坐标值； 棱线表：记录每条棱线所连接的两顶点。
class POINT { double v[3]; //坐标值 int pointtype; //点的属性 ………….. class EDGE { int start_point_no; //边的起点 int end_point_no; //边的终点 CURVE cur； //边方程定义； ………….. }
对复杂实体的数据结构则采用更多的层次表来描述
边界表示的数据结构
边界表示强调实体的外表细节，把面、边、顶点的信息分 层描述，并建立了层与层之间边界表示。 没有统一的数据结构，为了有效地表示几何体的拓扑关系 ，斯坦福大学B．G．Baumgart在1972年提出的以棱边为中心的 多面体表示的翼边结构(Winged Edge Data Structure，WED) 及改进后的对称结构等。 翼边结构以边为核心组织数据，如图： 棱边数据结构中包含两个点指针， 指向该边的起点和终点，棱边为一有向 线段。当棱边为曲线段时，还需增加一 指针指向曲线表示的结构。 现在的CAD系统数据结构都是翼边结构的变种
int edge_num； //边数 int *edge_no; //边链表 int face_type; //面类型 SURFACE sur； //面方程 …………….
………….
………….
}
}
}
以立方体为例，其表面模型结构如下表：
表面模型的特点
表面模型可以满足面面求交，线面消隐、 明暗处理和数控加工的要求。
CSG＋BREP混合表示
从用户进行造型的角度看， CSG 方法比较方便，从对 形体的存储管理和操作的角度看，Brep法更为实用。 目前大多数 CAD系统都以 CSG＋Brep 的混合表示作为 形体数据表示的基础： 以 CSG 模型表示几何造型的特征历史过程及其特 征设计参数； 用Brep模型维护详细的几何信息和显示、查询等 操作，同时也为布尔运算提供基础。
表面模型唯一没有解决的问题是形体究竟 在表面的哪一侧，因而在物性计算、有限元分 析等应用中，表面模型在形体的表示上仍然缺 乏完整性。
实体模型(Solid Model)
为了解决形体存在于表面的哪一侧的问题，可采用实 体模型来描述三维立体
在表面模型的基础上可用三种方法来定义表面的哪 一侧存在实体。
① 给出实体存在一侧的一点； ② 直接用表面的外法矢来指明实体存在的一侧； ③ 用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向。（该方 法为CAD系统广泛采用）
边界表示(BREP)
空间分解表示有单元枚举、八叉 树分解等 构造表示是按照生成过程来定义 形体的方法，构造表示通常有扫描 表示、构造实体几何表示和特征表 示三种。
边界表式方法(BREP)
边界表示(Boundary Representation， 缩写Brep)通过描述实体的边界来表示实 体。实体的边界将该实体分为实体内点 集和实体外点集，是实体与环境之间的 分界面。定义了实体的边界，实体就被 唯一定义，如右图所示。 实体的边界通常是由面的并集来表示, 面可以是一组曲面（或平面），如图为 平面表示的立体和曲面表示的立体。
（思考：为什么不直接用法矢？）
用有向棱边隐含地表示表面的 外法矢方向时，规定有向棱边按右 手法则取向：沿着闭合的棱边所得 的方向与表面外法矢方向一致。 思考：相邻两个面的公共棱边 的方向不会矛盾吗？
（有矛盾，CAD系统中增加“环” 的定义解决矛盾）
数据结构如下：
class POINT {
同线框模型
几何形体的计算机内部表达
计算机中表示形体，通常用
线框模型 表面模型
实体模型
三种模式实质上代表了形体在计算 机内三种不同的存储方式 线框模型和表面模型保存的三维形 体信息都不完整。只有实体模型才能 够完整地、无歧义地表示三维形体， 已成为各种图形系统的核心
线框模型(wireframe Model)
Brep中必须表达的信息分为两类:
一类是几何信息。描述形体的大小、位置、形状等基 本信息，如顶点坐标，边和面的数学表达式等。
另一类是拓扑信息。拓扑信息描述形体上的顶点、边、 面的连接关系。
拓扑信息形成物体边界表示的“骨架”，形体的几何 信息犹如附着在“骨架”上的“肌肉”。 在 Brep 中，拓扑信息是指用来说明体、面、边及顶点 之间连接关系的这一类信息，例如面与哪些面相邻；面由 那些边组成等。
从前面的实体模型可知，本质上我们仍然采用形 体的边界表面的数学描述代替实体描述,这种典型的描 述方法通常称为实体的边界表达方法（BREP）
线框、表面与实体模型的比较
模型表示 二维线框 三维线框 表面模型 应用范围 画二维线框图（工程 图） 画二、三维线框图 艺术图形、形体表面 的显示、数控加工
物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体
}
以立方体为例，其线框模型结构如下表：
优点
1. 结构简单，计算机内部易于表达，绘制快速； 2. 物体的三维数据可以产生任意视图，为生成工程图带来了方便
缺点
1. 有二义性，缺少表面轮廓信息，当形状复杂、 棱线过多时，会引起模糊理解。 2. 在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系 的信息。从原理上讲，此种模型不能消除隐 藏线、计算物性、生成数控加工刀具轨迹、 有限元网格剖分、物体干涉检验等。
class EDGE {
同线框模型
class FACE
{
int edge_num； EDGE * edge; int face_type; SURFACE sur； …………. //边数 //边链表 //面类型 //面方程
………….
………….
}
}
}
实体模型的特点
根据实体模型，可以进行物性计算（如体积、质 量，惯量）、有限元分析等应用。
用CSG 树表示一个形体是无二义性的，但一个形 体可以有不同的 CSG树表示，取决于使用的体素、构 造操作方法和操作顺序。
CSG表示依赖稳定可靠的布尔运算算法支撑。
CSG表示法的优点：
1. 数据结构比较简单，数据量比较小，易于管理；
2. 每个CSG都和一个实际的有效形体相对应；
3. CSG树记录了形体的生成过程，可修改形体生成的各环节 以改变形体的形状；
CSG中物体形状的定义以集合论为基础，先定义集合 本身，其次是集合之间运算。所以，CSG表示先定义有 界体素 ( 如立方体、圆柱、球、锥、圆环等 ) ，然后将 这些体素进行并、交、差运算（如图）。
A 体
B 体
A＋* B
A－* B
A∩*B
形体的 CSG 可看成是一个有序的二叉树，其叶子 节点是体素或几何变换的参数，非叶节点则是布尔运 算的操作符或几何变换操作。任何子树表示其下两个 节点的组合或变换的结果，树根表示最终的形体。
表面模型(Surface Model)
表面模型是用有连接顺序的棱边围成的有限区域 来定义形体的表面,再由表面的集合来定义形体。 表面可以是平面，也可以是柱面、球面等类型的 二次曲面，也可是样条曲面构成的自由曲面。 表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边 信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容。