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高中数学奥赛经典讲解教案
主题：解析几何
目标：通过本节课的学习，学生能够掌握解析几何中常见的定理、方法和技巧，提高解题能力。
一、引言（5分钟）
介绍解析几何的概念和作用，引导学生明确本节课的学习目标。
二、知识讲解（30分钟）
1. 直线方程的一般式和点斜式，以及两点式的转化和应用；
2. 圆的一般式方程和标准式方程的求解方法；
3. 解析几何中常见的定理和性质，如相交直线垂直的判断条件、圆与直线的相交关系等。
三、例题讲解（20分钟）
1. 根据已知条件，用解析几何方法求解直线方程或圆的方程；
2. 利用解析几何中的性质和定理解决几何问题。
四、练习与讨论（20分钟）
学生独立解答几道题目，然后与同学讨论、交流解题思路，并请学生展示解题过程。
五、总结与拓展（10分钟）
总结本节课所学内容，强调解析几何在数学竞赛中的重要性，并鼓励学生多加练习。
六、作业布置（5分钟）
布置相关习题作业，巩固本节课所学内容。
七、课后反馈（5分钟）
学生提交作业并讲解答案，教师及时反馈学生的表现，帮助学生改进解题方法。
注：本教案仅为范本，实际教学过程中应根据学生的掌握程度和学习节奏做出调整。
高中数学专题讲座篇一：高中数学专题讲座讲座题目:解析几何讲座主题:解析几何的基本概念、方法和应用讲座时长:30分钟正文:解析几何是高中数学中重要的分支之一,主要研究平面上点与线之间的关系,以及它们在空间中的相互转化。
解析几何的应用非常广泛,包括几何光学、天体物理学、工程学等领域。
讲座开始时,我们将介绍解析几何的基本概念和符号表示。
解析几何中的点通常用字母P表示,线通常用字母l表示,函数通常用字母f表示,变量通常用字母x表示。
我们将使用这些符号来表示解析几何中的各种概念和公式。
接下来,我们将介绍解析几何的基本方法。
这些方法包括几何法、代数法和曲线法等。
几何法是利用几何图形来表示函数,代数法是利用代数公式来表示函数,曲线法是利用曲线来表示函数。
我们将介绍这些方法的基本原理和应用。
最后,我们将介绍解析几何的应用。
解析几何在几何光学、天体物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
例如,在光学中,解析几何可以用来研究光的传播规律;在天体物理学中,解析几何可以用来研究行星的轨道和运动规律;在工程学中,解析几何可以用来研究机械运动的分析和控制。
在讲座的结尾,我们将总结一下解析几何的基本概念、方法和应用。
我们还将介绍一些常见的解析几何问题和解决方法,以便听众们能够更好地掌握解析几何的知识和技能。
以上就是本次高中数学专题讲座的全部内容。
希望本次讲座能够帮助听众们更好地掌握解析几何的基本概念、方法和应用,为未来的学习和研究打下坚实的数学基础。
篇二：高中数学专题讲座讲座题目:高中数学专题讲座讲座主题:高中数学基础知识的讲解与拓展正文:大家好,今天我们来谈一谈高中数学基础知识的讲解与拓展。
高中数学是一个非常重要的学科,因为它是许多大学专业的基础课程,同时也是许多职业领域中必不可少的技能。
因此,在学习高中数学时,掌握基础知识是非常重要的。
在讲解基础知识时,我们需要注意以下几个方面:1. 理解概念和定义。
概念和定义是数学的基石,只有理解了它们,才能更好地应用数学知识。
2019-2020年高中数学学科会议专题讲座解析几何新人教版1、考试内容与要求（考试大纲）（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
④初步了解代数方法处理几何问题的思想。
（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置。
②会推导空间两点间的距离公式。
（4）圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
③了解双曲线的定义、几何图形好标准方程，知道它的简单性质。
④了解圆锥曲线的简单应用（课标与考试说明要求：掌握直线与圆锥曲线的关系；能解决圆锥曲线的简单应用问题）。
⑤（课标：进一步体会）理解数形结合的思想。
（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系（课标：进一步感受数形结合的基本思想）。
2、高考考点分析（1）解析几何问题的重点在于通过对定义、概念、公式、定理等基础知识的学习，逐步感受、体会、理解和掌握数形结合的基本思想；特点是利用代数的方法研究并解决几何问题；难点是数形结合、运算与转化。
（2）解析几何是高中数学的主干知识，是高考的重点。
从各地和福建近几年高考数学试卷来看，小题要求比较基本，通常作为压轴题的解答题的第一问起点低，后面的难度较大。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——解析几何
严贤付
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】1 知识点释要在近3年的联赛中，对于圆锥曲线的考查已趋于稳定。
分值大致是26分或29分，即一个解答题外加一个选择题或外加一个填空题．所考查的知识点以圆锥曲线的基本概念以及直线与圆锥曲线的位置关系作为主要对象．坐标法是处理本讲知识的最基本的方法．
【总页数】4页(P10-13)
【作者】严贤付
【作者单位】山东青岛市第二中学,273455
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——数列 [J], 吴国建
2.高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——函数 [J], 吕峰波
3.初中数学奥林匹克竞赛知识讲座——数与式、方程、应用性问题 [J], 刘祖希
4.初中数学奥林匹克竞赛知识讲座——函数 [J], 陈士军
5.高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——不等式 [J], 张承宇
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第一章矢量与坐标教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。
教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。
教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。
参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08授课课时10§1.1 矢量的概念教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。
教学重点矢量的两个要素：摸与方向。
教学难点矢量的相等参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08授课课时 2§1.1 矢量的概念一、有关概念1. 矢量既有大小又有方向的量叫做矢量，或称为向量，简称矢. 而只有大小的量叫做数量，或称为标量.2. 矢量的表示用有向线段来表示矢量，有向线段的始点与终点分别叫做矢量的始点与终点，有向线段的方向表示矢量的方向，有向线段的长度代表矢量的大小. 用,, ,…或黑体字a, x,…来记矢量.3. 矢量的模矢量的大小称为矢量的模，亦称长度. 用||，||，||，|a|，|x| , …来表示.二、特殊矢量1. 零矢：模为零，方向不定.2. 单位矢：模为1，与矢量方向相同.三、矢量间的关系1. 平行矢：,所在直线平行,记作//.2. 相等矢：模相等，方向相同.3. 自由矢：始点任意，只由模与方向确定的矢量.4. 相反矢：模相等，方向相反.5. 共线矢：平行于同一直线的一组矢量.6. 共面矢：平行于同一平面的一组矢量.7. 固定矢量: 在解析几何的大多数问题里，只有矢量的长度和方向发挥主要作用，而与它的起点无关，即为自由矢量. 在个别情形下，有时我们只把有同一起点且相等的矢量才看作相等矢量，亦即两矢量完全重合时才看作相等，这样规定的矢量叫做固定矢量. 需要注意，在应用科学中起点位置不同，所产生的作用也会不同，如图1-1，同样的力由于作用点M1和M2的不同，效果也会不同.例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？证明：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，KL AC. 与方向相同；在∆DAC中，NM AC. 与方向相同，从而KL＝NM且与方向相同，所以＝.由于上述证明不受ABCD是平面四边形或空间四边形的影响，即证明过程中并未用到ABCD必须是平面四边形的限制，故等式对空间情形也成立.例2. 回答下列问题：(1) 若矢量//，//,则是否有//？(2) 若矢量,,共面，,,也共面，则,,是否也共面？(3) 若矢量,,中//，则,,是否共面？(4) 若矢量，共线，在什么条件下，也共线？解：(1)由//可知，,所在直线相互平行，同理,所在直线相互平行，从而,所在直线相互平行，从而有//；(2),,不一定共面. 只有当,,,,五矢量全部在同一平面上时,,共面，否则,,不共面；(3)//,,二矢量必共面，从而,,必共面；(4) 只有当ABDC组成平行四边形，即＝时,才共线.作业题：1. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、.矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘)教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;2、能用矢量法证明有关几何命题。
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C)A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条.A ．1B ．2C ．3D ．4解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C.4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定8．（05四川）双曲线12222=-by a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定 （ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△P F F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切.9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O 的直线。
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C)A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条.A ．1B ．2C ．3D ．4解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C.4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定8．（05四川）双曲线12222=-by a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定（ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△P F F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O 的直线。
若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ）（奥析263）A ．316B ．38 C ．3316 D ．38二、填空题1．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 2．（04湖南）设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，1F 、2F 分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___25________.3．（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A 与点)0,8(B 重叠，若点)8,6(C 与点),(n m D 重叠，则=+n m _______________;解：可解得对称轴方程为62-=x y ，由2168,6)6(28-=---+=+m n m n 得2,7,6.7==n m ，所以8.14=+n m4．在正△ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则以B 、C 为焦点且过点D 、E 1+ ．5．（03全国）设F 1、F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1.则三角形PF 1F 2的面积为 . （奥析264）6．（04全国）给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动. 当MPN ∠取最大时，点P 的坐标为 . （奥析265） 7．（03山东）设曲线64222+=+x y x 上与原点距离最大和最小的点分别为M 、N ，则|MN|= .（奥析266）8．（04全国）已知}.|),{(},32|),{(22b mx y y x N y x y x M +===+=若对于所有的R m ∈，均有φ≠⋂N M ，则b 的取值范围是 （奥析267）9．（00全国）平面上的整点到直线25x －15y+12=0的距离中的最小值是8534. 10．(99全国)满足不等式（|x|－1）2+(|y|－1)2 <2的整点的个数有 16 .11．（00河北）在圆x 2+y 2－5x=0内，过点)23,25(有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的取值范围为 ]25,552[. 12．设P 是抛物线y 2=2x 上的点，Q 是圆（x －5）2+y 2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 .三、解答题1．已知抛物线y 2=4ax （0<a<1）的焦点为F ，以A （a+4,0）为圆心，|AF|为半径在x 轴上方作半圆交抛物线与不同的两点M 、N ，设P 为线段MN 的中点.（1）求|MF|+|NF 的值.（2）是否存在这样的a 的值，使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a 的值；如不存在，说明理由。
答案（1）8；（2）不存在。
（利用定义法） 2．圆x 2+y 2=8，点A （2，0），动点M 在圆上，0为原点，求OMA ∠的最大值。
（方法大全1） 3．已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线xy -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点．（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值； （2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31， 求证：||||||CD BC AB ==． 解：（1）设直线l ：b kx y +=代入m y x =-22得：02)1(222=----m b bkx x k ，0>∆得：0)1(22>-+k m b ，设),(11y x B ，),(22y x C ，则有22112k bk x x -=+，22211)(k m b x x -+-=，设),(33y x A ，),(44y x D ，易得：k b x -=13，k bx +-=14，由||||||CD BC AB ==得||31||AD BC =，故||31||4321x x x x -=-，代入得|12|311)(4)12(22222k bk m b k bk -=-++-，整理得：)1(8922-=k m b ，又|1|2||k b OA -=，|1|2||k b OD +=，︒=∠90AOD ，∴AOD S ∆=m k b 89|1|22=-为定值. （2）设BC 中点为P ，AD 中点为Q 则22112k bk x x x p -=+=，24312kbkx x x Q -=+=，所以Q P x x =，P 、Q 重合，从而||||DP AP =，从而||||CD AB =，又BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31，所以||31||AD BC =，从而||||||CD BC AB ==.4．已知点A()0,5和曲线()0,5221422≥≤≤=-y x y x 上的点、、P P 21…、n P .若A P 1、A P 2、…、A P n 成等差数列且公差d >0,(1). 试将d 表示为n 的函数关系式.(2). 若⎪⎭⎫⎝⎛∈51,51d ,是否存在满足条件的)(*N n n ∈.若存在,求出n 可取的所有值,若不存在,说明理由.解(1)∵d>0,故为递增数列∴A P 1最小,A P n 最大.由方程()0,5221422≥≤≤=-y x y x 知)0,5(A 是它的右焦点,L: 54=x 是它的右准线, ∴251⋅=A P 3=A P n 于是d n )1()25(3---= ∴ )1(155>--=n n d …………………………-5分 （2）∵)51,51(∈d ∴5115551<--<n 设)5526,455(--∈n 又∵*N n ∈ ∴n 取最大值14, n 取最小值8.∴n 可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值.- - - - - - - - -- - - - -9分A CQ5．（03山东）椭圆C ：122=+By Ax 与直线 ：x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5）.若PQR ∆是等腰三角形，O PRQ 90=∠，求A 、B 的值。
（奥析265）6．（04全国）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k 的取值范围。
解：（Ⅰ）直线AB 、AC 、BC 的方程依次为44(1),(1),033y x y x y =+=--=。
点(,)P x y 到AB 、AC 、BC 的距离依次为12311|434|,|434|,||55d x y d x y d y =-+=+-=。
依设，2222123,|16(34)|25d d d x y y =--=得， 即22222216(34)250,16(34)250x y y x y y --+=---=或， 化简得点P 的轨迹方程为圆S ：22222320171280x y y y y ++-=-+-=2与双曲线T:8x ......5分（Ⅱ）由前知，点P 的轨迹包含两部分 圆S ：2222320x y y ++-=①与双曲线T ：2171280y y -+-=28x ②因为B （－1，0）和C （1，0）是适合题设条件的点，所以点B 和点C 在点P 的轨迹上，且点P 的轨迹曲线S 与T 的公共点只有B 、C 两点.ABC ∆的内心D 也是适合题设条件的点，由123d d d ==，解得1(0,)2D ，且知它在圆S 上.直线L 经过D ，且与点P 的轨迹有3个公共点，所以，L 的斜率存在，设L 的方程为12y kx =+ ③（i ）当k=0时，L 与圆S 相切，有唯一的公共点D ；此时，直线12y =平行于x 轴，表明L 与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以L 恰好与点P 的轨迹有3个公共点。
