2019学年高二数学上学期开学考试试题 文(含解析)

新高二开学摸底考试卷（江苏专用，苏教版2019）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试范围：苏教版2019必修第一册、第二册以及选修必修第一册直线与方程4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,M N ，则“M N M ⋂=”是“M N N ⋃=”的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】C【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解.【详解】因为M N M ⋂=，所以M N ⊆，因为M N N ⋃=，所以M N ⊆，所以“”M N M ⋂=是“”M N N ⋃=的充要条件,故选：C.2．若复数z 满足1i z=，则z 等于（）A.12B.22C.D.23．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.标准差为4．已知向量(1,a =，向量b 在a 上的投影向量为12a -，则ab ⋅=（）A.-2 B.-1C.1D.2关于点对称，则实数的值为（）A.2B.6C.2- D.6-【答案】A【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.【详解】由于直线230x y +-=与直线40ax y b ++=关于点(1,0)A 对称，所以两直线平行，故24a =，则2a =，由于点(3,0)在直线230x y +-=上，(3,0)关于点(1,0)A 的对称点为(1,0)-，故(1,0)-在40ax y b ++=上，代入可得0a b -+=，故2b a ==，6．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥A.223B.223-C.13-D.53是定义域为R 的奇函数，且2f x f x +=-，11f =，则下列说法不正确的是（）A ．()31f =-B ．()f x 的图象关于点()2,0中心对称C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()()()()()123202320241f f f f f +++⋅⋅⋅++=【答案】D【分析】对于A ：根据()()2f x f x +=-，赋值令1x =，即可得结果；对于C ：根据()()2f x f x +=-结合奇函数定义可得()()2f x f x +=-，即可得结果；对于B ：根据选项B 中结论分析可得()()220f x f x ++-+=，即可得结果；对于D ：分析可知：4为()f x 的周期，结合周期性分析求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，()11f =，对于选项A ：令1x =，可得()()311f f =-=-，故A 正确；对于选项C ：因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x =--，则()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确；对于选项B ：因为()()2f x f x +=-，可得()()2f x f x -+=，则()()()()22f x f x f x f x +=-=-=--+，即()()220f x f x ++-+=，所以()f x 的图象关于点()2,0中心对称，故B 正确；对于选项D ：因为()()220f x f x ++-+=，令0x =，可得()()()220,200f f f ===，令1x =，可得()()310f f +=，又因为()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，可知4为()f x 的周期，可得()()240f f +=，即()()()()12340f f f f +++=，因为20244506=⨯，所以()()()()()123202320240f f f f f +++⋅⋅⋅++=，故D 错误；故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A =“两个球颜色相同”，B =“第1次取出的是红球”，C =“第2次取出的是红球”，D =“两个球颜色不同”．则（）A.A 与D 互为对立事件B.B 与C 互斥C.A 与B 相互独立D.3()5P C =【答案】AD【分析】依次列出样本空间，事件A 、B 、C 、D 包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.【详解】依题意可设3个红球为1a ，2a ，3a ，2个白球为1b ，2b ，则样本空间为：()()()()()()()()()()()(){121311122123212231323132Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a a b a b a a a a a b a b =，，，，，，，，A.()f x 的最小正周期为2πB.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增则（）A.1//AA 平面1BDC B.二面角1C BD C --的大小为60 C.该四棱台外接球的体积为 D.1EA EA +的最小值为又面1111//A B C D 面ABCD ，而面AA 故11//A C AC ，即112//AC AO ；由2AB =，12AA =，111A B =，得112AC =，211222AO AC ==⨯所以四边形112AAC O 是平行四边形，故在等腰梯形11AA C C 中，易得12O O =为方便计算，不妨设12,O O a O O ==即()2222222a b ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，得2a故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m 恒过定点______.【答案】(5,2)--ACD【分析】整理直线方程，可化为(21)30+-+--=m x y x y ，当210x y +-=且30--=x y 时，无论m 取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；【详解】因为直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m ，即(21)30+---+=m x y x y ，令21030x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，解得52x y =⎧⎨=-⎩，即直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m 恒过定点(5,2)-，故答案为：(5,2)-13．已知ABC 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则APAB ⋅=_________14．古希腊数学家托勒密于公元形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD 外接圆半径为1，sin :sin :sin 3:5:7ABD ADB BAD ∠∠∠=．则（1）BD =__________；（2）2AC BC CD⋅的最小值为__________．四、解答题：本题共15．2024年5月15日是第社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样的方法从年龄在区间[)20,30和[)70,80两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.AB AC ⊥，E 为PD 中点，F 为PB 中点，M 为CE 中点．（1）求证：平面ACE ⊥平面PAB ；（2）求证：//AF 平面BDM ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出,PA AC ⊥AB AC ⊥即可证明出CA ⊥平面PAB 从而证明出平面ACE ⊥平面PAB ．（2）先证明平面//AEF 平面BDM ．再利用面面平行的性质证明即可..【详解】（1）PA ⊥ 底面ABCD ．AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥．又AB AC ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB CA ∴⊥平面PAB ．AC ⊂ 平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面PAB ．（2）连接EF 、AE ，连接AC 交BD 于点O ，连接OM ．在ACE △中，M ，O 分别为CE ，AC 中点，//AE OM ∴．又AE ⊂平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，//AE ∴平面BDM ：在PBD △中，E ，F 分别为PD ，PB 中点，//EF BD ∴．又EF ⊂平面BDM ，BD ⊂平面BDM ．//EF ∴平面BDM ；又AE ，EF ⊂平面AEF ，AE EF E ⋂=，∴平面//AEF 平面BDM ．又AF ⊂平面AEF ，所以//AF 平面BDM ．17．已知ABC 的顶点(0,4)A ，(4,0)B -，(2,0)C .（1）若直线l 过顶点C ，且顶点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求ABC 的欧拉线方程.18．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()223sinsin 222B A ab a b a b c +=++．（1）求角C 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求a b c +的取值范围．19．如图，在四棱柱1111中，已知侧面11为矩形，，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12EA AE =，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.EF平面由（1）可知//。

2019学年度第一学高二开学考试数学试题本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则U A C =（ ）A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）A ．x xy e e -=+ B ．()ln 1y x =+ C ．sin x y x =D ．1y x x=- 3．若3412a ⎛⎫=⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4．已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin α+cos α=（ ） A ．75- B ．34- C ．15- D ．155．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．23AD AB AC=-+ B ．3144AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+ D ．2133AD AB AC =+ 6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．(43π+ B ．(86π+ C ．(83π+D ．(4π+7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知a 1=S 3=3，则S 4的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．6 8．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（ ）A．B．( C．)2 D ．()0,29．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣1 10．若直线220mx ny --=（m ＞0，n ＞0）过点（1，﹣2），则12m n+最小值（ ） A ．2 B ．6C ．12D ．3+211．已知函数()11x x f x e e +-=+，则满足()221f x e -<+的x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．0＜x ＜3C ．1＜x ＜eD ．1＜x ＜312．设等差数列{}n a 满足22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当n =11时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()1,0a =，()1,b m =-．若()a mab ⊥-，则m = ． 14．已知1cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ． 15．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 ．16．已知直线l：30mx y m ++=与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =|CD |= ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADB =90°，CB =CD ，点E 为棱PB 的中点． （Ⅰ）若PB =PD ，求证：PC ⊥BD ；（Ⅱ）求证：CE ∥平面PAD ．18．（12分）已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列72n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．19．在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GK 、AH ．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．21．已知方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y +m =0．（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x +2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆的外部，求实数m 的取值范围．22．已知函数()•,xxf x e a e x R -=+∈.（Ⅰ）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；（Ⅱ）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）8．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．12．【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴===sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，∴sin（5d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．由S n=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．∴首项a1的取值范围是（π，）．故选：D．二．填空题（共4小题）13．﹣1． 14. 1315. 2 16. 415．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，=11﹣2=9，解得T=12，ω==；又f（0）=Asinφ=1，∴sinφ=；f（2）=Asin（×2+φ）=A，∴φ=，∴=sin=，∴A=2，∴f（2018）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．故答案为：2．16．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三．解答题（共6小题，满分22分）17．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，所以EO∥平面PAD．由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．18．【解答】（Ⅰ）解：已知{a n}的前n项和，则：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．当n=1时，a1=S1=3，适合上式∴a n=5﹣2n．（Ⅱ）解：令=，+…+①，所以：+…+②，①﹣②得：﹣，=，=．整理得：．19．【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，所以=+=+（﹣）=﹣+（﹣+）=．因为A、H、G三点共线，所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．因为+=，所以+n=m+因为a、b不共线，∴解得m=，即=（+）=+．20．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．21．【解答】解：（1）∵程x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0表示圆， ∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m ＞0， 解得m ＜5，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，5）．（2）直线x+2y ﹣4=0代入圆的方程，消去x 可得：5y 2﹣16y+8+m=0 ∵△＞0，∴m＜，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=，y 1y 2=，∴x 1x 2=（4﹣2y 1）（4﹣2y 2）=16﹣8（y 1+y 2）+4y 1y 2=，∵坐标原点O 在以MN 为径的圆的外部， ∴＞0，∴x 1x 2+y 1y 2＞0， ∴+＞0解得m ＞． 22． 【解答】：（1）当1a =时， ()xxf x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称，而()()xx f x ee f x --=+=，说明()f x 为偶函数；（2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e eaf x f x e aee aee +--+---=+-+=，因为12x x <，函数xy e =为增函数，得12x x e e <， 120x xe e -<，而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立，即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；...... （3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222x x x x f x e e e e --=+=+-，设x x t e e -=+，则[)2,t ∈+∞， 110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+， 即21t m t+≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34， 故34m ≥。

2019高二开学检测数学（文）试题一、选择题1. 在△ABC中，若a=2b sin A,则B为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】，，则或，选C.2. 在△ABC中，，则S△ABC= （）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】,选C3. 边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】B解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．考点：余弦定理．4. 等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B...............5. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，不妨设，,则，选A.6. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B. 米C. 200米D. 200米【答案】A【解析】如图,易知,在中，，在中，，由正弦定理，得，即；故选A.7. 已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°【答案】D【解析】试题分析：，；，，或，选D.考点：正弦定理、解三角形8. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A. 9B. 18C. 9D. 18【答案】C【解析】试题分析：∠A＝30°，∠B＝120°所以∠C＝30°考点：解三角形9. 某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（）A. B. 2 C. 2或 D. 3【答案】C【解析】试题分析：依题意，由余弦定理得，解得或.考点：余弦定理的应用10. 在中,则=（）A. 或B.C. D. 以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由得考点：正弦定理11. 在三角形ABC中,已知A,b=1,其面积为,则为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所以，又由余弦定理，可得，所以，则，故选B．考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到是解答的关键，属于中档试题．12. 在△ABC中，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，则，，，，，，选C.13. 在△ABC中，若，则A等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,，则或，选D.14. 在△ABC中，若，则其面积等于（）A. 12B.C. 28D.【答案】D【解析】，，，选D.15. 在△ABC中，若，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即：则，，，选C.16. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.17. 在△ABC中，若则A=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】, , ,,则，选B .18. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，最大角为，，选C.19. 在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定【答案】A【解析】解：因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A20. 在△ABC中，，则等于A. 1B. 2C.D. 3【答案】B【解析】根据正弦定理，，，，则，则，，选B 。

2019学年（上）高二年（文）期初考数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．1. 设集合，下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，对于图①中，在集合中区间内的元素没有象，比如的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于中任意一个元素，中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，在集合中区间内的元素没有象，比如的值就不存在，故③不符合题意；对于图④中，集合的一个元素对应中的两个元素，比如当时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确，故选B.2. 如果，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以根据诱导公式可得，故选B.3. 方程表示圆心为，半径为的圆，则的值依次为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得圆心坐标是，半径为，因为圆心为，半径为，解得，故选B.4. 已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设是单位向量，，① 由得，因为向量与单位向量同向，② ，①②联立解方程得或，或，又方向相同，舍去，，故选B.5. 如果，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，移项合并得，变形得，则，故选A.6. 执行如图所示的程序框图, 如果输入的是, 那么输出的是（）A. 1B. 24C. 120D. 720【答案】C【解析】试题分析：k=1,p=1,k=2,p=2;k=3,p=6;k=4,p=24,k=5,p=120.选C.考点：循环程序.7. 若函数在区间上递减，且有最小值，则的值可以是（）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】在上是递减的，且有最小值为，，即，当时，函数在区间上递减，且有最小值，故选B.8. 设方程的两个根为，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分别作出函数和的图象如图，由图象可知方程的两根为9. 若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,∴θ有11个∴∴∴发现当k=0,1,2,8，9,10时，成立，所以P=考点：1.三角恒等变换；2.古典概型.10. 已知是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则的值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图所示，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为根据对称性得出，最大值点的横坐标为，，，，，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.11. 已知为球的一条直径，过的中点作垂直于的截面，则所得截面和点构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设球的半径为，圆的半径，则，，圆锥的表面积为，则所得圆锥的表面积与球的表面积的比值为，故选B.【方法点晴】本题主要考球的性质及、棱锥的侧面积公式及球的表面积公式，属于难题. 与球有关的线面关系问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.12. 已知是圆上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】试题分析：是上的两个点，，设，的面积，所以当时，面积有最大值，，不妨设，在线段上，设，，，对应的二次函数图像的对称轴是，所以当时，有最大值，故选C．考点：三角形的面积，向量的数量积，有关函数的最值问题．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．13. 从这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____．【答案】【解析】试题分析：从四个数中任取两个数共有六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有一种,所以其概率为,即概率是.考点：列举法、古典型概率公式及运用.视频14. 已知向量，若，则实数__________．【答案】【解析】向量，，解得，故答案为.15. 若圆与圆的公共弦长为，则________.【答案】【解析】将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填。

2019学年度第一学高二开学考试数学试题本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则U A C =（ ）A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）A ．x xy e e -=+ B ．()ln 1y x =+ C ．sin x y x =D ．1y x x=- 3．若3412a ⎛⎫=⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4．已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin α+cos α=（ ） A ．75- B ．34- C ．15- D ．155．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．23AD AB AC =-+ B ．3144AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+ D ．2133AD AB AC =+ 6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．(43π+ B ．(86π+ C ．(83π+D ．(4π+7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知a 1=S 3=3，则S 4的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．6 8．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（ ）A ．B ．(C ．)2 D ．()0,29．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣1 10．若直线220mx ny --=（m ＞0，n ＞0）过点（1，﹣2），则12m n+最小值（ ） A ．2 B ．6C ．12D ．3+211．已知函数()11x x f x e e +-=+，则满足()221f x e -<+的x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．0＜x ＜3C ．1＜x ＜eD ．1＜x ＜312．设等差数列{}n a 满足22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当n =11时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()1,0a =，()1,b m =-．若()a mab ⊥-，则m = ． 14．已知1cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ． 15．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 ．16．已知直线l：30mx y m ++=与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则|CD |= ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADB =90°，CB =CD ，点E 为棱PB 的中点． （Ⅰ）若PB =PD ，求证：PC ⊥BD ；（Ⅱ）求证：CE ∥平面PAD ．18．（12分）已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列72n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．19．在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GK 、AH ．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．21．已知方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y +m =0．（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x +2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆的外部，求实数m 的取值范围．22．已知函数()•,xxf x e a e x R -=+∈.（Ⅰ）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；（Ⅱ）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）8．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．12．【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴精品===sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，∴sin（5d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．由S n=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．∴首项a1的取值范围是（π，）．故选：D．二．填空题（共4小题）13．﹣1． 14. 1315. 2 16. 415．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，=11﹣2=9，解得T=12，ω==；又f（0）=Asinφ=1，∴sinφ=；f（2）=Asin（×2+φ）=A，∴φ=，∴=sin=，∴A=2，∴f（2018）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．故答案为：2．16．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三．解答题（共6小题，满分22分）17．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，所以EO∥平面PAD．由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．18．【解答】（Ⅰ）解：已知{a n}的前n项和，则：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．当n=1时，a1=S1=3，适合上式∴a n=5﹣2n．（Ⅱ）解：令=，+…+①，所以：+…+②，①﹣②得：﹣，=，=．整理得：．19．【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，所以=+=+（﹣）=﹣+（﹣+）=．因为A、H、G三点共线，所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．因为+=，所以+n=m+因为a、b不共线，∴解得m=，即=（+）=+．20．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．21．【解答】解：（1）∵程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（2）直线x+2y﹣4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2﹣16y+8+m=0∵△＞0，∴m＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∴x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2=，∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部，精 品∴＞0，∴x 1x 2+y 1y 2＞0， ∴+＞0解得m ＞． 22． 【解答】：（1）当1a =时， ()xxf x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称，而()()xx f x ee f x --=+=，说明()f x 为偶函数；（2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e eaf x f x e aee aee +--+---=+-+=，因为12x x <，函数x y e =为增函数，得12x x e e <， 120x xe e -<，而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立，即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222x x x xf x e e e e --=+=+-，设x xt e e -=+，则[)2,t ∈+∞， 110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，即21t m t +≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34，精 品- 11 - 故34m。

河南高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“若，则或”的逆否命题是（）A．若，则或B．若或，则C．若，则且D．若且，则2.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则使成立的的最大值为（）A．2B．3C．4D．53.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件4.与圆及圆都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上5.为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于（）A．31B．32C．33D．346.若曲线的某切线倾斜角为，则的取值范围为（）A．B．C．D．7.已知正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．68.数列中，对所有的正整数都有，则（）A．B．C．D．9.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得参照附表，得到的正确结论是（）A．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”10.在中，，，，则角的对边的长为（）A．B．C．D．11.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．12.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，，则的大小关系正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______．2.已知函数，函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，则的取值范围是______．3.下列说法中①命题“若，则”的否命题为“若，则”②“”是“”的充分不必要条件③对于常数，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件④“为真”是“为真”的充分不必要条件其中说法正确的有______．（写出所有真命题的编号）三、解答题1.某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的、两地，他们测得、两地的直线距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则、两地的距离大约等于_____．（提供数据：，，结果保留两个有效数字）2.设锐角三角形的内角的对边分别为，．（1）求的大小；（2）求的取值范围．3.已知等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．4.已知函数，其中．（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；（2）若曲线在点处的切线垂直于轴，求函数的单调区间与极值．5.椭圆的一个顶点为，离心率．（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程．6.已知函数，．（1）当时，求证：，均有；（2）当时，恒成立，求的取值范围．7.已知点，直线相交于点，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）过定点作直线与曲线交于、两点，的面积是否存在最大值，若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．河南高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.命题“若，则或”的逆否命题是（）A．若，则或B．若或，则C．若，则且D．若且，则【答案】D【解析】将命题“若，则或”的条件否定后作为结论，结论否定后作为条件，就得到了其逆否命题．所以其逆否命题是“若且，则”，结合答案选项，故选D．【考点】四种命题．2.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则使成立的的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由数列的通项公式可得：，，，，，……，并且当时，，计算可知，，，，当时，，所以使成立的的最大值是，故选C．【考点】数列的前项和．3.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】由命题甲的解集是实数集，可知或，解之得或，即，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选C．【考点】1、充分条件，必要条件；2、极端不等式恒成立．【易错点晴】本题是一个关于充分条件，必要条件与极端不等式恒成立的综合性问题，属于中等难度问题．本题有一个容易出错的地方，就是当命题甲为真命题时求的取值范围时，容易将时这种情况丢失，从而造成错误．一般的，恒成立时，有两种情况，即或，丢掉任何一种情况，都将造成错误．4.与圆及圆都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上【答案】C【解析】设动圆的圆心为，半径为，则由题知，相减得，由双曲线的定义可知，动点的轨迹在双曲线的一支上，故选C．【考点】1、圆的位置关系；2、双曲线的定义．5.为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于（）A．31B．32C．33D．34【答案】A【解析】由于数列是等比数列，所以由，得，所以，又因为，即，从而可得公比，由，可得，且，所以，故选A．【考点】1、等比数列；2、等差中项；3、等比数列前项和．6.若曲线的某切线倾斜角为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由于，即，又因为倾斜角，所以的取值范围是，故选C．【考点】1、导数的几何意义；2、直线的倾斜角及其取值范围．7.已知正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由，用表示可以得到，且，所以，不妨设，则，并且，当且仅当即时取等号，所以的最小值是，故选C．【考点】1、基本不等式；2、已知条件求最值．8.数列中，对所有的正整数都有，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件……①对所有的正整数都成立可得，当时，……②，则两式相除可得，其中，所以可得，，，故选A．【考点】1、数列的通项公式；2、求数列的特定项．9.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得参照附表，得到的正确结论是（）A．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】首先根据列联表计算的的值与进行比较，再根据查表就可以得到答案，根据已知条件，由于，所以根据上表可知有％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选B．【考点】1、独立性检验；2、列联表．10.在中，，，，则角的对边的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三角形的面积公式，并且把已知数据代入并整理得，可解得，再由余弦定理知道，所以角的对边的长是，故选D．【考点】1、三角形的面积；2、三角形余弦定理．11.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】可设，则，由，知，又因为，所以，，，而，，在中，由余弦定理得，所以离心率，故选B．【考点】1、双曲线定义；2、离心率；3、余弦定理．【思路点晴】本题是双曲线的定义及三角形的余弦定理方面的综合性问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过题中的三角形的边角关系，找出与的关系式，进而可求得离心率．在寻找与的关系式时，要紧紧围绕着双曲线的定义，即，在双曲线上时有和，用表示出和，再根据余弦定理即可求出，的关系，从而得出离心率．12.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，，则的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，所以，因为是定义在上的奇函数，所以是定义在的偶函数，当时，，此时函数单调递增．因为，，，又，所以．故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数，并对进行求导，可以发现，，就是的三个函数值，再根据的单调性，就可以比较出，，的大小，进而得出结论．二、填空题1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】把方程化为标准方程：，由于其表示椭圆，所以可得不等式组：，解此不等式组得或，故答案应填：．【考点】椭圆的标准方程．2.已知函数，函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，则的取值范围是______．【答案】【解析】对函数进行求导得，由于函数在在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，所以在和内各有一个实数根，从而，化简得到，设，则，作出点的可行域如下图所示的阴影部分，易知，即，故答案应填：．【考点】1、导数；2、二次方程根的分布；3、极值；4、线性规划．【思路点晴】本题是关于导数、极值、二次方程根的分布、线性规划等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是，首先根据函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，得到应满足的关系式，进而得出，满足的关系式，得到可行域，再结合的几何意义，最终得出其取值范围．3.下列说法中①命题“若，则”的否命题为“若，则”②“”是“”的充分不必要条件③对于常数，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件④“为真”是“为真”的充分不必要条件其中说法正确的有______．（写出所有真命题的编号）【答案】②③【解析】对于①，命题“若，则”的否命题应为“若，则”，所以①错误；对于②因为“”是“”的充分不必要条件为真，所以②正确；对于③由于对于常数，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件为真，所以③正确；对于④，由于“为真”是“为真”的必要不充分条件，所以④错误；综上故答案应填②③．【考点】四种命题；2、充分条件，必要条件；3、复合命题真假的判断；4、双曲线的定义．【方法点晴】本题是关于命题、充分条件、必要条件、复合命题、双曲线的定义等方面的综合性问题，属于难题．一般的，若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则、互为充要条件；若“为真”，则、至少有一个为真，若“”为假时，则、都假；若“”为假时，则、至少有一个为假，若“”为真时，则、都为真，这点应特别注意．三、解答题1.某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的、两地，他们测得、两地的直线距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则、两地的距离大约等于_____．（提供数据：，，结果保留两个有效数字）【答案】【解析】由题可知，在中，，，所以，即是等边三角形，所以，又在中，，由正弦定理得，解得，在中由余弦定理得，故答案应填．【考点】1、正弦定理；2、余弦定理．2.设锐角三角形的内角的对边分别为，．（1）求的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先根据正弦定理求出的值，再根据角是锐角，即可求出角的大小；（2）根据（1）的结论，首先用角表示出角，再将化为的形式，并确定准的取值范围，进而得到的范围，从而可求得的取值范围，最终得到所需结论．试题解析：（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（2）由为锐角三角形知，所以．由此有，所以的取值范围为．【考点】1、正弦定理；2、辅助角公式．3.已知等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先根据等差数列的性质并结合已知条件，求出首项和公差，进而可求得数列的通项公式；（2）先根据（1）的结论求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列的前项的和，在这个过程中要注意对分和两种情况加以讨论，以增强解题的严密性．试题解析：（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得，解得故数列的通项公式为．（2）设数列的前项和为，即，故，，所以，当时，．所以．综上，数列的前项和．（用错位相减法也可）【考点】1、等差数列的通项公式；2、错位相减法求数列的前项和．4.已知函数，其中．（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；（2）若曲线在点处的切线垂直于轴，求函数的单调区间与极值．【答案】（1）；（2）的单调增区间是，，单调减区间是，极大值是，极小值是．【解析】（1）首先根据在上单调递增列出应满足的关系式，并从中把分离出来，得到关于的极端不等式恒成立，并注意结合构造函数的方法，即可求出的取值范围；（2）首先根据曲线在点处的切线垂直于轴，得到，并从中求出的值，然后再对求导，并列出在各个区间上的取值的正负情况，进而得到的单调区间和极值．试题解析：（1）对求导得因为函数在单调递增，所以在恒成立，，，即，即恒成立，构造，所以，的取值范围（2）对求导得，由在点处的切线垂直于直线轴，可知，解得由（1）知则，令，解得或由此知函数在时取得极大值在时取得极小值．【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、极值，单调区间，导数的几何意义．5.椭圆的一个顶点为，离心率．（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先由椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，联立即可求得的值，进而得到椭圆的方程；（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理得到线段的中点的坐标，再根据，即可求得的值，进而求得直线的方程．试题解析：（1）由一个顶点为，离心率，可得，，，解得，，即有椭圆方程为（2）由知点在线段的垂直平分线上，由，消去得，由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根．设、，线段的中点，则，所以，所以，即，因为，所以直线的斜率为，由，得，所以，解得：，即有直线的方程为．【考点】1、椭圆的方程；2、离心率；3、直线的方程．6.已知函数，．（1）当时，求证：，均有；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）当时，首先对进行求导，并判断出的单调区间，进而得到在上的最小值，同样的对也进行求导，判断的单调性，求出的最大值，最后再将的最小值与的最大值进行比较即可得到所需的结论；（2）首先将从不等式中分离出来，得到关于的极端不等式，再通过构造函数，并求出其最值，得到与该函数的最值的关系，进而得到答案．试题解析：（1）时，，在上是增函数，，所以在上是减函数，当时，，均有（2）由知，，所以恒成立等价于在时恒成立，令，，有，单调递增所以，，所以．【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的最大值，最小值；3、极端不等式恒成立．【思路点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的问题，属于难题．对于（1），由于问题等价于证明，因此解决本题的基本思路是通过对函数、求导，判断出这两个函数的单调性，并求出各自的最值，然后再加一比较即可；对于（2）首先应将从式子中分离出来，得到一个极端不等式恒成立，并构造出相应的函数，再求出其最值，即可得到的取值范围，从而使问题得到解决．7.已知点，直线相交于点，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）过定点作直线与曲线交于、两点，的面积是否存在最大值，若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）首先设出点的坐标，然后再由两点的坐标列出直线的斜率，再根，进而得到所求的轨迹方程；（2）求的面积，可分割成两个同底的三角形，再将两个三角形的面积加起来，即，然后设出直线方程并与椭圆方程联立，再根据韦达定理写出两根之和与两根之积并代入即可表示出面积，然后再利用基本不等式即可求出面积的最大值．试题解析：（1）设，则，所以所以（未写出范围扣一分）（2）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，联立，消去得，因为，所以，设，当且仅当时取等号，面积的最大值为．【考点】1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值．【易错点晴】本题是一个综合性问题，既有求曲线的方程问题，又有求函数式的最值问题，属于难题．对于问题（1）解决的基本思路是将等式化为方程，本身难度并不大，但是容易忘掉对的取值范围加以限制，从而造成错误；对于问题（2），容易出错的地方有两个，一是忘掉，造成的取值范围的错误，二是在列出关于的关系式后求其最值时，一定要注意取等号时的条件，否则容易出错．。

2019~2020学年度高二年级第一学期开学测试数学试卷考试范围：必修二必修五难度区间：A(难度大)考试时间：120分钟分值：150分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AP=，，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（）A. B. C. D.2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（）A. 1B.C. 1或D.4.函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A.B. 3，C. 4，D.5.已知平面上点，其中，当，变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是A. B. C. D.6.已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7.在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围为A. B. C. D.8.在锐角三角形ABC中，cos（A+）=-，AB=7，AC=2，则=（）A. B. 40 C. D. 349.已知三棱锥A—BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=90°，AD=2，若球O的表面积为29π，则三棱锥A—BCD的侧面积的最大值为( )A. B. C. D.10.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（）A. 两段圆弧B. 两段椭圆弧C. 两段双曲线弧D. 两段抛物线弧第II卷（非选择题共60分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知在体积为4π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面直径，且AB⊥CD，则三棱锥A-BCD的体积为______．12.底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为______ m2．13.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．14.已知数列{a n}中，a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n N），设b n=+++…+，若对任意的正整数n，当m[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．16.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b M时，|a+b|＜|1+ab|．17.已知数列的前n项和为，且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，设数列的前n项和为，证明．18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P-BFDE的体积．19.已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若，试求点P的坐标；（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）若AF=1，求证：CE∥平面BDF；（Ⅱ）若AF=2，求平面BDF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．21.已知圆C：，直线l：，．求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【解答】解：如图所示：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则当AM⊥BC时，线段PM达到最小值，由于PA⊥平面ABC,AM平面ABC,所以PA AM所以在中，PA2+AM2=PM2，解得AM=1，因为PA⊥平面ABC，BM平面ABC，则由，，平面PAM，故有BM平面PAM，AM平面PAM，BM，所以在中，BM==，则tan∠BAM==,则∠BAM=60°，由于∠BAC=120°，所以∠MAC=∠BAC-∠BAM=60°则△ABC为等腰三角形．所以BC=2，在△ABC中，设外接圆的直径为2r=，则r=2，设球心距离平面ABC的的高度为h,则,解得,所以外接球的半径R═，则S=，故选：C．2.【答案】C【解析】解：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选C．画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两直线的位置关系，由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：直线x+（1+m）y-2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1.故选A．4.【答案】B【解析】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意可得，点;而且圆心（x0，y0）在以原点为圆心，以2为半径的圆上．满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即36π-4π=32π，故选：C．先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列的求和、一元二次不等式，根据题中等式变形得，构造，从而解出本题.【解答】根据题意，，所以，所以，所以，因为对于任意的，，不等式恒成立，所以在时恒成立，即在时恒成立，设，，则，即，解得或，即实数的取值范围为.故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了锐角三角形内角和定理及其性质、余弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在锐角三角形ABC中，A＞B＞C，A+B+C=π，可得，于是＞，即可得出．【解答】解：∵在锐角三角形ABC中，A＞B＞C，A+B+C=π，∴，∴，又∵，∴，∴．故选A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．由cos（A+）=解得cosA=，再由余弦定理得BC=，cosB=，再根据向量数量积可得结果．【解答】解：由cos（A+）=-得：cosAcos -sinAsin =-，得cosA=sinA-，两边平方得：cos2A=sin2A-sinA+，整理得sin2A-sinA+-=0，解得sinA=或sinA=-（舍去），又A为锐角，∴cosA=，∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=72+（2）2-2××=43，∴BC=，∴cosB===，∴•=AB•BC•cos（π-B）=7××（-）=-40．故选A．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三棱锥的内接球的问题，找到球心所在是解题的关键.【解答】解析：因为球O的表面积为29π，所以球的半径为，设AB=a,AC=b，则底面直角三角形ABC的斜边为其外接圆的半径为因为AD⊥平面ABC，所以外接球的半径为=，则，由题意可知，所求三棱锥的侧面积为,运用基本不等式，，当且仅当时，等号成立，即侧面积的最大值为.故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线的轨迹，考查分析运算能力，属于难题．以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC′，设设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线，即可得到答案．【解答】解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为AC′，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′；以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C′（1，1，0），M （，1，1），∴=（1，1，-1），=（，1，0），∵cos∠MAC′====，设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，则cosθ====＞，∴θ＜∠MAC′，∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧；同理可知，P点在平面CDD′C′的交线是双曲线弧，故选C．11.【答案】【解析】解：取AB的中点O，连接OC，OD，则AD=BD，∴OD⊥AB，又AB⊥CD，CD∩OD=D，∴AB⊥平面OCD，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V圆柱=πR2h=4π，即R2h=4，∴三棱锥A-BCD的体积为V A-OCD+V B-OCD=S△OCD•AB===．故答案为：．将三棱锥分解成两个小棱锥计算．本题考查了圆柱、圆锥的体积计算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：如图所示，正三棱锥S-ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO 中，．于是，，．所以．故答案为由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．本题主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由已知及正弦定理可求= ，又b = 4a，可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：由正弦定理及= ，得= ，又b=4a，∴sinC= ，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC= ，∴cosC= == =，解得a = 1，b = 4 ，c = 4，∴S△ABC=absinC == .故答案为.14.【答案】（-∞，1）【解析】【分析】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．通过并项相加可知当n≥2时a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，进而可得数列{a n}的通项公式a n =n（n+1），裂项、并项相加可知b n=2（-）==，通过求导可知f（x）=2x+（x≥1）是增函数，进而问题转化为m2-mt+＞（b n）max，由恒成立思想，即可得结论.【解答】解：∵a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n N），当n≥2时，a n-a n-1=n，a n-1-a n-2=n-1，…，a2-a1=2，并项相加，得：a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，∴a n=1+2+3+…+n=n（n+1），又∵当n=1时，a1=×1×（1+1）=1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n =n（n+1），∴b n =+++…+=++…+=2（-+-+…+-）=2（-）==，令f（x）=2x+（x≥1），设x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=,,f(x1)-f(x2)>0∴f（x）在x[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3，即当n=1时，（b n）max =，对任意的正整数n，当m[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则须使m2-mt+＞（b n）max=，即m2-mt＞0对∀m[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（-∞，1），故答案为：（-∞，1）．15.【答案】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sin B=4（1-cos B），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1-cos B）2+cos2B=1，∴16（1-cos B）2+cos2B-1=0，∴16（cos B-1）2+（cos B-1）（cos B+1）=0，∴（17cos B-15）（cos B-1）=0，∴cos B=；（2）由（1）可知sin B=，∵S△ABC=ac•sin B=2，∴ac=，∴b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-2××=a2+c2-15=（a+c）2-2ac-15=36-17-15=4，∴b=2．【解析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π-B，再利用诱导公式化简sin （A+C），利用降幂公式化简8sin 2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题.16.【答案】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，是中档题．（I）分当x ＜时，当≤x≤时，当x ＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度困难．17.【答案】解：（1）当时，，得，当时，，得，∴数列是公比为3的等比数列，∴ .（2）由（1）得：，又①∴②两式相减得：，故，∴.【解析】本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.（1）利用时，即可得出.（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出.18.【答案】（Ⅰ）证明：连接EF交BD于O，连接OP．在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，∴BE=BF，DE=DF，∴△DEB≌△DFB，∴在等腰△DEF中，O是EF的中点，且EF⊥OD，因此在等腰△PEF中，EF⊥OP，从而EF⊥平面OPD，又EF⊂平面BFDE，∴平面BFDE⊥平面OPD，即平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，可得，，，PD=2，由于，∴∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，在Rt△POD中，由OD•PH=OP•PD，得．又四边形BFDE的面积，∴四棱锥P-BFDE的体积．【解析】（Ⅰ）连接EF交BD于O，连接OP，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，可得EF⊥OP，又EF⊂平面BFDE，即可证得平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，进一步得到∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，求出PH的值，则答案可求．本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，点P在直线上，设P（3m，m），连接MP，因为圆M的方程为，∴圆心M(0,2)，半径r=1，∵过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B，则有⊥，⊥，且，易得≌，又，即,则,即有，解得或，即P点的坐标为或，（2）根据题意，PA是圆M的切线，则⊥，则过点A,P,M三点的圆以MP为直径的圆，设P点坐标为（3m，m），M（0,2），则以MP为直径的圆为，变形得，即，则有，解得或，则当和时，恒成立，则经过A,P,M三点的圆必过定点，且定点坐标为和.【解析】本题主要考查了直线和圆的方程的综合应用以及圆锥曲线中的定点问题，考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力，难度较大. （1）根据题意，设P 点坐标，利用全等关系解得，即可解出m 的值，即P 点的坐标. （2）根据题意可得，根据斜率可得，解出n 的之即可解出面积最小值.（3）根据题意，PA 是圆M 的切线，则，可得以MP 为直径的圆为，即可解得经过A,P,M 三点的圆必过定点，且定点坐标为和.20.【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ． 由题可得F 为AG 中点，O 为AC 中点，∴FO ∥GC ； 又G 为PF 中点，E 为PD 中点，∴GE ∥FD ．又GE ∩GC =G ，GE 、GC ⊂面GEC ，FO ∩FD =F ，FO ，FD ⊂面FOD ． ∴面GEC ∥面FOD ． ∵CE ⊂面GEC ，∴CE ∥面BDF ；（Ⅱ）解：∵底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∴AC ⊥BD ，设交点为O ，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则B （0，- ，0），D （0，，0），P （- ，0，3），C （ ，0，0），F （ ，0，2）．则 ， ， ，，， ，，， ，，， ． 设平面BDF 的一个法向量为 ， ， ，则，取z =3，得 ， ， ． 设平面PCD 的一个法向量为 ， ， ，则，取y = ，得 ， ， ． ∴cos ＜ ， ＞==． ∴平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由三角形中位线定理可得FO ∥GC ，GE ∥FD ．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC ∥面FOD ，进一步得到CE ∥面BDF ；（Ⅱ）由底面ABCD 是边长为 3 的菱形，可得AC ⊥BD ，设交点为O ，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．21.【答案】（1）证明:圆C：（x+2）2+y2=5的圆心为C（-2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离＜．所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）解：设中点为M（x，y），因为直线l：mx-y+1+2m=0恒过定点N（-2，1），则,又所以,所以M的轨迹方程是，它是一个以，为圆心，以为半径的圆．（3）解:假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为,由于圆心C(-2,0) ，半径为，则圆心C(-2,0)到直线l的距离为＜化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．【解析】本题考查点到直线的距离公式，直线的一般式方程，轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．（1）圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离，可得：对m R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）设中点为M（x，y），利用k AB•k MC=-1，即可求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）利用圆心C（-2，0）到直线l的距离为，求出m的范围．22.【答案】(1)解:设直线l的方程为y＝k(x+1)，即kx-y+k＝0．因为直线l被圆C2截得的弦长为，而圆C2的半径为1，所以圆心C2(3，4)到直线l:kx-y+k＝0的距离为＋，化简，得12k2-25k+12＝0，解得或．所以直线l的方程为4x-3y+4＝0或3x-4y+3＝0;②写出动圆的方程即可求解.(2)①证明:设圆心C(x，y)，由题意，得|CC1|＝|CC2|，即＋＋＋．化简得x+y-3＝0，即动圆圆心C在定直线x+y-3＝0上运动;②解:圆C过定点，设C(m，3-m)，则动圆C的半径为＋＋＋＋．于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2＝1+(m+1)2+(3-m)2，整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)＝0．由得或，所以动圆C经过定点，其坐标为，．【解析】本题考查直线与圆及圆与圆的位置关系,同时考查动点轨迹的探求.(1)利用圆的弦长计算方法即可求解;(2)①由已知有|CC1|＝|CC2|,从而求出动圆圆心的轨迹即可求解;。

高二上学期开学摸底考数学试卷（人教B 版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，已知复数11iz =+，则||z =（）A ．12B ．2C D ．22．已知角α的终边过点()4,3-，则sin cos sin ααα+=（）A ．12-B ．13-C ．14D ．733．已知向量,a b 满足2= a ，且3a b ⋅=-，则()2a b a +⋅ 的值为（）A ．1B ．3C ．5D ．74．斜三棱柱111ABC A B C -中，设AB a =，AC b = ，1AA c = ，若12BP PC =uu r uuu r ，则AP = （）A ．122333a b c++B ．211333a b c++r r rC ．122333a b c--r r rD ．211333a b c--5．如图，从一个半径为一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（）A ．12πB ．27π2C ．27πD 6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢，记作sin ver θ；定义1sin θ-为角θ的余矢，记作cov ers θ，则下列命题正确的是（）A ．函数()sin cov 1f x ver x ersx =-+的对称中心为ππ,1,4k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．若()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-，则()g x 1C ．若()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+，()1h α=且π02α<<，则圆心角为α，半径为3的扇形的面积为4π3D ．若sin 1cov 1ver x ersx -=-，则cov 311cov 13ers x ersx -=-7．将函数()sin f x x =的图象先向左平移π6个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在(π,0)-上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,18．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2222sin -+=b c B c a ，且2a =，则tan tan tan A B C的最大值为（）A 2-B ．3CD 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知(3,1)a =-，(1,2)b =- ，(1,)c λ= ，则（）A ．10a =r B ．若//a c，则13λ=-C ．若b c ⊥，则2λ=-D ．b 在a 上的投影向量的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2π2sin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π2cos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，则（）A ．正四棱柱1111ABCD ABCD -的侧面积为24B ．1A B 与平面11BDD BC ．异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为813D ．三棱锥1A ABD -内切球的半径为87三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量()1,0,1a = ，()1,1,2b = ，则向量a 与b的夹角为13．若关于x 的方程sin cos x x k -=无解，则实数k 的取值范围是.14．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m ，河流的宽度BC 约等于m.（参考数据：sin 670.92≈ ，cos670.39≈ ，sin 370.60≈ ，cos370.80≈1.73≈）四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．(1)若z 为纯虚数，求|2|z +；(2)若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16．（本题满分15分）已知函数()2cos cos f x x x xωωω⋅+从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一.条件①：π13f ⎛⎫⎪⎭=-⎝；条件②：()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调，且ππ263f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；条件③：函数()()12g x f x =-相邻两个零点间的距离为π2.选__________作为条件(1)求ω值；(2)求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值与最小值及对应的x 的值.17．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等边三角形，PD AB ⊥，//AD BC ，2,1,AD AB BC M ===为PA 的中点.(1)证明：DM ⊥平面PAB ；(2)求平面PCD 与平面PAB 夹角的余弦值.18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上．记CAB θ∠=．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中90ACB ∠= ）(1)用θ表示CD 的长；(2)若 2BC=，求如图中阴影部分的面积S ；(3)记梯形ABCD 的周长为y ，将y 表示成θ的函数，并求出y 的最大值．19．（本题满分17分）点A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与P ，Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠=∠；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠=-∠.(1)若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值；(2)若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以视角运算，得到()1,;2A B M =，求AMMB的值；(3)若1231,,,,n M M M M - 是ABC 边BC 的()2,n n n ≥∈N 等分点，由A 对BC 施以视角运算，求()()(),;,;1,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯=- 的值.高二上学期开学摸底考数学试卷（人教B 版2019）答案1．B 【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则||z =2．B 【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出sin ,cos αα，然后代入计算即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3-，所以34sin ,cos 55αα====-，所以34sin cos 1553sin 35ααα-+==-，3．C 【分析】根据已知条件直接化简()2a b a +⋅求解即可.【详解】因为向量,a b 满足2= a ，且3a b ⋅=-，所以()22222235a b a a b a +⋅=+⋅=⨯-= .4．A 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为1122()33AP AB BP AB BC AB AC AB=+=+=+-()11212233333AB AC AA a b c =++=++.5．B 【分析】先求出最大正三角形的边长，进而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系利用勾股定理求解外接球半径即可.【详解】圆内最大正三角形即圆内接正三角形.设该圆内接正三角形的半径为r ，边长为m ，则23r ==解得6m =，如图，设折叠后正四面体S EFG -的棱长为a ，高为h ，则32ma ==，过S 点作1SO ⊥平面EFG ，1O 为底面正三角形EFG 的中心，连接1O F ，则在EFG 中，由正弦定理得12sin 60EFO F = ，则1O F =，所以高1h SO ==，设正四面体外接球球心为O ，则于是外接球的半径R =OF ，在1Rt OO F △中，1OO h R R =-=，则22211OF OO O F =+，所以222)R R =+，解得R 则其外接球的表面积为227π4π2S R ==．6．D 【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可.【详解】对A ：()sin cov 1f x ver x ersx =-+()1cos 1sin 1x x =---+sin cos 1x x =-+π14x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由ππ4x k -=，Z k ∈⇒ππ4x k =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心为ππ,1,4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故A 错误；对B ：()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()()1cos 1sin 1x x =-⋅--sin cos cos sin x x x x =⋅--.设sin cos x x t +=，则t ⎡∈⎣，且21sin cos 2t x x -⋅=，所以212t y t -=-2212t t --=()2122t --=，t ⎡∈⎣当t =max y =12.故B 错误；对C ：()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1cos 21sin 1x x =---+sin cos 21x x =-+.因为()1h α=且π02α<<，所以()2sin 12sin 11αα--+=⇒()()2sin 1sin 10αα-+=.所以1sin 2α=⇒π6α=.所以圆心角为α，半径为3的扇形的面积为：21π3π3264⨯⨯=，故C 错误；对D：由sin 1cov 12ver x ersx -=-⇒cos sin 2x x =⇒tan x =⇒22sin 3x =.所以cov 31sin 3cov 1sin ers x x ersx x -==-33sin 4sin sin x xx-=234sin x =-213433=-⨯=，故D 正确.7．B 【分析】先根据三角函数变换规律求出()g x ，然后求出()g x 的单调递增区间，再由函数()g x 在(π,0)-上单调递增，得02π2ππ3π2π03k k ωωωωω⎧⎪>⎪⎪-+≤-⎨⎪⎪+≥⎪⎩，从而可求出ω的取值范围.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π6个单位长度，得πsin()6y x =+，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得πsin()6y x ω=+，所以π()sin(0)6g x x ωω=+>，由πππ2π2π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈，得2ππ2π2π,Z 33k x k k ω-+≤≤+∈，所以2π2ππ2π,Z 33k k x k ωωωω-+≤≤+∈，因为函数()g x 在(π,0)-上单调递增，所以02π2ππ3π2π03k k ωωωωω⎧⎪>⎪⎪-+≤-⎨⎪⎪+≥⎪⎩（Z k ∈），即026316k k ωω⎧⎪>⎪-⎪≤⎨⎪⎪≥-⎪⎩（Z k ∈），解得1163k -≤<，因为Z k ∈，所以0k =，所以203ω<≤.8．B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得tan 2A =，再由()tan tan A B C =-+，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得6tan tan 4B C +≥，即可得到结果.【详解】因为2222sin -+=b c B c a ，且2a =，则222sin b ac B c a -+=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，所以sin 2cos ac B bc A =，即sin 2cos a B b A =，由正弦定理可得sin sin 2sin cos A B B A =，其中sin 0B ≠，则sin 2cos A A =，所以tan 2A =，又()tan tan tan tan 21tan tan B CA B C B C+=-+=-=-，化简可得2tan tan 2tan tan B C B C -=+，且ABC 为锐角三角形，则tan 0,tan 0B C >>，所以2tan tan 2tan tan B C B C -=+≥即tan tan 10B C -≥，≥（舍），所以2tan tan B C ≥=⎝⎭tan tan B C ==则tan tan tan A B C(86163316-===【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到tan 2A =，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.9．BD 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A ；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC ；根据投影向量的公式即可判断D.【详解】对A ，a = A 错误；对B ，若//a c，则31λ=-，解得13λ=-，故B 正确；对C ，若b c ⊥ ，则120λ-+=，则12λ=，故C 错误；对D ，b 在a 上的投影向量的坐标为()2323,31,21102a b a a⎪⋅-- =⎭-⎫-=⎛⎝ ，故D 正确.10．AC 【分析】利用图象的特征求出各参数即可求解.【详解】由图象可知：2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故2π2T ω==．由ππ(2sin(2)21212π2f ϕϕ⎧=⨯+=⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得π3ϕ=，故函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选项A 正确；选项B ，π2π2π2sin 22sin 2π2sin 2333x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错误；选项C ，ππππ2sin 22sin 22cos 23626x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 正确；选项D ，π5ππ5π2sin 22sin 22cos 23626x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误．11．ABD 【分析】由侧面积公式即可求解A ，根据线面垂直可得1A B 与平面11BDD B 所成的角为1A BO ∠，即可由三角形的边角关系求解B ，根据线线平行可得异面直线1A B 与1B C 所成的角为1BA D ∠或其补角，由三角形的边角关系求解C ，利用等体积法即可求解D.【详解】正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为23424⨯⨯=，A 正确．设1111A C B D O = ，由于四边形1111D C B A 为正方形，故1111AC B D ⊥，又1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，故111AC BB ⊥，由1111111,,BB B D B BB B D =⊂ 平面11BDD B ，故11AC ⊥平面11BDD B ，则1A B 与平面11BDD B 所成的角为1A BO ∠，且11112A O A C =，BO =1tan 11A BO ∠，B 正确．在正方体中，11//B C A D ，则异面直线1A B 与1B C 所成的角为1BA D∠或其补角，11A D A B =BD =则1131389cos 21313BA D +-∠==⨯，C 错误．三棱锥1A ABD -的表面积211122328222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯=三棱锥1A ABD -的体积21123232V =⨯⨯⨯=，所以三棱锥1A ABD -内切球的半径为36(88427V S ⨯--==，D正确．12．【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案.【详解】设向量a 与b的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅[]0,πθ∈故π6θ=.故答案为：π613．【分析】分析可知sin cos y x x =-与y k =没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解.【详解】由题意可知：sin cos yx x =-与y k =没有交点，因为πsin cos 4y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，且[]πsin 1,14x⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，可得π4y x ⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，可知k ⎡∉⎣，所以实数k 的取值范围是(),-∞+∞.故答案为：(),-∞+∞.14．【分析】先作辅助线，过点A 作AD 垂直于CB 的延长线于点D ，先解Rt △ABD 求出AB ，再在ABC 中利用正弦定理即可求BC .【详解】如图，过点A 作AD 垂直于CB 的延长线于点D ，在Rt △ABD 中，67ABD ∠= ，46AD =，所以4650sin 670.92AD AB =≈= ，在ABC 中，30C ∠= ，50AB =，673037CAB ∠=-= ，由正弦定理可得：sin sin BC AB CAB C=∠∠可得：sin 50sin 37500.660sin 0.50.5AB CAB BC C ⋅∠⨯===∠ ，所以河流的宽度BC 约等于60m ，故答案为：60.15．【分析】（1）由已知求出a ，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【详解】（1）由z 为纯虚数，得232020a a a ⎧-+=⎨-≠⎩，解得1a =，则i z =-，所以|2||2i |z +=-==.（2）由复数z 在复平面内对应的点在第四象限，得232020a a a ⎧-+>⎨-<⎩，解得1a <，所以实数a 的取值范围是1a <.16．【分析】先化简()f x ，（1）若选条件，分别求解ω，舍掉不满足()f x 存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到()f x 解析式，求出相位范围即可求解.【详解】（1）()21cos2π1cos cos sin 2262x f x x x x x x ωωωωωω+⎛⎫=⋅+=+=++ ⎪⎝⎭，若选条件①，π13f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,ππ1sin 21362ω⎛⎫⨯++=- ⎪⎝⎭，即ππ3sin 2362ω⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，无解，不合题意；若选条件②，因为ππ263f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()max min 31,22f x f x ==-所以π362f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且π132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以π6x =过()f x 图象的最高点，π3x =-过()f x 图象的最低点，又因为()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调，所以1πππ2π2632T ω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭解得1ω=±，当1ω=-时，()π1π1sin 2sin 26262f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，不符合题意，所以1ω=；若选条件③，因为()πg =sin 26x x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭相邻两个零点间的距离为π2，所以1π22T =，即πT =，又2ππ2T ω==，解得1ω=±，不合题意；综上，1ω=；（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以，当πππ2,666x x +=-=-即时，()min π1sin 062f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当πππ2,626x x +==即时，()max π13sin 222f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.17．【分析】（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO ，即可得到PO AD ⊥，根据面面垂直的性质得到PO ⊥平面ABCD ，从而证明AB ⊥平面PAD ，即可得到AB DM ⊥，再由DM PA ⊥，即可得证；（2）由（1）可得CO ⊥平面PAD ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO ，因为PAD 为等边三角形，所以PO AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB PO ⊥，又,,,PD AB PD PO P PD PO ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥，因为M 是PA 的中点，所以DM PA ⊥，因为,AB PA ⊂平面PAB ，且AB PA A = ，所以DM ⊥平面PAB .（2）因为2,1AD BC ==，由（1）知四边形ABCO 为矩形，则//AB OC ，又AB ⊥平面PAD ，所以CO ⊥平面PAD ，以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(()()(()1,0,,,1,0,0,0,1,0,0,1,1,1,022P M C D PD CD ⎛-=-=- ⎝⎭ ，取平面PAB的法向量为30,2DM ⎛=- ⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则00m PD m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则x y ==，所以)m =.cos ,m DM m DM m DM ⋅==⋅ 所以平面PCD 与平面PAB.18．【分析】（1）连接OC ，过O 作OE CD ⊥，由几何关系可得2BOC θ∠=，由三角函数可表示出CD 的长；（2）图中阴影部分的面积S 等于AOC 和扇形OBC 的面积，分别求出即可得出答案.（3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出y ，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值.【详解】（1）连接OC ，过O 作OE CD ⊥，则2,2OC ECO BOC ∠∠θ===，所以cos 2cos2,24cos2CE OC ECO CD CE ∠θθ====.（2） 1BC BOC OB∠==．12sin22sin12AOC S OA OE θ=⋅== ，211222OBC S =⋅⋅=扇形，所以22sin1AOC OBC S S S =+=+ 扇，（3）sin 4sin BC AD AB θθ===，则48sin 4cos2y θθ=++()248sin 412sin θθ=++-2π8sin 8sin 8,0,4θθθ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，令sin t θ=，则0,2t ⎛∈ ⎝⎭，则2888y t t =-++，当12t =时，max 10y =.19．【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得11,sin sin AA M MA B ∠∠，即可代入公式求解，（2）根据(,,)A B M 的计算公式，代入即可求解，（3）由正弦定理可得sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠=∠，即可结合A 对BC 施以视角运算，即可求证.【详解】（1）如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B A M ===由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠=︒，故112sin cos 2AA B AA B ∠=∠=，113,sin cos 131AA M AA M ∠=∠=.因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以11111sin sin cos cos sin BA M AA M AA B AA M AA B ∠=∠∠-∠∠=，则()11112sin ,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠=-==-∠.（2）如图2，设(02)AM a a =≤≤，则2211224,424sin cos 4a a a AA M AA M a a ++∠=∠=++.因为1111π4BA M AA B AA M AA M ∠=∠-∠=-∠，所以()()()2112224πsin sin 4a a BA M AA M -+⎛⎫∠=-∠= ⎪⎝⎭则()()()()2211211242sin 14,;sin 222242224a A A AA M a a A B M A B MA B a a a a +⨯∠+====∠--+⨯+，解得23a =，故122AM a MB a ==-.（3）如图3，因为1231,,,,n M M M M - 是BC 的等分点，所以,n k n k k k k n k BM CM BC BM CM BC n n---====.在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM AB BAM AM B =∠∠，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠=∠.在k ACM 中，同理可得sin sin k k k AC CAM CM AM C ∠=∠.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠=∠，则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠====∠∠-.同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k----==.故()()(),;,;11,2,3,,1k n k k n k B C M B C M k n n k k --⨯=⨯==-- 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素.。

河南高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于（）A．18B．24C．60D．902.在中，已知于，则长为（）A．B．C．D．3.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A．B．C．D．4.下列命题：①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；②命题或，命题，则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④“若，则”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．86.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A．0B．2C．1D．37.等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（）A．1B．2C．3D．48.在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．正三角形9.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．10.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．6D．511.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，若，则该双曲线的离心率为（）A．8B．C．3D．12.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．二、填空题1.观察下面的算式：，，，则______（其中）．2.已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于两点，若，则______．3.已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是______．三、解答题1.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．2.在中，角对应的边分别是，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．3.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．4.某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为，试用表示．（2）一套简易房面积的最大值是多少？当最大时，前面墙的长度是多少？5.如图，在四棱锥中，平面，，，，且，，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．6.已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点；若不存在，请说明理由．河南高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于（）A．18B．24C．60D．90【答案】C【解析】是与的等比中项，，即，整理得①，又整理得②，由①②联立，解得，，，故选C．【考点】1、等比数列的性质；2、等差数列前项和公式．2.在中，已知于，则长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，在中，，，，故选D．【考点】1、三角形内角和定理；2、正弦定理．3.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】拋物线的焦点为，双曲线的焦点坐标为，所以椭圆过，所以，而椭圆的焦距，即，则，即，，则该椭圆的方程是，故选A．【考点】椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．4.下列命题：①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；②命题或，命题，则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④“若，则”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①“在中，若，则” 的逆命题为“在中，若，则”，若，则，根据正弦定理可知，，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由，或，得不到，比如，，不是的充分条件；若，则一定有，则，即能得到，或，是的必要条件，是的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“”的否定是“” ,所以③不对；对于④“若，则”的否命题为“若，则”；所以④正确，故选C．【考点】1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定．5.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D．8【答案】B【解析】设向量和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和为邻边的平行四边形的面积为，故选B．【考点】1、空间向量的数量积公式；2、三角形面积公式．6.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A．0B．2C．1D．3【答案】B【解析】曲线的导数为：，由题意直线是曲线的一条切线，可知，，所以切点坐标为，切点在直线上，，故选B．【考点】利用导数求切线方程．7.等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，可得到这项奇数项和为，项偶数项和为，，即，可得，解得，所以所有奇数项和，末项是，所以即，，所以，所以，故选C．【考点】1、等比数列的通项；2、等比数列前项和公式．8.在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．正三角形【答案】D【解析】，所以由正弦定理可得，即，，，，，又，，又，为正三角形，故选D．【考点】1、正弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦公式．【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．9.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】对不等式组中的讨论，可知直线与轴的交点在与轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由，令得，，由得，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最小，即最小，此时，解得：，故选D．【考点】1、可行域的画法；2、已知最优解求参数．10.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．6D．5【答案】D【解析】因为正数满足，，即，，当且仅当即且时取等号，的最小值为，故选D．【考点】利用基本不等式求最值．11.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，若，则该双曲线的离心率为（）A．8B．C．3D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线：，圆相交于两点，圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为：可得：，解得，双曲线的离心率为，故选 C．【考点】1、双曲线的渐近线；2、双曲线的离心率．【方法点晴】本题主要考查双曲线的渐近线和双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值．本题是利用点到直线的距离等于构造出关于的等式，最后解出的值．12.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析，，，，，，，故选D．【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为等差数列；（3）每增加“”，就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知在的基础上多出了两项得出结论的．二、填空题1.观察下面的算式：，，，则______（其中）．【答案】【解析】由于所给的等式的左边是非自然数的平方和，右边是倍的连续的两个，与一个的积，所以，猜想：，故答案为：．【考点】归纳推理．2.已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于两点，若，则______．【答案】【解析】由拋物线：得焦点，由题意可知：斜率存在，设直线为，代入抛物线方程，得到，，设，，，，，，又，，，故答案为．【考点】1、韦达定理；2、平面向量的数量积公式．3.已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是______．【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，解得且，不妨设，设点到平面的距离为，则．故答案为．【考点】1、平面法向量的求法；2、利用空间向量求点到平面的距离．【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及求点到平面的距离，属于难题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离．三、解答题1.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）时先化简命题和命题，然后解方程组即可；（2）先化简命题:，化简命题:，只需即可．试题解析：（1）由得，又，所以，当时，，即为真命题时，实数的取值范围是．由得，所以为真时，实数的取值范围是．若为真，则，所以实数的取值范围是．（2）设，，是的充分不必要条件，则，所以，所以实数的取值范围是．【考点】1、充要条件；2、逻辑连接词及真值表．2.在中，角对应的边分别是，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由,结合诱导公式和倍角公式可得到，进而求得的大小；（2）由结合（1）可求得，，再由余弦定理求出，最后根据正弦定理求出的值．试题解析：（1）由，得，即．解得或（舍去）．因为，所以．（2）由，得．又，所以．由余弦定理，得，故．又由正弦定理，得．【考点】1、诱导公式及余弦二倍角公式；2、正弦定理及三角形面积公式．3.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的首项为，因为公差为，可将用表示，再根据成等比数列，列方程解出的值，进而求得数列的通项公式；（2）可化为，对分奇数、偶数讨论两种情况求数列的前项和．试题解析：（1）因为，，，由题意，得，解得，所以．（2）当为偶数时，当为奇数时，所以，（或）【考点】1、等差数列的通项；2、求特殊数列前项和．4.某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为，试用表示．（2）一套简易房面积的最大值是多少？当最大时，前面墙的长度是多少？【答案】（1）；（2），．【解析】（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，；（2）根据基本不等式得，解得．试题解析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，（2）∵，∴又因为，所以，化简得，解得，又，∴，当且仅当，即时取得最大值．答：每套简易房面积的最大值是平方米，最大时前面墙的长度是米．【考点】数学建模能力及利用基本不等式求最值．5.如图，在四棱锥中，平面，，，，且，，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）为线段的中点．【解析】（1）由线面垂直的性质和判定定理可证平面，进而，又由线面垂直得，平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，，可得坐标为，可求出平面的法向量为，又平面的法向量，最后根据空间两向量夹角余弦公式求得，进而确定的位置．试题解析：（1）因为平面，平面所以，进而又因为，平面，，所以平面又因为平面，平面，所以因为，，平面，，所以平面（2）因为平面，又由（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系．则设，则，故点坐标为设平面的法向量为，则所以令，则．又平面的法向量所以，解得故点为线段的中点．【考点】1、线面垂直、线线垂直的性质和判定定理；2、空间向量在求空间角中的应用．【方法点晴】本题主要考查线面垂直、线线垂直及空间向量在求空间角的应用，属于难题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．6.已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，．【解析】（1）由右焦点到直线的距离为和离心率列方程组求出的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）根据两点求斜率可得到，再根据基本不等式求的最小值；（3）设，可得，,设，则由，,带入椭圆方程化简得，所以点是椭圆上的点，只需求得值，该椭圆的左、右焦点为即是所求定点．试题解析：（1）由题设可知：右焦点到直线的距离为：，又，，∴．∴椭圆标准方程为．（2）设则由得．∴．由得，当且仅当时取等号（3）．∴．∴．设，则由得，即．因为点、在椭圆上，所以．所以．即，所以点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为，则由椭圆的定义得，∴，，．【考点】1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、基本不等式求最值；3、解析几何中的存在性问题．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值以及解析几何中的存在性问题，属于难题．解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径．。