【2011】各省市中考数学压轴题

2011年全国各地数学中考题汇编——抛物线压轴题1、（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b =1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得12x x =－4⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1•F 1N 1=－x 1•x 2=4，而FF 1=2，所以F 1M 1•F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．⑷存在，该直线为y =－1直线y =－1即为直线M 1N 1．第22题图第22题解答用图如图，设N 点横坐标为m ，则2、（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数2248y x mx m =-+-（1）当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。

（2）以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

xyO x ＝1 第25题 A C B y中考数学压轴题精选精析欢迎下载；（10安徽省卷）23.如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。

⑴若1a c =，求证：kc a =；⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数，并加以说明；⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由。

（10山东聊城）25．（本题满分12分）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．（10四川眉山）26．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD于点N ．设点M 的横坐标为t，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．E N M D CB A O yx26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ …（1分） ∴2254()32m =⨯-+∴16m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+ …………（4分） （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴225AB OA OB =+=∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分） （3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- ………（9分） ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，……………………（10分）∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）． ………………………………（12分）（10浙江杭州）24. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =241x +1， 点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物 线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上.(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.24. (本小题满分12分)(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4， ∵A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是2和– 2， 代入y =241x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0，2)，---2分(2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ， 则HQ = y ，HP = x –t ， 由△HQP ∽△OMC ，得：42t x y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在y = 241x +1上， ∴ t = –221x + x –2. ---2分当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2 ∴x 的取值范围是x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数.---2分② 分两种情况讨论：1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上， ∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(241x +1)，解得x = 0，（第24题）（第24题）∴t = –2021+ 0 –2 = –2 .--- 2分2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =21PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即241x +1=2⨯2，解得： x = ±32. ---2分当x = –32时，得t = –2)32(21–32–2 = –8 –32, 当x =32时，得t =32–8.---2分（10浙江温州）24．(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′． ①当t>53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．（10重庆）26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．（10安徽芜湖）24．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－433，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：（10甘肃兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x轴上另一点E （4,0）（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当411=t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图1 第28题图 图228. （本题满分11分）解：（1）因抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为x x y 42+-=…………………………………………1分由x x y 42+-=()224y x =--+得当x =2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分（2）① 点P 不在直线ME 上.已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当411=t 时，OA=AP=411，)411,411(P …………………4分∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8. ∴ 当411=t 时，点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) …………………………………6分∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ²AD=21³3³2=3. （ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，∴ S=21(CD+PN )²AD=21[3+(-t 2+3 t )]³2=-t 2+3 t +3…………………8分 当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）………………………………………11分说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）（10江苏盐城）28．（本题满分12分）已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．y1 -2 1 Axy O B PMC Q E D28．解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分)当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 14 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14x 2+x +1……（3分）（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ． ∵y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =14x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）………（4分）∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA∴AOBC OBPC ，故PC =2BC ，……………………………………………………（5分）设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14x 2+x +1…………………（6分）解之得：x 1=-2，x 2=-10∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）（3）点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上……………………………………………（8分） 由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ∴QE ∥MD ，QE =12MD ，QE ⊥CE∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =12CE =2QE =2³2BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =165∴Q 点的坐标为(-185 ，165 )可求得M 点的坐标为(145 ，325)…………………………………………………（11分）∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上……………………（12分） (其它解法，仿此得分)（10浙江台州）24．如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？24．（14分）（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠，…………………………………………………………………………3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ……………………………………………………………………1分（2）①如图1，当5.20≤<x 时，ED =x 410-，QH =x A AQ 43tan =∠， 此时x x x x y 4152343)410(212+-=⨯-=． …………………………………………3分当45=x 时，最大值3275=y ．②如图2，当55.2≤<x 时，ED =104-x ，QH =x A AQ 43tan =∠， 此时x x x x y 4152343)104(212-=⨯-=． …………………………………………2分当5=x 时，最大值475=y ．∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).55.2(41523),5.20(4152322x x x x x x yy 的最大值是475．……………………………………………………………………1分 （3）①如图1，当5.20≤<x 时，（第24题） DEQB ACPHD HQEBA C P （图1） H Q D E PB AC （图2）若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 45cos =∠， DE =x 410-，∴x 410-=x 45，2140=x ．显然ED =EH ，HD =HE 不可能； ……………………………………………………1分 ②如图2，当55.2≤<x 时，若DE =DH ，104-x =x 45，1140=x ； …………………………………………1分 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ； ………………………1分若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，∴AD DH DH ED =，x x x x 24545104=-，103320=x ． ……………………………………1分 ∴当x 的值为103320,5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分）（10浙江金华）24. (本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为 （3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开 始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线 AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．By24．(本题12分)解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），29=t ；……4分（各2分） （3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1） ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-=由t t 323=-得 59=t ； (1)分当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -== ∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ． (1)分②存在﹒理由如下： ∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B 'yBF A P EOx y G P ′(图1) BF A PE O x y M P ′ H （图2) B FA PE O x Q′ B ′QC C 1D 1 (图3)由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33）………………………1分根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件．……1分（10山东烟台）26、（本题满分14分）如图，已知抛物线y=x 2+bx-3a 过点A （1,0），B(0,-3),与x 轴交于另一点C 。

2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2）1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。

当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。

（1）求点B的坐标；（2（3（2（3当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。

又OB=OA=2，可求得。

由（2，∴此时P的坐标为（）。

②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQ∥OB，四边形AOQB 即是梯形，当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。

又AB= 2，可求得BQ=由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=∴此时P 的坐标为（）。

点B （2P 在x （32.∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE ，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE ＋BF=EF ．⑵方法迁移：如图②，将Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=21∠DAB．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足∠EAF=21∠DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．【答案】解：（1）EAF 、△EAF、GF 。

（2）DE ＋BF=EF 。

证明如下：（3，出答案。

（2）利用旋转的性质，由已知得出∠GAF=∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案。

（3）根据角之间关系，只要满足∠B＋∠D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案：如图，将△ADE 绕点A 顺时针旋转0m 得到△ABG 后，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：∠ABG=∠D，∵∠ABF＋∠D=180°，∴∠ABG＋∠ABF=180°，∴点G ，B ，F 在同一条直线上。

各地中考数学压轴题精选1120（解析版）2011 福建三明22.解：∵抛物线y ＝ax 2－4ax ＋c 过A （0，－1），B （5，0）∴⎩⎨⎧c ＝－125a －20a ＋c ＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15c ＝－1（2）∵直线AB 经过A （0，－1），B （5，0） ∴直线AB 的解析式为y ＝15x －1由（1）知抛物线的解析式为：y ＝15x 2－45x －1∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，PQ ⊥x 轴 ∴P （m ，15m 2－45m －1），Q （m ，15m －1）∴S ＝PQ ＝（15m －1）－（15m 2－45m －1）即S ＝－15m 2＋m （0＜m ＜5）（3）抛物线的对称轴l 为：x ＝2以PQ 为直径的圆与抛物线的对称轴l 的位置关系有： 相离、相切、相交三种关系 相离时：0＜m ＜15－1452或 －5＋1052＜m ＜5； 相切时：m ＝15－1452 m ＝－5＋1052； 相交时：15－1452＜m ＜－5＋10522011 福建三明23.解：（1）在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AP ＝1，CD ＝AB ＝2，则PB ＝5．∴∠ABP ＋∠APB ＝90° 又∵∠BPC ＝90° ∴∠APB ＋∠DPC ＝90° ∴∠ABP ＝∠DPC ∴△APB ∽△DCP∴AP CD ＝PB PC 即 12 ＝5PC∴PC ＝2 5（2）tan ∠PEF 的值不变（第23题 图①）GP理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形∴∠A ＝∠PFG ＝90°，GF ＝AB ＝2 ∴∠AEP ＋∠APE ＝90° 又∵∠EPF ＝90° ∴∠APE ＋∠GPF ＝90° ∴∠AEP ＝∠GPF ∴△APE ∽△GPF ∴PF PE ＝GF AP ＝21＝2 ∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF ＝PF PE＝2 ∴tan ∠PEF 的值不变（3）线段EF 的中点经过的路线长为 5（第23题 图④）（第23题 图③）O 2O 1FPCDB AE2011福建宁德 25．（满分13分）解：⑴小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：…………3分小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：…………8分⑵①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下： 设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为243a . 因为，若边长a 为整数，那么面积243a 一定非整数. 所以不存在等边“整数三角形”.…………10分；②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：…………13分2011福建宁德 26．（满分13分）解：⑴①直线6-=x y 与坐标轴交点坐标是A （6，0），B （0，-6）；…………1分②如图1，四边形DCEF 即为四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形；…………3分 ⑵∵四边形DCEF 与四边形ABEF 关于直线EF 对称， 又AB ∥EF ， ∴CD ∥EF .∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°， ∴∠BAO ＝45°. ∵AB ∥EF ， ∴∠AFE ＝135°. ∴∠DFE ＝∠AFE ＝135°.∴∠AFD ＝360°－2×135°＝90°，即DF ⊥x 轴. ∴DF ∥EH ，5图14 46 6图24 512图3∴四边形DHEF 为平行四边形. …………5分 要使□DHEF 为菱形， 只需EF ＝DF ，∵AB ∥EF ，∠FAB ＝∠EBA ， ∴FA ＝EB . ∴DF ＝FA ＝EB ＝t . 又∵OE ＝OF ＝6－t ， ∴EF ＝()t -62.∴()t -62＝t .∴2126+=t .∴当2126+=t时，□DHEF 为菱形. …………7分⑶分两种情况讨论：①当0＜t ≤3时，…………8分四边形DCEF 落在第一象限内的图形是△DFG ,∴S ＝221t . ∵S ＝221t ，在t ＞0时，S 随t 增大而增大，∴t ＝3时，S 最大＝29；…………9分②当3＜t ＜6时，…………10分四边形DCEF 落在第一象限内的图形是四边形DHOF , ∴S 四边形DHOF ＝S △DGF —S △HGO .∴S ＝()22622121--t t ＝1812232-+-t t＝()64232+--t .∵a ＝23-＜0，∴S 有最大值.∴当t ＝4时，S 最大＝6.…………12分综上所述，当S ＝4时，S 最大值为6. …………13分2011 福建南平25、（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质。

2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1?x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b =1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得12x x =－4⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而FF 1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．⑷存在，该直线为y =－1．理由如下： 直线y =－1即为直线M 1N 1． 如图，设N 点横坐标为m ，则（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。

1，2011宁夏2、2011宁夏3.（2011.24广州14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。

4.（2011广州，25，14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。

（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（00<α<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。

5、2011福建莆田6、2011福建莆田7、8、9、2011甘肃兰州10、11，12，13（2011北京）14、15、16（福建龙岩2011）17、18（哈尔滨2011）19、（连云港2011）20，21，（湖北襄阳2011）22、（烟台2011）23、24、（广东茂名）（江苏盐城）25、（江苏盐城）26、（广西桂林10分）如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，12AC长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是 AE 的中点； （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）若12C EF OCDS S ∆∆=，且AC =4，求CF 的长.27．（广西桂林12分）已知二次函数21342y x x =-+的图象如图.（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.28、29、（湖北孝感）30（湖北黄石）31、32、（湖南怀化）33、（天津）34、（辽宁大连）35、（广东清远）36、（福建泉州）37、（广东深圳）38、（陕西）39、（河南）40（河南）41、（江苏苏州）42、（江苏苏州）43．（上海）已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．44．（上海14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13E M P ∠=．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图45、（广东）46、（广东）47、（河北）48、（河北）49、（四川宜宾）50、（浙江嘉兴、舟山）51、（浙江嘉兴、舟山）52（江西南昌）53（山东日照）54、（山东威海）55、（山东德州）56、57、（浙江金华）58、59、60、（浙江义乌）61、（江苏无锡）62、63（安徽）64、65、66、67（四川乐山）65、四川乐山6667、四川乐山68、69、（安徽芜湖）69、安徽芜湖70、江西71，72山东临沂71.（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．72.26（2011•临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM垂直x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．73.74（2011）济南中考74.济南中考75. 7、（2011•青岛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A、cmB、4cmC、cmD、cm76. 14、（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n=_________．77. 24、（2011•青岛）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．。

2011年各地中考数学压轴题精选21-30解析版2011广东广州4、（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；相似三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=﹣1﹣a，求出方程ax2+bx+1=0，的b2﹣4ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=，ab=，求出AB=，把y=1代入抛物线得到方程ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出=，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1﹣S2的值即可．解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：0=0+0+c，解得：c=1，答：c的值是1．（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，∴b=﹣1﹣a，ax2+bx+1=0，b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，∴a≠1且a＞0，答：a的取值范围是a≠1且a＞0；（3）证明：∵0＜a＜1，∴B在A的右边，设A（a，0），B（b，0），∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，由根与系数的关系得：a+b=，ab=，∴AB=b﹣a==，把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，解得：x1=0，x2=，∴CD=，过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，则MN⊥X轴，∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA，∴=，∴=，∴PN=，PM=，∴S1﹣S2=••﹣••=1，即不论a为何只，S1﹣S2的值都是常数．答：这个常数是1．点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．2011广东广州25、（2011•广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE 是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质。