2020年中考数学重点题型突破易错点：3-3-2《二次函数》试题及答案-最新推荐

第2单元二次函数（易错30题7个考点）一．二次函数的性质（共1小题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3D．当﹣1＜x＜3时，y＜0【答案】D【解答】解：A、对称轴为直线x＝＝1，正确，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项错误；C、一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3正确，故本选项错误；D、应为当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确．故选：D．二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣，下列结论中，正确的是（）A．abc＞o B．b2﹣4ac＜0C．2b+c＞0D．4a﹣2b+c＜0【答案】D【解答】解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＜0，b＞0，∴abc＞0，错误；B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，错误；C、∵﹣＝﹣，∴b＝a，∵x＝1时，a+b+c＜0，∴2b+c＜0，错误；D、∵图象与x轴交于左边的点在﹣2和﹣3之间，∴x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，正确；故选：D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a﹣b+c ＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正确的结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，所以①错误；抛物线开口向上，则a＞0；对称轴在y轴右侧，x＝﹣＞0，则b＜0；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则c＜0，于是abc＞0，所以②正确；当x＝﹣2，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，所以③正确；抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以④正确；x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而a﹣b+c＜0，则3a+c＜0，所以⑤错误；a＞0，c＜0，则a﹣c＞0，所以⑥正确．故选：C．4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤【答案】C【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）5．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【答案】见试题解答内容【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．四．二次函数的最值（共1小题）6．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．五．抛物线与x轴的交点（共1小题）7．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．顶点坐标（﹣1，﹣4）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小C．线段AB的长为3D．当﹣3＜x＜1时，y＞0【答案】A【解答】解：由图可知，对称轴为﹣＝﹣1，b＝2；c＝﹣3，则函数解析式为y＝x2+2x﹣3．其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．由图可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1；x2＝﹣3．可知线段AB长为1﹣（﹣3）＝4，由图可知当﹣3＜x＜1时，y＜0．可见，只有A正确，故选：A．六．二次函数的应用（共4小题）8．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．∴设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+6，∵抛物线过O（0，0），∴a（0﹣6）2+6＝0，解得a＝﹣，∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x．（0≤x≤12）（2）当x＝6﹣0.5﹣2.5＝3（或x＝6+0.5+2.5＝9）时y＝4.5＜5故不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆．（3）设点A的坐标为（m，﹣m2+2m）则OB＝m，AB＝DC＝﹣m2+2m根据抛物线的轴对称，可得：OB＝CM＝m，故BC＝12﹣2m，即AD＝12﹣2m令L＝AB+AD+DC＝﹣m2+2m+12﹣2m﹣m2+2m＝﹣m2+2m+12＝﹣（m ﹣3）2+15故当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．9．嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当6≤y≤10时可看成一条线段，当10≤y≤18时可看成抛物线P＝﹣y2+8y+m（1）写出y与x之间的函数关系式（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元/件？（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额一总成本）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将点（18，6）、（6，18）代入一次函数表达式：y＝kx+b 得：，解得：，函数表达式为：y＝﹣x+24；（2）当6≤y≤10时，同理可得：P＝10y，由题意得：利润w＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24）＝45，解得：x＝15或19（舍去19），即：此时的售价为15；（3）①当6≤y≤10时，w1＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24），当x＝17时，w1有最大值为49万元；②10≤y≤18时，把点（10，100）代入二次函数并解得：m＝40，w2＝yx﹣P＝（24﹣x）2+（24﹣x）（x﹣8）﹣40＝﹣x2+x﹣，当x＝﹣＝14时，w2的最大值为40万元，49＞40，故：x＝17元时，w有最大值为49万元．10．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；（2）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣20x+1800（60≤x≤80），W＝﹣20x2+3000x﹣108000；（2）4480元．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（80﹣x）×20＝﹣20x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1800（60≤x ≤80）；W＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣20x+1800）＝﹣20x2+3000x﹣108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W＝﹣20x2+3000x﹣108000；（2）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，w＝﹣20x2+3000x﹣108000，对称轴为x＝﹣＝75，∵a＝﹣20＜0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x＝76时，W有最大值，最大值＝（76﹣60）（﹣20×76+1800）＝4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．11．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“精准扶贫”优惠政策，使贫困户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【答案】（1）w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；过程见解答；（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元，过程见解答．【解答】解：（1）由题意得出：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．解得x1＝25，x2＝35．∵35＞30，∴x2＝35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．七．二次函数综合题（共19小题）12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B 出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④【答案】C【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．13．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…A n的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，B1、B2、B3、…B n的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…A n（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…B n（n，﹣）；∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，…A nB n＝|n2﹣（﹣）|＝；∴＝1，＝，…＝．∴，＝1++…+，＝2[+++…+]，＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），＝2（1﹣），＝．故答案为：．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）求直线AB的解析式；＝3，如果存在，（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S△ABC 请求出C点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝﹣x+3；（3）C（1，4）或C（2，3）．【解答】解：（1）∵（1，4）是二次函数的顶点，∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4．又∵图象过点A（3，0），∴代入可得4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4或y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3可知，B为（0，3）．设直线AB的解析式为：y＝kx+t（k≠0），将A（3，0）和B（0，3）代入可得k＝﹣1，b＝3∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（3）∵C在直线AB上方的抛物线上，∴可设C（x，﹣x2+2x+3）其中x＞0，过C作CD∥y轴，交AB于D点．则D坐标为（x，﹣x+3），＝3，又∵S△ABC∴[（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）]×3＝3，解得x1＝1，x2＝，2，代入﹣x2+2x+3得4或3．∴C点坐标为（1，4）或（2，3）．15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x 轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝1；n＝3；（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）1，3；（3）E的坐标为（﹣1，2）；（4）点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；故答案为：1，3；（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，此时点E的坐标为（﹣1，2）；（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC＝3，分三种情况：①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是（1，0）．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）；（2）（1，0）；（3）y＝x2﹣4x+3；（4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，∴顶点坐标为（﹣7，8）；（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分两种情况：①当a＜0时，1+＜1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时，1+＞1，i）当1＜1+≤3时，即a≥，当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，∴a＝1，此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；ii）当1+＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（4）分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，∴a＝，当a＝时，x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴0＜a＜；③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴﹣5＜a＜0；综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点M（1，2）；（3）点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点M（1，2）；（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PC＝CD时，则12+（t﹣3）2＝10，解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），∴P（1，6）；②当CD＝PD时，则10＝t2，解得：t＝±，∴P1（1，），P2（1，﹣）；③当PC＝PD时，则12+（t﹣3）2＝t2，解得：t＝，P（1，）；综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．18．如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P的横坐标为3，求△BPC的面积；（3）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P点坐标．（4）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；＝；（2）S△BPC的最大值为24，此时，点P的坐标为（2，6）；（3）S四边形ABPC（4）点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点B（4，0）、C（0，6），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+6，∵点P的横坐标为3，∴P（3，），如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E（3，），∴PE＝﹣＝，＝S△BPE+S△CPE＝××（4﹣3）+××3＝；∴S△BPC（3）∵y＝﹣x2+x+6，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点A和点B（4，0）关于直线x＝1对称，∴A（﹣2，0），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，∵C（0，6），∴OC＝6，＝AB•OC＝×6×6＝18，∴S△ABC如图2，过点P作PE∥y轴交BC于点E，设P（t，﹣t2+t+6），则E（t，t+6），∴PE＝﹣t2+t+6﹣（t+6）＝﹣t2+3t，＝S△PBE+S△PCE＝PE•（x B﹣x P）+PE•（x P﹣x C）＝×（﹣t2+3t）∴S△PBC×4＝﹣t2+6t，＝S△PBC+S△ABC＝﹣t2+6t+18＝﹣（t﹣2）2+24，∴S四边形ABPC∵﹣＜0，有最大值，最大值为24．∴当t＝2时，S四边形ABPC此时，点P的坐标为（2，6）；（4）由（2）知P（3，），B（4，0），∵点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，∴设M（m，0），N（n，﹣n2+n+6），当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合，则，解得：，（此时点N与点P重合，舍去），∴M（8，0）；当BM、PN为对角线时，BM与PN的中点重合，则，解得：，，∴M（﹣，0）或（，0）；当BN、PM为对角线时，BN与PM的中点重合，则，解得：，（此时点N与点P重合，舍去），∴M（0，0）；综上所述，点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．19．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线AD的解析式；（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．（2）FG的最大值为：；（3）或．【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，而点D和点C关于直线x＝1对称，∴D（2，3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1；（2）记AD于y轴的交点为E，当x＝0时，y＝x+1＝1，则E（0，1），∴OA＝OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO＝∠AEO＝45°，过F作FN∥y轴交AD于N，∴∠FNG＝45°，∴△FGN为等腰直角三角形，∴，设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），∴，当时，FN有最大值，∴FG的最大值为：；（3）如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4），设直线AM的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2x+2＝2，则R（0，2），设P（0，y），而四边形APQM为矩形，∴∠RAP＝90°，∴（2﹣y）2＝12+y2+12+22，解得：，即，由平移的性质可得：；如图，当P在AM的左边，同理可得：（y﹣2）2＝（1﹣0）2+（4﹣2）2+（0﹣1）2+（y﹣4）2，解得：，即，由平移的性质可得：；综上：或．20．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标是m，矩形ABCD的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值；（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）当m＝1时，周长L有最大值10；（3）点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：（1）依题意得顶点P的坐标（2，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，把点M（4，0）代入解析式，解得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x．（2）∵点D的横坐标是m，∴点D的纵坐标是﹣m2+4m，BC＝4﹣2m，∴矩形ABCD的周长L＝2（﹣m2+4m+4﹣2m）＝﹣2（m﹣1）2+10，∴当m＝1时，周长L有最大值10．（3）①OM是平行四边形的边时：点F的横坐标：2﹣4＝﹣2，纵坐标：y＝﹣（﹣2）2+4×（﹣2）＝﹣12，此时，点F（﹣2，﹣12）；或点F的横坐标：2+4＝6，纵坐标：y＝﹣62+4×6＝﹣12，此时，点F（6，﹣12）．②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，∴EF都在抛物线的对称轴上，∴点F与点P重合，∴点F（2，4）．综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M 为顶点的四边形是平行四边形．21．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）P（﹣2，0）；（3）存在，P（1，0）或（3，0）．【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；（3）△CBF的最大面积为4，E（2，1）．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在抛物线y＝x2+bx+c上，则，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在，理由：∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线对称轴为直线x＝，∴D（，0），且C（0，2），∴CD＝＝，∵点P在对称轴上，∴可设P（，t），∴PD＝|t|，PC＝，当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；当PC＝CD时，则有＝，解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝4，此时P点坐标为（，4）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；（3）当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），设直线BC解析式为y＝kx+s，由题意可得，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，∵点E是线段BC上的一个动点，∴可设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m2+m+2），∴EF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，＝×4•EF＝2[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△CBF∵﹣1＜0，有最大值，最大值为4，∴当m＝2时，S△CBF此时﹣x+2＝1，∴E（2，1），即E为BC的中点，∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为（2，1）．23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A 在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；＝2S△ABP，若存在，（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m的值为2；（3）点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），当y＝0时，x+3＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），故m的值为2；＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣（3）∵S△ABP＝3，＝2S△ABP＝6，∴S△ABQ设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），分两种情况：①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE ∥y轴交直线AB于E，＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，∴S△ABQ解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），∴Q（﹣4，﹣5）；②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y 轴交直线AB于E，同理可得a＝1，∴Q（1，0），综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．24．如图1和图2，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x＝﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°，请求出点Q坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）点B的坐标为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，故点A （﹣3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则AC交函数对称轴于点M，则点M为所求，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，故点M（﹣1，2）；（3）如图，设直线BQ交y轴于点H，作HG⊥BC于点G，tan∠OCB＝，∠CBQ＝45°，则设：BG＝HG＝x，则CG＝3x，则BC＝BG+CG＝4x＝＝，解得x＝，CH＝x＝，则点H（0，），由点B、H的坐标可得，直线BQ的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝1（舍去）或﹣，故点Q（﹣，）．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a （x+1）（x﹣3）．把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．a＝﹣1．故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．∵B（3，0），C（0，3），∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，∴BD2＝BC2+CD2．∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．∴S△BCD（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，又∵P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1（舍去），∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P坐标为（，）．②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；y＝x﹣3；（2），P（，﹣）；（3）（2，﹣1）或（，），【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；（2）如图1，作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，＝×3×（﹣m2+3m）∴S△P AB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△PAB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），27．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A，C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx经过D，A两点，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的P点的坐标．【答案】（1）D（4，3）；（2）y＝﹣x2+x；（3）P1（3，0），P2（3，﹣4）．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∵直线y＝x与BC边相交于点D，∴点D的纵坐标为3，令y＝3，得3＝x，解得：x＝4，∴D（4，3）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3），A（6，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．∵CB∥OA，∴∠P1OM＝∠CDO，∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．∵x＝﹣＝3，∴该点坐标为P1（3，0）．过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO＝∠DOC，∴Rt△P2OM∽Rt△DCO．在△P2P1O和△DCO中，，，∴△P2P1O≌△DCO（AAS）．∴CD＝P1P2＝4，∵点P2位于第四象限，∴P2（3，﹣4）．∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3，0），P2（3，﹣4）．28．已知一次函数y1＝﹣3x+3与x轴，y轴分别交于点A，B两点，抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）；（1）若抛物线经过点B，求出抛物线的解析式；（2）抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由；（3）在（1）的条件下，第一象限一点M是抛物线上一动点，连接AM，BM，设点M的横坐标为t，四边形BOAM的面积为S，求出S与t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；（3）S＝﹣t2++（0＜t＜3），当t＝时，S有最大值是．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），将B（0，3）代入y2＝ax2﹣2ax+a+4中得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x﹣1）2+4，当x＝1时，y2＝4，∴抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；（3）如图，连接OM，当y＝0时，﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴A（1，0），由题意得：M（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），+S△AOM∴S＝S△OBM＝•OB•x M+•OA•y M＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）＝﹣t2++（0＜t＜3）＝﹣（t﹣）2+；∵﹣＜0，∴当t＝时，S有最大值是．29．已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y 轴交于点C．∠BAC的平分线AD交y轴于点D．过点D的直线l与射线AC、AB分别交于点M、N．（1）求抛物线的对称轴；（2）当实数a＞﹣2时，求二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值；（可用含a的代数式表示）（3）当直线l绕点D旋转时，试证明为定值，并求出该定值．【答案】（1）x＝；（2）当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；（3）证明见解答过程，定值是．【解答】解：（1）抛物线对称轴为：x＝＝；（2）①当a≤时，如图：此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝a时取得，最大值为y＝﹣a2+a+3，②当a＞时，如图：此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝时取得，最大值为y＝4，综上所述，当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；（3）过M作ME⊥x轴于E，在y＝﹣x2+x+3中令x＝0得y＝3，令y＝0得x1＝﹣，x2＝3，∴A（﹣，0），B（3，0），C（0，3），∴OA＝，OC＝3，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，即∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分线AD交y轴于点D，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，1），①当M在线段AC上时，如图：设AM＝a，AN＝b，则ON＝AN﹣OA＝b﹣，∴N（b﹣，0），设直线DN解析式为y＝kx+m，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：，解得，∴直线DN解析式为y＝x+1，在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，∴AE＝a，ME＝a，∴OE＝﹣a＝，∴M（，a），将M（，a）代入y＝x+1得：a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），∴a+b＝ab，∴＝+＝＝＝，∴为定值，是；②当M在线段AC延长线上时，如图：设AM＝a，AN＝b，则ON＝OA﹣AN＝﹣b，∴N（b﹣，0），设直线DN解析式为y＝tx+n，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：，解得，∴直线DN解析式为y＝x+1，在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，∴AE＝a，ME＝a，∴OE＝a﹣＝，∴M（，a），将M（，a）代入y＝x+1，得：a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），∴a+b＝ab，∴＝+＝＝＝，∴为定值，是；综上所述，直线l绕点D旋转时，为定值，该定值是．30．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正。

2020-2021中考数学复习二次函数专项易错题含详细答案一、二次函数1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式；（2）如图，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE ＝S △CGO ，求点E 的坐标；（3）如图，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN ∥x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；直线AC 解析式为：y ＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC 解析式．（2）△CGE 与△CGO 虽然有公共底边CG ，但高不好求，故把△CGE 构造在比较好求的三角形内计算．延长GC 交x 轴于点F ，则△FGE 与△FCE 的差即为△CGE ．（3）设M 的坐标（e ，3e+3），分别以M 、N 、P 为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e 表示相关线段并列方程求解，再根据e 与AP 的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （-1，0），B （3，0），C （0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN ，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．3．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：16403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3；（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BCV V 的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12， ∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①，﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）．【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a ，解得：a=14， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得： 214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，∴00 22000 1110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．5．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x=--，顶点D（2，635-）；（2）C（10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可； （3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.7．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.8．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.9．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出关于m的不等式组，求解即可。

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P 为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．（1）填空：OA的长是，∠ABO的度数是度；（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．7．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO 并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．8．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D 的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M 为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c 经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．12．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，设运动时间为t秒．（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；（2）当2＜t≤4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；（3）设△CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD 面积的一半？为什么？15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F′，P′，E′，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F′处，再沿F′C运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P′处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H 运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t．运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将△MNI沿NI翻折得△M′NI，连接HM′，当△M′HN为等腰三角形时，求t的值．16．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P 从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A 有两个公共点？②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．18．如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．（1）点A的坐标为，线段OB的长=；（2）设点C的横坐标为m①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E 的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A （0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x 于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x 轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF ；（4）连接PE ，在x 轴上点Q 的右侧是否存在一点M ，使△CQM 与△CPE 全等？若存在，试求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．22．阅读理解抛物线y=x 2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx +1与y 轴交于C 点，与函数y=x 2的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作直线y=﹣1的垂线，交于E ，F 两点．（1）写出点C 的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF 中，M 为EF 中点，P 为动点．①求证：PE 2+PF 2=2（PM 2+EM 2）；②已知PE=PF=3，以EF 为一条对角线作平行四边形CEDF ，若1＜PD ＜2，试求CP 的取值范围．23．已知抛物线经过A （﹣3，0），B （1，0），C （2，）三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S △EOC =S △EAB 时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k 的取值范围．24．如图1，已知直线EA 与x 轴、y 轴分别交于点E 和点A （0，2），过直线EA 上的两点F 、G 分别作x 轴的垂线段，垂足分别为M （m ，0）和N （n ，0），其中m ＜0，n ＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN 的形状；（2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M 、A 、N 三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P ，点Q 是对称轴上一动点，以点P 、Q 、N 为顶点的三角形和以点M 、A 、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q 的坐标．25．如图，二次函数与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 从A 点出发，以1个单位每秒的速度向点B 运动，点Q 同时从C 点出发，以相同的速度向y 轴正方向运动，运动时间为t 秒，点P 到达B 点时，点Q 同时停止运动．设PQ 交直线AC 于点G ．（1）求直线AC 的解析式；（2）设△PQC 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式；（3）在y 轴上找一点M ，使△MAC 和△MBC 都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M 点的坐标；（4）过点P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，当P 点运动时，线段EG 的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，顶点为C ．（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：交BD 于点E ，过点B 作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，①当∠DNT=90°时，直接写出的值；②当直线TN绕点M旋转时，=DN•DT；试说明：△DNT的面积S△DNT并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D （0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线l：y=x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C 点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，△DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积．31．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）的对称轴为：直线x=，与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C（0，﹣），且过点（3，﹣5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图1，当点D为（3，0）时，DE交该抛物线于点M，若∠ADC=∠CDM，求点M的坐标；（3）如图2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．（2017秋•上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】151：代数综合题；32 ：分类讨论．【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；（3）分两种情况：∠E﹣90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．【解答】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣1，0），B（4，5），抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，直线经过点A，B两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=x+1，设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3），∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，∴当EF最大时，m=，∴点E（，），F（，）；（3）存在．①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为，即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点P1（，），P2（，），②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为，即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点P3（，），综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分∠E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017秋•鄂城区期中）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x轴下方2个单位处．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP=BC时，OP=OB=3，∴P3（0，﹣3）；③当PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017•泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，∴S1=PH（x B﹣x E）=（﹣t2+2t）（4﹣），S2=••，∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣）﹣••=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．4．（2017•南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O （0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P 为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B关于对称轴对称，∴=2，解得m=1或6（舍弃），∴B（3，0），C（1，﹣2），∴直线l′的解析式为y=x﹣3．（3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），则有（m﹣）2+（m﹣3﹣）2=（3）2，解得m=或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．5．（2017•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m的值为7或9；（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；②当BE为对角线时，∵B（5，0），E（1，8），∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数一、单选题1.（2020·辽阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.（2020·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x²+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx²+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A. a=bB. a=b-1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b-13.（2020·广西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+ bt，其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.（2020·铁岭模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c>0；③4a−2b+c>0；④当x>1时，y随着y的增大而增大.正确的说法个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.（2020·东城模拟）若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>26.（2020·长丰模拟）若(−2,0)是二次函数y=ax2+bx(a>0)图象上一点，则抛物线y=a(x−2)2+ bx−2b的图象可能是（）A. B.C. D.7.（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A（−12，y1）、B（32，y2）、C（−2，y3）是抛物线上的三点，则有y3<y1<y2；④若m，n（m<n）为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，则m>−1且n<3，以上说法正确的有（）A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.（2020·萧山模拟）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（）A. y1+y2>0B. y1-y2>0C. a（y1-y2）>0D. a（y1+y2）>09.（2020·西安模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A(7，0)，直线AB交y轴于点B(0，﹣7)，动点C(x，y)在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是( )A. 有最小值9B. 有最大值9C. 有最小值8D. 有最大值810.（2020·广水模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a−b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠ x2，则x1+x2＝2.其中正确的有（）A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤11.（2020·铜川模拟）若一个二次函数y=ax2−4ax+3(x≠0)的图像经过两点A(m+2,y1)、B(2−m,y2)，则下列关系正确的是（）A. y1=y2B. y1<y2C. y1>y2D. y1≥y212.（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+25 8，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高.A. 37B. 47C. 34D. 4313.（2020·红花岗模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②若OC＝OB，则c＝2；③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2.其中真命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 414.（2020·柯桥模拟）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（）A. （﹣1，2）B. （1，2）C. （1，﹣2）D. （﹣1，﹣2）15.（2020·台州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c ﹣2＝0有两个相等的实数根.其中正确的结论是（）A. ③④B. ②④C. ②③D. ①④16.（2020·绍兴模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是（）A. 一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1B. 抛物线的对称轴是x=−12C. 当x＞1时，y随x的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是(−12,9 4 )17.（2020·湖州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac ＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.（2020·南充模拟）将抛物线y=x(x+2)向左平移1个单位后的解析式为（）A. y=x(x+1)B. y=x(x+3)C. y=(x−1)(x+1)D. y=(x+1)(x+3)19.（2020·沙湾模拟）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A. 开口向上B. 对称轴是x=1C. 当x=0时，函数的最大值是-1D. 抛物线与x轴有两个交点20.（2020·峨眉山模拟）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图像与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图像与x轴有N个交点，则（）A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−121.（2020·峨眉山模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x= 1．有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；3⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤ x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（）A. ①②④B. ①③④C. ①③⑤D. ①②③⑤22.（2020·旌阳模拟）已知y关于x的函数表达式是y=ax2−4x−a，下列结论错误的是（）A. 若a=−1，函数的最大值是5B. 若a=1，当x≥2时，y随x的增大而增大C. 无论a为何值时，函数图象一定经过点(1,−4)D. 无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点23.（2020·新都模拟）关于二次函数y=x2−kx+k−1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=4；④抛物线的顶点在y=−(x−1)2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=−√2，0，1．其中正确的序号是（）A. ①②⑤B. ②③④C. ①④⑤D. ②④24.（2020·武侯模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（）A. b2＞4acB. abc＜0C. 4a﹣2b+c＞0D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大25.（2020·青白江模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+ b+c<0；②b2－4ac<0；③b+2a<0；④c<0.其中所有正确结论的序号是( )A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②26.（2020·大邑模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2，与x轴的一个交点坐标为(−4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①当x<0时，y随x增大而增大；②抛物线一定过原点；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=0或x=−4；④当−4<x<0时，ax2+bx+ c>0；⑤a−b+c<0．其中结论错误的．．．个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 427.（2020·永州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a﹣2b+c＜0：⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个28.（2020·怀化模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0其中正确的是（）A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④29.（2020·黄石模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a＞0B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0C. c＜0D. 当x≥1时，y随x的增大而增大30.（2020·乾县模拟）已知二次函数y=ax²-8ax（a为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为3，则a的值为（）A. −14B. 14C. −15D. 15二、填空题31.（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A(2,0),B(0,−2),C(−2,4),D(4,−2),E(7,0)，将二次函数y=a(x−2)2+m(m≠0)的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是________．32.（2020·长丰模拟）若抛物线y=x2−2kx+k2+1在−1≤x≤1时，始终在直线y=2的上方，则k的取值范围是________．33.（2020·新疆模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1,下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为________. (注：只填写正确结论的序号)34.（2020·昌吉模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(12,0)，有下列结论：①abc<0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c<0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是________.（填写正确结论的序号）35.（2020·立山模拟）若二次函数y=mx2+(m−2)x+m的顶点在x轴上，则m=________.36.（2020·立山模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m=________；n=________.37.（2020·铁西模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤4a+2b≥am2−bm（m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）38.（2020·梧州模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）、B（3，3），且当1≤x≤3时，-1≤y≤3，则a的取值范围是________39.（2020·南充模拟）如图，抛物线y=x2+ax+2经过点P(−2，2)，Q(m，n).若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是________.40.（2020·海曙模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，BD＝2AD，CD＝4，则S△ACD 的最大值为________.三、综合题41.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（4，-5），点B（0，3）。

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

第2单元二次函数压轴精选40题一．选择题（共3小题）1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1【答案】A【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1．如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n＝1，解得：n＝．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，故选：A．2．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（）A．①③⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②③⑤【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确，∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，∴++＝0，∴＝1﹣，故③正确，∵﹣1+m＝﹣，∴﹣a+am＝﹣b，∴am＝a﹣b，∵am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，故④正确，∵m+1＝|﹣|，∴m+1＝||，∴|am+a|＝，故⑤正确，故选：B．3．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．0【答案】A【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y ＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．二．填空题（共2小题）4．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝2x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为．【答案】．【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝2x2，则AE＝2a2，BF＝2b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化简得：m＝2ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化简得4ab＝1．则，说明直线AB过定点D，D点坐标为．∵，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大．故答案为：．5．二次函数y＝x2的图象如图．点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n﹣1B n A n∁n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n﹣1B n A n＝60°，则△A0B1A1的边长为B n A n∁n的周长为．，菱形A n﹣1【答案】，．【解答】解：过点B1作B1D1垂直x轴于点D1，过点B2作B2D2垂直x轴于点D2，过点B3作B3D3垂直x轴于点D3，过点A1E1⊥B2D2于点E1，过点A2E2⊥B3D3于点E2，∵四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形．A n﹣1B n A n∁n 都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝⋅⋅⋅＝∠A n﹣1B n A n＝60°，∴△A0B1A1是等边三角形，设点B1坐标为（x，y），则：y＝x2，∵∠A0B1A1＝60°，∴∠B1A0D1＝30°，在Rt△B1D1A0中，，∴，解得：（舍去）或，∴，∴，∴△A0B1A1的边长为，∴菱形A0B1A1C1的周长＝；设点B2坐标为（x，y），在Rt△B2E1A1中，，且y＝x2，∴，解得，或（舍去），∴，∵，∴，∴，∴菱形A1B2A2C2的周长＝；同法可得：菱形A2B3A3C3的周长＝；B n A n∁n的周长为：；∴菱形A n﹣1故答案为：，．三．解答题（共35小题）6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，3+3）；（3）存在，P（﹣1，3﹣），Q（﹣4，﹣）或P（﹣1，3+），Q（﹣4，）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1，），Q（2，3+）或P（﹣1，﹣），Q（2，3﹣）．【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴C（0，3），等腰△ACD，如图甲，当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合，∴D（0，0）；当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线，∴OC＝OD，∴D（0，﹣3）；当以点C为顶点时，AC＝CD＝＝＝3，∴点D的纵坐标为3﹣3或3+3，∴D（0，3﹣3）或（0，3+3）；综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，3+3）；（3）存在，理由如下：抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣1，设P（﹣1，t），Q（m，n），∵A（﹣3，0），C（0，3），则AC2＝（﹣3）2+32＝18，AP2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四边形ACPQ是菱形，∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图1，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（﹣1，3﹣），P2（﹣1，3+），∵四边形ACPQ是菱形，∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，当P1（﹣1，3﹣）时，∴＝，＝，解得：m＝﹣4，n＝﹣，∴Q1（﹣4，﹣），当P2（﹣1，3+）时，∴＝，＝，解得：m＝﹣4，n＝，∴Q2（﹣4，）；②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图2，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（﹣1，1），∵四边形APCQ是菱形，∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝2，∴Q3（﹣2，2）；③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图3，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（﹣1，），P5（﹣1，﹣），∵四边形ACQP是菱形，∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝3±，∴Q4（2，3+），Q5（2，3﹣）；综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P（﹣1，3﹣），Q（﹣4，﹣）或P（﹣1，3+），Q（﹣4，）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1，），Q（2，3+）或P（﹣1，﹣），Q（2，3﹣）．7．已知函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m（m为常数）．（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；（3）若直线y＝x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的取值范围．【答案】（1）2个；（2）证明见解答过程；（3）4≤|AB|≤8．【解答】（1）解：∵Δ＝（m﹣3）2+8m＝（m+1）2+8＞0，∴该函数图象与x轴的公共点的个数2个；（2）证明：∵y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m＝﹣（x﹣）2+，把x＝代入y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2得：y＝（+2）2+2＝+2＝，∴不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上．（3）解：过A作AC∥x轴，过B作BC∥y轴，如图，则△ACB是等腰直角三角形，设直线y＝x与y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），联立方程得：，化简得：x2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0，∴x1+x2＝m﹣4，x1x2＝﹣2m，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（m﹣4）2﹣4（﹣2m）＝m2+16，∴|AB|＝，∵﹣4≤m≤2，∴当m＝0时，|AB|有最小值为4，当m＝﹣4时，|AB|有最大值为8，∴4≤|AB|≤8．8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P为直线BC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求△PBC的面积；（3）当∠BCP＝∠CAB时，求点P的坐标；（4）若点P的坐标为（2，3），连接PA，交直线BC于点E，交y轴于点F，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线AP于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3；（3）；（4）点Q的坐标为（5，2）或或．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）可知：y＝﹣x2+2x+3，∴y＝﹣（x﹣1）2+4，∵点P的坐标为（1，4），∴点P即为抛物线的顶点，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，∵B（3，0）、C（0，3），设直线BC的解析式为：y＝k1x+b1，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵PM∥y轴，P（1，4），M（1，2），∴PM＝2，＝S△PCM+S△BPM＝，＝∴S△PBC＝3；（3）过B点作BD⊥x轴交射线CP于D，如图所示：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴AB＝4，OB＝OC＝3，∴，∠ABC＝∠DBC＝45°，∵∠BCP＝∠CAB，∴△ABC～△CBD，∴，∴，∴，∴，设直线CD的解析式为：y＝k2x+3，将代入得，，∴，∴直线CD的解析式为：，∴，解得：或，∴（4）∵P（2，3），A（﹣1，0）设直线CD的解析式为：y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AP的解析式为：y＝x+1，∴F（0，1），∴OF＝OA＝1，∴∠EAB＝45°，∵∠EBA＝45°，∴∠AEB＝90°，∴AP⊥BC，由（1）可知：直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∴，解得：，∴E（1，2），∵以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，∴分两种情况讨论，：①当EH⊥EK时，H点在BC上，K点在AP上，如图所示：∵点H在抛物线上，∴点H为直线BC与抛物线的交点，∴，∴或，H（0，3）或H（3，0），当H（0，3）时，，∴，∴K（0，1），∴HK的中点为（0，2），则EQ的中点也为（0，2），∴Q（﹣1，2），但此时HK与y轴重合，不符合与y轴平行，∴Q（﹣1，2）不符合题意；当H（3，0）时，，∴，∴K（3，4），∴HK的中点为（3，2），则EQ的中点也为（3，2），∴Q（5，2），②当EH⊥HK时，此时EH⊥y轴，如图所示：∵y＝﹣x2+2x+3，令y＝2，则﹣x2+2x+3＝2，解得：，∴或，当时，，∴，∴；当时，，∴，∴；综上所述：当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，点Q的坐标为（5，2）或或．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AC的长度；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）线段AC的长度为；（2）3PD+PE取最大值6，P的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）N的坐标为（，﹣2）或（﹣6，）或（，﹣2）或（，﹣2）．【解答】解：（1）在y＝x2+x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2；∴C（0，﹣2）；令y＝0得：0＝x2+x﹣2，解得x＝1或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AC＝＝，∴线段AC的长度为；（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，∴抛物线y＝x2+x﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，设P（m，m2+m﹣2），由A（﹣3，0），C（0，﹣2）得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，∴D（m，﹣m﹣2），∴PD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，∵PE关于直线x＝﹣1对称，∴PE＝2（﹣1﹣m）＝﹣2﹣2m，∴3PD+PE＝3（﹣m2﹣2m）﹣2﹣2m＝﹣2m2﹣8m﹣2＝﹣2（m+2）2+6，∵﹣2＜0，∴当m＝﹣2时，3PD+PE取最大值6，此时P的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），∴将抛物线y＝（x+1）2﹣沿着射线CA方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，∴新抛物线解析式为y'＝（x+1+3）2﹣+2＝（x+4）2﹣，∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣4；设M（t，﹣t﹣2），N（p，q），则F（﹣4，﹣t﹣2），而P（﹣2，﹣2），①若MN，FP为对角线，则MN，FP的中点重合，且PM＝PN，∴，解得：或（此时M不在射线CA上，舍去）；∴N（，﹣2）；②若MF，NP为对角线，则MF，NP的中点重合，且PM＝PF，∴，解得：（此时N，P重合，舍去）或，∴N（﹣6，）；③若MP，NF为对角线，则MP，NF的中点重合，且MF＝PF，∴，解得：或，∴N（，﹣2）或（，﹣2）；综上所述，N的坐标为（，﹣2）或（﹣6，）或（，﹣2）或（，﹣2）．10．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C．点M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为：（1，﹣4）；（2）N的坐标为（）；（3）G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；顶点坐标为：（1，﹣4）．（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，如图：在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线BC解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），则Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，∴NQ＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，＝NQ•|x B﹣x C|＝（﹣n2+3n）×3＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，∴S△BCN∵﹣＜0，有最大值为，∴当n＝时，S△BCN此时n2﹣2n﹣3＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴N的坐标为（）；（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）．分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由对角线互相平分及中点坐标公式可知，解得，经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时点G的坐标为（2，﹣3）．②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由对角线互相平分及中点坐标公式可知，，解得，经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时点G的坐标为（4，5）．③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由对角线互相平分及中点坐标公式可知，，解得，经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时点G的坐标为（﹣2，5）．综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）．11．已知抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A 在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且tan∠ACO＝．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点D，满足条件∠DCB＝∠ACO？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，设P是y轴上的一个动点，连接AP并延长交抛物线于另一点M，连接BP并延长交抛物线于另一点N，若M、N的横坐标分别为m、n．试探究m、n之间的数量关系．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在；D（4，5）；（3）m+3n＝0．【解答】解：（1）由题意可得点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OA＝OC•tan∠ACO＝1，∴点A的坐标为：（﹣1，0），′代入y＝x2+bx﹣3，得0＝1﹣b﹣3，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在．设CD交x轴于点E，由（1）可得：B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠DCB＝∠ACO，∴∠AEC＝∠DCB+45°＝∠ACO+45°，又∵∠ACB＝∠ACO+45°，∴∠AEC＝∠ACB，而∠CAB＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴．其中AB＝4，AC＝，∴AE＝，∴OE＝AE﹣OA＝，即点E（，0）．设CD：y＝kx+a，把C、E的坐标代入，得：，解得：，∴CD：y＝2x﹣3，联立方程组得：，解得：或（舍去），∴D（4，5）；（3）设点P的坐标为（0，t），由A（﹣1，0），P（0，t）可得：AP：y＝tx+t．把y＝tx+t代入y＝x2﹣2x﹣3，消去y，并化简得：x2﹣（t+2）x﹣t﹣3＝0，∵x A＝﹣1，x M＝m是上面方程的两个根，∴x A•x M＝﹣t﹣3，∴m＝t+3①；同理可得BP：y＝﹣x+t．把y＝x+t代入y＝x2﹣2x﹣3，消去y，并化简得：x﹣t﹣3＝0，∵x B＝3，x N＝n是上面方程的两个根，∴x B•x N＝﹣t﹣3，∴3n＝﹣t﹣3②，由①+②得：m+3n＝0．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点B的坐标是（﹣8，0），点P （m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D为（0，4），连接BD．（1）求该二次函数的表达式；（2）依题补图1：连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q；当△OPQ和△OBD 相似时，求m的值；（3）如图2，过点P作直线PQ∥BD，和x轴交点为Q，在点P沿着抛物线从点A到点B运动过程中，当PQ与抛物线只有一个交点时，求点Q的坐标．【答案】（1）；（2）m的值为﹣4或；（3）．【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣8，0）代入得，，解得，∴该二次函数的表达为；（2）如图：设，由∠OQP＝∠BOD＝90°，分两种情况：当△POQ∽△BDO时，，∴，∴PQ＝2OQ，即，解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）；当△POQ∽△DBO时，，∴OQ＝2PQ，即，解或（舍去），综上所述，m的值为﹣4或；（3）如图，设直线BD解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BD解析式为，∵PQ∥BD，∴设直线PQ的解析式为，当直线PQ与的图象只有一个交点时，联立，整理得x2+6x﹣32+4n2＝0，∴Δ＝62﹣4×（﹣32+4n2）＝0，解得，∴当时，直线PQ的解析式为，此时直线PQ与的图象只有一个交点，令y＝0，则，解得，此时．13．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A 在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4．由已知：当x＝0时y＝1．即1＝36a+4，∴a＝﹣．∴表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；（2）由题意得：0＝﹣（x﹣6）2+4解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），∴点C坐标为（13，0）．设第二次落地的抛物线为y＝﹣（x﹣k）2+2．将C点坐标代入得：0＝﹣（13﹣k）2+2．解得：k1＝13﹣2＜13（舍去），k2＝13+2≈18．∴y＝﹣（x﹣18）2+2．0＝﹣（x﹣18）2+2．x 1＝18﹣2（舍去），x2＝18+2≈23，∴BD＝23﹣6＝17（米）．答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．14．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x 轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y2＝x2﹣2x﹣3；（2）当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为；（3）存在，、；M 3（1，0）；M5（1，﹣1）．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP，＝＝＝，∵，∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为，（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设点M的坐标为（1，t），则：AM2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，AC2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，CM2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2，设AC的中点为Q，则点Q的坐标为，即，∴，，当AM＝AC时，则AM2＝AC2，∴（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，，∴、，；当CM＝CA时，则CM2＝CA2，∴（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，t1＝0，t2＝﹣6，∴M3（1，0）、M4（1，﹣6）（舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形）；当AC为对角线时则有：AQ2+QM2＝AM2，∴＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，解得，t＝﹣1，∴M5（1，﹣1），∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、M 3（1，0）、M5（1，﹣1）．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求E点坐标；（3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+6；（2）E点坐标为（﹣2，6）或（﹣1，8）；（3）M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣2+6）或（﹣1，2+6）．【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，∴C（0，6），A（﹣3，0），∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；（2）方法一：令﹣2x2﹣4x+6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴B（1，0），设E（t，﹣2t2﹣4t+6），如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，∵EF＝BF，∴＝＝＝，∵BH＝1﹣t，∴BG＝BH＝﹣t，∴点F的横坐标为+t，∵点F在直线y＝2x+6上，∴y＝2（+t）+6＝+t，∴F（+t，+t），∴﹣2t2﹣4t+6＝（+t），∴t2+3t+2＝0，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），综上所述：E点坐标为（﹣2，6）或（﹣1，8）；方法二：过点E作EH⊥x轴交AC于点H，过点B作BM⊥x轴交AC于点M，∴EH∥BM，设E（m，﹣2m2﹣4m+6），∵直线AC解析式为y＝2x+6，∴H（m，2m+6），M（1，8），∴EH＝﹣2m2﹣4m+6﹣2m﹣6＝﹣2m2﹣6m，MB＝8，∵EH∥BM，∴△EHF∽△BMF，∴＝＝，∴＝，∴m1＝﹣2，m2＝﹣1，∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），综上所述：E点坐标为（﹣2，6）或（﹣1，8）；（3）∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，8），对称轴方程为x＝﹣1，在（2）的条件下，∵点E位于对称轴左侧，∴E（﹣2，6），∵点M是抛物线对称轴上一点，∴设M（﹣1，m），∵B（1，0），E（﹣2，6），∴BM2＝（1+1）2+（0﹣m）2＝m2+4，BE2＝（1+2）2+（0﹣6）2＝45，ME2＝（﹣1+2）2+（m﹣6）2＝m2﹣12m+37，①当EB为菱形的边时，BM＝BE，即BM2＝BE2，∴m2+4＝45，∴m＝±，∴M（﹣1，）或（﹣1，﹣）；②当EB为菱形的对角线时，BM＝ME，即BM2＝ME2，∴m2+4＝m2﹣12m+37，∴m＝，∴M（﹣1，），③当BE＝ME时，即BE2＝ME2，∴45＝m2﹣12m+37，∴m＝﹣3+6或m＝3+6，∴M（﹣1，﹣2+6）或（﹣1，2+6）；综上所述，M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣2+6）或（﹣1，2+6）．16．如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①4；②（﹣2，3）．【解答】解：（1）由题意可得，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴A（1，0），B（0，2），代入y＝﹣+bx+c得，y＝﹣x+2；（2）①连接OD，，令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，∴B（﹣4，0）D在第二象限，∴﹣4＜m＜0，＝S△BOD+S△COD﹣S△BOC∴S△BCD＝×4×2＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，当m＝﹣2时，△BCD的面积最大为4，②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，在△ODM和△OEN中，，∴△ODM≌△OEN（AAS），∴DM＝EN＝﹣m+2OM＝ON＝﹣m，∴，令y＝﹣m，则﹣m＝﹣2x+2x＝m+1EF＝﹣m﹣1＝﹣﹣2m+1＝﹣（m+2）2+3，∴当m＝﹣2时EF最大为3，D点的坐标（﹣2，3）．17．如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标；（3）过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点Q（m，n），且n≥﹣8时，求d 的取值范围．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）点P的坐标为（1，）或（3，）；（3）d的取值范围是﹣5≤d＜4或d＞．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）过P作PK∥y轴交BC于K，如图：在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），∵A（﹣2，0），B（4，0），∴AB＝6，＝×6×4＝12，∴S△ABC由B（4，0），C（0，4）得直线BC函数表达式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则K（m，﹣m+4），∴PK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵△PBC的面积等于△ABC面积的，∴×（﹣m2+2m）×4＝12×，解得m＝1或m＝3，∴点P的坐标为（1，）或（3，）；（3）①当公共点Q（m，n）在C（0，4）下方时，在y＝﹣x2+x+4中，令y＝﹣8得：﹣8＝﹣x2+x+4，解得x＝6或x＝﹣4，∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，∴新图象过点（6，﹣8），当直线y＝﹣x+d与新图象公共点为（6，﹣8）时，﹣8＝﹣×6+d，解得d＝﹣5，如图：∵C（0，4），当﹣5≤d＜4时，观察图象可知直线y＝﹣x+d与翻折后的抛物线无交点，∴当﹣5≤d＜4时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；②当公共点Q（m，n）在C（0，4）上方时，如图：若有两个相等的实数解，即﹣x2+x+4﹣d＝0的Δ＝0，则（）2﹣4×（﹣）（4﹣d）＝0，解得d＝；由图可知，当d＞时，直线y＝﹣x+d与新图象只有一个公共点；综上所述，d的取值范围是﹣5≤d＜4或d＞．18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x 轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝1；n＝3；（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）1，3；（3）E的坐标为（﹣1，2）；（4）点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；故答案为：1，3；（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，此时点E的坐标为（﹣1，2）；（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC＝3，分三种情况：①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是（1，0）．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）；（2）（1，0）；（3）y＝x2﹣4x+3；（4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，∴顶点坐标为（﹣7，8）；（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分两种情况：①当a＜0时，1+＜1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时，1+＞1，i）当1＜1+≤3时，即a≥，当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，∴a＝1，此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；ii）当1+＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（4）分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，∴a＝，当a＝时，x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴0＜a＜；③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴﹣5＜a＜0；综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点P时停止平移，平移后点C的对应点为C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+；最大值为×＝，点P的坐标为（﹣，）；（2）S△PMN（3）满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，则C（0，），OC＝，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，则tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴OB＝＝1，则B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H，则∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC ＝60°，∵PM⊥AC，∴PM＝PH•sin∠PHM＝PH，∵AC＝2OC＝2，2MN＝AC，∴MN＝，＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN最大；∴S△PMN设直线AC解析式为y＝kx+b′，将A（﹣3，0）、C（0，）代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+，由题意，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+），∴PH＝﹣p2﹣p+﹣（p+）＝﹣p2﹣p＝﹣（p+）2+，∵﹣＜0，﹣3＜p＜0，∴当p＝﹣时，PH有最大值，最大值为，最大，最大值为×＝，此时，点P的坐标为（﹣，）；即S△PMN（3）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+，设抛物线向左平移a个单位，则新的抛物线解析式为y＝﹣（x+1+a）2+，将点P（﹣，）代入，得＝﹣（﹣+1+a）2+，解得a＝1或a＝0（不合题意，舍去），∴抛物线向左平移1个单位，∵C（0，），∴平移后点C的对应点C′的坐标为（﹣1，），由题意，设D（m，﹣m2﹣m+），E（n，n+），若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则分三种情况：当OC′、DE为对角线时，则，消去n，得m2+3m﹣2＝0，解得：m＝，则点D坐标为（，）或（，）；当OD、C′E为对角线时，则，消去n，得m2+3m+4＝0，∵Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，∴方程无实数根，即点D不存在；当OE、C′D为对角线时，则，消去n，得m2+3m﹣4＝0，解得：m＝1或m＝﹣4，∴点D的坐标为（1，0）或（﹣4，﹣），综上，满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）．21．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交BC于点F．（1）求顶点D的坐标；（2）如图2所示，过点C的直线交线段BD于点M，交抛物线于点N．①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2：1，求点M的坐标；②若∠NCB＝∠DBC，求点N的坐标．（3）如图1，若点P为线段OC上的一动点，请直接写出2AP+CP的最小值．【答案】（1）（1，4）；（2）①或者；②；（3）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3得：0＝a﹣b+3①，∵顶点D的横坐标为1，∴，即b＝﹣2a②，联立①②解得a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）；（2）①由（1）得y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），即BO＝3，如图，取DB的三等分点M1，M2，过点M1，M2分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，∴△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比为1：2：3，∴，，∴，同理可得：，∴点M的坐标为：，；②∵∠NCB＝∠DBC，∴CM＝MB，取线段BC的中点G，作直线GM，。

数学数学二次函数知识点+易错题精选一、二次函数基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y=ax2+c的性质：（上加下减）3. y=a(x-h)2的性质：（左加右减）4. y=a(x-h)2+k的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)；⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y=ax2+bx+c的性质七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0）；3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，∣a∣的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b3. 常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：2. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数易错题精选一、选择题1.已知二次函数y=2(x+1)(x﹣a)，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是( )A.3B.5C.7D.不确定2.将抛物线y=－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( )A.y=－2(x＋1)2B.y=－2(x＋1)2＋2C.y=－2(x－1)2＋2D.y=－2(x－1)2＋13.若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )A.-1或3B.-1C.3D.-3或14.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与直线y=1交点坐标为(1,1),(3,1)，则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（）A.x＞1B.1＜x＜3C.x＜1或x＞3D.x＞35.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项的正确是（）A.1.6<x<1.8B.1.8<x<2.0C.2.0<x<2.2D.2.2<x<2.46.在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图像的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系．请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2－3x＋4与y=4x2－x＋3的图像交点个数有 ( )A.0个B.1个C.2个D.无数个7.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米8.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（）A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣0.5x2D.y=0.5x29.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.如图,点A的坐标为（0,1）,点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,设点C纵坐标为y,能表示y与x的函数关系图象大致是（）11.已知二次函数y=a(x-2)2+c，当x=x时,函数值为y1；当x=x2时,函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|,则下列表达1式正确的是（）A.y1+y2＞0B.y1﹣y2＞0C.a(y1﹣y2)>0D.a（y1+y2）＞012.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．14.抛物线y=2x2+x-3与x轴交点个数为_____个.15.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是．16.如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外．17.已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．18.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a ﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三、解答题19.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．（2）试确定抛物线的解析式．20.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?21.设抛物线y=mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0).(1)若a=－1，求m，b的值；(2)若2m＋n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx＋n上；(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小.22.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).23.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA。

2020-2021备战中考数学二次函数的综合热点考点难点含答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。

2020-2021备战中考数学易错题专题复习-二次函数练习题及详细答案一、二次函数1．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-；()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274，此时点P的坐标是153,4P⎛⎫--⎪⎝⎭．【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.2．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.3．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为45+41或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+ 62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+412，m2=5-412，综上所述，P点的横坐标为4或5+412或5-412；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M 2（236，﹣76）. 综上所述，点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点A （1，﹣1），且与直线y ＝kx +2相交于B （2，0）和C 两点（1）求抛物线和直线BC 的解析式；（2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）抛物线上存在点E （点E 不与点A 重合），使∠BCE ＝∠ACB ，求出点E 的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ，y ＝﹣x +2；（2）详见解析；（3）E （5524,）；（4）符合条件的点F 的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD 2122m +=②当DF ＝BD 24522m m -+=，③当BF ＝DF 22145m m m +-+m ＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，将B （2，0）代入，0＝a （2﹣1）2﹣1，∴a ＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+，联立：215222y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩， 解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴E （52，54）；（4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x x222(21)(0)1BF m m =-+-=+，222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+，①当BF ＝BD 时，2122m +=，m ＝±7，∴F 坐标（1，7）或（1，﹣7）②当DF ＝BD 时，24522m m -+=，m ＝2±7，∴F 坐标（1，2+7）或（1，2﹣7）③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．6．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=12 BG•xN﹣12BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得x=228k k-±-，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知()1211bc⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩，解得：21bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG=2，∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=12BG•（x N﹣1）-12BG•（x M-1）=1，∴x N﹣x M=1，由2421y kx ky x x=-+⎧⎨=--+⎩得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，解得：()()22243k k k-±---228k k-±-，则x N =228k k -+-、x M =228k k ---， 由x N ﹣x M =1得28k -=1，∴k=±3，∵k ＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），设P （0，t ），（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FO CD OP =， ∴112m t t+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC PO CD OF =， ∴121m t t +-=， ∴t=13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m ）2﹣8=0， 解得：21（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t 1=t 22，方程②有一个实数根t=223， ∴2﹣1，此时点P 的坐标为（02）和（0，223）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19（m+1）2﹣13（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）； 综上，当m=22﹣1时，点P 的坐标为（0，2）和（0，223）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．7．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。