阿基米德中点定理

阿基⽶德折弦定理阿基⽶德折弦定理⼀、取劣弧中点时已知：M点是弧AB的中点，AC+CB是圆中折弦，过M点作MN⊥AC交AC于N点．结论：AN=NC+CB．法⼀：截长取ND=NC，连接DM，则DM=CM，∠MAD+∠AMD=∠MDC=∠MCD=∠MAB=∠MAD+∠BAC，∴∠AMD=∠BAC=∠BMC，易证：△MDA≌△MCB（SAS）∴AD=BC，∴AN=AD+DN=NC+CB．法⼆：补短延长AC⾄D点使得CD=CB，∠MCB+∠MAB=180°，∠MCD+∠MCA=180°，且∠MAB=∠MCA，∴∠MCB=∠MCD易证：△MCB≌△MCD（SAS）∴MD=MB=MA，∴NC+CB=NC+CD=ND=NA，即NA=NC+CB．法三：作垂线连接MA、MB，则MA=MB，考虑∠MAN=∠MBC，过M作MH⊥BC交BC延长线于H点，易证：△MAN≌△MBH（AAS）可得：AN=BH；易证：△MCN≌△MCH（AAS）可得：CN=CH．∴AN=BH=BC+CH=BC+CN．法四：作对称作MP∥AC交圆O于点P，作PQ⊥AC交AC于Q点，连接AP、PM、MC．易证：AQ=CN，QN=OM=CB，∴AN=AQ+QN=CN+CB法五：作平⾏作BD∥AC交圆O于点D，连接AD，连接MD交AC于点E，可证：∠AED=∠MDB=∠ADE，∴AD=AE，⼜BC=AD，∴BC=AE．可证：∠MEC=∠MCE，∴EN=NC，∴AN=AE+EN=BC+BC．⼆、取优弧中点时已知：若M点在劣弧AB上，作MN⊥AC交AC于N点．结论：NC=AN+BC．法⼀：取点C使得CD=CB，易证：△CDM≌△CBM，易证：△DNM≌△ANM可得：NC=AN+BC．法⼆：延长CA⾄C'使得AC'=BC，易证：△MBC≌△MAC'易证：△MNC≌△MNC'可得：NC=NC'=AN+BC．法三：过点M作MN'⊥CB交CB延长线于N'点，易证：△MNA≌△MN'B，易证：△MCN≌△MCN'，可得：NC=N'C=AN+BC．法四：作MP∥AC交圆O于点P，过点P作PQ⊥AC交AC于Q点，连接AM、CP、BM，易证：AM=CP，易证：AM=BM，∴BM=CP，∴MP=BC，∴NC=NQ+QC=PM+AN=BC+AN．。

称出来的体积公式——球体积公式两千多年前，发生了这样一个故事。

杠杆原理的发现者——古希腊科学泰斗阿基米德，利用杠杆原理＂称”出了球体积公式。

用一根长为球直径2倍的长杆，即为4r的杆，确定一个支点N。

将杆的中点支于支点。

两端点设为S、T。

NT的中点为O。

以O为心，以球半径r为半径画圆，并画圆的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。

这图形绕ST旋转得到球、圆柱和圆锥。

在离支点x处切一铅直狭条，宽度记为Δx。

旋转后得到的是厚为Δx的圆盘。

这些薄片体积的近似值分别是：球部分：πx(2r-x) Δx，圆柱部分：πr2Δx，圆锥部分：πx2Δx。

阿基米德将从球和圆锥割出的两个薄片吊在端点T，它们的合力矩（重力×重力臂）为2r[πx(2r-x)Δx+πx2Δx]=4πr2xΔx=4x·(πr2Δx)这正好是圆柱部分薄片吊在原处力矩x·πr2Δx的4倍。

把从N到T所有割出的薄片加在一起，将球和圆锥用绳子吊在S点，其力臂是2r，把圆柱的重心吊在O点，它的力臂是r。

它们的力矩也应满足4倍关系，即球和圆锥吊在S点与4个圆柱吊在O点杠杆平衡，于是2r(球体积+圆锥体积)=4r(圆柱体积)。

已知8πr3，圆锥体积=3圆柱体积=2πr3，代入后立得4πr3。

球体积=32。

由此公式可得球体积是它的外切正圆柱体积的3多么精彩的方法。

竟然用秤称出了球的体积公式。

当然阿基米德在秤得球体积公式以后，仍然用数学方法严密地证明了他的发现。

阿基米德的方法启示我们，数学定理与公式蕴藏在现实世界之中，它们往往与物理、化学、生物学…的规律联系在一起，我们可以通过物理的、化学的、生物的方法去发现它们。

我国古代数学家对球体积公式也有研究。

西汉末年成书的《九章算术》中，已经记载着柱、锥、台、球等各种体积的计算问题。

除了球以外，其他各体积公式都和现在一致。

由于球的体积比较3πR3，它难求，当时未能找到正确公式。

模型介绍【问题呈现】阿基米德(archimedes ，公元前287 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是 ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD 。

【证明方法】方法1:补短法如图，延长DB 至F ，使BF=BA∵M 是 ABC的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵MB=MB,BF=BA ∴△MBF ≌△MBA ∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC∵MD ⊥CF ∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截长法如图，在CD 上截取DG=DB∵MD ⊥BG ∴MB =MG ，∠MGB =∠MBC =∠MAC∵M 是 ABC 的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵MA=MC∴△MBA ≌△MGC(SAS)∴AB=GC ∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

∵M 是 ABC的中点∴MA=MC ∵MD ⊥BC ∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB ∴△MHA ≌△MDC(AAS)∴AH=CD ，MH=MD又∵MB=MB ∴Rt △MHB ≌Rt △MDB(HL)∴HB=BD ∴CD=AH=AB+BH=AB+BD例题精讲【例1】．已知M 是的中点，B 为上任意一点，B 不与A 、M 重合，且MD ⊥BC 于D ．BD ＝2，CD ＝6，求AB 的长．解：延长CB至E，使BE＝AB，连接ME，MA，MB，MC，AC，∵M是的中点，∴∠ACM＝∠CBM，AM＝CM，∵∠ABM+∠ACM＝∠EBM+∠CBM＝180°，∴∠ABM＝∠EBM，在△ABM和△EBM中，AB＝EB，∠ABM＝∠EBM，BM＝BM，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∴EM＝CM，∵MD⊥EC，∴ED＝CD＝6，∵BD＝2，∴AB＝EB＝ED﹣BD＝6﹣2＝4．变式训练【变式1-1】．如图，是劣弧，M是的中点，B为上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD＝DC．证明：在CD上取点N，使CN＝AB，连接CM，MN∵M是的中点，∴＝，∴AM＝CM（等弧对等弦），又∵∠BAM＝∠BCM，在△ABM和△CNM中，，∴△ABM≌△CNM（SAS），∴BM＝MN，∴△BMN为等腰三角形（BN为底），又∵MD⊥BN，∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），∴BD＝DN∴AB+BD＝CD．【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB 交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝60°．解：如图2，连接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°．【例2】．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC ＝，AC＝3，则AF＝．解：如图，作直径MH，延长MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，连接CK，AK，AH，设AC交HM于T，HM交AB于R．∵＝，HM是直径，∴HM⊥AB，∵MF⊥AC，∴∠ART＝∠MFT＝90°，∵∠MTF＝∠ATR，∴∠CAB＝∠FMT，∴＝，∴BC＝KH＝，∵MH是直径，∴∠MKH＝90°，∴∠MKH＝∠MFT，∴AC∥KH，∴∠CAK＝∠AKH，∴＝，∴AH＝CK，∵∠HJA＝∠KFC＝90°，HJ＝FK，∴Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），∴AJ＝CF，∵四边形KHJF是矩形，∴KH＝FJ＝，∴AJ＝（AC﹣FJ）＝（3﹣），∴AF＝AJ+FJ＝．解法二：连接AM，BM．CM，在AC上截取AG，使得AG＝BC．∵＝，∴AM＝BM．∵∠A＝∠B，AG＝BC，∴△AGM≌△BCM（SAS），∴MG＝CM，AG＝BC＝，∴CG＝AC﹣AG＝3﹣，∵MG＝MC，MF⊥CG，∴GF＝FC＝，∴AF＝AG+FG＝故答案为：．变式训练【变式2-1】．如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为的中点．求证：AD2＝AC•BC+CD2．证明：如图，过点D作DE⊥AC．垂足为点E，AD2﹣CD2＝（AE2+DE2）﹣（DE2+EC2）＝AE2﹣EC2，＝（AE+EC）（AE﹣EC）＝AC（AE﹣CE），①过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F．连接BD，∵D为弧AB的中点，∴AD＝BD，∵∠DAC＝∠DBC，∠DEA＝∠DFB＝90°，∴Rt△AED≌Rt△BFD，∴AE＝BF，②DE＝DF，∵∠DEC＝∠DFC＝90°，DC＝DC，∴Rt△CED≌Rt△CFD，∴CE＝CF③综合式①、②、③，得：AD2﹣CD2＝AC（BF﹣CF）＝AC•BC，即：AD2＝AC•BC+CD2．【变式2-2】．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．解：（1）作AM⊥BC，∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，∴CM＝BC＝1，∵cos∠ABC＝＝，在Rt△AMB中，BM＝1，∴AB＝＝；（2）连接DC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACE，∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD，∴＝，∴AD•AE＝AC2＝10；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，在△ABN和△ACD中，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，∵AN＝AD，AH⊥BD，∴NH＝HD，∵BN＝CD，NH＝HD，∴BN+NH＝CD+HD＝BH．1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（）A．10B．8﹣3C．6+3D．3+5解：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，∵BC＝CD＝8，∴CC′＝16，∴C′B＝＝＝8．∴CP+PM的最小值是8﹣3．故选：B．2．在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圆上弧ACB的中点，AC上的点X使得MX⊥AC，AC＝10，XC＝3，则BC＝4．解：连接AM、BM，MC，作MN⊥BC的延长线于点N，∴∠BNM＝90°．∵MX⊥AC，∴∠AXM＝∠MXC＝90°，∴∠MXC＝∠BNM＝∠AXM．∵M是它的外接圆上弧ACB的中点，∴BM＝AM．∴∠ABM＝∠BAM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠ACM＝∠BAM．∵∠MCN＝∠BAM，∴∠MCN＝∠ACM．在△BNM和△AXM中，，∴△BNM≌△AXM（ASA），∴BN＝AX．∵AC＝10，XC＝3，∴AX＝7，∴BN＝7．在△CMN和△CMX中，∴△CMN≌△CMX（AAS），∴CN＝CX，∴CN＝3．∵BC＝BN﹣CN，∴BC＝7﹣3＝4．故答案为：4．3．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为10．解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．4．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为2．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠APE＝60°，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝AB＝，∴OA＝＝2，∴OC＝2OA＝4，当点P与N重合时，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案为：2．5．已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD＝DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．证明：延长AC至E，使CE＝BC，连接MA、MB、ME、BE，如图，∵AD＝DC+BC，∴AD＝DC+CE＝DE，∵MD⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA，又∵∠MAE＝∠MBC，∴∠MEC＝∠MBC，又∵CE＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，∴∠MEA+∠CEB＝∠MBC+∠CBE，即∠MEB＝∠MBE，∴ME＝MB，又∵ME＝MA，∴MA＝MB，又∵MN⊥AB，∴MN垂直平分AB，∴MN是圆的直径．6．如图，在⊙O中，AB＝AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合），连接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．（1）若AC＝4，求⊙O的半径；（2）写出DA、DB、DC之间的关系，并证明．解：（1）如图1，连接OC，OA，BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠ADC＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝4；（2）CD+BD＝AD，理由如下：延长DB到点E，使BE＝DC，连接AE，如图2∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，BE＝CD，∵∴△ABE≌△ACD（SAS）∴AE＝AD，∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∴∠ADE＝∠E＝30°，∴∠DAE＝120°，∴DE＝AD即：BD+CD＝AD．7．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是上一点，（1）填空：∠APC＝60度，∠BPC＝60度；（2）若⊙O的半径为4，求等边△ABC的面积；（3）求证：PA+PB＝PC．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，故答案为：60，60；（2）如图1，连接OB，则OB＝4，过点O作OD⊥BC于D，∴BD＝BC，连接AD，则AD过点O，∴OA＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠OBD＝∠ABC＝30°，在Rt△ODB中，OD＝OB＝2，根据勾股定理得，BC＝2，∴BC＝2BD＝4，∴等边△ABC的面积为BD•AD＝BD（OA+OD）＝××6＝12；（3）证明：如图，在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵PF＝PB，∠BPC＝∠BAC＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA＝FC，∴PA+PB＝PF+FC＝PC．8．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连接BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度．（1）证明：∵，∴CD＝BD，∵∠CDB＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BD，在线段CE上取点F，使得EF＝AE，连接DF，∵DE⊥AC，∴DF＝DA，∴∠DFE＝∠DAE，∵＝，∴CD＝BD，∠DAC＝∠DCB，∴∠DFE＝∠DCB，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFC＝∠DAB，∵在△CDF和△BDA中，∴△CDF≌△BDA（AAS），∴CF＝AB＝5，∵AC＝7，AB＝5，∴AE＝AF＝（AC﹣CF）＝1．9．阅读理解：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD ＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∴M是弧ABC的中点，∴MA＝MC……．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝4，BC＝3，点D为弧AC上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，△BDC的周长为3+4.（直接写出结果）（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中，，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB，∴由（1）的结论得，BE＝DE+CD，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝4，∴BE＝2，∴DE+CD＝2，∴则△BDC的周长是BC+BD+CD＝BC+BE+DE+CD＝3+4．故答案为：3+4．10．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．（1）证明：连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD⊥AB，∴△ABD是等腰三角形，∴AE＝BE；（2）证明：延长DB、AP相交于点F，连接AD，∵C是劣弧AB的中点，CD⊥PA，由（1）可知，AE＝EF，AD＝DF，∴∠F＝∠PAD，∵A、D、B、P四点共圆，∴∠FPB＝∠ADB，∴∠FBP＝∠F，∴BP＝PF，∴AE＝EP+PF＝EP+BP；（3）解：AE＝PE﹣PB，理由如下：连接AD、AB、DB与AP相交于F点，∵C是优弧AB的中点，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD⊥PA，∴∠DEA＝∠DEF＝90°，∠ADE＝∠FDE，∴△DAE≌△DFE（ASA），∴AD＝DF，AE＝EF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DFA＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，∴∠PFB＝∠PBF，∴FP＝BP，∴AE＝PE﹣PB．11．在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．（1）如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP ＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？（3）如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD的值？＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF解：（1）如图1，连接OM，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∵MN∥AC，∴OM⊥MN，∵OM为⊙O的半径，∴MN为⊙O的切线；（2）如图2，连接OM交AC于K，连结AM，∵M是的中点，∴＝，∴AM＝CM＝c，∵AP⊥BM，∴∠APM＝∠APB＝90°，∴AP2＝AM2﹣PM2＝c2﹣b2，∴AB2＝AP2+BP2＝c2﹣b2+a2，∴AC＝AB＝，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∴AK＝CK＝AC＝，∵∠APB＝∠CKM＝90°，∠ABP＝∠MCK，∴△ABP∽△MCK，∴＝，∴BP•CM＝CK•AB，∴ac＝•，∴2ac＝c2﹣b2+a2，∴（a﹣c）2﹣b2＝0，∴（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，∵a+b﹣c＞0，∴a﹣b﹣c＝0，∴a＝b+c；（3）过点B作BH∥AC，过点D作DH∥BC，BH与DH交于点H，连接CH，则∠BDH＝∠ABC＝60°，∠DBH＝∠ACB＝60°，∴△BDH是等边三角形，∴BH＝BD，∠DBH＝60°，∴BH＝CE，∠CBH＝∠ABC+∠DBH＝60°+60°＝120°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠CBH，AC＝BC，∴△ACE≌△CBH（SAS），∴∠CAE＝∠BCH，AE＝CH，∵DH∥BC，DH＝CE，∴四边形CEDH是平行四边形，∴CE∥ED，CH＝ED，∴∠BCH＝∠BED，CH＝AE，∴∠BED＝∠CAE，AE＝ED，过点E作ET⊥AB于点T，交AC于点L，连接DL，则AT＝TD＝AD，AL＝DL，∵∠BAC＝60°，∴△ADL是等边三角形，∴∠ALD＝60°＝∠ACB，∴DL∥BC，即HD与DL在同一直线上，∴四边形BCLH是平行四边形，∴CL＝BH＝BD＝CE，LH＝BC，设CE＝x，则CL＝x，BC＝AC＝5﹣x，AD＝DL＝AL＝AC﹣CL＝5﹣2x，AT＝，∵DF∥CH，∴＝，即＝，∴LF＝，∴AF＝AL+LF＝5﹣2x+＝，在Rt△BET中，ET＝BE•sin60°＝，∵AE2＝AT2+ET2，∴AE2＝（）2+（）2＝x2﹣5x+25，延长BH，ED交于点R，则∠RHD＝∠FCE，∠R＝∠CFE，DH＝CE，∴△HDR≌△CEF（AAS），∴DR＝EF，∴ER＝ED+DR＝AE+EF＝9﹣AF＝9﹣＝，∵CH∥ED，∴＝，∴CH＝•ER＝×＝，∴AE＝，∴x2﹣5x+25＝（）2，解得：x1＝5（舍去），x2＝，∴AD＝5﹣2×＝，AF＝＝10﹣＝2，作DM⊥AL于点M，则DM＝AD•sin60°＝×＝，＝S△ADE﹣S△ADF＝AD•ET﹣AF•DM＝××﹣×2×＝∴S△AEF．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴于C，D两点，其中A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）．（1）求圆心M的坐标；（2）点P为上任意一点（不与A、D重合），连接PC，PD，作AE⊥DP的延长线于点E．当点P在上运动时，的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请说明理由．（3）如图2，若点Q为直线y＝﹣1上一个动点，连接QC，QO，当sin∠OQC的值最大时，求点Q的坐标．解：（1）∵A（﹣4，0），B（1，0），MA＝MB，∴M（﹣1.5，0）．（2）结论：的值不变．理由：如图1中，连接AC，BC，BD，PA，PB，作AH⊥PC于H，在PC上截取一点K，使得PK＝PD，连接BK．∵AB⊥CD，AB是直径，∴OC＝OD，＝，∴∠BPD＝∠BPK，∵PK＝PD，PB＝PB，∴△PBD≌△PBK（SAS），∴BD＝BK＝BC，以B为圆心，BC为半径作⊙B，∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴AC是⊙B的切线，∴∠ACH＝∠CDK，∵∠AHC＝∠AOC＝90°，∴A，H，O，C四点共圆，∴∠ACH＝∠AOH，∠OAH＝∠KCD，∴∠AOH＝∠CDK，∵A（﹣4，0），C（0，2），∴OA＝4，OC＝OD＝2，∴OA＝CD＝4，∴△AOH≌△CDK（ASA），∴AH＝CK，∴PC﹣PD＝PC﹣PK＝CK＝HA，∵∠APE+∠APD＝180°，∠APD+∠ABD＝180°，∴∠APE＝∠ABD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠ABD＝∠APC，∴∠APE＝∠APC，∵AE⊥PE，AH⊥PC，∴AH＝AE，∴＝1．（3）如图2中，作线段OC的垂直平分线GF交OC于G，以N为圆心，NC为半径作⊙N，当⊙N与直线y＝﹣1相切于点Q时，∠CQO的值最大，此时sin∠CQO的值最大．∵∠NQH＝∠QHG＝∠NGH＝90°，∴四边形NQHG是矩形，∴NQ＝HG＝NC＝2，在Rt△NCG中，NG＝QH＝＝，∴Q（﹣，﹣1）．根据对称性可知，当Q（，﹣1）时，也满足条件．综上所述．满足条件的点Q坐标为（﹣，﹣1）或（，﹣1）．13．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①相等的弧所对的弦相等，②同弧所对的圆周角相等，③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝1；【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．【问题呈现】①相等的弧所对的弦相等②同弧所对的圆周角相等③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；【理解运用】CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1；【变式探究】DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；【实践应用】如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的长为7或．14．先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF＝BE+DF．证明思路：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB 与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，点F、D、E′是一条直线．根据SAS，得证△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．（1）特例应用如图1，命题中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长．（2）类比变式如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论．（3）拓展深入如图4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB＝AD，M、N是⊙O上的两点，∠MAN ＝∠BAD．①如图5，连接MB、MD，MD与AN交于点H，求证：MH＝BM+DH，DM⊥AN；②若点C在（点C不与点A、D、N、M重合）上，连接CB、CD分别交线段AM、AN或其延长线于点E、F，直接写出EF、BE、DF之间的等式关系．解：（1）如图1，设正方形ABCD的边长为x，则有CE＝x﹣2，CF＝x﹣3．由材料可知：EF＝BE+DF＝2+3＝5．在Rt△CEF中，∵∠C＝90°，∴CE2+CF2＝EF2．∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52．解得：x1＝6，x2＝﹣1（舍去）所以正方形ABCD的边长为6．（2）EF＝BE﹣DF．理由如下：在BC上取一点F′，使得BF′＝DF．连接AF′，如图3．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°．∴∠ADF＝90°＝∠B．在△ABF′和△ADF中，．∴△ABF′≌△ADF（SAS）．∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF．∴∠F′AF＝∠BAD＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠F′AE＝45°＝∠FAE．在△F′AE和△FAE中，．∴△F′AE≌△FAE（SAS）．∴F′E＝FE．∴EF＝F′E＝BE﹣BF′＝BE﹣DF．（3）①延长MD到点M′，使得DM′＝BM，连接AM′，如图5．∵∠ADM′+∠ADM＝180°，∠ABM+∠ADM＝180°，∴∠ABM＝∠ADM′．在△ABM和△ADM′中，．∴△ABM≌△ADM′（SAS）．∴AM＝AM′∠BAM＝∠DAM′．∴∠MAM′＝∠BAD．∵∠MAN＝∠BAD，∴∠MAN＝∠MAM′．∴∠MAN＝∠M′AN．∵AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，∴MH＝M′H，AH⊥MM′．∴MH＝M′H＝DM′+DH＝BM+DH，DM⊥AN．②Ⅰ．当点C在上时，如图6、7．同理可得：EF＝BE+DF．Ⅱ．当点C在上时或点C在高于点D时，如图8．同理可得：EF＝DF﹣BE．。

阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！你们知道吗？这个名字来源于古希腊的伟大科学家阿基米德，他可是解决了无数难题呢！那么，阿基米德三角形到底是个啥东西呢？别着急，我们一起来揭开它的神秘面纱吧！咱们来简单介绍一下阿基米德三角形。

它是一个特殊的三角形，每条边上的三个顶点都在一个圆上。

这个圆心就是三角形的重心。

你们可能听过一个成语叫做“百折不挠”，其实就是形容阿基米德三角形的特点。

因为无论你怎么旋转这个三角形，它的形状都不会改变，永远都是一个特殊的三角形。

现在，我们来说说阿基米德三角形的一些常用结论。

第一个结论是：阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径。

这个结论有点儿难理解，我们来举个例子说明一下。

假设我们有一个阿基米德三角形ABC,其中AB=AC=3,BC=4。

我们可以用勾股定理求出这个三角形的高AD=√(AC^2-CD^2)=√5。

接下来，我们用正弦定理求出外接圆的半径R:R=√(AD^2+BD^2)/2=(√5+2)/2。

然后，我们用面积公式求出内切圆的半径r:S=1/2(BC+AC+AB)*r=1/2*9*r,解得r=(4-√5)/2。

所以，阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径，都等于(4-√5)/2。

第二个结论是：阿基米德三角形的周长等于三条边的和。

这个结论很简单，因为周长就是三条边的长度之和嘛！所以，如果我们知道一条边AB的长度，那么另外两条边的长度之和就等于AB。

这就像我们在生活中遇到的一些问题一样，只要知道了一部分信息，就能推导出其他的信息。

接下来，我们来说说阿基米德三角形的一个重要性质：当一个角的对边与另一个角的邻边成比例时，这两个角相等。

这个性质有时候在解决几何问题时非常有用。

比如，我们知道一个角的对边与另一个角的邻边成比例，那么我们就可以用正弦定理求出这两个角的大小。

具体方法是：设这两个角分别为A和B,那么根据正弦定理，有sin(A)/sin(B)=对边/邻边。

阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。

阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB·BC.。

阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。

阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。

这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。

这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。

2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。

具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。

这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。

3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。

海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。

阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。

4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。

这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。

比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。

具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。

5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。

比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。

圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦模型、米勒最大张角(视角)模型、弧中点模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。

折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

【模型证明】方法1.:补短法如图，延长DB 至F ，使BF =BA∵M 是ABC 的中点∴∠MCA =∠MAC =∠MB C ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA +∠MB A =180°∵∠MB C +∠MB F =180°∴∠MB A =∠MB F ∵MB =MB ,BF =BA∴△MB F ≌△MB A ∴∠F =∠MAB =∠MCB∴MF =MC ∵MD ⊥CF∴CD =DF =DB +BF =AB +BD 方法2.截长法如图，在CD 上截取DG =DB∵MD ⊥BG∴MB =MG ，∠M GB =∠MB C =∠MAC ∵M 是ABC 的中点∴∠MAC =∠MCA =∠MGB 即∠M GB =∠MCB +∠BCA =∠MCB +∠BMA又∠M GB =∠MCB +∠GMC∴∠BMA =∠GMC ∵MA =MC∴△MB A ≌△MGC (SAS )∴AB =GC ∴CD =CG +GD =AB +BD方法3.垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

∵M 是ABC 的中点∴MA =MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H∵∠MAB =∠MCB ∴△MHA ≌△MDC (AAS )∴AH =CD ，MH =MD又∵MB =MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB (HL )∴HB =BD ∴CD =AH =AB +BH =AB +BD例1.(2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．其部分证明过程如下：证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∵∠A =∠C ，∴△MAB ≌△MCG (SAS )，∴MB =MG ，⋯⋯任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，DE =7，则O 到DE 的距离是____________，O 到AC 的距离是____________，⊙O 的半径是____________．变式1.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =______；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =______________．变式2.(2022秋·江苏泰州·九年级统考期中)早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ACB 是圆的一条折弦)，BC >AC ，M 是ACB的中点，过点M 作MD ⊥BC ，垂足为D ，小明通过度量AC 、CD 、DB 的长度，发现点D 平分折弦ACB ，即BD =AC +CD ．小丽和小军改变折弦的位置发现BD =AC +CD 仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”(如图2)，在BD 上㵶取BE ，使得BE =AC ，⋯⋯小丽则采用了“补短法”(如图3)，延长BC 至F ，使CF =AC ，⋯⋯小明采用了“平行线法”(如图4)，过M 点作ME ∥BC ，交圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，⋯⋯(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC 内接于⊙O (A 、B 、C 均是格点)，点A 、D 关于BC 对称，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CE ．①请用无刻度的直尺作直线l ，使得直线l 平分△BCE 的周长；②求△BCE 的周长．变式3.(2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德(公元前287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al -Binmi (973年一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD =AB +BD ，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ，⋯(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD ，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，则AE 的长度为_________；(3)如图4，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =8，D 为AC上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，求△BDC 的周长．模型2.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

数学定理列表数学定理列表（按字母顺序排列）A阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔—鲁菲尼定理指出，五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

阿蒂亚-辛格指标定理阿蒂亚-辛格指标定理断言：对于紧流形上的椭圆偏微分算子，其解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于曲面的拓扑性状）。

它涵摄了微分几何中许多大定理，在理论物理学中亦有应用。

阿贝尔定理设为一幂级数，其收敛半径为R。

若对收敛圆（模长为R 的复数的集合）上的某个复数z0，级数收敛，则有: 。

若收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

安达尔定理（阿姆达尔定律）是固定负载（计算总量不变时）时的量化标准。

可用公式：来表示。

式中Ws,Wp分别表示问题规模的串行分量（问题中不能并行化的那一部分）和并行分量，p表示处理器数量。

阿贝尔二项式定理。

阿贝尔曲线定理艾森斯坦定理奥尔定理阿基米德中点定理阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。

若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB阿基米德原理指对于任何正实数a、b，如果a < b，则存在自然数n，有。

阿基米德公理亦可表述为如下的现代记法：对于任何实数x，存在自然数n有n > x。

在体论中，这叙述称为阿基米德公理。

在现代实分析中，这不是一个公理。

它退却为实数具完备性的结果。

基于这理由，常以实数的阿基米德性质的叫法取而代之。

埃尔布朗定理在谓词演算中，一个公式是前束范式的，如果它可以被写为量词在前，随后是被称为矩阵的非量化部分的字符串。

所有一阶公式都逻辑等价于某个前束范式公式。

可以用公式在如下重写规则下的逻辑等价来证实：它们的存在对偶：这里的x 在Q 中是自由的，并注意通过这些规则的持续应用所有量词都可以移动到公式的前面。

阿达马三圆定理在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。