第二章 曲面论

第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面7 ={ u cosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.解 u-曲线为 r={u cosv o ,u sin v o ,bv o }= {0,0 , bv °} + u { cosv o , sin v °,0}，为曲线的直母线；v- 曲线为?={u o cosv , U o sinv,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为 r={ a (u+v o ) , b (u- v o ) ,2u v o }={ a v °, b v °,0}+ u{a,b,2 v o }表示过点{ a v °, b v °,0} 以{a,b,2 v o }为方向向量的直线；v-曲线为 r = {a ( u o +v ) , b ( u o -v ) ,2 u o v } = {a u °, bu o ,0 } +v{a,-b,2 u o }表示过点(a u o , bu o ,0)以｛a,-b,2 u o ｝为方向向量的直线3. 求球面r=｛acos ；：sin , a cos' sin :, asi n ；：｝上任意点的切平面和法线方程。

解 r 、={—asin 、：cos ；—asin ；sin 「，acos ：} , r .：={—acos ； sin :, acos L cos ,0}即 xcos : cos + ycos : sin + zsin 二-a = 0 x - a cos 、： cos : _ y - a cos ：： sin : _ z - a sin 二 cos 、： cos ： cos 、： sin ' sin 二2 24 .求椭圆柱面 务•岭=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面a bx 「a cos 、： cos ‘ 任意点的切平面方程为 -a sincos :-a cos 二 sin :y -a cos ；： sin ‘ -asin 二 sin : z - a s in 9 a cos^ = 0法线方程为§2曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的第一基本形式 解 r u ={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =打=a 2 b 2 4v 2,F = r u r v = a 2- b 24uv, G = r v 2二 a 2b 24u 2,1 = (a 2b 24v 2)du 22(a 2-b 24uv)dudv (a 2b 24u 2)dv 2。

第二章曲面论伪球面一、曳物线(tractrix)从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。

直线l为其渐近线。

我们首先定义O x z平面上的曳物线如下：定义如果曲线C上任意一点P 的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值a,则称曲线C为曳物线。

z轴称为曳物线的渐近线。

下面我们来推导曳物线的方程，设它的方程为()z z x = 。

曲线上一点(,)P x z 处的切线方程为 ()()Z z z x X x '-=-，切线z 轴的交点为(0,())Q z z x x '-， 因为||PQ a =，所以 222(())x z x x a '+=，由此得出()z x x'=±，dz dx x =± ， 令sin x a t =， 则2cos 1sin cos sin sin a t t dz a tdt a dt a t t -=±⋅=±1(sin )sin a t dt t =±-21(sin )2tan cos 22a t dt t t =±-，于是(ln tan cos )2t z a t =±+ 。

因此，Oxz 平面上以z 轴为渐近线的曳物线方程是sin (ln tan cos )2x a t t z a t =⎧⎪⎨=±+⎪⎩ 。

二、 伪球面由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。

这种曲 面的全曲率在每一点都是常数且是负的。

位于此曲面上的直线与平行公设不一致。

因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。

曳物线绕其渐近线旋转一周而得到的曲面。

1868年意大利数学家贝尔特拉米首先提出伪球面可作为实现双曲几何的模型，从而促使非欧几何得到普遍承认。

如果把上述曳物线z 轴旋转， 所得的旋转曲面称为伪球面，它的参数表示是sin cos ,sin sin ,(ln tan cos ).2x a t y a t t z a t θθ=⎧⎪⎪=⎨⎪=±+⎪⎩对旋转曲面(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=， 第一基本形式是22222()()[(())(())]()x t d x t z t dt θ''I =++， 高斯曲率是222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+。

第二章 曲面论 §1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为 ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第二章 曲面论第四节 曲面面积1、 正则曲面的概念设曲面∑有向量方程),(v u r r =，其中∆∈),(v u ，∆是2R 中的一个区域。

也就是说，有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，如果∆与曲面∑上的点有一一对应关系，且)(),(1∆∈=C v u r r ，0|≠⨯v u r r ，∆∈),(v u ，则称∑为正则曲面。

2、正则曲面面积的定义设正则曲面∑有参数向量方程表示),(v u r r =，∆∈),(v u 。

我们来定义曲面∑的面积。

用u 曲线和v 曲线把曲面∑分成小块。

每一小块在曲面的切平面上的投影的面积可以近似地表示为||||v r u r v u ∆⨯∆ v u r r v u ∆∆⨯=||||，这样，和式v u r r v u ∆∆⨯∑|||| 就可当作∑的面积的近似值。

加密u 曲线和v 曲线，通过极限过程，我们就把此极限值定义为曲面∑的面积。

定义 设正则曲面∑有参数向量方程表示),(v u r r =，∆∈),(v u ,我们称 dudvr r v u ||||)(⨯=∑⎰⎰∆σ，为曲面∑的面积，并且记 dudv r r d v u ||||⨯=σ，称σd 为曲面的面积元素，简称面元。

特别地，平面图形的面积： 设D 是xy平面上的区域，参数方程)0,,(),(y x y x r r ==,其中D y x ∈),(.这时)0,0,1(=x r ,)0,1,0(=y r ,从而)1,0,0(=⨯y x r r ,dxdy dxdy r r d y x =⨯=||||σ则dy dx D D⎰⎰=)(σ。

这正是我们在过去给出的平面图形面积的定义.这说明,一般曲面面积的定义与过去已经给出的平面图形面积的定义没有冲突。

3、曲面面积的几种计算公式（1）设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ， 由于),,(u z u y u x r u ∂∂∂∂∂∂=，),,(vz v y v x r v ∂∂∂∂∂∂=，v u r r ⨯v x v x v xu z u y u x k j i∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=k v u y x j v u x z i v u z y ),(),(),(),(),(),(∂∂+∂∂+∂∂=，于是dudv v u y x v u x z v u z y 21222])),(),(()),(),(()),(),([()(∂∂+∂∂+∂∂=∑⎰⎰∆σ；（2）设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，由于),(sin ||||||||||||2222v u v u v u r r r r r r =⨯),(cos ||||||||||||||||22222v u v u v u r r r r r r -=222),(||||||||v u v u r r r r -=，记 2222)()()(||||u z u y u x r E u ∂∂+∂∂+∂∂==， v u r r F ⋅=),,(uz u y u x ∂∂∂∂∂∂=),,(v z v y v x ∂∂∂∂∂∂⋅u y v x u x ∂∂+∂∂∂∂=v zu z v y∂∂∂∂+∂∂，2222)()()(||||v z v y v x r G v ∂∂+∂∂+∂∂==，从而，有2||||F EG r r v u -=⨯， 于是dudvF EG ⎰⎰∆-=∑2)(σ。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。