[推荐]备考高考数学二轮复习选择填空二十新定义类创新题理

第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决).热点考向探究考向1 新定义型问题例1 (1)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于∀(x 1，y 1)∈M ，∃(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：M 1＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}；M 2＝{(x ，y )|y ＝ln x }；M 3＝{(x ，y )|y ＝e x }；M 4＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．M 1B ．M 2C ．M 3D ．M 4 答案 D解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线上的两点，对于集合M 1，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝x 22＋1＝0不成立，所以集合M 1不是“互垂点集”．对于集合M 2，x >0，当x 1＝1时，y 1＝0，x 1x 2＋y 1y 2＝x 2＝0不成立，所以集合M 2不是“互垂点集”．对于集合M 3，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝e x 2＝0不成立，所以集合M 3不是“互垂点集”．排除A ，B ，C.故选D.(2)(2020·湖南省郴州市高三一模)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“凸函数”．已知f (x )＝e x －x ln x －m 2x 2在(1，4)上为“凸函数”．则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2e －1]B ．[e －1，＋∞)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 4－14，＋∞ D ．(e ，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )＝e x －x ln x －m 2x 2在(1，4)上为“凸函数”，∴f ′(x )＝e x －ln x －mx－1，∴f ″(x )＝e x －1x －m <0在(1，4)上恒成立，∵f ″(x )＝e x －1x －m 在(1，4)上单调递增，∴f ″(x )<e 4－m －14，∵f ″(x )<0恒成立，∴e 4－m －14≤0，∴m ≥e 4－14.故选C.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．定义两个实数间的一种新运算：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b ＋c)，其中正确的是()A．②B．①②C．②③D．①②③答案 D解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b ＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确．所以正确的是①②③，故选D.考向2创新型问题例2(2020·山东省济南市模拟)已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O′，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE＝3.若光线与地面所成的角为θ，则sin θ＝________，椭圆的离心率e＝________．答案453 5解析 连接OO ′，在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即b ＝4，由图可知∠O ′AB ＋∠O ′BA ＝12(∠A ′AB ＋∠B ′BA )＝12×180°＝90°，可得∠AO ′B＝90°，由O 是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，在直角三角形O ′OE 中，OO ′2＝OE 2＋O ′E 2＝32＋42＝52，即a ＝5，e ＝c a ＝35，sin θ＝O ′E O ′O ＝45.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意认真审题，深刻理解题意，开阔思路，发散思维，注意知识的迁移和综合运用．在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2，2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值为( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知，得1⊕x ＝⎩⎨⎧1（x ≤1），x 2（x >1）， 2⊕x ＝⎩⎨⎧2（x ≤2），x 2（x >2），所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2（x ≤1），x 3－2（1<x ≤2），x 3－x 2（x >2）， 可求出当x ≤1时，函数f (x )的最大值是－1；当1<x ≤2时，函数f (x )的最大值是6.所以当x ∈[－2，2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值为6，选C.考向3 实际应用型问题例3 (2020·辽宁省渤大附中、育明高中高三五模)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为( )A ．a (1＋r )17B ．a r [(1＋r )17－(1＋r )]C ．a (1＋r )18D ．a r [(1＋r )18－(1＋r )]答案 D解析 根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为a (1＋r )17，同理，孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为a (1＋r )16，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为a (1＋r )15，…，孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为a (1＋r )，可以看成是以a (1＋r )为首项，(1＋r )为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数S ＝a (1＋r )17＋a (1＋r )16＋…＋a (1＋r )＝a （1＋r ）[（1＋r ）17－1]1＋r －1＝a r [(1＋r )18－(1＋r )].故选D. 求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解题意，并译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x 的函数关系为L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数).记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元B ．2元C ．3元D ．4元答案 D解析 由题意得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎨⎧L （4）＝2.125，L （20）＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝18， 所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20. 故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x 8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x 8在区间(4，16]上单调递减，在区间[16，20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69 答案 C解析 因为I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53），所以I (t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则e 0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln 19≈3，解得t *≈30.23＋53≈66.故选C.2．(2020·新高考卷Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案 B解析 因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28－16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e0.38(t ＋t 1)＝2e 0.38t ，所以e0.38t 1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8天．故选B.3．(2020·全国卷Ⅱ)0～1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈{0，1}(i ＝1，2，…)，且存在正整数m ，使得a i ＋m ＝a i (i ＝1，2，…)成立，则称其为0～1周期序列，并称满足a i ＋m ＝a i (i ＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m 的0～1序列a 1a 2…a n …，C (k )＝1m ∑mi ＝1a i a i ＋k (k ＝1，2，…，m －1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0～1序列中，满足C (k )≤15(k ＝1，2，3，4)的序列是( )A.11010…B ．11011…C ．10001…D ．11001…答案 C解析 由序列的周期为5，知m ＝5，C (k )＝15∑5i ＝1a i a i ＋k (k ＝1，2，3，4)，对于A ，C (1)＝15∑5i ＝1a i a i ＋1＝15(a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 5＋a 5a 6)＝15×(1＋0＋0＋0＋0)＝15，C (2)＝15∑5i ＝1a i a i ＋2＝15(a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋a 4a 6＋a 5a 7)＝15×(0＋1＋0＋1＋0)＝25，不满足题意；对于B ，C (1)＝15∑5i ＝1a i a i ＋1＝15(a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 5＋a 5a 6)＝15×(1＋0＋0＋1＋1)＝35，不满足题意；对于D ，C (1)＝15∑5i ＝1a i a i ＋1＝15(a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋a 4a 5＋a 5a 6)＝15×(1＋0＋0＋0＋1)＝25，不满足题意．故选C.4．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X ＝i )＝p i >0(i ＝1，2，…，n )，∑i ＝1np i ＝1，定义X 的信息熵H (X )＝－∑i ＝1np i log 2p i ( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p 1的增大而增大C ．若p i ＝1n (i ＝1，2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m )，则H (X )≤H (Y )答案 AC解析 对于A ，若n ＝1，则i ＝1，p 1＝1，所以H (X )＝－(1×log 21)＝0，所以A 正确；对于B ，若n ＝2，则i ＝1，2，p 2＝1－p 1，所以H (X )＝－[p 1·log 2p 1＋(1－p 1)·log 2(1－p 1)]，当p 1＝14时，H (X )＝－⎝⎛⎭⎪⎫14·log 214＋34·log 234，当p 1＝34时，H (X )＝－⎝⎛⎭⎪⎫34·log 234＋14·log 214，两者相等，所以B 错误；对于C ，若p i ＝1n (i ＝1，2，…，n )，则H (X )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ·log 21n ·n ＝－log 21n ＝log 2n ，则H (X )随着n 的增大而增大，所以C 正确；对于D ，若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1，2，…，m ).H (X )＝－∑i ＝12m p i ·log 2p i ＝∑i ＝12m p i ·log 21p i ＝p 1·log 21p 1＋p 2·log 21p 2＋…＋p 2m －1·log 21p 2m －1＋p 2m ·log 21p 2m .H (Y )＝(p 1＋p 2m )·log 21p 1＋p 2m＋(p 2＋p 2m －1)·log 21p 2＋p 2m －1＋…＋(p m ＋p m ＋1)·log 21p m ＋p m ＋1＝p 1·log 21p 1＋p 2m＋p 2·log 21p 2＋p 2m －1＋…＋p 2m －1·log 21p 2＋p 2m －1＋p 2m ·log 21p 1＋p 2m，因为p i >0(i ＝1，2，…，2m )，所以1p i >1p i ＋p 2m ＋1－i ，所以log 21p i >log 21p i ＋p 2m ＋1－i，所以p i ·log 21p i >p i ·log 21p i ＋p 2m ＋1－i，所以H (X )>H (Y )，所以D 错误．故选AC. 5．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12 cm ，DE ＝2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________ cm 2.答案 4＋5π2解析 设OB ＝OA ＝r ，如图，过点A 作直线DE 和EF 的垂线，垂足分别为M ，N ，AN 交CG 于点P .由题意知AM ＝AN ＝7，EF ＝12，所以NF ＝5，又因为DE ＝2，所以AP ＝5，则AP ＝PG ＝NF ＝5，所以∠AGP ＝45°，因为BH ∥DG ，所以∠AHO ＝45°，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA ⊥AG ，即△OAH 为等腰直角三角形.在Rt △OQD 中，OQ ＝5－22r ，DQ ＝7－22r ，因为tan ∠ODC ＝OQ DQ ＝35，所以21－322r ＝25－522r ，解得r ＝22，所以等腰直角三角形OAH 的面积为S 1＝12×22×22＝4，扇形AOB 的面积为S 2＝12×3π4×(22)2＝3π，所以阴影部分的面积为S 1＋S 2－12π×12＝4＋5π2.『金版押题』6．已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n 2020(n ∈N *，n ≤2020)，设直线x ＝2与E n在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，记△A n B n C n 的面积为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2020＝________．答案 20218解析 设A n (x 0，y 0)，可得x 20－y 20＝n 2020.双曲线E n ：x 2－y 2＝n2020(n ∈N *，n ≤2020)的渐近线方程分别为x －y ＝0，x＋y ＝0.由点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，不妨设B n 在第一象限内，可得|A n B n |＝|x 0－y 0|2，|A n C n |＝|x 0＋y 0|2，易知双曲线E n 的两条渐近线互相垂直， 可得A n B n ⊥A n C n ，则△A n B n C n 的面积a n ＝12|A n B n |·|A n C n |＝12·|x 0－y 0|2·|x 0＋y 0|2＝x 20－y 204＝18080n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2020＝18080×12×2020×2021＝20218.专题作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2．(2020·山东省济南市二模)任何一个复数z ＝a ＋b i(其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n cos n θ＋isin n θ(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“m 为偶数”是“复数⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4m 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4m ＝cos m π4＋isin m π4为纯虚数，故cos m π4＝0且sin m π4≠0，故m ＝2＋4k ，k ∈Z ，故“m 为偶数”是“m ＝2＋4k ，k ∈Z ”的必要不充分条件．故选B.3．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.4．对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cos A sin A 1＝cos B sin B 1＝cos Csin C 1＝1，则称△ABC为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足( )A ．有一个内角为30°B ．有一个内角为45°C ．有一个内角为60°D ．有一个内角为75°答案 B解析 由对称性，不妨设A 1和B 1为锐角，则A 1＝π2－A ，B 1＝π2－B ，所以A 1＋B 1＝π－(A ＋B )＝C ，于是cos C ＝sin C 1＝sin (A 1＋B 1)＝sin C ，即tan C ＝1，解得C ＝45°，故选B.5．(2020·河北省石家庄市一模)设符号min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，则下列结论正确的是( )A ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x －2)>f (x )B ．∀x ∈[1，＋∞)，f (x －2)>f (x )C ．∀x ∈R ，f (f (x ))≤f (x )D ．∀x ∈R ，f (f (x ))>f (x ) 答案 C解析 如图所示，由题意可得，A 中，f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，|x －2|，x ∈（1，＋∞）.B 中，当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x －2)＝f (2－x )≤2－x ＝f (x )， 当2<x ≤3时，0<x －2≤1，f (x －2)≤x －2＝f (x )，当3<x ≤4时，1<x －2≤2，f (x －2)＝2－(x －2)＝4－x <x －2＝f (x )，当x ≥4时，x －2≥2，恒有f (x －2)<f (x )，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤x ，令t ＝f (x )，则t ≥0，所以f (t )≤t ，即f (f (x ))≤f (x )，故C 正确，D 不正确．故选C.6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＝e x 1－a ，y 2＝e x 2－a ，因为关于原点对称，所以e x 1－a ＝－e x 2＋a ，即2a ＝e x 1＋e x 2≥2e x 1·e x 2＝2e 0＝2，因为x 1≠x 2，所以a >1，故选B.7．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin (x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b ，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，－1≤f (x )＝sin (x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.8．(2020·湖南省衡阳市高三一模)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y (单位：万元)随经营利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是( )(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A ．y ＝0.04x B ．y ＝1.015x －1 C ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1D ．y ＝log 11(3x －10)答案 D解析 对于函数y ＝0.04x ，当x ＝100时，y ＝4>3不符合题意；对于函数y ＝1.015x －1，当x ＝100时，y ≈3.432>3不符合题意；对于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1，不满足递增，不符合题意；对于函数y ＝log 11(3x －10)，满足当x ∈(6，100]时是增函数，且y ≤log 11(3×100－10)＝log 11290<log 111331＝3，结合如下图象，符合题意，故选D.9．若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知a ＝2 时有两个解．10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0，1)，B (0，－1)，C (1，0)，D (1，1)，E (－1，0)，F (－1，1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，当y ≤0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.11．(2020·山东省青岛市高三期中)英国数学家泰勒发现了如下公式：cos x ＝1－x 21×2＋x 41×2×3×4－x 61×2×3×4×5×6＋….则下列数值更接近cos 0.4的是( )A ．0.91B ．0.92C ．0.93D ．0.94答案 B解析 由题知cos x ＝1＋(－1)1x 21×2＋(－1)2·x 41×2×3×4＋(－1)3x 61×2×3×4×5×6＋…＋(－1)nx 2n （2n ）！. 题设要求精确到0.01即可，当n 为奇数时，由于1－0.421×2＝1－0.08＝0.92，0.441×2×3×4－0.461×2×3×4×5×6>0，所以cos 0.4＝1－0.421×2＋0.441×2×3×4－0.461×2×3×4×5×6＋…>0.92；当n 为偶数时，由于1－0.421×2＋0.441×2×3×4<0.922，－0.461×2×3×4×5×6＋0.481×2×3×4×5×6×7×8<0， cos0.4＝1－0.421×2＋0.441×2×3×4－0.461×2×3×4×5×6＋0.481×2×3×4×5×6×7×8＋…<0.922.综上所述，cos 0.4≈0.92，故选B.12．(多选)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着的结构为数学模型y ＝B cos ωβ，y ＝k β＋b ，人体肺部结构中包含y ＝A sin ωβ，y ＝ln β的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为f (β).则下列结论正确的是( )A ．若12＋f （β）－[f （β）]2＝f (β＋a )(a >0)，则f (β)为周期函数 B ．对于∀β∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，sin ββ的最小值为2πC ．若f (β)＝a sin (1－β)＋ln β在区间(0，1)上是增函数，则a ≤0D ．若f (β)＝sin (πβ＋φ)－2cos (πβ＋φ)，0<φ<π，满足f (β＋1)＝f (1－β)，则sin 2φ＝－45答案 ABD 解析12＋f （β）－[f （β）]2＝f (β＋a )， 则f (β)－[f (β)]2＝14－f (β＋a )＋[f (β＋a )]2，f (β＋a )－[f (β＋a )]2＝14－f (β)＋[f (β)]2，代换整理得[f (β＋2a )＋f (β)－1][f (β＋2a )－f (β)]＝0， 若f (β＋2a )＝f (β)，则f (β)为周期函数；若f (β＋2a )＋f (β)－1＝0，则f (β＋4a )＋f (β＋2a )－1＝0，f (β＋4a )＝f (β)，则f (β)为周期函数，A 正确；设g (β)＝sin ββ，故g ′(β)＝βcos β－sin ββ2，设h (β)＝βcos β－sin β，故h ′(β)＝－βsinβ<0，β∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故h (β)单调递减， 故h (β)<h (0)＝0，则g ′(β)<0，g (β)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减， 故g (β)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2π，B 正确；f (β)＝a sin (1－β)＋ln β在区间(0，1)上是增函数， 则f ′(β)＝－a cos (1－β)＋1β≥0， 即a ≤1βcos （1－β）恒成立，设k (β)＝βcos (1－β)，则k ′(β)＝cos (1－β)＋βsin (1－β)>0，故k (β)在(0，1)上单调递增，故p (β)＝1βcos （1－β）在(0，1)上单调递减，p (1)＝1，故a ≤1，C 错误；f (β)＝sin (πβ＋φ)－2cos (πβ＋φ)＝5sin (πβ＋φ－α)， 其中tan α＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.f (β＋1)＝f (1－β)，即函数图象关于β＝1对称，故π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，即2φ＝－π＋2α＋2k π，k ∈Z ， sin 2φ＝sin (－π＋2α＋2k π)＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－45， 故D 正确．故选ABD. 二、填空题13．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤800，（x －800）×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税448元，现知，某人共纳税420元， ∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.14．设A ，B 是R 上的两个子集，对任意x ∈R ，定义：m ＝⎩⎨⎧0，x ∉A ，1，x ∈A ，n ＝⎩⎨⎧0，x ∉B ，1，x ∈B .(1)若A ⊆B ，则对任意x ∈R ，m (1－n )＝________； (2)若对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则A ，B 的关系为________． 答案 (1)0 (2)A ＝∁R B解析 (1)∵A ⊆B ，则当x ∉A 时，m ＝0，m (1－n )＝0. 当x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m (1－n )＝0. 综上可得m (1－n )＝0.(2)对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即当x ∈A 时，必有x ∉B 或x ∈B 时，必有x ∉A ，∴A ，B 的关系为A ＝∁R B .15．(2020·山东省青岛市高三期中)声强级L 1(单位：dB)由公式L 1＝10lg I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2).(1)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m 2，则其声强级为________dB ； (2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m 2，能听到的最低声强为10－12 W/m 2，则正常人听觉的声强级范围为________dB.答案 (1)60 (2)[0，120]解析 (1)当I ＝10－6 W/m 2时，L 1＝10lg 10－610－12＝10lg 106＝60.(2)当I ＝1 W/m 2时，L 1＝10lg110－12＝10lg 1012＝120，当I ＝10－12 W/m 2时，L 1＝10lg 10－1210－12＝0，则正常人听觉的声强级范围为[0，120] dB.16．(2020·北京市丰台区二模)已知集合P ＝{(x ，y )|(x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝4，0≤θ≤π}．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为(0，1)； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则|CD |＝3＋3；④白色“水滴”图形的面积是11π6－ 3.其中正确的有________．答案 ②③④解析 对于①，方程(x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝4，令x ＝0，得cos 2θ＋y 2－2y sin θ＋sin 2θ＝4，所以2sin θ＝y －3y ，其中θ∈[0，π]，所以sin θ∈[0，1]， 所以y －3y∈[0，2]， 解得y ∈[－3，－1]∪[3，3]. 所以点A (0，3)，点B (0，－1)，点C (0，3)，点D (0，－3)，所以①错误；对于②，由(x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝4，设⎩⎨⎧x ＝2cos α＋cos θ，y ＝2sin α＋sin θ， 则点M 到原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝（2cos α＋cos θ）2＋（2sin α＋sin θ）2＝5＋4cos （α－θ），当α＝θ时，cos (α－θ)＝1，d 取得最大值为3，所以②正确；对于③，由①知最高点为C (0，3)，最低点为D (0，－3)，所以|CD|＝3＋3，③正确；对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，它的面积S＝S半圆＋2S弓形＋S三角形＝12×π×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－3＋12×2×3＝11π6－3，所以④正确．综上知，正确的命题序号是②③④.。

疯狂专练20 新定义类创新题1．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（） A ．1B ．3C ．7D ．312．如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{}22A x y x x ==-，3{|,}0x B y y x ==>，则A B ⊗为（）A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．{1|0x x ≤≤或2}x ≥D ．{1|0x x ≤≤或2}x >3．对于复数,,,a b c d ，若集合{}=S a b c d ,,,具有性质“对任意x y S ∈，，必有∈xy S ”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++=（）A ．1B ．1-C ．0D ．i4．已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)xf x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x x =在集合M 中的个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =⋅⋅⋅．令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（）A ．(,,)z w x S ∈，(,,)x y w S ∉B ．(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈C ．(,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈D ．(,,)y z w S ∉，(,,)z w x S ∉6．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．一、选择题下列命题：①集合{|(,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位)}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 上面命题中真命题共有哪些？（） A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②④7．非空数集A 如果满足：①0A ∈；②若对x A ∀∈，有1A x∈，则称A 是“互倒集”．给出以下数集： ①2{|10}x x ax ∈++=R ；②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈； ④22,[0,1)5{|}1,[1,2]x x y y x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩．其中“互倒集”的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．18．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①2015[3]∈； ②2[2]-∈；③[0][1][2][3][4]=Z ；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．49．用()n A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()n A n B n A n B A B n B n A n A n B -≥⎧*=⎨-<⎩，若2{|140,}A x x ax a =--=∈R ，2{||2014|2013,}B x x bx b =++=∈R ，设{|1}S b A B =*=，则()n S等于（） A ．4B ．3C ．2D ．110．在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||PP x x y y =-+-．则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．11．形如(0,0)by c b x c=>>-的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”． 若函数21()0,(1)xx f x a a a ++=>≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为（）个． A ．1B ．2C ．4D ．612．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<使得1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-则称()f x 为区间[,]a b 上的“双中值函数”．已知函数321()32mg x x x =-是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值X 围是（）A ．48[,]33B ．(,)-∞+∞C ．4(,)3+∞D ．48(,)3313．对于集合M ，定义函数1,()1,M M x Mf x x -∈⎧=⎨∉⎩．对于两个集合,A B ，定义集合{}()()1A B A B x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,12B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为．14．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=(,n d ∈*N 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ⋅的最大值是．15．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数二、填空题()f x k =为闭函数，则k 的取值X 围是．16．对于函数)(x f y =的定义域为D ，如果存在区间D n m ⊆],[同时满足下列条件:①)(x f 在[,]m n 是单调的；②当定义域为[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ，则称区间[,]m n 是该函数的“H区间”．若函数ln (0)()(0)a x x x f x a x ->⎧⎪=≤存在“H 区间”，则正数a 的取值X 围是．1．【答案】B【解析】由已知条件得，1-可以单独存在于伙伴关系中，2和12同时存在于伙伴关系中， 所以具有伙伴关系的元素组是1-，2，12， 所以具有伙伴关系的集合有3个：{1}-，1{2,}2，1{1,2,}2-． 2．【答案】D【解析】因为{}|02A x x =≤≤，{|1}B y y =>，{|0}A B x x =≥，{|12}A B x x =<≤，所以(1{0)|AUBA B A B x x ⊗==≤≤或2}x >．3．【答案】B【解析】∵,{},,S a b c d =，由集合中元素的互异性可知当1a =时，1b =-，21c =-， ∴c i =±，由“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”知i S ±∈， ∴c i d i ==-，或c i d i =-=，，∴(1)01b c d ++=-+=-． 4．【答案】B【解析】由题对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-，即1212()()1f x f x x x -<-， 答 案 与解析一、选择题即对于()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时，若()f x 为增函数，则0()1f x '<<；若()f x 为减函数，则()1f x '<-． 对于①()(0)x f x e x =>，()xf x e '=， ∵0x >，∴()1f x '>，不合题意； 对于②ln ()(0)x f x x x =>，21ln ()xf x x -'=，取特殊值验证，不合题意；对于③()f x =()0f x '=>，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时，在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<，此时只需1x >可得0()1f x '<<，满足题意． 5．【答案】B【解析】∵(,,)x y z S ∈，(,,)z w x S ∈，∴x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈． 综合上述四种情况，可得(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈． 6．【答案】B【解析】①成立，因为集合S 里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数， 并且实部，虚部都是整数；②当x y =时，0x y S -=∈所以成立； ③不成立，举例：{0}就是封闭集，但是有限集；④举例，{0}S =，{0,1}T =，集合T 就不是封闭集，所以不成立． 7．【答案】C【解析】集合①当22a -<<时为空集，所以集合①不是“互倒集”；集合②，2{|410}x x x -+<{|22x x =-<<，即122x<<+， 所以集合②是“互倒集”；集合③当1[,1)x e ∈时，[,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时，1(0,]y e∈，所以集合③不是“互倒集”；集合④212525[,)[2,][,]55252y ∈=，125[,]52y ∈，所以集合④是“互倒集”．8．【答案】B【解析】①∵20155403÷=，∴2015[0]∈，故①错误； ②∵25(1)3-=⨯-+，∴2[2]-∉，故②错误；③因为整数集中的数是被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]=Z ，故③正确； ④∵整数a ，b 属于同一“类”，所以整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0， 反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，故④正确，正确结论的个数是2． 9．【答案】A【解析】2140x ax --=中2560Δa =+>，有两个根， ∵{|1}S b A B =*=，∴B 中有1个或3个根．2|2014|2013x bx ++=化为210x bx ++=，240270x bx ++=，当B 中有1个元素时，2b =±；当B 时中有3个元素时，2440270Δb =-⨯=，b =±{|1}{2,S b A B =*==±±，∴()4n S =． 10．【答案】A【解析】以线段12F F 的中点为坐标原点，12F F 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 不妨设12(,0),(,0),(,)F c F c P x y -，则0c >．由题意||||||||2x c y x c y a +++-+=（2a 为定值）， 整理得||||2||2x c x c y a ++-+=．当x c ≤-时，方程化为22||2x y a -+=，即||y x a =+，即,0,0y x a y y x a y =+≥⎧⎨=--<⎩．当x c ≥时，方程化为22||2x y a +=，即||y x a =-+，即,0,0y x a y y x a y =-+≥⎧⎨=-<⎩．当c x c -<<时，方程化为22||2c y a +=，即||y c a =-+．所以A 图象符合题意． 11．【答案】C 【解析】由题意(0,0)by c b x c=>>-，此函数是偶函数， 当1c b ==时，则11y x =-，画出这个函数的图象， ∵21()0,(1)xx f x a a a ++=>≠有最小值，∴1a >，再画出函数log a y x =的图象，当1c =，1b =的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为4个．12．【答案】D 【解析】∵函数321()32m g x x x =-，∴2()g x x mx '=-， ∵函数321()32m g x x x =-是区间[0,2]上的双中值函数， ∴区间[0,2]上存在1212,(02)x x x x <<<，满足12(2)(0)4()()203g g g x g x m -''===--，∴22112243x mx x mx m -=-=-，∴243x mx m -=-，即方程2403x mx m -+-=在区间(0,2)有两个解，令24()3f x x mx m =-+-，∴24(0)038(2)0344()03202f m f m Δm m m ⎧=->⎪⎪⎪=->⎪⎨⎪=-->⎪⎪⎪>>⎩，解得4833m <<．∴实数m 的取值X 围是48(,)33，故选D ．13．【答案】{}1,6,10,12【解析】要使()()1A Bf x f x⋅=-，必有{|x x x A∈∈且}{|x B x x B∉∈且{}1,6,1012},x A=∉，所以{}1,6,10,12A B∆=．14．【答案】100【解析】由已知得{}n b为等差数列，且129469()902b b b b b+++=+=，∴4620b b+=，又0nb>，∴24646()1002b bb b+⋅≤=，当且仅当46b b=时等号成立．15．【答案】1(1,]2--【解析】若函数()f x k=为闭函数，则存在区间[],a b，在区间[],a b上，函数()f x的值域为[],a b，即a kb k⎧⎪⎨=⎪⎩=，∴a，b是方程x k=的两个实数根，即a，b是方程()2212210,2x k x k x x k⎛⎫-++-=≥-≥⎪⎝⎭的两个不相等的实数根，当12k≤-时，()()()22222410111221024222122Δk kf k kk⎡⎤=-+-->⎣⎦⎛⎫-=+++-≥⎪⎝⎭+>-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得112k-<≤-；当12k>-时，()()()()2222224102210222Δk kf k k k k kkk⎡⎤=-+-->⎣⎦=-⎧+⋅+-⎪>+⎨<⎪⎪⎪⎩，解得k无解．二、填空题综上，可得112k -<≤-． 16．【答案】23(,1](2,]4e e【解析】当0x >时，()ln f x a x x =-，()1a a x f x x x-'=-=， ()0f x '≥，得0a xx-≥，得0x a <≤，此时函数()f x 为单调递增， 当x n =时，取得最大值；当x m =时，取得最小值，即ln ln a n n n a m m m -=⎧⎨-=⎩，即方程ln a x x x -=有两解，即方程2ln x a x =有两解，作出2ln xy x=的图象，由图象及函数的导数可知， 当1x >时，2ln x y x =在x e =时取得最小值2e ，在x a =时，2ln a y a=， 故方程2ln x a x =有两解，2ln a a a≤，即2a e ≤， 故a 的取值X 围为2(2,]e e ；当x a >时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最小值，即ln ln a m m na n n m -=⎧⎨-=⎩，两式相减得，ln ln 0a m a n -=，即m n =，不符合；当0x ≤时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最小值，即a na m==，1=，回代到方程组的第一个式子得到1a n -=，整理得到1n a =，由图象可知，方程有两个解，则3(,1]4a ∈．综上所述，正数a 的取值X 围是23(,1](2,]4e e ．。

第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1 新定义型问题例 1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝e x}；M4＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“互垂点集”集合的为( )A．M1 B．M2 C．M3 D．M4答案 D解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线上的两点，对于集合M 1，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝x 22＋1＝0不成立，所以集合M 1不是“互垂点集”．对于集合M 2，x >0，当x 1＝1时，y 1＝0，x 1x 2＋y 1y 2＝x 2＝0不成立，所以集合M 2不是“互垂点集”．对于集合M 3，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝e x 2＝0不成立，所以集合M 3不是“互垂点集”．排除A ，B ，C.故选D.(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知a ＝2 时有两个解．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3·…·b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*y ＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b ＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是( )A．② B．①② C．②③ D．①②③答案 D解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.考向2 创新型问题例2 (1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y>1，x2＋y2<1，0<x<1，0<y<1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15 答案 C解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 答案 C解析 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≤1)，x 2(x >1)，2⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x ≤2)，x 2(x >2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，x 3－2(1<x ≤2)，x 3－x 2(x >2)，可求出当x ≤1时，函数的最大值是－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是6.所以当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于6，选C.2．把数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1中的项1287应记为________．答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)．考向3 实际应用型问题例3 (1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q 答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为f (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．9万件B ．18万件C ．22万件D ．36万件答案 B解析 由题意可得，获得最大利润时的收入是20x 万元，成本是12x 2＋2x ＋20，所以此时的利润为M ＝20x －12x 2＋2x ＋20＝－12x 2＋18x －20＝－12(x －18)2＋142≤142，当且仅当x ＝18时，取最大值．故选B.求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B.M 22M 1R C.33M 2M 1RD. 3M 23M 1R答案 D解析 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.又∵3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈ 3M 23M 1，∴r ＝αR ≈ 3M 23M 1R .故选D. 2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x 的函数关系为L (x )＝ax2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元B ．2元C ．3元D ．4元 答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝ax 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2019·重庆模拟)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 依题可知e i x表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2019·钦州市高三三模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变，剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，依此类推，得到n 年后质量是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，只需要⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ≤1100⇒n >3，故选B.3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cos A sin A 1＝cos Bsin B 1＝cos Csin C 1＝1，则称△ABC 为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足( ) A ．有一个内角为30° B．有一个内角为45° C ．有一个内角为60° D．有一个内角为75° 答案 B解析 由对称性，不妨设A 1和B 1为锐角，则A 1＝π2－A ，B 1＝π2－B ，所以A 1＋B 1＝π－(A＋B )＝C ，于是cos C ＝sin C 1＝sin(A 1＋B 1)＝sin C ，即tan C ＝1，解得C ＝45°，故选B.4．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M­数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M­数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M­数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M­数列”．(2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n ). 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n2(b n －b n －1)，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M­数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以qk －1≤k ≤q k，其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)． 当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln 33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.『金版押题』6．已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n2019(n ∈N *，n ≤2019)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，记△A n B n C n 的面积为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝________.答案5052解析 设A n (x 0，y 0)，可得x 20－y 20＝n2019. 双曲线E n ：x 2－y 2＝n2019(n ∈N *，n ≤2019)的渐近线方程为x －y ＝0，x ＋y ＝0.由点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，不妨设B n 在第一象限内，可得|A n B n |＝|x 0－y 0|2， |A n C n |＝|x 0＋y 0|2，易知双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ，则△A n B n C n 的面积a n ＝12|A n B n |·|A n C n |＝12·|x 0－y 0|2·|x 0＋y 0|2＝x 20－y 204＝18076n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝18076×12×2019×2020＝5052. 配套作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2.(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A．7000 B．7500 C．8500 D．9500答案 C解析参加工作时就医费为7000×15%＝1050，设目前晓文同学的月工资为x，则目前的就医费为10%·x，因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故选C.3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )A．一定是南昌人 B．一定是广州人C．一定是福州人 D．可能是上海人答案 D解析若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．4．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.5．某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动 答案 C解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即y 1＝e x 1－a ，y 2＝e x 2－a ，因为关于原点对称，所以e x 1－a ＝－e x 2＋a ，即2a ＝e x 1＋e x 2≥2e x 1·e x 2＝2e 0＝2，因为x 1≠x 2，所以a >1，故选B.7．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③ 答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 答案 D解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 答案 D解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.二、填空题10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤800，(x －800)×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A ，B 是R 上的两个子集，对任意x ∈R ，定义：m ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉A ，1，x ∈A ，n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉B ，1，x ∈B .(1)若A ⊆B ，则对任意x ∈R ，m (1－n )＝________； (2)若对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则A ，B 的关系为________． 答案 (1)0 (2)A ＝∁R B解析 (1)∵A ⊆B .则当x ∉A 时，m ＝0，m (1－n )＝0. 当x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m (1－n )＝0. 综上可得m (1－n )＝0.(2)对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即当x ∈A 时，必有x ∉B 或x ∈B 时，必有x ∉A ，∴A ，B 的关系为A ＝∁R B .12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________．答案 3解析 ∵A 完成后，C 才可以开工；B ，C 完成后，D 才可以开工，完成A ，C ，D 需用时间依次为2，x,4天，且A ，B 可以同时开工，又∵该工程共需9天， ∴2＋x max ＋4＝9⇒x max ＝3.13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，－x 2＋4x ，x >0，则f [f (－1)]＝________，若实数a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．答案 4 (2,4]解析 f [f (－1)]＝f (21)＝－4＋8＝4，因为a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，所以－2<a ≤0<b <2<c ，b ＋c ＝4，因此a ＋b ＋c ＝a ＋4∈(2,4]．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0<x <1)，则EF ＝x ，FA ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12×(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x ＝16(3x －x 3)，V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

2020届高三理科数学小题狂练20：新定义类创新题（附解析）一、选择题1．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．312．如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{}22A x y x x ==-，3{|,}0x B y y x ==>，则A B ⊗为（ ）A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．{1|0x x ≤≤或2}x ≥D ．{1|0x x ≤≤或2}x >3．对于复数,,,a b c d ，若集合{}=S a b c d ,,,具有性质“对任意x y S ∈，，必有∈xy S ”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++=（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．i4．已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x =M 中的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =⋅⋅⋅．令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．(,,)z w x S ∈，(,,)x y w S ∉B ．(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈C ．(,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈D ．(,,)y z w S ∉，(,,)z w x S ∉6．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集． 下列命题：①集合{|(,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位)}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 上面命题中真命题共有哪些？（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②④7．非空数集A 如果满足：①0A ∈；②若对x A ∀∈，有1A x∈，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x x ax ∈++=R ；②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈； ④22,[0,1)5{|}1,[1,2]x x y y x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩．其中“互倒集”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①2015[3]∈； ②2[2]-∈；③[0][1][2][3][4]=Z ；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．用()n A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()n A n B n A n B A B n B n A n A n B -≥⎧*=⎨-<⎩，若2{|140,}A x x ax a =--=∈R ，2{||2014|2013,}B x x bx b =++=∈R ，设{|1}S b A B =*=，则()n S等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L-距离”定义为121212||||||PP x x y y =-+-．则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ，2F 的“L-距离”之和等于定值（大于12||F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．11．形如(0,0)by c b x c=>>-的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数21()0,(1)xx f x a a a ++=>≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．4 D ．612．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<使得1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-则称()f x 为区间[,]a b 上的“双中值函数”．已知函数321()32m g x x x =-是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．48[,]33 B ．(,)-∞+∞ C ．4(,)3+∞ D ．48(,)3313．对于集合M ，定义函数1,()1,MM x Mf x x -∈⎧=⎨∉⎩．对于两个集合,A B ，定义集合{}()()1A B A B x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,12B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为 ．14．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=(,n d ∈*N 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ⋅的最大值是 ．15．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()f x k =为闭函数，则k 的取值范围是 ．16．对于函数)(x f y =的定义域为D ，如果存在区间D n m ⊆],[同时满足下列条件:①)(x f 在[,]m n 是单调的；②当定义域为[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ，则称区间[,]m n 是该函数的“H区间”．若函数ln (0)()(0)a x x x f x a x ->⎧⎪=≤存在“H 区间”，则正数a 的取值范围是 ．解析1．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．31 【答案】B【解析】由已知条件得，1-可以单独存在于伙伴关系中，2和12同时存在于伙伴关系中，所以具有伙伴关系的元素组是1-，2，12， 所以具有伙伴关系的集合有3个：{1}-，1{2,}2，1{1,2,}2-．2．如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{}22A x y x x ==-，3{|,}0x B y y x ==>，则A B ⊗为（ ）A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．{1|0x x ≤≤或2}x ≥D ．{1|0x x ≤≤或2}x > 【答案】D【解析】因为{}|02A x x =≤≤，{|1}B y y =>，{|0}A B x x =≥，{|12}A B x x =<≤，所以(1{0)|AUB A B AB x x ⊗==≤≤ð或2}x >．3．对于复数,,,a b c d ，若集合{}=S a b c d ,,,具有性质“对任意x y S ∈，，必有∈xy S ”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++=（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．i 【答案】B【解析】∵,{},,S a b c d =，由集合中元素的互异性可知当1a =时，1b =-，21c =-， ∴c i =±，由“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”知i S ±∈， ∴c i d i ==-，或c i d i =-=，，∴(1)01b c d ++=-+=-．4．已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x =M 中的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B【解析】由题对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x -<-， 即对于()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时， 若()f x 为增函数，则0()1f x '<<；若()f x 为减函数，则()1f x '<-． 对于①()(0)x f x e x =>，()x f x e '=， ∵0x >，∴()1f x '>，不合题意； 对于②ln ()(0)x f x x x =>，21ln ()xf x x-'=，取特殊值验证，不合题意；对于③()f x =()0f x '=>，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时，在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<，此时只需1x >可得0()1f x '<<，满足题意．5．设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =⋅⋅⋅．令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．(,,)z w x S ∈，(,,)x y w S ∉B ．(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈C ．(,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈D ．(,,)y z w S ∉，(,,)z w x S ∉ 【答案】B【解析】∵(,,)x y z S ∈，(,,)z w x S ∈，∴x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈． 综合上述四种情况，可得(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈．6．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集． 下列命题：①集合{|(,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位)}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 上面命题中真命题共有哪些？（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②④ 【答案】B【解析】①成立，因为集合S 里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数， 并且实部，虚部都是整数；②当x y =时，0x y S -=∈所以成立；③不成立，举例：{0}就是封闭集，但是有限集；④举例，{0}S =，{0,1}T =，集合T 就不是封闭集，所以不成立．7．非空数集A 如果满足：①0A ∈；②若对x A ∀∈，有1A x∈，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x x ax ∈++=R ；②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈； ④22,[0,1)5{|}1,[1,2]x x y y x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩．其中“互倒集”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C【解析】集合①当22a -<<时为空集，所以集合①不是“互倒集”； 集合②，2{|410}x x x -+<{|22x x =<<+，即122x<< 所以集合②是“互倒集”；集合③当1[,1)x e ∈时，[,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时，1(0,]y e∈，所以集合③不是“互倒集”；集合④212525[,)[2,][,]55252y ∈=，125[,]52y ∈，所以集合④是“互倒集”．8．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①2015[3]∈； ②2[2]-∈；③[0][1][2][3][4]=Z ；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】①∵20155403÷=，∴2015[0]∈，故①错误； ②∵25(1)3-=⨯-+，∴2[2]-∉，故②错误；③因为整数集中的数是被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]=Z ，故③正确；④∵整数a ，b 属于同一“类”，所以整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，故④正确，正确结论的个数是2．9．用()n A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()n A n B n A n B A B n B n A n A n B -≥⎧*=⎨-<⎩，若2{|140,}A x x ax a =--=∈R ，2{||2014|2013,}B x x bx b =++=∈R ，设{|1}S b A B =*=，则()n S等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】A【解析】2140x ax --=中2560Δa =+>，有两个根， ∵{|1}S b A B =*=，∴B 中有1个或3个根．2|2014|2013x bx ++=化为210x bx ++=，240270x bx ++=，当B 中有1个元素时，2b =±；当B 时中有3个元素时，2440270Δb =-⨯=，b =±，{|1}{2,S b A B =*==±±，∴()4n S =．10．在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L-距离”定121212||||||PP x x y y =-+-．则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ，2F 的“L-距离”之和等于定值（大于12||F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】以线段12F F 的中点为坐标原点，12F F 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．不妨设12(,0),(,0),(,)F c F c P x y -，则0c >．由题意||||||||2x c y x c y a +++-+=（2a 为定值），整理得||||2||2x c x c y a ++-+=．当x c ≤-时，方程化为22||2x y a -+=，即||y x a =+，即,0,0y x a y y x a y =+≥⎧⎨=--<⎩． 当x c ≥时，方程化为22||2x y a +=，即||y x a =-+，即,0,0y x a y y x a y =-+≥⎧⎨=-<⎩． 当c x c -<<时，方程化为22||2c y a +=，即||y c a =-+．所以A 图象符合题意．11．形如(0,0)b y c b x c=>>-的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数21()0,(1)x x f x a a a ++=>≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为（ ）个．A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意(0,0)b y c b x c=>>-，此函数是偶函数， 当1c b ==时，则11y x =-，画出这个函数的图象， ∵21()0,(1)x x f x a a a ++=>≠有最小值，∴1a >，再画出函数log a y x =的图象， 当1c =，1b =的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为4个．12．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<使得1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-则称()f x 为区间[,]a b 上的“双中值函数”．已知函数321()32m g x x x =-是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．48[,]33 B ．(,)-∞+∞ C ．4(,)3+∞ D ．48(,)33【答案】D【解析】∵函数321()32m g x x x =-，∴2()g x x mx '=-， ∵函数321()32m g x x x =-是区间[0,2]上的双中值函数， ∴区间[0,2]上存在1212,(02)x x x x <<<，满足12(2)(0)4()()203g g g x g x m -''===--，∴22112243x mx x mx m -=-=-， ∴243x mx m -=-，即方程2403x mx m -+-=在区间(0,2)有两个解， 令24()3f x x mx m =-+-，∴24(0)038(2)0344()03202f m f m Δm m m ⎧=->⎪⎪⎪=->⎪⎨⎪=-->⎪⎪⎪>>⎩，解得4833m <<． ∴实数m 的取值范围是48(,)33，故选D ． 13．对于集合M ，定义函数1,()1,M M x M f x x -∈⎧=⎨∉⎩．对于两个集合,A B ，定义集合{}()()1A B A B x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,12B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为 ．【答案】{}1,6,10,12【解析】要使()()1A B f x f x ⋅=-，必有{|x x x A ∈∈且}{|x B x x B ∉∈且{}1,6,1012},x A =∉，所以{}1,6,10,12A B ∆=．14．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=(,n d ∈*N 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ⋅的最大值是 ．【答案】100【解析】由已知得{}n b 为等差数列，且129469()902b b b b b +++=+=， ∴4620b b +=，又0n b >，∴24646()1002b b b b +⋅≤=，当且仅当46b b =时等号成立． 15．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()f x k =为闭函数，则k 的取值范围是 ．【答案】1(1,]2--【解析】若函数()f x k =为闭函数，则存在区间[],a b ，在区间[],a b 上，函数()f x 的值域为[],a b ， 即 a k b k⎧⎪⎨=⎪⎩=，∴a ，b 是方程x k =的两个实数根， 即a ，b 是方程()2212210,2x k x k x x k ⎛⎫-++-=≥-≥ ⎪⎝⎭的两个不相等的实数根， 当12k ≤-时，()()()22222410111221024222122Δk k f k k k ⎡⎤=-+-->⎣⎦⎛⎫-=+++-≥ ⎪⎝⎭+>-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得112k -<≤-； 当12k >-时，()()()()2222224102210222Δk k f k k k k k k k ⎡⎤=-+-->⎣⎦=-⎧+⋅+-⎪>+⎨<⎪⎪⎪⎩，解得k 无解．综上，可得112k -<≤-． 16．对于函数)(x f y =的定义域为D ，如果存在区间D n m ⊆],[同时满足下列条件: ①)(x f 在[,]m n 是单调的；②当定义域为[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ，则称区间[,]m n 是该函数的“H区间”．若函数ln (0)()(0)a x x x f x a x ->⎧⎪=≤存在“H 区间”，则正数a 的取值范围是 ． 【答案】23(,1](2,]4e e 【解析】当0x >时，()lnf x a x x =-，()1a a x f x x x-'=-=， ()0f x '≥，得0a x x-≥，得0x a <≤，此时函数()f x 为单调递增， 当x n =时，取得最大值；当x m =时，取得最小值，即ln ln a n n n a m m m-=⎧⎨-=⎩，即方程ln a x x x -=有两解，即方程2ln x a x =有两解， 作出2ln x y x=的图象，由图象及函数的导数可知， 当1x >时，2ln x y x =在x e =时取得最小值2e ，在x a =时，2ln a y a =， 故方程2ln x a x =有两解，2ln a a a≤，即2a e ≤， 故a 的取值范围为2(2,]e e ；当x a >时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最小值，即ln ln a m m n a n n m-=⎧⎨-=⎩，两式相减得，ln ln 0a m a n -=，即m n =，不符合；当0x ≤时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最小值，即a n a m==1=，回代到方程组的第一个式子得到1a n =，整理得到1n a =， 由图象可知，方程有两个解，则3(,1]4a ∈． 综上所述，正数a 的取值范围是23(,1](2,]4e e ．。

2021高考备考二轮复习数学选择填空狂练之二十新定义类创新题2021高考备考二轮复习数学选择填空狂练之二十新定义类创新题命运让你在这里看到我疯狂专练20创新问题的新定义一、选择题1.[2022年潍坊第一中学]定义集合运算：a？Bz | z？xy，x？a、是吗？B设定一个？？1,2?， B0,2?，然后设定一个目标？B的所有元素之和为（）a.0b．2c、三,d．62.[2022年山东联合考试]已知功能① F十、十、1.②F十、2倍？2.③F十、1.④F十、lnx⑤F十、科斯。

为了f？十、定义域中的任何X1都有X2，所以f？x1？Fx2x1x2的功能是（）a。

① ③b．②⑤c。

③⑤d．②④3.[2022年牛栏山一中]定义一个操作”⊙“在如下平面向量之间，对于任意a？？m，n？，b？？p，q？，求a⊙ Bmq？下面的陈述是错误的（）a．若a与b共线，则令a⊙b?0b．a⊙b?b⊙ac、有吗？？R是吗？？A.⊙B广告。

？ab A.BAB222B？4．[2021赣州模拟]我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△abc三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，面积为s，则“三斜求积公式”为1?22?a2?c2?b2??ac??s??4?22??．若a2sinc?24sina，a?sinc?sinb??c?b??27?a2sina，则用“三斜求s[157c.54d]设置是否为空？？x | m？十、N满意：什么时候？S、 X2？s、给出了以下三个命题：① 如果我？12111秒？？1.② 如果我？？，然后N1.③ 如果n？，然后M0.正确命题的数量为（）2242a．0b．1c．2d．36.[2022年武夷中学]祖是南北朝时期一位伟大的科学家。

5世纪末，他提出了体积计算的原理，即祖原理：“因为电势相同，所以乘积不能不同”。

这意味着夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平面的任何平面切割，例如缘份让你看到我在这里命运让你在这里看到我x2y2果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现将曲线??1绕y轴旋转一周得到的几何体叫3648是一个椭球体，标记为G1，几何图形G2的三个视图如图所示。

20.新定义类创新题1．能发现问题，提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考，探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察﹑猜测﹑抽象﹑概括﹑证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移﹑组合﹑融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强．2．高考对创新能力的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念，定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖、有一定深度和广度的问题．要增加研究型、探索型、开放型的试题，考查考生发散性思维和创造性思维．1．01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010... B ．11011...C ．10001...D ．11001...【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑， 5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除，故选C ．【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．2．信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且()0(1,2,,)i P X i p i n ==>=，11nii p==∑，定义X 的信息熵21()log ni ii H X p p ==-∑（ ）A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则()()H X H Y ≤ 【答案】AC【解析】A 中：当1n =时，则11p =，121()log 0H X p p =⋅=，故A 正确； B 中：若2n =，由题知121p p +=，121222121121()(log log )[log (1)log (1)]H X p p p p p p p p =-+=-⋅+-⋅-， 121121(1)[(1)log (1)log ]H X p p p p -=--⋅-+⋅，∴()(1)H X H X =-，∴B 错误； C 中：1(1,2,,)i p i n n==，1212222()(log log log )n n H X p p p p p p =-⋅+⋅++⋅， ∴12222111()(log log log )n H X p p p n n n=-⋅+⋅++⋅12221()log log n p p p n n=-++⋅=，∴()H X 随着n 的增大而增大，∴C 正确； D 中：令1m =，则2n =，此时12(1)1P Y p p ==+=，121()()log()0j H Y p Y p Y ==-⋅⋅=∑，此时221212221()log(log log )0i i i H X p p p p p p ==-=-⋅+>∑，∴()()H X H Y >，∴D 错误， ∴正确选项为AC ．【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题．一、选择题．1．定义集合,A B 的一种运算：12*{|A B x x x x ==+，其中1x A ∈，2}x B ∈，若1,{}2,3A =，2{}1,B =，则*A B （ ）A ．1,2,3{,4,5}B ．2,3,{4,5}C ．{2,3,4}D ．1,3,{4,5}【答案】B【解析】当11x =时，2x 可以取1或2，则122x x +=或3；当12x =时，2x 可以取1或2，则123x x +=或4； 当13x =时，2x 可以取1或2，则124x x +=或5， ∴*2,3,,5{}4A B =．2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =，值域为{1,4}的“同族函数”共有（ ） A ．7个 B ．8个C ．9个D ．10个【答案】C【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为2y x =，值域为{1,4}，当1x =±时，1y =；当2x =±时，4y =，则定义域可以为{1,2}，{1,}2-，{}1,2-，{1,2}--，{1,}1,2-，1,12{,}--，1,22{,}--，{1,}2,2-，1,1,2{2}--,，因此“同族函数”共有9个． 3．规定记号“”表示一种运算，定义ab ab a b =+(,a b 为正实数)，若213k <，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,2)【答案】A 【解析】因为定义ab ab a b =+(,a b 为正实数)，213k <，213k +<，化为(||)(|0)21|k k +-<，所以|1|k <，所以11k -<<． 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2nnS S 为常数，则称数列{}n a 为“吉祥数列”．已知等差数列{}n b 的首项为1，公差不为0，若数列{}n b 为“吉祥数列”，则数列{}n b 的通项公式为（ ） A ．1n b n =- B ．21n b n =-C ．1n b n =+D ．21n b n =+【答案】B【解析】设等差数列{}n b 的公差为(0)d d ≠，2nnS k S =， 因为11b =，则11(1)[22(21)]22n n n d k n n n d +-=+⨯-， 即()2142()21n d k k n d +-=+-，整理得()()(120)412k dn k d -+--=． 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以41)0(k d -=，()(10)22k d --=， 解得2d =，14k =， 所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-．5．定义一种运算：a b ad bc c d=-．已知函数sin sin3()cos cos3ππxf x x =，为了得到函数sin y x =的图象，只需要把函数()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向上平移π3个单位长度 D ．向下平移π3个单位长度 【答案】A【解析】由题设知，ππ()sin coscos sin 33πsin()3f x x x x --==， 所以为了得到函数sin y x =的图象，只需要把函数π(sin 3)()f x x =-的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，故选A ． 6．定义()|,|d =-b a b a 为两个向量,a b 间的“距离”．若向量,a b 满足：①||1=b ；②≠a b ；③对任意t ∈R ，恒有(,)(,)d t d ≥a b a b ，则（ ）A ．⊥a bB ．()⊥-a a bC ．()⊥-b a bD ．()()+⊥-b a b a【答案】C【解析】由题意知()()||||d t ,d t ≥⇔-≥-,a a a b a b b b ，即22()()t -≥-a b b a ， 又||1=b ，所以展开整理得22210t t -⋅+⋅-≥a b a b ．因为上式对任意t ∈R 恒成立，所以2442()(10)Δ=⋅-⋅-≤b a b a ， 即21(0)⋅-≤b a ，所以1⋅=a b ．于是，22()||110⋅-=⋅-=-=b a b a b b ，所以()⊥-b a b ，故选C ．7．定义1nii nu =∑为n 个正数1u ，2u ，3u ，，n u 的“快乐数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136{}(2)(2)n n a a +++的前2019项和为（ ） A ．20182019 B ．20192020C ．20192018D ．20191010【答案】B【解析】由题意得数列{}n a 的前n 项和23131n nS n n n ==++，易知62n a n =-， 于是，1363611(2)(2)66(1)1n n a a n n n n +==-++⨯++，故数列136{}(2)(2)n n a a +++的前2019项和为111111112019(1)()()()1223342019202020202020-+-+-++-=-=，故选B ． 8．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()f x f x =-成立，则称函数()f x 为“H 函数”．下列为“H 函数”的是（ ） A ．2sin c s ()os co f x x x x =+B ．ln ()x f e x x =+C ．()2x f x =D ．2(2)f x x x =-【答案】B【解析】由题意知，“H 函数”的值域关于原点对称． 选项A 中，因为211cos 2π1()sin cos cos sin 2)2242x f x x x x x x +=+=+=++，所以函数()f x 的值域为11[,]2222-++，该函数的值域不关于原点对称，故选项A 中的函数不是“H 函数”；选项B 中，函数()ln x f x x e =+在(0,)+∞上单调递增，函数()f x 的值域为R ，关于原点对称，故选项B 中的函数是“H 函数”；选项C 中，函数()2f x x =的值域为(0,)+∞，不关于原点对称，故选项C 中的函数不是“H 函数”；选项D 中，因为22(()2111)f x x x x =-=--≥-，所以该函数的值域为[)1,-+∞，不关于原点对称，故选项D 中的函数不是“H 函数”， 综上，选B ．9．定义一种运算：12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-，将函数()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左平移(0)n n >个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ） A ．π12B ．π4C ．5π12D ．π3【答案】C【解析】由新运算可知π()2sin 22cos(2)6f x x x x =-=+，所以将函数()f x 的图象向左平移5π12个单位长度后，得到函数5ππ2cos[2()]126y x =++的图象，即2cos 2y x =-的图象，显然该函数为偶函数， 经检验知选项A ，B ，D 错误，选C ．10．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫作单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和． 例如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，，依此拆分方法可得，111111111111111=+++++++++++26123042567290110132156182m n ++，其中,*m n ∈N ，则m n -=（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】C【解析】由题易知，11111111()2362323=++=++-， 11111111111()()24612242334=+++=++-+-， 11111111111111()()()256122025233445=++++=++-+-+-． 依此类推，得11111111111111126123042567290110132156182m n =+++++++++++++1111111111111()()()()()2233456671314m n =+-+-+++-+-++-， 易知1114m =，11114520n =-=，解得14m =，20n =， 所以6m n -=-．故选C ．11．若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”．下列为“K 函数”的是（ ）A ．()1f x x =+B ．3()f x x =-C ．1()f x x=D ．()||f x x x =【答案】D【解析】选项A 中，函数()1f x x =+不是奇函数，故选项A 中的函数不是“K 函数”； 选项C 中，函数1()f x x=的定义域不是R ，故选项C 中的函数不是“K 函数”； 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，等价于奇函数()f x 在R 上单调递增．选项B 中，函数3()f x x =-在R 上单调递减，故选项B 中的函数不是“K 函数”；选项D 中，函数22,0()||,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，在R 上单调递增且为奇函数，故选项D 中的函数是“K 函数”．故选D ．12．设集合S ，T ，*S ⊆N ，*T ⊆N ，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的,x y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的,x y T ∈，若x y <，则y S x∈．下列命题正确的是（ ） A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【答案】A【解析】取{1,2,4}S =，{2,4,8}T =，此时{1,2,4,8}S T =有4个元素，排除D ；取{2,4,8}S =，{8,16,32}T =，此时{2,4,8,16,32}ST =有5个元素，排除C ；取{2,4,8,16}S =，{8,16,32,64,128}T =，此时{2,4,8,16,32,64,128}S T =有7个元素，排除B ， 故选A ．二、填空题．13．集合123,,,,{}(2)n A a a a a n =≥，如果A 中的元素满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若12,*a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”． 其中正确的结论是________．(填序号) 【答案】①③1==-，故①正确； ②不妨设1212a a a a t +==，则由根与系数的关系知12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根， 由2()40Δt t =-->，可得0t <或4t >，故②错； ③不妨设123n a a a a <<<<，由1212n n n a a a a a a na =+++<，得121n a a a n -<，当2n =时，有12a <，又1*a ∈N ，∴11a =，于是由1212a a a a +=，得221a a +=，无正整数解， 即当12,*a a ∈N 时，12{,}a a 不可能是“复活集”，故③正确．14．在一个数列中，如果*n ∀∈N ，都有12n n n a a a k ++=(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则12312a a a a ++++=________．【答案】28【解析】依题意得数列{}n a 是周期为3的数列，且11a =，22a =，34a =， 因此123121234()4(124)28a a a a a a a ++++=++=⨯++=．15．在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，若12OP x y =+e e ，其中12,e e 分别为x 轴、y 轴正方向的单位向量，则有序实数对(,)x y 叫作向量OP 在平面斜坐标系xOy 中的坐标，即点P 的斜坐标为(,)x y ．在平面斜坐标系xOy 中，若点,()P x y 在以O 为圆心，1为半径的圆上，则x y +的取值范围是________．【答案】[]33- 【解析】由题设得||1OP =，所以12||1x y +=e e ，又向量12,e e 的模均为1，且夹角为60︒，所以两边平方化简得221x y xy ++=． 方法一：变形得22()1()2x y x x y y +-=≤+，当且仅当x y =时取等号， 所以23()14x y +≤，解得33x y -≤+≤， 故所求x y +的取值范围是[． 方法二 变形得223()124y y x ++=，所以可设cos 2sin y x θθ⎧+=⎪⎪=，(参数θ∈R )，即cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(参数θ∈R )，所以πcos )3x y θθθ+=+=+， 故所求x y +的取值范围是[． 16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达100多个，其中的一个成果是：设x ∈R ，则[]y x =称为高斯函数，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.7]1=， 1.22[]-=-，并用{}[]x x x =-表示x 的非负纯小数．若方程()10{}x kx k =->有且仅有4个实数根，则正实数k 的取值范围为________． 【答案】11(,]43【解析】设函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的图象与直线()10y kx k =->有且仅有4个交点，如图， 先画出函数()f x 的图象，又直线()10y kx k =->恒过定点(0,1)P ，设点,A B 的坐标分别为(3,0)，(4,0)， 要使函数()f x 的图象与直线()10y kx k =->有且仅有4个不同的交点， 易知应满足1134PA PB k k k -=≤-<=-，解得1143k <≤．。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。