高中数学第二章推理与证明2.1.1归纳推理说课稿新人教A版选修2_2

2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。

2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.2类比推理说课稿新人教A版选修2一、教材分析（1）课题内容课题内容是《类比推理》，出自普通高中新课程标准实验教科书人教A版高中数学选修2-2.（2）地位和作用本节课是《推理与证明》的起始内容。

《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式。

贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。

合情推理有助于发现新的规律和事实，是重要的数学思想方法之一。

（3）重点，难点重点：了解类比推理的含义，作用，掌握类比推理的步骤，体会类比推理的思想。

难点：类比推理步骤中的如何发现几个事实的共性，如何由个别事实总结，类比出其他事实的命题。

一、学情分析（1）在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用类比推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解类比推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行类比与概括。

（2）数学史上有一些著名的猜想是运用类比推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会类比推理的过程，感受类比推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用，还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。

三、教学目标（1）知识与技能：了解推理、归纳推理、类比推理的含义，作用，掌握类比推理的一般步骤，能够利用类比进行一些简单的推理.（2）过程与方法：在鲁班发明锯的过程中，学习如何利用类比推理去发现新事物，获得新结论，从而让学生对类比推理有一个理性的认识，不仅停留在概念层次，更是一个数学过程.（3）情感与态度：通过教师引导，学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索，互相协作的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维能力，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.四、教学分析教法分析：本接采用“引导探究”和“讨论交流”的教学方法相结合。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

2.1.2 演绎推理教学设计教学目标（1） 知识与能力：了解演绎推理的含义与特点，会将推理写成三段论的形式；（2） 过程与方法：了解合情推理与演绎推理的区别与联系；（3） 情感态度与价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理论证有据的习惯。

教学重点演绎推理的含义与特点、三段论的形式及合情推理与演绎推理的区别与联系 教学难点演绎推理的应用教学过程一．复习复习1：归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；⑶ 检验猜想。

复习2：类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

二、新课导学学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ︒时， ；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提—— ；小前提—— ；结论—— .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.典型例题例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结 论：例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提）菱形是正多边形. （结 论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.※ 动手试试练1. 用三段论证明：通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列.练2. 在ABC ∆中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠.证明：在ABC ∆中，,CD AB AC BC ⊥>，所以AD BD >，于是ACD BCD ∠>∠.指出上面证明过程中的错误.小结：合情推理与演绎推理的区别:• ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理.• 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.。

第二章推理与证明本章概览教材分析本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以此培养学生言之有理、论证有据的习惯．本章将结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍两种基本的推理——合情推理与演绎推理；两类证明方法——直接证明和间接证明；学习数学归纳法的基本原理和步骤．课标要求(1)合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，体会合情推理在数学中的应用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．(2)直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点．(3)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．教学建议1．教学中应尽量从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，从中挖掘、提炼出合情推理与演绎推理的含义和推理方法，帮助学生了解合情推理与演绎推理的含义，为学生示范如何规范地应用这两种推理解决问题．2．通过实例引导学生分析综合法、分析法和反证法的思考过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习生活中，能自觉地有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的好习惯．3．数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的命题，通过对数学命题的证明巩固对数学归纳法原理的认识．课时分配本章约需9课时，具体分配如下：2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理整体设计教材分析合情推理所蕴含的数学思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一节内容出现在高中数学教材中尚属首次．合情推理是新课标教材的亮点之一，本节内容对合情推理的一般方法进行了必要的归纳和总结，同时也对后继知识的学习起到了引领的作用．教材的设计是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化．教材紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免了空泛地讲数学思想、方法；以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习合情推理，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，让学生在学知识的同时充分体会数学的发展过程．课时分配2课时．第1课时内容为归纳推理；第2课时内容为类比推理．第1课时教学目标1．知识与技能目标结合生活实例了解推理的含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用．2．过程与方法目标通过探索、研究、归纳、总结等方式，使归纳推理全方位地呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；培养学生发散思维能力，充分挖掘学生的创新思维能力．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学生的学习兴趣；认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维方式和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：掌握归纳推理的特点和推理过程，体会归纳推理在科学发现中的作用．难点：归纳推理的应用；如何培养学生发现问题、解决问题的能力．教学过程引入新课某市为了解本市的高中生数学学习状态，对四所学校做了一个问卷调查，其中有两方面问题的统计数据如下：根据这四所学校的情况，你能推测全市高中生对数学的印象吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：你的推测一定正确吗？活动结果：有的学生可能会说“正确”；有的学生可能会说“不正确”；有的学生可能会说“不确定”．教师：推测不一定正确．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，为课堂结尾“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔．探究新知生活中我们经常会遇到这样的情形：看见柳树发芽，冰雪融化，……看见花凋谢了，树叶黄了，……看见乌云密布，燕子低飞，……引导学生做一些简单的推理：1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n边形内角和为(n－2)·180°.提出问题：像上面这样的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？活动设计：学生先自由发言，教师逐步引导学生发现推理的结论是通过猜想得到的．学情预测：学生开始的回答可能不全面、不准确，但在其他同学的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动结果：推理的概念：根据一个或几个已知的事实(或假设)来确定一个新的判断的思维方式就叫推理．注意：一个完整的推理是由前提和结论两部分构成的．设计意图从大量的生活实例出发，让学生充分体会推理的含义和推理的构成，使推理概念的形成更自然、更生动，并训练和培养学生的抽象概括和表达能力．看下面两个推理：1．金受热后体积膨胀；银受热后体积膨胀；铜受热后体积膨胀；铁受热后体积膨胀．由此猜想：金属受热后体积膨胀．2.1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，1＋3＋5＋7＋9＝25，……由此猜想：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论．活动结果：共同特点：部分推出整体，个别推出一般．归纳推理的概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的全部对象都具有这种性质的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．设计意图引导学生观察两个推理的前提与结论，根据前提与结论的关系由学生作出进一步分类并尝试命名．提出问题：你在生活中遇到过归纳推理吗？(学生自由发言)活动设计：学生分小组讨论：将学生划分为两大部分，一部分学生讨论生活中运用归纳推理的例子，另一部分学生讨论学习中使用归纳推理的例子．学情预测：学生会举出大量的归纳推理的实例，也可能举出这样的例子：“地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，猜想：火星上也有生命．”设计意图通过学生所举的例子，教师可以了解学生对归纳推理的理解程度，通过正反实例明确概念的内涵和外延，加深对关键词、重点词的理解，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固归纳推理的定义．理解新知教师举例：介绍歌德巴赫猜想．观察下列等式：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30.你们能从中发现什么规律？学情预测：学生的回答可能很杂，甚至会五花八门．如果换一种写法呢？10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17.活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论．教师适时介入全班引导：提醒学生注意各等式左边的数是什么数？各等式右边是几个数？均是什么数？这反映了一个什么样的规律？活动结果：偶数＝奇质数＋奇质数．提出问题：这个规律对于其他偶数是否成立？可以先从几个较小的偶数开始，具体验证一下．活动设计：学生独立思考，独立举例．教师：全班学生交流研究成果．共同得到，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6，即6＝3＋3.其他结果略．教师：根据上述过程，哥德巴赫大胆地猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功．但我国著名数学家陈景润、王元、潘承洞等均分别取得了很好的结果，做出了巨大的贡献．当然也曾经有人作了些具体的验证工作，例如：6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7＝3＋11,16＝5＋11,18＝5＋13，…，1 000＝29＋971,1 002＝139＋863，等等．有人对3.3×108以内且大过6的偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立，但依然没有严格的数学证明．因此，我们仍然不能说：“哥德巴赫猜想”成立，即这个规律对于其他偶数是否成立还不得而知．(教师还可以介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现)提出问题：请同学们根据前面所列举的归纳推理的例子，总结归纳推理的作用．活动设计：全班学生先在老师的带领下共同回顾前面所列举的归纳推理的例子，然后独立思考，小组讨论后汇报结果．活动结果：归纳推理的作用：1．发现新事实；2．提供研究方向．设计意图通过学生主动探究规律，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用．在学生独立思考时教师不做任何提示，培养学生探究能力和合作精神．介绍费马猜想：已知221＋1,222＋1,223＋1,224＋1都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？教师：22n ＋1(n ∈N )都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪后欧拉发现：225＋1＝4 294 967 297＝641×6 700 417.这说明了什么？教师：费马猜想是不成立的．后来人们又发现226＋1,227＋1,228＋1都是合数，又能得到什么样的结论？教师：任何形如22n ＋1(n ∈N ，n ≥6)的数都是合数．设计意图教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程，同时说明归纳推理的结论不一定正确，有待进一步证明．活动结果：归纳推理的一般步骤：1．通过观察个别情况发现某些相同性质；2．从已知的相同性质中推出一个表述明确的一般性命题；(即猜想)3．检验猜想．运用新知例题 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＋1＝a n a n ＋1，试归纳出数列的通项公式． 思路分析：数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项与序号之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝1n. 点评：掌握归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用．我们通过归纳得到了关于数列的通项公式的一个猜想，虽然猜想是否正确还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．巩固练习设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( ) A ．一定是零 B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数答案：C变练演编设f(n)＝n 2＋n ＋11，n ∈N ，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、…，你有什么发现？ 思路分析：分别计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)的具体数值，进行观察，发现这组数据的局部特征，从而对整体作出推断．解：当n ＝1时，f(1)＝12＋1＋11＝13；当n ＝2时，f(2)＝22＋2＋11＝17；当n ＝3时，f(3)＝32＋3＋11＝23；当n ＝4时，f(4)＝42＋4＋11＝31；当n ＝5时，f(5)＝52＋5＋11＝41.观察可得，f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)都是质数，由此猜想，任何f(n)＝n 2＋n ＋11，n ∈N 都是质数．变式1：设f(n)＝n 2＋n ，n ∈N ，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、…，你有什么发现？ 变式2：设f(n)＝n 2＋n ＋11，n ∈N ，计算f(2)－f(1)、f(3)－f(2)、f(4)－f(3)、f(5)－f(4)、…，你有什么发现？变式3：设f(n)＝n 2＋n ，n ∈N ，计算f(2)－f(1)、f(3)－f(2)、f(4)－f(3)、f(5)－f(4)、…，你有什么发现？提出问题：归纳推理所得的结论有时是正确的，但有时也是错误的，那么我们为什么还要进行归纳推理呢？活动设计：学生自己进行计算研究，将所有发现的结果一一列举，并由学生相互之间予以评价．活动成果：变式1：f(n)(n ∈N )都是偶数；变式2：f(n ＋1)－f(n)＝2(n ＋1)(n ∈N )都是偶数；变式3：f(n ＋1)－f(n)＝2(n ＋1)(n ∈N )都是偶数．达标检测1．根据下面给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )A ．1 111 110 1×9＋2＝11B ．1 111 111 12×9＋3＝111C ．1 111 112 123×9＋4＝1 111D ．1 111 113 1 234×9＋5＝11 1112．在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，试归纳出这个数列的通项公式． 3．观察下面的“三角阵”，试找出相邻两行数间的关系．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……1 10 45 …… 45 10 1答案：1.B2．数列的通项公式a n ＝1(n ∈N )．3．相邻两行数间的关系是每一行首尾的数都是1，其他的数等于上一行中与之相邻的两个数的和．课堂小结1．知识收获：了解了归纳推理的含义；2．方法收获：掌握了归纳推理的方法和步骤；3．思维收获：归纳推理是进行猜测发现结论、探索和提供思路的常用的思维方法． 布置作业1．课本习题2.1 A 组 1题、3题．2．实习作业：登陆网站，选择两个猜想探究来源．补充练习基础练习1．观察下列数列的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，第100项是( )A ．10B ．13C ．14D ．1002．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为( )A ．nB ．n ＋1C ．2nD ．2n －13．由710>58，911>810，1328>921，…，若a>b>0，m>0，则b ＋m a ＋m 与b a之间的大小关系为( ) A ．相等 B ．前者大C ．后者大D ．不确定4．1，13，17，115，131，…的一个通项公式a n ＝__________. 5．f(x)＝12x ＋2，通过计算f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)的值，猜想f(－n)＋f(n ＋1)＝__________.答案：1.C 2.C 3.B 4.a n ＝12n－1(n ∈N *) 5.22 拓展练习6．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°·cos60°＝34； sin 240°＋cos 270°＋sin40°·cos70°＝34； sin 215°＋cos 245°＋sin15°·cos45°＝34. 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明． 解：反映一般规律的等式是sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sinθ·cos(θ＋30°)＝34. 证明：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sinθ·cos (θ＋30°)＝sin 2θ＋(cosθcos30°－sinθsin30°)2＋sinθ(cosθcos30°－sinθsin30°)＝sin 2θ＋(32cosθ－12sinθ)2＋sinθ(32cosθ－12sinθ) ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－32cosθsinθ＋32cosθsinθ－12sin 2θ ＝34(sin 2θ＋cos 2θ)＝34. 设计说明以问题驱动为指导，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生获得知识，完成教学．给学生创建一个开放、有活力、有个性的数学学习环境．感受数学美和发现规律的喜悦，激励学生更积极地去寻找规律、认识规律．同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事．以学生熟悉的例子为载体，引导他们提炼、概括、归纳推理的含义和归纳推理的方法，自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”．创造和谐积极的学习气氛．让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应该如何应用归纳推理．备课资料哥德巴赫(1690.3.18～1764.11.20)是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格；曾在英国牛津大学学习；原学法学，但由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣.1725年到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年～1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职．1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数(只能被1和它本身整除的数)之和．如6＝3＋3,12＝5＋7等等．哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)大致可以分为两个猜想(前者为“二重哥德巴赫猜想”，后者为“三重哥德巴赫猜想”)：(1)每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇质数之和；(2)每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和．连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明其正确性，这个猜想便引起了许多数学家的注意．从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功．当然也曾经有人作了些具体的验证工作，例如：6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7＝3＋11,16＝5＋11,18＝5＋13，…….有人对3.3×108以内且大于6的偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立．但还没有严格的数学证明．目前“最佳”的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积．”通常都简称这个结果为大偶数．但目前没有任何人对哥德巴赫猜想作出过实质性的贡献．所有的证明都存在问题．一件事物之所以引起人们的兴趣，因为我们关心它，假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的兴趣，我们就会闭上眼睛，假如这个问题对我们的知识毫无帮助，我们就会认为它没有价值．哥德巴赫猜想是数的一种表现次序，人们持久地喜欢它，是因为如果没有这种次序，人们就会丧失对更深刻问题的信念——因为无序是对美的致命伤，假如哥德巴赫猜想是错误的，它将限制我们的观察能力，使我们难以跨越一些问题并无法欣赏．一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活，就会使我们的感受趋向丑陋，引起自卑和伤感．哥德巴赫猜想实际是说，任何一个大于3的自然数n ，都有一个x ，使得n ＋x 与n －x 都是质数，因为，(n ＋x)＋(n －x)＝2n.这是一种质数对自然数形式的对称，代表一种秩序，它之所以意味深长，是因为质数这种似乎杂乱无章的东西被人们用自然数n 对称地串联起来，正如牧童一声口哨就把满山遍野乱跑的羊群唤在一起一样，它使人心旷神怡，又像生物基因DNA ，呈双螺旋结构绕自然数n转动，人们从玄虚的质数看到了纯朴而又充满青春的一面．对称不仅是视觉上的美学概念，它还意味着对象的统一．人类的精神威信建立在科学对迷信和无知的胜利之上，人类的精神健康依赖于一种自信，只有自信才能导入完美的信念使理想进入未来中，完美的信念使人生的辛劳和痛苦得以减轻，这样任何惊心动魄的灾难，荡气回肠的悲怆都难以摧毁人的信念，只有感到无能时，信念才会土崩瓦解，肉体在空虚的灵魂诱导之下融入畜类，人类在失败中引发自卑．哥德巴赫猜想的哲学意义正是如此．(设计者：赵海彬)。