高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积1课时训练含解析

高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积2课时训练含解析苏教版必修4［课时目标：i •掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2•能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模.1. 平面向量数量积的坐标表示若a= (x i, y i) , b =(X2, y2)，贝U a •b = _____________________________ .即两个向量的数量积等于它们 ___________________________ .2. 平面向量的模(1) 向量模公式：设a= (x i, y i)，则| a| = _____________ .(2) 两点间距离公式：若A(x i, y i) , R X2, y2),贝y | A B = _____________________________ .3. 向量的夹角公式设两非零向量a= (x i,y i) ,b= (X2,y2),a与b的夹角为B ,则cos 0 = _________________________4.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a= (x i, y i) , b= (X2, y2)，贝y a丄b? _________________i .已知向量a= (i , n), b= ( —i, n)，若2a- b 与b 垂直，则| a| = _____________ .2. _______________________________________________ 已知a= (3，品,b = (i,0)，则(a—2b) - b = __________________________________________________ .3. ____________________________________________________________________ 若平面向量a= (i , —2)与b的夹角是i80°,且|b| = 4寸5，贝U b= ____________________________________________ .4. __________________________________________________________________ 平面向量a 与b 的夹角为60°, a= (2,0) , | b| = i，则| a+ 2b| = __________________________ .5. _____________________________________________________ 若a= (2,3) , b= ( —4,7)，贝U a在b方向上的投影为____________________________________ .6. ________________________________________________________________________ a, b为平面向量，已知a= (4,3) , 2a+ b= (3,i8)，则a, b夹角的余弦值为 ____________________ .7. 已知向量a = (i,2) , b= (2 , —3).若向量c 满足(c + a) // b, c丄(a + b)，贝U c =&已知向量a= (2,i) , a - b= io, |a+ b| = 5边，贝U | b| = _____________ .9. 已知a= ( —3,2) ,b= ( —i,0)，向量入a + b与a —2b垂直，则实数入的值为________10. 已知a= ( —2,—i), b =(入，i)，若a与b的夹角a为钝角，贝U入的取值范围为________ .二、解答题11. 已知a 与b 同向，b= (i,2) , a ・b = i0.(1) 求a的坐标；(2) 若c= (2 , —i)，求a(b •c)及(a ・b)c.12 .已知三个点A(2,1) , B(3,2) , D( - 1,4),⑴求证：AE U AD(2)要使四边形ABC［为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.【能力提升：n 13•已知向量a= (1,1) ,b= (1 ,a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在0, 变动时，a 的范围是 ___________________ .14•若等边三角形ABC的边长为2>/3,平面内一点M满足CM= -CB^-CA则M A- M B= T631•向量的坐标表示简化了向量数量积的运算•为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2•应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.§ 2.4 向量的数量积(二)知识梳理1. X 1X 2+ y i y 2对应坐标的乘积的和2. (1) ,：x 2+ y 1 (2) ; X 2-x i 2+a -b X 1X 2+ y 1y 23. |a||b I ;x 1 + y 2 x 2+ y 24. X 1X 2+ y 1y 2= 0作业设计1. 2 2解析由(2 a -b ) • b = 0,则 2a • b -1 b | = 0,• 2( n 2-1) - (1 + n 2) = 0, n 2 = 3.•-1 a | = ! 1 + n 2= 2.2. 1解析 a -2b = (1 , 3),(a -2b ) • b = 1x 1+ , 3x 0= 1.3. (-4,8)解析 由题意可设b =入a =(入，—2入),入＜0,2 2 2 2则 | b | =入 + 4 入=5 入=80,二入=-4,• b =— 4a = ( - 4,8).4. 2 ：3解析 a = (2,0) , |b | = 1,• | a | = 2, a • b =2x 1x cos 60 ° = 1.• | a + 2b | = 'a 2+4x a • b + 4b 2= 2 ：3. 「655解析设a 、b 的夹角为0 ,2x - 4 + 3X7贝y cos 0 = —2 2 2 2=W+ 3肃-4 2 + 72 5故a 在b 方向上的投影为| a |cos 0= 13X J=-15. 5 5166.65解析 Va = (4,3) , • 2a = (8,6).又 2a + b = (3,18),• b = ( — 5,12) , • a • b =- 20+ 36= 16.解析设c = (x , y ),由(c + a ) // b 有一3( x + 1) -2(y + 2) = 0,①由 c 丄(a + b )有 3x -y = 0,②联立①②有 x =-9, y =-3，贝y c = ( -9,- 3).& 5解析•••|a + b| = 5.2,I a + b | 2= a 2 + 2a • b + b 2或直接根据 a -b|b | 计算a 在b 方向上的投影.---------------------- 2y 2 — y 1又| a| = 5 , • cos 〈 a , | b | = 13 , 16 b 〉= 5X 13 1665.=5+ 2X 10+ b 2= (5 ⑵ 2, ••• | b| = 5.9.解析由 a = ( — 3,2) , b = ( — 1,0),知入 a + b = ( — 3 入—1,2 入),a — 2b = ( — 1,2). 又(X a +b ) •( a — 2b ) = 0,1• 3 X + 1 + 4 X = 0, • X =— 7.1 10. — 2，2 U (2 ,+s)解析由题意COS a •/ 90°< a <180°,「. a -b = — 2 X — 1⑻1b 1 —远•寸)2+ 1，1<COS a <0,1即 X >—2，1 • X 的取值范围是 一2,2 U (2 ,+^).11 .解 (1)设 a = X b = ( X , 2X ) ( X >0), 则有 a •b = X + 4X = 10, • X = 2, • a = (2,4).⑵••• b •c = 1X 2 — 2X 1= 0,a •b = 10,• a ( b •c ) = 0a = 0,(a ・b)c = 10X (2 , — 1) = (20，— 10).12. (1)证明•/ A (2,1) , 03,2) , D ( — 1,4),•辰(1,1),辰(—3,3),• X B- A £= 1X ( — 3) + 1X 3= 0 ,• AD ,即 AB1 AD⑵解 ABL AD 四边形ABCD^矩形,• XB= D C设C 点坐标为(x , y ),则AB= (1,1), D C= (x +1, y — 4),x + 1 = 1, x = 0 ,• 得y — 4= 1, y = 5.•C 点坐标为(0,5).由于瓜C= ( — 2,4) , BD = ( — 4,2), 所以XC ・ BD = 8+ 8= 16 ,—2 X —1—2X — 1<0,—2X —1> —2X + 1 2 2<5X + 5,|A C = 2 - ,'5, |BD | = 2 ：5.设X (与BD 夹角为e ，贝y•••解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为13. 33, 1 U (1 , ：3)解析 已知O” (1,1)，即A(1,1)如图所示，当点 B 位于B 和B 时,n n n n n n n即/ AOA / AOE ^ 12，此时，/ BO Q — - 12= —，/ BO X =T + 乜=—, 故B 1 1，咨,R(1 , V —)，又a 与b 夹角不为零，3故a z 1,由图易知a 的范围是 —,1 U (1 ,⑶. 314. — 2 p ?■u c i• A A= (0,1),MB ( — ■■./3, — 2). ••• A A A B=— 2. na 与b 夹角为12,解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知 A (0,3) ,B — 3,0) ,M 0,2),cosA C- BD 16 4。

6.2.4向量的数量积（第1课时）（分层作业）（必做题+选做题）【必做题】一、单选题 1．（2022秋·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a ⋅=⋅ ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b ⋅≤⋅ A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）A ．AB 与BC 的夹角是锐角 B ．AC 与BA 的夹角是锐角 C ．AC 与BC 的夹角是锐角D ．AC 与BC 的夹角是钝角3．（2022·高一课时练习）在△ABC 中，∠C=90°，12BC AB =，则AB 与BC 的夹角是 ( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．（2022秋·贵州贵阳·高一统考期末）若a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．22a b = C ．//a bD ．1a b ⋅=5．（2022秋·河北唐山·高一统考期末）已知等边三角形ABC 的边长为2，则AB BC ⋅=（ ）A ．2B ．2-C ．D ．36．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知向量a ，b ，且9a =，12b =，a 与b 的夹角为4π，则⋅=a b （ ）A ．36B ．C ．54D ．5427．（2022秋·江苏镇江·高一统考期末）正ABC 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）A ．12-B ．CD ．128．（2022秋·四川眉山·高一统考期末）向量a ，b 满足3a =，1b ||=，21a b -=，则向量a ，b 的夹角是（ ） A ．6πB ．π3C ．2π3D ．5π69．（2022秋·四川成都·高一统考期末）若1a =，3b =，32a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．（2022秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）如果向量,a b 满足1,2a b ==，且()a ab ⊥+，则a 和b 的夹角大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．75°D ．135°11．（2022秋·江苏连云港·高一统考期末）已知3a =，5b =，设a ，b 的夹角为135︒，则b 在a 上的投影向量是（ ）A ．BC ．D 12．（2022·高一课时练习）已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅为（ ） A ．12 B ．8C ．-8D ．2二、多选题13．（2022秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）下列说法错误的是（ ） A ．零向量没有方向B ．共线向量是同一条直线上的向量C ．若向量1e 与向量2e 共线，则有且只有一个实数λ，使得12=e e λD ．||||||a b a b ⋅≤⋅14．（2022秋·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）在边长为2的正三角形ABC 中，则（ ） A ．,3π=AB ACB ．23AB AC +=C ．AB 在CB 上的投影的数量为-1D ．2AB BC ⋅=三、填空题15．（2022秋·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知4a =，3b =，6a b ⋅=-，则a 与b 所成的夹角大小是______.16．（2022秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量a ，b 满足3a =，2=b ，()a b b -⊥，则cos ,a b =_______．17．（2022秋·广西百色·高一统考期末）已知3a =，e 为单位向量，它们的夹角为3π，则向量a 在e 上的投影向量是___________.18．（2022·高一课时练习）已知6a =，e 为单位向量，a 与e 的夹角为23π，则向量a 在向量e 上的投影向量为______；19．（2022·全国·高一假期作业）已知等边ABC 的边长为3，则AB BC ⋅=________ 20．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知 32a b ==，， 且 ()3a b a +⊥， 则 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ= ______________________________．21．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知向量a 在向量b 方向上的投影为2b -，且||3b =，则⋅=a b __．(结果用数值表示)【选做题】一、单选题1．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知向量 ，a b →→是单位向量， 且(2)a b b →→→-⊥，则向量a →与b →的夹角是（ ）A ．30B ．60C ．90D ．120二、多选题2．（2022·高一课时练习）设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则（ ） A ．a c c b ⋅=⋅ B ．a b a c ⋅=⋅ C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅3．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．已知平面上的任意两个向量a ，b ，不等式a b a ≥+成立B ．若,,,A BCD 是平面上不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 夹角为2πD ．已知平面向量6a =，e 是单位向量，e 与a 夹角为120，则向量a 在向量e 上的投影向量为3e 三、填空题4．（2022秋·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）已知O 是ABC 外接圆的圆心，若5AB =，6AC =，则AO CB ⋅=_________.四、解答题5．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期末）在平面直角坐标系中，平面向量(1,1)a =，2b =，,a b 的夹角为4π． (1)求3a b -；(2)若2m a b =-，求m 在a 方向上的投影的值．6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角是120︒． (1)计算|42|a b -；(2)当k 为何值时，(2)()a b ka b +⊥-？7．（2022秋·吉林白城·高一校考期末）已知非零向量a 与b 满足1a =，且()()12a b a b -⋅+= (1)若12a b ⋅=，求向量,a b 的夹角. (2)在（1）的条件下，求2a b -的值.8．（2022秋·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量,a b 满足1,||||1a b ==，且||3a b +=． (1)求a 与b 的夹角；(2)求向量2a b -在向量a b +上的投影．9．（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）已知向量,,a b c 满足：2a =，()R c a tb t =-∈，,3a b π=．(1)若1a b ⋅=，求b 在a 方向上的投影向量； (2)求||c 的最小值．。

高中向量的数目积数学（答题时间： 40 分钟）1. 以下式子：① a 2b ＝ b； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）aa此中错误的序号为 ________。

*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。

**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。

*4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。

**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝5，则 a 与 c 的2夹角是 ________。

**6.→ →已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。

**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为60°，则当 k 为什么值时，向量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角时 λ的取值范围。

***9.已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，3），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）k t 222的最小值。

平面向量的数量积分层训练·进阶冲关组基础练(建议用时分钟).若与的夹角为°,则·( ).已知·,则与的夹角θ为( )°°°°.已知向量()(),且∥,则( ).已知向量的夹角为°,则等于( ).已知⊥,且与λ垂直,则λ等于( ).±.已知是坐标平面上的三点,其坐标分别为()()(),则△的形状为 ( ).直角三角形.等腰三角形.等腰直角三角形.以上均不正确.已知,<>°,则在方向上的投影是在方向上的投影是..已知为相互垂直的单位向量,那么·..已知()()为坐标原点,且∥,⊥,则点的坐标是()..已知(λ)(),且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是..已知非零向量满足,()·(),且·.()求向量的夹角.()求.【解析】()设向量的夹角为θ,因为()·(),所以,即;又,所以.因为·,所以·θ,所以θ.所以向量的夹角为°.()因为() θ,所以..已知向量()(),()当为何值时,使()∥()?()当为何值时,使()⊥()?【解析】()由()(),得()().因为()∥(),所以()(),解得.()因为()⊥(),所以()(),解得或.组提升练(建议用时分钟).定义×··θ,其中θ为向量与的夹角,若·,则×等于( ) 或.设非零向量满足,则<>等于( )°°°°.如图所示,已知点(),单位圆上半部分上的点满足·,则向量的坐标为..如图所示,在△中,∠°且,点满足,则·..在△中为中线上的一个动点,若,求·()的最小值.【解析】设≤≤,则,(),所以·()()().所以当时,·()有最小值..已知平面上三个向量的模均为,它们相互之间的夹角均为°.()求证:()⊥.()若>(∈),求的取值范围.【解析】()因为,且之间的夹角均为°,所以()···° °.所以()⊥.()因为>,所以()>,即···>,所以 ° ° °>.所以>,解得<或>.所以实数的取值范围为<或>.组 培优练(建议用时分钟).在四边形中,已知. ()若四边形是矩形,求·的值.()若四边形是平行四边形,且·,求与夹角的余弦值. 【解析】()因为四边形是矩形, 所以·.由,得.所以·()·()··×.()由题意,,所以·····.又·,所以·, 所以·.设与的夹角为θ,又··θ××θθ,所以θ,即θ.所以与夹角的余弦值为..已知()()(λ)λ(λ≠λ).()求·及在上的投影.()证明三点共线,并在时,求λ的值. ()求的最小值.【解析】()·,设与的夹角为θ,则θ,所以在上的投影为θ×.()()(λ)(λ)(λ),因为与有公共点,所以三点共线.当时,λ,所以λ.()(λ)λ(λ)·λλλ.所以当λ时取到最小值.。

§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )A．－3 B．－2 C．2 D．－12．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )A.32B．－32C．±32D．13．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( ) A．0 B．2 2 C．4 D．84．在边长为1的等边△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b ＋b·c＋c·a等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．127．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．给出下列结论：①若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；②若a ·b ＝b ·c ，则a ＝c ；③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |. 能力提升13．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ 3.(1)b ·a (2)λ(a ·b ) a ·(λb ) (3)a ·c ＋b ·c 作业设计1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．B [|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.]4．A [a ·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b ·c ＝－12，c ·a ＝－12， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.] 5．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°.] 6．C [∵a ·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72. ∴|a |＝6.]7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．④解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确； 当a ＝0，b ⊥c 时，a ·b ＝b ·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a ·b )c 与c 共线，a (b ·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝(a ·b )(a ·c )－(a ·c )(a ·b )＝0.9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°.10．[0,1]解析 b ·(a －b )＝a ·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a ·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a ·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a ·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6. 12．解 a ·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝a －b 2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5. 13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·2a －b a ＋b |2a －b |·|a ＋b |＝2a －b a ＋b|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。

人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

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2。

4 平面向量的数量积2。

4。

1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4。

2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、平面向量数量积的物理背景及其含义1．平面向量数量积的物理背景物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功||||cosF s F s,其中=⋅=⋅⋅Wθθ为力F与位移s之间的夹角。

而力与位移都是矢量，这说明两个也可以进行运算. 2．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,a b,我们把数量||||cosθa b叫做向量a与b的 (innerproduct)(或内积），记作⋅a b，即⋅=a b，其中θ是a与b的夹角.我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。

(2)投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ,则||cosθb）叫做向量a在b方向上(b在a方向上）a（||cosθ的 (projection).如图（1）(2)（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形,其中OB=，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是1向量OB的长度.1（3)数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义:数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的 . 3．平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质由向量数量积的定义，设,a b 都是非零向量，则有：①⊥⇔a b ；②22||⋅==a a a a 或||=⋅a a a ;③当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ；④cos ||||θ⋅=a b a b ，其中θ是非零向量a 与b 的夹角； ⑤||||||⋅≤a b a b ,当且仅当向量,a b 共线，即∥a b 时等号成立.（2）平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：已知向量,,a b c 和实数λ,则①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b = ;③分配律:()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c 。