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高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
高考数学二轮复习专题 6 分析几何第一讲 直 线与 圆 理第一讲 直线与圆1．两直线平行．(1) 设直线 l 1， l 2 是两条不重合的直线，斜率都存在，分别为k 1，k 2，则有 l 1∥ l 2? k 1＝k 2．(2) 设直线 l ， l 2是两条不重合的直线，斜率都不存在，则有 l ∥ l．1122．两直线垂直．(1) 设直线 l 1， l 2 的斜率都存在，分别为k 1， k 2，则 l 1⊥ l 2? k 1k 2＝－ 1．(2) 若直线 l 1， l 2 的斜率一个为 0，另一个斜率不存在，则l 1⊥ l 2．1．两点间的距离公式．点 P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的距离为 | P 1P 2| ＝（ x 2 －x 1） 2＋（ y 2－y 1） 2．2．点到直线的距离公式．点 ( x 0， y 0) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0 的距离为 d ＝| Ax 0＋ By 0＋C |A 2＋B 2 ．3．两条平行直线间的距离．| C －C |平行线 l 1： Ax ＋ By ＋ C 1＝ 0 与 l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0 间的距离 d ′＝21A 2＋B 2．1．直线与圆的地点关系及其判断．(1) 几何法．设圆心到直线l 的距离为 d，圆的半径为r ，则直线与圆相离? d＞r；直线与圆相切? d＝r；直线与圆订交? d＜r．(2)代数法．Ax＋By＋ C＝0，（x－a） 2＋（y－b） 2＝r 2消元后得一元二次方程的鉴别式的值，则直线与圆相离 ? ＜ 0；直线与圆相切? ＝0；直线与圆订交 ? ＞ 0．2．圆与圆的地点关系．(1)几何法．设两圆的圆心距为d，半径分别为r 1， r 2，则两圆外离 ? d＞r1＋r2；两圆外切 ? d＝r1＋r2；两圆订交 ? | r1－r2 | ＜d＜r1＋r2；两圆内切 ? d＝ | r1－r2|( r1≠r2) ；两圆内含 ? 0≤d＜ | r1－r2|( r1≠r2) ．(2)代数法．222，（ x－ a1）＋（ y－ b1）＝r1（－2）2＋（－2）2＝22，则x a y b r两圆外离或内含 ? 方程组无解；两圆外切或内切 ? 方程组有一组实数解；两圆订交 ? 方程组有两组不一样的实数解．3 ．设空间两点A( x1， y1， z1)， B( x2， y2， z2)，则 A， B 两点间距离为d ＝（ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2＋（ z2－ z1）2．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．(1) 依据直线的倾斜角的大小不可以确立直线的地点．( √ )(2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ×)(4) 经过定点 A (0 ， b ) 的直线都能够用方程 y ＝ kx ＋ b 表示． ( ×)(5) 经过随意两个不一样的点P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的直线都能够用方程 ( y － y 1)( x 2－ x 1)＝ ( x － x 1)( y 2－y 1) 表示． ( √ )(6) 方程 Ax 2＋ Bxy ＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠0， B ＝ 0， D 2＋ E 2－4AF >0.( √ )1．直线 l 过点 ( － 1， 2) 且与直线 3x ＋ 2y ＝0 垂直，则 l 的方程是 ( D)A ． 3x ＋ 2y － 1＝0B ． 3x ＋ 2y ＋ 7＝ 0C ． 2x － 3y ＋ 5＝0D ． 2x － 3y ＋ 8＝ 022分析： 由题可得 l 斜率为 3，∴ l： y － 2＝ 3( x ＋1) ，即 2x － 3y ＋ 8＝ 0 . 应选 D.2．(2015 ·山东卷 ) 一条光芒从点 ( － 2，－ 3) 射出，经 y 轴反射后与圆 ( x ＋ 3) 2＋ ( y － 2) 2＝1 相切，则反射光芒所在直线的斜率为( D)5332A ．－ 3或－5B ．－ 2或－ 3C ．－ 5或－4 D ．－ 4或－ 3 45 3 4分析： 由已知，得点 ( － 2，－ 3) 对于 y 轴的对称点为 (2 ，－ 3) ，由入射光芒与反射光芒的对称性，知反射光芒必定过点(2 ，－ 3) ．设反射光芒所在直线的斜率为k ，则反射光芒所在直线的方程为y ＋ 3 ＝ k ( x － 2) ，即kx － y － 2k － 3＝ 0. 由反射光芒与圆相切，则有d ＝| － 3k － 2－2k － 3|43k 2＋ 1＝1，解得k ＝－ 3或k ＝－ 4，应选D.3．圆 ( x ＋ 2) 2＋ y 2＝ 4 与圆 ( x －2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 9 的地点关系为( B)A ．内切B ．订交C ．外切D ．相离4. (2015 ·江苏卷) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线mx － y － 2m－1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( x － 1) 2＋ y 2＝ 2．分析：直线mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径 r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋ 1) 2 ＝2.一、选择题1．已知两条直线 y ＝ ax －2 和 y ＝( a ＋ 2) x ＋1 相互垂直，则a 等于 ( D)A ．2B ．1C ．0D ．－1分析： 解法一 将选项分别代入题干中察看，易求出 D 切合要求．应选D.解法二 ∵直线＝－ 2 和 y ＝( ＋ 2) x ＋1 相互垂直，∴( ＋2) ＝－1. ∴ ＝－ 1. 故y axaa a a选 D.2. (2015 ·江苏卷改编 ) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx － y－2m － 1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( A)A ． ( x － 1) 2＋ y 2＝ 2B ． ( x －1) 2＋ ( y －1) 2＝ 2C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 2D ． ( x －2) 2＋ ( y －1) 2＝ 2分析： 直线 mx － y － 2m －1＝ 0 经过定点 (2 ，－ 1) ．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋1) 2 ＝2.3．(2015 ·北京卷 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是 ( D)A ． ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ． ( x ＋ 1) 2＋( y ＋ 1) 2＝ 1C ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 2D ． ( x － 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2分析： 圆的半径 r ＝ （ 1－ 0）2＋（ 1－ 0） 2＝ 2，圆心坐标为 (1 ， 1) ，因此圆的标准方程为 ( x －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2.4．对随意的实数 k ，直线 y ＝ kx ＋1 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系必定是 ( C)A ．相离B．相切C ．订交但直线可是圆心D ．订交且直线过圆心圆心 C (0 ，0) 到直线 kx － y ＋ 1＝ 0 的距离为 d ＝112＝ r ，且分析： 解法一1＋ k 2≤ 1＜圆心 C (0 ，0) 不在该直线上．解法二直线 kx － y ＋ 1＝0 恒过定点 (0 ，1) ，而该点在圆 C 内，且圆心不在该直线上． 故选 C.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6 －8 y ＝ 0. 设该圆过点 (3 ， 5) 的最长弦和最短弦分别为ACx和 BD，则四边形 ABCD的面积为( B)A．10 6 B ．20 6C．30 6 D ．406分析：由 x2＋ y2－6x－8y＝0，得( x－3)2＋( y－4)2＝25，圆心为 (3 ， 4) ，半径为 5.又点 (3 ，5) 在圆内，则最长弦 | AC| ＝ 10，最短的弦 | BD| ＝2·25－（ 3－ 3）2－（ 4－ 5）2＝2 24＝4 6，∴ S 四边形ABCD＝1×10×46＝ 20 6. 26．(2015 ·新课标Ⅱ卷 ) 已知三点(1 ，0)， (0，3)， (2，3) ，则△外接圆的A B C ABC圆心到原点的距离为( B)521254A. 3B.3C.3D.3分析：在座标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得| AB| ＝| AC| ＝| BC| ＝2( 也能够借助图形直接察看得出) ，因此△ABC为等边三角形．设BC的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心．因此 | |2| ＝23|22421＝ |3，进而| |＝ |＋ || ＝1＋＝，AE3AD OE OA AE33应选 B.二、填空题7．(2014 ·陕西卷 ) 若圆C的半径为1，其圆心与点 (1 ， 0) 对于直线y＝x对称，则圆C 的标准方程为x2＋( y－1)2＝1．分析：因为圆心与点(1 ，0) 对于直线y＝ x 对称，因此圆心坐标为(0 ，1) ．因此圆的标准方程为： x2＋( y－1)2＝1.8．(2014 ·湖北卷 ) 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1 分红长度相等的四段弧，则a2＋ b2＝2．分析：依题意，设l 1与单位圆订交于A， B 两点，则∠ AOB＝90°.如图，当a＝1， b＝－1 时知足题意，因此a2＋ b2＝2.三、解答题9．已知圆C： x2＋y2－2x＋4y－4＝0，能否存在斜率为 1 的直线l ，使以l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明原因．分析：圆 C化成标准方程为( x－ 1) 2＋( y＋ 2) 2＝ 9.假定存在以AB为直径的圆M，圆心 M的坐标为( a， b)，b＋2因为 CM⊥ l ，∴ k CM k l＝－1，× 1＝－1，∴ a＋ b＋1＝0，得 b＝－ a－1.①直线 l 的方程为 y－ b＝ x－ a，即 x－ y＋ b－ a＝0.| |＝| b－a＋ 3|，CM2∵以 AB为直径的圆M过原点，∴| MA|＝ | MB| ＝| OM|.2＝9－|b－a＋3|2b－ a＋3|2∴ | MB|2＝| CB|2－ | CM|＝ | OM|2＝a2＋b2，即 9－|＝ a2＋b2.②22 3由①②得 a＝2或 a＝－1，35当 a＝时， b＝－，22此时直线 l 的方程为 x－y－4＝0；当 a＝－1时， b＝0，此时直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x－ y－4＝0或 x－y＋1＝0.10．在平面直角坐标系12222 xOy中，已知圆 C：( x＋3)＋ ( y－ 1)＝ 4和圆 C：( x－4)＋( y－5) 2＝ 4.(1) 若直线l过点 (4 ， 0) ，且被圆1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程；AC(2) 设 P 为平面上的点，知足：存在过点P 的无量多对相互垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分 别与圆 C 和圆 C 订交，且直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 截得的弦长相等， 试求1212全部知足条件的点P 的坐标．分析： (1) 因为直线 x ＝ 4 与圆 C 1 不订交，因此直线 l 的斜率存在． 设直线 l 的方程为 y＝k ( x － 4) ，即 kx －y － 4k ＝ 0.由垂径定理，得圆心C 1 到直线的距离 d ＝22－2 32＝1，2| － 3k － 1－ 4k |＝ 1.联合点到直线距离公式，得k 2＋ 127化简，得 24k ＋ 7k ＝ 0，解得 k ＝ 0 或 k ＝－.7因此直线 l 的方程为： y ＝ 0 或 y ＝－( x － 4) ，即 y ＝ 0 或 7x ＋ 24y － 28＝ 0.24(2) 设点 P 坐标为 ( m ， n ) ，直线 l 1， l 2 的方程分别为：1y － n ＝k ( x － m ) ， y － n ＝－ k ( x － m )( k ≠0) ，11即： kx － y ＋ n －km ＝ 0，－ k x － y ＋n ＋ k m ＝ 0.因为直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂12径定理，得圆心 C 1 到直线 l 1 与圆心 C 2 到直线 l 2 的距离相等．41|－3 －1＋ － |－ k － 5＋ n ＋ k mn km＝，故有k 2＋ 11k 2＋1化简得 (2 － m － n ) k ＝ m － n － 3 或 ( m －n ＋ 8) k ＝m ＋ n － 5，对于 k 的方程有无量多解，有2－m－n＝ 0，m－n＋8＝0，或m－n－3＝0m＋n－5＝0，3，13或5，－1.解得点 P 坐标为－2222经查验，以上两点知足题目条件．11．已知过点A(－1，0)的动直线 l 与圆 C：x2＋( y－3)2＝4订交于 P，Q两点， M是 PQ 中点， l 与直线 m： x＋3y＋6＝0订交于点 N.(1)求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2)当 PQ＝2 3时，求直线 l 的方程．1分析： (1) ∵l与m垂直，且k m＝－，∴ k l＝3.3故直线 l 方程为 y＝3( x＋1)，即3x－ y＋3＝0.∵圆心坐标 (0 ，3) ，知足直线l 方程．∴当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C.(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1切合题意．②当直线l与 x 轴不垂直时，设直线l的方程为y＝ k( x＋1)，即kx－ y＋ k＝0，∵ PQ＝23，CM＝4－3＝ 1，则由CM＝|－ 3＋k| k2＋1＝ 1，得4k＝3.∴直线l ：4x－3y＋4＝0.故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋ 4＝ 0.。
高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。
在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。
下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。
2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。
二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。
2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。
三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。
2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。
3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。
四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。
2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。
3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。
4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。
第1讲直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真题感悟1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A .[2，6]B .[4，8]C .[2，32]D .[22，32][解析] 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6. [答案] A2.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.[解析] 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，所以k OA ＝1，k AB ＝1－01－2＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，所以OA ⊥AB .所以OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. [答案] x 2＋y 2－2x ＝03.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.[解析] 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2.所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.[答案] 4π4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________.[解析] 因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.[答案] 3考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2k 1＝k 2，l 1⊥l 2k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.热点一直线的方程【例1】(1)(2018·惠州三模)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积最小时，直线l的方程为()A.2x＋y－4＝0B.x＋2y－5＝0C.x＋y－3＝0D.2x＋3y－8＝0[解析](1)由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7.但m＝－1时，直线l1与l2重合.当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件.(2)设l的方程为xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1.∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥22ab.则1≥22ab，∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即a＝2，b＝4时，取“＝”).∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小.此时l的方程为x2＋y4＝1，即2x＋y－4＝0.[答案](1)B(2)A探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】(1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________.[解析](1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.(2)当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.∵A(1，1)，B(0，－1)，∴k AB＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k＝－1 2.∴直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.[答案] (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二 圆的方程【例2】 (1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.(2)(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. [解析] (1)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC→＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ).由题意知AC →与AF →的夹角为120°， 得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.[答案] (1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)(x ＋1)2＋(y －3)2＝1探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【训练2】 (1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.(2)(2018·日照质检)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.[解析] (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(2)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x －2)2＋y 2＝9热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考法1 圆的切线问题【例3－1】 (1)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2018·湖南六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A .(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 [解析] (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋[－（a ＋3）]2＝1，解得a ＝－53.(2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0. 由d ＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k ＝±3.∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. [答案] (1)－53 (2)B 考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0， ③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A .内切B .相交C .外切D .相离(2)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________________.[解析] (1)圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a 2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.(2)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. [答案] (1)B (2)x ＋y －3＝01.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x 轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d).一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－43B.－34 C. 3 D.2[解析]圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.[答案] A2.(2018·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y ＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要[解析]“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0m＝±1.∴命题p是命题q的充分不必要条件.[答案] A3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝0[解析]依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∵圆心(1，0)与，所以切线的斜率k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y 切点(3，1)连线的斜率为12－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.[答案] B4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A.1031B.921C.1023D.911[解析]易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝2，∴最短弦的长为2r2－|PC|2＝225－2＝223，故所求四边形的面积S＝12×10×223＝1023.[答案] C5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B .[0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 [解析] 设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，∴x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤9，解之得0≤a ≤125.[答案] A二、填空题6.过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.[解析] 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.[答案] x ＋2y －3＝07.(2018·济南调研)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.[解析] 由y ＝ax 2，得x 2＝y a ，∴准线l 的方程为y ＝－14a .又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，则a ＝12. [答案] 128.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆C 的方程为________.[解析] 由题意，1002 500＝a 1 000＝b 600，∴a ＝40，b ＝24，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|25＋9＝334， ∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，∴r ＝634， ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817.[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817三、解答题9.已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎨⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即l 1与l 2的交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标.解 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2. 由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程.解 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22， 所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。
高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。
其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。
本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。
热点题型范例 一、动点轨迹方程问题例1．M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -= （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =，求PM d 的值。
1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？二、圆的综合问题例2、在直角坐标系中，A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设三角形ABC 的外接圆圆心为E 。
（1）若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点p 在圆E 上，使三角形PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在，请说明理由。
三、圆锥曲线定义的应用例3. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =3.1已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程四、圆锥曲线性质问题例5．①已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96②已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2D．2 4.1．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+4.2．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6． 设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。
南宁外国语学校2012年高考第二轮复习专题素质测试题直线和圆的方程（文科）班别______学号______姓名_______评价______（考试时间120分钟，满分150分,）一、选择题（每小题5分，共60分。
以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1。
“2a ="是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒,再向右平移1个单位,所得到的直线为（ ) A.1133y x =-+B.113y x =-+ C.33y x =-D.31y x =+ 30y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A ．- B ．- C D ．或4．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为( ）A ．2B ．C ．3D ．5.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ）A. 1)37()3(22=-+-y xB. 1)1()2(22=-+-y xC.1)3()1(22=-+-y xD 。
1)1()23(22=-+-y x6。
已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ )A 。
2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=17。
已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ) A.22(1)(1)2x y ++-= B 。
22(1)(1)2x y -++= C 。
22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++=8。
