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简单荷载作用下梁的挠度和转角

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梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线

梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
转角则明显不同。
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw

F lx

x2 2


C1
EIw
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和
w
M x
1 w2 3/2 EI

梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线

梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线

x

a
3
x3

l2
b2
x
左、右两支座处截面的转角分别为
qA
q1
|x0
Fb l 2 b2 6lEI
Fabl b
6lEI
qB
q2
|xl


Fabl
6lEI
a
当a>b时有
qmax qB

Fabl a
6lEI

根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax 所在w 0 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2 以x为自变量进行积分得：

EIw


q 2

lx2 2

x3 3


C1
EIw

q 2

lx3 6

x4 12


C1x
C2
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
w
x 1 w2 3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方

《材料力学》课件5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角

《材料力学》课件5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角
EI z1
F
A
B
C 2 BF BM
M FL2
C
C 3 BF BM L2
C 3 C1 C 2 C 3
3 2 2 2 2 FL FL FL L L FL L FL FL2 1 2 1 1 2 1 2 2 L1 2 2 EI z1EI z1 2 EI z1 EI z1 3EI z 2 3EI z1
(d)
Me
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me Me Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(b)
(C)
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直 线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变 形曲线在交界处应有共切线。
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
按叠加原理计算梁的挠度和转角

七章梁弯曲时的位移

七章梁弯曲时的位移

§7－5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wm ax l
w l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。
q
A l
y
Bx
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237104 m4
(x
a) 2
C2
（c）
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
（d）
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x0 0 w xl 0
位移连续条件：
w1(a) w2 (a), w1(a) w2 (a)
得：
C1 C2
Fb (l 2 b2 ), 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me
q
A
C
l
q
A Me
A
解：此梁上的荷载可以分为 B 两项简单荷载，如图所示。
wC
wCq
wCM
5ql 4 384 EI
Mel2 16 EI
B
A
Aq
AM
ql3 24 EI
M el 3EI
正对称荷载作用下：
wC1
5(q / 2)l 4 384 EI
5ql 4 768 EI
A1
B1
(q / 2)l3 24 EI
ql3 48 EI
B
q

《梁的挠度及转角 》课件

《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；

材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)

材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
逆时针） （逆时针）
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =

惯性矩截面系数弯矩图计算公式汇总

惯性矩、截面系数、弯矩图计算公式汇总附录1 截面图形的几何性质提要:不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。

当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。

这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。

平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。

附1.1 截面的静矩与形心任意平面几何图形如图1.1所示。

在其上取面积微元dA，该微元在yOz坐标系中的SSy=?zdA，Sz=?ydA坐标为z、y。

设静矩为，则有:AA图1.1 静矩的概念 (附1.1)静矩的量纲为长度的3次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。

则A?zC=?z?dA=Sy A———————————————————————————————————————————————由此可得薄板重心的坐标zC为zC=?AzdAA=SyA 同理有yC=Sz A?260? 材料力学所以形心坐标或zC=SyA，yC=SzA(附1.2)Sy=AzC，Sz=AyC由式(附1-2)得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yC=0，Sz=0;zC=0，则Sy=0;反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。

设第i块分图形的面积为Ai，形心坐标为 yCi,zCi ，则其静矩和形心坐标分别为———————————————————————————————————————————————Sz=?AiyCi，Sy=?AizCii=1i=1nniCi(附1.3)SyC=z=A?Ayii=1nCi?Ai=1n，zC=SyA=?Azi=1nn(附1.4) ———————————————————————————————————————————————i?Ai=1i【例附1.1】求图1.2所示半圆形的Sy,Sz及形心位置。

第5章(梁的挠度和转角及挠曲线近似微分方程)


再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对
应于负值的w" ，故从上列两式应有 w M x 2 3/ 2 EI 1 w 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x EI 一般记为 EIw M x
于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角。
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考题：梁的截面位移与变形有何区别？有何联系？
答：梁的截面位移是指：截面形心的线位移和截面相对其
是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转
角方程：
5
q tanq w f x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
10


8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1 w x 1 w2


3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。

第七章-梁的位移-转角、挠度


Ezy I2 14 qLx4C 1xC 2
q Lx3L3 6EzI
y q Lx44L 3xL 4 2E 4zI 12
第七章 梁的弯曲变形
例7-3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大
挠度。
a A
Fb L
x
F b
C
l
y
x
B
M1x
x
Fb L
x
0xa
Fa
M2xF Lb xFxa
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
EIdd2xy2 EIy'' M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为
Mi ( x) ，转角为
，挠度为
i
yi
，则有：
EIiy''Mi(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi (x) M(x) i1
n
n
所以， E I y''i E(Iyi)''M(x)
i1
i1
17
7-4
第七章 梁的弯曲变形
n
故
y' ' ( yi )' '

第五章梁弯曲时的位移

挠曲线方程为 w w(x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
tg w' w'(x)
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
b
l
FB
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FA x F l x
(0 x a)
b M2 F l x F(x a) (a x l)
36
两段梁的挠曲线方程分别为
挠曲线方程
1 ( 0 x a)
EIw1"
M1
F
b l
x
转角方程 挠度方程
EIw1'
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
l
EIw Fl
46
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Fl
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
47
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
边界条件： x l , w 0
xl , w0
48
l
F x
b(x)
b1
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
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M x w= (6al − 3a 2 − 2l 2 − x 2 ) 6 EIl
w= Mx( 2 l— 6 EIl
2 x2— 3 b )
(当 a≥b 时)
θA= M e (6 al −3a −2l 6 EIl
2
2
)
( 0≤ x ≤ a )
12
w= M x 6 EIL
θB =
x 3-3 l ( x a ) 2 - ( l 2 3 b2 ) x (a < x < l )
θB =
wB =
Fa 2 2 EI
Fa 2 (3l − a ) 6 EI
4
w=
qx ( x 2 + 6l 2 − 4lx) 24 EI
2
ql 3 6 EI ql 4 wB = 8 EI
θB =
·286·
材料力学
续表
序号
梁上荷载及弯矩图
挠曲线方程
转角和挠度
q0 l 3 24 EI q l4 wB = 0 30 EI
Me 2 (l − 3a 2 ) 6 EIl
w=
2 ⎞⎤ qb5 ⎡⎢ x3 x ⎛ ⎜2 l −1⎟ ⎟⎥ − 2 ⎜ ⎟ 3 2 ⎢ ⎟⎥⎥ ⎜ b⎝ b 24 EIl ⎣⎢ b ⎠ ⎦
(0 ≤ x ≤ a )
13
w= ⎤ q ⎡⎢ b 2 x 3 b 2 x 2 2 (2l − b 2 ) −( x −a ) 4 ⎥ − ⎢ ⎥ l 24 EI ⎣ l ⎦ (a ≤ x ≤ l )
附录 3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
w=沿 y 方向的挠度 wB=w(l)=梁右端处的挠度 θ B = w′(l ) =梁右端处的转角 w=沿 y 的方向挠度 l wc=w( )=梁的中点挠度 2 θ a = w′(0) =梁左端处的转角
θ a = w′(l ) =梁右端处的转角
序号
梁上荷载及弯矩图
M Bl 6 EI M l θB = − B 3EI M l2 wc = B 16 EI
θA =
8
w=
qx 3 (l − 2lx 2 + x3 ) 24 EI
ql 3 24 EI ql 3 θB = − 24 EI 5ql 4 wc = 384 EI
θA =
θA =
9
w= q0 x (7l 4 − 10l 2 x 2 + 3 x l − b) 2 θB = − 24 EIl qb5 ⎛ 3 l3 1 l ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ wc = ⎜ 3− ⎟ ⎟ 24 EIl ⎜ 2 b⎠ ⎝4 b
θA =
qb 2 (2l 2 − b 2 )
(当 a > b 时)
qb5 3 l 3 wc = − 24 EIl 4 b3 1l 1 l5 + 2 b 16 b5 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜1 − 2a ⎟ •⎜ ⎟ ⎜ ⎝ l ⎠
7 q0l 3 360 EI q0 l 3 θ B =45EI 5q0l 4 wc = 768EI
w=
10
Fx (3l 2 − 4 x 2 ) 48 EI l ( 0≤ x≤ ) 2
Fl 2 16 EI Fl 2 θB = − 16 EI Fl 3 wc = 48EI
θA =
·286·
附录 3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
挠曲线方程
转角和挠度
Mel EI Mel 2 wB = 2 EI
1
M x2 w= e 2 EI
θB =
2
w=
Fx (3l − x) 6 EI
2
θB =
Fl 2 2EI Fl 3 wB = 3EI
3
Fx 2 (3a − x) 6 EI (0 ≤ x ≤ a ) w= Fa 2 (3 x − a) 6 EI (a ≤ x ≤ l ) w=
5
w=
q0 x (10l 3 − 10l 2 x + 5lx 2 − x3 ) 120 EIl
2
θB =
6
w=
M Ax (l − x)(2l − x) 6 EIl
M Al 3EI M l θB = − A 6 EI M Al 2 wC = 16 EI
θA =
7
w=
MBx 2 (l − x 2 ) 6 EIl
·287· 续表
序 号
梁上荷载及弯矩图
w=
挠曲线方程
Fbx 2 (l − x 2 − b 2 ) 6 EIl
转角和挠度
Fab(l + b) 6 EIl Fab(l + a) θB = − 6 EIl Fb(3l 2 − 4b 2 ) wc = 48EI
θA =
11
( 0≤ x≤a ) ⎡ ⎤ Fb l ⎢ ( x − a) 3 + (l 2 − b 2)x − x 3 ⎥ w= 6 EIl ⎣⎢ b ⎦⎥ ( a≤ x≤l )
4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(当 a < b 时)
·287·