第五章单纯形法资料
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韩伯棠管理运筹学(第三版)_第五章_单纯形法
第五章单纯形法
此法是求解线性规划问题的一种有效方法 本章的学习内容： 本章的学习内容： §1、单纯形法的基本思路和原理 、 §2、单纯形法的表格形式 、 §3、求目标函数值最小的问题的单纯形表解 、 法 4、几种特殊情况 、
图解法只能解决仅含有两个决策变量的线 性规划的问题， 性规划的问题，对多于两个决策变量的线性规 划问题， 解法就显得无能为力了。 划问题，图 解法就显得无能为力了。在这一章 里将介绍由美国数学家丹捷格(G·B· Dantgig) 里将介绍由美国数学家丹捷格 1947提出的，得到最广泛应用的线性规划的代 提出的， 提出的 数算法——单纯形法，这恐怕是在运筹学发展 单纯形法， 数算法 单纯形法 史上最辉煌的一笔， 史上最辉煌的一笔，此算法是对运筹学算法的 一次革命。 一次革命。在第三章所介绍的线性规划问题的 计算机解法就是基于单纯形法原理来编程的。 计算机解法就是基于单纯形法原理来编程的。 它可解决多个变量线性规划问题。 它可解决多个变量线性规划问题。在后来研究 上还发明其它求解线性规划的方法,如前苏联科 上还发明其它求解线性规划的方法 如前苏联科 学家发明的内点法、印度科学家发明的K算法 学家发明的内点法、印度科学家发明的 算法 等。
1 1 1 1 0 0 基B1 = 2 1 0 和B 2 = 0 1 0 的基向量和非基向量是 什么 ？ 0 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 A = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
• 基变量：与基向量pi相应的变量 i叫基变量，基 基变量：与基向量 相应的变量X 基变量， 都是B 变量有m个 在此例题中X 变量有 个，在此例题中 1，X2，S1都是 1的基 的基变量。 变量， 变量，而S1，S2，S3是B2的基变量。 • 非基变量：与非基向量 j相应的变量 j叫非基变 非基变量：与非基向量p 相应的变量X 非基变量有n-m个，在此例题中，S2，S3是B1 量，非基变量有 个 在此例题中， 的非基变量。 的非基变量。 的非基变量。而X1，X2是B2的非基变量。 • 基本解：由线性代数知识得：如果在约束方程组 基本解：由线性代数知识得： 系数矩阵中找到一个基， 系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为 再求解这个方程组就可得到唯一解了， 零。再求解这个方程组就可得到唯一解了，这个 基本解。 解称为线性规划的基本解 解称为线性规划的基本解。 x1 x2 s1 s2 s3
此法是求解线性规划问题的一种有效方法 本章的学习内容： 本章的学习内容： §1、单纯形法的基本思路和原理 、 §2、单纯形法的表格形式 、 §3、求目标函数值最小的问题的单纯形表解 、 法 4、几种特殊情况 、
图解法只能解决仅含有两个决策变量的线 性规划的问题， 性规划的问题，对多于两个决策变量的线性规 划问题， 解法就显得无能为力了。 划问题，图 解法就显得无能为力了。在这一章 里将介绍由美国数学家丹捷格(G·B· Dantgig) 里将介绍由美国数学家丹捷格 1947提出的，得到最广泛应用的线性规划的代 提出的， 提出的 数算法——单纯形法，这恐怕是在运筹学发展 单纯形法， 数算法 单纯形法 史上最辉煌的一笔， 史上最辉煌的一笔，此算法是对运筹学算法的 一次革命。 一次革命。在第三章所介绍的线性规划问题的 计算机解法就是基于单纯形法原理来编程的。 计算机解法就是基于单纯形法原理来编程的。 它可解决多个变量线性规划问题。 它可解决多个变量线性规划问题。在后来研究 上还发明其它求解线性规划的方法,如前苏联科 上还发明其它求解线性规划的方法 如前苏联科 学家发明的内点法、印度科学家发明的K算法 学家发明的内点法、印度科学家发明的 算法 等。
1 1 1 1 0 0 基B1 = 2 1 0 和B 2 = 0 1 0 的基向量和非基向量是 什么 ？ 0 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 A = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
• 基变量：与基向量pi相应的变量 i叫基变量，基 基变量：与基向量 相应的变量X 基变量， 都是B 变量有m个 在此例题中X 变量有 个，在此例题中 1，X2，S1都是 1的基 的基变量。 变量， 变量，而S1，S2，S3是B2的基变量。 • 非基变量：与非基向量 j相应的变量 j叫非基变 非基变量：与非基向量p 相应的变量X 非基变量有n-m个，在此例题中，S2，S3是B1 量，非基变量有 个 在此例题中， 的非基变量。 的非基变量。 的非基变量。而X1，X2是B2的非基变量。 • 基本解：由线性代数知识得：如果在约束方程组 基本解：由线性代数知识得： 系数矩阵中找到一个基， 系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为 再求解这个方程组就可得到唯一解了， 零。再求解这个方程组就可得到唯一解了，这个 基本解。 解称为线性规划的基本解 解称为线性规划的基本解。 x1 x2 s1 s2 s3
第5章-单纯形法
所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行
基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个
基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中
要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
xm a x m ,m 1 m 1 a m ,n xn bm ,
x j 0. j 1, 2, , n
以下用 xii1,2, ,m表示基变量，用 x jj m 1 ,m 2 , ,n
表示非基变量。
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai,m1xm1ai,m2xm2 ai,nxn
i1
a1j
,cma2j
amj
c1,c2, ,cmpj
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
从最优解判别定理知道，当某个σj＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σj＞0，则为了使目标函数 增加得更大些，一般选其中的σj最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个
基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中
要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
xm a x m ,m 1 m 1 a m ,n xn bm ,
x j 0. j 1, 2, , n
以下用 xii1,2, ,m表示基变量，用 x jj m 1 ,m 2 , ,n
表示非基变量。
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai,m1xm1ai,m2xm2 ai,nxn
i1
a1j
,cma2j
amj
c1,c2, ,cmpj
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
从最优解判别定理知道，当某个σj＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σj＞0，则为了使目标函数 增加得更大些，一般选其中的σj最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
第5章_单纯形法
初始可行解:第一个找到的可行域的顶点。
三、单纯形法试算程序框图（见图5—1）
开始
转变为标准型[增加额外 变量(松弛、剩余、人工 变量)]
建立初始单纯形表
最优
是
停
否 找出“换入”“换出”变量
修正单纯形表
图5—1
5.2 线性规划模型的变换
一、线性规划模型标准型的特点 ⑴目标函数是求极大值或极小值； ⑵所有的变量都是非负的； ⑶除变量的非负约束外，其余的约束条件都
ABCD 含量（单位/千克）
最低需求量 （单位）
糖
5 2 4 2 60
蛋白质
3 2 1 4 40
脂肪
3 1 2 5 35
单价（元/千克） 1.5 0.7 0.9 1.2
例3是例2的对偶问题，例3与例2互为对偶线性规 划原规划与对偶规划具有对称性，如图所示：
食品
单一营
养成分单价
AB C D
单一营养
（x1） （x2） （x3） （x4） 成分需求量
m
c a Z j
i ij
i 1
解b
b 1
b 2
…… b
n
目标函 数
例1
求max Z=7x1+10x2 满足 7x1+7x2≤49 10x1+5x2≤50 x1，x2≥0
用单纯形法求解。
例2
第2章例1中我们得线性规划模型为： 目标函数：max Z = 50x1+100x2
满足 x1 + x2 ≤300 2x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1，x2 ≥0
…… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥，=) bm x1，x2 …… xn≥ 0
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
《单纯形法计算步骤》课件
《单纯形法计算步骤》 PPT课件
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
单纯形法文档
单纯形法1. 什么是单纯形法单纯形法（Simplex Method）是一种数学优化方法，用于在线性规划问题中寻找最优解。
其基本思想是通过不断地在可行解空间中移动，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
单纯形法是由美国数学家乔治·达内策在20世纪40年代开发的，成为线性规划问题求解的一种经典方法。
2. 单纯形法的基本原理单纯形法的基本原理是通过构造一系列的顶点组合，这些顶点组合构成了可行解空间的一个多面体，称为单纯形。
每次移动都是在单纯形的边界上进行，直到找到最优解。
2.1 线性规划问题的标准形式在使用单纯形法求解线性规划问题之前，首先需要将问题转化为标准形式。
线性规划问题的标准形式包括以下特征：•最大化目标函数或最小化目标函数•约束条件为等式或不等式•决策变量为非负数2.2 单纯形法的步骤单纯形法的求解步骤如下：1.初始化：将线性规划问题转化为标准形式，并找到初始可行解。
2.检验最优性：计算当前基可行解对应的目标函数值，判断是否达到最优解。
3.寻找进入变量：通过计算目标函数的系数与约束条件中的系数之比，找到使目标函数值最大（或最小）增长的变量。
4.寻找离开变量：从进入变量所属列中选择合适的变量离开基，使得新的基可行解依然满足约束条件。
5.更新基：将进入变量换入基，将离开变量换出基，得到新的基可行解。
6.重复步骤 2-5，直到找到最优解或判断无界。
2.3 单纯形表在单纯形法的求解过程中，通过使用单纯形表（Simplex Table）来记录每一步的计算结果和变量的取值。
单纯形表是一个矩阵，包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件左边的系数等信息，方便进行计算和调整。
3. 单纯形法的优缺点3.1 优点•单纯形法是一种简单直观的求解线性规划问题的方法，容易理解和实现。
•单纯形法对于规模较小的问题，可以得到精确的最优解。
•单纯形法可以处理带有不等式约束的问题，适用范围广。
3.2 缺点•单纯形法在解决大规模问题时，计算复杂度较高，效率较低。
单纯形法(2表格形式)
迭代。 确定入基变量 确定出基变量 用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。
迭代 次数
基
CB
x1
x2
x3
x4
x5
b
比值
2
1
0
0
0
0
x3
0
0
5
1
0
0
15
-
x4
0
6
2
0
1
0
24
24/6
x5
0
1
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
1
0
0
1
5
5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
0
0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代次数
基
CB
x1
x2
x3
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b
比值
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1
0
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24/6
x5
0
1
1
0
0
1
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5
zj
0
0
0
0
0
Z=0
j= cj -zj
2
1
0
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迭代 次数
基
CB
x1
x2
x3
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2
1
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x3
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0
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x4
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0
1
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24/6
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0
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§5.2单纯形法的表格形式
迭代次数
基
CB
x1
x2
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0
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j= cj -zj
2
1
0
0
5第五章 单纯形法
zj = (cB1 ,..., cBm ) p′j = (cB ) p′j ,
其中，(cB )是基变量目标函数依次组成的有序行向量。
§2
单纯形法的表格形式
单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出的基本 可行解、检验最优性、迭代等步骤都用表格的方式表 现。其计算的方法基本使用矩阵的行的初等变换。
以下用单纯形表格来求解第二章的例1。 max 50x1 + 100x2 + 0∙s1 + 0∙s2 + 0∙s3 约束条件： x1 + x2 + s1 = 300， 2x1 + x2 + s2 = 400， x2 + s3 = 250， x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0.
282单纯形法的表格形式把第i个约束方程移项就可用非基变量来表示基变量xi??1122112iiimmimminnniijjjmxbaxaxaxbaxim???????????????把以上的表达式代入目标函数有??1122110101mnnniijjijmnjjjjmnjjjmzcxcxcxcxcxzczxzx???????????????????????292单纯形法的表格形式最终有表达式
z z0 j x j
jJ
注：对于求目标函数最小值的情况，只需把σj ≤0改为σj ≥0。
§1
单纯形法的基本思路和原理
当所有的 x j ≥0，且σj ≤0，此时
jJ
j
xj 0
实际上目标函数：
z z0 j x j z0 （
jJ xs 为基向量
s xs） （
x2 = 250.
求解得到新的基本可行解
x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析
《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第5章单纯形法1．解：表中a 、c 、e 、f 是可⾏解，f 是基本解，f 是基本可⾏解。
2．解：（1）该线性规划的标准型如下。
max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝100.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0（2）⾄少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个⾮基变量，⾮基变量取零。
（3）（4，6，0，0，-2）T（4）（0，10，-2，0，-1）T（5）不是。
因为基本可⾏解要求基变量的值全部⾮负。
（6）略 3.解：令333x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第⼀个⽅程左右两边同时乘以-1，并在第⼆和第三个⽅程中分别引⼊松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表⾥⾯j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法⽽已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满⾜条件。
4．解：（1）表5-10,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 654332163321543321433214321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：（2）线性规划模型如下。
max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0（3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3）T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T，对应的⽬标函数值为0。
单纯形法
单纯形法一、单纯形法的原理线性方程组的解：⎩⎨⎧=----=+-+-4322425432154321x x x x x x x x x x （1） 5个未知数，两个方程组。
方程的解多于1个。
两种初等变换：51）方程组的任一方程乘上一个不为零的数。
2）方程组的任一方程两边同乘上一个常数，分别加到另一个方程的两边。
式（1）做变换得到：（①×-1）⎩⎨⎧=-+-=+-+-2322242543254321x x x x x x x x x （2） 式（2）做变换得到：（②×2）⎩⎨⎧=-+-=---232642354325431x x x x x x x x （3）方程组（1）、（2）、（3）同解，可令0543===x x x 。
得到：61=x ，22=x 。
选择3x ，4x ，5x 不同的值，相应地有不同的1x 和2x 的值，因此方程组有多组解。
基本变量：如果变量i x 的系数在某一个方程为1，而在其它所有方程为0，则称i x 为该方程组中的基本变量。
非基本变量：凡不是基本变量的变量都叫做非基本变量。
1x ，2x 为基本变量；3x ，4x ，5x 为非基本变量。
旋转运算：运用初等变换，可使一给定变量化为基本变量，这一运算，成为旋转运算。
基本变量的个数，与方程的个数相同。
基本解：设非基本变量为0，求得相应的基本变量的值，得到一组解，这组解称为基本解。
基本可行解：基变量的值为非负时的基本解称为基本可行解。
单纯形法的思路；1）先不考虑目标函数，从满足约束条件开始，寻求一个初始基本可行解； 2）求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进初始解；3）对目标函数做有限次的改善。
当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求得最优解，单纯形法结束。
二、单纯形算法例：54321325max x x x x x Z +-++= 约束条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=+++=+++0,0,0,0,0743********53214321x x x x x x x x x x x x x （5） 以上线性规划问题中，具有： 1）全部变量非负；2）全部约束条件都是等式；5 3）右端常数都是正的。