微积分基本定理2

―→ Fb－Fa ―→ 结论
2
[边听边记]
(1)

1
(x2＋2x＋1)dx
2
2
2
＝1x2dx＋12xdx＋11dx
＝ x3321 ＋x221＋x21 ＝139.
π
(2)

0
(sin x－cos x)dxபைடு நூலகம்
π
π
＝0sin xdx－0cos xdx
解析： 如图：
2
S＝1(x2－x)dx ＝13x3－ 12x221
＝83－2－13－12
＝56.
答案：
5 6
4．求下列定积分的值：
1
1
(1)0(2x＋3)dx；(2)－2(1－t3)dt；
2
(3) (t＋2)dx. 1
解析： (1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
b
－
F(a)
，
于
是
牛
顿
—
莱
布
尼
茨
公
式
也
可
写
作

a
f(x)dx
＝
F(x)ab ＝___F_(_b_)－__F_(_a_)___．
(1)求导数运算与求原函数运算互为逆运算，在 微积分基本定理中函数 F(x)叫作函数 f(x)在区间[a，b]上的一个 原函数，因为[F(x)＋c]′＝F′(x)，所以 F(x)＋c 也是函数 f(x) 的原函数．
(2)利用微积分基本定理求定积分，只需两步，即：①求 f(x) 的一个原函数 F(x)，②计算 F(b)－F(a)．
1．定积分11dx 的值等于( ) 0
A．0
B．1
1 C.2
D．2

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理【2019年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x . 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 三条性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．双基自测2．(2019·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D. 3解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3. 答案 D 4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．双基自测1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1解析 ⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x ＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)10＝(e ＋1)－1＝e.答案 C3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( )． A.112 B.14 C.13 D.712解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112. 答案 AA.1πB.2πC.π4D.3π考向一 定积分的计算【例1】 计算下列积分当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．考向二 利用定积分求面积【例2】 求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数． 解 解方程组⎩⎨⎧ y ＝x －4，y 2＝x ， 得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2 ＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)． 故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x 解析 阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π. 概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A. 答案 A＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136.考向三 定积分的应用【例3】 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求：(1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程．[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数．解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10＋|⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31|＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在4s 内运动的路程为4 m.由s ＝v 0t ＋12at 2通过求导可推出v ＝v 0＋at ，反之根据积分的几何意义，由v ＝v (t )(v (t )≥0)可求出t ∈[a ，b ]时间段内所经过的路程．【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A.答案 A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2019年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．一、积分的几何意义－r r2－x2d x＝________.【示例】►已知r>0，则⎠⎛r二、积分与概率【示例】►(2019·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为__________．。

3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？

π
πБайду номын сангаас
(cosx－e )dx＝ cosxdx－ exdx (3)－π －π －π
1 ＝sinx|－π－e |－ π＝ π－1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分： ∫105x4dx； (1) 2 3 ( x＋ 1 )26xdx. (2)1 x
解：(1)∵(x5)′＝5x4， ∫105x4dx＝x5|10＝105－25＝99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋1＋2)6xdx (2)1 1 x x ＝1(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|3 1 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2＋2x＋3)dx
2 2
2
＝1x2dx＋12xdx＋13dx x 2 25 22 2 ＝ |1＋x |1＋3x|1＝ . 3 3
π
3
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上， x 轴下 在 方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 a
b
S上 f(x)dx＝_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则a f(x)dx＝______． －S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时， b S上－S下 如图③，则 f(x)dx＝____________．

§2 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常用函数积分公式表1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (2)2π2sin cos d 22x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； (3)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(2)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x 2 ＝1－sin x ， ∴2π2sin cos d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20(1sin )d x x ⎰－＝π20(cos )|x x ＋＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (3)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12，∴ʃ30(x －3)(x －4)d x ＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝⎛⎭⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰；(3)ʃ94x (1＋x )d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝⎛⎭⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12－13＋ln 1＝ln 2－56.(2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20cos d x x ⎰＝π20sin |x ＝1. (3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝3292421|32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝322219932⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭－322214432⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求ʃ40f (x )d x ；(2)ʃ20|x 2－1|d x .考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解(1)ʃ40f (x )d x ＝π2sin d x x ⎰＋2π21d x ⎰＋ʃ42(x －1)d x＝π20(cos )|x －＋2π2|x ＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－x 42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝2. 反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝_______.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x ＝______.考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 (1)2e －2 (2)e ＋32－ln 2解析 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x 21＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝⎛⎭⎫12×22－ln 2－⎝⎛⎭⎫12×1－ln 1 ＝e ＋32－ln 2.类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)3 (2)⎣⎡⎦⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2，求t . 解 由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f ⎝⎛⎭⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值． 解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(t >0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2，x ∈(0,1]． ∴f (x )的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D解析 ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.2．π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π3cos d θθ⎰＝π30sin |θ＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝56. 4．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________.考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 23解析 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ，∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23. 5．求函数f (a )＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．考点 微积分基本定理的综合应用 题点 微积分基本定理的综合应用解 ∵ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2，∴f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1， ∴当a ＝－1时，f (a )有最小值1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2 B ．e 2－e －ln 2 C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D解析 ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2. 2．若π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝π20(cos sin )|x a x －－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于() A ．－13 B ．－1C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10＝13＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝－13.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 sin 1－23解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 13解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e -，f ′(x )>0时，0<x <12e -，f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减．所以f (x )max ＝12e f -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。

x Δx

a
x Δx
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
( x)
oa
x
x x b x
5

a
x
f ( t )dt
x Δx
x
f ( t )dt f ( t )dt
a
x

x
x Δx
y
f ( t )dt , ( )由积分中值定理得o a
x x x b x

b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
(a b).
证 因为 f ( x ) 连续, 故它的原函数存在,
设其为 F ( x ). 即设在 [a, b] 上 F ( x ) f ( x ).
根据牛顿 - 莱布尼茨公式, 有
a f ( x )dx F (b) F (a ).
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
( x ) f ( t )dt
a
x
就是f ( x )在[a , b]上的一个原函数.
这就证明了上一章中所提出的任何连续 函数一定存在原函数.
7
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
x
已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
又由于 ( x )
所以
a
f ( t )dt 也是 f ( x )的一个原函数 ,
x [a , b].
11
F ( x) ( x) C
F ( x) ( x) C
x [a , b].

1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，

复习课: 微积分基本定理教学目标重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：理解微积分基本定理的推导．.能力点：掌握正确运用基本定理计算简单的定积分.教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义.易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】1.导数的概念；2.定积分的概念、性质；3.微积分基本定理；4.常见基本函数的定积分:三、【范例导航】例1已知函数()sin ,02()1,221,24x x f x x x x ππ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≤≤⎪⎩先画出函数图象,再求这个函数在[]0,4上的定积分.【分析】被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.【解答】424200222242022()sin 1(1)1(cos )||()|21(2)(40)722f x dx xdx dx x dxx x x x ππππππ=++-=-++-=+-+-=-⎰⎰⎰⎰ 【点评】(1)分段函数在区间[],a b 的定积分可分成n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行.(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.变式训练:1．求函数3(01)()2)2(23)x x x f x x x ⎧≤≤=≤≤≤≤⎪⎩，在区间[0,3]上的定积分.答案：5412ln 2- 2．设(),x f x e =求42()f x dx -⎰. 答案：422e e +-.例2 计算下列积分（1）20cos 2x dx π⎰ （2）220x e dx ⎰【分析】先化简，再求积分，准确找到原函数． 【解答】（1）200001cos 11cos sin 22222x x dx dx x x πππππ+==+=⎰⎰.（2）由()222x x e e '=知，2212x x e e '⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21221001122x x e e dx e -==⎰. 【点评】求定积分应该注意的几点：(1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)对求符合函数的定积分，关键找准原函数.变式训练计算下列定积分 （1）20cos 2cos sin x dx x xπ+⎰. （2）0⎰答案：（1）2（2）π.例3(2008年山东)已知函数2()(0)f x ax c a =+≠,若100()()f x dx f x =⎰,001x ≤≤,求0x 的值. 【分析】先求出10()f x dx ⎰的值,再列出方程求0x 的值.【解答】因为2()(0)f x ax c a =+≠, 且323a x cx ax c '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以1123120000()()33a a f x dx ax c dx x cx c ax c ⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰解得0x =0x = (舍去).即0x =【点评】利用定积分求参数时，注意方程思想的应用.一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限.四、【解法小结】1.求定积分的一些常用技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2. 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．五、【布置作业】必做题：1.计算下列定积分（1）220x e dx ⎰ （2）20sin 2x dx π⎰ （3）46cos 2xdx ππ⎰ （4）312x dx ⎰. 2.计算定积分（1）20sin xdx π⎰ （2）312x dx -⎰. 3.求函数1220()(64)f a x ax a dx =++⎰的最小值.必做题答案：1.（1）22e -（2）24π- （3）12 （4）6ln 22.（1）4 （2）1 3. 1 选做题：1.求定积分（1）210(21)x dx -⎰ （2）22123x x dx x--⎰.2.已知函数20()(1)xf x at bt dt =++⎰为奇函数，且1(1)(1)3f f --=，求,a b 的值. 选做题答案：1.（1）143 （2）13ln 22-- 2. 5,02a b =-= 六、【教后反思】 本教案的亮点是：一是利用结构图呈现了导数与定积分的关系，是对所学知识的宏观把握；二是例题选择有代表性，分别为分段函数、复合函数求定积分及定积分的综合应用；三是讲解透彻，学生反映较好．。

第四章 定积分 §2 微积分基本定理
复习回顾
定积分的概念：

b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)



2 0
cos xdx
(2)


2 0
sin xdx
(3) 2
0


cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （

ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n

微积分定理定理1设函数 f(x) 在 [a,b] 上可积，作函数 f(x)=∫xaf(t)dt,则(1) f(x) 是 [a,b] 上的连续函数。

(2) 若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上可微，且有 f′(x)=f(x)证明：(1) 由积分第一中值定理，∀x∈[a,b],f(x+δx)−f(x)=∫x+δxxf(t)dt={ηδx,η∈[i nf{f(x):x∈[a,b]},sup{f(x):x∈[a,b]}],f(x+θδx)δx,θ∈(0,1),f(x)在[a,b]上连续,→0,δx→0,因此 f(x) 在 [a,b] 上连续。

(2) 若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则limδx→0f(x+δx)−f(x)δx=limδx→0f(x+θδx)=f(x),定理2 微积分基本定理设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，f(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则∫baf(x)dx=f(b)−f(a)参考微积分基本定理的改进。

定理3 分部积分法设函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有连续导数，则∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u′(x)dx上式也能写成下式：∫bau(x)dv(x)=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)du(x)证明：函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有连续导数，因此[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),x∈[a,b],因此[u(x)v(x)]′,u′(x)v(x),u(x)v′(x) 在 [a,b] 上连续，故可积，由微积分基本定理的改进和定积分的线性性质，[u(x)v(x)]ba=∫ba[u(x)v(x)]′dx=∫bau′(x)v(x)dx+∫bau (x)v′(x)dx⇒∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u ′(x)dx定理3 分部积分法的改进设函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上可导，且导函数u′(x),v′(x) 在 [a,b] 上可积，则∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u′(x)dx上式也能写成下式：∫bau(x)dv(x)=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)du(x)证明：函数 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有可导，因此[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),x∈[a,b],u′(x),v′(x) 在 [a,b] 上可积，因此[u(x)v(x)]′,u′(x)v(x),u(x)v′(x) 在 [a,b] 上可积，由微积分基本定理的改进和定积分的线性性质，[u(x)v(x)]ba=∫ba[u(x)v(x)]′dx=∫bau′(x)v(x)dx+∫bau (x)v′(x)dx⇒∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ba−∫bav(x)u ′(x)dx定理4 换元积分法设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，φ(t) 在 [α,β] （或[β,α] ）上有连续导数，其值域包含于 [a,b] ，且满足φ(α)=a 和φ(β)=b ，则∫baf(x)dx=∫βαf(φ(t))φ′(t)dt证明：f(x) 在 [a,b] 上连续，则 f(x)=∫xaf(t)dt,x∈[a,b], 在[a,b] 上连续可导，[f(φ(t))]′=f′(φ(t))φ′(t)=f(φ(t))φ′(t),t∈[α,β],⇒∫βαf(φ(t))φ′(t)dt=f(φ(t))|βα=f(b)−f(a) =∫baf(x)dx定理5设函数 f(x) 在 [−a,a] 上可积，若 f(x) 是偶函数，则成立∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx若 f(x) 是奇函数，则成立∫a−af(x)dx=0证明：令 i=∫0−af(x)dx, 则，∀ε>0,∃δ>0，使得对于任意一种 [−a,0] 上的划分 p 和任意 n 个点{ξi∈[xi−1,xi]:i∈n,1≤i≤n} ，只要λ=max{δxi:i∈n,1≤i≤n}<δ, 便有∣∣∑ni=1f(ξi)δxi−i∣∣<ε，对于任意一种 [0,a] 上的划分 p:0=x0<⋯<xn=a,n∈n,n≥1, 和任意 n 个点{ξi∈[xi−1,xi]:i∈n,1≤i≤n} ，取 [−a,0] 上的划分p′={x′i=−xn−i,∀i∈n,0≤i≤n}, 和 n 个点{ηi=−ξn+1−i:i∈n,1≤i≤n}, 与之相对应，则ηi=−ξn+1−i∈[−xn+1−i,−xn−i]=[x′i−1,x′i],∀i ∈n,0≤i≤n,只要λ=max{δxi:i∈n,1≤i≤n}<δ,则λ′=max{δx′i:i∈n,1≤i≤n}=max{−xn−i−(−xn−i+1) :i∈n,1≤i≤n}=max{δxn−i+1:i∈n,1≤i≤n}=max{δxi:i ∈n,1≤i≤n}<δ,因此有∣∣∑ni=1f(ηi)δx′i−i∣∣<ε,且∑ni=1f(ηi)δx′i=∑ni=1f(ηn+1−i)δx′n+1−i=∑ni=1f(ηn+1−i)(x′n+1−i−x′n−i)=∑ni=1f(−ξi)[−xi−1−(−xi)]=∑ni=1f(−ξi)(xi−xi−1)=∑ni=1f(−ξi)δxi 于是∣∣∑ni=1f(−ξi)δxi−i∣∣<ε,(1) f(x) 是偶函数，则 f(−x)=f(x),∀x∈[−a,a],因此∣∣∑ni=1f(ξi)δxi−i∣∣=∣∣∑ni=1f(−ξi)δxi−i∣∣<ε,因此∫a0f(x)dx=i,因此∫a−af(x)dx=∫0−af(x)dx+∫a0f(x)dx=2i=2∫a0f(x)dx(2) f(x) 是奇函数，则 f(−x)=−f(x),∀x∈[−a,a],因此=∣∣∑ni=1f(ξi)δxi−(−i)∣∣=∣∣−∑ni=1f(−ξi)δxi+i∣∣=∣∣∑ni=1f(−ξi)δxi−i∣∣<ε,因此∫a0f(x)dx=−i,因此∫a−af(x)dx=∫0−af(x)dx+∫a0f(x)dx=2i=0定理6设 f(x) 是以 t 为周期的可积函数，则对任意 a，∫a+taf(x)dx=∫t0f(x)dx证明：f(x) 以 t 为周期，因此 f(x+t)=f(x),∀x∈r,∀a,b∈r,令 i=∫baf(x)dx, 则，∀ε>0,∃δ>0，使得对于任意一种[a,b] 上的划分 p 和任意 n 个点{ξi∈[xi−1,xi]:i∈n,1≤i≤n} ，只要λ=max{δxi:i∈n,1≤i≤n}<δ, 便有∣∣∑ni=1f(ξi)δxi−i∣∣<ε，对于任意一种 [a+t,b+t] 上的划分 p:a+t=x0<⋯<xn=b+t,n∈n,n≥1, 和任意 n 个点{ξi∈[xi−1,xi]:i∈n,1≤i≤n} ，取 [a,b] 上的划分p′={x′i=xi−t,∀i∈n,0≤i≤n}, 和 n 个点{ηi=ξi−t:i∈n,1≤i≤n}, 与之相对应，则ηi=ξi−t∈[xi−1−t,xi−t]=[x′i−1,x′i],∀i∈n,0≤i≤n,只要λ=max{δxi:i∈n,1≤i≤n}<δ,则λ′=max{δx′i:i∈n,1≤i≤n}=max{xi−t−(xi−1−t):i ∈n,1≤i≤n}=max{δxi:i∈n,1≤i≤n}<δ,因此有∣∣∑ni=1f(ηi)δx′i−i∣∣<ε,且∑ni=1f(ηi)δx′i=∑ni=1f(ηi)(x′i−x′i−1)=∑ni=1f (ξi−t)[xi−t−(xi−1−t)]=∑ni=1f(ξi)(xi−xi−1)=∑ni=1f(ξi)δxi于是∣∣∑ni=1f(ξi)δxi−i∣∣<ε,因此∫b+ta+tf(x)dx=i=∫baf(x)dx,因此∫a+taf(x)dx=∫baf(x)dx+∫b+tbf(x)dx+∫a+tb+tf(x)dx=∫b+tbf(x)dx令 b=0, 得∫a+taf(x)dx=∫t0f(x)dx。

a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
0
a
，
其中a＞0为常数.
计算下列定积分： 2 3 2 x 1 - ln 2 （1） dx ； 1 2 x
例2
1 x (1 )dx （2） 4 x 3 2 （3） | x 1|dx
9
0
（4）
4 -1 dx 4 2x
4
x
44 ； 3 22 ； 3
2
3 1 1 dx ；（2） (2 x 2 )dx 1 x x
.

2
1
1 2 dx ln x |1 ln 2 x
1 1 3 22 2 1 (2 x x2 )dx ( x x ) |1 3
3
小结作业
1.微积分基本定理是微积分中最重要、 最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分 之间的内在联系，同时它也提供了计算 定积分的一种有效办法.
2.定积分 f ( x)dx 的几何意义是什么？
a
b
y
y＝f(x)
O
a
b x
表示由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和 曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.
3.直接用定积分的定义计算的值是很 烦琐的，有些定积分几乎不能直接用定 义计算，因此寻求一个简便、有效的计 算原理求定积分的值，就成为一个迫切 需要解决的问题.
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。

ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0

探究二
探究三
思维辨析
解:(1)∵(x2+2)2=x4+4x2+4,
又
1 5

5
∴
-1
-2
4 3
+ 3
+ 4 '=x4+4x2+4,
(2+x2)2dx=
-1
-2
(x4+4x2+4)dx
1 5
4
293
-1
+ 3 + 4 |-2 =
.
5
3
15
1
1
+1
1
(2)∵ = √ + = 2 + 2 ,
3.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简函数,再求定积分.
知识梳理
思考辨析
1
【做一做 1】 函数 f(x)=是 F(x)的导数,则 F(x)=
解析:∵(ln
1
x)'=,∴F(x)=ln
x+c(x>0,c 为常数).
答案:F(x)=ln x+c(x>0,c为常数)
.
知识梳理
思考辨析
【做一做 2】
将积分上限或下限参数化,在求定积分的表达式后要求将其函数化,
然后再与函数的性质、最值等结合在一起进行考查,解决此类问题
的关键是分清各变量之间的关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 3 已知 t>0,f(x)=2x-1,若
解析:∵
答案Байду номын сангаас3

0
f(x)dx=

0

0

1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分 积分再求导 先 不定积分再求导 =本身 本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性 （可加性） ∫ g ( x )dx ， 可加性）
f ( x )dx ， （齐次性） 齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ． 线性性质） （线性性质 （线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值 推广的积分中值 Thm
上可积， 若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，

2
o
1
2
x
原式

0 2
x dx
2

1
xdx
0

2
1
x dx
2
11 2
.
17
小结

1.积分上限函数 ( x ) 3.微积分基本公式
a
x
f ( t ) dt .
2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ).
a
b
f ( x )dx F ( b ) F ( a ).
t 0
x
2
[解答]
19
x 0
0
x
te
2t
2
dt
练习（续）
4 计算下列定积分 (1 ) : x ) dx ; ( 2 )
4
9
x (1
0
2
dx 4 x
2
[解答]
5 计算下列定积分 (1 )
:
0
2
| cos x |dx ;
2
(2)
0
f ( x ) dx , 其中 f ( x )
a
F (b) F (a) F ( x)a ———— 牛顿—莱布尼茨公式
b
14
微积分基本公式的意义


⑴一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。 ⑵求定积分问题转化为求原函数的问题。
当 a b 时 ， f ( x )dx F ( b ) F ( a ) 仍 成 立 .
a

证:
x
a f t dt 是 f x 的一个原函数

y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有