习题课II北航理论力学王琪

22
理论力学
y’
方法三：求滑块的速度 动点： 滑块A
& θ
vr
θ
动系： ox’y’,x’轴平行于绳
运动分析 绝对运动： 直线运动
va
x’
ve
& v e = xθ
相对运动： 直线运动 牵连运动： 定轴转动
速度分析
va = ve + vr
&) R vr = (ω + θ
θ& = ωR sin θ x − R sin θ
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动 – 绝对速度、相对速度、牵连速度 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度
• 基本定理与方程
– 速度合成定理、加速度合成定理 – 质点动力学方程（惯性参考系和非惯性参考系）
2009-11-18 6
理论力学
基本公式
&⎫ vx = x ⎪ &⎬ vy = y ⎪ &⎭ vz = z
2009-11-18
m& x & = ∑ Fx
m& x & = − F cos θ
21
理论力学
方法二：求滑块的速度 lt1 = l + Bt1 P + BBt1
BBt1 = Rωt ,
θ t1
Bt P = R(θt − θ )
1 1
lt1 = l + Rωt + R (θ t1 − θ )
由几何关系： x cosθ = R
理论力学
作业：1-19、1-21、1-25
习 题 课 II
虚位移原理/质点动力学
2009-11-18
1
理论力学
• 基本概念
虚位移原理
– 力的功、约束及其分类、自由度、广义坐标、虚位 移、虚功、理想约束、势能、平衡位置的稳定性
• 基本原理和定理
– 虚位移原理、平衡位置稳定性定理
• 基本方法
– 原理的基本形式、广义坐标形式 – 当质点系在势力场中时虚位移原理的形式
F FN
mg
求加速度→求滑块速度 或运动方程
vB = v A cos θ
x2 − R2 vA cosθ = x & x 2 − R 2 = ω Rx −x
& = −x
x2 − R2 ωR = − x & x 2 4 ω R x
& &= − x ( x 2 − R 2 )2
& 2 ( x2 − R2 ) = ω 2R2 x2 x &&&( x 2 − R 2 ) + 2 xx & 3 = 2ω 2 R 2 xx & 2 xx
2009-11-18 2
理论力学
•元功(elementary work):
虚位移原理
δW = F • vd t = F • d r
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效 即：{F1 , F2 , L , Fn } = { P1 , L , Pm } = {FR , M O } 则
n m
∑W (F ) = ∑W ( P ) = W (F ) + W ( M
23
y : 0 = −ve + vr sinθ x: x & = −va = −vr cosθ
& = (ω + θ &) R sin θ xθ
−x & x 2 − R 2 = ωxR
2009-11-18
O
x ': − a Aa sin θ = − a
？
t a A Ae n aAe
ω AB
y'
D
B
+ a Ar
x'
n a Ar = a A e − a Aa sin θ
a Aa θ
Q a Dr = a Ar
再由（1）式，可求得D点的加速度
2009-11-18 18
B
理论力学
思考题：如何求该瞬时AB杆上D点绝对运动轨迹的曲率半径。
反映速度方向的变化
mar = ∑ F + Fe + FC
7
理论力学
• •
解决问题的方法与基本步骤
受力分析－根据约束条件和已知量,，确定力的方向、分析哪些是未知量 运动分析－利用几何性质和约束条件，建立运动学（包括几何、速度和 加速度）关系，确定系统的自由度和未知量数目。
• •
动力学分析－根据受力分析和运动分析，建立矢量形式的动力学方程。 求解方法－将矢量形式的方程（运动学或动力学方程）在适当的坐标轴 上投影，得到标量形式的方程，并求解（解析解或数值解）。
aet
2009-11-18
α AB
aet = OA
12
理论力学
例：车A和车B分别沿各自的道路匀速行驶，求图示瞬时, （1）坐在车A上的人观察到车B的速度和加速度; （2）坐在车B上的人观察到车A的速度和加速度.
B
uB
A
R
(1)：车A为动系；车B为动点 (2)：车B为动系；车A为动点
o
uA
u A = uB = u
加速度分析
x': − uB = u A + vrx' y ': 0 = 0 + vry' vr = vrx' = −(u A + u B )
aa = ae + ar
Q ae = 0
2 uB , a r = aa = R
2009-11-18
14
理论力学
uB
B
解：2）动点：车A， 动系： 车B
运动分析 绝对运动： 直线运动 相对运动： 曲线运动
结论：v AB
r r r r ≠ −v BA , a AB ≠ −a BA
15
ae o
2009-11-18
理论力学
演示机构的运动
2009-11-18
16
理论力学
例：OA杆匀角速 转动，求图示瞬时 杆 AB上中点 D 的 速度和加速度 。 解：求速度 取AB杆上的D为动点， 套筒为动系 取A点为动点，套筒为动系
17
理论力学
D点加速度分析
A
a Da = a De + a Dr + a DC Q a De = 0 a D a = a D r + a D C (1)
??
?
t Ae
O
ω
x' a Dr
θ
y'
D
v Dr
研究A点加速度
a DC + a Ar + a AC
？
n Ae
a Aa = a
+a
n Ae
aAr
a AC
问题：在约束力 MA FAx FAy 中，哪些与主动力偶M无关？
2009-11-18 4
理论力学
习题4-4：求图示系统的平衡位置（求解方法见精品课网站）。
问题：若已知套筒A的虚位移铅垂向下， 确定杆上B点的虚位移方向，并画在图上。
2009-11-18 5
理论力学
• 点的运动学
质点动力学主要内容
– 运动方程、速度、加速度 – 矢量法、直角坐标法、自然坐标法（密切面、曲率）
理论力学
习题1－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
解：根据几何关系有：
Fv θA
FN
s2 = l 2 + x2
上式两边求导得：
v0
s
& = 2 xx & 2ss
& = −v0 ) (Q s
mg
ma = F + FN + mg & = − F cos θ + mg x : m& x
2009-11-18
R
x'
A
vr
uA
o
牵连运动： 定轴转动 速度分析
2 2 vr = u A + uB
ve
uB
x'
y'
B
va = ve + vr
uA = va uB ??
uB ω= R
加速度分析
aa = ae + ar + aC
a C = 2ω × v r
aa = 0
ae = ω 2 R ,
aC
A
vr
ω
y'
R
x ' : 0 = − a e + a rx' + aC cos 45 0 y ' : 0 = 0 + a ry' − aC sin 45 0 ar = ar2x ' + ar2y '
A: (0，0)； B:(π/2，1)； C:(π, 0);
2009-11-18
D:(3π/2, -1)
9
理论力学
问题5:动点M 沿椭圆轨道运动,其加速度始终指向O 点，定性分析动点M 运动的特点。 B
v
M
1. 第一象限：( A ) A 2. 第二象限: ( )
C
O
a
3. 第三象限：( A ) 4. 第四象限： ( )
A: 速度的模增加;
2009-11-18
B: 速度的模减小
10
理论力学
讲解过
A
演示过
o
θ
B
u
x
h
思考过
练习过
θ
u
x
2009-11-18
11
理论力学
试题：已知图示瞬时圆盘中心O的速度和加速度，求此瞬时 AB 杆的角速度和角加速度。