几何证明练习题垂直平分线垂直平分线是几何学中常见的概念和证明题之一。
本文将通过几个练习题来展示如何进行垂直平分线的证明，帮助读者加深对该概念的理解和运用。
以下是具体的练习题及其证明。
练习题一：已知直角三角形ABC，其中∠ABC=90°，AD为BC边的中点，DE 为AB边的垂直平分线。
证明DE⊥BC。
解答一：首先，根据已知条件，由直角三角形的性质可得∠BAD=∠DAC=45°，∠ADB=90°。
由于DE为AB边的垂直平分线，所以∠AED=∠BED=45°。
考虑△ADE和△BDE两个三角形，它们有两组对应的角度相等，即∠AED=∠BED=45°和∠DAE=∠DBE=90°。
另外由三角形的内角和为180°可知∠DEA+∠DEB+∠AED+∠BED+∠DAE+∠DBE=180°。
代入已知条件和前面的结论，化简得45°+45°+45°+45°+90°+90°=360°。
由于等式两边相等，所以DE⊥BC，即DE是BC的垂直平分线。
证毕。
练习题二：已知四边形ABCD，其中AD=BC，AC交BD于点O，AO=CO。
若OOB和OOD为两直角，证明AC⊥BD。
解答二：根据已知条件，我们可以得知AO=CO，且由OOB和OOD为两直角可以推出OB=OD。
考虑两个三角形AOB和COD，它们有两组对应的边相等，即AO=CO和OB=OD。
另外，由前面的推论可知∠OAB=∠OBA=90°和∠ODC=∠OCD=90°。
再考虑四边形ABCD的内角和为360°，可以得出∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCD+∠ODC=360°。
代入已知条件和前面的结论，化简得90°+90°+∠OBC+∠OCB+90°+90°=360°。
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
