历年自主招生试题分类汇编 平面向量

专题03平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型归类对基向量概念的理解1．（2021春•丰台区校级期中）1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是()A ．1232e e - 和2146e e -B ．12e e + 和12e e -C ．122e e + 和212e e + D ．2e 和21e e + 【解析】由题意1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，A 选项中，存在一个实数2-使得2112462(32)e e e e -=--，此两向量共线，故不能作为基底，A 可选；B 选项中找不到一个非零实数λ使得1212()e e e e λ+=-成立，故不能选B ；C 选项与D 选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，综上，A 选项中的两个向量不能作为基底．故选：A ．2．（2023春•新华区校级期中）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a =表示出来的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(1,2)e =- ，2(5,2)e =-C ．1(3,5)e = ，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =- ，2(2,3)e =-【解析】根据12a e e λμ=+，选项:(3A ，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项:(3B ，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项:(3C ，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项:(3D ，2)(2λ=，3)(2μ-+-，3)，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．（2022秋•北京期中）下列各组向量中，可以作为基底的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(3,4)e = ，2(1,2)e =C ．1(3,4)e = ，2(6,8)e =D ．1(3,4)e =- ，24(1,)3e =- 【解析】对于A ，因为1(0,0)e = ，0与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故A 错误；对于C ，因为1212e e =，两向量共线，不能做基底，故C 错误；对于D ，因为123e e =-，两向量共线，不能做基底，故D 错误；故选：B ．用基底表示向量4．（2023春•海淀区校级期中）已知非零向量OA ，OB 不共线，且13BM BA =，则向量(OM = )A ．1233OA OB + B ．2133OA OB +C ．1233OA OB -D ．2133OA OB-【解析】由题设1112()3333OM OB BM OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+．故选：A ．5．（2023春•东城区校级期中）已知P 为ABC ∆所在平面内一点，2BC CP =，则()A ．1322AP AB AC=-+B ．1233AP AB AC=+C ．3122AP AB AC=- D ．2133AP AB AC=+ 【解析】由于2BC CP =，利用向量的线性运算，22AC AB AP AC -=-，整理得：1322AP AB AC =-+．故选：A ．6．（2023春•东城区校级期中）设点D 为ABC ∆中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则()A ．1162BO AB AC=-+B ．1122BO AB AC=-C ．5166BO AB AC=- D ．5166BO AB AC=-+【解析】如图，D 为BC 中点，O 为靠近A 的三等分点，11()36AO AD AB AC ==+，151()666BO AO AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+．故选：D ．7．（2021春•东城区校级期中）在ABC ∆中，13BD BC =，若AB a = ，AC b = ，则(AD = )A ．1233a b -B ．1233a b +C ．2133a b +D ．2133a b- 【解析】在ABC ∆中，13BD BC = ，AB a =，AC b = ，如图，则D 为BC 的一个3等分点，作平行四边形，则2133AD AE AF a b =+=+ ．故选：C ．8．（2023春•海淀区校级期中）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC 、DB 相交于点O ．若AD a = ，AB b = ，(OC =)A ．36a b -B ．36a b +C ．233a b +D ．233a b -【解析】//AB CD ，2AB CD =，DOC BOA ∴∆∆∽且2AO OC =，则223AO OC AC == ，∴13OC AC = ，而1122AC AD DC AD AB a b =+=+=+ ，∴11111()33236OC AC a b a b ==+=+ ，故选：B ．9．（2021春•丰台区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则(DF = )A ．1233AB AD-+B ．1233AB AD-C ．1334AB AD-D ．1536AB AD-【解析】在平行四边形中，由已知可得：111()332DF AF AD AE AD AB BC AD=-=-=+-11153636AB AD AD AB AD =+-=-，故选：D ．10．（2023春•门头沟区校级期中）已知矩形ABCD 中，13AE AB =，若,AD a AB b == ，则(CE = )A ．23a b -+B ．23a b --C ．23a b +D ．23a b- 【解析】112333CE CD DA AE DC AD AB a b b a b =++=--+=--+=--，故选：B ．11．（2023春•台江区期中）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则(AF =)A ．3144AB AD +B ．1344AB AD+ C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+ ，12AE AB = ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+ ．故选：D ．12．（2023秋•顺义区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE =)A ．1136BA BC--B ．5163BA BC--C ．1163BA BC--D ．5163BA BC-+【解析】 点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，∴1123DE AE AD AB AC=-=-11()23AB AB BC =-+1163BA BC =--，故选：C ．利用平面向量基本定理求参数13．（2020春•朝阳区校级期中）设E 为ABC ∆的边AC 的中点，BE mAB nAC =+ ，则m n +=．【解析】如图，E 为ABC ∆的边AC 的中点，∴11111()22222BE BA BC AB AC AB AB AC =+=-+-=-+，又BE mAB nAC =+，∴11122m n +=-+=-．故答案为：12-．14．（2018秋•朝阳区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE 、DF ，交于点G ，若(,)CG CD CB R λμλμ=+∈，则λμ=．【解析】设1()222k CG kCE k CB CD CD kCF ==+=+．D ，G ，F 三点共线，∴212k k +=，25k ⇒=．12,55λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．15．（2023春•海淀区校级期中）如图，ABC ∆中，AB a = ，AC b =，D 为BC 中点，E 为AD 中点，CE 用a和b 表示为CE a b λμ=+ ，则(λμ=)A ．3B ．3-C ．13D ．13-【解析】D 为BC 中点，∴1()2AD AB AC =+，E 为AD 中点，∴1113()2444CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC =-=-=+-=-，AB a = ，AC b =，∴1344CE a b =- ，CE a b λμ=+，14λ∴=，34μ=-，∴13λμ=-．故选：D ．16．（2021春•顺义区校级期中）平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，点E 满足2AE EO = ，若BE BA BD λμ=+，λ，R μ∈，则(λμ+=)A ．0B ．13C ．23D ．12【解析】如图所示，由图可知112111()()333333BE BA AE BA AC BA AD AB BA BD BA BA BD =+=+=++=+-=+，∴13λ=，13μ=，23λμ∴+=．故选：C ．17．（2023秋•海淀区期中）在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，则y x=．【解析】 点M 为边AB 的中点，∴AM MB = ，即OM OA OB OM -=- 由此可得1()2OM OA OB =+//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，∴存在实数λ，使OM OP λ= ，即1()()2OA OB xOA yOB λ+=+由此可得12x y λλ==，得到x y =，所以1y x=故答案为：118．（2023春•顺义区期中）如图，在66⨯的方格中，已知向量a，b ，c 的起点和终点均在格点，且满足(,)a xb yc x y R =+∈，那么x y +=．【解析】分别设方向水平向右和向上的单位向量为i，j ，则2a i j =-，22b i j =+ ，24c i j =- ，又因为(22)(24)a xb yc x y i x y j =+=++-，所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11122x y +=+=．故答案为：1．19．（2023春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，若(,)AD AB AC R λμλμ=+∈ ，则λμ=．【解析】 在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴12AC AB =，BAC ∠ 的平分线交BC 于点D ，∴由三角形的内角平分线定理得：12CD AC DB AB ==，∴由分点恒等式得：1233AD AB AC =+，∴12,33λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．20．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．平面向量的坐标运算21．（2023春•东城区校级期中）若(2,2)OA = ，(1,1)OB =- ，则AB等于()A ．(1,3)--B ．(2,3)-C ．(1,2)-D ．(2,3)-【解析】由(2,2)OA = ，(1,1)OB =-，则(1,1)(2,2)(1,3)AB OB OA =-=--=--．故选：A ．22．（2022春•西昌市期中）已知向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，则13AB等于()A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-【解析】 向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，∴(9,3)AB OB OA =-=- 则1(3,1)3AB =-，故选：C ．23．（2022春•丰台区期中）若向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，则向量2a b -= ．【解析】 向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，∴向量22(1a b -=，2)(1--，3)(3=，1)．故答案为：(3,1)．24．（2021春•海淀区期中）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b = ，则2a b += ．【解析】 (1,2)a =-，(3,1)b = ，∴2(1a b +=，2)2(3-+，1)(7=，0)，故答案为：(7,0)．25．（2023秋•昌平区校级期中）已知向量a ，b满足(2,3)a b += ，(2,1)a b -=- ，则2a b -=．【解析】(2,3)a b += ，(2,1)a b -=-，则(0,2)a =，(2,1)b = ，故2(0a b -=，2)(4-，2)(4=-，0)．故答案为：(4,0)-．26．（2021春•石景山区校级期中）已知平面直角坐标系内一点(2,3)P -，向量(1,2)PM =，向量(2,0)PN =-，那么MN 中点坐标为()A ．3(,2)2-B ．3(,1)2--C ．5(,4)2-D ．3(,1)2-【解析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知1121(3)2x y -=⎧⎨--=⎩，2222(3)0x y -=-⎧⎨--=⎩，解得1131x y =⎧⎨=-⎩，2203x y =⎧⎨=-⎩，(3,1)M ∴-，(0,3)N -，MN ∴中点坐标为3(2，2)-，故选：A．向量共线的坐标表示27．（2022春•北京期中）已知向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，若//a b ，则(t =)A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】 向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，∴//a b⇒112t =-，故12t =-，故选：B ．28．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(,1)a m =，(1,2)b =- ．若//a b ，则(m =)A ．2B ．1C ．1-D ．12-【解析】向量(,1)a m =，(1,2)b =- ，//a b ，则21(1)m =⨯-，解得12m =-．故选：D ．29．（2022秋•顺义区校级期中）(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，若//a b ，则tan θ=．【解析】(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，//a b ，则cos sin θθ=，则sin tan 1cos θθθ==．故答案为：1．30．（2022秋•北京期中）已知向量(2,3)a = ，(1,2)b =- ，若ma nb + 与2a b -共线，则m n等于()A ．12-B ．12C ．2-D ．2【解析】(2,32)ma nb m n m n +=-+ ，2(4,1)a b -=- ，ma nb + 与2a b -共线，(2)(1)4(32)0m n m n ∴---+=，147m n ∴-=，则12m n =-，故选：A ．31．（2009秋•昌平区校级期中）已知向量(1,3)a =，(3,)b n = 若2a b - 与b 共线，则实数n 的值是()A ．6B ．9C ．3+D ．3-【解析】2(1,6)a b n -=--，2a b - 与b 共线，(1)3(6)0n n ∴-⨯-⨯-=，得9n =．故选：B ．32．（2023春•东城区校级期中）已知向量(2,1),(,2)a b x ==- ，若//a b，则(a b += )A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-【解析】 (2,1),(,2)a b x ==- ，且//a b，2(2)0x ∴⨯--=，解得4x =-，故(4,2)b =-- ，(2,1)a b +=--．故选：A ．33．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(21,3,1)a m m =+-，(2,,)b m m =- ，且//a b ，则实数m的值为．【解析】由题意得(21):23:(1):()2m m m m m +==--⇒=-．故答案为：2-．34．（2023秋•顺义区校级期中）已知平面向量(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，若()//a c b + ，则(t =)A ．52B ．45-C ．54-D ．74-【解析】由(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，可得(1,2)a c t t +=-+，又()//a c b +，则有3(2)2(1)0t t ++-=，解得45t =-．故选：B ．35．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量(1,2),(2,1)a b ==- ，若ma b + 与a b -共线，则m 的值为．【解析】由(1,2),(2,1)a b ==- 可得(2,21)ma b m m +=+- ，(1,3)a b -=-，由ma b + 与a b -共线可得3(2)210m m ++-=，解得1m =-．故答案为：1-．36．（2023春•海淀区校级期中）已知(1,2)a =，(3,3)b = ，若()//()a b b a λ+- ，则λ=．【解析】由题设(3,2a b λλλ+=++，(2,1)b a -= ，又()//()a b b a λ+-，所以32321λλ++=，则1λ=-．故答案为：1-．37．（2022春•东城区校级期中）已知点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，若//AB a ，则实数y 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，∴(3,2)AB y =-， //AB a ，∴2231y -=，解得8y =．故选：D ．38．（2022春•东城区校级期中）已知(1,2)A ，(3,7)B ，(,1)a x =-，//AB a ，则()A ．25x =，且AB 与a方向相同B ．25x =-，且AB 与a方向相同C ．25x =，且AB 与a方向相反D ．25x =-，且AB 与a方向相反【解析】(1,2)A ，(3,7)B ，可得(2,5)AB =(,1)a x =-，//AB a ，可得52x =-，解得25x =-．2(5a =-，1)-，与AB 方向相反．故选：D ．39．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(1,1)a = ，(,2)b x tx =+ ．若存在实数x ，使得a与b 的方向相同，则t 的一个取值为．【解析】由a与b 共线，可得(2)0x tx -+=，化为21(0)t x x=-≠，取2x =，解得0t =，此时(2,2)2b a == ，满足a与b 的方向相同．故答案为：0（答案不唯一）．40．（2023秋•顺义区校级期中）在ABC ∆中，32AD DC = ，P 是直线BD 上的一点，若25AP t AB AC =+则实数t 的值为()A ．13-B ．13C ．23-D ．23【解析】因为32AD DC = ，且25AP t AB AC =+，所以2253AP t AB AC t AB AD =+=+ ；因为B ，P ，D 三点共线，所以213t +=，所以13t =．故选：B ．41．（2019秋•海淀区期中）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈ ．若32λμ+=，则||(||CD AB = )A ．13B ．12C ．1D ．2【解析】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC AE AD =+ ，又(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．1μ∴=，AE AB λ=，又32λμ+=，12λ∴=．则||||12||||CD AE AB AB ==．故选：B ．42．（2023春•东城区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE = )A ．1136BA BC --B ．1163BA BC -- C ．5163BA BC --D ．5163BA BC-+【解析】依题意，11111113233263DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC =+=--=-+-=--．故选：B ．43．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--．（Ⅰ）若()//(2)a b a c +-，求实数t 的值；（Ⅱ）若()a b c ⊥+ ，求a与b 夹角的余弦值．【解析】（Ⅰ）(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--，则(1,1)a b t +=+ ，2(5,5)a c -=，()//(2)a b a c +-，则5(1)15t +=⨯，解得0t =；（Ⅱ）设a与b 夹角的余弦值为θ，[0θ∈，]π，(3,2)b c t +=-- ，(1,2)a =，()a b c ⊥+，则340t --=，解得7t =，(1,2)a =，(7,1)b =- ，则||a ==，||b ==故cos ||||a ba b θ⋅==44．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 在直线AD 上，且满足2DM AD = ，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=．【解析】设BD k BC k AC k AB ==-，2DM AD = ，∴33()(33)3AM AD AB BD k AB k AC ==+=-+ ，则(33)3(23)3BM AM AB k AB k AC AB k AB k AC =-=-+-=-+ ，BM AB AC λμ=+ ，23k λ∴=-，3k μ=，2λμ∴+=，故答案为：2．45．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =，向量(3,2)b =- ．（Ⅰ）求||a和||b ；（Ⅱ）当k 为何值时，向量a kb + 与向量3a b -平行？并说明它们是同向还是反向．【解析】（Ⅰ）||a == ||b == ；（Ⅱ）3(10,4)a b -=-，由向量a kb + 与向量3a b -共线可得(13)(4)10(22)0k k -⨯--+=，解得3k =-，代入得(10,4)a kb +=-，即两个向量同向．46．（2021春•海淀区期中）已知点(5,2)A -，(1,4)B -，(3,3)C ，M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求点M 和AB的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足//BD CM，求点D 的坐标．【解析】（Ⅰ）(5,2)A - ，(1,4)B -，M 是线段AB 的中点，51(2M -∴，24(22-+=，1)，(1AB OB OA =-=-，4)(5-，2)(6-=-，6)；（Ⅱ）设(,0)D x ，则(1,4)BD x =+- ，(1,2)CM =--， //BD CM ，(1)(2)(4)(1)0x ∴+⋅---⋅-=，解得：3x =-，∴点D 的坐标是(3,0)-．。

专题01平面向量考点一、向量的基本概念和线性运算考点二、向量共线定理的应用考点三、向量共线和垂直考点四、向量的数量积及夹角考点五、向量的投影1、数量积及其最值问题2、平面向量的综合应用向量的基本概念和线性运算1．（20·21高一·全国·课时练习）下列说法正确的是（）A ．向量AB与向量BA 是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量a ，b 有a b = ，a b > ，a b <r r三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A ，向量AB与向量BA 是相反向量，所以A 错误；对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B 错误；对于C ，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C 错误；，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以3．（2023高一·天津市下学期期中）已知向量A．()5,7B．()5,9【答案】Aa=2(4,8)A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD -AP 1233PQ BQ BP BC =-=- 故选：A.8．（20·21高一下·山西吕梁AP AB AC λμ=+，则λ+A ．49【答案】B3A ．2B ．4【答案】A【分析】设CP CD λ=，可得出AP的坐标，再由两向量共线列方程可求出，则向量【点睛】本题考查投影向量的计算，涉及向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题则有BD AC ⊥，且BD 所以()AB BA BC BA ⋅+=- 故答案为：32-.【答案】74/1.75【分析】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解【详解】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：()()()2,0,0,2,0,0C A B ，设()2,D x ，()2,2AC =- ,BD 2AC BD ⋅=- ，则42x -=()2,3D ∴， 点M 为边AB 设()0,M t ，[]0,2t ∈，MC 【答案】2-19-【分析】以B 为坐标原点可建立平面直角坐标系，求得D 点坐标，由向量数量积坐标运算可得则()0,0B ，()2,0C ，()0,2A ，E ()2,2CD x ∴=- ，22,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 向量CD 在向量CE 上的投影向量的模为BP 26．（20·21高一上·广西·期末）如图，在菱形。

全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由， 则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________． 解：由题可得 ，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ．因为，．所以．因为切于点． 所以⊥．所以是斜边上的高．， 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，． 因为， 所以，． 两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)， 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,， 则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。

高考数学选择题分类汇编1．【2011 课标文数广东卷】已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(1,0)， c ＝ (3,4)．若 λ为实数，(a ＋ λ b)∥ c ，则 λ＝( ) 1 1A. 4 B .2 C ．1 D ． 22．【2011·课标理数广东卷】 若向量 a ，b ，c 满足 a ∥ b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋ 2b)＝ ( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ． 03【． 2011 大纲理数四川卷】如图 1－1，正六边形 → → →)ABCDEF 中，BA ＋ CD ＋EF ＝ ( A ． 0 →→ → B. BEC. ADD. CF4．【2011 大纲文数全国卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝ |b|＝1，a ·b ＝－ 1，则 |a ＋ 2b|＝ ()2 A. 2 B.3 C. 5 D. 7 .5．【2011 课标文数湖北卷】若向量 a ＝(1,2)， b ＝ (1，－ 1)，则 2a ＋b 与 a － b 的夹 角等于 ( ) 3ππ π π A ．－ 4B. 6C.4D. 46．【2011 课标理数辽宁卷】 若 a ，b ，c 均为单位向量， 且 a ·b ＝ 0，(a － c) ·(b － c)≤0，则|a ＋b － c|的最大值为 ( ) A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ． 2【解析】 |a ＋b －c|＝ a ＋ b － c 2＝ a 2＋ b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c － 2b ·c ，由于 a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由于 (a －c) ·(b －c)≤0，得 (a ＋ b) ·c ≥c 2＝ 1，所以|a ＋ b － c|＝ 3－2c ·a ＋b ≤1，故选 B.7．【2011 课标文数辽宁卷】已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b)＝0，则 k ＝()A ．－ 12B ．－ 6C ．6D ．121 8．【2011 大纲理数 1 全国卷】设向量 a ，b ，c 满足 |a|＝|b|＝ 1， a ·b ＝－ 2，〈 a － c ，b －c 〉＝ 60°，则 |c|的 最大 值 等 于 ( ) A ． 2 B. 3 C. 2 D ．19．【2011 课标理数北京卷】已知向量 a ＝( 3， 1)，b ＝(0，－ 1)，c ＝(k ， 3)．若a － 2b 与 c 共线，则 k ＝________.10 ．【 2011·课标文数湖南卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝2 5，b ＝ (2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 ________．【解析】 因为 a ＋λb ＝(1,2) ＋λ(1,0) ＝ (1 ＋λ，2) ，又因为 (a ＋ λb) ∥c ，(11＋λ) ×4－2×3＝0，解得 λ＝2.【解析】 因为 a ∥b 且 a ⊥ c ，所以 b ⊥ c ，所以 c ·(a ＋ 2b) ＝c ·a ＋2b ·c ＝0.→ → → → → → → → →【解析】 BA ＋CD ＋ EF ＝BA ＋ AF －BC ＝BF － BC ＝CF ，所以选 D.【解析】 | a ＋2b | 2 ＝(a ＋ 2b) 2＝| a | 2＋4a ·b ＋4| b | 2 ＝3，则 | a ＋2b | ＝ 3，故选 B【解析】 因为 2a ＋b ＝( 2， 4) ＋( 1，－ 1) ＝( 3，3) ，a －b ＝( 0， 3) ，所以| 2a ＋b | ＝ 3 2 ， | a －b | ＝ 3. 设2a ＋ b 与 a － b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝( ) () (3，3 ) () 2 0，π π 2a ＋b · a －b ＝· 0，3＝ 2 ，又 θ∈ [] ，所以 θ＝4.|| ||32×32a ＋ ba －b【解析】 a ·(2a －b)＝ 2a 2－ a ·b ＝ 0，即 10－(k －2)＝ 0，所以 k ＝ 12，故选 D.【解析】设向量 a ，b ，c 的起点为 O ，终点分别为 A ，B ，C ，由已知条件 得，∠ AOB ＝ 120°，∠ACB ＝ 60°，则点 C 在△ AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心 时， |c|最大，在△ AOB 中，求得 AB ＝ 3，由正弦定理得△ AOB 外接圆的直径是3＝2，|c |的最大值是 2，故选 A. sin120 °【解析】 因为 a －2b ＝ (3，3)，由 a －2b 与 c 共线，有 k ＝ 3，可得 k ＝1.3 3【解析】 因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有： a ＝λb( λ<0)，所以 a ＝(2 λ，λ)．a 2 2或 λ＝2(舍去 )，故 a ＝(－ 4，－ 2)． 由 | |＝25，得 2λ ＋λ＝2 5? λ＝－ 2 11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°，＝ ， ＝ ， 是腰 上的动点，则 → → ．AD BC DC＋3PB 的最小值为2 1 P |PA | ________12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量 α，β满足 | α|＝1，| β|≤ 1，且以向量 α，1β为邻边的平行四边形的面积为 2，则 α与 β的夹角 θ的取值范围是 ________．13 ．【2011·新课标理数安徽卷】 已知向量 a ，b 满足 (a ＋2b) ·(a － b)＝－ 6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为 ________．14．【2011·课标文数福建卷】若向量 a ＝ (1,1)， b ＝ (－1,2)，则 a ·b 等于 ________．→ → →15．【2011·课标理数湖南卷】 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝ → → →3CE ，则 AD ·BE ＝________.16．【2011 课标理数江西卷】已知 |a|＝|b|＝2，(a ＋2b) ·(a － b)＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e 1 ， 2π的夹角为 ，若向量 b 1＝ 1e3 e－2e 2， 2＝1＋2，则b 3e 4e b ·b ＝________.18．【2011 课标文数全国卷】 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a ＋b 与向量 ka －b 垂直，则 k ＝ ________. 19．【10 安徽文数】设向量 a (1,0) , b ( 1 , 1 ) , 则下列结论中正确的是2 2(A) a b(B) a ?b2 (C) a / / b(D) a b 与 b 垂直220. 【10 重庆文数】若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， agb 0 ，则实数 m 的值为 （A ）3（ B ）3（C ）2（D ）622【解析】 建立如图 1－6 所示的坐标系，设 DC ＝ h ，则 A(2,0) ，B(1，h)．设 P(0，y)， (0≤y ≤h) → →则 PA ＝(2 ，－ y)， PB ＝ (1，h －y)，∴ |→＋ →|＝ 25＋ 3h － 4y 2 ≥ 25＝5. PA 3PB【解析】 由题意得： |α||β| θ＝1，∵ |α|＝ ，|β|≤ ，∴ sinθ＝ 1≥ 1sin 2 1 1 2|β| 2.π 5π又∵ θ∈(0， π)，∴θ∈ 6， 6 .【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 (a ＋ 2b) ·(a －b)＝a 2＋a ·b － 2b 2＝－ 7＋2cos θ＝－ 6，所以 1cos θ＝2.因为 π0≤θ≤π，故 θ＝3.【解析】 由已知a ＝(1,1)，b ＝ (－1,2)，得a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】 由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴， 以 AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，可得 A 0， 3 ，D(0,0)，B －1，0 ，2 21 ， 3 → ，－ 3 → 5 3→ → 3 3 1 E，故 AD ＝，BE ＝ ， ，所以 AD ·BE ＝－× ＝－ .3 6 2 6 6 2 64【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，由 (a ＋ 2b)(a － b)＝－ 2 得1π|a|2＋a ·b －2|b|2＝ 4＋ 2× 2× cos θ－2×4＝－ 2，解得 cos θ＝2，∴θ＝3.【解析】 |e 1 ＝ 2 ＝且11－ 2 · 1＋ 2 ＝ 21·2－1·2＝ ，所以 b 1·2＝1－||e | 1e e2b(e 2e ) (3e 4e ) 3e 2e e122－ 8＝－ 6.8e ＝ 3－ 2× 2【解析】 由题意，得 (a ＋ b) ·(ka －b)＝k |a |2－ ·＋ ·－ |b |2＝k ＋ (k －·－1 a b ka b1)a b ＝ (k －1)(1＋ a ·b)＝0，a 与 b 不共线，所以 a ·b ≠－1，所以 k － 1＝ 0，解得 k＝ 1.【解析】 a b = ( 1,1) ， ( a b)gb 0 ，所以 a b 与 b 垂直 . 【解析】 D2221.【 10 重庆理数】已知向量 a ，b 满足 a ?b 0, a 1, b 2, ，则 2a bA. 0B. 2 2C. 4D. 8 解析： 2a b(2a b )2 424a b b 282 2a22．【10 湖南文数】若非零向量 a ，b 满足 |a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a 与 b 的夹角为 CA. 30B. 60C. 120D. 150uur uur23.【 10 全国卷理数】 V ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平方 b ，ACB ．若 CB a ，CA，uuur2 2 1 （ ）34（ ）43，则 CD （A ）1a 1b 2ab （B ） abCabDab3 333 5555【解析】因为 CD 平分 ACB ，由角平分线定理得AD= CA 2，所以 D 为 AB的DBCB 1三 等 分点 ， 且uuur2 uuur 2uuur uuur，所 以ADAB 3 (CB CA)uuur uuur uuur2 uuur 1 uuur 2 r 1 r3CD CA+ADCB CA a b ，选 B.3 3 3 3uuur r uuur r24. 【 10辽宁文数】平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a, OB b , 则 OAB 的面积等于（ A ） r 2 r 2 r r（B ） r 2 r2r r a b (a b)2 a b (a b) 2（ C ）1 r2 r 2r r 2（D ）1 r2 r 2r r 22a b(a b)a b(a b)2S1 r r r r 1 r r 2r r 1 r r OAB2 | a || b | sin a,b2 | a || b | 1 cosa,b 2 | a ||b | 1r r 2 ( a b) r 2 r 2| a | | b |1 r2 r 2r r 2 2 a b(a b)uuur uuur25.【 10 全国卷】△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分∠ ACB ，若 CB = a , CA =b ,a = 1 ，uuur2 b （ B ） 2 a + 1b（C ） 3 a + 4b （ D ）b = 2, 则 CD =（A ） 1a +4a + 3b 33335 555BDBC1uuur uuur uuur r r∵ CD 为 角 平 分 线 ， ∴ADAC 2 ， ∵AB CB CA a b ， ∴uuur 2 uuur 2r2ruuur uuur uuur r2r2r2r1rADABab CDCAADbabab3 33，∴333326. 【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算“re ”如下，对任意的 a=(m,n) ，r r rb （ p,q) ，令 a e b=mq-np ，下面说法错误的是（）r r r r r r r r A. 若 a 与 b 共线，则 ae b=0B. a e b=b e aC.对任意的 r r r rr r 2 r r 2 r 2 r2 R ，有（ a) e b= ( a e b) D. (a e b) +(ab) =|a| |b|r r r rr r pn-qm ，而 【解析】若 a 与 b 共线，则有 a e b=mq-np=0 ，故 A 正确；因为 b e a r r r r r r a e b=mq-np ，所以有 a e bbe a ，故选项 B 错误，故选 B 。