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2011届高三数学一轮复习：1.1.2《瞬时速度与导数》综合测试(新人教B版选修2-2)

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瞬时速度与导数得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1.函数y =x 2co sx 的导数为…………………………………………………………………【 】A . y ′=2x co sx －x 2s i nxB . y ′=2x co sx +x 2s i nx C. y ′=x 2co sx －2xs i nxD. y ′=x co sx －x 2s i nx2.下列结论中正确的是……………………………………………………………………【 】 A. 导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【 】 B. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 C. 如果在x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是…………………………………【 】A.4B.52C.3D.24.函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是…………………………………………【 】 A.1 B.12C.0D.-15. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【 】 A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J 6. 给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4x dx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为…【 】A. 1B. 2C. 3D. 07. 若函数32()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是………【 】 A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞8.设0<a <b ，且f (x )＝xx ++11，则下列大小关系式成立的是…………………………【 】.A.f (a )< f (2b a +)<f (ab ) B . f (2b a +)<f (b )< f (ab )C . f (ab )< f (2b a +)<f (a ) D . f (b )< f (2b a +)<f (ab )9. 函数2()f x ax b =-在区间(,0)-∞内是减函数，则,a b 应满足………………………【 】 Ａ．0a <且0b =Ｂ．0a >且b R ∈Ｃ．0a <且0b ≠Ｄ．0a <且b R ∈10. ()f x 与()g x 是R 定义在上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足…………………………………………………………………………………………【 】 Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x -为常数函数Ｃ．()()0f x g x == Ｄ．()()f x g x +为常数函数11. (2007江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为…………………………………………………………………【 】Ａ．3 Ｂ．52Ｃ．2 Ｄ．3212. (2007江西理)设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分) 13．10.曲线y =2x 3－3x 2共有____个极值. 14．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =_______..15. 若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--= ___________.16. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __m 2.三、解答题（共74分）17．（本小题满分10分）一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?18. （本小题满分12分）已知曲线 y = x 3+ x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.19. （本小题满分12分）已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称, 试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性,并证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠'⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积.21．（本小题满分12分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()nn F F F n n +*>+∈N ．《导数及其应用》章节测试题答案一、选择题（60分）1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B二、填空题（16分）13. 2 14.()1f x x =- 15. e2-（或12--e ） 16、68)(23+-+=x x x x f三、解答题（共74分） 17.解:∵当302≤≤t 时,()230≤v t t =-; 当352≤≤t 时,()230≥v t t =-.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=(米)18.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-,∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=.19. 解: 答f (x )在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称, 则f (x )是奇函数,所以a =1,b =0,于是f (x )=348.x x -2()348,f x x '∴=-∴当(4,4)()0x f x '∈-∴<又∵函数()f x 在[]4,4-上连续 所以f (x )在[-4,4]上是单调递减函数.20.解:⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =- ∴当0x >时,1()f x x'=; 当0x <时,11()(1)f x xx'=⋅-=-.∴当0x ≠时,函数()a y g x x x ==+. ⑵∵由⑴知当0x >时,()a g x x x=+,∴当0,0a x >>时, ()≥g xx =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是∴依题意得2=∴1a =. ⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=7ln 324-21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a f x x xx'=-+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，，列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22l n 22F a =-+． （Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eeeee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．数学科学段测试（导数部分）一、选择题（12小题，共36分）1、设曲线22y x x =+-在点M 处切线斜率为3，则点M 的坐标为 ( ) A 、（0，－2） B 、（1，0） C 、（0，0） D 、（1，1）2、抛物线y=x 2在点M （2141）的切线的倾斜角是 （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球体积的平均变化率为（ ） A 、()()2324443R R R R R πππ⋅∆+⋅∆+∆ B 、()224443R R R R πππ+⋅∆+∆C 、24R R π⋅∆D 、24R π 4、函数y=x 3－3x 在[－1，2]上的最小值为 （ ） A 、2 B 、－2 C 、0 D 、－45、设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( )A 、0B 、4-C 、2-D 、2 6、已知曲线331xy =在点)38,2(P ，则过P 点的切线方程为 （ ）A 、016123=--y xB 、016312=--y xC 、016123=+-y xD 、016312=+-y x7、已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A 、－1<a<2 B 、－3<a<6 C 、a<－1或a>2 D 、a<－3或a>68、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为（ ）9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是（ ）A 、13k < B 、103k <≤C 、103k ≤≤D 、13k ≤10、函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A 、（1-e ，+∞）B 、（－∞，1-e ）C 、（0，1-e ）D 、（e ，+∞） 11、方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有 （ ）A 、f （0）＋f （2）<2f （1）B 、f （0）＋f （2）≥2f （1）C 、f （0）＋f （2）>2f （1）D 、f （0）＋f （2）≥2f （1） 二、填空题（4小题，共16分） 13、【文】已知函数x x y 33-=，则它的单调递增区间是 。

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人教B版高中数学选修1-1同步练习 第3章 3.1.2 瞬时速度与导数

人教B版高中数学选修1-1同步练习 第3章 3.1.2 瞬时速度与导数

3.1.2 瞬时速度与导数学习目标 1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义．知识点一 瞬时变化率 1．物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t),当t 0到t 0＋Δt 时,当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt 趋近于常数,这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．2．函数的瞬时变化率设函数y ＝f(x)在x 0附近有定义,当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时,函数值相应地改变Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0),如果当Δx 趋近于0时,平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋近于一个常数l,则常数l 称为函数f(x)在点x 0的瞬时变化率． 知识点二 函数的导数 1．函数f(x)在x ＝x 0处的导数函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或0|x x y '＝,即f ′(x 0)＝lim Δx→0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．导函数定义如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x 导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)可导,这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f ′(x),于是在区间(a,b)内f ′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数．记为f ′(x)(或y x ′、y ′)．3．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值,即f ′(x 0)＝()0|x x f x '＝.1．函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率．( √ )2．平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢,瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况．( √ ) 3．f(x)在x ＝x 0处的导数就是导数f ′(x)在x ＝x 0处的函数值．( √ )题型一 求函数在某一点处的导数 例1 求y ＝x 2在点x ＝1处的导数．解 Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2, Δy Δx ＝2Δx＋(Δx )2Δx＝2＋Δx , ∴lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0(2＋Δx)＝2,∴y ′|x ＝1＝2. 反思感悟 求函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限,得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0 ΔyΔx . 跟踪训练1 (1)若lim Δx→0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k, 则lim Δx→0 f (x 0＋2·Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．2k B ．kC.12k D ．以上都不是答案 A解析 lim Δx→0 f (x 0＋2·Δx )－f (x 0)Δx , ＝2lim 2Δx→0f (x 0＋2·Δx )－f (x 0)2·Δx＝2k.(2)求y ＝2x 2＋4x 在点x ＝3处的导数．解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝2(Δx)2＋16Δx ,Δy Δx ＝2Δx＋16,lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 (2Δx＋16)＝16, 所以y ′|x ＝3＝16.题型二 求物体运动的瞬时速度例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t 2＋t ＋1表示,求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ,∴lim Δt→0 ΔsΔt ＝lim Δt→0 (3＋Δt)＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3, 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例的条件不变,试求物体的初速度． 解 ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ,∴lim Δt→0 ΔsΔt ＝lim Δt→0 (1＋Δt)＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1, 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s, ∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝2t 0＋1＋Δt.∴lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (2t 0＋1＋Δt)＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9,∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题． (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)． ②求平均速度v ＝ΔsΔt. ③求瞬时速度,当Δt 无限趋近于0时,ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度,即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s),若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s,求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋aΔt ,∴lim Δt→0 ΔsΔt ＝4a ＝8,即a ＝2. 题型三 导数的实际意义例3 一条水管中流出的水量y(单位：m 3)是时间x(单位：s)的函数y ＝f(x)＝x 2＋7x ＋15(0≤x ≤8)．计算2 s 和6 s 时,水管流量函数的导数,并说明它们的实际意义．解 在2 s 和6 s 时,水管流量函数的导数为f ′(2)和f ′(6),当x ＝2时,Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2＋7(2＋Δx )＋15－(22＋7×2＋15)Δx＝4Δx＋(Δx )2＋7Δx Δx＝Δx＋11,所以f ′(2)＝lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx→0 (Δx＋11)＝11, 即在2 s 时的水流速度为11 m 3/s. 同理可得在6 s 时的水流速度为19 m 3/s.在2 s 与6 s 时,水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2 s 时附近,水流大约以11 m 3/s 的速度流出,在6 s 时附近,水流大约以19 m 3/s 的速度流出．反思感悟 导数实质上就是瞬时变化率,它描述物体的瞬时变化,例如位移s 关于时间t 的导数就是运动物体的瞬时速度,气球体积V 关于半径r 的导数就是气球的瞬时膨胀率．跟踪训练3 服药后,人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)关于时间t(单位：min)的函数为y ＝f(t),假设函数y ＝f(t)在t ＝10和t ＝100处的导数分别为f ′(10)＝1.5和f ′(100)＝－0.60,试解释它们的实际意义．解 f ′(10)＝1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)． f ′(100)＝－0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．1．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m,t 的单位为s),那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数,利用导数的定义即可求得． 2．设函数f(x)可导,则lim Δx→0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13 f ′(1) D ．f ′(3)答案 A解析 lim Δx→0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．3．函数f(x)在x 0处可导,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．与x 0,h 均无关 答案 B4．设函数f(x)在点x 0附近有定义,且有f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝aΔx＋b(Δx)2(a,b 为常数),则( ) A ．f ′(x)＝a B ．f ′(x)＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b考点 函数在某一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 答案 C解析 f ′(x 0)＝lim Δx→0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx→0 (a ＋b·Δx)＝a. 5．已知函数f(x)＝ax 在x ＝1处的导数为－2,则实数a 的值是________．答案 2解析 f ′(1)＝lim Δx→0 a1＋Δx －a Δx ＝lim Δx→0 －a1＋Δx ＝－a. 由题意知,－a ＝－2,∴a ＝2.利用导数的定义求导数三步曲(1)作差求函数的增量Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限,得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0 ΔyΔx . 简记为一差,二比,三极限．一、选择题1．一质点的运动方程为s＝5－3t2,若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6,则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3 B．3 C．6 D．－6答案 D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝limΔt→0(－3Δt－6)＝－6. 2．设函数f(x)＝ax＋3,若f′(1)＝3,则a等于( )A．2 B．－2 C．3 D．－3答案 C解析∵f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(Δx＋1)＋3－(a＋3)Δx＝a,又∵f′(1)＝3,∴a＝3.3．若可导函数f(x)的图象过原点,且满足limΔx→0f(Δx)Δx＝－1,则f′(0)等于( )A．－2 B．－1 C．1 D．2答案 B解析∵f(x)的图象过原点,∴f(0)＝0,∴f′(0)＝limΔx→0f(0＋Δx)－f(0)Δx＝limΔx→0f(Δx)Δx＝－1.4．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t,在某一时刻的速度为0,则相应时刻为( ) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4答案 B解析设在t0时刻速度为0,∵s′(t0)＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0－4(t0＋Δt)2＋16(t0＋Δt)＋4t20－16t0Δt＝limΔt→0(－8t0＋16－4Δt)＝－8t0＋16＝0,∴t0＝2.5．已知f(x)＝x2－3x,则f′(0)等于( )A ．Δx－3B ．(Δx)2－3Δx C ．－3 D ．0答案 C解析 f ′(0)＝lim Δx→0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx→0 (Δx )2－3ΔxΔx ＝lim Δx→0(Δx－3)＝－3. 6．设函数y ＝f(x)在x ＝x 0处可导,且lim Δx→0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx ＝1,则f ′(x 0)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－13D.13答案 C解析 因为lim Δx→0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 0)－f (x 0－3Δx )3Δx ·3＝－3f ′(x 0)＝1,所以f ′(x 0)＝－13,故选C.7．已知点P(x 0,y 0)是抛物线y ＝f(x)＝3x 2＋6x ＋1上一点,且f ′(x 0)＝0,则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1,－2) C ．(1,－2) D ．(－1,10)答案 B 解析Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )＋1－3x 20－6x 0－1Δx＝3Δx＋6x 0＋6,∴f ′(x 0)＝lim Δx→0 ΔyΔx ＝lim Δx→0 (3Δx＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0, ∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2＋6x ＋1, 得y 0＝－2.∴点P 的坐标为(－1,－2)．二、填空题8．已知f(3)＝2,f ′(3)＝－2,则lim x →3 2x －3f (x )x －3＝________.答案 8解析 lim x →3 2x －3f (x )x －3＝lim x →3 2x －6＋6－3f (x )x －3 ＝lim x →3[2＋6－3f (x )x －3]＝2＋3lim x →3 2－f (x )x －3 ＝2－3lim x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3f ′(3)＝8. 9．对于函数y ＝1x 2,其导数值等于函数值的点是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，14 解析 设导数值等于函数值的点是(x 0,f(x 0)), 则f ′(x 0)＝lim Δx→0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx→0 1(x 0＋Δx )2－1x 20Δx ＝－2x 30. 由题意知,f ′(x 0)＝f(x 0),即－2x 30＝1x 20,解得x 0＝－2,从而y 0＝14.所以导数值等于函数值的点是⎝⎛⎭⎪⎫－2，14. 10.如图所示,水波的半径以 1 m/s 的速度向外扩张,当半径为 5 m 时,则水波面的圆面积的膨胀率是________．答案 10π解析 Δs Δr ＝lim Δr→0 π(5＋Δr )2－25πΔr ＝lim Δr→0 (10π＋πΔr)＝10π. 11．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11,则lim Δx→0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝________.答案 －22解析 lim Δx→0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝－2lim Δx→0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx ＝－2f ′(x 0)＝－22.三、解答题12．某一运动物体,在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝23x 3＋x 2＋2x.(1)求在第1 s 内的平均速度； (2)求在1 s 末的瞬时速度；(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f (1)－f (0)1－0＝113m/s.(2)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝23(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2＋2(1＋Δx )－113Δx＝6＋3Δx＋23(Δx)2.当Δx→0时,ΔyΔx→6,所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s. (3)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝23(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋x 2＋2x Δx＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.当Δx→0时,Δy Δx→2x 2＋2x ＋2,令2x 2＋2x ＋2＝14,解得x ＝2或x ＝－3(舍), 即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s.13．已知f(x)＝x 2,g(x)＝x 3,求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值． 解 由导数的定义知,f ′(x 0)＝lim Δx→0(x 0＋Δx )2－x 2Δx ＝2x 0, g ′(x 0)＝lim Δx→0(x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0), 所以2x 0＋2＝3x 20, 即3x 20－2x 0－2＝0,解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.14．已知函数f(x)＝1x,则f ′(1)等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.13答案 A解析 f ′(1)＝lim Δx→0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx→0 11＋Δx －1Δx ＝lim Δx→0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.15．建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元,y 是x 的函数,y ＝f(x)＝x 10＋x 10＋0.3,求f ′(100),并解释它的实际意义． 解Δy Δx ＝f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx＋100＋Δx＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋100＋Δx－1010Δx ＝110＋110(100＋Δx＋10), 所以当x ＝100时,lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110(100＋Δx＋10) ＝0.105 (万元/m 2), 即f ′(100)＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2时,成本增加的速度为1 050元/m 2,也就是说当建筑面积为100 m 2时,每增加1 m 2的建筑面积,成本就要增加1 050元．。

人教B版选修2-2高中数学1.1.2《瞬时速度与导数》ppt课件

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一般地, f ' x0 反映了原油温度在时刻x0附近的变化
情况.
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
效率、点密度、国内生产总值GDP(Gross Dome stic Pr oduci的缩写)的增长率等等.
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例1 将原油精炼为汽油、
柴油、塑胶等各种不同产
品 ,需要 对原油进 行冷却
和加热.如果在 xh 时, 原油
的温度 单位 :0 C为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
高中数学 1.1 第2课时瞬时速度与导数同步测试 新人教B版选修22

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【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.1 第2课时瞬时速度与导数同步测试 新人教B 版选修2-2一、选择题1．某质点的运动方程是s ＝t －(2t －1)2，则在t ＝1s 时的瞬时速度为( ) A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．13[答案] B [解析] ∵ΔsΔt＝1＋Δt －[21＋Δt －1]2－1＋2×1－12Δt＝－3－4Δt ，∴f ′(1)＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(－3－4Δt )＝－3. 2．设函数f (x )＝ax ＋2，若f ′(1)＝3，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3[答案] C[解析] f ′(1)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0a 1＋Δx ＋2－a －2Δx＝a ＝3.3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)[答案] C[解析] 原式＝13lim Δx →0f1＋Δx －f 1Δx ＝13f ′(1)．故选C.4．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s1＋Δt －s 1Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 [答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念． 5．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 [答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.6．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．1 B ．18 C.12 D ．14[答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ，则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18Δt ＝12.故选C.7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3[答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1f x －f 1x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 8．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．12[答案] A[解析] lim k →0f x 0－k －f x 02k＝－12·lim k →0 f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A.二、填空题9．函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． [答案] 20＋5Δx[解析] ∵Δy ＝5(2＋Δx )2＋6－5×22－6＝20Δx ＋5Δx 2，∴平均变化率为Δy Δx ＝20＋5Δx .10．物体自由落体的运动方程是s ＝12gt 2(g ＝9.8m/s 2)，则物体在t ＝3s 这一时刻的速度为____________．[答案] 29.4m/s[解析] 平均速度Δs Δt ＝g2(6＋Δt )．当Δt →0时，v ＝g2×6＝29.4(m/s)．11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________.lim x →x 0f x －f x 02x 0－x＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；lim x →x 0f x －f x 02x 0－x ＝－12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.三、解答题12．已知f (x )＝x 2＋3. (1)求f (x )在x ＝1处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． [解析] (1)因为Δy Δx ＝f1＋Δx －f 1Δx＝1＋Δx2＋3－12＋3Δx＝2＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2＋Δx 无限趋近于2，所以f (x )在x ＝1处的导数等于2. (2)因为Δy Δx ＝fa ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2＋3－a 2＋3Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .一、选择题1．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m )与起跳后的时间t (s )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0m/s 的时刻是( )A.6598s B ．6549s C.9865s D ．4965s [答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A.2．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0[答案] B [解析] lim h →0 f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．3．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( )A ．－3B ．－2C ．0D ．1[答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0) ＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt ＝－3Δt ＋1.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 4．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0－3Δx2Δx的值为( )A ．－2aB ．2aC ．aD ．－a[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝a ，∴lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0－3Δx2Δx＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0＋f x 0－f x 0－3Δx2Δx＝12lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx ＋32lim Δx →0 f x 0－3Δx －f x 0－3Δx＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 二、填空题5．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx ＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 3－23Δx＝lim Δx →0Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx21＋Δx，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx1＋Δx＝0. 7．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. [答案] 1 [解析] lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 7t 0＋Δt 2－13t 0＋Δt ＋8－7t 20＋13t 0－8Δt＝lim Δt →07Δt 2＋14Δt ·t 0－13ΔtΔt＝lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13 令14t 0－13＝1， ∴t 0＝1. 三、解答题8．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．[解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴Δs Δt＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝6， 即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴ΔsΔt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝4时的瞬时速度为6.9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值． [解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20，因为f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)，所以2x 0＋5＝3x 20， 即3x 20－2x 0－5＝0 解得：x 0＝－1或x 0＝53.。

人教B版选修22高中数学1.1.2瞬时速度与导数同步练习2

人教B版选修22高中数学1.1.2瞬时速度与导数同步练习2

瞬时速度与导数一、选择题1．函数错误！超链接引用无效。

的导数错误！超链接引用无效。

（）A．错误！超链接引用无效。

B．错误！超链接引用无效。

C．错误！超链接引用无效。

D．错误！超链接引用无效。

答案：D2．已知函数错误！超链接引用无效。

在错误！超链接引用无效。

处有极值，则该函数的一个递增区间是（）A．错误！超链接引用无效。

B．错误！超链接引用无效。

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答案：B3．曲线错误！超链接引用无效。

在点错误！超链接引用无效。

处的切线与错误！超链接引用无效。

轴、直线错误！超链接引用无效。

所围成的三角形的面积为（）A．错误！超链接引用无效。

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答案：C4．设错误！超链接引用无效。

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，则错误！超链接引用无效。

的值等于（）A．错误！超链接引用无效。

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答案：D5．若函数错误！超链接引用无效。

在错误！超链接引用无效。

处的导数值与函数值互为相反数，则错误！超链接引用无效。

的值（）A．等于0 B．等于1 C．等于错误！超链接引用无效。

D．不存在答案：C6．定积分错误！超链接引用无效。

的值等于（）A．错误！超链接引用无效。

B．错误！超链接引用无效。

C．错误！超链接引用无效。

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答案：A7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为错误！超链接引用无效。

，货款的利率为错误！超链接引用无效。

，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为错误！超链接引用无效。

，为使银行获得最大收益，则存款利率为（）A．0.032 B．错误！超链接引用无效。

C．0.04 D．0.036答案：A8．若函数错误！超链接引用无效。

的极值点为错误！超链接引用无效。