湖北省浠水县2020学年高二数学5月月考试题 理(无答案)

高二数学理科训练题（5月28日）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上。

1. 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.复数2)1(31i i++-的值是（ ） A.23i + B.23i +- C. 23i - D. 23i-- 3．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 60B. 48C. 42D. 364. 已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且(24)P X ≤≤=0.6826，则()4P X >=（ ）A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586D 0.15855. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ，b ，c 的值依次为（ ）A ．511,,1244 B ．,,4124 C ．,,4412D ．以上答案均不对 6. 甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．128.已知函数()x f 在R 上满足 672)2(2+-=-x x x f ，则曲线()x f y =在()()1,1f 处的切线方程是( )A. 21y x =-B. y x =C. 32y x =-D. 23y x =-+8. 从5,4,3,2,1中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为 “取到的两个数均为偶数”，则()=A B P （ ） A ．18 B ．14 C ．25 D ．129. 有一批种子,每一粒种子发芽的概率都为0.9,那么播下15粒种子,恰有14粒发芽的概 率是( ) A ．1410.9-B ．140.9C ．()1414150.910.9C - D ．()1414150.910.9C - 10．用数学归纳法证明)1(12131211>∈<-++++n N n n n 且 ,第二步证明从“k 到k+1”，左端增加的项数是A ． 12+kB ．12-kC ． k 2D ．12-k 11. 设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ． 0B ．1C ．11D ．1212. 下列命题正确的个数是 （ ） （1）比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好（2）605.1精确到01.0的近似值是24.1（3）若随机变量X ～()p n B ,，且()7E X =,()6D X =,则17P =A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

2019学年高二年级第五次月考试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()2,66,10U C ．()2,10 D ．()2,6 2．命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有20x <B ．不存在x ∈R ，都有20x <C ．存在0x ∈R ，使得200x ≥D ．存在0x ∈R ，使得200x <3．设x ∈R ，则“12x -<”是“2450x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，过P 与原点O 的直线交椭圆于另一点Q ，则1F PQ ∆的周长为（ ）A ．4B ．8C ．4D ．25．某种商品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出ˆy 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5y x =+，则表中的m 的值为（ ）A ．45B ．50C ．55D ．606．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C ．3110π- D ．3120π- 7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线28y x =-的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为 ）A B ．2 C ．4 8．执行如图的程序框图，则输出K 的值为（ ）A ．98B ．99C ．100D ．1019．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．96B ．80+C ．)9641π+ D ．()9641π+-10．如下图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =，16AA =．若,E F 分别是棱11,BB CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．6-B ．6C ．10-D ．1011．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()g x x =，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>> 12．设过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，若以AB 为直径的圆过点()1,2P -，且与x 轴交于(),0M m ，(),0N n 两点，则mn =（ ）A ．3B ．2C ．-3D ．-2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如果函数()()324f x x ax a x =++-,()a R ∈的导函数()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程是 ．14．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点．若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为 ．15．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是 ．16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于,P Q 两点，3QF FP =uu u r uu r，则直线l 的斜率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点，且椭圆E 的离心率是3（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0C -的动直线与椭圆E 相交于,A B 两点.若线段AB 的中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程. 18． 如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ． （Ⅱ）求锐二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥面BEF ，并证明你的结论．19． 已知椭圆方程C 为：()22221,0x y a b a b +=>>椭圆的右焦点为()1,0，离心率为12e =，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点，且34OA OB k k ⋅=- （1）椭圆的方程 （2）求AOB ∆的面积；20． 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数； （2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及均值．21． 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点(，,A B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:8l x =，且1A A l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若()3,0D ，且11A B D ∆的面积是ABD ∆面积的5倍，求ABD ∆面积的最大值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，椭圆C 过点1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22PF QO =u u u r u u u r ，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．2019学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案一、选择题1-5:DDACD 6-10:DBCCD 11、12：CC 二、填空题13．4y x =- 1416．三、解答题17．解：（1）由题知椭圆E 的焦点在x轴上，且a =又c ea ===，故b === 故椭圆E 的方程为221553x y +=，即2235x y +=. （2）依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()1y k x =+，将其代入2235x y +=，消去y ，整理得()2222316350k x k x k +++-=. 设,A B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y .则()()422212236431350,*631k k k k x x k ⎧∆=-⋅+⋅->⎪⎨+=-⎪+⎩由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =±，符合（*）式. 所以直线AB的方程为10x +=或10x +=.18．解析：（Ⅰ）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥， 又∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥， ∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵,,DA DC DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60°，即60DBE ∠=︒，∴EDDB=， 由3AD =，可知：DE =AF =则()3,0,0A，(F，(E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，∴(0,BE =-uur，(3,0,EF =-uu u r，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =r，则 0n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z =(4,n =r ． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，∴()3,3,0CA =-su u，所以cos ,13n CA n CA n CA ⋅===r uu rr uu r r uu r ．因为二面角为锐角， 故二面角F BE D --（Ⅲ）依题意得，设()(),,00M t t t >，则()3,,0AM t t =-，∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=uuu r r，即()4020t t -+=，解得：2t =，∴点M 的坐标为()2,2,0， 此时23DM DB =，∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．19．解：（1）由已知11,2c c a ==，∴2a =，∴2223b a c =-= 椭圆方程为：22143x y += （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则,A B 的坐标满足22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 化简得，()2223484120k x kmx m +++-=，122834kmx x k+=-+ 2122412034m x x k-=->+，得22430k m -+> ()()1212y y kx m kx m =++=()21212k x x km x x m +++,222222224128312343434m km m k k km m k k k --⎛⎫=+-+= ⎪+++⎝⎭. 34OA OB K K ⋅=-，121234y y x x -=，即121234y y x x -= ∴22222312341234434m k m k k ---=++22243m k -=，AB ====O 到直线ykx m =+的距离d =∴12AOBS d AB ∆=====.20．解：（1）∵小矩形的面积等于频率， ∴除[)35,40外的频率和为0.70， ∴10.700.065x -==. 故500名志愿者中，年龄在[)35,40岁的人数为0.065500150⨯⨯=（人）．（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名． 故X 的可能取值为0，1，2，3，()38320140285C P X C ===，()1212832028195C C P X C ===， ()2112832044295C C P X C ===，()31232011357C P X C ===， 故X 的分布列为∴()14012328595955795E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．解：（1）依题意222221231,,a b a b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）设直线AB 与x 轴相交于点(),0R r132ABD A B S r y y ∆=-⋅-，1111152A B D A B S y y ∆=⨯⨯-， 由于115A B D ABD S S ∆∆=且11A B A B y y y y -=-， 得553r =⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点()2,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+，由222,3448,x my x y =+⎧⎨+=⎩即()223412360m y my ++-=，1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，1212ABDS y y ∆=-==()212311m =++， 令1t =≥，所以212121313ABD t S t t t∆==++， 因为11333t t t t ⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以13t t+在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，所以在[)1,t ∈+∞上单调递增，所以134t t+≥，所以3ABDS ∆≤（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立）， 故ABD S ∆的最大值为3. 22．解：（1）∵椭圆C 过点1,2P ⎛ ⎝⎭，∴221112a b+=①， ∵22PF QO =，∴212PF F F ⊥，则1c =，∴221a b -=②，由①②得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y += （2）当直线AB 的斜率不存在时，设()00,A x y ，则()00,B x y -， 由122k k +=得0000112y y x x ---+= 得01x =-，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()22221122x y k x y kx m ⎧+=⎪⇒+⎨⎪=+⎩24220kmx m ++-=，得122412kmx x k -+=+，21222212m x x k -⋅=+，1212121122y y k k x x --+=⇒+=()()211221112kx m x kx m x x x +-++-⇒=，即()()()2121221k x x m x x -=-+⇒()()()()2222214k m m km --=--， 由1m ≠，()()111k m km k m -+=-⇒=+， 即()1y kx m m x m =+=++()1m x y x ⇒+=-． 故直线AB 过定点()1,1--．2019学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案二、填空题13、4y x =- 1415、、三、解答题17、解析：（1）由题知椭圆E 的焦点在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303，故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53，故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5。

湖北省浠水县实验高级中学高二测试题数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分1．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线的离心率为( )A B ．2 D ．322．在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆上的点C A ,的坐标分别为()()0,22,0,22-，若点B在椭圆181622=+y x 上，则()=++C A C A sin sin sin ( )A.2B.22C.35D.533.已知双曲线的中心在原点，两个焦点21F F ，分别为()()0505-，和，，点P 在双曲线上且21PF PF ⊥，若21F PF∆的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A.13222=-y xB.12322=-y x C.1422=-y x D.1422=-y x 4.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上的一个动点P 到直线21l l 和的距离之和的最小值为（ ） A.1637B.511C.3D.25.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，右焦点为()0,c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为21x x 和，则点P ()21,x x （ ）A.必在圆 222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上都有可能6．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线7．已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为( )A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=8．若点P 是椭圆14922=+y x 上的一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21cos PF F ∠最小值为( ) A ．95-B ．91-C ．91D ．959．过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 的轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为( )AB ．．D ．10．如图，焦点在x 轴上的椭圆)0(13222>=+a y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线P F 2与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若41=Q F ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．413B ．47C ．21D ．4111.已知抛物线y x C 8:2=的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 正半轴上任意一点，则()()-+=（ ）A.12B.-20C.-12D.2012．已知F 是椭圆159:22=+y x C 的左焦点，P 为C 上一点，⎪⎭⎫⎝⎛34,1A ，则PF PA +的最小值为（ ） A ．4 B ．313 C ．310 D ．311二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．抛物线281x y -=的准线方程为______________ 14．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点,且圆C 与直线30x y ++=相切,则圆C 的方程为15. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若60MAN ︒∠=，则C 的离心率为_______________．16．设椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF2的内切圆的面积为π，设A 、B 两点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则12y y -值为______ ．三．解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17.（本题10分）已知双曲线过点()1,4P ，且它的两条渐近线方程为02=±y x ． 错误！未找到引用源。

湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,10)P -关于Oxy 平面的对称点为（）A.(1,2,10)--B.(1,2,10)-C.(2,1,10)--D.(1,2,10)--【答案】A 【解析】【分析】根据平面对称的特征求解.【详解】(1,2,10)P -关于平面Oxy 的对称点的特征为,x y 坐标不变，z 取相反数，故所求坐标为(1,2,10)P --.故选：A.2.若直线1:(1)210l m x y +++=与直线2:210l x y -+=平行，则m 的值为（）A.2±B.2C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数.【详解】由题设1212121m m +=≠⇒=--.故选：C3.近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A.15B.310C.12 D.25【答案】D 【解析】【分析】根据0，1，2，3，4表示高温橙色预警，在10组随机数中列出3天中恰有2天发布高温橙色预警的随机数，根据古典概型的公式计算即可得解.【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是42105=.故选：D.4.某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A 为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A 互为对立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有两人中奖B.甲、乙、丙都不中奖C.甲、乙、丙至少有一人不中奖D.甲、乙、丙至多有一人不中奖【答案】C 【解析】【分析】根据题设及对立事件的定义写出A 事件的对立事件即可.【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5.已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有[AB k ∈-，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B6.如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1,1,3,AD AB AA BAD '===∠=90,60BAA DAA ︒''︒∠=∠=，则BD '的长为（）A.B.C.D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量加减的几何意义得到BD AA AD AB ''=+-，应用向量数量积的运算律求长度.【详解】由题设BD BB B D AA BD AA AD AB ''''''=+=+=+-，所以22222()222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AA AB AD AB'''''=+-=+++⋅-⋅-⋅91133011=+++--=，所以BD '=.故选：B7.已知实数x ，y 满足22280x y x +--=，则22x y +的取值范围是（）A.[4,10]B.[8,10]C.[4,16]D.[8,16]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据22x y +表示圆上点到原点距离的平方求范围.【详解】将22280x y x +--=化为22(1)9x y -+=，即圆心为(1,0)，半径为3，由22x y +表示圆上点到原点距离的平方，而圆心(1,0)到原点的距离为1，又()0,0在圆内，所以圆上点到原点距离范围为[2,4]，故22x y +的取值范围是[4,16].故选：C8.如图，边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A. B.C.273D.4143【答案】D 【解析】【分析】由题设得,OB AC OD AC ⊥⊥且()()AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+，结合已知条件求得3cos 4BOD ∠=-，再利用棱锥体积公式求体积.【详解】若O 为正方形的中心，由题设知,OB AC OD AC ⊥⊥，所以()()14AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+=，且OA OC OB OD ====，所以14AO BO AO OC OD BO OD OC ⋅+⋅+⋅+⋅= ，即14AO OC OD BO ⋅+⋅=，所以88cos(π)14BOD +-∠=，则3cos 4BOD ∠=-，则7sin 4BOD ∠=，所以三棱锥D ABC -的体积为11414sin 323OD BOD AB BC ⨯⨯∠⨯⨯⨯=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:20l kx y -+=和圆22:(3)(4)16M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点(0,2)B.直线l 与圆M 相交C.圆M 与圆22:1C x y +=有三条公切线D.直线l 被圆M 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D.【详解】对于A ，由直线的方程:20l kx y -+=，当0x =时，2y =，可知直线恒经过定点(0,2)P ，故A 正确；对于B ，因为直线恒经过定点(0,2)，且22(03)(24)16-+-<，定点在圆内，所以直线l 与圆M 相交，故B 正确；对于C ，由圆的方程22:(3)(4)16M x y -+-=，可得圆心()3,4M ，半径14r =，又由直线:20l kx y -+=，圆22:1C x y +=，圆心()0,0C ，半径21r =，此时541CM ===+，所以圆M 与圆相外切，有三条公切线，故C 正确；对于D ，由PM ==，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故D 错误，故选：ABC.10.柜子里有3双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（）A.“取出的鞋成双”的概率等于25B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于15C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于25D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于12【答案】BC 【解析】【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.【详解】记3双不同的鞋子按左右为121212,,,,,a a b b c c ，随机取2只的样本空间为()()()()(){1211121112,,,,,,,,,a a a b a b a c a c ()()2122,,,,a b a b ()()()()()()()()}2122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,a c a c b b b c b c b c b c c c ，共15种，则“取出的鞋成双”的概率等于31155=，A 错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于31155=，B 正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于62155=，C 正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于62155=，D 错.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若0,1λμ==，则1//D P 平面1A BDB.若11,2λμ==，则⊥PO 平面1A BD C.若12λμ==，则P 到平面1A BD 3D.若1,01λμ=≤≤时，直线DP 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定P 的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A ；线面垂直的判定定理判断B ；由P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，几何法求点面距离判断C ；应用向量法求线面角，进而求范围判断D.【详解】A ：1BP BB =，即1,P B 重合，故1D P 即为11D B ，又11//D B DB ，即1//D P DB ，由1D P ⊄面1A BD ，DB ⊂面1A BD ，则1//D P 面1A BD ，对；B ：112BP BC BB =+，易知P 为1C C 的中点，此时1CP =，且2OC OD ==所以3,5OP PD ==222OP OD PD +=，即OP OD ⊥，根据正方体的结构特征，易得11//DA CB ，若E 为BC 的中点，则1//PE C B ，又11CB C B ⊥，则1CB PE ⊥，显然OE ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1OE CB ⊥，由PE OE E = 且在面POE 内，则1CB ⊥面POE ，OP ⊂面POE ，则1CB OP ⊥，所以1DA OP ⊥，又1DA OD D = 都在面1A BD 内，则OP ⊥面1A BD ，对；C ：11122BP BC BB =+，即P 是面11BCC B 的中心，易知P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，根据正方体的结构特征，11C A BD -为正四面体，且棱长为22，所以1C 到平面1A BD 22238(22)(22)83233-⨯⨯=-=所以P 到平面1A BD 的距离为23，错；D ：1BP BC BB μ=+，则P 在线段1CC 上运动，如图构建空间直角坐标系，所以1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,)A B P t ，且02t ≤≤，故(0,2,)DP t =，令面1A BD 的一个法向量为(,,)m x y z =，且()()12,0,2,2,2,0DA DB == ，所以1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则(1,1,1)m =- ，故2||2sin ||||34m DP m DP tθ⋅==⨯+ ，令2[2,4]x t =+∈，则2t x =-，所以2211sin 841113138()42x x x θ==⨯-+⨯-+111[,42x ∈，故36sin ,33θ∈，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应P 点的位置为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过(0,2),(1,4)A B -两点的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数.【详解】由题设422101kk -=⇒=---.故答案为：2-13.已知空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则mn 的最小值为__.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】先利用题给条件求得,m n 之间的关系，再利用二次函数即可求得mn 的最小值.【详解】空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则可令(,R)a b c λμλμ=+∈，则427562m n μλμλμ=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解之得2122m n μλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩则2(22)22mn n n n n =+=+二次函数222y x x =+的最小值为12-，则222mn n n =+的最小值为12-.故答案为：12-14.由1,2,3,,2024 这2024个正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则12a b >的概率为___.【答案】34##0.75【解析】【分析】利用古典概型即可求得12a b >的概率.【详解】12a b >即2b a <，当1a =时，b 可以取1，有211⨯-种取法；当2a =时，b 可以取1，2，3，有221⨯-种取法；当3a =时，b 可以取1，2，3，4，5，有231⨯-种取法；当1012a =时，b 可以取1，2，3，L ,2023，有210121⨯-种取法；当10132024a ≤≤时，b 可以取1，2，3，L ,2024，有2024种取法；()()()211221210121101220241220242024a P b ⨯-+⨯-++⨯-+⨯⎛⎫>=⎪⨯⎝⎭ 759310124==故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的顶点(1,3)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为10x y +-=，边AC 上的高BH 所在直线方程为21y x =+.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,6-（2）74110x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；（2）结合（1）先求H 点坐标可得H 与A 重合，再利用AB 中点M 在直线10x y +-=上，即可求出B 点坐标，进而得出直线BC 的方程.【小问1详解】由题知，BH AC ⊥，C 在直线CM 上，设(),C m n ，则321110n m m n -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+-=⎩，解得56m n =-⎧⎨=⎩，即点C 坐标为()5,6-.【小问2详解】设()00,B x y ，则000013102221x y y x ++⎧+-=⎪⎨⎪=+⎩，解得0011x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,1B --，所以直线BC 的方程为()()()()611151y x ----=+---，即74110x y ++=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB BC E ⊥为PD 的中点.（1）若CD AC ⊥，证明：EA EC =；（2）若224,1AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面ECD 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证PA AD ⊥、CD PC ⊥，结合直角三角形性质即可证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，,CD AD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，PA AD ⊥，而CD AC ⊥，PA AC A = 且都在面PAC 内，则CD ⊥面PAC ，由PC ⊂面PAC ，则CD PC ⊥，即,△△PAD PCD 均为直角三角形，且PD 为斜边，由E 为PD 的中点，故12AE CE PD ==，得证.【小问2详解】由题意，易知ABCD 为直角梯形，且AB BC ⊥，//AD BC ，且PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)C D P E ，所以(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1),(1,2,0)AE AC CE CD ===-=- ，若(,,),(,,)m x y z n a b c == 分别是面ACE 、面ECD 的法向量，则2020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，则(2,1,2)m =- ，且020n CE a c n CD a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1b =，则(2,1,2)n = ，所以7cos ,9m n m n m n ⋅== ，故平面ACE 和平面ECD 的夹角余弦值为79.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为12m n 、、，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为124，至少进入一个兴趣小组的概率为34，且m n <.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.【答案】（1）1143m n ==，（2）14【解析】【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.【小问1详解】由题意得：()()1122413111124mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎩，解得：1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X ，则()11114143212P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()1111514328P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1111643224P X ==⨯⨯=，所以()11114128244P X ≥=++=.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为14.18.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124,,AB A B E F ==分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45︒.（1）求证：1//B D 平面1C EF ；（2）求点1D 到平面1C EF 的距离；（3）在线段1BD 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）5或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，判断10BD n ⋅= 即可；（2）应用向量法求1D 到平面1C EF 的距离即可；（3）假设在1BD 上存在点M ，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；【小问1详解】由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，故111(4,4,0),(0,2,0),(2,4,0)A B D C E F ，所以11(2,2,0),(3,3,EF EC D B === ，若平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF x y n EC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则(1,1,0)n =- ，显然10BD n ⋅= ，而1⊄BD 面1C EF ，所以1//BD 面1C EF ；【小问2详解】由（1）知：11(0,2,0)D C =uuuu r ，所以1D 到平面1C EF的距离为11||||n D C n ⋅== 【小问3详解】假设在1BD 上存在点M，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，则1111(1,3,(3,3,)(13,33A M A B MB A B D B λλλλλ=-=-=-=--，直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，故11||2||||n A M n A M ⋅= ，所以22(13)11(1)4λλ-+-=，即2572(52)(1)0λλλλ-+=--=，可得2=5λ或1λ=，2=5λ时，66(,,55MB =，则455BM ==，1λ=时，(3,3,MB =，则BM ==，综上，BM 长为455或19.已知动点M 与两个定点(1,1),(1,4)A B --的距离的比为12，记动点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程，并说明其形状；（2）已知(1,0)D -，过直线5x =上的动点(5,)P p 分别作曲线Γ的两条切线PQ ，(,PR Q R 为切点），连接PD 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ADN △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点为1(,0)3-；（ⅱ）存在，(5,0)P .【解析】【分析】（1）根据已知及两点距离公式有2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，整理即可得曲线方程；（2）（ⅰ）根据题设知,R Q 在以PD 为直径的圆上，并写出对应方程，结合,R Q 在22(1)4x y ++=上，即可求直线RQ ，进而确定定点坐标；（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为1(,0)3T -，易知N 在以DT 为直径的圆上，根据圆的性质判断ADN △面积最大时N 的位置，即可确定P 的坐标.【小问1详解】设(,)M x y ，则22||1||4MA MB =，即2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，所以2223(1)4(1)(4)x y y ++-=-，整理得22(1)4x y ++=.【小问2详解】（ⅰ）由题设，易知,,,P R D Q 四点共圆，即,R Q 在以PD 为直径的圆上，而,P D 的中点坐标为(2,2p ，||PD =以PD 为直径的圆为222(2)()924p p x y -+-=+，又,R Q 在22(1)4x y ++=上，即RQ 为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线RQ 为620x py ++=，显然该直线恒过定点1(,0)3T -，得证.（ⅱ）存在，(5,0)P ，理由如下：由（i ）及题设，易知N 在以DT 为直径的圆上，即2(,0)3-为圆心、半径为13，且AD x ⊥轴，则|1AD =|，且2(,0)3-到直线AD 的距离为13，故N 到直线AD 的最大距离为23，所以，当N 与1(,0)3T -重合时，ADN △面积最大，此时(5,0)P .。