四川省凉山州2019年中考[数学]考试真题与答案解析
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四川省凉山州2019年中考[数学]考试真题与答案解析
一、选择题
在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡
上相应的位置．
1．﹣12020＝（ ）
A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020
答案：B．
2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B．
3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）
答案：A．
4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是
（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3
答案：C．
5．一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
答案：C．
6．下列等式成立的是（ ）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2
C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1
答案：C．
7．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围
是（ ）
A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3
答案：D．
8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，
则线段BD的长为（ ）
A．10cmB．8cmC．10cm 或8cmD．2cm 或4cm
答案：C．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
答案：D．
10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A．B．C．2D．2答案：A．
11．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（ ）
A．2：B．：C．：D．：2
答案：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：D．
二、填空题
13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
14．因式分解：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若
OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于 16 ．
16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，
则半圆的半径OA的长为 3 ．
17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）
相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解方程：x﹣＝1+．
解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
19．化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．
解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12
＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12
＝3x2﹣1，
当x＝时，
原式＝3×（）2﹣1
＝3×2﹣1
＝6﹣1
＝5．
20．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
答案：正方形零件的边长为48mm．
21．某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批
对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个
班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件；在扇形统计图中表示C班的
扇形的圆心角的度数为 150° ；（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等
奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
答案：24、150°；
（2）补全图形如下：
（3）列表如下：ABBCCDABABACACADABABBBCBCBDBBABBBCBCBDBCACBCBCCCDCCACBCBCCCDCDADBDBDCDCD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种
结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．
22．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半
圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．
解析：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）解：连接BC交OD于E，
∵AB是半圆AOB的直径，
∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，
∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，
∵sin∠BAC＝＝，
∴AB＝12，
即半圆的直径为12．
四、填空题
23．若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 ﹣≤a＜﹣
．答案：﹣≤a＜﹣．
24．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F
是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的
最短距离为 10 ．
答案：10．五、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点
P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠
QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于
M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；
（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC
不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120
°．
26．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一
个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线1在第一象限内相交于点
A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时
关于x的不等式﹣x+5＜的解集．
解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，
由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，
故k的取值范围0＜k≤；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），
点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m
＝1，
故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，
观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．
27．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对
的边分别是a、b、c．
（1）求证：＝＝＝2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin
∠B的值．
解析：（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；
（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB＝∠BHC＝90°，
∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，
∴AC＝AH+CH＝2（），
∴sin∠B＝＝＝．
28．如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，
）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方
的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交
直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
