矩阵的秩及其求法-求秩的技巧

矩阵求秩方法
求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：
1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。

2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。

4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。

可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。

5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。

6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。

8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。

求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。

矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。

在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。

本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。

方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。

对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。

我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。

2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。

对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。

矩阵的秩等于它的列空间的维度。

我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。

具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。

3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。

阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。

可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。

矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。

总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。

对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。

但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。

还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。

第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。

本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。

5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。

其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。

因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。

定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。

其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。

注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。

（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。

当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。

解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。

c语言求矩阵的秩算法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它表示矩阵中非零行的最大数量。

在C语言中，求矩阵的秩算法可以通过高斯消元法来实现。

高斯消元法是一种线性代数中常用的求解线性方程组的方法，它可以将矩阵化为行阶梯形式，从而方便求解矩阵的秩。

具体实现步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵，即将矩阵的系数矩阵和常数矩阵合并成一个大矩阵。

2. 对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为行阶梯形式。

具体来说，可以通过以下三种初等行变换来实现：（1）交换两行的位置；（2）将某一行乘以一个非零常数；（3）将某一行加上另一行的若干倍。

3. 统计矩阵中非零行的数量，即为矩阵的秩。

下面是C语言实现矩阵秩算法的代码：```#include <stdio.h>#define ROW 3#define COL 3int rank(int matrix[ROW][COL]) {int i, j, k, r, temp;int rank = ROW;for (i = 0; i < rank; i++) {if (matrix[i][i] != 0) {for (j = 0; j < ROW; j++) {if (j != i) {temp = matrix[j][i] / matrix[i][i];for (k = 0; k < rank; k++) {matrix[j][k] -= temp * matrix[i][k]; }}}} else {for (j = i + 1; j < ROW; j++) {if (matrix[j][i] != 0) {for (k = 0; k < rank; k++) {temp = matrix[i][k];matrix[i][k] = matrix[j][k];matrix[j][k] = temp;}break;}}if (j == ROW) {rank--;for (j = 0; j < ROW; j++) {matrix[j][i] = matrix[j][rank];}}i--;}}return rank;}int main() {int matrix[ROW][COL] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};int r = rank(matrix);printf("The rank of the matrix is %d\n", r);return 0;}```在上述代码中，我们定义了一个rank函数来计算矩阵的秩。

微机上矩阵求秩的一种快速算法-回复【微机上矩阵求秩的一种快速算法】- 1500-2000字引言：矩阵在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

而求解矩阵的秩也是一个常见的问题。

对于小规模的矩阵，我们可以手动计算来得到结果。

但是，对于大规模矩阵来说，手动计算的方法非常低效。

因此，我们需要一种更快速的算法来解决这个问题。

本文介绍了一种在微机上求解矩阵秩的快速算法。

一、矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大数量。

也可以理解为矩阵行（或列）向量组的秩。

求解矩阵的秩有多种方法，但在本文中，我们将重点介绍一种适用于微机的快速算法。

二、高斯消元法高斯消元法是一种经典的求解线性方程组的算法，但它也可以用来求解矩阵的秩。

它的基本思想是通过一系列的行变换将矩阵转化为简化阶梯形式，然后计算简化阶梯矩阵中非零行的数量。

三、具体步骤以下是在微机上使用高斯消元法求解矩阵秩的具体步骤：步骤1：读入矩阵首先，我们需要从输入源读入待求解秩的矩阵。

矩阵可以通过用户输入、文件读取或者其他合适的方式获取。

在计算机中，矩阵通常以二维数组的形式表示。

步骤2：进行行变换接下来，我们需要对矩阵进行一系列的行变换操作，使得矩阵转化为简化阶梯形式。

这些行变换操作可以包括：交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。

通过这些操作，我们可以将矩阵的非零元素置于特定位置，从而简化计算。

步骤3：计算非零行数量经过一系列的行变换操作后，我们得到了一个简化阶梯矩阵。

现在，我们需要计算简化阶梯矩阵中非零行的数量，即矩阵的秩。

在计算机中，我们可以通过遍历矩阵的每一行，统计非零行的数量来实现这一过程。

步骤4：输出秩最后，我们将计算得到的矩阵秩输出到目标源。

输出可以是屏幕显示、写入文件或者其他合适的形式。

四、算法分析通过以上方式，我们可以在微机上快速求解矩阵的秩。

该算法的时间复杂度主要取决于矩阵的规模和具体的行变换操作。

在最坏情况下，时间复杂度为O(n^3)，n为矩阵的行数和列数。

求矩阵的秩最简单方法例题求矩阵的秩那可太重要啦！步骤嘛，先把矩阵化简，可以用行变换或者列变换。

哇塞，就像给矩阵来个大变身一样。

注意可别瞎变，得有规律地来。

那求矩阵秩安全不？嘿，这有啥不安全的，只要方法对，稳稳当当的。

应用场景可多啦！解方程组啥的都能用得上。

优势那也是杠杠的，能快速帮咱解决难题。

举个实际例子哈，上次做一道难题，用求矩阵秩的方法，一下子就搞定啦！就像找到了一把神奇的钥匙，打开了难题的大门。

求矩阵秩的方法超棒，大家赶紧用起来呀！。

第五节 【2 】：矩阵的秩及其求法一.矩阵秩的概念 1. k 阶子式界说1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对地位构成的阶行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式,有 个三阶子式 矩阵A 的第一.三行,第二.四列订交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然, 矩阵 A 共有 个k阶子式. 2. 矩阵的秩界说2 设 有r 阶子式不为0,任何r +1阶子式(假如消失的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩,记作R (A )或秩(A ). 划定： 零矩阵的秩为 0 .留意：(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是独一的 .(2) 有行列式的性质,(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 假如An ×n , 且 则 R ( A ) =n .反之,如 R ( A ) = n ,则 是以,方阵 A 可逆的充分必要前提是 R ( A ) = n . 二.矩阵秩的求法 1.子式判别法(界说).例1 设 为阶梯形矩阵,求R (B ). ()nm ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k≤≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D nm ⨯k n k m c c ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎫⎛4321因为 消失一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 假如 求a .解或例3则 2.用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不转变矩阵的秩. 即则注： 只转变子行列式的符号.是A 中对应子式的k 倍. 是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法：1）应用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩.例4求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R aa a A 111111=0)1)(2(2=-+=a a 1=∴a 2-=a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=K K K K A 111111111111()3=A R =K 3-()311111113(1)(3)111111K A K K K KK=+=-+BA →)()(B R A R =j i rr ↔.1i rk .2j i krr +.3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=211163124201A ().A R −−→−-122r r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211021104201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000021104201R(A ) = 2例5三.满秩矩阵界说3A 为n 阶方阵时,称 A 是满秩阵,（非奇怪矩阵） 称 A 是降秩阵,（奇怪矩阵） 可见： 对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又依据初等阵的感化：每对A 施行一次初等行变换,相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵,则消失初等方阵 使得对于满秩矩阵A,它的行最简形是n 阶单位阵 E .例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些主要结论：定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A ),R (B )}设A 是 矩阵,B 是 矩阵, 性质1性质2 假如 A B = 0 则μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A R A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6352132111μλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→458044302111μλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→015044302111μλλ,2)(=A R 1,5==∴μλ01,05=-=-∴μλ(),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R .,,,21s P P P EA P P P P s s =-121, ()EA nA R ~= ()nE A n A R ~⇔=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→320430321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→320110001E=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→100010001()3=∴A R ≤≤≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+性质3 假如 R (A )= n, 假如A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵,则例8 设A 为n 阶矩阵,证实R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E∴R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n 而 R （ E-A ）=R （ A-E ） ∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥nnm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。