矩阵的秩的定义

§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、线性方程组解的存在性等问题的重要工具.从上节已看到，矩阵可经过初等行变换化成行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的.这个数就是矩阵的“秩”.鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵秩的方法.定义1设A =(a ij )m ×n ，从A 中任意选定k 行、k 列（1≤k ≤min{m ,n }），位于这些行和列交叉处的k 2个元素，保持它们原有的相对顺序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式.例如，矩阵中的第一、二行与第二、三列交叉处的元素构成的二阶子式为.根据定义，A 中的任意一个元素都是A 的一个一阶子式.A 的k 阶子式共有C km ·C kn 个(1≤k ≤min{m ,n }).且若m =n ，即A 为方阵，则|A |是A 的一个n 阶子式.当A ≠O 时，它至少有一个一阶子式不为零.定义2设A =(a ij )m ×n ，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何r +1阶子式（如果有的话）皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为R (A )，并规定零矩阵的秩为零.例如，在矩阵中，有一个三阶子式而所有的四阶子式显然都为零.因此R (A )=3.根据秩的定义容易得到如下结论：(1)R (A m ×n )=0的充分必要条件是A =O ;(2)0≤R (A m ×n )≤min{m ,n };(3)如果A 中有一个r 阶子式不为零，则R (A )≥r ;(4)R (A T)=R (A ),R (k A )=R (A )(k ≠0);(5)分块矩阵的秩不小于它的各子块的秩.如R (A ┊B )≥R (A ),R (A ┊B )≥B ;(i ,j =1,2)等;(6)(7)行（列）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行（列）的行（列）数.如果R (A m ×n )=m ，则称A 为行满秩矩阵；如果R (A m ×n )=n ，则称A 为列满秩矩阵；如果R (A n )=n ，则称A 为满秩矩阵.由上面的讨论知，利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的.由于阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次初等变换化成阶梯形矩阵，因而可考虑借助初等变换法求矩阵的秩.二、用初等变换法求矩阵的秩定理6.1若A →B ，则R (A )=R (B ).*证明先考虑经一次初等行变换的情形.设A 经一次初等行变换后化成了B ，R (A )=s ，且A 的某个s 阶子式D ≠0.当或时，在B 中总能找到与D 相对应的s 阶子式D 1，由于D 1=-D 或D 1=kD ，因此D 1≠0，从而R (B )≥s .当时，由于对变换结论成立，因此只需考虑这一特殊情形，分两种情况讨论：(1)A 的s 阶非零子式D 不含A 的第一行，这时D 也是B 的一个s 阶非零子式，故R (B )≥s ;(1)D 包含A 的第一行，这时把B 中与D 对应的s 阶子式D 1记为其中r 1+kr 2表示D 1的第一行，r p 表示D 1的第二行，…，r q 表示D 1的最后一行.其余类推.若p =2,则D 1=D ≠0；若p ≠2，则D 2也是B 的s 阶子式，由D 1-kD 2=D ≠0知D 1与D 2不同时为零.总之，B 中存在s 阶非零子式D 1或D 2.故R (B )≥s .以上证明了若A 经一次初等行变换变为B ，则R (A )≤R (B ).由于B 亦可经一次初等行变换变为A ，故也有R (B )≤R (A )，因此R (A )=R (B ).由经一次初等行变换后矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换后矩阵的秩不变.同理可证得经有限次初等列变换后矩阵的秩不变.总之，若A 经有限次初等变换后变为矩阵B (即A →B )，则R (A )=R (B ).由此可得利用初等变换求矩阵A 的秩的方法：对A 施行初等行（列）变换化成行（列）阶梯形，行（列）阶梯形矩阵中非零行（列）的行（列）数就是A 的秩.例1求矩阵A 的秩解因为所以R(A)=3.由于每个矩阵都有等价的标准形，由此可得:定理6.2矩阵A与B等价的充分必要条件是它们有相同的标准形.证明必要性.设A的标准形为B的标准形为因A≅B,由等价的传递性知≅，故r=s.即A与B有相同的标准形.充分性.因A与B有相同的标准形，由等价的传递性知A≅B.推论A≅B的充分必要条件是R(A)=R(B).证明必要性是显然的.充分性，因R(A)=R(B)，所以A与B有相同的标准形，从而A≅B.例2设B为m阶满秩矩阵，A为m×n阶矩阵，试证R(BA)=R(A).证明因B为满秩矩阵，故B可表示成有限个初等矩阵的乘积，即B=P1P2…P s,(i=1,2,…,s)为初等矩阵.从而其中PiBA=P1P2…P s A.此式表明BA是A经有限次初等行变换后所得的矩阵，因而有R(BA)=R(A).注同理可得:阶矩阵，则R(AB)=R(A);(1)若B为n阶满秩矩阵，A为m×n(2)若B，C分别为m阶及n阶满秩矩阵，则R(BA C)=R(A).。

第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。

定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。

矩阵秩的性质及应用矩阵秩是矩阵理论中的一个重要概念，它代表的是矩阵中线性无关的向量或行列的最大数量，也可以理解为矩阵的非零行列的最大线性无关的数量。

矩阵秩有很多重要的性质和应用，下面将详细介绍。

一、性质：1. 对于任意的m x n矩阵A，其秩满足以下性质：（1）矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小者，即rank(A) ≤min(m, n)。

（2）如果矩阵A的秩等于行数或者等于列数，即rank(A) = min(m, n)，那么矩阵A被称为满秩矩阵。

（3）如果矩阵A的秩等于0，即rank(A) = 0，那么矩阵A被称为零矩阵。

（4）两个矩阵相似，它们的秩是相等的，即如果A和B相似，则rank(A) = rank(B)。

（5）对于矩阵A的任意非零子矩阵B，有rank(B) ≤rank(A)。

2. 矩阵的秩与其对应的行列式的性质有关：（1）如果一个n阶方阵A的行列式不等于0，即det(A) ≠0，则rank(A) = n，也就是说该矩阵是满秩矩阵。

（2）如果一个n阶方阵A的行列式等于0，即det(A) = 0，则rank(A) < n，也就是说该矩阵不是满秩矩阵。

二、应用：1. 线性方程组的解：考虑一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以将其表示为矩阵形式Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维列向量。

如果方程组能够有解，则有rank(A) = rank([A, b])，即矩阵A和增广矩阵[A, b]的秩相等。

通过计算矩阵A的秩，可以判断线性方程组是否有解，以及有多少个自由变量。

2. 线性映射的维数问题：考虑一个线性映射T：V →W，其中V和W分别是n维和m维向量空间。

根据线性映射的定义，如果对于V中的任意向量v，总能找到一个唯一的映射结果T(v)在W空间中，那么我们可以把V称为映射T的定义域，把W称为映射T 的值域。

根据线性映射的定义和性质，可知rank(A) = rank(T)，其中A是矩阵表示映射T的矩阵。

求矩阵的秩的三种方法例题摘要：1.引言2.方法一：高斯消元法3.方法二：矩阵的行列式4.方法三：矩阵的秩的定义5.总结正文：1.引言在线性代数中，矩阵的秩是一个重要的概念。

矩阵的秩表示矩阵中线性独立的元素的个数。

在实际问题中，矩阵的秩反映了矩阵所表示的线性方程组的自由度。

本文将介绍求矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的行列式和矩阵的秩的定义。

2.方法一：高斯消元法高斯消元法是一种求解线性方程组的方法。

通过高斯消元法，我们可以将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求得矩阵的秩。

具体步骤如下：（1）将矩阵进行增广排列，形成增广矩阵。

（2）从左到右，依次消去列中的零元素。

（3）将步骤（2）中消去的零元素，用与其对应的非零元素除以零的元素。

（4）重复步骤（2）和（3），直到最后一列。

（5）所得的矩阵即为阶梯形矩阵或行最简矩阵，其秩即为矩阵的秩。

3.方法二：矩阵的行列式矩阵的行列式与矩阵的秩有密切关系。

给定一个矩阵A，如果矩阵A的行列式值为0，那么矩阵A的秩为0。

如果矩阵A的行列式值不为0，那么矩阵A的秩等于矩阵的行数。

具体计算方法如下：（1）将矩阵A的元素按照反对角线线性地排列成一个新的矩阵。

（2）计算新矩阵的行列式值，即为矩阵A的行列式值。

4.方法三：矩阵的秩的定义矩阵的秩可以通过矩阵的定义来求解。

给定一个矩阵A，我们可以通过以下步骤求得矩阵A的秩：（1）求矩阵A的行阶梯形式或简化阶梯形式。

（2）计算矩阵A的行数和列数。

（3）矩阵A的秩等于矩阵的行数。

5.总结求矩阵的秩有多种方法，包括高斯消元法、矩阵的行列式和矩阵的秩的定义。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法求解矩阵的秩。