矩阵初等变换及应用研究

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。

在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。

作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。

矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。

其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。

而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。

本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。

矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。

这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。

这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。

首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。

这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。

矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。

常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。

2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。

3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。

矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。

2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。

3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。

4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。

5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。

总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。

它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。

矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。

本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。

下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。

具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。

应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。

二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。

应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。

三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。

应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。

综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。

同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。

在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。

矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

Science &Technology Vision 矩阵的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。

然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。

那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。

1矩阵的初等变换由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。

定义1[4]：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）对调两行（列）。

（2）以一个非零数乘某一行（列）的所有元素。

（3）某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义2[5]：设A 是m ×n 矩阵，A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零行的下方。

（2）若A 的非零行的首非零元分别为a 1t ，a 2t ，…，a rt （设A 有r 个非零行），则首非零元所在的列满足t 1<t 2<…<t r 。

则称为行阶梯形矩阵。

定义3：设A 是m ×n 矩阵，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零列的右方。

（2）若A 的非零列的首非零元分别为a s 1，a s 2，…，a s r （设A 有r 个非零列），则首非零元所在的行满足s 1<s 2<…<s r 。

摘要矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。

关键词初等变换；线性代数；矩阵中图分类号:O151.2文献标识码:ADOI ：10.19694/ki.issn2095-2457.2020.18.23矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索李燕娟基金项目:兰州交通大学博文学院教育教学改革课题(2019BWJX007)。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用Һ庞㊀峰㊀（山西警察学院，山西㊀太原㊀０３０４０１）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵是整个线性代数课程的基础，线性代数的很多概念和应用都离不开矩阵，而初等变换是矩阵运算中的最主要㊁最常见的一种运算，也是解决矩阵问题的一个基本方法，它几乎贯串线性代数的始终．鉴于矩阵初等变换的重要性，本文将对矩阵的初等变换应用于不同方面做一个归纳与总结，便于理清各知识点之间的内在联系，对掌握矩阵理论十分有帮助，同时，希望本论文的研究也会给相关的学者一些建议和思考．ʌ关键词ɔ矩阵理论的应用；线性代数；初等变换ʌ基金项目ɔ课题名称： 金课 标准下的‘线性代数“线上㊁线下混合式教学研究，课题编号：ＹＪ２０２０１２，课题来源：２０２０山西警察学院院级教学改革创新项目重点课题随着时代的发展，矩阵由最初的一种工具逐渐演变为一门数学分支 矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程论㊁矩阵分解论及广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，已经被广泛地应用在了现代科技的各个领域之中．矩阵就是一个整齐排列的实数或复数的数块或者说集合，它本身没有任何运算的功能．正是初等变换赋予了矩阵变化的 魔力 ，才把矩阵理论中的绝大部分内容有机地联系起来．由此可见，矩阵的初等变换在矩阵理论中起着举足轻重的作用，是其核心和精髓．通过初等变换将矩阵Ａ转化为更为简单的矩阵Ｂ，然后利用矩阵Ｂ来对矩阵Ａ进行研究，这已被公认为是一种方便㊁有效的途径．我们通常所说的矩阵的位置变换就是将矩阵中的两行（或列）的位置进行对换，记作：Ｒｉ↔Ｒｊ或Ｃｉ↔Ｃｊ；其次是数乘变换：就是将矩阵的某一行（或列）乘一个不等于零的数ｋ，记作：ｋＲｉ或ｋＣｉ；最后是消去变换：就是将矩阵中的某一行（或列）的适当倍数加到另外的一行（列）上，记作：Ｒｉ＋ｋＲｊ或Ｃｉ＋ｋＣｊ．以上三种变换统称为矩阵的初等变换．关于初等变换的重要结论：任何一个矩阵，通过有限可数次的初等变换都可以化成阶梯形，再进一步化为行最简形矩阵．这一结论保证了初等变换的可行性，同时也指明了变换的最终方向．矩阵的初等变换有很多优点，如，它只涉及加减乘除四则基本运算，计算简单；化简过程有规律，算法很容易实现；初等变换表面上是一种等价变化，实质上却是矩阵乘法的可逆恒等运算，从而通过形式的转化实现恒等运算的本质；初等变换的化简过程灵活多样，因人而异，但结果却唯一，且保持矩阵的本质属性即矩阵的秩不变．总之，矩阵初等变换的实质是将问题化繁为简㊁化多为少㊁化大为小，并且保持事物的本质属性不变．我们要善于运用矩阵的初等变换这一有力工具来帮助我们达到解决矩阵问题的目的，并掌握矩阵初等变换的广泛应用．一㊁求逆矩阵逆矩阵的求解是矩阵理论中的一个十分重要的内容．对于一个方阵Ａ，我们可以采用初等变换的方法来判断这个矩阵是否可逆，而且在可逆的情况下还可以求出其逆矩阵Ａ－１．也就是先将原矩阵与同阶单位矩阵采用拼接的方式得到一个新矩阵，再对这个矩阵进行转化，遵循ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（其中Ａ为可逆矩阵，Ｅ为单位矩阵）的规则，以此来确定它的逆矩阵．如果在变换过程中，与Ａ等价的矩阵无法变成Ｅ时，则Ａ不可逆．具体形式如下：（Ａ｜Ｅ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１）或ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＡ－１æèçöø÷求逆矩阵还可以采用伴随矩阵的方法进行求解．对于一个ｎ阶方阵Ａ，用伴随矩阵计算逆矩阵Ａ－１，需要计算ｎ２＋１个行列式，计算量相当大，而且这ｎ２＋１个行列式要计算出值也非易事．相比之下，利用初等变换来计算逆矩阵就显得较为简便㊁实用㊁快捷．二㊁解矩阵方程对于矩阵方程，比矩阵的乘法运算更简单㊁实用，而且计算方便的方法即是初等变换的方法．（１）形如ＡＸ＝Ｂ的矩阵方程，由于Ａ－１（Ａ，Ｂ）＝（Ｅ，Ａ－１Ｂ），因此采用初等行变换很容易得出它的解Ｘ＝Ａ－１Ｂ．具体过程为：ＡＢ()ң ң{初等行变换ＥＡ－１Ｂ()．（２）形如ＸＡ＝Ｂ的矩阵方程，同理可得ＡＢæèçöø÷Ａ－１＝ＥＢＡ－１æèçöø÷，可以采用矩阵的初等列变换进行求解，得出Ｘ＝ＢＡ－１，具体过程为：ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＢＡ－１æèçöø÷．（３）形如ＡＸＢ＝Ｃ的矩阵方程，可以参照（１）（２）两种基本形式，得出其解为Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１，具体过程为：（Ａ｜Ｃ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１Ｃ），ＢＡ－１Ｃæèçöø÷ң ң{初等列变换ＥＡ－１ＣＢ－１æèçöø÷．另外，对于其他变异形式的矩阵方程，可以先通过恒等变形转化为上述（１）或（２）的基本形式，再解之．三㊁计算矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一种固有本质属性，是讨论矩阵问题㊁线性方程组的解的问题㊁向量组相关性㊁线性空间基等的重要依据，也是透过现象看本质的重要载体．一般矩阵用定义求其秩，需要从最高阶式子起一阶一阶地试验结果是否非零，显然偶然性很大，而且计算也比较烦琐．矩阵的秩有如下三个重要结论：（１）行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数；（２）矩阵的秩不随矩阵的初等变换而发生变化；（３）任何一个矩阵的行秩等于列秩．据此，我们把矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵后，非零行数目就是它的秩．这一方法大大方便了计算矩阵的秩，算法更为快捷和适用．四㊁高斯消元法的应用线性方程组作为数学方程组的一种，一般由未知数（一㊀㊀㊀㊀㊀次）㊁系数㊁常数等组成．方程组同解变换的求解过程，实质上只是对未知量系数和常数项进行相应变化的过程．所以，透过现象看本质，求解实际上就是由方程组的未知量系数和常数项构成的增广矩阵进行初等变换的过程．它不仅能判断方程组解的各种具体情况，还可以有效地求出线性方程组的解．如果方程组存在解，那么可将其转化为行最简形矩阵，求出方程组Ａｘ＝ｂ的解，这就是线性代数中的高斯消元法．具体过程如下：增广矩阵Ｂ＝（Ａｂ）初等行变换ң阶梯形}结合秩，判断解的情况初等行变换ң最简形}求出解这一方法求解过程的关键正是矩阵的初等变换．值得强调的是，使用高斯消元的过程，只能使用初等行变换，而不能使用初等列变换，否则，就不是方程组的同解变换了．高斯消元法是解线性方程组最普适的一种方法，不管方程组中未知量的个数和方程个数是多少，也不管方程组解的情况怎样，对各种线性方程组都适用．而且，从计算量上说，该方法也要比Ｃａｒｍｅｒ法则优越得多，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度．例如，ａ，ｂ取何值时，非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝１，ｘ２－ｘ３＋２ｘ４＝１，２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３，３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝５，ìîíïïïï（１）有唯一解？（２）无解？（３）有无穷多个解？有解时求出全部解．解：用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，Ｂ＝（Ａ，ｂ）＝１１１１１０１－１２１２３ａ＋２４ｂ＋３３５１ａ＋８５æèçççöø÷÷÷Ｒ３－２Ｒ１Ｒ４－３Ｒ１１１１１１０１－１２１０１ａ２ｂ＋１０２－２ａ＋５２æèçççöø÷÷÷ Ｒ３－Ｒ２Ｒ４－２Ｒ２１１１１１０１－１２１００ａ＋１０ｂ０００ａ＋１０æèçççöø÷÷÷由此可知：（１）当ａʂ－１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝未知量个数４，方程组有唯一解：ｘ１＝－２ｂａ＋１，ｘ２＝ａ＋ｂ＋１ａ＋１，ｘ３＝ｂａ＋１，ｘ４＝０；（２）当ａ＝－１，ｂʂ０时，Ｒ（Ａ）＝２ʂＲ（Ｂ）＝３，方程组无解；（３）当ａ＝－１，ｂ＝０时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝２＜４，方程组有无穷多个解．Ｂ １１１１１０１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷ Ｒ１－Ｒ２１０２－１００１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷令ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２，则方程组的通解为：ｘ１＝－２ｃ１＋ｃ２，ｘ２＝１＋ｃ１－２ｃ２，ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２ìîíïïïï或ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４æèççççöø÷÷÷÷＝０１００æèçççöø÷÷÷＋ｃ１－２１１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ２１－２０１æèçççöø÷÷÷（ｃ１，ｃ２为任意常数）．五㊁求方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题如振动问题㊁稳定性问题，常常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题．矩阵Ａ的特征值λ０是它的特征方程的根，对应λ０的全部特征向量ｐ是齐次线性方程组的非零解，而对齐次线性方程组的非零解的讨论其实就是使用初等变换进行高斯消元的过程．六㊁对称矩阵的对角化对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，由于其转置矩阵和自身相等而被称为对称矩阵．对称矩阵可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵作对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，即正交相似对角化．我们需要利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，比较简单且易理解，其具体的步骤是：（１）求Ａ的特征值λ１，λ２，λ３， ，λｎ；（２）（Ａ－λｉＥ）Ｘ＝０，求出Ａ的特征向量；（３）将特征向量正交化；（４）将特征向量单位化得ｐ１，ｐ２， ，ｐｎ；（５）写出正交矩阵Ｐ＝（ｐ１，ｐ２， ，ｐｎ）．我们只有合理选择方法，才能提高研究效率．七㊁广义初等变换的使用为了简便，我们需对大规模矩阵进行分块，使大矩阵的运算化分成几个小矩阵的运算．同样，对于分块矩阵，也可以把矩阵的每一个子块作为矩阵的一个基本元素，像普通矩阵一样进行位置变换㊁数乘变换和消去变换这三种基本变换，这被称为分块矩阵的广义初等变换．由于广义初等变换本身具有较好的性质，也是矩阵运算中极为重要的方法，可以有效地将疑难问题简单化，因此其成为广大学者日益关注的热点话题之一．结束语：矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，因此矩阵是解决线性代数中线性方程组㊁向量空间㊁线性变换等问题最常用的方法．而初等变换作为矩阵理论的一条主线，不仅能够简化矩阵为阶梯形或最简形，而且作为矩阵理论中极其重要的一种运算，它是上述几类问题的基础与核心．因此，初等变换在线性代数中的应用十分广泛，只有真正掌握了这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中相对复杂的问题，以达到事半功倍的效果．ʌ参考文献ɔ［１］李慧．矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（０９）：１４２－１４３．［２］缪应铁．矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（１７）：２４．［３］张忠．矩阵的初等变换在线性代数中的应用［Ｊ］．纳税，２０１７（２５）：１８８，１９０．［４］吴英柱．矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨［Ｊ］．广东石油化工学院学报，２０１７（０１）：７１－７５，９４．。

摘要本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。

关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式AbstractThis paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;System of linear equations;Greatest common factor目录1 引言 ............................. 错误!未定义书签。

2 矩阵的初等变换及其性质 (1)2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。

2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)3 矩阵初等变换的若干应用 (2)3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)参考文献 (16)矩阵初等变换的性质及其应用矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。

学士学位论文题目矩阵初等变换及其应用学士学位论文题目矩阵初等变换及其应用学生指导教师副教授年级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院年4月25日毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

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作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。

3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。

4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。

图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它矩阵初等变换及其应用摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

矩阵初等变换及应用矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。

本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。

在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。

尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。

本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。

关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。

在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。

应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。

此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。

因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。

目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。

在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。

2 矩阵及其初等变换2.1 矩阵由n m ⨯个数)j ,,,2,1(==m i a ij（i =1,2,,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵。