二阶张量与四阶张量双点积的结果

第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。

张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。

1、 张量加法满足交换律和结合律。

2、 张量加法对坐标变换是不变的。

二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。

用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。

由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。

j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。

1、 张量乘法是不可交换的。

2、 张量乘法对坐标变换是不变的。

3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。

三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。

这种乘积运算称为连并。

缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。

缩并只能对二阶以上的混变张量进行。

四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。

度量张量的逆变分量可以提升指标。

度量张量的协变分量可以下降指标。

kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。

其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。

一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。

)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。

二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。

而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。

本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。

一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。

它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。

二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。

应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。

2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。

它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。

四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。

弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。

二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。

对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。

2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。

- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。

- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。

- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。

三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。

它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。

该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。

1.9 恒等张量∙转置张量∙逆张量∙正交张量在这一节中，我们着重讲四个特殊张量。

1.恒等张量所谓恒等张量，就是把每个张量变换成自身的线性变换。

若用I 表示这个变换，对于矢量a ，则有a a I =⋅ (1.9.01)这个变换I 就是恒等变换，它称为恒等张量或单位张量。

对于单位基矢量来说，上式可以写成 11e e I =⋅22e e I =⋅ (1.9.02)33e e I =⋅可是恒等张量的卡氏分量可以写成ij j i j i ij I δ=⋅=⋅⋅=e e e I e (1.9.03) 故有j i ij e e I δ= (1.9.04)这是一个二阶张量。

把它写成矩阵形式则有[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.9.05)对于任意张量，例如对于任意三阶张量A ，则()()m l k klm j i ij A e e e e e A I ⋅=⋅δm l k jk klm ij A e e e δδ=A e e e ==m l i ilm A (1.9.06)恒等张量与任意二阶张量B 的双重点积，即为B 的迹。

事实上， ()()l k kl j i ij B e e e e B I ::δ=jl ik kl ij B δδδ=B tr B ii == (1.9.07)这些就是恒等张量的作用。

2.转置张量对于任意二阶张量T 的转置用TT 表示。

所谓TT 是这样来定义的：TT 对所有矢量a 和b 满足恒等式a Tb b T a ⋅⋅=⋅⋅T(1.9.08)显然，T T 仍然是个二阶张量。

张量T 的转置张量T T 有时也称为张量T 的共轭张量，记作*T 。

从上述定义，我们有i T j j i e T e e T e ⋅⋅=⋅⋅ (1.9.09)因此()Tjiij T T =亦即TT 的矩阵是T 的矩阵的转置。

写成并矢形式，则j i ij T e e T = (1.9.10) 而()j i ji j i TijT T T e e e e T == (1.9.11)关于转置张量具有下列一些性质。

《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。

3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。

二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。

张量补充对称张量：ji ij TT →→→→=反对称张量：ji ij T T→→→→-=，必有0332211===T T T 1.张量代数1.1张量的加减：两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分别相加或相减，并服从交换律和结合律。

1.2张量与标量的乘积：标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一个分量。

即j i e e T ∑∑==→→=3131i j ij T ϕϕ1.3张量与矢量的乘积1.3.1矢量与张量的标积：当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量点乘，运算结果为一个矢量。

即→→→→→→→→→⋅=⋅=⋅b a f b a f T f )()(，把并矢本身消掉了。

同理：)()(→→→→→→→→→∙=∙=∙f b a f b a f T ，所以→→→→→→∙≠∙f T T f 1.3.2矢量与并矢的矢积：矢量与并矢矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。

即→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯b a f b a f T f )()(，同理：)()(→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯f b a f b a f T ，所以→→→→→→⨯≠⨯f T T f 由此可知，张量与矢量的乘积不满足交换律。

当然，如果对象是单位张量，就未必如此了。

因为单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本身。

即→→→→=⋅f I f ，所以任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律，即f I I f ⋅=⋅→→→→1.4张量与张量的乘积1.4.1张量与张量的点积：当一个并矢与另一个并矢点乘时，两个并矢中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其运算结果为一个新的并矢，同样，二阶张量与二阶张量的点积为一个新的二阶张量：→→→→→→→→→→→→⋅=⋅='⋅da cb dc b a T T )()()(1.4.2张量与张量的双点积：当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时，两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。

张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。

如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。

•张量：向量的推广。

在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。

一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。

张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。

•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。

当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。

张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。

()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。

二阶张量的双点积计算在matlab中是一个重要且复杂的主题。

让我们简要回顾一下二阶张量和双点积的基本概念，然后逐步深入探讨如何在matlab中进行这一计算。

1. 二阶张量在数学和物理学中，张量是一个非常重要的概念。

二阶张量是指一个具有两个指标的张量，通常可表示为一个矩阵。

二阶张量在描述物质的性质、力学中的作用等方面有着广泛的应用。

2. 双点积双点积是指两个张量的相乘并对其中一个张量的指标求和。

在物理学和工程中，双点积的计算经常出现在力学模型、应变分析等领域。

深入探讨二阶张量的双点积计算，我们需要先了解在matlab中如何表示和计算二阶张量。

在matlab中，二阶张量可以使用矩阵来表示。

假设我们有两个二阶张量A和B，它们分别表示为：A = [a11 a12; a21 a22]B = [b11 b12; b21 b22]其中，a11、a12等表示张量A的元素。

那么，A和B的双点积可以表示为：C = A:B = a11*b11 + a12*b21 + a21*b12 + a22*b22在matlab中，我们可以使用循环和逐元素相乘的方式来实现双点积的计算。

但是，这种方法在处理大型张量时效率较低，因此我们需要探讨更高效的方法。

一种更高效的方法是使用matlab中的张量运算函数。

在matlab的Tensor Toolbox中，有专门用于张量运算的函数，包括对二阶张量的双点积计算。

通过调用这些函数，我们可以更高效地进行二阶张量的双点积计算。

总结而言，二阶张量的双点积计算是一个重要且复杂的主题。

在matlab中，我们可以通过使用张量表示和张量运算函数来高效地进行这一计算。

通过深入学习和实践，我们可以更好地理解和运用二阶张量的双点积计算。

个人观点和理解：二阶张量的双点积计算在matlab中虽然复杂，但通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这一技术，并将其应用于实际问题中。

掌握高效的计算方法，可以提高工作效率并解决复杂的工程和科学问题。