2020北师大版九年级数学上《正方形的判定》常考题(含详细的答案解析)

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为( )A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( )A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为( )A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为( )A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD 的面积为.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.参考答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为(B)A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF在△ABE与△ADF中{AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为(A)A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为(C)A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为(D)A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3+1.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD的面积为50.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解析】略【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.。

北师大版2020年（秋季）九年级数学上册同步课时训练1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．每一条对角线平分一组对角2．正方形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直3．如图，正方形ABCD中，AB＝1，则AC的长是（）A．1B．C．D．24．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（）A．15°B．32.5°C．22.5°D．30°6．如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）7．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE＝BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB＝CM；②AE＝AB+CE；③S△AEF＝S四边形ABCF；④∠AFE＝90°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，四边形ABCD为正方形，A点坐标为（﹣1，0），点B，C，D分别在坐标轴上，则正方形的周长是（）A．4B．3C．4D．2二．填空题9．正方形的边长为，则这个正方形的对角线长为．10．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．12．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为点M、N，若BD＝10，则PM+PN＝．13．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝6，CE＝4，则PQ＝．14．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于．15．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点，若AE＝4，CF＝7，则EF＝．16．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则BE的长为三．解答题（共5小题）17．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．18．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．19．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．求证：AF＝DG20．在正方形ABCD中，M、N分别是边CD、AD的中点，连接BN，AM交于点E．求证：AM⊥BN．21．如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠F AE＝∠DAE．（1）求证：AF＝AD+CF；（2）已知正方形ABCD的边长为4．①求AF之长；②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为．参考答案一．选择题1．解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分，故选：C．2．解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：D．3．解：在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∴AC＝＝＝；故选：B．4．解：正方形的对角线即角平分线，AC、BD交于点O，则∠CBO＝＝45°，故选：B．5．解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线，∴∠BAE＝∠ABD＝45°，又AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°，故选：C．6．解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．故选：B．7．解：由题意知，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（ASA），∴CM＝AD＝AB，①正确；设正方形ABCD边长为4，∵CE＝BC＝1，∴BE＝3，∴AE＝5，∴AE＝AB+CE，②正确；EM＝CM+CE＝5＝AE，又∵F为AM的中点，∴EF⊥AM，④正确，由CF＝2，CE＝1得EF＝，由DF＝2，AD＝4得AF＝2，∴S△AEF＝5，又∵S△ADF＝4，∴S四边形ABCF＝S□ABCD﹣S△ADF＝12，∴S△AEF＝S四边形ABCF≠S四边形ABCF；③不正确，∴正确的有3个，故选：C．8．解：在正方形ABCD中，∠DAO＝45°，∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形的周长为4，故选：C．二．填空题9．解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝，∠B＝90°，∴AC＝AB＝2，故答案为：2．10．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．11．解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABE是等边三角形∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°∴AD＝AE，∠DAE＝150°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．12．解：在正方形ABCD中，∴AC⊥BD，∠ABO＝45°，∵PM⊥AC，PN⊥BD，∴四边形PMON是矩形，∴PM＝ON，∴PM+PN＝ON+BN＝OB＝BD＝5，故答案为：513．解：连接BF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AB＝6，CE＝4，∴GF＝GC＝4，BC＝6，∴BG＝GC+BC＝4+6＝10，∴BF＝，∵P、Q分别是AF、AB的中点，∴PQ＝BF＝．故答案．14．解：∵在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，∴四边形EGHF和四边形EIJF是两个全等的四边形，它们的面积相等，∴阴影部分的面积等于△ACD的面积，∵正方形ABCD的边长为1，∴AD＝CD＝1，∠D＝90°，∴△ACD的面积是：＝，故答案为：．15．解：∵四边形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠ADC＝90°∵AE⊥DP，CF⊥DP∴∠AED＝∠DFC＝90°∵∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°∴∠ADE＝∠DCF在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS）∴AE＝DF＝4，DE＝CF＝7∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3故答案为：3．16．解：延长F至G，使CG＝AE，连接DG、EF，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝6，∠A＝∠B＝∠DCF＝∠ADC＝90°，∴∠DCG＝90°，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∴∠EDG＝∠CDE+∠CDG＝∠CDE+∠ADE＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝45°，在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵F是BC的中点，∴BF＝CF＝3，设AE＝CG＝x，则EF＝GF＝x＝3+x，在Rt△BEF中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2，即AE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，故答案为：4．三．解答题17．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．18．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．19．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴AF＝DG，20．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAN＝∠ADM＝90°，∵M、N分别是边CD、AD的中点，∴AN＝AD，DM＝CD，∴AN＝DM，在△ABN和△DAM中，，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴∠ABN＝∠DAM，∵∠DAM+∠BAE＝90°，∴∠ABN+∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AM⊥BN．21．（1）证明：如图1，过E点作EG⊥AF，垂足为G，连接EF，（也可延长AE、BC交于P，用全等和等腰三角形知识解决），∵EG⊥AF，∴∠EGF＝∠AGE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，在△AGE和△ADE中，∴△AGE≌△ADE（AAS），∴AD＝AG，GE＝DE，∵E是CD边的中点，∴CE＝DE，∴GE＝CE，在Rt△EGF和Rt△ECF中，∴Rt△EGF≌Rt△ECF（HL），∴GF＝CF，∵AF＝AG+GF，∴AF＝AD+CF；（2）解：①设CF＝x，则BF＝4﹣x，AF＝4+x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AF＝4+x＝4+1＝5；②分三种情况：i）如图2，PD＝DE，过D作DG⊥AE于G，∴EP＝2EG，Rt△ADE中，AD＝4，DE＝2，∴AE＝＝2，∴S△ADE＝，即，∴DG＝＝，由勾股定理得：EG＝＝＝，∴EP＝2EG＝；ii）如图3，EP＝DE＝2；iii）如图4，PD＝PE，过P作PM⊥DE于M，则DM＝EM，∵AD⊥CD，PM⊥DE，∴AD∥PM，∴AP＝PE，∵AE＝2，∴EP＝，综上，EP的长是2或或．。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题B （附答案详解）1．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF .则下列结论：①ABG AFG ∆∆≌；②BG CG =；③AG CF ；④EGC AFE S S ∆∆=；⑤145AGB AED ∠+∠=︒.其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（ ）A ．,AB BC CD AD AC BD ====B ．,,AO CO BO DO AC BD ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ==== D ．,AB BC AD CD ==3．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．54．如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的点，AE ＝AB ，EF⊥AC，交BC 于点F ，则图中等腰三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为b （a ＞b ），M 在BC 边上，且BM =b ，连接AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ，给出以下五个结论：①∠MAD =∠AND ；②△ABM ≌△NGF ；③CP =2b b a-；④22AMFN S a b =+；其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中5AE =，12BE =，则EF 的长是( )A ．7B ．8C ．72D ．737．在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）A ．BC CD =B ．AB CD =C ．90D ∠=︒ D ．AD BC = 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少 9．将正方形ABCD 与等腰直角三角形EFG 如图摆放，若点M 、N 刚好是AD 的三等分点，下列结论正确的是（ ）①△AMH ≌△NME ；②12AM BF =；③GH ⊥EF ；④S △EMN ：S △EFG ＝1：16A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④10．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为()A．5 B．6 C．9 D．1311．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为___________cm ．12．用边长为4cm的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为是_____．13．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC 于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB＝2CF时，则NM的长为_____．14．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，以AC为边长作正方形ACFE，则点D到EF的距离为_____．，P、Q、R、S 15．已知四边形ABCD的对角线AC=82，BD=63，且AC BD分别是AB、BC、CD、DA的中点，则PR2+QS2的值是__________．16．如图所示，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为_____________ ．17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，M ，N 两点分别从A ，B 两点以2cm /s 和1cm /s 的速度在矩形ABCD 边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D 即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN 为等腰三角形．18．如图①，在边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②，这个拼成的长方形的长为24，宽为12，则图②中Ⅱ部分的面积为____.19．如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为 α（ 0︒＜α＜ 180︒ ） ，连接 B ' D 、 C ' D ，若 B ' D = C ' D ，则 ∠α =____．20．如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE.延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG ①≌AFG ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF ④是等边三角形，其中正确结论有______．21．如图所示，已知边长为4的正方形ABCD 的边AD 在x 轴上，沿x 轴向左运动，设运动时间为t ，点D 的坐标为2,0，直线l 的解析式为2y x =-.正方形以每秒1个单位的速度向左运动，当t 为何值时，直线l 将正方形面积平分？22．已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上（I ）如图①，当EP ⊥BC 时，①求证CE =CN ；②求CN 的长；（II ）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长．23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 上的一点，连接CD ，CE ∥AB ，BE ∥CD ，且CE=AD ．(1)求证：四边形BDCE 是菱形；(2)过点E 作EF ⊥BD ，垂足为点F ，若点F 是BD 的中点，EB=6，求BC 的长.24．如图，已知ABC ∆是等腰三角形，顶角BAC α∠=（60α<︒），点D 是BC 边上的一点，连接AD ，线段AD 绕点A 顺时针旋转α到AE ，过点E 作BC 的平行线，交AB 于点F ，连接DE ，BE ，DF .（1）求证：BE CD =.（2）若AD BC ⊥，试判断四边形BDFE 的形状，并给出证明.25．如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 的顶点O 是坐标原点,点A 在第一象限,点C 在第四象限且OC=5,点B 在x 轴的正半轴上且OB=6,∠OAB=90°且OA=AB ．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)点P 是线段OB 上的一个动点(点P 不与点O,B 重合)，过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 成边AB 于点Q ，交边OC 或边CB 于点R ，设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m ，已知t=4时，直线l 恰好过点C ，当0<t<3时，求m 关于t 的函数关系式.26．在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点,C D 重合），连接BE ． （感知）如图1，过点A 作AF BE ⊥交BC 于点F ．易证ABF BCE ∆∆≌．（不需要证明）（探究）如图2，取BE 的中点M ，过点M 作FG BE ⊥交BC 于点F ，交AD 于点G ． （1）求证：BE FG =．（2）连接CM ．若1CM =，则FG 的长为___________．（应用）如图3，取BE 的中点M ，连接CM ．过点C 作CG BE ⊥交AD 于点G ，连接,EG MG ．若3CM =，则四边形GMCE 的面积为______．27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），连接DE 、点C 关于直线DE 的对称点为C ′，连接AC ′并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′的中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP 、BP 、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC ，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．28．如图所示，()1,0A -，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.29．如图，ABC 中，AD 是角平分线，//DE AC 交A B 于点E ，//DF AB 交AC 于点F .（1）试判断四边形AEDF 的形状；（2）当ABC 满足______条件时，//EF BC ；当ABC 满足_____条件时，EF AD ＝.30．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF ，其中E 、H 分别为AD 、BC 中点，连结AF 、HG 、AH.（1）求证：AF HG =；（2）求证：FAE GHC ∠=∠；参考答案1．C【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG=GC ；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；分别求出S △EGC 与S △AFE 的面积比较即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．【详解】AB AD AF ==，AG AG =，90B AFG ∠=∠=︒，()Rt ABG Rt AFG HL ∴∆≅∆，故①正确；123EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =-. 在Rt ECG ∆中，根据勾股定理，得()()222642x x -+=+，解得3x =，363BG GC ∴==-=，故②正确 ,CG BG BG GF ==，CG GF ∴=，FGC ∴∆是等腰三角形，GFC GCF ∠=∠.又Rt ABG Rt AFG ∴∆≅∆，AGB AGF ∴∠=∠2180AGB AGF AGB FGC ∠+∠=∠=︒-∠22AGF GCF GFC GCF =∠+∠=∠=∠AGB GCF ∴∠=∠，//AG CF ∴故③正确；1134622GCE S GC CE ∆=⋅=⨯⨯=， 1162622AFE S AF EF ∆=⋅=⨯⨯=， BGC AFE S S ∆∆∴=，故④正确；BAG FAG ∠=∠，DAE FAE ∠=∠，又90BAD ∠=︒，45GAE ∴∠=︒180135AGB AED AGE AEG GAE ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，故⑤错误.故选C.【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．2．A【解析】【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A 、∵AB BC CD AD ===，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC BD =∴ABCD 是正方形，故A 选项能判定；B 、∵,AO CO BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，故B 选项不能判定；只能判定为菱形；C 、∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 是矩形，故C 选项不能判定；只能判定为矩形；D 、,AB BC AD CD ==，两组邻边相等，无法判定，故D 选项不能判定．故选A ．【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．B【解析】【分析】根据勾股定理求出BC 2，即可得到正方形的面积.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的运用.4．D【解析】【分析】由正方形的性质可知△ABC和△ADC是直角等腰三角形，再由EF⊥AC易得△CEF也是直角等腰三角形.由题干可知△ABE是等腰三角形，再由∠AEF=∠ABF=90°易得△BEF是等腰三角形.【详解】解：由正方形的性质可知△ABC和△ADC是直角等腰三角形；由EF⊥AC且∠ECF=45°可知，∠EFC=∠ECF=45°，则△CEF也是直角等腰三角形；由题干可知△ABE是等腰三角形，则∠AEB=∠ABE，再由∠AEF=∠ABF=90°可得∠BEF=∠EBF，则△BEF是等腰三角形；综上，共有5个等腰三角形，故选择D.【点睛】本题结合等腰三角形考查了正方形的性质，牢记正方形的特点是解题关键.5．D【解析】【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到∠DAM=∠AND，故①正确；②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b-2ba；故③正确；③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故②正确；④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确.【详解】①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴∠BAM+∠DAM=90°，∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，∴∠DAM=∠AND，故①正确；②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴PC CM EF ME＝，∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，∴EF=b，CM=a-b，ME=（a-b）+b=a，∴PC a bb a＝，∴CP=b-2ba；故③正确；③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN=ME，∵AB=a，ME=a，∴AB=ME=NG，在△ABM与△NGF中，90AB NG a B NGF GF BM b ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝＝＝，∴△ABM ≌△NGF ；故②正确；④∵将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，∴AM=AN ，∵将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ，∴NF=MF ，∵△ABM ≌△NGF ，∴AM=NF ，∴四边形AMFN 是矩形，∵∠BAM=∠NAD ，∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，∴∠NAM=90°，∴四边形AMFN 是正方形，∵在Rt △ABM 中，a 2+b 2=AM 2，∴S 四边形AMFN =AM 2=a 2+b 2；故④正确．故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．6．C【解析】【分析】由图易知EG 与FG 的长，然后根据勾股定理即可求出EF 的长.【详解】解：如图，由题意可知：AE=BG=FC=5，BE=CG=12，∴EG=BE-BG=12-5=7，FG=CG-FC=12-5=7，∴在Rt △EGF 中，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．7．A【解析】【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．【详解】∵四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，.这个条件可以是：BC CD故选A.【点睛】此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理.8．D【解析】【分析】根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．【详解】从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．9．A【解析】【分析】利用三角形全等和根据题目设未知数，列等式解答即可.【详解】解：设AM＝x，∵点M、N刚好是AD的三等分点，∴AM＝MN＝ND＝x，则AD＝AB＝BC＝3x，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠E＝∠F＝45°，∠EGF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BGN＝∠ABF＝90°，∴四边形ABGN是矩形，∴∠AHM＝∠BHF＝∠AMH＝∠NME＝45°，∴△AMH≌△NMH（ASA），故①正确；∵∠AHM＝∠AMH＝45°，∴AH＝AM＝x，则BH＝AB﹣AH＝2x，又Rt△BHF中∠F＝45°，∴BF＝BH＝2x，AMBF＝12，故②正确；∵四边形ABGN是矩形，∴BG＝AN＝AM＋MN＝2x，∴BF＝BG＝2x，∵AB⊥FG，∴△HFG是等腰三角形，∴∠FHB＝∠GHB＝45°，∴∠FHG ＝90°，即GH ⊥EF ，故③正确；∵∠EGF ＝90°、∠F ＝45°，∴EG ＝FG ＝BF ＋BG ＝4x ，则S △EFG ＝12•EG •FG ＝12•4x •4x ＝8x 2， 又S △EMN ＝12•EN •MN ＝12•x •x ＝12x 2， ∴S △EMN ：S △EFG ＝1：16，故④正确；故选A ．【点睛】本题主要考察三角形全等证明的综合运用，掌握相关性质是解题关键.10．D【解析】【分析】由ABCD 为正方形得到AB=BC ，∠ABC 为直角，再由AE 与CF 都垂直于EF ，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS 得出△ABE 与△BCF 全等，由全等三角形对应边相等得到AE=BF ，EB=CF ，在直角三角形ABE 中，利用勾股定理求出AB 的长，即可确定出正方形的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF ，在△ABE 和△BCF 中，.AEB BFC BAE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，CF=EB=3，根据勾股定理得：则正方形ABCD面积为13．故选D.【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．11．6-【解析】【分析】设BF=x，则FG=x，CF=4-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4-x 即可．【详解】设BF=x，则FG=x，CF=4-x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得根据折叠的性质可知AG=AB=4，所以．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22，所以（）2+x2=（4-x）2+22，解得．则故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．12．8cm2．【解析】【分析】阴影部分是由除两个大等腰三角形之外其他图形组成，阴影部分面积为大正方形的一半，然后算出面积即可【详解】阴影部分是由除两个大等腰三角形之外其他图形组成，所以阴影部分面积为大正方形的一半，大正方形的的面积是4×4=16cm2，所以阴影部分的面积为8cm2，故填8cm2【点睛】本题主要考查正方形对角线性质，本题关键在于掌握好正方形对角线性质，同时看懂图示13．2 3【解析】【分析】先根据折叠的性质得∠EAB=∠EAN，AN=AB=8，再根据正方形的性质得AB∥CD，则∠EAB=∠F，所以∠EAN=∠F，得到MA=MF，设CM=x，则AM=MF=4+x，DM=DC-MC=8-x，在Rt△ADM中，根据勾股定理，解得x，然后利用MN=AM-AN求解即可.【详解】解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE，∵正方形对边AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠NAE＝∠F，∴AM＝FM，设CM＝x，∵AB＝2CF＝8，∴CF＝4，∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2，即（4+x）2＝82+（8﹣x）2，解得x＝243，所以，AM ＝4+423＝823， 所以，NM ＝AM ﹣AN ＝823﹣8＝23． 故答案为：23. 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，也考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质并能正确运用勾股定理是解题的关键.14．5+53或5﹣53 【解析】【分析】分两种情况讨论：①当正方形ACFE 边EF 在AC 左侧时，②当正方形ACFE 边EF 在AC 右侧时．【详解】解：连接AC 、BD 将于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，且DO ⊥AC ．∴AC=AD=AB=5，OA=52∴DO 22225535()2AD OA -=-= 分两种情况讨论：①当正方形ACFE 边EF 在AC 左侧时，过D 点作DH 2⊥EF ，DH 2长度表示点D 到EF 的距离，DH2＝5+DO＝5+53；②当正方形ACFE边EF在AC右侧时，过D点作DH1⊥EF，DH1长度表示点D到EF的距离，DH1＝5﹣DO＝5﹣532．故答案为5+53或5﹣53．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定和性质，同时考查了分类讨论思想．解决此类问题要借助画图分析求解．15．118【解析】【分析】连接PQ，QR，RS，SQ，易证四边形PQRS是平行四边形，因为AC⊥BD，所以PQ⊥QR，所以四边形PQRS为矩形，进而可得PR2+QS2=PQ2+QR2+QR2+SR2=118，问题得解．【详解】连接PQ，QR，RS，SQ，P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴1142,3322PQ RS AC PS RQ BD======，∴PS∥BD,12PS BD=，QR∥BD,12QR BD=，∴四边形PQRS是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴PQ ⊥QR ，∴四边形PQRS 为矩形，∴PR 2+QS 2=PQ 2+QR 2+QR 2+SR 2=()()22233242+=118， 故答案为118【点睛】考查中点四边形，掌握中位线的性质以及矩形的判定与性质是解题的关键.16．4【解析】【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知 BE ＝AB ＝4，连结BP ，依据正方形的对称性可知 PB ＝PD ，则 PE +PD ＝PE +BP ．由两点之间线段最短可知：当点 B 、P 、E 在一条直线上时，PE +PD 有最小值，最小值为BE 的长.【详解】解：连结 BP ．∵四边形 ABCD 为正方形，面积为 16，∴正方形的边长为 4．∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝4．∵四边形 ABCD 为正方形，∴△ABP 与△ADP 关于 AC 对称．∴BP ＝DP ．∴PE +PD ＝PE +BP ．由两点之间线段最短可知：当点 B 、P 、E 在一条直线上时，PE +PD 有最小值， 最小值＝BE ＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间， 线段最短”是解题关键．17．53或（）或94【解析】【分析】分情况讨论：①点M 在AB 上，点N 在BC 上时，BM ＝BN ，列出方程其解即可；②点M 在BC 上，点N 在CD 上时，表示出BM 、CM 、CN ，再根据勾股定理列式表示出MN 2，然后根据BM ＝MN 列出方程求解即可；③点M 、N 都在C 、D 上时，表示出MN 、CM ，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM （或BN ），然后根据BM ＝MN （或BN ＝MN ）列出方程求解即可；④点M 在AB 上，点N 在CD 上时，根据等腰三角形的性质，CN ＝12BM ，然后列式求解即可．【详解】解：分情况讨论：①如图1所示：点M 在AB 上，点N 在BC 上时，t ＜2，BM ＝5﹣2t ，BN ＝t ，∵BM ＝BN ，∴5﹣2t ＝t ，解得t ＝53； ②如图2所示：点M 在BC 上，点N 在CD 上时，2.5＜t ＜3.5，BM ＝2t ﹣5，CM ＝2﹣（2t ﹣5）＝7﹣2t ，CN ＝t ﹣2，在Rt △MCN 中，MN 2＝（7﹣2t ）2+（t ﹣2）2，∵BM ＝MN ，∴（2t ﹣5）2＝（7﹣2t ）2+（t ﹣2）2，整理得，t 2﹣12t+28＝0，解得：t1＝6﹣22，t2＝6+22（舍去）；③如图3所示：点M、N都在C、D上时，t＞3.5，若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t，此时BM2＝（2t﹣7）2+22，∵BM＝MN，∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解，若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5，此时BN2＝（t﹣2）2+22，∵BN＝MN，∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2，整理得，t＝176（不符合题意，舍去），；④如图4所示：点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2，由等腰三角形三线合一的性质，CN＝12 BM，∴t﹣2＝12（5﹣2t），解得：t＝94；综上所述，当运动时间为53或（6﹣22）或94秒时，△MBN为等腰三角形．故答案为53或（6﹣22）或94．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；难点在于要分情况讨论．18．72【解析】【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为12，可得a+b=24，a-b=12，即可解答【详解】根据题意得出：2412a ba b+-⎧⎨⎩＝＝，解得：186ab==⎧⎨⎩，故图②中Ⅱ部分的面积是：6×12=72故答案为：72【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于得出a+b=24，a-b=1219．60°【解析】【分析】作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，根据旋转的性质得AD′＝AD，∠DAD′＝α，再根据等腰三角形的性质由B'D＝C'D得到B′H＝C′H，则AG＝DG′，从而在Rt△ADG′中可计算出∠ADG＝30°，于是得到∠DAG＝60°，从而得到α的度数．【详解】解：作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形AB'C'D'，旋转角为α，∴AD′＝AD，∠DAD′＝α，∵B'D ＝C'D ，∴B′H ＝C′H ，∵四边形AB'C'D'为正方形，∴AG ＝DG′，在Rt △ADG′中，AG ＝'11AD 22AD = ∴∠ADG ＝30°，∴∠DAG ＝60°，即α＝60°．故答案为60°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．20．①②③ 【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG ≌AFG ；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠===，由平行线的判定可得AG //CF ；由于BG CG =，得到tan AGB 2∠=，求得AGB 60∠≠，根据平行线的性质得到FCG AGB 60∠∠=≠，求得GCF 不是等边三角形；【详解】四边形ABCD 是正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE ，AB AD AF ∴==，在ABG 与AFG 中，90AB AF B AFG AG AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ABG ≌AFG ；故①正确，1EF DE CD 23===， 设BG FG x ==，则CG 6x =-，在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(6x)4(x 2)-+=+，解得x 3=， BG 363GC ∴==-=；故②正确，CG BG GF ==， FGC ∴是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=，又AGB AGF ∠∠=，AGB AGF 180FGC GFC GCF ∠∠∠∠∠+=-=+， AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG //CF ∴；故③正确，BG CG =，1BG AB 2∴=， tan AGB 2∠∴=，AGB 60∠∴≠，AG //CF ，FCG AGB 60∠∠∴=≠，GCF ∴不是等边三角形；故④错误．综上所述：正确结论有①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．21．5【解析】【分析】当正方形ABCD的中心Q′ 经过直线l时，直线l将正方形面积平分，根据正方形的性质求出正方形ABCD的中心Q的坐标，再根据一次函数的性质求出点Q′的坐标，即可求出结论. 【详解】解：当正方形ABCD的中心Q′ 经过直线l时，直线l将正方形面积平分，∵点D的坐标为2,0，正方形的边长为4，∴Q的坐标为()4,2，∵点Q纵坐标是2，∴-2x=2,∴x=-1,∴Q′(-1,2).∴'415QQ=+=,∴t=5÷1=5.【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，一次函数图像上点的坐标特征，根据一次函数的性质求出点Q′的坐标是解答本题的关键.22．（1）①见解析②259（2）O≤CP≤5，MN最大值为352【解析】【分析】（1）先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判断出AB∥EP，进而判断出CN=CE,再利用锐角三角函数即可得出CN的长；（2）先确定出PC的最大值和最小值的位置，即可得出PC的范围，最后用折叠的性质与勾股定理即可得出结论. 【详解】（1）①∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME，∴∠AME=∠PEM，AE=PE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵EP⊥BC，∴AB∥EP，∴∠AME=∠PEM，∴∠AEM=∠AME，∴AM=AE,∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥AE，∴AM AE CN CE=∴CN=CE②设CN=CE=x，∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5，∴PE=AE=5-x，∵EP⊥BC，∴4sin5∠=EPACBCE=，∴54 55x-=∴x=25 9即CN=25 9（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得AC=5，由折叠可知AE=PE, 由三角形的三边关系得，PE+CE ＞PC ，∴AC ＞PC ，∴PC ＜5，∴点E 是AC 中点时，PC 的最小为0，当点E 和点C 重合时，PC 最大为AC=5， ∴O ≤CP ≤5，如图，当点C 、N 、E 重合时，PC=BC+BP=5，∴BP=2，由折叠得PM=AM ，在Rt △PBM 中，PM=4-BM ，根据勾股定理得PM 2-BM 2=BP 2，∴(4-BM)2-BM 2=42，∴BM=32在Rt △BCM 中，根据勾股定理得MN=2235BM BC += 即当CP 最大时，MN=35.【点睛】此题主要考查四边形综合问题，解题的关键是熟知折叠的性质，三角函数的运用及勾股定理的运用.23．（1）证明见解析；（2）3BC =【解析】【分析】（1）先证明四边形BDCE 是平行四边形，得出CE BD =，得到BD AD =，由直角三角形斜边上的中线性质得出12CD AB BD ==，得平行四边形邻边相等即可得出四边形BDCE 是菱形；（2）连接DE ，由菱形的性质得出BC DE ⊥，BD BE =，OB OC =，由EF 是BD 的线段垂直平分线得出BE DE =，从而可得△BED 是等边三角形，进而由菱形的性质得出1302EBC EBD ∠=∠=︒，求出132OE EB ==，由勾股定理求出OB ，即可得出结果．【详解】（1）证明：//CE AB ，//BE CD ， ∴四边形BDCE 是平行四边形，CE BD ∴=，CE AD =，BD CD ∴=，又90ACB ∠=︒，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BDCE 是菱形；（2）解：连接DE ，如图所示：由（1）得：四边形BDCE 是菱形，BC DE ∴⊥，BD BE =，OB OC =，EF BD ⊥，点F 是BD 的中点，BE DE ∴=，BE DE BD ∴==，60DBE ∴∠=︒，1302EBC EBD ∠=∠=︒， 132OE EB ∴==， 22226333OB EB OE ∴=--=，263BC OB ∴==【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．24．（1）详见解析；（2）四边形BDFE 是菱形.【解析】【分析】（1）利用AB=AC ，AD=AE ，再结合题意证明EAB DAC ∠=∠，则可证明C EAB DA ∆∆≌，故可得BE CD =.（2）首先根据AB AC =，AD BC ⊥可得BD CD =，再结合题意证明EF DF =和EF EB =因此证明BD BE EF FD ===，进而证明四边形BDFE 是菱形.【详解】（1）由题知AE AD =，AB AC =，BAC EAD α∠=∠=.BAC BAD DAC ∠=+∠，EAD BAD EAB ∠=∠+∠.EAB DAC ∴∠=∠，EAB DAC ∴∆∆≌，BE CD ∴=.（2）四边形BDFE 是菱形.AB AC =，AD BC ⊥，BD CD ∴=.EAB DAC ∆∆≌，EBF C ∴∠=∠.ABC C ∠=∠，EBF ABC ∴∠=∠.又//BF BF ，EBF DBF ∴∆∆≌，EF DF ∴=.//EF BC ，EFB FBD ∴∠=∠，EFB EBF ∴∠=∠，EF EB ∴=，BD BE EF FD ===∴，∴四边形BDFE 是菱形.【点睛】本题主要考查菱形的性质，难度系数较低，应当熟练掌握，关键在于熟练掌握菱形的判定条件.25．(1) A 点坐标为(3,3) ，B 点坐标为(6,0)； (2) m=74t(0<t<3). 【解析】【分析】（1）由题意得到B点坐标为(6,0)，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）首先求出直线OA、OB、OC、BC的解析式．进而求出P、Q的坐标即可解决问题．【详解】(1)∵OB=6，∴B点坐标为(6,0)，过点A作x轴的垂线AM，∵∠OAB=90°且OA=AB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴OM=BM=AM=12OB=3，∴A点坐标为(3,3)；(2)作CN⊥x轴于N,如图,∵t=4时，直线l恰好过点C，∴ON=4，在Rt△OCN中22OC ON，∴C点坐标为(4,−3)，设直线OC的解析式为y=kx(k≠0)，把C(4,−3)代入得4k=−3,解得k=34-， ∴直线OC 的解析式为y=34-x ， 设直线OA 的解析式为y=ax(a≠0)，把A(3,3)代入得3a=3，解得a=1，∴直线OA 的解析式为y=x∵P(t,0)(0<t<3)，∴Q(t,t),R(t,34-t)， ∴QR=t−(34-t)=74t ， 即m=74t(0<t<3). 【点睛】本题考查四边形综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质、待定系数法求解析式. 26．【探究】（1）见解析；（2）2；【应用】9.【解析】【分析】（1）过A 作//AH GF ，根据AD//BC ，可证明四边形AHFG 是平行四边形，可得AH=GF ，由GF ⊥BE 可得AH ⊥BE ，利用直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAH=∠CBE ，利用ASA 可证明△ABH ≌△BCE ，即可证明BE=AH ，进而可得BE=FG ；（2）连接CM ，由（1）可知BE=FG ，根据直角三角形斜边中线的性质可求出BE 的长，即可得答案；【应用】根据直角三角形斜边中线的性质可得BE=6，ME=3，利用ASA 可证明△BCE ≌△CDG ，可得BE=CG ，利用三角形面积公式即可得答案.【详解】（1）如图，过A 作//AH GF ，∵AD//BC ，AH//GF ，∴四边形AHFG 是平行四边形，∴AH GF =．∵GF BE ⊥，∴AH BE ⊥，∴90ABE BAH ︒∠+∠=．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90ABH BCE ︒∠=∠=，∴90ABE CBE ︒∠+∠=，∴BAH CBE ∠=∠．在ABH ∆和BCE ∆中，BAH CBE ∠=∠，AB BC =，ABH BCE ∠=∠，∴ABH BCE ∆∆≌．∴BE AH =，∴BE FG =．（2）连接CM ，∵∠BCD=90°，点M 为BE 中点，CM=1，∴BE=2CM=2，由（1）得BE=FG ，∴FG=2.【应用】在Rt BCE ∆中，90BCE ︒∠=，CM 是BE 边上的中线，∴26BE CM ==．∵∠DCG+∠BCG=90°，∠CBE+∠BCG=90°，∴∠DCG+∠CBE ，又∵BC=CD ，∠BCE=∠CDG=90°，∴BCE CDG ∆∆≌，∴6BE CG ==．又∵132ME BE ==，且BE CG ⊥， ∴13692GMCE S =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质及全等三角形的判定与性质，熟记直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键.27．（1）45°；（2）BP +DP 2AP ，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE ＝∠C 'DE 和∠ADF ＝∠C 'DF ，可得∠FDP '＝12∠ADC ＝45°； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP ≌△DAP '（SAS ），得BP ＝DP '，从而得△P AP '是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C 'G ，确定△ACC ′的面积中底边AC 为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C '在BD 上时，C 'G 最大，其△ACC ′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD ＝C 'D ，∠CDE ＝∠C 'DE ，在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴AD ＝C 'D ，∵F 是AC '的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠P AP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAPAP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝12AC•C'G，Rt △ABC 中，AB ＝BC 2，∴AC 22(2)(2)2+=，即AC 为定值，当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，∵CD ＝C 'D 2OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G 2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯=． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28．()3,4C -；()4,1D -【解析】【分析】本题有A 、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C ，D 两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，证明△BCE ≌△ABO ，得出对应边相等BE =OA =1，CE =BO =3，同理得出DF =OA =1，AF =BO =3，再求出OE 、OF ，即可得出结果．【详解】解：作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图所示：。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。

1.3.2 正方形的判定一、选择题1.下列说法中,不正确的是()A.如果一个四边形既是矩形又是菱形,那么它一定是正方形B.有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C.有一组邻边相等的矩形是正方形D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形2.如图K-8-1是一张矩形纸片ABCD,AD=10 cm,将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6 cm,则CD的长为()图K-8-1A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm3.如图K-8-2,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加下列一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()图K-8-2A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF4.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,关于其对角线AC与BD的关系,下列说法正确的是()A.AC,BD相等且互相平分B.AC,BD垂直且互相平分C.AC,BD相等且互相垂直D.AC,BD垂直且平分对角5.如图K-8-3,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是()图K-8-3A.30B.34C.36D.40二、填空题6.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件:,使其成为正方形.(只填一个即可)7.如图K-8-4,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形ABCD 的面积是18,则DP的长是.图K-8-48.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是.9.将五个边长都为4 cm的正方形按如图K-8-5所示摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的中心,则图中四块阴影面积的和为cm2.图K-8-5三、解答题10.如图K-8-6,等边三角形AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.图K-8-611.已知:如图K-8-7,在▱ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)求证:△AOD≌△EOC;(2)连接AC,DE,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形吗?请说明理由.图K-8-712.如图K-8-8,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(1)求证:DE=DF;(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.图K-8-813.如图K-8-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D 作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D是AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由;(3)若D是AB的中点,则当∠A的度数为多少时,四边形BECD是正方形?请说明理由.图K-8-9参考答案1.D2.A3.D[解析] ∵EF垂直平分BC,∴BE=EC,BF=CF.∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形.若BC=AC,∵∠ACB=90°,∴∠A=∠EBC=45°,∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,∴菱形BECF为正方形.故A项能证明四边形BECF为正方形,不符合题意.若CF⊥BF,则∠BFC=90°,∴菱形BECF是正方形,故B项能证明四边形BECF为正方形,不符合题意.若BD=DF,则能得到BC=EF,则菱形BECF是正方形,故C项能证明四边形BECF为正方形,不符合题意.若AC=BF,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D符合题意.故选D.4.C5.B[解析] ∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵AE=BF=CG=DH,∴AH=BE=CF=DG.在△AEH,△BFE,△CGF和△DHG中,∵AE=BF=CG=DH,∠A=∠B=∠C=∠D,AH=BE=CF=DG,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,∴EH=FE=GF=HG,∠AEH=∠BFE,∴四边形EFGH是菱形.∵∠BEF+∠BFE=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形.∵AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,∴AH=BE=CF=DG=3,∴EH=FE=GF=HG=√52+32=√34,∴四边形EFGH的面积是√34×√34=34.故选B.6.AB=BC(答案不唯一)7.3√2[解析] 如图,过点D作DE⊥BE交BC的延长线于点E.∵∠ABC=90°,DP⊥AB,∴四边形DPBE是矩形,∴∠PDE=90°,∴∠CDE+∠CDP=90°.∵∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,∴∠ADP=∠CDE.∵DP⊥AB,DE⊥BE,∴∠APD=∠E=90°.又∵AD=CD,∴△ADP≌△CDE(AAS),∴DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP=√18=3√2.故答案为3√2.8.①③④9.16[解析] 如图,连接AB,AF.由题意得AB=AF,∠ABE=∠AFG=45°,∠BAF=90°.∵∠EAG=∠BAF=90°,∴∠BAE=∠F AG.∴△ABE≌△AFG(ASA),∴S△ABE=S△AFG,S正方形,则S四边形AEBG=S△ABF=14∴S阴影=4×1S正方形=16(cm2).故答案为16.410.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°.∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=180°-45°-60°=∠AEB,∴△AEB≌△AFD(AAS),则AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADO=∠ECO,∠DAO=∠CEO.∵O是CD的中点,∴OD=OC,∴△AOD≌△EOC(AAS).(2)四边形ACED是正方形.理由如下:∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE.又∵OC=OD,∴四边形ACED是平行四边形.∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠COE=∠BAE=90°.∴▱ACED是菱形.∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD,∴菱形ACED是正方形.12.解:(1)证明:∵CD垂直平分AB,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形.∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.又∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴DE=DF.(2)当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下: ∵AD=BD,AB=2CD,∴AD=BD=CD,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°.又∵∠DEC=∠DFC=90°,∴四边形CEDF是矩形.又∵DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.13.解:(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.又∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)当D是AB的中点时,四边形BECD是菱形.理由:∵D是AB的中点,∴AD=BD.∵CE=AD,∴BD=CE.又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形.(3)若D是AB的中点,则当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.理由:∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°.由(2),知当D是AB的中点时,四边形BECD是菱形,∴∠EBD=2∠ABC=90°,∴四边形BECD是正方形.。

第2课时正方形的判定1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2 D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D 2．①③④ 3．D.4．对角线互相垂直且相等 5．解：(1)证明：∵AF ∥BC ， ∴∠EAF ＝∠EDB . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEB 中，∠EAF ＝∠EDB ，AE ＝DE ，∠AEF ＝∠DEB ， ∴△AEF ≌△DEB (ASA)， ∴AF ＝BD .∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是中线， ∴AD ＝BD ＝DC ＝12BC ，∴AD ＝AF .(2)四边形ADCF 是正方形． 证明：∵AF ＝BD ＝DC ，AF ∥BC ， ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD ⊥BC . 又∵AD ＝AF ，∴四边形ADCF 是正方形．6．证明：(1)∵AD ＝CD ，E 是边AC 的中点， ∴DE ⊥AC ，∴DE 是线段AC 的垂直平分线，∴AF ＝CF ，∴∠F AC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠F AC ＋∠BAF ＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF ＝BO ＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形． 9．解：(1)证明：连接CD ，如图①所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴∠A ＝∠DCF ＝45°，AD ＝CD .在△ADE 和△CDF 中，AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF ，AD ＝CD ， ∴△ADE ≌△CDF (SAS)， ∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF .∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°，∴△EDF 为等腰直角三角形．∵O 为EF 的中点，GO ＝OD ，∴GD ⊥EF ，且GD ＝2OD ＝EF ，∴四边形EDFG 是正方形．(2)过点D 作DE ′⊥AC 于点E ′，如图②所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，点E ′为AC 的中点，∴2≤DE ＜22(点E 与点E ′重合时取等号)，∴4≤S 四边形EDFG ＝DE 2＜8.∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4. 10．A 11．3212．解：(1)当矩形ABCD 的长是宽的2倍时，四边形PHEF 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AB ＝CD . ∵E 是BC 的中点，∴AB ＝BE ＝EC ＝CD ，则△ABE ，△DCE 均是等腰直角三角形， ∴∠AEB ＝∠DEC ＝45°， ∴∠AED ＝90°.在四边形PHEF 中，∵∠PFE ＝∠FEH ＝∠EHP ＝90°， ∴四边形PHEF 是矩形．(2)当点P 是AD 的中点时，矩形PHEF 变为正方形．理由如下： 由(1)可得∠BAE ＝∠CDE ＝45°， ∴∠F AP ＝∠HDP ＝45°.又∵∠AFP ＝∠DHP ＝90°，AP ＝DP ， ∴Rt △AFP ≌Rt △DHP ， ∴PF ＝PH ，∴矩形PHEF 是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG ＝DC ，∠DGH ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝CD ，∴AD ＝DG .又∵ED ＝ED ，∴Rt △AED ≌Rt △GED (HL)． (2)证明：由(1)知△AED ≌△GED ，∴AE ＝EG ，∠ADE ＝∠GDE ＝12∠BDA ＝22.5°，∴∠CDF ＝67.5°，∠CFD ＝67.5°， ∴∠CDF ＝∠CFD ，∴CF ＝CD . 又∵AC ＝BD ，CD ＝DG ， ∴AF ＝BG ＝EG .由旋转知∠H ＝∠DBC ＝45°. 又∵∠DAC ＝45°， ∴AF ∥EG ，∴四边形AEGF 是平行四边形． 又∵AE ＝EG ，∴▱AEGF 是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF 是菱形，∴AF ＝FG . 由(2)知CF ＝CD ，∴BC ＝CF ， ∴BC ＋FG ＝CF ＋AF ＝AC ＝1.。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题1（附答案详解）1．正方形所在平面上一点A，到正方形一组对边的距离是2和6，则正方形的周长是（）A．10B．16C．16或32D．25或122．如图，正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上，AB＝2，AE＝42，则点G 到BE的距离是（）A．165B．3625C．3225D．1853．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AEAB＝23，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．若一个正方形的边长为4，则它的面积是()A．8 B．12 C．16 D．20 5．如图,正方形ABCD中,E是BD上一点,BE=BC,则∠BEC的度数是()A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°6．下列命题正确的是（）A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线互相平分且相等D．正方形的对角线互相垂直平分7．将四根长度相等的铁丝首尾顺次相接，连成四边形ABCD，转动这个四边形可以使它的形状改变，当∠B=60°时，如图（1），AC=2；当∠B=90°时，如图（2）,此时AC 的长为:（）A．22B．2C．3D．28．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形9．已知如图，正方形ABCD中，AD=4，点E在CD上，DE=3CE，F是AD上异于D 的点，且∠EFB=∠FBC，则tan∠DFE=（）A．3B10C．134D．15810．下列说法正确的有（）①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；②邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是矩形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤有一个内角是60°的平行四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为______和______．（只写一组）12．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=_________.13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下五个结论：①△AOD≌△COB；②∠DAC＝∠DCA；③梯形ABCD是轴对称图形；④△AOB≌△DOC；⑤AC＝BD．请把其中正确结论的序号填写在横线上________．14．如图，在四边形ABCD中∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是9，则DP的长是________.15．如图，在直线l上摆放着三个三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=13CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S1=_____，S2=_____．16．下列说法正确的是_____．（请直接填写序号）①“若a＞b，则ac＞bc．”是真命题．②六边形的内角和是其外角和的2倍．③函数1x的自变量的取值范围是x≥﹣1．④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．⑤正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．17．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2015个正方形的边长为________．18．如图，正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上，顶点B在GC的延长线上，连接EG、BE，EGC的平分线GH过点D交BE于H，连接HF交EG于M，则MGME的值为________．19．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别为边AD、CD上一点，将正方形分别沿BE、BF折叠，点A的对应点M恰好落在BF上，点C的对应点N给好落在BE 上，则图中阴影部分的面积为__________；20．在七巧板制作过程中可知，每一块板的锐角都是____度．21．如图，点E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE=AC，求∠E的度数．22．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题4（附答案详解）1．如图，在正方形ABCD 中，BD 与AC 相交于点O ．嘉嘉作//DP OC ，//CP OD ，在正方形ABCD 外，DP ，CP 交于点P ；淇淇作DP OC =，CP OD =，在正方形ABCD 外，DP ，CP 交于点P ，两人的作法中，能使四边形OCPD 是正方形的是（ ）A ．只有嘉嘉B ．只有淇淇C ．嘉嘉和淇淇D ．以上均不正确2．如图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC=EC ，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①OH ∥BF ，②GH=14BC ，③BF=2OD ，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．下列命题是真命题的是( ) A ．菱形的对角线相等B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．三个角都相等的四边形是矩形D ．对角线相等的平行四边形是矩形5．两个全等的等腰直角三角形拼成一个四边形，则可拼成的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．正方形或平行四边形 C ．正方形或平行四边形或梯形 D ．正方形6．如图，正方形ABCD 的边长为9，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，若E 是AB 中点，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）7．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，下列结论：①15BAE DAF ∠=∠=；②AG=3GC ；③BE +DF =EF ；④2CEF ABE S S ∆∆=.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④9．如图，点C 、D 分别在两条直线y ＝kx 和72y x =上，点A (0，2)，B 点在x 轴正半轴上．已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝（ ）A ．52B ．25C ．57D ．7510．如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，下列说法正确的是（ ）A ．当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是菱形B．当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形C．当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形D．当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形11．如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x 轴、y 轴上，将正方形ABCO 绕点O逆时针旋转45°，旋转后点B对应的点的坐标为_____．12．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE 为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，则正方形边长为__________．13．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD的中点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为__________．14．给出五种图形：①矩形；②菱形；③等腰三角形(腰与底边不相等)；④等边三角形；⑤平行四边形(不含矩形、菱形)，其中可用两块能完全重合的含有30°角的三角板拼成的所有图形是________．15．如图，正方形ABCD的边长为4，在这个正方形内作等边三角形EFG（三角形的顶点可以在正方形的边上），使它们的中心重合，则EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短距离是___________．16．如图，点A 在线段BG 上，正方形ABCD 和正方形DEFG 的面积分别为3和7，则△CDE 的面积为_________．17．如图，CE 是ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E ．连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②ACD ABE ∠=∠；③:1:3AF BE =；④S 四边形:2:3AFOE COD S =△；其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）18．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，2），则点C 的坐标为_____．19．如图，正方形ABCD 被与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰好是矩形AGPE 面积的2倍，则HAF ∠的大小为__________．20．如图，将锐角为45的直角三角板MPN 的一个锐角顶点P 与边长为4的正方形ABCD的顶点A 重合，正方形ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点A 旋转，MPN ∠的两边分别与正方形的边BC 、DC 或其延长线相交于点E 、F ，连结EF ．在三角板旋转过程中，当MPN ∠的一边恰好经过BC 边的中点时，则EF 的长为_____．21．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF （1）求证：AD ＝CF ；（2）如果AB ＝AC ，四边形ADCF 的形状为 （直接写出结果）；22．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H(1)如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF GH ⊥，易知BOE AOG S S ∆∆=，又因为14AOB ABCD S S ∆=四边形，所以14ABCD AEOG S S =正方形四边形（不要求证明） (2)如图②，若四边形ABCD 是矩形，且14ABCD AEOG S S =矩形四边形，若AB a ，AD b ，BE m =，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）； (3)如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且14ABCDAEOG S S =四边形，若3AB =，5AD =，1BE =，则AG = ．A B C D均在格点上，请在此23．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点,,,网格中仅用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹）．；（1）画出线段BE，使BE AC，且BE AC（2）画出以AC为边的正方形ACMN；（3）在（1）的条件下，画出直线PQ，使PQ平分四边形ABED的面积（作出一条即可）．24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？25．定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠C＝∠BDC，E为AB的中点，DE⊥AB．求证：四边形ABCD是对等四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的对等四边形ABCD ，使BD 是对等线，C ，D 在格点上．（3）如图3，在图（1）的条件下，过点E 作AD 的平行线交BD ，BC 于点F ，G ，连结DG ，若DG ⊥EG ，DG ＝2，AB ＝5，求对等线BD 的长．26．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，DE ⊥AB 于点E ，过点E 的直线交BC 于点G ，且BG ＝CG ．（1）求证：GD ＝EG ．（2）若BD ⊥EG 垂足为O ，BO ＝2，DO ＝4，画出图形并求出四边形ABCD 的面积． （3）在（2）的条件下，以O 为旋转中心顺时针旋转△GDO ，得到△G ′D 'O ，点G ′落在BC 上时，请直接写出G ′E 的长．27．如图，在边长为12cm 的正方形ABCD 中，M 是AD 边的中点，点P 从点A 出发，在正方形边上沿A B C D →→→的方向以大于1 cm/s 的速度匀速移动，点Q 从点D 出发，在CD 边上沿D C →方向以1 cm/s 的速度匀速移动，P 、Q 两点同时出发，当点P 、Q 相遇时即停止移动.设点P 移动的时间为t(s)，正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为y (cm 2).已知点P 移动到点B 处，y 的值为96(即此时正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为96cm 2).(1)求点P 的速度:(2)求y 与t 的函数关系式，并直接写出的取值范围.28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AB 、BC 为边向外作正方形ADEB 和正方形BCFH ．（1）当BC a =时，正方形BCFH 的周长=________（用含a 的代数式表示）； （2）连接CE ．试说明：三角形BEC 的面积等于正方形BCFH 面积的一半． （3）已知1AC BC ==，且点P 是线段DE 上的动点，点Q 是线段BC 上的动点，当P 点和Q 点在移动过程中，APQ ∆的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．29．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，动点M 在CD 边上运动，以EM 为折痕将△CEM 折叠得到△PEM ，连接P A ，若AB =4，∠BAD =60°，则P A 的最小值是_____．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法先判定四边形DOCP 是平行四边形，再根据正方形的判定方法即可判断． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴∠DOC =90︒，OD=OC ， 嘉嘉的：∵//DP OC ，//CP OD ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴四边形DOCP 是平行四边形， ∵∠DOC =90︒，OD=OC ，∴四边形DOCP 是正方形，嘉嘉的作法正确； 淇淇的：∵DP OC =，CP OD =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴四边形DOCP 是平行四边形， ∵∠DOC =90︒，OD=OC ，∴四边形DOCP 是正方形，淇淇的作法也正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 2．B 【解析】 【分析】①只要证明OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=12CF，由GH＜14BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=12 BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【详解】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，∴DH=HF，∵OD=OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=12BC，GH=12CF，∵CE=CF，∴GH=12CF=12CE∵CE＜CG=12 BC，∴GH＜14BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=12BF；故③正确．故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．3．B【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．故答案为B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．4．D【解析】【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定和性质定理，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】∵菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，∴A是假命题，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，∴B是假命题，∵三个角都是直角的四边形是矩形，∴C是假命题，∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴D是真命题．故选D．【点睛】本题主要考查菱形，矩形，正方形的判定和性质定理，掌握上述的判定和性质定理，是解题的关键．5．B【解析】【分析】两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，根据题意拼出符合题意的四边形，进而得出结论．【详解】如图所示，可拼成的四边形是正方形或平行四边形．故选：B ．【点睛】此题主要考查了正方形的判定、图形的剪拼以及等腰直角三角形的性质，得出符合题意四边形是解题关键．6．C【解析】【分析】将△CDF 逆时针旋转90︒到△CBM 的位置，易证△CEF 与△CEM 全等，设DF x =，表示出EF ，AF 长度，解直角三角形即可求解x ，再通过勾股定理求算CF ．【详解】解：将△CDF 逆时针旋转90︒到△CBM∵∠ECF=45°，四边形ABCD 是正方形∴45ECM ∠=︒∴△CEF ≌△CEM∴EF EM =设DF x =，E 是AB 中点∴99,,2AF x AE EB BM x =-=== ∴92EF EM x ==+ 在直角三角形AEF 中：()22299922x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：3x = ∴2293310CF =+=故答案选：C ．【点睛】本题考查正方形与旋转、勾股定理综合．转化相关的线段建立等量关系是解题关键． 7．D【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，∴△ABM 中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①， △DCM 中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②， 由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，2413 40θθθθ∴+--=︒；故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．8．C【解析】【分析】易证Rt ABE Rt ADF ≌，从而得到BE DF =，求得15BAE DAF ∠=∠=︒；进而得到CE CF =，判断出AC 是线段EF 的垂直平分线，在Rt AGF 中，利用正切函数证得②正确；观察得到BE GE ≠，判断出③错误；设BE x =，CE y =，在Rt ABE 中，运用勾股定理就可得到2222x xy y +=，从而可以求出CEF 与ABE 的面积比．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，AEF 是等边三角形，∴90B BCD D AB BC DC AD AE AF EF ∠=∠=∠=︒=====，，．在Rt ABE 和Rt ADF 中， AB AD AE AF ⎧⎨⎩＝＝∴()Rt ABE Rt ADF HL ≌． ∴BE DF =，∠BAE =∠DAF ∴()()1190601522BAE DAF BAD EAF ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒ 故①正确；∵BE DF BC DC ==，，∴CE BC BE DC DF CF =-=-=，∵AE AF =，CE CF =，∴AC 是线段EF 的垂直平分线，∵90ECF ∠=︒，∴GC GE GF ==，在Rt AGF 中，∵tan tan 60AG AG AFG GF GC ∠=︒===，∴AG =，故②正确；∵BE DF GE GF ==，，15BAE ∠=︒，30GAE ∠=︒，90B AGE ∠=∠=︒∴BE GE ≠∴BE DF EF +≠，故③错误；设BE x =，CE y =，则CF CE y ==，AB BC x y AE EF ==+====，．在Rt ABE 中，∵90B ∠=︒，AB x y BE x AE =+==，，，∴222())x y x ++=．整理得：2222x xy y +=． ∴CEF S ：ABE S11CE ?CF :AB?BE 22⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()•:?CE CF AB BE ==2y ：()x y x ⎡⎤+⎣⎦()()2222:2:1x xy x xy =++=．∴CEF ABE 2S S =，故④正确；综上：①②④正确故选：C.【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，而采用整体思想（把2x xy +看成一个整体）是解决本题的关键．9．C【解析】【分析】如图（见解析），设点B 的坐标为(,0)B b ，则OB b =，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出2,OA DF OB AF b ====，再根据线段的和差可得2OF b =+，从而可得点D 的坐标，代入直线72y x =可求出b 的值，同理可得出点C 的坐标，将其代入直线y kx =即可得．【详解】如图，过点D 作DF y ⊥轴于点F ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，设点B 的坐标为(,0)B b ，则OB b =，且0b >， (0,2)A2OA∴=．四边形ABCD 是正方形，,90AB DA BAD ∴=∠=︒，90BAO DAF ADF DAF ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAO ADF ∴∠=∠．在ABO 和DAF △中，90AOB DFA BAO ADF AB DA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABO DAF AAS ∴≅，2,OA DF OB AF b ∴====2OF OA AF b ∴=+=+∴点D 的坐标为(2,2)D b +，将(2,2)D b +代入直线72y x =得：7222b ⨯=+，解得5b =， 同理可得：ABO BCE ≅，2,5OA BE OB CE b ∴=====527OE OB BE ∴=+=+=∴点C 的坐标为(7,5)C ，将(7,5)C 代入直线y kx =得：75k =，解得57k =． 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．D【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故D选项正确，故选：D．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．11．(0【解析】【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可求得OB和OB′的长，由此判断点B′的坐标．【详解】∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=45︒，∴正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°后得正方形A B C O'''，如图，∴OB=OB′，∵四边形OABC是正方形，OC=BC=1，∠BCO=90︒，∴2222+=+OC BC112∴点B对应的点B′的坐标为(02)．故答案为：(02)．【点睛】本题主要考查了图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．3【解析】【分析】设正方形的边长为x，则AC＝AE2x，菱形的面积为底×2x•x＝92，可求出x 的长为3．即正方形的边长为3．【详解】解：设正方形的边长为x，AC＝AE2x，CB＝x是菱形的高，2x•x＝2，x＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质以及菱形面积公式，解题的关键是掌握正方形的性质，菱形的性质以及菱形面积公式的应用．13．49 13【解析】【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，2222125AB AF++，S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，∴12×5=13AH，∴AH=60 13，∴AG=2AH=120 13，∵AE=BF=13，∴GE=AE-AG=13-12013=4913，故答案为：49 13．【点睛】此题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．14．①③④⑤【解析】【分析】当把完全重合的含有30角的两块三角板拼成的图形有三种情况：①把短直角边重合拼图；②把长直角边重合拼图；③把斜边重合拼图；可得六种拼图，进行判断即可．【详解】解：如图，把完全重合的含有30角的两块三角板拼成的图形共有六种情况，其中可以拼出等边三角形，等腰三角形（腰与底边不相等），矩形，平行四边形（不含矩形、菱形）．故答案为：①③④⑤．【点睛】本题考查了图形的剪拼接，关键是在解题时要注意分类讨论，得出拼成的所有图形．15．42-26【解析】【分析】当G，O，C共线时，△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短，即点G在对角线上，在△AOE中，∠CAE=45°，∠AOE=60°，OE=r，解三角形可求r，即可求最短距离．【详解】如图：当G，O，C共线时，△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短，即点G在对角线上．作EM⊥AC于M∵ABCD是正方形，AB=4∴AC=42AO=22CAB=45°∵△EFG是等边三角形∴∠GOE=120°∴∠AOE=60°设OE为r∵∠AOE=60°，ME⊥AO∴MO=12OE=12r，33∵∠MAE=45°，AM⊥ME ∴∠MAE=∠MEA=45°，∴AM=ME=32r，∵AM+MO=AO∴12322∴r=26-22∵AG=AM=MO+OG=1236∴GC=42-26故答案为：42-26．【点睛】本题主要考查了两点间距离最短，由题意分析出距离最短的情况是解题的关键．163【分析】过E作EH⊥CD于H，根据角之间的等量关系可得到∠1=∠3，从而可利用AAS判定△EDH≌△DGA，由全等三角形的性质可得EH=AG，根据正方形的面积求角其边长，从而利用勾股定理求得AG的长，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】过E作EH⊥CD于H，如图，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵∠EHD=∠DAG=90°，ED=DG，∴△EDH≌△DGA，∴EH=AG，∵S ABCD=7cm2，S DGFE=11cm2，∴3，7cm，∴在Rt△ADG中，22DG AD-73-＝2(cm)，∴S△CDE=12CD×EH=12CD×AG=123×32，3【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质和勾股定理的综合运用能力,关键在于掌握勾股定理和三角形全等的判定与性质.17．①②③④【解析】【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可；解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∵EC 垂直平分AB ，∴OA=OB= 12AB= 12DC ，CD ⊥CE ， ∵OA//DC ， ∴12EA EO OA ED EC CD ===， ∴AE=AD ，OE=OC ，∵OA=OB ，OE=OC ，∴四边形ACBE 是平行四边形，∵AB ⊥EC ，∴四边形ACBE 是菱形，故①正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ACD=∠BAC ，∵四边形ACBE 是菱形,∴∠BAC=∠ABE ，故②正确，∵OA//CD ， ∴12AF OA CF CD ==， ∴13AF AF AC BE ==故③正确， 设△AOF 的面积为a ，则△OFC 的面积为2a ，△CDF 的面积为4a ，△AOC 的面积=△AOE 的面积=3a ，∴四边形AFOE 的面积为4a ，△ODC 的面积为6a∴S 四边形:2:3AFOE COD S =△.故④正确，故答案为①②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 18．（﹣2，1）．【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据正方形的性质和同角的余角相等证出：OA＝OC，∠OAD＝∠COE，然后利用AAS即可证出△AOD≌△OCE，从而得出OE＝AD＝2，CE＝OD＝1，再结合C点所在象限即可求出C点坐标.【详解】解：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，如图所示∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，又∵∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠COE，在△AOD和△OCE中，OAD COEADO OECOA OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE＝AD＝2，CE＝OD＝1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣2，1）．故答案为（﹣2，1）．【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和点的坐标，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键.19．45°【解析】首先添加辅助线BM、AM、FH，再证ADH ABM△≌△，然后根据勾股定理和“矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍”证得FH FM=，进一步可得证AFM AFH△≌△，最后根据全等三角形的性质求得HAF∠的度数.【详解】解：如图，连接FH，延长CB至M，使得BM DH=，连接AM，在ADH与ABM中AD ABDH BMADH ABM=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADH ABM△≌△∴AH AM=，DAH BAM∠=∠∴90MAH BAD∠=∠=︒设BF m=，DH n=，正方形边长为a．则FM m n=+，CF a m=-，CH a n=-，∴22222222()()22()FH CF CH a m a n a m n a m n=+=-+-=-+++．又∵矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍∴()()2a m a n mn--=，即2()a m n a mn-+=∴22222222()()FH a m n a m n m n FM=-+++=+=∴FH FM=在AFM△与AFH中AF AFAM AHFM FH=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AFM AFH△≌△∴1452FAM FAH MAH∠=∠=∠=︒故答案是：45︒【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识点，属中档题目，注意辅助线的添加，熟练掌握相关定理是解题的关键．20．103或203【解析】【分析】①当MA经过BC的中点E时，延长FD至G，使DG＝BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF，利用勾股定理列出方程即可；②NA经过BC的中点H时，在CD上截取DQ=BE，连接AQ，同理证明△ABE≌△ADQ（SAS），再证明△QAF≌△EAF（SAS）和△ABH≌△FCH（ASA），根据勾股定理列出方程即可解决问题．【详解】解：①当MA经过BC的中点E时，延长FD至G，使DG＝BE，连接AG，如下图所示，∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝∠DAB＝90°，又∵BE=DG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠DAG＝∠EAB，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠EAB＝45°，∴∠DAF＋∠DAG＝45°，∴∠GAF＝∠EAF＝45°，∵AF＝AF，∴△GAF≌△EAF，∴EF＝GF，∴GF＝DF＋DG＝DF＋BE，∴EF＝DF＋BE．∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，设FD＝x，则FG＝EF＝2＋x，FC＝4−x．在Rt△EFC中，（x＋2）2＝（4−x）2＋22，∴x＝43，∴EF＝x＋2＝103．②当NA经过BC的中点H时，在CD上截取DQ=BE，连接AQ，如下图所示，由情况①可知，△ABE≌△ADQ（SAS），∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠EAB，∴∠DAQ+∠BAQ=∠EAB+∠BAQ=90°，∵∠EAF＝45°，∴∠QAF＝∠EAF＝45°，∵AF＝AF，∴△QAF≌△EAF（SAS），∴EF＝QF，又∵点H是BC的中点，∴BH=CH，∵∠ABH=∠FCH，∠BHA=∠CHF，∴△ABH≌△FCH（ASA），∴CF=AB=4，设BE＝DQ=x，则EC＝4＋x，EF=QF＝8−x，∵CH＝BH＝2，CF＝AB＝4，由勾股定理得到：（4＋x）2＋42＝（8−x）2，∴x＝43，∴EF＝8−43=203综上所述，EF的长为103或203，故答案为：103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．21．（1）见解析；（2）正方形【解析】【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CD＝12BC，即可证得：AD＝AF；（2）由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形．【详解】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEB 中，EAF EDB AE DEAEF DEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DEB （ASA ），∴AF ＝BD ，∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是中线，∴AD ＝BD ＝DC ＝12BC ， ∴AD ＝AF ．（2）解：当AB ＝AC 时，四边形ADCF 是正方形．∵AF ＝BD ＝DC ，AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，且AD ＝AF∴四边形ADCF 是菱形，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴四边形ADCF 是正方形．故答案为正方形【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（1）见解析；（2）bm AG a =；（3）53 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得出结论；（2）过O 作OMAB ⊥于M ，ON AD ⊥于N ，根据图形的面积得到1144mb AG a =⋅，继而得出结论；（3）过O 作QM AB ⊥，PN AD ，则2MQ OM =，2PN ON =，根据平行四边形的面积公式得出53OM ON =，根据三角形的面积公式列方程即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图①,∵四边形ABCD 是正方形，∴45OAG OBE ∠=∠=︒，OA OB =，∵AG BE =，∴AOG BOE ≅， ∴14AOB ABCD AEOG S S S ==正方形四边形． （2）如图②，过O 作OMAB ⊥于M ，ON AD ⊥于N ， ∵'14AOB ABCD S S ∆=矩形 '1=4AEOG ABCD S S 四边形矩形 ∴'=AOB AEOG S S ∆四边形 ∵1111=2224BOE S BE OM m b mb ∆⋅=⋅= 1111=2224AOG S AG ON AG a AG a ∆⋅=⋅=⋅， ∴1144mb AG a =⋅， ∴bm AG a =； （2）如图③，过O 作QM AB ⊥，PN AD ， 则2MQ OM =，2PN ON =，∵ABCD S AB MQ AD PN =⋅=⋅，∴3252OM ON ⨯=⨯， ∴53OM ON =， ∵14AOB ABCD S S ∆=， 14ABCD AEOG S S =四边形， ∴=AOB AEOG S S ∆四边形，∵11=122BOE S BE OM OM ∆⋅=⨯⨯， 1=2AOG S AG ON ∆⋅， ∴11122OM AG ON ⨯⨯=⋅， OM AG ON =⋅，53OM AG ON ==， 53AG =； 故答案为：53．【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质，通过作辅助线，利用面积公式求解是解此题的关键． 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）作CE 平行且等于AB ，连接BE 即可得出答案；（2）根据正方形的性质即可得出答案；（3）作线段AB 的中点G ，作直线CG ，即可得出答案．【详解】解：（1）如图所示BE 即为所作；（2）如图所示正方形ACMN 即为所作；（3）如图所示，作线段AB 的中点G ，作直线CG ，直线CG 即为所作直线PQ ．【点睛】本题考查的是作图，需要熟练掌握正方形以及平行四边形等相关基础知识．24．（1）证明见解析，（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明见解析，（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．证明见解析．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．【详解】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：如图，当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∠∠,ACB ACDCE CF分别平分,,∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．证明：如图，由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形，∵∠ACB=90°，∴∠2=45°，∵平行四边形AECF是矩形，∴EO=CO，∴∠1=∠2=45°，∴∠MOC=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行四边形，矩形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）BD＝256．【解析】【分析】（1）先说明∠C=∠BDC，证得BC=BD，然后由等腰三角形的性质得到BD=AD，即可证明；（2）作A B的垂直平分线与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点B为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AD=BC=BD即可完成作图；（3）过点E作EH⊥AD于H，先证得四边形DGEH是矩形，得出EH=DG=2；然后再求出AE的长；，S△ADE=S△BDE，设DE=x，A D=BD=y，然后再运用勾股定理和三角形的面积公式列出方程组求解即可．【详解】（1）证明：∵∠C＝∠BDC，∴BC＝BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴BD＝AD，∴BC＝AD＝BD，∴四边形ABCD是对等四边形；（2）解：有两种画法：作AB的垂直平分线与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点B为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AD＝BC＝BD，如图2﹣1所示；。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题（附答案详解）1．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝3，BE ＝4，则阴影部分的面积是( )A ．12B ．20C ．19D ．252．正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ） A ．对角线互相平分； B ．对角线相等；C ．对角线互相垂直；D ．对角线平分一组对角．3．如图，在正方形ABCD 中，M 为DC 上一点，联结BM ，将BCM 绕点C 顺时针方向旋转90得到.DCN 联结.MN 如果160∠=，则2∠的度数为( )A ．30B ．15C ．10D ．404．如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将DCB 绕着点D 顺时针旋转45得到DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②AED GED ≅ ③112.5DFG ∠= ④ 1.5BC FG +=，其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．②5．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为AD 的中点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为F .连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．2B ．255C ．322D ．21056．下列命题是真命题的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．一组邻边相等的四边形是菱形 C ．四个角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形7．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG ＝1，BF ＝2，∠GEF ＝90°，则GF 的长为（ ）A ．B ．2C ．D ．38．下列说法中不正确的是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．有一个角是直角的平行四边形是矩形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形9．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，,E F 为BD 所在直线上的两点，若10,135AE EAF =∠=︒，则下列结论正确的是（ ）A ．1DE =B ．1tan 2AFO ∠=C ．5AF =D ．四边形AFCE 的面积为9410．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，从下列条件：①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 中，再选两个做为补充，使▱ABCD 变为正方形．下面四种组合，错误的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，正方形ABCD 的面积为10，则图中阴影部分的面积为______________ ．12．如图，点E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE AC =，则AFC ∠的度数为________．13．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE +DF=EF ；④S △EFC =1 其中正确的序号是 ．14．如图，在正方形ABCD 中，对角线BD 长为18cm ，P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和等于________cm ．15．如图，在正方形ABCD中，AB=26，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为____．16．已知正方形的对角线长为22，则它的面积_______.17．如图，已知∠MAN=140°，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转到正方形AEFG 的位置，则旋转角的度数为______．18．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB 沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的序号是_____．19．如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．则GH的长为__________．20．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为cm．21．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE 且交AG于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．22．如图1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A，B在第一象限内．（1）求点E的坐标及线段AB的长；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO 交折线ABC于点N，连结PN,设PE=x.△PMN的面积为S.①求S关于x的函数关系式；②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）.设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′（如图3）;试探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式.23．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=3，AO=22AC的长等于（）A．7 B．8 C．322D．5224．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．25．如图1，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE＝DF；（2）当t＝秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒．（1）线段MP的长为（用含t的代数式表示）．（2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围．（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值．27．如图1，正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，H为CD边上一点，连接BH交AC于K；E为BH上一点，连接AE交BD于F．（1）若AE⊥BH于E，且CK＝2，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AB＝BE，且∠BEO＝∠EAO，求证：AE＝22OE．28．如图1，已知点E为正方形ABCD对角线CA延长线上一点，过E点作EF⊥CB交其延长线于点F，且EF＝4，AC＝2（1）如图1，连接BE，求线段BE的长；（2）将等腰Rt△CEF绕C点旋转至如图2的位置，连接AE，M点为AE的中点，连接MD、MF，求MD与MF的关系；（3）将△CEF绕C点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为．29．如图，已知正方形ABCD中，以BF为底向正方形外侧作等腰直角三角形BEF，连接DF，取DF的中点G，连接EG，CG.(1)如图1，当点A与点F重合时，猜想EG与CG的数量关系为，EG与CG的位置关系为，请证明你的结论.(2)如图2，当点F在AB上（不与点A重合）时，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；如图3，点F在AB的左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？直接做出判断，不必说明理由.(3)在图2中，若BC=4，BF=3，连接EC，求ECG的面积.30．在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，沿路线A→B→C 作匀速运动，速度为2cm/秒，运动的时间为t秒.（1）用含t的代数式表示点P运动的路程为cm，当t＝4.5时，点P在边上；（2）当点P在线段AB上运动时，写出△ADP的面积S（cm2）与t（秒）之间的关系式，并求当t为何值时，S＝8；（3）在点P运动的过程中，△ADP的形状也随之改变，判断并直接．．写出t为何值时，△ADP是等腰三角形．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB ，分别求出△AEB 和正方形ABCD 的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5， ∴正方形的面积是5×5=25， ∵△AEB 的面积是AE×BE=×3×4=6， ∴阴影部分的面积是25-6=19， 故选：C 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力，解题关键是熟练掌握性质． 2．A 【解析】 【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析, 【详解】A 、三者均具有此性质，故正确；B 、菱形不具有此性质，故不正确；C 、矩形不具有此性质，故不正确；D 、矩形不具有此性质，故不正确. 故选A 3．B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出BCM ≌DCN ，推出CM CN =，1DNC 60∠∠==，根据BCD DCN 90∠∠==，求出MNC CMN 45∠∠==，即可求出答案．【详解】将BCM 绕点C 顺时针方向旋转90得到DCN ，BCM ∴≌DCN ，CM CN ∴=，1DNC 60∠∠==，四边形ABCD 是正方形，BCD DCN 90∠∠∴==， MNC CMN 45∠∠∴==， 2604515∠∴=-=．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，注意：根据旋转的性质可以得出BCM ≌DCN ，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 4．B 【解析】 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质易证△ADE ≌△GDE ，再求出∠AEF 、∠AFE 、∠GEF 、∠GFE 的度数，推出AE=EG=FG=AF ，由此可以一一判断． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC=BC=AB ，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠C AB=45°，∵△DHG 是由△DBC 旋转得到，∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，在RT△ADE和RT△GDE中，DE=DE，DA=DG，∴AED≌△GED，②正确，∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，∴∠AED=∠AFE=67.5°，∴AE=AF，同理EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，①正确，∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，③正确．∵AE=FG=EG=BG，AE，∴BE>AE，∴AE<12，∴CB+FG<1.5，故④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选B.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等．5．D【解析】【分析】连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，由勾股定理可求BE的长，由三角形面积公式可求AO的长，由折叠的性质可得AO=OH= ，AB=BF=2，由勾股定理可求BN，FN 的长，由矩形的性质可求FM，MC的长，由勾股定理可求CF的长．【详解】解：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB,∵AB∥CD，MN⊥AB,∴MN⊥CD，∵AB=2=AD，点E是AD中点, ∴AE=1，∴225AB AE+=∵S△ABE=12×AB×AE=12×BE×AO,∴2×5∴25,∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F,∴25，AB=BF=2，∴45,∵AF2-AN2=FN2，BF2-BN2=FN2，∴AF2-AN2=BF2-BN2，∴165-（2-BN）2=4-BN2，∴BN=6 5 ,∴FN=8 5 ,∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB=90°, ∴四边形MNBC是矩形,∴BN=MC=65，BC=MN=2,∴MF=2 5 ,∴CF=22210MC MF+=.故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，利用勾股定理列出等式求线段的长是本题的关键．6．D【解析】根据矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定义即可作出判断：A、对角线相等的平形四边形才是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平形四边形才是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确．故选D．7．D【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∵∠GEF=90°，∴∠AEG+∠BEF=90°，∴∠AGE=∠BEF，∴△AGE∽△BEF，∴，∵E为AB的中点，∴AE=BE，∵AG=1，BF=2，∴，解得：BE=AE=，在Rt△AEG 中，GE2=AG2+AE2=3，在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=6，∴在Rt△GEF中，GF==3．故选D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．8．D【解析】【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法分别分析即可得出答案．【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意；D 、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，符合题意， 故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形以及平行四边形、菱形、矩形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．9．C【解析】【分析】根据正方形的性质结合勾股定理判断A ，利用相似三角形的性质判断B 和C ，利用割补法即可求出四边形AFCE 的面积.【详解】∵ABCD 是边长为1的正方形∴，OD=OC=OA=OB=2且AC ⊥BD又2AE =∴OE ==∴DE=OE-OD=2，故A 错误； 根据正方形的性质可得∠ADO=45°∴∠ADE=180°-∠ADO=135°又135EAF ∠=︒∴△EAF ∽△EDA ∴EA EF AF ED EA DA==∴∴=∴103AO tan AF OF ∠==，故B 错误，C 正确； AFC AEC AFCE 11S S S AC OF AC OE 422=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形，故D 错误； 故答案选择C.【点睛】本题考查的是正方形的综合，难度较大，需要熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理.10．C【解析】【分析】【详解】解：A. 由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；B. 由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；C. 由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意；D. 由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选C ．11．2【解析】试题分析：根据正方形的对称性，可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，因此可知阴影. 12．112.5【解析】【分析】根据等边对等角的性质可得∠E =∠CAE ，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵CE=AC，∴∠E=∠CAE．∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠CAE=45°，∴∠E=12×45°=22.5°．在△CEF中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°．故答案为112.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．13．①②④．【解析】试题分析：根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据等边三角形的边长求得直角三角形的边长，从而求得面积可以判断④的正误．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，∴S△EFC=FC•EC=××=1④说法正确，∴正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．14．9【解析】分析：连接OP，根据正方形的性质得出OA的长度，然后根据等面积法求出PE+PF的长度．详解：连结OP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OC=OB=OD=12BD=9cm ，OA ⊥OB ， ∵S △OPA +S △OPB =S △OAB ， ∴12PE•OA+12PF•OB=12OA•OB ， ∴PE+PF=OA=9cm ． 故答案为：8． 点睛：本题主要考查的是正方形的性质以及等积法的使用，属于中等难度题型．理解正方形对角线的性质是解题的关键．15．3【解析】【分析】由∠ADC=∠EDG=90°，推出∠ADE=∠CDG ，连接GC ，容易证明△DAE ≌△DCG ，推出AE=CG ，当E 点位于C 点时，G 点位于AD 的延长线G 1处，进而推出G 点在CG 1这条线段上运动，再由点到直线的距离垂线段最短知，过H 向CG 1作垂线，得到GH 的最小值.【详解】解：连接CG ，如下图所示：∵∠ADC=∠EDG=90°∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC∴∠ADE=∠CDG在△ADE 和△CDG 中==⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩AD DC ADE CDG DE DG ，∴△ADE 和△CDG(SAS)∴AE=CG当E 点位于C 点时，G 点位于G 1处当E但位于A点时，G点位于C处，故E点在AC上运动时，G点在CG1上运动故由点到直线的距离垂线段最短可知：过H点作HG0⊥CG时，此时HG0最小又H是CD的中点，∴CH=12CD=6又∠DCG=45°，∴HG0=22CH=3.故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定方法，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是能想到连接CG，进而确定出G点的运动路径，再由点到直线距离垂线段最短求值.16．4【解析】【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO=12AC=2，∠AOB=90°，由勾股定理得，AB=2，S正=（2）2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，关键是根据对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角分析解答．17．50°【解析】【分析】由正方形的性质和旋转的性质可求旋转角的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°∴∠DAG=∠MAN-∠BAD=50°∵将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转到正方形AEFG的位置，∴∠DAG是旋转角，∴旋转角的度数为50°故答案为：50°【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，熟练运用旋转的性质是解题关键．18．①③．【解析】【分析】证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可判断①．证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得判断②．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可判断③．证明FG：EG=3：5，求出△ECG 的面积即可判断④．【详解】如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt △AGD ≌Rt △AGF （HL ），∴DG ＝FG ，∠GAF ＝∠GAD ，设GD ＝GF ＝x ，∴∠EAG ＝∠EAF +∠GAF ＝12（∠BAF +∠DAF ）＝45°，故①正确， 在Rt △ECG 中，∵EG 2＝EC 2+CG 2，∴（4+x ）2＝82+（12﹣x ）2，∴x ＝6，∵CD ＝BC ＝BE +EC ＝12，∴DG ＝CG ＝6，∴FG ＝GC ，易知△GFC 不是等边三角形，显然FG ≠FC ，故②错误，∵GF ＝GD ＝GC ，∴∠DFC ＝90°，∴CF ⊥DF ，∵AD ＝AF ，GD ＝GF ，∴AG ⊥DF ，∴CF ∥AG ，故③正确，∵S △ECG ＝12×6×8＝24，FG ：FE ＝6：4＝3：2， ∴FG ：EG ＝3：5， ∴S △GFC ＝35×24＝725，故④错误， 故答案为：①③．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．4【解析】【分析】如图，过点F 作FM AB ⊥于M ，过点G 作GN BC ⊥于N ，设 GN 、EF 交点为P ，根据正方形的性质可得,GN FM GN FM =⊥，再根据同角的余角相等可得EFM HGN =∠∠，然后利用“角边角”证明EFM HGN ≌，根据全等三角形对应边相等可得GH EF =，然后代入数据即可得解．【详解】如图，过点F 作FM AB ⊥于M ，过点G 作GN BC ⊥于N ，设 GN 、EF 交点为P ∵四边形ABCD 是正方形∴,GN FM GN FM =⊥∴90EFM GPF +=︒∠∠∵90FOH =︒∠∴90HGN GPF +=︒∠∠∴EFM HGN =∠∠在△EFM 和△HGN 中90EFM HGN GN FMEMF HNG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴EFM HGN ≌∴GH EF =∵4EF =∴4GH =即GH 的长为4故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的线段长问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．20．．【解析】【分析】根据题意得到，当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，从而求得CF 的长．【详解】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC ﹣=．故答案为考点：正方形的性质；旋转的性质．21．（1）见解析；（2）AF +EF ＝BF ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得DA ＝AB ，再根据同角的余角相等求出∠BAF ＝∠ADE ，然后利用“角角边”证明△ABF 和△DAE 全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF ＝AE ，AF ＝DE ，然后根据图形列式整理即可得证；（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF ＝AE ，AF ＝DE ，然后结合图形写出结论即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ，∴DA ＝AB ，∠BAF+∠DAE ＝∠DAE+∠ADE ＝90°，∴∠BAF ＝∠ADE ，在△ABF 和△DAE 中，90BAF ADE AFB DEA DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴BF ＝AE ，AF ＝DE ， （2）AF+BF ＝EF ； ∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ，∴DA ＝AB ，∠BAF+∠DAE ＝∠DAE+∠ADE ＝90°，∴∠BAF ＝∠ADE ，在△ABF 和△DAE 中，90BAF ADE AFB DEA DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴BF ＝AE ，AF ＝DE ，∴AF+EF ＝BF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键．22．（1）E （1，），AB =2（2）①②（3）y=-t +,y=2【解析】本试题主要是考查了三角形面积的表示以及点的坐标的求解和函数关系式等知识的综合运用．（1）因为在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CO ，E 是AO 的中点，过点E 作EF ∥OC 交BC 于F ，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO 放置在平面直角坐标系中，使点O 与原点重合，OC 在x 轴正半轴上，点A 、B 在第一象限内．故利用平行可知点E 的坐标； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交OC 于点M ，过M 作MN ∥AO 交折线ABC 于点N ，连结PN ．设PE=x.△PMN 的面积为S ，根据点的位置，分别讨论得到S 关于x 的函数关系式；然后根据解析时分析其最值．（3）因为固定等腰梯形ABCO ，将直角梯形EDGH 以每秒1个单位的速度沿OC 方向向右移动，直到点D 与点C 重合时停止，设运动时间为t 秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′;可以知道在运动过程中，等腰梯ABCO 与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积即为直角梯形面积，可以得到y 与时间t 的函数关系式23．A分析：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=22，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．详解：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO=∠ACO，在△BAO和△CGO中BA CGBAO GCOOB OC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△BAO≌△CGO（SAS），∴2AOB=∠COG，CG=AB=3∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG=22AO OG+=4，即AC=4+3=7，故选：A．点睛：本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．24．△BEF是直角三角形【分析】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，∴BE2+EF2＝BF2，∴∠BEF＝90°，即△BEF是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2，注意：一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．25．（1）见解析；（2）t＝（），最小值等于12；（3）t＝6秒或EPQ是直角三角形【解析】【分析】（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF证△DCF≌△BCE即可得；（2）作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD＝tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE＝【详解】（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，∴∠DCF＝∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC，在△DCF和△BCE中，CF CEDCF BCECD CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE；（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB＝5，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，∴设AE′＝x，则BE′＝2x，∴AB5＝5x＝6，则AE′＝6∴DE′＝5，DF＝BE′＝12，时间5，故答案为：5，12；（3）∵CE＝CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP＝90°时，如图2①，∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，∴∠CBD＝∠CEF，∵∠BPC＝∠EPQ，∴∠BCP＝∠EQP＝90°，∵AB＝CD＝65，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，∴DE＝6，∴t＝6秒；②当∠EPQ＝90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE＝5∴t＝5综上所述，t＝6秒或5EPQ是直角三角形．【点睛】此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.26．（1）3t；（2）满足条件的t的值为23≤t≤45；（3）S＝2223(0)32124186()235t tt t t⎧<≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（4）满足条件的t的值为411或37或32.【解析】【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系再结合题意解答即可.（2）分别出点M、N落在BC上时的t的范围即可；（3）分重叠部分是矩形PQNM和五边形PQNEF两种情况进行解答即可；（4）按以下三种情形：当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件.作FELBC于E；当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EFLBC于F；当点M落在△ABC的∠ACB 的外角的平分线上时，满足条件.分别求解即可解答.【详解】解：（1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t，∵PM＝3PQ，∴PM＝3t．故答案为3t．（2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时，∵PM∥AC，∴PM PB AC BA=，∴342 34t t-=，解得t＝2 3如图2﹣2中，当点N落在BC上时，∵NQ∥AC，∴NQ BQ AC BA=，∴3434t t-=，解得t＝45，综上所述，满足条件的t的值为23≤t≤45．（3）如图3﹣1中，当0＜t≤23时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2如图3﹣2中，当23＜t≤45时，重叠部分是五边形PQNEF．S ＝S 矩形PQNM ﹣S△EFM ＝3t 2﹣12•[3t ﹣34（4﹣2t ）]•43[3t ﹣34（4﹣2t ）]＝﹣212t 2+18t ﹣6， 综上所述，2223032124186235t t S t t t ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ ．（4）如图4﹣1中，当点M 落在∠ABC 的角平分线BF 上时，满足条件．作FE ⊥BC 于E ．∵∠F AB ＝∠FEB ＝90°，∠FBA ＝∠FBE ，BF ＝BF ，∴△BF A ≌△BFE （AAS ），∴AF ＝EF ，AB ＝BE ＝4，设AF ＝EF ＝x ，∵∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，∴BC 22AC AB +5，∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣4＝1，在Rt △EFC 中，则有x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43， ∵PM ∥AF ，∴PM PB AF BA=， ∴342443t t -=，∴t ＝411 如图4﹣2中，当点M 落在∠ACB 的角平分线上时，满足条件作EF ⊥BC 于F ．同法可证：△ECA≌△ECF（AAS），∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y，∴BF＝5﹣3＝2，在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝32，∵PM∥AC，∴PM PE AC AE=，∴32 32332tt-=，解得t＝37．如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x，在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2，解得x＝6，∵AC∥PM，∴AC EA PM EP=，∴36 362tt=+，解得t＝32，综上所述，满足条件的t的值为411或37或32.【点睛】本题考查了矩形的性质，多边形的面积，角平分线的性质等知识，掌握分类讨论的思想思是解答本题的关键.27．（1）AF；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及AE⊥BH于E，及对顶角相等等条件证得△BOK≌△AOF，故OK ＝OF，再利用已知线段的长和勾股定理，即可求得AF．（2）过O作OM⊥OE，交AE于点M，连接BM，先证△OME为等腰直角三角形，再证BM⊥AE，然后利用等腰三角形的三线合一性质求得AM＝ME，最后利用ME OE及AE和ME的数量关系．即可证明．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AC＝BD，AC⊥BD∴AO＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°∵AE⊥BH∴∠AEB＝90°∵∠AFO＝∠BFE∴∠OAF＝∠OBK∴△BOK≌△AOF∴OK＝OF∵AD＝6∴AC＝2AD＝62，AO＝CO＝32∴OK＝OF＝CO﹣CK＝22∴AF＝22＝26．AO OF∴AF的长为26．（2）证明：过O作OM⊥OE，交AE于点M，连接BM∵AB＝BE∴∠BAM＝∠BEA∵∠EAO＝∠BEO∴∠BAO＝∠MEO＝45°∴△OME为等腰直角三角形∴OE＝OM∵∠AOB＝∠MOE＝90°∴∠BOM＝∠AOE又∵OM＝OE，AO＝BO∴△BOM≌△AOE∴∠AEO＝∠BMO＝45°∴∠BME＝∠BMO＋∠OME＝∠AEO＋∠OME＝90°∴BM⊥AE∵AB＝BE∴AM＝ME∵ME2OE∴AE＝22OE．【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定和勾股定理的应用等几何知识点，本题具有一定的综合性与难度．28．（1）5；（2）DM＝MF，DM⊥MF．（3）42π．【解析】【分析】（1）连接BE，再求出BF的长，然后利用勾股定理进行解答即可；（2）延长FM到P，使得MP=MF，连接PD、PF、PA，延长PA交CF于K.证明△PDF是等腰直角三角形即可完成解答；（3）接AC，取AC的中点O，连接OM，由中位线定理可得OM=22，推出点M的运动轨迹是以O为圆心，22为半径的圆即可完成解答.【详解】解：（1）如图1中，连接BE．∵S四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AC2，∴AB＝BC＝1，∵EF⊥CF，∴∠F＝90°，∴∠FCA＝∠F AC＝45°，∴EF＝FC＝4，∴FB ＝3，∴BE ＝22EF FB +＝2243+＝5．（2）结论：MD ＝MF ，MD ⊥MF ．理由：延长FM 到P ，使得MP ＝MF ，连接PD ，PF ，P A ，延长P A 交CF 于K ．∵EM ＝MA ，MF ＝MP ，∠EMF ＝∠AMP ，∴△EMF ≌△AMP （SAS ），∴P A ＝EF ＝CF ，∠EFM ＝∠APM ，∴PK ∥EF ，∵EF ⊥CF ，∴PK ⊥CF ，∴∠AKC ＝∠ADC ＝90°，∴∠DAK +∠DCK ＝180°，∵∠DAK +∠P AD ＝180°，∴∠P AD ＝∠DCF ，∵CD ＝DC ，∴△P AD ≌△FCD （SAS ），∴DP ＝DF ，∠PDA ＝∠FDC ，∴∠PDF ＝∠ADC ＝90°，∵PM ＝MF ，∴DM ＝MF ＝PM ，DM ⊥FM ．∴DM ＝MF ，DM ⊥MF ．。

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题3（附答案详解）1．如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，下列四个判断中，不正确的是（ ）A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果AD ＝EF ，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果AD 平分∠EAF ，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形 2．如图，直线m ∥n ，直线l 与m 、n 分别相交于点A 和点C ，AC 为对角线作四边形ABCD ，使点B 和点D 分别在直线m 和n 上，则不能作出的图形是（ ）A ．平行四边形ABCDB ．矩形ABCDC ．菱形ABCD D ．正方形ABCD3．在面积为60的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=10，BC=12，则CE+CF 的值为（ ）A ．22-113B ．23+C ．23+ 或22113-D ．22113+或23+4．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，AE ＝1，若点P 为对角线BD 上的一个动点，则△P AE 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图所示，正方形ABCD 的边长为6，M 在DC 上，且DM=4，N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A．332+B．210C．35D．96．如图所示为一-种“羊头"形图案.其作法如下：从正方形①开始，以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以等腰直角三角形的直角边为边.分别向外作正方形②和②……依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．B．C．D．7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点，且EF=4，G是EF的中点，下列结论正确的是（）A．B．AG长度的最小值是C．D．面积的最大值是2=，8．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB AF∠=（）则BFEA．45°B．30°C．60°D．55°9．如图，以正方形ABCD的顶点B为直角顶点，作等腰直角三角形BEF，连接AF、AF=，则正方形ABCD的FC，当E、F、C三点在--条直线上时，若2BE=，3面积是( )A．10B．14C．5D．710．如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（）A．B．C．D．11．如图，点P在正方形ABCD边AD上，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ，若PQ²=PB²+PD²+3，则△PAB的面积为____.12．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=__；（2）PQ+PR=__．13．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是_____．14．如图，在平面直角坐标系中，AD ∥BC ，AD=5，B （-3，0），C （9，0），点E 是BC 的中点，点P 是线段BC 上一动点，当PB=________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形.15．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点B ，D 作DE ⊥a 于点E ，BF ⊥a 于点F ，若DE ＝4，BF ＝3，BC=5,则EF 的长为____________．16．菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒，则以BD 为边的正方形的面积为__________． 17．有一个角是直角的平行四边形是_______；有一组邻边相等的平行四边形是______________；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是___________.18．如图，在矩形ABCD 中对角线AC ，BD 交于点O ，请添加一个条件______________，使矩形ABCD 是正方形（填一个即可）19．□ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ＝5，则四边形ABCD 面积的最大值为___________． 20．如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为1和3，点C 在边BG 上，连接DE ，DG ，EG ，则△DEG 的面积为_______．21．如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作，分别交于点，若，，求的长．22．已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，（1）如图1，E、G分别在AB、AD上，连CF，H为CF的中点，EH与DH的位置关系是，数量关系是．（2）如图2，在图1的基础上，把正方形AEFG绕A点顺时针旋转α（α为锐角），（1）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，在（2）旋转过程中，当点F落在BC上，且AE：AB＝时，有AB平分EF．23．如图，已知△ABC是直角三角形，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.(1)请简述图①变换为图②的过程；(2)若AD=3，DB=4，则△ADE与△BDF的面积之和为________.交24．已知，点A，B分别在x轴，y轴上，K（2，2）是边AB上的一点，CK ABx轴于C．（1）如图①，求OB OC +的值；（2）如图②，延长KC 交y 轴于D ，求ACK OCD S S ∆∆-的值；（3）如图③，点P 为AK 上任意一点（P 不与A ，K 重合），过A 作AE DP ⊥于E ，连EK ，直接写出DEK ∠的度数.25．如图为4×4的网格(每个小正方形的边长均为1)与数轴．(1)求出图①中阴影部分的面积；(2)求出图①中阴影部分正方形的边长；(3)在图②所示的数轴上作出表示8的点A ．26．如图，在矩形ABCD 中，边AB 、BC 的长()AB BC <是方程27120x x -+=的两个根，点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD 边A B C D A →→→→的方向运动，运动时间为(t 秒)．()1求AB 与BC 的长；()2当点P 运动到边BC 上且10AP =时，求t 的值．27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，E 为CA 延长线上一点，D 为AB 上一点，F 为ABC ∆外一点且AC AE AF AD 1,EF //AB ====连接DF ，BF.(1)当CAB ∠的度数是多少时，四边形ADFE 为菱形，请说明理由:(2)当AB= 时，四边形ACBF 为正方形(请直接写出)28．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD 中，使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，探究：(1)如图②，当点Q 在DC 上时，求证：PQ PB =.(2)如图③，当点Q 在DC 延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.29．如图所示，ABC ∆是直角三角形，四边形ABEF 是正方形.15AC =， 8BC =.(1)求正方形的面积；(2)求正方形对角线的长.（精确到1)30．如图1，在正方形ABCD 中，BD 是对角线，点E 在BD 上，BEG ∆是等腰直角三角形，且90BEG ︒∠=，点F 是DG 的中点，连结EF 与CF .(1)求证： EF CF =.⊥.(2)求证：EF CF∆绕点B按顺时针旋转45，其他条件不变，请判断(3)如图2，若等腰直角三角形BEG∆的形状，并证明你的结论.CEF参考答案1．D【解析】【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理判定即可．【详解】A．因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B．如果AD=EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C．因为AD平分∠EAF，所以∠EAD=∠F AD．∵∠F AD=∠EDA，∠EAD=∠FDA，∴EAD=∠EDA，∴AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D．∵AD⊥BC且AB=AC，∴D为BC的中点．∵DE∥CA，DF∥BA，∴E为AB的中点，F为AC的中点，∴AE=AB，AF=AC．∵AB=AC，∴AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．故D选项错误．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定进行解答即可。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题附答案·知识点1正方形的判定1.在菱形ABCD中,若添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是( )A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC平分∠BAD2.(2023·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB=°时,四边形ADCF 是正方形.4.(2023·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.·知识点2正方形的性质与判定的综合应用5.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是( )A.(1,3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,1)6.(2023·益阳中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=1AC,则所得正方形与原正方形重叠部分3的面积是.7.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( )A.1B.√2C.√3D.28.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=√3,则EF的长为( )A.2√3B.2+√3C.√3+1D.39.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30°,其中正确的结论是( )A.①②B.①③C.①②④D.①②③10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.【素养提升】11.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接BE.(1)求证:CE=AD;(2)如图2,当点D是AB中点时,连接CD.(ⅰ)四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(ⅱ)当∠A=°时,四边形BECD是正方形.(直接写出答案)【解题模型】·模型:共顶点的正方形中“手拉手”模型如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;(2)AG⊥CE;(3)HD平分∠AHE.参考答案·知识点1正方形的判定1.在菱形ABCD中,若添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是(B)A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC平分∠BAD2.(2023·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是(C)A.仅①B.仅③C.①②D.②③3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB=90°时,四边形ADCF是正方形.4.(2023·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.【证明】∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形;∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC∴菱形AECF是正方形.·知识点2正方形的性质与判定的综合应用5.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是(A)A.(1,3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,1)6.(2023·益阳中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=1AC,则所得正方形与原正方形重叠部分3的面积是4.7.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为(D)A.1B.√2C.√3D.28.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=√3,则EF的长为(A)A.2√3B.2+√3C.√3+1D.39.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30°,其中正确的结论是(D)A.①②B.①③C.①②④D.①②③10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是2√5.【素养提升】11.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接BE.(1)求证:CE=AD;(2)如图2,当点D是AB中点时,连接CD.(ⅰ)四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(ⅱ)当∠A=°时,四边形BECD是正方形.(直接写出答案)【解析】略【解题模型】·模型:共顶点的正方形中“手拉手”模型如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;(2)AG⊥CE;(3)HD平分∠AHE.。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题2（附答案详解）1．给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．13．有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（）A．1：2B．1:2 C．2:3 D．4:94．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )A．2 B．3 C．22D．35．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误．．的是（）A．选①②B．选选①③C．选②③D．选②④6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为（）A．32B．12C．23D．2137．矩形的对角线长10cm，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（）A．40cm B．10cm C．5cm D．20cm8．下列命题的逆命题不正确的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．正方形的四个角都是直角C．若xy＝0,则x＝0D．平行四边形的对角线互相平分9．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 10．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( ) A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边11．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形AEFG的边长为1cm. 正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_______cm.12．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC ，交DC与点E，将△BCE绕点C 按顺时针旋转90°得到△DCF,若CE=3cm，则BF=_______cm．13．将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后是______（填序号）．14．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为．15．如图所示，在正方形ABCD中，AB=12，点E在CD 边上，且CD=3DE,将△ADE沿着AE 对折至△AFE, 延长EF交边BC与点G, 连接AG, CF.有下列结论:①△ABG≌△AFG ②BG=GC ③AG//CF ④S△FGC=12正确的是_____________(填序号)16．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，则△BEF的面积为_________．的17．已知正方形ABCD的边长为2cm，以CD为边作等边三角形CDE，则ABE面积为______2cm.18．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH=DF；②∠AEF=45°；③S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有_____________________．(填正确的序号)19．AC是边长为1的正方形ABCD对角线，E是AC上一点，连结BE，若∠EBC=22.5°，则CE长是_______________。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习基础过关测试题4（附答案详解）1．下列命题中，假命题是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形2．如图，平面内三点A 、B 、C ，4AB =，3AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是 （ ）A ．5B ．7C ．72D ．7223．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线AC 上一点，且CG =CB ，连接BG ，取BG 上任意一点H ，分别作HM ⊥AC 于点M ，HN ⊥BC 于点N ，若正方形的边长为2，则HM +HN 的值为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．224．如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是( )．A ．15°B ．165°C ．15°或165°D ．90°5．下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形对角线相等B ．矩形的对角线互相垂直C ．菱形的四个角都相等D ．正方形的对角线互相平分6．如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，若E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H 四点，得到四边形EFGH ，则下列结论不正确的是（ ）A ．四边形EFGH 一定是平行四边形B ．当AB =CD 时，四边形EFGH 是菱形C ．当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形 D ．四边形EFGH 可能是正方形7．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.88．下列说法中，错误的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．矩形的对角线互相垂直C ．菱形的对角线互相垂直平分D ．正方形的对角线相等9．以下四个命题①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，其中是真命题的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 10．如图，已知矩形ABCD 的对角线AC ，BD 的长为6 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长为( ) ．A ．18 cmB ．16 cmC ．15 cmD ．12 cm ． 11．如图，已知正方形ABCD 的顶点A(1，1)，B(3，1)，直线y=2x+b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y=2x+b 在y 轴上的截距b 的变化范围是__________．12．如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点．若CF =6，BF =9，AG =8，则△ADC 的面积为_________．13．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．设菱形相邻两个内角的度数分别为mn 、﹒ (1)若我们将菱形的“接近度”定义为m n -，于是m n -越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为70︒，则“接近度”=________；(2)若我们将菱形的“接近度”定义为()m m n n <，则菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形．14．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，12ABC S ∆=，点,D E 分别是,AB BC 的中点，点F 在AC 上，且FD AB ⊥.若点P 为线段DF 上一动点，连接,BP EP ，则BPE ∆周长的最小值是__________．15．已知，如图，正方形ABCD 中，6,AB E =为BC 边上任意一点，将ABE ∆沿直线AE 翻折后得到',AB E ∆延长'EB 交CD 于点F ，且F 点为CD 的三等分点，则BE =__________．16．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠BED =____度．17．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.18．已知▱ABCD ，过点A 作BC 的垂线，垂足为E ，∠BAE ＝30°，BC ＝2，AE ＝3，则点B 到直线AC 的距离为_____．19．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是___cm.20．如图，正方形ABCD 的周长为20cm ，顺次连结正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的面积等于________．21．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A =PE ，PE 交CD 于F .（1）证明：△APD ≌△CPD ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC =120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由.22．如图①，正方形ABCD 的边长为4，动点E 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A ﹣D ﹣A 连续做往返运动；动点G 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿AB 方向运动．E 、G 两点同时出发，当点G 到达点B 时停止运动，点E 也随之停止．过点G 作FG ⊥AB 交AC 于点F ，以FG 为一直角边向右作等腰直角三角形FGH ，使∠FGH ＝90°．设点G 的运动时间为t （秒），△FGH 与正方形ABCD 重叠部分图形的周长为l ．（1）当t ＝1时，l ＝ ．（2）当t ＝3时，求l 的值．（3）设DE ＝y ，在图②的坐标系中，画出y 与t 的函数图象．（4）当四边形DEGF 是平行四边形时，求t 的值．23．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点,A B 的坐标分别为()6,0A ，()6,4B ，D 是BC 的中点，动点P 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O A B D →→→运动，设点P 运动的时间为t 秒（013t <<）.（1）点D 的坐标是______；（2）当点P 在AB 上运动时，点P 的坐标是______（用t 表示）；（3）求POD 的面积S 与t 之间的函数表达式，并写出对应自变量t 的取值范围. 24．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，线段BE 与AC 交于点F . （1）求∠AEB 和∠BFC 的度数；（2）若AD =6，求BE 2的值.25．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上的任意一点，DE ⊥直线AG 于点E ．BF ⊥直线AG 于点F ．（1）如图1，若点G 在线段BC 上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由． （2）若点G 在CB 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．（3）若点G 在BC 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．26．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥BC 交 BE 的延长线于点 F ，连接 CF ．（1）求证：AD ＝AF ；（2）填空：①当∠ACB ＝ °时，四边形 ADCF 为正方形；②连接 DF ，当∠ACB ＝ °时，四边形 ABDF 为菱形．27．（1）已知四边形ABCD 是边长为6cm 的正方形，P Q ，是正方形边上的两个动点，点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向运动，点Q 同时从点D 出发以1/cm s 速度沿→D C 方向运动．设点P 运动的时间为()06t t <<．①如图1，点P 在AB 边上，PQ AC ，相交于点O ，当PQ AC ，互相平分时，求t 的值；②如图2，点P 在BC 边上，AP BQ ，相交于点H ，当AP BQ ⊥时，求t 的值．（2）如图，在小正方形的边长为1的正方形网格中，点A B ，在格点上．①线段AB 的长是_____________；②在网格中用无刻度的直尺，以AB 为边画矩形ABCD ，使这个矩形的面积是132． 要求：保留画图痕迹，并说明点C D ，的位置如何找到的．28．已知：如图，平行四边形ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：△AOD ≌△EOC ；（2）连接AC 、DE ，当∠B =∠AEB =45°时，求证四边形 ACED 是正方形．29．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，AC 为其对角线，∠ABC=60°点M 、N 分别是边BC 、边CD 上的动点，且MB=NC ．连接AM 、AN 、MN ．MN 交AC 于点P ．（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；（2）求点P到直线CD距离的最大值；（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．30．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMB MBC∠=∠，求AMMD的值。

北师大版2020九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3（附答案详解）1．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC ＋BD=82cm ，则EF 的长度为( )A ．1cmB ．2cmC ．22cmD ．4cm2．如图①，点E 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度匀速运动到点D ．图②是点E 运动时，ABE △的面积y （2cm ）随着时间x （s ）变化的关系图象，则菱形的边长为（ ）A ．3B ．4C ．256D ．53．下列说法中正确的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是正方形 C ．平行四边形的对角线平分一组对角D ．矩形的对角线相等且互相平分4．若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．对角线相等的四边形 C ．正方形D ．对角线互相垂直的四边形5．如图，在□ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6,AB=5,则AE 的长为( )A ．9B ．8C ．7D ．106．如图，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（ ）A ．14n - B ．4n C ．2n D ．12n 7．如图，在正方形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，,E F 分别为,BC CD 上的两点，BE CF =，,AE BF ，分别交,BD AC 于,M N 两点，连,OE OF ，下列结论：①AE BF =；②AE BF ⊥；③22CE CF BD +=；④ 14ABCD OECF S S =正方形四边形，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④8．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF ＝20°，则∠DEF 的度数是( )A ．25°B ．40°C ．45°D ．50°9．如图，将边长为3的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中点M 的坐标为（ ）A ．31）B ．（13）C ．332） D ．（323 10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3cm ，若将这个正方形沿射线AD 方向平移2cm ，则平移前后图形的重叠部分面积为（ ）A ．3cm 2B ．4.5cm 2C ．6cm 2D ．9cm 211．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作BE ⊥DP 交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过A 点作AF ⊥AE 交DP 于点F ，连接BF ，若AE =2，正方形ABCD 的面积为___．12．矩形的四个角的平分线所围成的图形是__________.13．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ABE ，则∠BFC =_________°14．已知，如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE ＝CF ，∠BEC ＝75°，∠EFD ＝_______°．15．如图，点E ，F 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．点(4,4)A 在线段EF 上，过A 作AB EF ⊥分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，点P 为线段AE 上任意一点（P 不与A ，E 重合），连接CP ，过E 作ED CP ⊥，交CP 的延长线于点G ，交CA 的延长线于点D ．有以下结论①AC AE =，②CP BE =，③8OB OF +=，④16ABEBOCS S-=，其中正确的结论是_____．（写出所有正确结论的番号）个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形16．如图，在一个由44ABCD的面积比是______（结果需化简）17．如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD=2EC，其中正确结论的序号是_______.18．已知一正方形的对角线长为4，则正方形的面积为________．19．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP.设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是______.20．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧，边AD，EH在直线l上，且AD=7cm，EH=5cm，EF=4cm．保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线l左右移动，连接BF ，CG ，则BF +CG 的最小值为______cm ．21．如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD ，P 是AD 边上一点（不与点A 、D 重合），将正方形纸片沿EF 折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于H ，连接BP ．（1）求证：∠APB ＝∠BPH ；（2）若P 为AD 中点，求四边形EFGP 的面积；（3）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？写出你的结论并证明． 22．如图，四边形 ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，1cm AD =，3cm AB =，5cm =BC ，动点 P 从点 B 出发以 1cm/s 的速度沿 BC 的方向运动，动点 Q 从点 C 出发以 2cm /s 的速度沿 CD 方向运动，P ，Q 两点同时出发，当 Q 到达点 D 时停止运动，点 P 也随之停止，设运动的时间为 ()0t t >秒．（1）求线段 CD 的长；（2）t 为何值时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1:2 两部分.23．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，E 是平面内一点，且CE C B <，过点C 作FC CE ⊥，且CF CE =．连接AE 、AF ，M 是AF 的中点，作射线DM 交AE 于点N .（1）如图1，若点E ，F 分别在BC ，CD 边上．求证：①BAE DAF ∠=∠； ②DN AE ⊥；（2）如图2，若点E 在四边形ABCD 内，点F 在直线BC 的上方，求EAC ∠与ADN ∠的和的度数．24．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝12，∠A ＝60°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向A 点匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF ． （1）AB 的长是 ．（2）在D 、E 的运动过程中，线段EF 与AD 的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF 与AD 是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．25．如图正方形ABCD ，E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且.请问FE 与DE 是否垂直?请说明.26．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果P Q ，分别从A B ，同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=__________，PB=_________；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于35cm？（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？27．如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G.（1）如图1，当∠AEC =120，AE=4时，求FG的长；（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG28．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．29．如图，在ABCD □中，E M 、分别为AD AB 、的中点，DB AD ⊥，延长ME 交CD 的延长线于点N ，连接AN ．(1)证明：四边形AMDN 是菱形；(2)若45DAB ∠=︒，判断四边形AMDN 的形状，请直接写出答案．30．四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上任意一点，BE AG ⊥于点E ，DF AG ⊥于点F .当点G 在BC 边上时（如图1），易证DF-BE=EF .（1）当点G 在BC 延长线上时，在图2中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，并证明；（2）当点G 在CB 延长线上时，在图3中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，不用证明.参考答案1．B【解析】【分析】根据正方形的性质可求得AB=4cm，再根据三角形的中位线定理可得结论. 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，AC=BD，∵AC+BD=82cm,∴AC=42cm，∴AB=4cm，∵E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF=12AB=1422⨯=cm.故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．C【解析】【分析】根据图②可以发现点E运动5秒后△ABE的面积停止了变化，且为最大面积，由此结合图①，当点E在CD上运动时，△ABE面积最大，从而得出AC=5，CD=a，然后根据△ABE 最大面积为2a得出△ABC面积为2a，所以菱形ABCD面积为4a，从而再次得出△ABC 的高为4，然后进一步利用勾股定理求出菱形边长即可.【详解】如图，过C 点作AB 垂线，交AB 于E ，由题意得：△ABC 面积为2a ，AC=5，DC= a ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=DC=BC=a , ∴△ABC 面积=12AB CE ⋅⋅=2a ， ∴CE=4，∴在Rt△AEC 中，AE=， ∴BE= 3a -，∴在Rt△BEC 中，222BC CE BE =+， 即()22243a a =+-，解得：256a =. ∴菱形边长为256.故选：C. 【点睛】本题主要考查了菱形与三角形动点问题的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键. 3．D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A 、B 不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C 不正确，D 正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A 不正确；∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B 不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C 不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，故选D．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．4．B【解析】【分析】根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD 的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．【详解】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EH∥AC，EH＝12AC，FG∥AC，FG＝12AC，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，根据题意得：四边形EFGH是菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD，∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：B．【点睛】本题考查的是中点四边形、菱形的判定，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．5．B【解析】先求AB＝BE＝5，BH＝FH＝3，利用勾股定理求AH＝EH＝4，得AE＝8．【详解】解：∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAG，∴∠BAG＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，由作图可知：AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴BH＝FH＝3，BF⊥AE，由勾股定理得：AH＝EH＝4，∴AE＝8，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．6．A【解析】【分析】求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个正方形之间的阴影面积为正方形总面积的14，由此便可求解．【详解】∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点∴两个正方形之间的阴影面积为正方形总面积的14，即14×1×1＝14，当有三个正方形时，其面积为112 += 444，当有四个时，其面积为1113 ++= 4444，所以当n个正方形时，其面积为1 4n．故选A．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．7．D【解析】【分析】①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可得结论①正确；②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC＝∠BAE，证得∠BAE＋∠ABF＝90°即可知选项②正确；③根据△BCD是等腰直角三角形，可得选项③正确；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形的对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，故①正确；②由①知：△ABE≌△BCF，∴∠FBC＝∠BAE，∴∠FBC＋∠ABF＝∠BAE＋∠ABF＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；③∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD BC ，∴CE ＋CF ＝CE ＋BE ＝BC ＝2BD ， 故③正确；④∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，在△OBE 和△OCF 中，OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ，BE ＝CF ，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE ＝S △OCF ，∴S 四边形OECF ＝S △COE ＋S △OCF ＝S △COE ＋S △OBE ＝S △OBC ＝14S 正方形ABCD ， 故④正确；故选：D ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．8．D【解析】【分析】首先根据题意证明CBE CDE ∆≅∆,则可得CBE CDE ∠=∠ ,根据∠CBF ＝20°可计算的BFC ∠ 的度数，再依据BFC DEF EFD ∠=∠+∠ 进而计算∠DEF 的度数.【详解】 解： 四边形ABCD 为正方形∴ BC=DCACB ACD ∠=∠EC=EC∴ CBE CDE ∆≅∆∴ 20CBE CDE ︒∠=∠=在直角三角形BCF 中，90902070BFC CBF ︒︒︒︒∠=-∠=-=BFC DEF EFD ∠=∠+∠∴∠DEF=50°故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，是基本知识点，应当熟练掌握.9．B【解析】【分析】由正方形和旋转的性质得出AB ＝BC 'BAM ＝∠BC 'M ＝90°，证出Rt △ABM ≌Rt △C 'BM ，得出∠1＝∠2，求出∠1＝∠2＝30°，在Rt △ABM 中，求出AM 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC 'BAM ＝∠BC 'M ＝90°，在Rt △ABM 和Rt △C 'BM 中，'BM AM AB C B =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABM ≌Rt △C 'BM （HL ），∴∠1＝∠2，的正方形绕点B 逆时针旋转30°，∴∠CBC '＝30°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt △ABM 中，AB ，∠1＝30°，∴AB∴AM ＝1，∴点M的坐标为（1，3）；故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．A【解析】【分析】根据题意可得，重叠部分的图形是矩形，根据平移的性质得到矩形的长为3cm，宽为1cm，可得出其面积．【详解】解：∵将边长为3cm的正方形ABCD沿射线AD方向向右平移2cm得到矩形A′B′CD，∴A′B′=AB=3，A′D=3-2=1，∴平移前后图形的重叠部分的面积=3×1=3cm2．故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，矩形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．11．10【解析】【分析】如图，由正方形性质和已知就可以得出∠EAF=∠DAB=90°，AB=AD，可以得出∠1=∠2，由对顶角相等可以得出∠5=∠6，所以∠3=∠4，从而可以证明△AEB≌△AFD，可以求得AE=AF，再利用勾股定理就可以求出EF的值，过点A作AM⊥EF于M，由△AEF是等腰直角三角形，可以得出∠AME=90°，由已知可以证明△AMP≌△BEP，可以得出BE=AM=2，最后由勾股定理求出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，2143AB AD∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AE=AF=2，BE=DF，∴△EAF为等腰直角三角形．在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF=2222+2．过点A作AM⊥EF于M，连接BD，∴AM=MF=EM=122，∠AME=∠BEF=90°，∵点P是AB的中点，∴AP=BP，在△AMP和△BEP中，56AME BEP AP BP ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AMP ≌△BEP （AAS ），∴，∴，在Rt △BED 中，∴S 正方形ABCD =12BD 2=12×2=10． 故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用．熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点是作辅助线构造全等三角形．12．正方形【解析】【分析】根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．【详解】矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．故答案为：正方形．【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．13．60【解析】【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ADE=15°，∠DAC=45°，再求∠DFC，证，可得∠BFC=∠DFC．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，=45°又∵△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠BAE=60°∴AD=AE∴∠ADE=∠AED，∠DAE=90°+60°=150°∴∠ADE=（180°-150°）÷2=15°又∵∠DAC=45°∴∠DFC=45°+15°=60°在和中∴∴∠BFC=∠DFC=60°故答案为：60．【点睛】本题主要是考查了正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ADE=15°．14．30【解析】【分析】先证明△BCE≌△DCF，从而得到∠CFD＝∠BEC＝75°，在Rt△CEF中，CE＝CF可求得∠CEF ＝∠CFE＝45o,再根据∠EFD＝∠CFD－∠CFE计算可得结果.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴△BCE和△CFD是直角三角形，BC＝CD，又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF，∠CEF＝∠CFE＝45o，∴∠CFD＝∠BEC＝75°，∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝75°－45o＝30o.故答案是：30.【点睛】考查了正方形的性质，解题关键是根据证明三角形全等得到∠CEF＝∠CFE＝45o和∠CFE ＝45o.15．①③④.【解析】【分析】如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．首先证明四边形AMON是正方形，再证明△AMF≌△ANB（ASA），△AMC≌△ANE（ASA），△AFC≌△ABE（SSS）即可解决问题.【详解】解：如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．∵A（4，4），∴AM=AN=4，∵∠AMO=∠ONA=90°，∴四边形ANON是矩形，∵AM=AN，∴四边形AMON是正方形，∴OM=ON=4，∴∠MAN=90°，∵CD⊥EF，∴∠FAC=∠MAN=90°，∴△AMF≌△ANB（ASA），∴FM=BN，∴OF+OB=OM+FM+ON-BN=2OM=8，故③正确，同法可证△AMC≌△ANE（ASA），∴CM=NE，AC=AE，故①正确；∵FM=BN，∴CF=BE，∵AC=AE，AF=AB，∴△AFC≌△ABE（SSS），∴S△ABE-S△BOC=S△AFC-S△BOC=S四边形ABOF=S正方形AMON=16，故④正确，当BE为定值时，点P是动点，故PC≠BE，故②错误，故答案为①③④．【点睛】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．5: 8【解析】【分析】用正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积，求出阴影部分的面积，再与正方形ABCD的面积相比即可.【详解】解：阴影部分的面积=144134102⨯-⨯⨯⨯=，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是：10：16＝5：8.故答案为5：8.【点睛】本题考查了正方形的性质，以及割补法求图形的面积，熟练掌握割补法是解答本题的关键. 17．①③④．【解析】【分析】连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，对应角相等可得∠BAP=∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC，对边相等可得PF=EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍解答即可．【详解】解：如图，连接PC，在正方形ABCD中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB，∵在△ABP和△CBP中，AB CBABP CBPBP BP⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP=PC，∠BAP=∠BCP，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∠BCP=∠PFE，∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①③正确；∵PF⊥CD，∠BDC=45°，∴△PDF是等腰直角三角形，∴2PF，又∵矩形的对边PF=EC，∴PD=EC，故④正确；只有点P为BD的中点或PD=AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，但难度不大，连接PC 构造出全等三角形是解题的关键． 18．8【解析】【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】 解：正方形的面积211416822=⨯=⨯= 故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．19．2＜【解析】【分析】根据垂线段最短，A 、O 重合时，点P 到y 轴的距离最小，为正方形ABCD 边长的一半，OA OD =时点P 到y 轴的距离最大，为PD 的长度，即可得解.【详解】当A 、O 重合时，点P 到y 轴的距离最小，1422d =⨯=，当OA OD =时，点P 到y 轴的距离最大，d PD ==，点A 、D 都不与原点重合， ∴2d <≤.故答案为：2d <≤.【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，根据垂线段最短判断出最小与最大值的情况是解题的关键.20．【解析】 【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF+CG=BF+QF ，当B ，F ，Q 三点共线时，BF+CG 的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN ⊥AB 于N ，依据勾股定理即可得到Rt △BNQ 中，BQ=2282217+=，即可得出BF+CG 的最小值为17．【详解】如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ=PG=CG ，FG=QP=5，∴BF+CG=BF+QF ，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF+CG 的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN ⊥AB 于N ，由题可得BN=2×（7-3）=8，NQ=7-5=2，∴Rt △BNQ 中，2282217+=∴BF+CG 的最小值为217故答案为17【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．21．（1）见解析；（3）272；（3）△PHD 的周长不变为定值12，见解析. 【解析】【分析】（1）欲证明∠APB=∠BPH，只要证明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根据EP=EB，推出∠EBP=∠EPB即可证明．（2）如图1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想办法求出EB、CF即可解决问题．（3）△PHD的周长不变为定值12．如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH，分别证明△BP A≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．【详解】（1）∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，∴∠APB=∠BPH．（2）如图1中，作FM⊥AB于M．∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，∴∠ABP=∠EFM．在△ABP和△MFE中，∵A FMEAB MFABP EFM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP≌△MFE，∴ME=AP12=AD=3．在Rt△AEP中，设AE=x，则EP=BE=6﹣x，∴（6﹣x）2=x2+32，∴x94=，∴CF=BM=AB﹣AE ﹣EM34=，∴S四边形EFGP12=⨯（CF+BE）×BC12=⨯（31544+）×6272=．（3）△PHD的周长不变为定值12．证明如下：如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH．由（1）可知∠APB=∠BPQ．在△BP A和△BPQ中，∵90A BQPAPB BPQBP BP∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BP A≌△BPQ，∴AP=PQ，AB=BQ．∵AB=BC，∴BC=BQ．∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，∴△BHQ≌△BHC，∴CH=QH，∴△PDH的周长=DP+PH+DH=（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．【点睛】本题考查了四边形综合题、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．22．（1）5cm；（2）552 -【解析】【分析】（1）作DE⊥BC于E，得△DCE是直角三角形，根据勾股定理即可求解；（2）作QH BC⊥于点H，根据相似三角形判定与性质，先求得四边形ABCD的面积，以及三角形PQC的面积表达式，然后由线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解；【详解】解：（1）如图1，作DE BC⊥于E，则四边形ADEB是矩形．∴1BE AD ==，3DE AB ==，∴4EC BC BE =-=， 在 Rt DEC △ 中，222DE EC DC +=，∴225cm DC DE CE =+=． （2）点 P 的速度为 1cm/s ，点 Q 的速度为 2cm /s ，运动时间为 t 秒，∴cm BP t =，()5cm PC t =-，2cm CQ t =，()52cm QD t =-，且 0 2.5t <≤，作 QH BC ⊥ 于点 H ，如图 2，∴DE QH ，∴DEC QHC ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴DEC QHC ∽，∴DE DC QH QC=，即 352QH t =， ∴65QH t =， ∴()21163532255PQCS PC QH t t t t =⋅=-⋅=-+，()()2111539cm 22ABCD S AD BC AB =+⋅=+⨯=四边形． 分两种情况讨论：①当 :1:3PQC ABCD S S =四边形 时，2313953t t -+=⨯，即 2550t t -+=，解得 1t =，2t =（舍去）； ②:2:3PQC ABCD S S =四边形 时， 2323953t t -+=⨯，即 25100t t -+=， ∵∆<0， ∴方程无解，∴当 t 为秒时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1:2 两部分． 【点睛】此题考查了四边形的综合题，相似三角形的判定与性质，能够根据勾股定理、解直角三角形的知识、三角形的面积公式进行分析讨论是解题的关键.23．（1）①见解析；②见解析；（2）45︒【解析】【分析】（1）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，可知①∠BAE ＝∠DAF 是否成立；可知②DN ⊥AE 是否成立；（2）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，求出∠EAC 与∠ADN 的和的度数.【详解】（1）证明：①在正方形ABCD 中，∴90ABE ADF ︒∠=∠=，AB BC CD AD ===.∵CE CF =，∴BE DF =.∴ABE ADF ∆≅∆.∴BAE DAF ∠=∠.②∵M是AF的中点，∠=∠，∴DAF ADN∠=∠.由①可知BAE DAF∠=∠.∵BAE ADN∵90∠+∠=BAE EAD︒∴90∠+∠=AND EAD︒⊥∴AN DN=，连结FH，CH. （2）解：延长AD至H，使得DH AD∵AD CD⊥，=.∴CA CH在正方形ABCD屮，AC是对角线，∴45︒ACD.∠=∴45∠=∠=.ACH ACD︒∴90∠=∠=.ACH ECF︒∠=∠∴ACE HCF=，又∵CE CF∆≅∆.∴ACE HCF∠=∠∴EAC FHC∵M是AF的中点，D是AH的中点，∥.∴DM FH∠=∠∴ADN AHF∴45∠+∠=∠+∠=∠=ADN EAC AHF FHC AHC︒【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算.24．（1）6；（2）EF与AD平行且相等，理由见解析；（3）t＝4【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝30°，则AC＝2AB，得到AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD＝EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．∴∠C＝30°∵AC＝12∴AB＝6，故答案为：6；（2）EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t．又∵AE＝t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等．（3）能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB＝6，AC＝12．∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE＝AD，即t＝12﹣2t，t＝4．即当t＝4时，四边形AEFD为菱形．【点睛】此题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的判定与性质，直角三角形30度角的性质、动点运动问题以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．25．DE⊥EF,见解析.【解析】【分析】设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a，分别用a表示出EF、DE、DF的长，根据勾股定理逆定理即可证明.【详解】DE⊥EF.证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.∴ DF 2=EF 2+DE 2,∴ FE ⊥DE.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，设出BF ，求出EF 、DE 、DF 是解题关键26．（1）2cm t ，(6)cm t -；（2）当3t =秒时，PQ 的长度等于35cm ；（3）当3t =秒时，五边形APQCD 的面积有最小值，最小值为392cm ．【解析】【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可．（2）利用勾股定理构建方程即可解决问题．（3）利用分割法构建方程，转化为二次函数，即可解决问题．【详解】解：（1）∵P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，∴AP tcm =，∵5AB cm =，∴6PB t cm =-（），∵点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动，∴2BQ tcm =；（2）由题意，由勾股定理，得：(222(6)(2)t t -+=． 解得：135t =-（不合题意，舍去），23t =．∴当3t =秒时，PQ 的长度等于．（3）存在．设五边形APQCD 的面积为S.∵ABCD S =矩形26848(cm )⨯=，()221(6)262PBQ S t t t t cm ∆=-⨯⨯=- ∴()()()ABCD 2222486648339PBQ S t t t t S S t cm ∆=--=-+=-+=-矩形∴当3t =秒时，五边形APQCD 的面积有最小值，最小值为392cm ．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（1）FG ＝2；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质可得出∠DAF=∠F=30°，进一步可求得∠GDF=∠F=30°，从而得出FG=DG ，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2.（2）根据已知条件可证得AE=DH 且AE⊥DH，从而证得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,从而证得AH=MH ，DM=DG ，而AE=DH=DM+MH 即AE=AH+DG.【详解】（1）当∠AEC ＝120°，即∠DAE ＝60°，即∠BAE ＝∠EAG ＝∠DAG ＝30°，在三角形ABE 中，AE ＝4，所以，BE ＝2，AB ＝，所以，AD ＝AB ＝，又DF ∥AE ，所以，∠F ＝∠EAG ＝30°，所以，∠F ＝∠DAG ＝30°，又所以，∠AGD ＝60°，所以，∠CDG ＝30°，所以 FG ＝DG在△ADG 中，AD ＝，所以，DG ＝2，FG ＝2（2）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB,在Rt △ADH 和Rt △BAE 中DH AE AD AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ADH ≌Rt △BAE ，∴∠ADH=∠BAE,∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠ADH+∠DAE=90°，∴∠AND=90°. ∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAG=∠EAG,∵∠ADH=∠BAE,∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE.即∠MAH=∠AMH.∴AH=MH.∵AE ∥DF,∴∠MDF=∠AND=90°,∠DAF=∠F∴∠GDF=∠ADM,∴∠ADM+∠DAF=∠GDF+∠F,即∠DMG=∠DGM.∴DM=DG.∵DH=DM+HM,∴AE =AH +DG.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质等腰三角形的判定，线段的各差关系。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.正方形、矩形、菱形都具有的特征是()A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线平分一组对角3.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分的面积是.4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC=度.5.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是度.【能力巩固】6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为()A.10°B.15°C.20°D.12.5°7.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论:①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为.9.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为.10.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC的中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.【素养拓展】11.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上任意一点，BE⊥AG于点E，DF∥BE，且交AG于点F.若EF=1，BE=3，求DF的长.参考答案【基础达标】1.D2.A3.14.1055.22.5 【能力巩固】6.B7.C8.√5-19.710.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形∴AB=AD ，∠B=∠D=90°，DC=CB. ∵E 、F 分别为DC 、BC 的中点 ∴DE=12DC ，BF=12BC∴DE=BF ，∴△ADE ≌△ABF (SAS).(2)由题知△ABF 、△ADE 、△CEF 均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2∴S △AEF =S 正方形ABCD -S △ADE -S △ABF -S △CEF =4×4-12×4×2-12×4×2-12×2×2=6. 【素养拓展】11.解:∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD ，∠DAB=∠ADC=90°. ∵BE ⊥AG ，DF ∥BE ∴DF ⊥GA.∵∠BAE+∠ABE=90°，∠DAF+∠BAE=90° ∴∠DAF=∠ABE ，且AB=AD ，∠AFD=∠AEB=90° ∴△ABE ≌△DAF (AAS) ∴AE=DF ，AF=BE=3. ∵AE=AF-EF=3-1=2 ∴DF=2.1.3 正方形的性质与判定【基础达标】1.下列说法不正确．．．的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形2.下列命题中的真命题是()A.三个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D.平行四边形是轴对称图形3.黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是.4.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件:，使得该菱形为正方形.5.把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.【能力巩固】6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证:四边形BEDF是正方形.【素养拓展】8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG.(1)求证:AF=BF.(2)如果AB=AC，求证:四边形AFCG是正方形.参考答案【基础达标】1.D2.C3.正方形4.AC=BD或AB⊥BC(答案不唯一)5.(1)等腰直角三角形(2)等腰三角形(3)直角三角形【能力巩固】6.D7.证明:∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°∴四边形BEDF为矩形.又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB∴DF=DE.∴矩形BEDF为正方形.【素养拓展】8.证明:(1)∵AD=CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即得DE是线段AC的垂直平分线∴AF=CF∴∠FAC=∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC=90°得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°∴∠B=∠BAF，∴AF=BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE.又∵E是边AC的中点∴AE=CE.在△AEG和△CEF中∵∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE∴△AEG≌△CEF，∴AG=CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形.∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形.在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF，即得F是边BC的中点.又∵AB=AC，∴AF⊥BC，即得∠AFC=90°∴四边形AFCG是正方形.。

北师大版九年级数学测试卷（考试题）第2课时正方形的判定一、填空题：1. 在正方形ABCD的AB边的延长线上取一点E，使BE = BD，连接DE交BC于F，则∠BFD= °；2. 已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O. ①若OA= OB，且OA⊥OB，则四边形ABCD是，②若AB = BC，且AC = BD，则四边形ABCD是；3. 正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.二、选择题：4. 四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）；A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BDB. AB∥CD，AC = BDC. AD∥BC，∠A =∠CD. AO = CO，BO = C O，AB = BC5. 四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形三、解答题：6．如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）7.如图，△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设Mn交∠ACB的平分线于点E，交∠ACH 的平分线于点F。

⑴说明：EO＝FO；⑵当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；⑶当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有什么关系时，四边形AECF是正方形？答案与提示一、1. 112.5；2. 正方形，正方形；3. 2a.二、4. A；5. D.三、6．（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）==；⑵AC的中点；⑶当O是AC的中点，且AC⊥BC时，四边形AECF是正方形。