2023年上海市徐汇区3月线下中考一模数学含答案

2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1. 已知集合(]2,1A =-，B =Z ，则A B = ______2. 函数sin cos y x x =的最小正周期为______3. 已知 ,a b R ∈，i 是虚数单位．若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=__________． 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 5. 已知函数221x y a =-+为奇函数，则实数a =______ 6. 已知圆锥母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为______（结果中保留π）.7. 已知向量(5,3),(1,2)a b ==-，则a 在b 上投影向量的坐标为________．8. 对任意x ∈R ，不等式2232x x a a -+-≥+恒成立，则实数a 的取值范围为______ 9. 已知集合2|1,2A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R .设函数()12log y x a x A =+∈的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为______10. 已知1F ，2F 是双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过1F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，线段1F N 的延长线交2MF 于点Q ，O 是坐标原点，若126F F ON =，则双曲线Γ的渐近线方程为______11. 动点P 的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且与点A的距离是3，点P 的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为______12. 已知数列{}n a 的各项都是正数，()211,1n n n a a a n n *++-=∈≥N ，若数列{}n a 为严格增数列，则首项1a 的取值范围是______，当123a =时，记()111n n n b a --=-，若1220221k b b b k <++⋅⋅⋅+<+，则整数k =______二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13. 下面四个条件中，使a b >成立的充要条件为（ ）A. 22a b >B. 33a b >C. 1a b >-D. 1a b >+ 14. 函数()21x y x e =-的图象可能是（ ）的的A. B.C. D.15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-16. 已知函数22,0()42,0x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，()1g x kx =+，若函数()()y f x g x =-的图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为（ ）A. 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 16,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()2,-+∞D. ()1,6,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭三、解答题（共78分）17. 已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若1AB =，2CD BC ==，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值大小.18. 在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别a ，b ，c ，已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭； 为（1）求角B 的大小；（2）若2c a =，三角形ABC面积为3，求三角形ABC 的周长；19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线（O '在AB 上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h （米）与D 到OO '的距离a （米）之间满足关系式21140h a =；山谷右侧的轮廓曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h （米）与F 到OO '的距离b （米）之间满足关系式3216800h b b =-+；已知点B 到OO '的距离为40米；（1）求谷底O 到桥面AB 的距离和桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点），桥墩EF 、CD 每米造价分别为k 、32k 万元（0k >）；问：O E '为多少米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低？ 20. 已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为3，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的交点A ，B（1）求椭圆Γ方程；（2）若直线l 的方程为：y x t =+，椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点N （与M 不重合）在椭圆Γ上，求t 的值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D ，若点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫-⎪⎝⎭三点共线，求k 的值；21. 已知定义在R 上的函数()e kx b f x +=（e 是自然对数的底数）满足()()f x f x '=，且()11f -=，删除无穷数列()1f 、()2f 、()3f 、 、()f n 、 中的第3项、第6项、 、第3n 项、 、()N,1n n ∈≥，余下的项按原来顺序组成一个新数列{}n t ，记数列{}n t 前n 项和为n T . （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知数列{}n t 的通项公式是()()n t f g n =，N n ∈，1n ≥，求函数()g n 的解析式；（3）设集合X 是实数集R 的非空子集，如果正实数a 满足：对任意1x 、2x X ∈，都有12x x a -≤，设称a 为的的集合X 的一个“阈度”；记集合(),N,1131324n nT H w w n n n f ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==∈≥⎨⎬⎛⎫+⋅-⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，试问集合H 存在“阈度”吗？若存在，求出集合H “阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；参考答案1.{}1,0,1-.2.π.3.34i +.4.2.5.1.6.16π.7.1(5-，2)5． 8.1[1,2-.9.(]4,5. 10.y =±.11.6π. 12.()0,2；6-13.B. 14.C. 15.A. 16.A ． 17.解（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ,∴AB CD ⊥， 又∵BC CD ⊥且,,AB BC B AB BC ⋂=⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面ABC ，∵CD ⊂平面ACD , ∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵CD ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ，则DC AC ⊥, ∴CAD ∠即为直线AD 与平面ABC 所成的角，2CD BC == ，BC CD ⊥，90BCD ∴∠= ，∴BD =﹐又AB ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ,∴AB BD ⊥，而1AB =，∴AD =， ∴在Rt ACD △中，sin 32CD CAD AD ∠==，又π[0,2CAD ∠∈，故线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为23. 18.解（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin cos sin 22B B B =+，可得tan B =．又因为()0,πB ∈，可得π3B =．（2）由题意，1sin 23ac B =，故223a ⨯=，即3a =，故23c a ==，由余弦定理2221233332b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2b =.故三角形ABC 的周长为2233++=+19.解（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应的垂足，由条件知：当40O B '=米时，31140640160800BB =-⨯+⨯=米，即1160AA =米， 所以O 到桥面AB 的距离为160OO '=米， 由2116040O A '=，解得：80O A '=米， 所以8040120AB O A O B ''=+=+=米， 所以桥AB 的长度为120米；（2）以O 为原点，OO '所在直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图所示： 设()2,F x y ，()0,40x ∈，则3216800y x x =-+， 3211601606800EF y x x =-=+-， 因为80CE =，所以80O C x '=-， 设()180,D x y -，则()2118040y x =-， 所以()221111601608044040CD y x x x =-=--=-+， 设桥墩CD 与EF 的总造价为()f x 万元， 则()3213116064800240f x k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()321316004080080k x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，()()23332080040800kk x x x x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝'⎭，令()0f x '=，得20x =，当()0,20x ∈时，()0f x '<，当()20,40x ∈时，()0f x '>， 故()f x 在20x =处取得极小值，也是最小值， 所以当O E '为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.20.解（1）椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为3，则a =3c a=，则c =，则1b ===则椭圆Γ的方程为2213x y +=； （2）设椭圆上点31,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭关于直线l的对称点(,)N s n 则13222212132n s t n s ⎧+-⎪=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎪+⎩，解之得1232s t n t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，则13(,)22N t t --+ 由N 在椭圆Γ上，可得22122133t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭+=，整理得22520t t -+=，解之得12t =或2t = 当2t =时31,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭与点M 重合，舍去.则12t =（3）设11223344(,)(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，，，，则222211223333x y x y +=+=， 又()2,0P -，则1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+ 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222111(13)121230k x k x k +++-= 则2113211213k x x k +=-+，则2131211213k x x k =--+ 又1112y k x =+，则211131211112271247132y x x x x x y x ⎛⎫⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则13147y y x =+，则11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,令则2222PB y k k x ==+，直线PB 的方程为2(2)y k x =+ 由222(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222(13)121230k x k x k +++-=则2224221213k x x k +=-+，则2242221213k x x k =--+ 又2222y k x =+，则222242222212271247132y x x x x x y x ⎛⎫⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则24247y y x =+，则22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,则()11111117127111,,474472447472x y y QC x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()22222227127111,,474472447472x y y QD x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 由点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫-⎪⎝⎭三点共线，可得//QC QD则()()21122111110447472447472y y x x x x ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭整理得21212()y y x x -=-，则21212y y k x x -==-21.解（1）解：因为()e kx b f x +=，则()e kx b f x k +'=，若()()f x f x '=，即e e kx b kx b k ++=，解得1k =，则()e x b f x +=， 因为()11e 1b f --==，可得1b =，因此，()1e x f x +=. （2）解：当n 为奇数时，设()21N n m m *=-∈，则12n m +=， 此时()33311131222132e e en n m nm t t f m +--+--==-===，此时()312n g n -=；当n 为偶数时，设()2N n m m *=∈，则2n m =，此时，()32132231e en m n m t t f m -+==-==，此时()322n g n -=. 综上所述，()()31324nn g n +-=-. （3）解：()31324nnT w n f =⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为()3113213121e e e m m m m t t +-+--==，()3132232e e em m mm t t ++==，其中N m *∈， 所以，数列{}n t 的奇数项构成以2e 为首项，公比为3e 的等比数列， 数列{}n t 中的偶数项构成以3e 为首项，公比为3e 的等比数列，①当n 为偶数时，()32323e e e 1e 1n n T ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-， 则()()()323232323332e e e 1e e 1e e 1313e 1e 24n nn n n T w n f -⎛⎫+- ⎪⎛⎫+⎝⎭===- ⎪-⎛⎫+-⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭， 此时，w 随着n 的增大而增大，则2331e e e e e 1w ++≤<-； ②当n 为奇数时，()()31312322113e e e1e e 1n n n n n T T t ++++⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭， ()()()()()313123223312323312e e e 1e e 1e e 1e 1e 1313e24n n n nn n T w n f +++-+⎛⎫+-- ⎪ ⎪-⎛⎫+⎝⎭===-- ⎪ ⎪-⎛⎫+-⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭， 此时，w 随着n 的增大而增大，则231e 1e e 1w +≤<-. 因此，当1n ≥且N n *∈，w 的值在区间2331e e ,e e 1⎡⎫+⎪⎢-⎣⎭内，则23434e e 1e 1e 1e e e a ++≥-=--， 故集合H “阈度”的取值范围是44e 1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢-⎣⎭.。

2022年上海市徐汇区中考数学一模试题 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图所示是根据某班级40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，由图像可知该班40同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ）A ．10.5，16B ．9，8C ．8.5，8D ．9.5，162、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ． ·线○封○密○外3、等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（）A．12 B．12或15 C．15或18 D．154、某厂前5个月生产的总产量y（件）与时间x（月）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月产量逐月减少B．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月产量与3月持平C．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月停产D．1﹣3月的月产量逐月持平，4、5两月停产5、如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°6、在式子1a ，20yπ，334ab c，56x+，78x y+，109xy+中，分式的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．57、将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若BC=BE的长是（）A．1 BC．12D．28、如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于直线m：x＝1对称，M，N分别是这两个三角形中的对应点．如果点M的横坐标是a，那么点N的横坐标是( )A．－a B．－a＋1 C．a＋2 D．2－a9、下列命题中，假命题是（）A．如果|a|＝a，则a≥0B．如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣bC．如果ab＞0，则a＞0，b＞0D．若a3＜0，则a是一个负数10、如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y =kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式210kxx++<的解集是( ).·线○封○密○外A ．1x >B ．1x <-C ．01x <<D ．10x -<<第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．2、8点15分，时针与分针的夹角是______________。

第4题图上海市2023年中考数学试卷答案详解（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列运算正确的是（）.A 523a a a ；.B 336a a a ；.C 235a a ；.D a ．【参考答案】A ．【解析过程】52523a a aa ，A 选项正确；3332a a a ，B 选项错误； 23326a a a ，C 选a ，D 选项错误；故选A ．2.在分式方程2221521x x x x）.A 2550y y ；.B 25y y .2510y y ．【参考答案】D ．【解析过程】221x y x ，2221510x y y x ；故选D ．3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）.A 6y x ；.B 6y x ；.C 6y x；.D 6y x．【参考答案】B ．【解析过程】对于正比例函数6y x ，60k ， 函数值y 随x 的增大而增大，A 选项错误；对于正比例函数6y x ，60k ， 函数值y 随x 的增大而减小，B 选项正确；对于反比例函数6y x，60k ， 在每一象限内，函数值y 随x 的增大而减小，C 选项错误；对于反比例函数6y x ，60k ， 在每一象限内，函数值y 随x 的增大而增大，D 选项错误；故选B ．4.某学校的数学兴趣小组统计了不同时间段的车流量如图所示，则下列说法正确的是（）.A 小车的车流量与公车的车流量稳定；.B 小车的车流量的平均数较大；.C 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；.D 小车与公车车流量的变化趋势相同．【参考答案】B ．【解析过程】观察图像可知：小车的车流量起伏较大不稳定，A 选项错误；小车的车流量每个时间段都比公车大，因此平均数较大，B 选项正确；小车与公车车流量在不同时间段达到最小值，C 选项错误；小车车流量先增大再减小再增大，公车车流量先增大再减小，因此变化趋势不同，D 选项错误；故选B ．5.在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）.A //AB CD ；.B AD BC ；.C A B ；.D A D ．【参考答案】C ．【解析过程】//AD BC ，AB CD ， 四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形．若//AB CD ，只能判定四边形ABCD 是平行四边形，A 选项错误；若AD BC ，只能判定四边形ABCD 是平行四边形，B 选项错误；若A B ，//AD BC ，90A B ，又AB CD ，由平行线间的距离处处相等，可知CD AD ，因此6.//DC ，AD ．同学们得出以下两个结论，其中判断正确的是（）①AC .A .C DO ，AD C 7.分解因式：29n．【参考答案】 33n n ．【解析过程】 2229333n n n n ．8.化简：2211xx x的结果为．【参考答案】2．【解析过程】 21222221111x x x x x x x．9.已知关于x 2 ，则x．【参考答案】18．214418x x （经检验，18x 是原方程的解）．10.函数 123f x x的定义域为．【参考答案】23x ．【解析过程】由分式的分母不为零，可得23023x x ．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x 没有实数根，那么a 的取值范围是．【参考答案】9a ．【解析过程】由题意，可得093640a a a．12.在不透明的盒子中装有1个黑球、2个白球、3个红球、4个绿球，这10个球除颜色外完全相同，那么从中随机摸出一个球是绿球的概率是．13.，那么这个正多边形的边数为．3601820．14.满足0a ，0b ，0c 即可）0，0c ，又其对称轴左侧的部分是上升21y x ．15.如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，2BD AD ，且//DE BC ．设AB a ，AC b，那么DE．（用a 、b表示）【参考答案】1133a b．【解析过程】由题意，可知13DE AD BC AB ，故13DE BC1111133333BA AC AB AC a b a b ．第15题图第16题图16.“垃圾分类”是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为吨．【参考答案】1500．【解析过程】由扇形统计图，可得可回收垃圾占比为150%29%1%20% ，故全市可收集的干垃圾总量为6050%10150020%吨．17.如图，在ABC 中，35C ，将ABC 绕点A 旋转 （0180 ）度角，使点B 落在边BC 上的点D 处，若AD 平分BAC ，则 度．【参考答案】110．，，由三角形内角和得 ，18.在，⊙．又三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）2133．【参考答案】6．【解析过程】原式22936．20.（本题满分10分）解关于x的不等式组：36152x xxx．【参考答案】34x．【解析过程】3626333422103124152x xx x xxxx x x xx．即原不等式组的解为34x．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且4cos5ABC，2OB OC．（1）求⊙O的半径；（2）求BAC的正切值．【参考答案】（1）5；（2）94．【解析过程】（1）如图所示，作OD AB于点D，由垂径定理可得142AD DB AB．在Rt ODB中，44cos cos5DBABC OBDOB OB，解得5OB ，即⊙O的半径为5．（2）如图所示，作CE AB于点E，可得//OD CE，因此OD DB OBCE BE CB．又3OD ，2OB OC，故342233OCCE BE OC，解得92CE ，6BE ．在Rt ACE中，992tan864CECAEAE，即BAC的正切值为94．第21题图第23题图某加油站现有面值为1000元的会员卡，购买该卡可以打九折．若用此卡内的金额来加油，则每升油在原价的基础上还可以减价0.3元．某人购买了此会员卡，并将卡内金额一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）假设优惠后该人加油的实际单价为y 元/升，每升油的原价为x 元/升，请写出y 关于x 的函数关系式（不必写出定义域）；（3）若每升油原价为7.3元/升，那么优惠后的实际单价与原价的差值为多少？【参考答案】（1）900（元）；（2）0.90.27y x ；（3）1（元）．【解析过程】（1）由题意，可得100090%900 （元），即他实际花了900（元）购买会员卡．（2）该人实际花费900（元），实际单价为y 元/升，购买油量为900y升；会员卡面值为1000（元），会员卡加油每升为 0.3x 元/升，购买油量为10000.3x 升；由油量相等可列方程90010000.3y x ，化简得0.90.27y x ，即y 关于x 的函数关系式为0.90.27y x ．（3）当7.3x 时，可得0.97.30.27 6.3y ，7.3 6.31x y ，即优惠后的实际单价与原价的差值为1（元）．23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点F 、E 分别在线段BC 、AC 上，且FAC ADE ，AC AD ．（1）求证：FC AE ；（2）若ABC CDE ，求证：2AF BF CE ．【参考答案】（1）证明如下；（2）证明如下．【解析过程】（1）如图所示，//AD BC ，ACF DAE ，又AC AD ，FAC ADE ，ACF DAE ≌（..A S A ），FC AE ．（2）如图所示，由外角可得AFB ACF FAC ，CED DAE ADE ，又ACF DAE ，FAC ADE ，AFB CED ．又ABC CDE ，AFB CED ∽，AF BFCE DE．又ACF DAE ≌，AF DE ．可得AF BF CE AF，即2AF BF CE ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上（不与点B 重合），以C 为顶点的抛物线2:M y ax bx c （0a ）经过点B ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）求b 、c 的值；（3）平移抛物线M ，使得点C 平移至点P ，点B 平移至点D ，联结CD ，且//CD x 轴，如果点P 在x轴上，且新抛物线经过点B ，求新抛物线N 的表达式．【参考答案】（1） 8,0A ， 0,6B ；（2）32b ，6c ；（3） 2316y x ．时，解得8x ；当x （2）6 ．在线段将a 242432．（3因为点 ,0P p 是由点3,64C t t平移得到的，因此抛物线M 向左或向右平移后再向下平移364t 个单位得到新抛物线N ．又点D 是由点 0,6B 平移得到的，所以点D 的纵坐标为34t．又//CD x 轴，所以C D y y ，即364t 34t 4t ．又3342416C b x t a a a，所以抛物线233:6162M y x x ．设抛物线N 的顶点式为 2316y x p ，因为新抛物线经过点B ，将 0,6B 带入 2316y x p ，第25题图1第25题图2可得 236016p p ，故抛物线N 的表达式为 2316y x ．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）②小题5分，第（3）小题5分）已知在ABC 中，AB AC ，点O 在边AB 上，点F 为边OB 中点，以O 为圆心、OB 为半径的圆分别交BC 、AC 于点D 、E ，联结EF 交OD 于点G ．（1）如图1，如果OG GD ，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图2，联结OE ，如果90BAC 时，OFE DOE ，4AO ，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果BGO 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF ，求OGOD的值．【参考答案】（1）证明如下；（2）133【解析过程】（1）AB AC ，ABCOB OD ，OBD ODB ．//ODB AC OD ．又OG //BD ．（2又 又90EAF OAE ，AFE AEO ∽，2AF AE AE AO AF AE AO．设OE OB x ，则1122OF OB x，1442AO AF x．又222216AE OE AO x ，因此221164423202x x x x．解得1x ，负舍，故1x ．即边OB 的长为1（3）首先排除OB OG ，因为假如OB OG ，由OB OD ，可推得点G 、D 重合，从而推得G 、D 、C 、E 重合，此时点A 和点O 必重合，又点F 为边OB 中点，这与AO OF 矛盾，故舍．因此只能OB BG ，如图所示，倍长GF 至点'G ，由'GF FG ，'GFB G FO ，FB FO ，可得''GFB G FO GF G F ≌，'OG BG OB OE ，'OEG OG F ．又//AC OD ，AO OF ，1'EG AOEG GF G F GF OF．由以上可得'OEG OG F OG OF ≌．又OF FB ，OD OB ，所以OG GD ，故12OG OD ．。

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2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学　试卷 2020。

1(时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题,共25题;答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是322-+-=x x y （A ）该函数图像有最高点； （B ）该函数图像有最低点；)3,0(-)3,0(-（C ）该函数图像在轴的下方； （D)该函数图像在对称轴左侧是下降的．x 2．如图,，，，,那么EF CD AB ////2=AC 5=AE 5.1=BD 下列结论正确的是(A); （B ）;415=DF 415=EF （C); （D ）415=CD 415=BF ．3．已知点是线段上的点，且,那么的值是P AB AB BP AP ⋅=2AB AP :（A)； （B ）； (C)； （D ）．215-253-215+253+4．在中，，，，那么下列结论正确的是ABC Rt ∆︒=∠90B 3=BC 5=AC （A);（B ）;（C ）； （D ）．43sin =A 54cos =A 45cot =A 34tan =A 5．跳伞运动员小李在米的空中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时小李离200A ︒60着落点的距离是A AB C D EF（第2题图）（A)米; （B)米； （C ）米； (D)米．20040033200334006．下列命题中，假命题是(A)凡有内角为的直角三角形都相似；︒30（B ）凡有内角为的等腰三角形都相似； ︒45(C ）凡有内角为的直角三角形都相似； ︒60(D)凡有内角为的等腰三角形都相似．︒90二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：__▲___．=︒⋅︒-︒45tan 30cot 60sin 28．已知线段厘米、厘米,那么线段、的比例中项__▲___厘米． 4=a 9=c a c =b 9．如果两个相似三角形的对应高比是，那么它们的相似比是__▲___．2:310．四边形和四边形是相似图形，点、、、分别与点、、ABCD D C B A ''''A B C D A 'B '、对应，已知，，，那么的长是__▲___．C 'D '3=BC 4.2=CD 2=''C B D C ''11．已知二次函数，如果，那么随的增大而__▲___．2)2(2+=x y 2->x y x 12．同一时刻,高为米的学校旗杆的影长为米，一座铁塔的影长为米，那么此铁塔12921的高是__▲___米．13．一山坡的坡度，小刚从山坡脚下点处上坡走了米到达点处，那么3:1=i P 1050N 他上升的高度是_▲_米．14．在中，点分别在边上，，，，，ABC ∆E D 、AC AB 、6=AB 4=AC 5=BC 2=AD ，那么的长是__▲___．3=AE DE 15．如图,在中，,，,正方形内接于，ABC Rt ∆︒=∠90C 2=AC 1=BC DEFG ABC ∆点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长是F G 、BC AC 、E D 、AB DEFG __▲___．16． 如图，在中,点在边上,，，，，ABC ∆D BC AC AD ⊥C BAD ∠=∠2=BD 6=CD那么的值是__▲___．C tan 17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，是“中垂三角ABC ∆形”,其中的中线互相垂直于点,如果，，那么ABC ∆CE BD 、G 9=BD 12=CE 两点间的距离是__▲___．E D 、18．如图,在矩形中，，,将矩形绕着点顺时针旋转后ABCD 3=AB 4=AD ABCD B 得到矩形，点的对应点在对角线上，点D C B A '''A A 'AC 、分别与点、C D C '对D '应，与边交于点，那D A ''BCE 么的长是__▲___．BE 三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分)19．（本题满分10分）已知：．5:3:2::=c b a （1）求代数式的值；cb a cb a -++-323 （2)如果,求、、的值．243=+-c b a a b c 20．(本题满分10分）已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如下表所示:)0(2≠++=a c bx ax y x y x (01)234…y…31-0m…（第18题图）A BCD （第16题图）ABCD（第15题图）AB CDE F G（第17题图）ABCDE G（1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和的值；m （2）设该二次函数图像与轴的左交点为,它的顶点为，该图像上点的横坐标为，求x B A C 4的面积．ABC ∆21．(本题满分10分)如图，一艘游轮在离开码头处后，沿南偏西方向行驶到达处，此时从处发现灯塔A ︒60B B 在游轮的东北方向，已知灯塔在码头的正西方向米处，求此时游轮与灯塔的距离C C A 200C （精确到米）．1参考数据：，，414.12≈732.13≈.26≈22．（本题满分10分）如图,在中，是的角平分线,，,．ABC ∆BE AD 、ABC ∆CE BE =2=AB 3=AC （1)设,=,求向量（用向量、表示）；AB a = BC b BE a b（2）将沿直线翻折后，点与边上的点重合，联结,求的值．ABC ∆AD B AC F DF CEB CDF S S ∆∆:23．（本题满分12分）如图,在中，点、、、分别在边、、上，，，ACB ∆D E F G AB AC BC AD AB 3=AE CE 2=，与交于点．CG FG BF ==DG EF H A DE ABCDE（第22题图）（1）求证： ； AB HG AC FH ⋅=⋅（2）联结、，求证：．DF EG GEF FDG A ∠+∠=∠24．（本题满分12分）如图,将抛物线平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正4342+-=x y C x 半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是．B BC 4tan =B x AD （1）求点的坐标；D （2）设点在新抛物线上,联结、，如果平分，求点的坐标；E AC DC CE DCA ∠E （3）在(2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当4342+-=x y x C F DEF∆和相似时,请直接写出平移后所得抛物线的表达式．ABC ∆25．（本题满分14分）如图，在中，，,点是边上的动点（点不与点、重ABC ∆5==AC AB 6=BC D AB D A B 合），点在边的延长线上，，,与边交于点．G AB A CDE ∠=∠ABC GBE ∠=∠DE BC F4342+x(1）求的值;A cos （2)当时,求的长；ACD A ∠=∠2AD （3)点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化?如果不变化，请求D AB BE AD :的值；BE AD :如果变化,请说明理由．2019学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：(本大题共6题，每题4分,满分24分)1．C; 2．D ； 3．A ； 4．B; 5．D ； 6．B ．二．填空题:（本大题共12题，满分48分）7．； 8．; 9．； 10．； 11．增大； 12．；062:3582813．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．．5025752215825三、(本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19。

上海市徐汇区2023届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知全集U =R ，集合{|0}A x x =>，则A =__________.2．在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=_____________.3．不等式25123x x x +≥++的解集为____________.4．函数tan y x =在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点是___________.5．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，()e 1xf x =-，则()f x 的值域是_______6．在92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，3x 项的系数是___________.7．已知圆锥的侧面积为2π，且侧面展开图为半圆，则底面半径为____.8．在数列{}n a 中，12a =，且()1lg21n n na a n n -=+≥-，则100a =__________.9．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件A ，则事件A 发生的概率()P A =___________.10．在ABC 中,4AC =,且AC 在AB方向上的数量投影是-2,则()R BC BA λλ-∈ 的最小值为____________.11．设R k ∈，函数243y x x =-+的图像与直线1y kx =+有四个交点，且这些交点的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则22221234x x x x k+++的取值范围为___________.12．已知正实数,a b满足326a b +=，则b ___________.二、单选题13．设0ab >,则“a b >”是“11a b<”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知圆1C 的半径为3，圆2C 的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）A ．0B ．4C ．8D ．1215．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊂，b β⊂，c γ⊂，则直线a 、b 、c 位置关系不可能是（）A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．设数列{}n a 为：111111*********,,,,,,,,,,,,,,,22444488888888⋅⋅⋅，其中第1项为11，接下来2项均为12，再接下来4项均为14，再接下来8项均为18，…，以此类推，记1nn i i S a ==∑，现有如下命题：①存在正整数k ，使得1k a k <；②数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是严格减数列.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小.18．已知()()()21ln 1R 2f x x a x ax a =-++∈.(1)当0a =时，求函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当(]0,1a ∈时，求函数()y f x =的单调区间.19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以EF 中点A 为圆心,FG 为半径的扇形草坪区ABC ,点P 在弧BC 上（不与端点重合）,AB 、弧BC 、CA 、PQ 、PR 、RQ 为步行道,其中PQ 与AB 垂直,PR 与AC 垂直.设PAB θ∠=.(1)如果点P 位于弧BC 的中点,求三条步行道PQ 、PR 、RQ 的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ 、PR 、RQ 开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）20．已知曲线i C 的方程为()221R,1,2,3i i x y i λλ+=∈=，直线l ：()1y k x =+与曲线i C 在第一象限交于点(),i i i P x y .(1)若曲线1C 是焦点在x轴上且离心率为2的椭圆，求1λ的值；(2)若1k =，21λ≠-时，直线l 与曲线2C 相交于两点M ，N，且MN =2C 的方程；(3)是否存在不全相等1λ，2λ，3λ满足1322λλλ+=，且使得2213x x x =成立.若存在，求出2x 的值；若不存在，请说明理由.21．对于数列{}n x ，{}n y ，其中n y ∈Z ，对任意正整数n 都有12n n x y -<，则称数列{}n y 为数列{}n x 的“接近数列”.已知{}n b 为数列{}n a 的“接近数列”，且1nn i i A a ==∑，1nn i i B b ==∑.(1)若14n a n =+（n 是正整数），求1b ，2b ，3b ，4b 的值；(2)若139210n n a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（n 是正整数），是否存在k （k 是正整数），使得k k A B <，如果存在，请求出k 的最小值，如果不存在，请说明理由；(3)若{}n a为无穷等差数列，公差为d，求证：数列{}n b为等差数列的充要条件是d∈Z.参考答案：1．{0}【分析】先化简集合A ，再利用集合补集的定义求解即可.【详解】由0x >解得0x ≠，所以{|0}A x x =≠，所以{0}A =，故答案为：{0}2．2【分析】由已知求得z ，进一步得到z ，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．【详解】解：由题意，1i z =-，∴1i z =+，2(1i)(1i)1i 2z z ∴⋅=-+=-=．故答案为：2．3．[]2,1-【分析】由一元二次不等式的解法求解，【详解】2230x x ++>恒成立，原不等式可化为2523x x x +≥++，即220x x +-≤，解得21x -≤≤，故答案为：[]2,1-4．π【分析】根据零点的定义，求解简单的三角方程，即可求得结果.【详解】令tan 0x =，解得,Z x k k π=∈，又x ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故可得x π=.即函数tan y x =在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点是π.故答案为：π.5．()1,1-【分析】由函数奇偶性可得函数在R 上的解析式，做出图像即可求得值域.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()e 1x f x =-，则0x >时，()()e 1xf x f x -=--=-+，所以()e 1,0e 1,0x x xf x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，作出函数图像如下图所示：由图像可知：函数()f x 值域为()1,1-.故答案为：()1,1-6．672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为9992192()(C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-，令923r -=，得3r =，所以3x 项的系数是339(2)C 672-=-.故答案为：672-.7．1【分析】设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，根据题意可求得母线长，从而可求得底面圆的周长，即可得出答案.【详解】解：题中圆锥展开图如图，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，因为圆锥的侧面积为2π，且侧面展开图为半圆，所以2122l ππ=，所以2l =，故底面圆的周长为1422ππ⨯=，即22ππ=r ，解得1r =，所以底面半径为1.故答案为：18．4【分析】利用递推公式累加即可求解.【详解】由题意可得1lg1n n n a a n --=-，所以212lg 1a a -=，323lg 2a a -=，……，10099100lg 99a a -=，累加得10012310023100lg lg lg lg lg100212991299a a ⎛⎫-=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯== ⎪⎝⎭，所以100124a a =+=，故答案为：49．29【分析】根据茎叶图利用古典概型的计算公式求解即可.【详解】从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为：(88,95),(88,98),(88,98),(91,95),(91,98),(91,98),(92,95),(92,98),(92,98),(92,95),(92,98),(92,98),(96,95),(96,98),(96,98),(98,95),(98,98),(98,98)，共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种，所以()42189P A ==，故答案为：2910．【分析】根据AC 在AB方向上的数量投影先求出120BAC ∠= ,取BA BD λ= ,则BC BA DC λ-= ,即求DC的最小值,过点C 作AB 的垂线即可求得.【详解】解:由题知AC 在AB方向上的数量投影是-2,cos 2AC BAC ∠=∴-,4AC = ,1cos 2BAC =-∴∠,即120BAC ∠= ,记BA BD λ= ,则BC BA BC BD DC λ-=-= ,若求()R BC BA λλ-∈ 的最小值即求DC的最小值,过点C 作AB 的垂线交AB 于点D ,此时DC最小,如图所示:sin 4DC AC BAC ∴=∠=⨯故答案为:11．182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，以及k 的范围，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 作图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；且14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k =+-> ，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k =--> ，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k +++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.12．2913【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.【详解】设直线326x y +=，点(,)P a b 在直线326x y +=上，且在第一象限，设点(0,1),(,0)A M a ，所以b b PM PA ++，如图所示，点A 关于直线326x y +=对称的点设为(,)B m n ，则有1233162n m m n -⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得24132913m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以PM PA PM PB +=+，由图可知，当,,B P M 在直线2413x =时，PM PB +最小，最小值为2913n =，即b 2913，故答案为：2913.13．C【分析】由0ab >可推出,a b 同号,则根据a b >分类讨论可得出11a b <,根据11a b<,两边同乘ab 可得a b >,即可选出选项.【详解】解:由题知0ab >,则,a b 同号,当0a b >>时,有110a b<<,当0a b >>时,有110a b<<,故a b >能推出11a b<,当11a b<成立时,又0ab >,对不等式两边同时乘以ab 可得b a <,故“a b >”是“11a b<”的充分必要条件.故选:C 14．C【分析】根据两圆相交圆心距R r d R r -<<+验证各选项即可.【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距R r d R r -<<+即410d <<，仅有C 满足，故选：C 15．B【分析】作出平面以及平面的直线的所有情况即可求解.【详解】如图1，可得a ，b ，c 可能两两垂直；如图2，可得a ，b ，c 可能两两相交；如图3，可得a ，b ，c 可能两两异面.对于B ，如图，假设////a b c ，m αγ= ，可得//m b ，平面,,αβγ两两垂直，∴m β⊥， b β⊂，∴m b ⊥，这与//m b 相矛盾，∴假设不成立，故B 不正确；故选：B.16．D【分析】由题规律找出n a 的表达式，利用不等式的性质判断即可，对n 进行分类讨论写出n S ，从而求出nS n ，利用101n n S S n n+-<+即可.【详解】由题意得：当1221(N )k k n k -*≤≤-∈时，其中()112,021N k k n m m m --=+≤≤-∈，111122n k k a m--=≥+，所以不存在正整数k ，使得1k a k<，故①为假命题；当()21N k n k *=-∈时111111124822482k n k S k --=+⨯+⨯+⨯++⨯= ，所以11(1)1(1)n n n nn n S S S n n n n S ++-+-=++1(1)n n na S n n +-=+()1212(1)kk k n n -⨯-=+()1120(1)k k n n --=<+当()112,0222,N k k n m m k m --=+≤≤-≥∈时；11(1)1(1)n n n nn n S S S n n n n S ++-+-=++1(1)n nna S n n +-=+()()()1111121122(1)k k k m k m n n ---⎡⎤+⨯--++⨯⎢⎥⎣⎦=+()11220(1)k k n n ---=<+故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是严格减数列，所以②为真命题.故选：D.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1AB C 的一个法向量，利用向量法求解即可【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为AC AB ⊥，1AA AC ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B .因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥.因为1BE AB ⊥，AC BE ⊥，1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB = ，()2,0,BE a =- ，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =- ，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-.又()12,2,2B D =--设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则11πsin cos 2BE B D BE B Dθθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 因此，直线1B D 与平面1AB C所成角的大小为.18．(1)10y +=(2)答案见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系求解，【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x =-，()11f x x'=-，所以()11f =-，()10f '=.所以函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=.（2）因为()()21ln 12f x x a x ax =-++，定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111111ax a x x ax f x a ax x x x-++--'=-++==.①当01a <<时，()f x 与()f x '在()0,∞+上的变化情况如下：x ()0,1111,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值()112a f =--单调递减极小值11ln 12f a a a ⎛⎫=---⎪⎝⎭单调递增所以函数()y f x =在()0,1及1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内严格增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭内严格减；②当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数的单调增区间为()0,∞+.综上，当01a <<时，函数()y f x =的单调增区间为()0,1及1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1a =时，函数()y f x =单调增区间为()0,∞+.19．(1)200+(米)(2)2022万元【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;(2)将PQ 、PR 、RQ 三边通过图中的关系用关于θ的等式表示,再记经济总效益W ,将W 进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.【详解】（1）解:由题200,100,AC EA EC ==∴=π3EAC ∴∠=,同理π3FAB ∴∠=,故π3BAC ∠=,由于点P 位于弧BC 的中点,所以点P 位于BAC ∠的角平分线上,则πsin 200sin 1006PQ PR PA PAB ==⋅∠=⨯=,cos 200AQ AP PAB =∠==,因为π3BAC ∠=,AQ AR ==,所以ARQ 为等边三角形,则RQ AQ ==,因此三条街道的总长度为100100200100l PQ PR RQ =++=+++.（2）由图可知sin 200sin PQ AP θθ==,sin 200sin 100100sin 33PR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 200cos AQ AP θθ==,cos 200cos 100cos 10033AR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在ARQ 中由余弦定理可知:222π2cos3RQ AQ AR AQ AR =+-()()22200cos 100cos θθθ=++()2200cos 100cos cos 3πθθθ-⨯+30000=,则RQ =设三条步行道每年能产生的经济总效益W ,则()5 5.9W PQ PR RQ =+⨯+⨯()200sin 100sin 5θθθ=+-⨯+π1000sin 3θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即π6θ=时W 取最大值,最大值为10002022+≈.答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.20．(1)12λ=(2)221x y +=或2231x y -=(3)存在，21x =【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中,,a b c 的关系即可求解,（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解，（3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，根据假设1322λλλ+=，代入2211i i i k x k λλ-=+即可化简求解.【详解】（1）由题得10λ>，曲线1C 为：22111y x λ+=，又离心率为2c a =，1a =，则2c =，又因为21112λ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因此，12λ=.（2）设(),M M M x y ，(),N N N x y ，联立方程2221,1x y y x λ⎧+=⎨=+⎩得()()22221210x x λλλ+++-=，因为21λ≠-，()()222244114λλλ∆=-+-=则2221M N x x λλ-+=+，2211M N x x λλ-=+，所以，21MN λ==+，解得21λ=或3-.因此，曲线2C 的方程为：221x y +=或2231x y -=.（3）联立()221,1i x y y k x λ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得()22211i k x x λ+=-，又0i x >，得()211i k x x λ+=-，解得2211i i i k x k λλ-=+，假设存在1322λλλ+=（1λ，2λ，3λ不全相等），使得2132x x x =成立.故()()()()2222132222213111111k k k kk k λλλλλλ--⎛⎫-= ⎪+++⎝⎭，有()()4224213132242242131322112112k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλ+-++-=+++++，进一步有()()22132422421313222411112k k k k k k λλλλλλλλλ+-=-+++++，化简得222242242132********k k k k k k λλλλλλλ=++++，由(),i i i P x y 在第一象限，0i x >且()10i i y k x =+>，得0k >.（i ）20λ=，则130λλ+=，21x =，131x x =；（ii ）20λ≠，则424132k k λλλ=，得2132λλλ=，又因为1322λλλ+=，则123λλλ==与已知矛盾.综上所述：存在1322λλλ+=（1λ，2λ，3λ不全相等），使得2213x x x =成立，此时21x =【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采用联立方程，得韦达定理.常采用设而不求的思想.常用的做题思路为：(1)设直线的方程为y kx m =+，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ，(2)联立直线与曲线的方程，得韦达定理1212,x x x x +，或者1212,y y y y +(3)根据交点坐标计算相关量（例如斜率，弦长等），利用其满足的性质和题目中的条件求得参数值或者参数,k m 的关系.21．(1)11b =，22b =，33b =，44b =(2)存在，min 17k =(3)证明见解析【分析】（1）由“接近数列”得定义可直接求出1b ，2b ，3b ，4b 的值；（2）分n 为奇数和偶数讨论，求出{}n b ，在此基础上，分奇偶令0k k B A ->，结合指数函数性质即可求解；（3）先证若d ∈Z 时，则{}n b 为等差数列，且公差也为()d d ∈Z ，由12n n a b -<去绝对值得1122n n n a b a -<<+，即1111122n n n a b a +++-<<+，两式作差即可求证；再证若{}n b 为等差数列，则d ∈Z ，结合绝对值三角不等式得111111*********n n n n n n n a a a b b b b a a b b b b a n d +++++++'-=-+-+-≤-+-+-<+，111111111n n n n a a b b a b b a n d ++++'-≥---+->-，两式处理得1||1n d n d n d ''-≤≤+，化简即可求证.【详解】（1）因为14n a n =+，所以123411111,2,3,44444a a a a =+=+=+=+，又因为{}n b 为数列{}n a 的“接近数列”，n b ∈Z ，所以12n n b a -<，只能是11b =，22b =，33b =，44b =；（2）当n 为奇数时，139210n n a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数139210x y +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调性可知132n a a <≤，即3231,2100n a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得1312,2100n a ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，进一步有2n b =，当n 为偶数时，139210n n a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由函数139210x y +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调性可知232n a a ≤<，即7713,10002n a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，得22911,10002n a ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，进一步有1n b =，综上所述：()()*2,211,2n n k k b n k k ⎧=+∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N ，由前n 项和公式化简得38191219010nn A n ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()()*31,2123,22n n n k k B n n k k +⎧=+∈⎪⎪=⎨⎪=∈⎪⎩N N ，当k 为偶数时，令819901011901010kkk kB A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫->⇒-->⇒>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦无解；当k 为奇数时，令18199140102190101081k kk k B A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫->⇒-+>⇒<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，91014lg 16.6681k >≈，即min 17k =.因此，存在k （k 是正整数），使得k k A B <，且min 17k =；（3）充要条件为：d ∈Z .①若d ∈Z 时，由题意对于任意正整数n 均有12n n a b -<恒成立，且n b ∈Z ，则1122n n n a b a -<<+，1111122n n n a b a +++-<<+，从而11111n n n n n n a a b b a a +++--<-<-+，即111n n b b d +-<--<.因为n b ∈Z ，d ∈Z ，所以10n n b b d +--=，即1n n d b b +=-.因此{}n b 为等差数列，且公差也为()d d ∈Z ；②若{}n b 为等差数列，设公差为()d d ''∈Z ，111111*********n n n n n n n a a a b b b b a a b b b b a n d +++++++'-=-+-+-≤-+-+-<+，又111111111n n n n a a b b a b b a n d ++++'-≥---+->-，即1||1n d n d n d ''-≤≤+，亦即()11d d n n'-≤-≤对任意正整数n 都成立，所以，d d '=，又d '∈Z ，得d ∈Z .因此，所求充要条件为d ∈Z .【点睛】本题整体难度较大，处理第二小问时设计分类讨论思想，融合了数列，函数、不等式，对计算有较高要求；第三小问对充要条件的证明特别是绝对值三角不等式的应用，思维难度高，拼凑法不易想到.对于绝对值三角不等式，我们应掌握：a b a b a b -≤±≤+；对于数列中含()1n-此类数列，我们要注意分奇偶对数列讨论.。

一、单选题二、多选题1. 关于函数的下列结论，错误的是A ．图象关于对称B．最小值为C ．图象关于点对称D．在上单调递减2. 在四棱锥中，平面，，点M是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）．A．B．C．D．3. 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（）A．B．C．D．4.已知等差数列}的前n 项和为，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 若，，则（ ）A．B．C．D．6. 下列四个结论中，正确结论的个数为（ ）个．（1）函数与函数相等；（2）若函数（且）的图象没有经过第二象限，则；（3）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为；（4）若函数的最大值为，最小值为，则．（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 设，则（ ）A ．B ．C ．1D ．28. 一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为（ ）A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.219. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）上海市徐汇区2023届高三一模数学试题上海市徐汇区2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题A ．曲线在处的切线方程为B ．恰有2个零点C．既有最大值，又有最小值D ．若且，则10.已知分别为椭圆的长、短轴的一个端点，且直线的斜率为，则（ ）A．的离心率为B．C ．直线与有两个不同的交点D ．直线与有一个公共点11.医学上判断体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去所得差值即为该人的标准体重.比如身高的人，其标准体重为公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了，现分析某班学生的身高和体重的相关性时，随机抽测了8人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678身高165168170172173174175177体重5589616567707575由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定有一个样本点为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的7组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为，则（ ）A．B．C．D．12. 热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）.根据该走势图，下列结论不正确的是（ ）A ．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B ．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循C ．年月份的方差小于年月份的方差D ．年月份的平均值大于年月份的平均值13. 过定点A的直线与圆交于B ，C 两点，点B 恰好为AC 的中点，写出满足条件的一条直线的方程______．14. 设复数满足：（是虚数单位），则_________．15. 已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为 ______写出一条即可16. 已知三棱锥的侧棱，.且.（1）证明：；（2）求点M到平面的距离.17. 中，角、、的对边分别为、、，.（1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值；（2）若，求的值.18. 在中，角A，，所对的边分别是，，，且，(1)若，求，(2)若，且，求的面积.19. .如图，在直三棱柱中，，为上的一点，，.（1）若，求证：平面（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值.20. 设,而.(1)若最大,求能取到的最小正数值.(2)对(1)中的,若且,求.21. 某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100数据，统计结果如表所示：得分男性人数206040403010女性人数107060755035（1）把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类，请完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别有关？不太熟悉比较熟悉合计男性女性合计（2）为增加员工消防安全知识及自救､自防能力，现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛．在每轮比赛中，小组两位成员各答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个，则小组积1分，否则积0分．已知与在同一小组，答对每道题的概率为答对每道题的概率为，且，理论上至少要进行多少轮比赛才能使所在的小组的积分的期望值不少于5分？附：参考公式及检验临界值表。

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+24．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x ﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==， ==， =+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。

上海市2023年中考数学试卷一、单选题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（）A．B．C．D．3．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．4．如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A．小车的车流量与公车的车流量稳定；B．小车的车流量的平均数较大；C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D．小车与公车车流量的变化趋势相同．5．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（）A．B．C．D．6．已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：①；②则下列说法正确的是（）A．①正确②错误B．①错误②正确C．①②均正确D．①②均错误二、填空题7．分解因式：．8．化简：的结果为．9．已知关于的方程，则10．函数的定义域为．11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是．12．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．13．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为．14．一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．15．如图，在中，点D，E在边，上，，连结，设向量，，那么用，表示．16．垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为．17．如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则．18．在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．三、解答题19．计算：20．解不等式组21．如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．（1）求的半径；（2）求的正切值．22．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？23．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，（1）求证：（2）若，求证：24．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．25．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．（1）如果，求证：四边形为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长；（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】8．【答案】29．【答案】1810．【答案】11．【答案】12．【答案】13．【答案】1814．【答案】（答案不唯一）15．【答案】16．【答案】1500吨17．【答案】18．【答案】19．【答案】解：原式．20．【答案】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为．21．【答案】（1）解：如图，延长，交于点，连接，由圆周角定理得：，弦的长为8，且，，解得，的半径为．（2）解：如图，过点作于点，的半径为5，，，，，，即，解得，，，则的正切值为．22．【答案】（1）解：由题意知，（元），答：实际花了900元购买会员卡；（2）解：由题意知，，整理得，∴y关于x的函数解析式为；（3）解：当，则，∵，∴优惠后油的单价比原价便宜元．23．【答案】（1）证明：，，在和中，，，．（2）证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．24．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，当时，代入得：，故，当时，代入得：，故，（2）解：设，则可设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，将代入得：，∵，即，∴将代入，整理得：，故，；（3）解：如图：∵轴，点P在x轴上，∴设，，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点，点向下平移的距离相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．25．【答案】（1）证明：∵∴∵∴，∴∵是的中点，，∴是的中位线，∴，即，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵，点边中点，设，，则由（1）可得∴，∴，又∵∴，∴即，∵，在中，，∴，∴解得：或（舍去）∴；（3）解：①当时，点与点重合，舍去；②当时，如图所示，延长交于点P，∵点是的中点，，∴，设，∵∴，∴，设，∵∴，∴，∴，∴，连接交于点，∵，∴∴，∴，在与中，，，∴，又，∴，∴，∴，∴，，∴．。

上海市徐汇区四校联考2023-2024学年九年级下学期3月自适应性练习数学试题一、单选题1．32-的倒数是( ) A ．23- B ．23- C ．112- D ．322．实数a b c ，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．a c b c -<-B ．a c b c +<+C ．ab bc <D ．a b c c< 3．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若130∠=︒，250∠=︒，则3∠的度数为（ ）．A ．130︒B ．140︒C ．150︒D ．160︒4．按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建设垃圾类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ）A ．8，8，8B ．7，8，7.8C ．8，8，8.7D ．8，8，8.46．已知函数()()y x m x n =--（其中m n <）的图象如图所示，则函数y nx m =+的图象可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．分解因式：239x x -=．8．据国家卫健委统计，截至2021年6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．数据704000000用科学记数法表示为．9．关于x 的一元二次方程（k －1）x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．10．从1~24的自然数中，随机挑选2个，都是素数的概率为．11．图1是临安区一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，40cm AC =，则双翼边缘端点C 与D 之间的距离为 （用含α的三角函数表示）．12．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系式；折线B ﹣C ﹣D ﹣表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系，则货车出发小时与轿车相遇．13．程大位《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当．两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目翻译成现代文的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两个人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”两人都在用心计算着对方的羊数，在地上列算式算了半天才知道对方的羊数．若设甲有x 只羊，乙有y 只羊，则可列二元一次方程组为． 14．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，交BD 于点G ，:1:2AE AB =，设BA a =u u u r r ，BC b u u u r r =．用向量a r 、b r 分别表示向量CG =u u u r ．15．如图，OAD △和BAC V 都是等腰直角三角形，90ADO ACB ∠==︒，反比例函数k y x=在第二象限的图象经过点B ，且2212OA AB -=，则k 的值是．16．如图，边长为5的正方形ABCD 中放置长方形EFGH 与长方形IJCK ，其中2,EH EF CK ==，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ和区域Ⅲ的周长之和大5，则CK =．17．在矩形ABCD 中，4,8AB BC ==，将其沿对角线BD 折叠，顶点C 的对应点为E （如图1），BE 交AD 于点F ；再折叠，使点D 落在F 处，折痕MN 交DE 于点M ，交BD 于点N （如图2．则折痕MN 的长为．18．如图，抛物线2(0,0)y x bx c b c =++<>与y 轴交于点C ，顶点为A ，连接OA 并延长交抛物线的另一个交点为点B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交BC 于点D ，且23AE OE =，当2OC AD =时，则c 的值是 ．三、解答题19．先化简，再求代数式（1＋43x-）÷12x+的值，其中x＝2cos45°＋3．20．解方程组∶225602x xy yx y⎧--=⎨-=⎩21．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A B、两种农作物为原料开发了一种有机产品．A 原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．(1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；(2)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？22．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB 的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）23．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线．【问题探究】（1）如图1，已知Rt ABC △在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）；【问题解决】（2）如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠，求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；【拓展应用】（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH “相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒，连接EG ，若EFG V 的面积为FH 的长．24．已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,6A ，点()1,3B ，直线()1:0l y kx k =≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）．(1)求抛物线2y x bx c =++的解析式．(2)判断以点N 为圆心，直径长为2l 的位置关系，并说明理由．(3)设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF △与OAB △相似时，求F 、H 的坐标（直接写出结果）．25．如图，半圆O 的直径4AB =，点C 是»AB 上一点（不与点A 、B 重合），点D 是»BC 的中点，分别连接AC 、BD ．(1)当AC 是圆O 的内接正六边形的一边时，求BD 的长；(2)设AC x =，BD y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；(3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC 、BD 相交于点P ，连接PO ．PO 是PAB V 的中腰线，求AC 的长．。

上海市2023年中考数学真题一、选择题：(本大题共6题，每题4分，共24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1.下列运算正确的是()A.a 5÷a 2=a 3 B.a 3+a 3=a 6 C.a 3 2=a 5 D.a 2=a 2.在分式方程2x -1x 2+x 22x -1=5中，设2x -1x 2=y ，可得到关于y 的整式方程为()A.y 2+5y +5=0B.y 2-5y +5=0C.y 2+5y +1=0D.y 2-5y +1=03.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是()A.y =6xB.y =-6xC.y =6x D.y =-6x 4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是()A.小车的车流量与公车的车流量稳定；B.小车的车流量的平均数较大；C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D.小车与公车车流量的变化趋势相同。

5.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ,AB =CD 。

下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是()A.AB ∥CDB.AD =BCC.∠A =∠BD.∠A =∠D 6.已知在梯形ABCD 中，连接AC ，BD ，且AC ⊥BD ，设AB =a ,CD =b 。

下列两个说法：①AC =22a +b ；②AD =22a 2+b 2则下列说法正确的是()A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误二、填空题：(本大题共12题，每题4分，共48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.分解因式：n 2-9=________。

8.化简：21-x -2x 1-x的结果为________。

9.已知关于x 的方程x -14=2，则x =________。

10.函数f x =1x -23的定义域为________。

数学练习卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试卷与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．2．答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．3．答题纸与试卷在试卷编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.已知tanA =，则锐角A 的度数是（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒2.已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是（）A.2tan 3A =B.2cot 3A =C.2sin 3A =D.2cos 3A =3.关于抛物线()2213y x =-+-，下列说法正确的是（）A.开口向上B.与y 轴的交点是()0,3-C.顶点是()1,3- D.对称轴是直线=1x -4.已知a 、b为非零向量，下列判断错误的是（）A.如果2a b =，那么a b∥ B.如果0a b += ，那么a b∥C.如果a b = ，那么a b = 或a b =-D.如果e 为单位向量，且2a e =，那么2a = 5.如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a 米的A 、B 两点处，观测对岸的标志物P ，测得PAB α∠=、PBA β∠=，那么这条河的宽度是（）A.cot cot aαβ+米B.cot cot aαβ-米C.tan tan aαβ+米D.tan tan aαβ-米6.如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，3AB =，2AD =，4BC =．P 是BA 延长线上一点，使得PAD 与PBC 相似，这样的点P 的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.已知x y ＝32，则x yx y-+＝_____．8.已知线段6AB =，P 是AB 的黄金分割点，且PA PB >，那么PA 的长是________．9.如图，已知直线AD BE CF ∥∥，如果23=AB BC ，3DE =，那么线段EF 的长是________．10.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，E 是边AC 的中点，延长BC 到点D ，使2BC CD =，那么DE 的长是________．11.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，如果3AC =，5AB =，那么cos BCD ∠的值是________12.如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比1:0.75i =，堤高 4.8BC =米，那么坡面AB 的长度是________米．13.把抛物线21y x =+向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．14.如果一条抛物线经过点()2,0A -和()4,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．15.已知一个二次函数的图像经过点()0,2，且在y 轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是________（只要写出一个符合要求的解析式）．16.公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2140433y x x x =-+≤≤．那么水珠的最大离地高度是________米．17.已知ABC ，P 是边BC 上一点，PAB 、PAC △的重心分别为1G 、2G ，那么12AG G ABCS S 的值为________．18.如图，已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，将ABC 绕点C 旋转至ABC ''△，如果直线A B AB ''⊥，垂足记为点D ，那么ADBD的值为________．三、解答题（本大题共7题）19.如图，已知ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，2AD DB =．（1）如果4BC =，求DE 的长；（2）设AB a =，DE b =，用a 、b 表示AC ．20.已知二次函数2241y x x =--．（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中（如图），画出这个二次函数的图像；（3）请描述这个二次函数图像的变化趋势．21.如图，已知ABC 中，10AB AC ==，12BC =，D 是AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，ED 、BA 的延长线交于点F ．（1）求ABC ∠的正切值；（2）求DFDE的值．22.小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB 的高度．如图，他先在点C 处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE ），测得旗杆顶部A 的仰角为45︒，再沿BC 的方向后退3.5米到点D 处，用同一个测角仪（图中DF ），又测得旗杆顶部A 的仰角为37︒．试求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin 370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan 370.75︒≈）23.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥．E 是边AB 上一点，CE 与对角线BD 交于点F ，且2BE EF EC =⋅．求证：（1）ABD FCB △△；（2）BD BE AD CE ⋅=⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线()20=+≠y ax c a 经过点()2,0A 和点()1,3B -．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为(),P m n ．①如果PO PA =，且新抛物线的顶点在AOB 的内部，求m n +的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且POA OBA ∠=∠，求点P 的坐标．25.已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，4AB =，6BC =，E 是线段CD 上一点，连接BE ．（1）如图1，如果1AD =，且3CE DE =，求ABE ∠的正切值；（2）如图2，如果BE CD ⊥，且2CE DE =，求AD 的长；（3）如果BE CD ⊥，且ABE 是等腰三角形，求ABE 的面积．数学练习卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试卷与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．2．答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．3．答题纸与试卷在试卷编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.已知tanA =，则锐角A 的度数是（）A.30︒ B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C【分析】因为,A 为锐角,由特殊角的三角函数值即可解答.【详解】因为,A 为锐角由特殊角的三角函数值知:A=60°，故选C.【点睛】掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.2.已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是（）A.2tan 3A = B.2cot 3A =C.2sin 3A =D.2cos 3A =【答案】B【分析】根据勾股定理求得斜边长，进而根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，∴AB ==,∴3tan 2BC AAC ==，2cot 3AC A BC ==，sin 13BC A AB ==，cos 13AC A AB ===，故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．3.关于抛物线()2213y x =-+-，下列说法正确的是（）A.开口向上B.与y 轴的交点是()0,3-C.顶点是()1,3-D.对称轴是直线=1x -【答案】D【分析】根据二次函数解析式中系数与图形的关系即可求解．【详解】解：A 选项，抛物线()2213y x =-+-中，20a =-<，图像开口向下，故A 选项错误，不符合题意；B 选项，令0x =，函数值22(01)35y =-+-=-，则抛物线与y 轴的交点是()0,5-，故B 选项错误，不符合题意；C 选项，根据顶点式得，抛物线()2213y x =-+-的顶点为()1,3--，故C 选项错误，不符合题意；D 选项，抛物线()2213y x =-+-的对称轴是直线=1x -，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与,x y 轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键．4.已知a 、b为非零向量，下列判断错误的是（）A.如果2a b =，那么a b∥ B.如果0a b += ，那么a b∥C.如果a b = ，那么a b = 或a b=-D.如果e 为单位向量，且2a e =，那么2a = 【答案】C【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可．【详解】解：A 、如果2a b =，那么a b ∥ ，故本选正确；B 、如果0a b += ，那么a b ∥，故本选正确；C 、如果a b = ，没法判断a 与b之间的关系，故本选项错误D 、如果e 为单位向量，且2a e =，那么2a = ，故本选正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键．5.如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a 米的A 、B 两点处，观测对岸的标志物P ，测得PAB α∠=、PBA β∠=，那么这条河的宽度是（）A.cot cot aαβ+米B.cot cot aαβ-米C.tan tan aαβ+米D.tan tan aαβ-米【答案】A【分析】过点P 作PC AB ⊥于点C ，则这条河的宽度是PC 的长，根据锐角三角函数可得,tan tan PC PCAC BC αβ==，从而得到cot cot PC PC a ββ⋅+⋅=，即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PC AB ⊥于点C ，则这条河的宽度是PC 的长，∵tan ,tan PC PCAC BCαβ==，∴,tan tan PC PCAC BC αβ==，∵AB AC BC a =+=米，∴tan tan PC PC a αβ+=，即cot cot PC PC a ββ⋅+⋅=，∴()cot cot PC a ββ+=，即cot cot aPC αβ=+米，即这条河的宽度是cot cot aαβ+米，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．6.如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，3AB =，2AD =，4BC =．P 是BA 延长线上一点，使得PAD 与PBC 相似，这样的点P 的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】由于90PAD PBC ∠=∠=︒，故要使PAD 与PBC 相似，分两种情况讨论：①APD BPC ~△△，②△△APD BCP ，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP 的长，即可得到P 点的个数．【详解】∵AD BC ∥，90B Ð=°，18090A B ∴∠=︒-∠=︒，90PAD PBC \Ð=Ð=°．设AP 的长为x ，则3BP AB AP x =+=+．若AB 边上存在P 点，使PAD ∆与PBC ∆相似，那么分两种情况：①若APD BPC ~△△，则PA ADBP BC=，即234x x =+，解得：3x =②若△△APD BCP ，则PA ADBC BP=，即243x x=+，整理得：2380x x +-=，13412x -+=，23412x --=（舍去）∴满足条件的点P 的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.已知x y ＝32，则x yx y-+＝_____．【答案】15【分析】根据分式的基本性质，由32x y =可得32x y =，然后代入式子进行计算即可得解．【详解】解：∵32x y =，∴32x y =，则3122352152y yy y y x y x y y --===++．故答案为：15．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质并能灵活运用性质进行分式的化简求值是解题的关键．8.已知线段6AB =，P 是AB 的黄金分割点，且PA PB >，那么PA 的长是________．【答案】3-【分析】根据黄金分割点的定义，PA 是较长线段得到12PA AB -=，代入数据即可得出PA 的长．【详解】解：∵P 是AB 的黄金分割点，且PA PB >，6AB =，∴1632PA -=⨯=．故答案为：3-．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割点的概念．牢记黄金分割比是解题关键．9.如图，已知直线AD BE CF ∥∥，如果23=AB BC ，3DE =，那么线段EF 的长是________．【答案】92【分析】由平行线所截线段对应成比例可知AB DEBC EF=，然后代入DE 的值求解即可．【详解】解：AD BE CF∥∥ 23AB DE BC EF ∴==3DE = 3393222EF DE ∴==⨯=．故答案为：92【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．10.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，E 是边AC 的中点，延长BC 到点D ，使2BC CD =，那么DE 的长是________．【答案】2【分析】先判断出ACB ECD △△∽，再利用相似三角形的性质即可得到DE ．【详解】：∵90ACB ∠=︒，∴ACB ECD ∠=∠，∵E 是边AC 的中点，2BC CD =，∴2BC AC CD CE==，∴ACB ECD △△∽，∴2BC AB CD DE==∵4AB =∴42DE =∴2DE =．故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．11.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，如果3AC =，5AB =，那么cos BCD ∠的值是________【答案】35##0.6【分析】根据题意得出90BCD ACD A ∠=︒-∠=∠，继而根据余弦的定义即可求解．【详解】解：∵Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，∴90BCD ACD A ∠=︒-∠=∠，∵3AC =，5AB =，∴cos BCD ∠=3cos 5AC A AB ==，故答案为：35．【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键．12.如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比1:0.75i =，堤高 4.8BC =米，那么坡面AB 的长度是________米．【答案】6【分析】首先根据坡比求出AC 的长度，然后根据勾股定理求出AB 的长度．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比1:0.75i =，∴:1:0.75BC AC =∵堤高 4.8BC =米，∴ 3.6AC =米，∴226AB AC BC =+=米，故答案为：6．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，熟记坡比的定义是解题的关键．13.把抛物线21y x =+向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．【答案】()221y x =++【分析】根据抛物线的顶点坐标()0,1，再左平移2个单位即()2,1-，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】21y x =+的顶点坐标()0,1，抛物线21y x =+左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为()2,1-，新的顶点式抛物线为()221y x =++．故答案为：()221y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．14.如果一条抛物线经过点()2,0A -和()4,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．【答案】1x =【分析】根据,A B 的坐标，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，即可得出．【详解】解：∵抛物线经过点()2,0A -和()4,0B ，∴抛物线的对称轴是直线2412x -+==，故答案为： 1.x =【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴，求出抛物线的对称轴是解题的关键．15.已知一个二次函数的图像经过点()0,2，且在y 轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是________（只要写出一个符合要求的解析式）．【答案】22y x =-+（答案不唯一）【分析】由于二次函数的图象经过点()0,2，且在y 轴左侧部分是上升的，由此可以确定抛物线的对称轴为y 轴或在y 轴的右侧，且图象开口向下，由此可以确定函数解析式不唯一．【详解】解：∵二次函数的图像经过点()0,2，且在y 轴左侧部分是上升的，若二次函数的顶点坐标为()0,2，且图象开口向下，∴二次函数解析式的二次项系数a<0，∴二次函数解析式不唯一，如：22y x =-+故答案为：22y x =-+（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．16.公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2140433y x x x =-+≤≤．那么水珠的最大离地高度是________米．【答案】43【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．【详解】∵()()2214142043333y x x x x =-+=--+≤≤，∴2x =时，y 取最大值43，即水珠的高度达到最大43米时，水珠与喷头的水平距离是2米，故答案为：43．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．17.已知ABC ，P 是边BC 上一点，PAB 、PAC △的重心分别为1G 、2G ，那么12AG G ABC S S 的值为________．【答案】29【分析】由重心可知线段1223AG AG AE AF ==，得到12AG G AEF ∽，从而得出面积比，再利用中线的性质得到最后的面积之比．【详解】解：12G G ，是APB △，APC △的重心，1223AG AG AE AF ∴==，12G AG EAF ∠=∠ ，12AG G AEF ∴ ∽，1249AG G AEF S S ∴= ，E F ，分别是BP CP ，的中点，1122AEP APF ABP APC S S S S ∴== ，，12AEF ABC S S ∴= ，12412929AG G ABC S S ∴=⨯=，故答案为：29．【点睛】本题主要考查重心的性质以及线段比与面积的关系，熟练掌握重心的性质以及利用线段比求面积比是解决本题的关键．18.如图，已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，将ABC 绕点C 旋转至A B C ''△，如果直线A B AB ''⊥，垂足记为点D ，那么AD BD的值为________．【答案】421或283【分析】设3BC a =，则5AB a =，4AC a =，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解．【详解】解：∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，∴3sin 5BC A AB ==，设3BC a =，则5AB a =，4AC a =，∵将ABC 绕点C 旋转至A B C ''△，∴3B C BC a '==，则5A B AB a ''==，4A C AC a '==，A A '∠=∠，B B '∠=∠，如图，A B a '=，A A '∠=∠，90ACB A DB '∠=∠=︒，∴ACB A DB '∽△△，∴A B BD AB BC '=，则53a BD a a=，∴35a BD =，∴328555a a AD AB BD a =+=+=，∴28285335A D a D aB ==；如图，AB a '=，A A '∠=∠，90ACB ADB '∠=∠=︒，∴A CB ADB '''∽△△，∴AB AD A B A C '='''，则54a AD a a=，∴45a AD =，∴421555a a BD AB AD a =-=-=，∴44521215A D a D aB ==；故答案为：421或283．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共7题）19.如图，已知ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，2AD DB =．（1）如果4BC =，求DE 的长；（2）设AB a =，DE b = ，用a 、b 表示AC ．【答案】（1）83DE =（2）32AC a b =+ 【分析】（1）先证明ADE ABC △△∽得到AD DE AB BC =，再根据已知条件推出23AD AB =，得到23DE BC =，由此即可得到答案；（2）先求出32BC b = ，再由AC AB BC =+ 进行求解即可．【小问1详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE ABC△△∽∴AD DE AB BC=，∵2AD DB =，∴23AD AB =，∴23DE BC =，∵4BC =，∴83DE =；【小问2详解】解：∵DE b = ，23DE BC =，∴32BC b = ，∵AB a =，∴32AC AB BC a b =+=+ ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，证明ADE ABC △△∽推出23DE BC =是解题的关键．20.已知二次函数2241y x x =--．（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中（如图），画出这个二次函数的图像；（3）请描述这个二次函数图像的变化趋势．【答案】（1）顶点坐标()1,3-（2）见解析（3）这个二次函数图像在对称轴直线1x =左侧部分是下降的，右侧部分是上升的【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．【小问1详解】解：（1）()()222241221213y x x x x x =--=--=--∴二次函数的顶点坐标()1,3-；【小问2详解】解：当0x =时，1y =-，当1y =-时，2x =，经过点()0,1-，()2,1-，顶点坐标为：()1,3-图像如图所示：【小问3详解】解：这个二次函数图像在对称轴直线1x =左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．21.如图，已知ABC 中，10AB AC ==，12BC =，D 是AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，ED 、BA 的延长线交于点F ．（1）求ABC ∠的正切值；（2）求DF DE的值．【答案】（1）4tan 3B =（2）2DF DE=【分析】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，由10AB AC ==得到ABC 是等腰三角形，由三线合一得到6BH CH ==，由勾股定理求得8AH =，根据正切的定义即可得到答案；（2）由AH BC ⊥，FE BC ⊥得到AH FE ∥，则CD CE AD EH =，由D 是AC 的中点，得到DE 是ACH 的中位线，求得4DE =，进一步得到23AH BH FE BE ==，求得12EF =，得到8DF =，即可得到答案．【小问1详解】解：过点A 作AH BC ⊥于点H ，∵10AB AC ==，∴ABC 是等腰三角形，∵12BC =，AH BC ⊥，∴6BH CH ==，∴Rt ABH △中，22221068AH AB BH =-=-，∴84tan 63AH B BH ===；【小问2详解】解：∵AH BC ⊥，FE BC ⊥，∴AH FE ∥，∴CD CE AD EH=，∵D 是AC 的中点，∴EH CE =，∴DE 是ACH 的中位线，142DE AH ==，∵BH CH =，∴23AH BH FE BE ==，∴12EF =，∴8DF =∴2DF DE=．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、三角函数的定义、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．22.小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB 的高度．如图，他先在点C 处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE ），测得旗杆顶部A 的仰角为45︒，再沿BC 的方向后退3.5米到点D 处，用同一个测角仪（图中DF ），又测得旗杆顶部A 的仰角为37︒．试求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin 370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan 370.75︒≈）【答案】旗杆的高度AB 约为12.1米【分析】如图所示，延长FE ，交AB 于点G ，则FG AB ⊥，设EG x =，则AG GE x ==， 3.5FG GE EF x =+=+，在Rt AFG △中，根据三角函数值的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，延长FE ，交AB 于点G ，则FG AB ⊥，由题意得，45AEG ∠=︒，37AFG ∠=︒， 3.5FE =， 1.6CE =，设EG x =，则AG GE x ==， 3.5FG GE EF x =+=+， 1.6GB CE ==在Rt AFG △中，tan tan 370.75AG AFG FG ∠=︒==，∴0.753.5x x =+，解得10.5x =，即10.5AG GE ==（米），∴10.5 1.612.1AB AG GB =+=+=（米）．∴旗杆的高度AB 约为12.1米．【点睛】本题主要考查仰俯角测量高度，理解图示中角与线的关系，掌握仰俯角测量高度的方法，三角函数值的计算方法是解题的关键．23.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥．E 是边AB 上一点，CE 与对角线BD 交于点F ，且2BE EF EC =⋅．求证：（1）ABD FCB △△；（2）BD BE AD CE ⋅=⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由2BE EF EC =⋅可证BEF CEB V :V ，得到EBF ECB ∠=∠，再由AD BC ∥得到ADB DCB ∠=∠，即可证明ABD FCB △△；（2）由BEF CEB V :V 得到BF BE BC CE =，ABD FCB △△得到AB BD AD FC BC BF ==，进而得到BE AD CE BD =，即可得到BD BE AD CE ⋅=⋅．【小问1详解】∵2BE EF EC =⋅，∴BE CE EF BE=∵BEF CEB Ð=Ð，∴BEF CEBV :V ∴EBF ECB∠=∠∵AD BC ∥，∴ADB DCB∠=∠∴ABD FCB △△；【小问2详解】∵BEF CEB V :V ，∴BF BE BC CE=∵ABD FCB △△，∴AB BD AD FC BC BF==∴BF AD BC BD=∴BE AD CE BD =∴BE BD AD CE ⋅=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线()20=+≠y ax c a 经过点()2,0A 和点()1,3B -．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为(),P m n ．①如果PO PA =，且新抛物线的顶点在AOB 的内部，求m n +的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且POA OBA ∠=∠，求点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式24y x =-+（2）①m n +的取值范围是12m n <+<；②11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线()20=+≠y ax c a 经过点()2,0A 和点()1,3B -，待定系数法求解析式即可求解；（2）①新抛物线的顶点为(),P m n ，()2,0A ，由PO PA =得出1m =，待定系数法求解析式得直线AB 的解析式：2y x =-+，根据题意，当1x =时，1y =，新抛物线的顶点在AOB 的内部，得出01n <<，继而即可求解；②新抛物线的顶点为(),P m n ，设抛物线解析式为()2y x m n =--+，由新抛物线经过原点，得出2n m =，根据POA OBA ∠=∠，得出21tan 2m POA m ∠==，即可求解．【小问1详解】∵抛物线()20=+≠y ax c a 经过点()2,0A 和点()1,3B -，∴403a c a c +=⎧⎨+=⎩，∴14a c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式24y x =-+【小问2详解】①新抛物线的顶点为(),P m n ，()2,0A ∵PO PA =，∴1m =∵()2,0A 、()1,3B -，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则203k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式：2y x =-+当1x =时，1y =，新抛物线的顶点在AOB 的内部，∴01n <<∴m n +的取值范围是12m n <+<②∵新抛物线的顶点为(),P m n ，∴()2y x m n=--+∵新抛物线经过原点，∴20m n -+=，即2n m =可知点P 在第一象限，()2,P m m作OQ AB ⊥于点Q ，则OQ =，BQ =，1tan 2OBA ∠=∵POA OBA ∠=∠，∴21tan 2m POA m ∠==，∴12m =∴12m =，14n =，∴11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，平移问题，角度问题，正切的定义，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．25.已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，4AB =，6BC =，E 是线段CD 上一点，连接BE ．（1）如图1，如果1AD =，且3CE DE =，求ABE ∠的正切值；（2）如图2，如果BE CD ⊥，且2CE DE =，求AD 的长；（3）如果BE CD ⊥，且ABE 是等腰三角形，求ABE 的面积．【答案】（1）3tan 4ABE ∠=（2）3172AD +=（3）ABE 的面积是625+、163或19225【分析】（1）延长AD 、BE ，交于点F ，根据AD BC ∥求出2DF =，最后根据tan AF ABE AB ∠=求解即可；（2）延长AD 、BE ，交于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，根据AD BC ∥求出3DF =，再由ABE C ∠=∠可得tan tan AF DH ABE C AB CH ∠===，设AD x =，则6CH x =-，代入后列方程求解即可；（3）分EA EB =、AB BE =、AB AE =三种情况分别求解即可．【小问1详解】延长AD 、BE ，交于点F∵AD BC ∥，∴DF DE BC CE=∵3CE DE =，6BC =，∴2DF =Rt ABF 中，3tan 4AF ABE AB ∠==【小问2详解】延长AD 、BE ，交于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，则4AB DH ==∵DF DE BC CE=，2CE DE =，6BC =，∴3DF =∵90ABC ∠=︒，BE CD ⊥，∴ABE C∠=∠∴tan tan ABE C ∠=，设AD x =，则6CH x =-，∴AF DH AB CH=，∴3446x x+=-，解得32x ±=（负值舍去），∴3172AD +=【小问3详解】1︒EA EB =时，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则H 是AB 中点，∴E 是CD 的中点，∵BE CD ⊥，∴6BD BC ==，Rt △ABD中，AD =(14362ABE S =⨯⨯=+△2︒AB BE =时，4BE =，6BC =，CE =过点A 作AG BE ⊥于点G ，sin sin ABE C ∠=，∴AG BE AB BC=，∴446AG =，∴83AG =∴18164233ABE S =⨯⨯=△3︒AB AE =时，过点A 作AG BE ⊥于点G ，延长AG 交BC 于点M ，则AM CD ，∵AB AE =，∴BG GE =，∴3BM CM ==，∴3AD =∴165AG =，125BG =1241619225525ABE S =⨯⨯=△∴ABE 的面积是6+、163或19225．【点睛】本题考查梯形、锐角三角函数、平行线分线段成比例，熟记常用的梯形辅助线是解题的关键．。

2022年上海市徐汇区中考数学模拟真题测评 A 卷 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、己如等腰三角形的底边长是6，腰长为5，则这个等腰三角形的面积是( ) A ．30 B ．15 C ．24 D ．12 2、如图所示是根据某班级40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，由图像可知该班40同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ） A ．10.5，16B ．9，8C ．8.5，8D ．9.5，163、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） ·线○封○密○外A ．B ．C ．D ．4、一天，小明和小梅两位同学一起到饭店吃早餐，小明买了4个包子、1个麻元，共付2.7元；小梅买了1个包子、3个麻元，共付2.6元．设包子每个x 元、麻元每个y 元，则适合x 、y 的方程组是（ ）A ．4 2.73 2.6xy xy =⎧⎨=⎩B ．4 2.73 2.6x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．4 2.73 2.6x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．4 2.7()3 2.6()x y x y x y x y +=+⎧⎨+=+⎩5、如图，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （1，0），B （2，1），当因变量y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞1D ．x ＜16、某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10m ３，则按每立方米1．5元收费；若每月用水超过10m ３，则超过部分按每立方米３元收费，如果某居民户今去年12月份缴纳了36元水费，那么这户居民去年12月份的实际用水量为（ ）A ．7m ３B ．12m ３C ．17m ３D ．24m ３7、下列统计活动中，比较适合用抽样调查的是（）A ．班级同学的体育达标情况B ．近五年学校七年级招生的人数C ．学生对数学教师的满意程度D ．班级同学早自习到校情况8、已知a,b,c 是三角形的三边,那么代数式(a −b)2−c 2的值（ ）·线A ．大于零或等于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零9、某厂前5个月生产的总产量y （件）与时间x （月）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月产量逐月减少B ．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月产量与3月持平C ．1﹣3月的月产量逐月增加，4、5两月停产D ．1﹣3月的月产量逐月持平，4、5两月停产10、下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．6y ﹣3y ＝3C ．7a +a ＝7a 2D ．3x 2y ﹣2yx 2＝x 2y第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若 3x 2 m y 5与- x 4 y 2n -1的差是单项式，那么 n m =____________2、22(1)(1)y y -++ =（______）3、 (-8)2的立方根是_______4、式子“1 2 3 4... 100+++++”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于式子比较长，100书写不方便,为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑,这里“∑”是求和符号,如422221123430n =+++=∑,通过对以上材料的阅读，计算()2019111n n n ==+∑__________．5、若点P(a ，b)在第四象限，则点M(b －a ，a －b)在第________象限．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．2、因式分解: 53242357a b c a b c a bc +-3、对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：a bad bc c d =-．（1）根据规则，计算3251＝_____；（2）已知241x x -＝18，则x ＝_____． 4、如图，△ABC 是边长为5cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度都为1cm /s ．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ）． （1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理·线○封由；若不变，请求出它的度数．5、计算：（19（2）)012+ -参考答案-一、单选题1、D【分析】如图，由题意：5AB AC ==，6BC =，作AD BC ⊥．利用勾股定理求出AD 即可解决问题．【详解】解：如图，由题意：5AB AC ==，6BC =，作AD BC ⊥．AB AC =，AD BC ⊥，3BD DC ∴==，在Rt ADC ∆中，4AD =， ∴1164=1222ABC S BC AD ∆=⋅⋅=⨯⨯，故选D ．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2、B【解析】【分析】根据中位数、众数的概念分别求解即可．【详解】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；故选：B【点睛】考查了中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．3、D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断． 【详解】 A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D ． ·线○此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．4、C【解析】【分析】设馒头每颗x元，包子每颗y元，小明买了4个包子、1个麻元，共付2.7元可得：4x+y=2.7，小梅买了1个包子、3个麻元，共付2.6元得：x+3y=2.6，可列出求方程组．【详解】设包子每个x元、麻元每个y元，明买了4个包子、1个麻元，共付2.7元可得：4x+y=2.7，小梅买了1个包子、3个麻元，共付2.6元得：x+3y=2.6故可列方程组为4 2.73 2.6x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选C．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点，解答本题的关键是理解题意，找出题干中的等量关系，列出等式，本题难度一般．5、C【分析】由一次函数图象与x轴的交点坐标结合函数图象，即可得出：当x＞1时，y＞0，此题得解．【详解】解：观察函数图象，可知：当x＞1时，y＞0．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，观察函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．6、C【解析】【分析】先确定用水超过了10m3，然后根据收费标准列方程进行求解即可.【详解】设12月份用水xm 3，10×1.5=15<36，所以用水量超过10m 3，所以列方程为：10×1.5+3(x -10)=36，解得：x=17，即12月份用水17m 3，故选C.【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，弄清用水量与收费标准间的关系，正确列出方程是解题的关键. 7、C【解析】【分析】 一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． ·线○A、班级同学的体育达标情况，人数较少，适合全面调查；B、近五年学校七年级招生的人数，需要正确数据，适合全面调查；C、学生对数学教师的满意程度，适合抽样调查；D、班级同学早自习到校情况，人数较少，适合全面调查．故选C．【点睛】此题主要考查了抽样调查与全面调查的应用，正确区分由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似是解题关键．8、B【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．【详解】∵(a−b)2−c2=(a−b+c)(a−b−c)，a，b，c是三角形的三边，∴a+c−b>0，a−b−c<0，∴(a−b)2−c2的值是负数.故选：B.【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握运算公式.9、D【分析】本题是一个分段函数，在1、2、3月该产品的总产量y（件）与时间x（月）的函数图象是正比例函数图象，4、5月总产量没有变化．解：根据图象得：1月至3月，该产品的总产量y （件）与时间x （月）的函数图象是正比例函数图象，所以每月产量是一样的，4月至5月，产品的总产量y （件）没有变化，即4月、5月停止了生产．故选：D ．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，能够通过图象知道函数值是随自变量的增大而增大、减小、还是不变．10、D【分析】根据合并同类项法则逐一判断即可．【详解】解：A.3a 与2b 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B.6y ﹣3y ＝3y ，故本选项不合题意；C.7a+a ＝8a ，故本选项不合题意；D.3x 2y ﹣2yx 2＝x 2y ，正确，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．二、填空题 1、9 【分析】 ·线○封根据同类项的性质即可求解.【详解】依题意可知3x 2 m y5与 x 4 y 2n -1是同类项，∴2m=4,5=2n-1解得m=2,n=3,∴n m=32=9故填：9.【点睛】此题主要考查同类项的性质，解题的关键是熟知同类项的定义.2、2+2y2.【分析】原式利用完全平方公式展开，合并即可得到结果．【详解】原式=1−2y+y2+1+2y+y2=2+2y2.故答案为：2+2y2.【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握运算法则.3、4【分析】先进行平方运算，然后再根据立方根的定义进行求解即可. 【详解】∵(-8)2=64，64的立方根是4，∴(-8)2的立方根是4，故答案为4.【点睛】本题考查了求一个数的立方根，正确把握立方根的定义是解题的关键.4、20192020【解析】【分析】 根据111(1)1n n n n =-++，结合题意运算即可得出答案. 【详解】 111(1)1n n n n =-++ ()2019201911111111111)1(1112233420192020n n n n n n ==-=-+-+-++-=++∴∑∑ 12019120202020=-= 故答案为：20192020.【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，解题关键在于找到其规律.5、二．【详解】·线○封试题分析：∵点P （a,b ）在第四象限,∴a>0,b<0,∴b -a<0,a-b>0,∴M 点（b-a,a-b ）在第二象限． 考点：在平面直角坐标系中点的坐标规律．三、解答题1、（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°． 【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；（2）∠DCE＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数．【详解】解：（1）因为∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1352ACE ACB ∠=∠=︒．因为CD 是高线，所以∠ADC＝90°，所以∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，所以∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．（2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线， 所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．2、a 3bc （a 2b 2c+5ab-7）【解析】【分析】根据题意提取公因式即可. 【详解】 解：原式=322(57)a bc a b c ab +- 【点睛】本题主要考查提取公因式，根据每个字母的最低次数提取即可.3、（1）-7，（2）3.【分析】·线○封(1)根据题中的运算规则将题中的式子转化为计算题，计算即可；(2)根据运算法则转化为一元一次方程，解方程即可得解.【详解】(1)原式=3×1-2×5=-7，故答案为-7；(2)转化为一元一次方程：2x-(-4)x=18，可化为：2x+4x=18，6x=18，即x=3，故答案为3.【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，正确弄清新的运算法则是解题的关键.4、（1）当第53秒或第103秒时，△PBQ为直角三角形；（2）∠CMQ=60°不变，理由详见解析.【分析】（1）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；（2）∠CMQ=60°不变．通过证△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．【详解】（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=5-t，①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得5-t=2t，t=53；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（5-t ），t=103； ∴当第53秒或第103秒时，△PBQ 为直角三角形； （2）∠CMQ=60°不变．在△ABQ 与△CAP 中，60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABQ≌△CAP（SAS ），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．掌握判定三角形全等的方法，分类讨论是解决问题的关键．5、（1）0;（2【解析】 【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化减后合并即可；（2）利用平方差公式、零指数幂的意义计算． 【详解】 解：（1）原式=·线○封==0；（2）原式321=-+-（=-+-321【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。

2022届徐汇区中考数学一模一、选择题1. 在ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，则sinA 的值是（ ）A . 45B . 35C . 34D .432. 如图1，已知AB //CD //EF ，BD :DF =2:3，那么下列结论中，正确的是（ ）A . CD :EF =2:5B . AB :CD =2:5C . AC :AE =2:5D . CE :EA =2:53. 无人机在空中点A 处观察地面上的小丽所在位置点B 处的俯角是50°，那么小丽在地面点B 处观察空中点A 处的俯角是（ ）A . 40°B . 50°C . 60°D . 70°4. 已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中正确的是（ ）A . AC BC =B . 0AC BC +=C . 12BC AB =D . 12CA BA = 5. 下列对二次函数()2213y x =−++的图像的描述中，不正确的是（ ）A . 抛物线开口向下B . 抛物线的对称轴是直线1x =−C . 抛物线与y 轴的交点坐标是（0,3）D . 抛物线的顶点坐标是()1,3−6. 如图2，在ABC 中，∠ACB =90°，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）A . ∠A =∠DCB B . tan CD ECB AD ∠=C . 2CD AD DB =⋅ D . 22BC DB EC =⋅二、填空题7. 计算：()1242a a b −−=____________8. 冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为____________米9. 将抛物线223y x =+先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线的表达式是____________10. 如果点()()122,,5,A y B y 在二次函数22y x x n =−+图像上，那么1y ___________2y （填>、=或<）11. 如图3，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖显得下半身比上半身更修长，若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为____________cm （结果保留根号）12. 如图4，ABC 中，AB =8，BC =7，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知AE =4，∠AED =∠B ，则线段DE 的长为_____________13. 如图5，BE 是ABC 的角平分线，过点E 作ED //BC 交边AB 于点D ，如果AD =3，DE =2，则BC 的长度为____________14. 二次函数的图像如图6所示，对称轴为直线1x =−，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为____________15. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i =____________16. 如图7，已知点G 是ABC 的重心，记向量,AB a AC b ==，则向量AG =____________（用向量xa yb +的形式表示，其中,x y 为实数）17. 如图8，已知点A 是抛物线2y x =图像上一点，将点A 向下平移2个单位到点B ，再把点A 绕点B 顺时针旋转120°得到点C ，如果点C 也在该抛物线上，那么点A 的坐标是____________18. 如图9，在Rt ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD =3CD ，将ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为'B ，则sin 'CB D ∠=____________三、解答题19. 计算：sin 603tan 30cos 6012cot 45cot 30︒+︒⋅︒−︒+︒20. 二次函数()2f x ax bx c =++的自变量x 的取值与函数y 的值列表如下：（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数的顶点落在直线y x =上，并写出平移后的二次函数的解析式.21. 已知：如图10，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =4，BC =6，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作AF //DC ，交对角线BD 于点F .（1）求BF EF的值； （2）设,AB a AD b ==，请用向量,a b 表示向量AE .22. 图11-1是一种自卸货车，图11-2是该火车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB =4米，宽BC =2米， 初始时点A 、B 、F 在同一水平线上，车厢底部AB 离地面的高度为1.3米，卸货时货箱在千斤顶的作用 下绕着点A 旋转，箱体底部AB 形成不同角度的斜坡.（1）当斜坡AB 的坡角为37°时，求车厢最高点C 离地面的距离；（2）当A 处的转轴与后车轮转轴（点E 处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m ，货箱对角线AC 、BD 的交点G 是货箱侧面的重心，卸货时如果A 、G 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故.当斜坡AB 的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗? 试说明你的理由.（精确到0.1米，参考值：sin370.60,cos370.80,tan37 1.4142︒≈︒≈︒≈≈）23. 如图12，已知Rt ABC 中，∠ACB =90°，射线CD 交AB 于点D ，点E 是CD 上一点，且∠AEC =∠ABC ，联结BE .（1）求证：ACD EBD ；（2）如果CD 平分∠ACB ，求证：22AB ED EC =⋅.24. 如图13，抛物线2410233y x x =−++与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 上的一个动 点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交该抛物线于点E .（1）求直线AB 的表达式，直接写出顶点M 的坐标；（2）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与CDA 相似时，求点C 的坐标；（3）当∠BED =2∠OAB 时，求BDE 与CDA 的面积之比.25. 如图14，在ABC 中，∠C =90°，cot A =点D 为边AC 上的一个动点，以点D 为顶点作∠BDE =∠A ，射线DE 交边AB 于点E ，过点B 作射线DE 的垂线，垂足为点F .（1）当点D 是边AC 中点时，求tan ∠ABD 的值；（2）求证：AD BF BC DE ⋅=⋅；（3）当DE :EF =1:3时，求AE :EB .参考答案一、选择题1. A2. C3. B4. D5. C6. D二、填空题7. 322a b + 8. 12 9. ()2214y x =+− 10. < 11. ()88− 12. 7213. 103 14. 223y x x =−−+ 15. 1:2:4 16. 1133a b + 17. ()18. 10三、解答题19. 32+20.（1）()214y x =−−+，顶点（1,4）（2）下移3个单位，解析式：()211y x =−−+右移3个单位，解析式：()244y x =−−+21.（1）54（2）2355AE a b =+22.（1）5.3米（2）不会，说明略23.（1）证明略（2）证明略24.（1）549,412M ⎛⎫⎪⎝⎭（2）5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,08C ⎛⎫⎪⎝⎭（3）122510425.（1）4 （2）证明略 （3）53。