初三 数学 （考试时间100分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4．下列选项中正确的是（ ）
（A ）tan B ＝34； （B ）cot B ＝43； （C ）sin B ＝45； （D ）cos B ＝45
． 2．下列命题中假命题是（ ）
（A ）任意两个等腰直角三角形都相似；
（B ）任意两个含36°内角的等腰三角形相似；
（C ）任意两个等边三角形都相似；
（D ）任意两个直角边之比为1：2的直角三角形相似．
3．如图，已知////a b c ，
32AD DF =，下列选项中错误的是( ) （A ）35AD AF =； （B ）32BC CE =； （C ）23AB EF = ； （D ）35
BC BE =． 4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且OP ＝1，
下列选项中正确的是（ ）
（A ）0a >； （B ）0c <； （C ）0a b c ++>； （D ）0b <.
5．将抛物线212y x =-经过下列平移能得到抛物线()21132
y x =-+-的是（ ） （A ）向右1个单位，向下3个单位； （B ）向左1个单位，向下3个单位；
（C ）向右1个单位，向上3个单位； （D ）向左1个单位，向上3个单位．
6．如图，点D 在ABC ∆边AB 上，ACD B ∠=∠，点F 是ABC ∆的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是（ ）
（A ）
23AD AC =； （B ）23CF BE =； （C ）23DC BC =； （D ）23
AD DB =．
第4题 第3题 第6题
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7. 已知43x y =，则x y x y -=+__________． 8．计算：()()
1233a b a b ---=___________． 9．两个相似三角形的对应边上的中线之比4 ：5，则这两个三角形面积之比为________．
10．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）如果AB 的长度为8cm ，那么叶片部分AP 的长度是______cm ．
11．如图，已知G 为△ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线交边AB 和AC 于点D 、E . 设 GB a =，GC b =，试用xa yb +（x 、y 为实数）的形式表示向量=DE ．
12.小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD 为6.6米，小明到凉亭的距离BD 为12米，凉亭与观景台底部的距离DF 为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为________米．
13．已知点(3,)A m -、(2,)B n -在抛物线422+--=x x y 上，则____m n ．（填“>”、 “=”或“<”）
14．小球沿着坡度为i=1：1.5的坡面滚动了13m ，则在这期间小球滚动的水平距离是______m ．
15．计算：cos60sin60cot30tan 45︒-︒︒-︒
= ． 16．如图，在由正三角形构成的网格图中，A 、B 、C 三点均在格点上，则sin ∠BAC 的值为 ．
17．如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处．已知BF ＝6cm ，tan ∠BAF ＝34
，那么折痕AE 的长是 ． 第12题
第11题 第10题
18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，CD 是斜边AB 上的高，其中ACD ∆是等腰三角形，且BCD ∆和ABC ∆相似，所以ABC ∆是“和谐三角形”，直线CD 为ABC ∆的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知DEF ∆是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF ∆的“和谐分割线”时，F ∠的度数是 （写出所有符合条件的情况）．
三、解答题（本大题共题，满分78分） 19．如图，在△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝
13
5．点D 为边AC 上一点，△BDC ＝45°，AD ＝7，求CD 的长．
20．如图，点E 在平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上，且2CE BC =，AE 与CD 交于点F ．设AB a =，AD b =．
（1）用向量a 、b 表示向量DE ；
（2）求作：向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
第19题
第20题
第18题
第17题 第16题
21．已知二次函数2369y x x =-++．
（1）用配方法把二次函数2369y x x =-++化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函 数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；
（2）如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A B 、（点 A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，求四边形DACB 的面积．
22．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB 为5cm ，宽MN 为10cm ，点A 是MN 的中点，连杆BC 、CD 的长度分别为18.5cm 和15cm ，△CBA =150°，且连杆BC 、CD 与AB 始终在同一平面内.
（1）求点C 到水平桌面的距离；
（2）产品说明书提示，若点D 与A 的水平距离超过AN 的长度，则该支架会倾倒. 现将 △DCB 调节为80°，此时支架会倾倒吗？
（参考数据：36.020tan ≈︒，75.220cot ≈︒，34.020sin ≈︒，94.020cos ≈︒）
第21题
第22题
23.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且DC BD CE BC ⋅=⋅.在DE 的延长线上取点F ，使得DF =BD ，联结CF .
（1）求证：△ADE =60°；
（2）求证：CF ∥AB .
.
24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线32++=bx ax y 经过点A (-1，0)、B (4，0)，与y 轴相交于点C .
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线PD x ⊥轴，垂足为点D ，直线PD 与直线BC 相交于点E .
① 当CP=CE 时，求点P 的坐标；
② 联结AC ，过点P 作直线AC 的平行线，交x 轴于点F ，当△BPF=△CBA 时，求点P 的坐标．
第24题
25．如图1，已知菱形ABCD 中，点E 在边BC 上，△BFE =△ABC ，AE 交对角线BD 于点F ．
（1）求证：△ABF △DBA ；
（2）如图2，联结CF ．
① 当△CEF 为直角三角形时，求△ABC 的大小；
② 如图3，联结DE ．当DE ⊥FC 时，求ABD cos 的值．
第25题图1 第25题图2 第25题图3
2022学年徐汇区初三数学期末学习水平检测试卷
参考答案
2023.02
一．选择题
1．C ．2．B ．3．C ．4．D ．5．B ．6．D ．
二．填空题
7.
71． 8．b a 3
5-． 9．16 ：25． 10．454-． 11．b a 3232+-． 12．3.22． 13．<．14．133． 15．2
1-． 16．721． 17．55． 18．46322754.︒︒︒︒、、、 三、解答题
19．解：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，sin A ＝135=AB BC ． 设BC=k 5，AB=k 13，∴AB=k k k BC AB AC 12)5()13()()(2222=-=-= 在Rt△BCD 中，△C ＝90°，∠BDC ＝45°，
∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝k 5．
∴AD ＝AC －CD ＝k 7．
△AD ＝7，∴7＝k 7，∴1=k ．∴BC ＝CD ＝55=k ． 20．（1）解： ABCD 中， 有AD △BE 且AD BC =. AB △DC 且AB DC = △2CE BC =，∴2CE AD =， ∴22AD CE b ==.
∴DC AB =a =，
∴2DE DC CE a b =+=+
（2）作图正确3分，结论正确1分
21．（1）223693(2)9y x x x x =-++=--+223(21)123(112)x x x =--+=-++- 函数图像的开口方向向下、对称轴为直线1x =，顶点的坐标为(1,12)； （2）由题意平移后所得的新函数的解析式为2)23(13y x =--+，
得到点A (1,0)B 、(5,0)，点C (0,15)-，顶点D (3,12)
计算可得四边形DACB 的面积为54.
22．解：（1）过点C 作CE ⊥MN 于E ，过点B 作BF ⊥CE 于F .
由题意可得，AB =EF =5，∠CBF =60°.
在Rt △BFC 中，∠BFC =90°，∠CBF =60°，BC =18.5
∴sin ∠CBF==BC CF sin ∠60°23=，即23723CF =，∴4337=CF ∴4
20337+=CE 答：此时点C 与水平桌面的距离为()
420337+厘米.
（2）过点C 作CG ∥BF ，过点作DH ⊥CG 于H ，DH 与BF 交于点K. 由题意可知，在Rt △CDH 中，∠CDH =90°，∠DCH =20°，CH =FK ，CD =15. △cos ∠DCH=CD CH ，0.94=15CH ，∴CH =FK =14.1. 在Rt △BFC 中，∠BFC =90°，∠CBF =60°，BC =18.5. ∴cos ∠CBF=
BC BF ，5.1821BF =，∴BF=9.25 ∴BK=KF －BF=CH －BF =4.85
答：因为BK =4.85＜5，所以支架不会倾倒.
23.证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠ACB =60°，AB =BC .
∵DC BD CE BC ⋅=⋅，∴CE
BD DC BC = ∴CE
BD DC AB =，∴△ABD ∽△DCE . ∴∠BAD =∠CDE
∵∠ADC =∠ADE +∠CDE ，∠ADC =∠B +∠BAD ，∴∠ADE =∠B =60°
（2）联结AF ，∵AD =AF ，且∠ADF =60°，
∴△ADF 是等边三角形，∴∠AFD =60°.
∵∠AFD =∠ACB =60°，∠AEF =∠DEC. ∴△AEF ∽△DEC
∴EC
EF DE AE = ∴
EC DE EF AE =,又∵∠AED =∠FEC ，∴△AED ∽△FEC . ∴∠FCA =∠ADF =60°.
∵∠B =60°，∠FCB =∠FCA +∠ACB =120°， ∴∠B +∠FCB =180°. ∴CF ∥AB .
24.（1）∵抛物线32++=bx ax y 经过点)0,1(-A 、)0,4(B ，
∴⎩⎨⎧++=+-=3
416030b a b a 解得4
9,43=-=b a ∴34
9432++-=x x y
（2）过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H ；
∵CP =CE ，CH ⊥PE ，∴PH =HE .
∵C (0,3) , B (4,0)，∴OC =3 , OB =4.
∵CH ⊥PD ，PD ⊥OB ，CH ∥OB.
∴∠HCE =∠CBO.
∴tan ∠HCE =tan ∠CBO ，即4
3==OB OC CH EH . 设CH =4k ，则PH =EH =3k ，PD =HD +HP =O C +HP =3+3k ，
∴点P 坐标为（4k ，3+3k ）
又∵点P 在抛物线349432++-
=x x y 上， ∴3)4(49)4(43332++-=+k k k ，解得k=2
1，k=0（舍）. ∴)29,2(P .
（3）∵PG ∥AC ，∴∠CAB =∠PGB.
又∵∠BPG =∠CBA ，∴△PGB ∽△BAC .
∵AB =BC=5，∴PF =PB .
又∵PD ⊥OB ，∴FD =BD =
21FB. ∵点P 在抛物线34
9432++-=x x y 上，设P （x , 349432++-x x ）,0>x . ∵∠CAB =∠PDB ，∴tan ∠CAB =tan ∠PDB ，即
3==AO CO FD PD . 即34349432=-++-x
x x ，解得43==x x ，（舍）
∴)3,3(P .
25．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABC+∠BAD =180°. 又∠BFE+∠AFB =180°且∠ABC =∠BFE ，∴∠AFB=∠BAD.
又∠ABD=∠ABD ，∴△ABF ∽△ABD.
（2）设∠ABD=α
∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，BD 平分∠ABC.
∴∠ADB=∠ABD =α，∠CBD=∠ABD =α
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD =2α.
∵△ABF ∽△ABD ，∴∠ADB=∠BAF =α.∴∠AEC=∠BAF+∠ABC =3α
∵BA=BC ，∠CBD=∠ABD ，BF=BF , ∴△ABF ≌△CBF .∴∠BCF=∠BAF =α. 在△CEF 中，∠BCF=α，∠AEC =3α，故∠EFC =180°-4α ∵△CEF 是直角三角形
∴有以下三种可能的情形：
①∠BCF=α=90°，此时∠ABC=2α=180°，不符合题意，应舍去； ②∠AEC =3α=90°，此时∠ABC=2α=60°；
③∠EFC =180°-4α=90°，此时4α=90°，∠ABC=2α=45°；
综上所述，当△CEF 为直角三角形时，求∠ABC 的大小为60°或45°.
（3）联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF 、AC 于点G 、H.
∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC ⊥BD ∴∠BOC=90°∴∠BCO+∠OBC=90°. ∵DE ⊥CF ∴∠EGC=90°∴∠DEC+∠FCE=90°.
又∵∠FCE=∠OBC ∴∠DEC=∠BCO . △HE=HC.
∵AD //BC ∴HE HC DE AC
= ∴DE=AC ， ∴四边形AECD 为等腰梯形. ∴∠FEC= ∠ECD .又∠BAD= ∠ECD ，∴∠FEC= ∠BAD .
又∠FCE= ∠BAF ，∴△EFC ∽△BCF ∽△ABF ∽△ABD..
∴∠CFE=∠ECF ,△EF=EC .
又DE ⊥FC ，∴DC=DF=BC . 设BF=x ，DC=DF=BC=1，则BD=BF+FD=x +1，
∵△ABF ∽△ABD ，∴BF AB AB BD =，即111x x =+，解得BF =.
∴BO OD ==
∴cos BO ABD AB ∠==.
