2018届高考数学总复习教学案：直线与圆、圆与圆的位置关系

一、自我诊断 知己知彼1.圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交且直线过圆心D ．相离【答案】B【解析】由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离 d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切 【答案】B【解析】圆O 1的圆心为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心为(0,2)，半径r 2＝2， 故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3， 则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．3.圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0【答案】D【解析】圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 4.直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2 ＝8相交于A ，B 两点，则||AB ＝ . 【答案】2 3【解析】如图，取AB 中点C ，连接OC ，OA ，则OC ⊥AB ，|OA |＝22， |OC |＝|0－2×0＋5|12＋(－2)2＝5，∴|AC |＝8－5＝3， ∴|AB |＝2|AC |＝2 3.5.(2018·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11 【答案】C【解析】圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1， 因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)． 从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2， 即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.二、温故知新 夯实基础1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交__、_相切__、__相离__. (2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解三、典例剖析 思维拓展考点一 直线与圆的位置关系1.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋y －12＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交． 【易错点】利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x .(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．【方法点拨】直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．考点二 圆的弦长问题1.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．【答案】4π【解析】圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＋22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝a 2＋2， 解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.【易错点】找不到解决此类问题的突破口：当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形【方法点拨】当直线与圆相交时，讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；(3)d 2＋22⎪⎭⎫⎝⎛l ＝r 2.考点三 圆的切线问题1.已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 【答案】(1)x －y ＋1－22＝0；(2)1. 【解析】由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝|1－3|1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝3－12＋1－22＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.【易错点】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．【方法点拨】(1)求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法:先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0； 若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k ，由点斜式可写出切线方程．(2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程两方法几何法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出考点四 圆与圆的位置关系1.已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】(1)略(2)27【解析】(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.【易错点】(1)混淆圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法．一定要牢记，联立两圆方程，构成方程组，当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．(2)求两圆公共弦所在的直线或弦长时，方法不当(采用求交点后，求公共弦长或公共弦所在的直线方程)而致误．【方法点拨】(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．四、举一反三 成果巩固考点一 直线与圆的位置关系1.若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)【答案】D【解析】圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1. 因为直线与圆相交， 所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m 2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.2.已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________． 【答案】[2＋22，＋∞)【解析】因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1，所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1.由基本不等式mn ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 可得m ＋n ＋1≤22⎪⎭⎫⎝⎛+n m ，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋2 2.当且仅当m ＝n 时等号成立．3.圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交， 故圆上到直线的距离为1的点有3个．考点二 圆的弦长问题1.若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22 D. 2【答案】D【解析】因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 2221⎪⎪⎭⎫⎝⎛-＝22，所以弦长为 2. 2.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝( )A ．－ 6B ．±6C ．－ 5D ．±5 【答案】D【解析】记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5.3.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233【答案】A【解析】依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. 考点三 圆的切线问题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13【答案】A【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝63.2．(2018·湖南四地联考)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2， 所以圆心为点(－1,2)，半径为 2. 因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称， 所以圆心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上， 所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝2a 2－8a ＋26＝2(a －2)2＋18.所以当a ＝2时，d 取最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4，所以选C.3.若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是____. 【答案】±33。

§58 直线与圆的位置关系(教学案)编制 蔡静 审核 李世桂【基本知识回顾】1.判定直线与圆的位置关系的方法（1）几何法：圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则满足以下关系：（2）代数法：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，根据 来确定；2.直线截圆所得弦长的计算方法：①利用垂径定理和勾股定理 .②利用弦长计算公式：3.如何求圆的切线方程【基础知识训练】1.圆2240x y x +-=在点P 处的切线方程为 ；2.直线3450x y +-=与圆224x y +=交于A,B 两点，则弦AB 的长为 ；3.（15安徽）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b = ；4.（15湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____；5. 圆C ：220x y y m +++=和它关于直线210x y +-=的对称曲线总没有公共点，则m 的取值范围为 ；【课堂目标达成】【目标1】直线与圆的位置关系的判断及其运用【例1】过点(3,4)P --作直线l ，当斜率为何值时，l 与圆C ：22(1)(2)4x y -++=有公共点；过点(3,5)P -作直线m 与圆C 相切，求切线方程m 。

【变式】1：(15江苏)在平面直角坐标系中，以点()1,0为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ；【变式】2：已知直线l ：2830mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；m R ∈⑴证明直线l 与圆C 总相交；⑵m 取何值时，直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长。

【目标2】圆中的最值与存在性问题【例题2】已知C 圆：22(2)1x y -+=，若点Q 是直线60x y +-=上的动点，过点Q 作圆C 的切线QA,QB ，其中A,B 为切点，求四边形QACB 面积的最小值及此时点Q 的坐标。

《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。

直线与圆的位置关系教学设计一、课程分析：（1）教材的地位和作用：在近十年的高考中，对选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题难度不大，但每年必考。

以解答题考查直线与圆的位置关系，可能性不大。

所以考试这类题难度为中档题。

但是圆这一章性质比较多，特别是直线与圆这一知识非常重要，对后面学习直线与圆锥曲线起着抛砖引玉的作用，要重点研究。

解决直线与圆的位置关系的问题，要熟练运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合代定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯。

（2）重点：1能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.2掌握两种方法解决几何问题：代数方法和几何方法难点：1.根据不同的几何条件，求圆的方程2解决有关圆与直线的位置关系的综合问题3了解解析几何中多种数学方法的应用二、学情分析学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。

能够解决一些基本题型，掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。

但是因为间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。

另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。

所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用，其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法有很多共性，在后面设置一个难度稍大，比较综合的题目，起到深化知识，统一方法的作用。

三、设计理念：课堂教学的中心是学生的学习活动，教学的根本任务是教学生学。

本设计努力挖掘内容的本质和联系，充分考虑学生的学习基础和思维发展方向，力求教学过程的自然流畅。

在教学方法上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用。

在教学目标上，因为这是第一轮复习，所以注重基础和方法规律的总结。

以突出解析思想为主，容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体，力求多元价值取向。

四、教学目标：知识目标：①巩固高一高二的成果，并在此基础上有所提高，对知识方法的掌握达到熟练程度。

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )相离相切相交图形量化方程观点Δ□1＜0Δ□2＝0Δ□3＞0几何观点d □4＞r d □5＝r d □6＜r 2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|O 1O 2|□7>r 1＋r 2⇔⊙O 1与⊙O 2相离；|O 1O 2|□8＝r 1＋r 2⇔⊙O 1与⊙O 2外切；|r 1－r 2|□9<|O 1O 2|<r 1＋r2⇔⊙O 1与⊙O 2相交；|O 1O 2|□10＝|r 1－r 2|⇔⊙O 1与⊙O 2内切(r 1≠r 2)；|O 1O 2|□11<|r 1－r 2|⇔⊙O 1与⊙O 2内含.两圆的位置关系与公切线的条数①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.常用结论1.过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r2.2.过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝r 2.3.过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)设f(x，y)＝0表示直线l，g(x，y)＝0表示⊙C，则方程g(x，y)＋λf(x，y)＝0表示过l与⊙C交点的所有圆.()(4)设f(x，y)＝0表示⊙C1，g(x，y)＝0表示⊙C2，则方程f(x，y)＋λg(x，y)＝0表示过⊙C1与⊙C2交点的所有圆.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.回源教材(1)直线y＝3x被圆C：x2＋y2－2x＝0截得的线段长为.解析：圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离为d＝3 2，故弦长为2×1－（32）2＝1.答案：1(2)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系为.解析：圆x2＋y2－2y＝0的圆心为C1(0，1)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4＝0的圆心为C2(0，0)，半径r2＝2，由于|C1C2|＝r2－r1，所以两圆内切.答案：内切(3)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为.解析：2＋y2－4＝0，2＋y2－4x＋4y－12＝0，得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长为24－2＝2 2.答案：22直线与圆的位置关系例1(1)(2024·南充高级中学模拟)已知直线l：kx－y－k－2＝0和圆C：x2－2x＋4y＋y2－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.相交或相切解析：B圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6，圆心C(1，－2)，直线l：kx－y－k－2＝0可化为y＋2＝k(x－1)，则直线l过定点(1，－2)，因此直线l经过圆心C，所以直线l与圆C相交.故选B.(2)(2024·菏泽期中)已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－2m＝0相离，则实数m的取值范围是()A.－12，－14 B.(－∞，－14)C.(－12，－14) D.(－12，＋∞)解析：C圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝2m＋1，则m＞－12，所以圆心为(0，1)，半径为2m＋1，由直线与圆相离，可知圆心C到直线l的距离12＞2m＋1，可得－12＜m＜－14，即实数m的取值范围为(－12，－14).故选C.反思感悟判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.训练1(1)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切解析：ABD选项A ，∵点A 在圆C 上，∴a 2＋b 2＝r 2，圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，∴直线l 与圆C 相切，A 正确.选项B ，∵点A 在圆C内，∴a 2＋b 2＜r 2，圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2＞|r |，∴直线l 与圆C相离，B 正确.选项C ，∵点A 在圆C 外，∴a 2＋b 2＞r 2，圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2＜|r |，∴直线l 与圆C 相交，C 错误.选项D ，∵点A 在直线l 上，∴a 2＋b 2＝r 2，圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，∴直线l 与圆C 相切，D 正确.故选ABD.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A (－2，3)，B (0，a )，若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围是.解析：由题意知点A (－2，3)关于直线y ＝a 的对称点为A ′(－2，2a －3)，所以k A ′B ＝3－a 2，所以直线A ′B 的方程为y ＝3－a2x ＋a ，即(3－a )x －2y ＋2a ＝0.由题意知直线A ′B 与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以|－3（3－a ）＋（－2）×（－2）＋2a |（3－a ）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是13，32.答案：13，32圆的切线、弦长问题切线问题例2(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝()A.1B.154C.104D.64解析：B如图，由x 2＋y 2－4x －1＝0得(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r ＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为（2－0）2＋（0＋2）2＝2 2.由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin α2＝r 22＝522＝104，又α2∈(0，π2)，所以cos α2＝64，所以sin α＝2sin α2cos α2＝2×104×64＝154，故选B.弦长问题例3(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值.解析：设直线x －my ＋1＝0为直线l ，由条件知⊙C 的圆心为C (1，0)，半径R ＝2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋m 2，|AB |＝2R 2－d 2＝24－（21＋m2）2＝4|m |1＋m 2.由S △ABC ＝85，得12×4|m |1＋m 2×21＋m 2＝85，整理得2m 2－5|m |＋2＝0，解得m ＝±2或m ＝±12，故答案可以为2.答案：2(答案不唯一，可以是±12，±2中任意一个)最值(范围)问题例4由直线x－y＋4＝0上一点向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为()A.7B.3C.22D.22－1解析：A圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝|PC|2－|MC|2＝|PC|2－1，要使切线长最小，则|PC|最小，而|PC|的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|min＝|1－1＋4|2＝22，故切线长的最小值为（22）2－1＝7.故选A.反思感悟直线与圆问题的解决方法(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相切，则d＝r；若直线与圆相交，则所得弦长l＝2r2－d2.(2)涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.训练2(1)(2024·陕西第一次大联考)已知圆C：x2＋y2－4x＋8y＝0关于直线3x－2ay－22＝0对称，则圆C中以(a2，－a2)为中点的弦长为()A.25B.5C.10D.210解析：D圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20，圆心C(2，－4)，r＝25，∵圆C关于直线3x－2ay－22＝0对称，∴直线过圆心C(2，－4)，即3×2＋8a －22＝0，解得a＝2.圆心C与点(1，－1)的距离的平方为10，则圆C中以(1，－1)为中点的弦长为2（25）2－10＝210，故选D.(2)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A.1＋322B.4C.1＋32D.72解析：C将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时|2－1－z|2＝3，解得z＝1±32，故z＝x－y的最大值为1＋3 2.故选C.圆与圆的位置关系例5(多选)(2024·福建师大附中第三次月考)已知⊙O1：x2＋y2－2mx＋2y＝0，⊙O2：x2＋y2－2x－4my＋1＝0，则下列说法中，正确的有()A.若点(1，－1)在⊙O1内，则m≥0B.当m＝1时，⊙O1与⊙O2共有两条公切线C.若⊙O1与⊙O2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点(13，16)D.∃m∈R，使得⊙O1与⊙O2公共弦的斜率为12解析：BC因为⊙O1：x2＋y2－2mx＋2y＝0，⊙O2：x2＋y2－2x－4my＋1＝0，所以⊙O1：(x－m)2＋(y＋1)2＝m2＋1，⊙O2：(x－1)2＋(y－2m)2＝4m2，则O1(m，－1)，r1＝m2＋1，O2(1，2m)，r2＝2|m|，则m≠0.对于A，由点(1，－1)在⊙O1内，可得(1－m)2＋(－1＋1)2＜m2＋1，即m＞0，故A错误；对于B，当m＝1时，O1(1，－1)，r1＝2，O2(1，2)，r2＝2，所以|O1O2|＝3∈(2－2，2＋2)，所以两圆相交，有两条公切线，故B正确；对于C，⊙O1和⊙O2的方程相减，得(－2m＋2)x＋(2＋4m)y－1＝0，即m(－2x＋4y)＋(2x＋2y－1)＝02x＋4y＝0，x＋2y－1＝0，＝13，＝16，所以⊙O1与⊙O2的公共弦所在直线过定点(13，16)，故C正确；对于D，公共弦所在直线的斜率为2m－22＋4m，令2m－22＋4m＝12，无解，故D错误.故选BC.反思感悟1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.2.两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.训练3(1)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是()A.(－∞，－5]B.[5，＋∞)C.[－5，5]D.(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：D将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m，0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以m2＋4≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－5]∪[5，＋∞).故选D.(2)(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－8y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的是()A.直线AB的方程为x－2y＝0B.|AB|＝255C.线段AB的垂直平分线方程为2x＋y－2＝0D.若点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为55＋1解析：ACD根据题意，由x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心O1(1，0)，半径r＝1，由x2＋y2＋2x－8y＝0，得(x＋1)2＋(y－4)2＝17，则圆心O2(－1，4)，半径R＝17.对于A 2＋y2－2x＝0，2＋y2＋2x－8y＝0，得x－2y＝0，即直线AB的方程为x－2y＝0，A正确；对于B，圆心O1到直线AB的距离为d＝|1－0|1＋4＝55，则|AB|＝2×1－15＝455，B错误；对于C，线段AB的垂直平分线即直线O1O2，由O1(1，0)，O2(－1，4)，易得直线O1O2的方程为2x＋y－2＝0，C正确；对于D，由圆心O1到直线AB的距离d＝55，知点P到直线AB的距离的最大值为55＋1，D正确.故选ACD.限时规范训练(六十)A级基础落实练1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析：B由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝|－3＋8＋5|32＋42＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切.2.(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A.外离B.相交C.外切D.内切解析：B由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0，2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距O1O2＝1＋4＝5，则2－1<5<2＋1，即|r2－r1|<O1O2<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交.3.(2023·浙江嘉兴期末)已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心C且与直线l垂直的直线的方程为()A.x＋y－3＝0B.x－y＋3＝0C.x ＋y ＋3＝0D.x －y －3＝0解析：A 设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆C 的圆心坐标为(a ，0)，则由题意知(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3.因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.故选A.4.(2024·深圳罗湖区期末)圆O 1：x 2＋y 2－4y －6＝0与圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0公共弦长为()A.5B.10C.25D.35解析：C联立两个圆的方程2＋y 2－4y －6＝0，2＋y 2－6x ＋8y ＝0，两式相减可得公共弦方程为x －2y －1＝0，圆O 1：x 2＋(y －2)2＝10的圆心坐标为O 1(0，2)，半径r ＝10，圆心O 1(0，2)到公共弦的距离d 1＝|0－4－1|1＋4＝5，公共弦长d ＝2r 2－d 21＝210－5＝25，故选C.5.(2024·抚州临川一中期末)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4和两点A (－3m ，0)，B (3m ，0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最小值为()A.6B.5C.2D.3解析：D 由题意得，点P 在以原点为圆心，3m 为半径的圆上，因为点P 在圆C 上，所以只要两圆有交点即可，所以|3m －2|≤5≤3m ＋2，解得3≤m ≤733，所以m 的最小值为3，故选D.6.(2024·皖江名校第五次联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝4，⊙C 与一条坐标轴相切，圆心C 在直线x －y ＋7＝0上.若⊙C 与⊙O 相切，则满足条件的⊙C 有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：D设圆心C (a ，a ＋7).当⊙C 与x 轴相切时，半径r ＝|a ＋7|，故a 2＋（a ＋7）2＝2＋|a ＋7|，即a 2－4＝4|a ＋7|，解得a ＝－4或a ＝8，所以⊙C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝9或(x－8)2＋(y－15)2＝225.当⊙C与y轴相切时，半径r＝|a|，故a2＋（a＋7）2＝2＋|a|，即(a＋7)2＝4＋4|a|，解得a＝－3或a＝－15，所以⊙C的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝9或(x＋15)2＋(y＋8)2＝225，则满足条件的⊙C有4个.故选D.7.(2024·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为.解析：|C1C2|＝9＋（a＋1）2，因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|＜9＋（a＋1）2＜a＋2，解得a>3.答案：(3，＋∞)8.若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为.解析：点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1.化为24k2＋50k＋24＝0，∴k＝－43或－34.答案：－43或－349.(2024·苏北四市模拟)过点P(1，1)作圆C：x2＋y2＝2的切线交坐标轴于点A，B，则PA→·PB→＝.解析：∵12＋12＝2，∴点P 在圆C 上，∴PC ⊥AB .∵k CP ＝1－01－0＝1，∴直线AB 的斜率k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.不妨设直线AB 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，得点A (2，0)，B (0，2)，∴PA →＝(1，－1)，PB →＝(－1，1)，∴PA →·PB →＝－1－1＝－2.答案：－210.已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0，直线l 过点A (1，0).(1)求圆C 的圆心坐标及半径长；(2)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)当直线l 的斜率存在且与圆C 相切于点B 时，求|AB |.解：圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝22.(1)圆C 的圆心坐标是(3，4)，半径长是2.(2)①当直线l 的斜率不存在，即其方程是x ＝1，满足题意.②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程是y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由圆心(3，4)到直线l 的距离等于圆C 的半径，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程是3x －4y －3＝0.综上，直线l 的方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(3)由(2)得直线l 的方程是3x －4y －3＝0.圆C 的圆心是点C (3，4)，则|AC |＝4＋16＝25，所以|AB |＝|AC |2－|BC |2＝20－22＝4.11.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)设直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；(2)若定点P (1，1)分弦AB 为AP ∶PB ＝1∶2，求此时直线l 的方程.解：(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0变形为m (x －1)－y ＋1＝0，可知直线l 恒过点(1，1)，由圆C 的方程可知圆心C (0，1)，过C 作CM ⊥l 于M ，可知M 为线段AB 的中点，设M (x ，y )，则有x 2＋(y －1)2＋(x －1)2＋(y －1)2＝12，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0，点(1，1)也满足此方程，故M 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP ∶PB ＝1∶2，得1－x 1＝12(x 2－1)，化简得x 2＝3－2x 1，①－y ＋1－m ＝0，2＋（y －1）2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，②∴x 1＋x 2＝2m 21＋m 2，③由①③解得x 1＝3＋m 21＋m 2，代入②式，解得m ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.B 级能力提升练12.(2024·南通海安期末)已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝24(x ＋3)，则r 2r 1＝()A.43B.2C.54D.3解析：B不妨设两圆为圆C 1和C 2，圆C 1：(x －a )2＋y 2＝r 21，圆C 2：(x －b )2＋y 2＝r 22，其中r 1＞0，r 2＞0，－3＜a ＜b .由于两圆的公切线方程为x －22y ＋3＝0，则r 1＝|a ＋3|1＋（－22）2＝a ＋33，r 2＝|b ＋3|1＋（－22）2＝b ＋33.由两圆外切，得|C 1C 2|＝b －a ＝r 1＋r 2＝a ＋33＋b ＋33，化简得b ＝2a ＋3，则r 2r 1＝b ＋3a ＋3＝2，故选B.13.(多选)有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，则下列命题正确的是()A.不论k 如何变化，圆心C k 始终在一条直线上B.所有圆C k 均不经过点(3，0)C.存在定直线始终与圆C k 相切D.若k ∈(－22，322)，则圆C k 上总存在两点到原点的距离均为1解析：ABC圆C k 的圆心C k (k ，k )，在直线y ＝x 上，A 正确；由(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简得2k 2－6k ＋5＝0，Δ＝36－40＝－4<0，无实数解，B 正确；由A 选项的分析知，圆心C k 在直线y ＝x 上，半径为定值2，假设存在定直线始终与圆C k 相切，则定直线的斜率一定为1，设为y ＝x ＋b ，则圆心到定直线的距离为|b |2＝2，得b ＝±22，故存在定直线y ＝x ±22始终与圆C k 相切，C 正确；圆C k 上总存在两点到原点的距离均为1，可转化为圆x 2＋y 2＝1与圆C k 有两个交点，则2－1<|2k |<2＋1，得－322<k <－22或22<k <322，即k ∈(－322，－22)∪(22，322)，D 错误.故选ABC.14.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4.(1)若直线l ：(m －2)x ＋(1－m )y ＋m ＋1＝0(m ∈R )，证明：无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；(2)若过点P (1，0)的直线m 与圆C 相交于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线m 的方程.解：(1)证明：转化l 的方程(m －2)x ＋(1－m )y ＋m ＋1＝0，可得m (x －y ＋1)－2x ＋y ＋1＝0，－y ＋1＝0，2x ＋y ＋1＝0，＝2，＝3，所以直线l 恒过点(2，3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2＜4，得点(2，3)在圆内，即直线l恒过圆内一点，所以无论m为何值，直线l都与圆C相交.(2)由C的圆心为(3，4)，半径r＝2，易知此时直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为x＝my＋1(m≠0)，直线m的一般方程为my－x＋1＝0，圆心到直线m的距离d＝|4m－3＋1|m2＋（－1）2＝|4m－2|m2＋1，所以|AB|＝2r2－d2＝24－（4m－2）2 m2＋1，所以S2＝(12|AB|·d)2＝4－（4m－2）2m2＋1·（4m－2）2m2＋1，令t＝（4m－2）2m2＋1，可得S2＝4t－t2，当t＝2时，S2max＝4，所以△ABC面积的最大值为2，此时由2＝（4m－2）2m2＋1，得7m2－8m＋1＝0，得m＝1或m＝17，符合题意，此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，设d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.d <r Δ>0 d ＝r Δ＝0 d >r Δ<01．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5< 6.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．答案：B2．(必修②P132A 组第5题改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|9＋1＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭⎪⎫5－52＝10，即|AB |＝10.答案：103．(2016·新课标全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以(|a |2)2＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2.所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.答案：4π知识点二 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解4．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2 2.则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B5．(必修②P133A 组第9题改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0得4x －4y ＋8＝0，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0热点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．b ∈(－1,1] B ．b ＝－ 2C ．b ＝± 2D ．b ∈(－1,1]或b ＝－ 2【解析】 (1)方法1：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法2：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．(2)由x ＝1－y 2知，曲线表示半圆(如图)，让直线y ＝x ＋b 在图形中运动，可知当－1<b ≤1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b |2＝1，求得b ＝2(舍去)或b ＝－ 2.【答案】 (1)A (2)D(2017·重庆沙区模拟)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．－4<m <2C ．m <1D ．－3<m <1解析：由直线与圆相交的充要条件，得|1＋m |2<2⇔－3<m <1，所以直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0<m <1，故选A.答案：A热点二 圆的切线、弦长问题 考向1 有关切线问题【例2】 过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，求：(1)切线方程； (2)直线AB 的方程； (3)线段AB 的长度．【解】 (1)当切线的斜率存在时，设直线方程为y ＋3＝k (x －1)，即kx －y －k －3＝0， 由|4k －2－k －3|k 2＋1＝3，解得k ＝815. ∴切线方程为8x －15y －53＝0.当切线斜率不存在时，易知直线x ＝1也是圆的切线，∴所求切线方程为8x －15y －53＝0或x ＝1.(2)以PC 为直径的圆D 的方程为 (x －52)2＋(y ＋12)2＝172.∵圆C 与圆D 显然相交，∴直线AB 就是圆D 与圆C 公共弦所在直线．∴直线AB 方程为3x ＋5y －13＝0.(3)由S △PAC ＝12·3·5＝12·34·12|AB |，得|AB |＝153417.考向2 有关弦长问题【例3】 (2017·承德模拟)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2【解析】 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 【答案】 D(1)(2017·陕西宝鸡模拟)已知条件p ：k ＝3，条件q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切，则綈p 是綈q 的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·阜新模拟)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.解析：(1)若直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切，则有2k 2＋1＝1，解得k ＝±3，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选B.(2)因为(1－2)2＋(2)2＝3<4，所以点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，即直线l 交圆的弦长最短，此时圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .因为2－01－2＝－2，所以所求直线l 的斜率k ＝22. 答案：(1)B (2)22热点三 圆与圆的位置关系【例4】 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B ．32 C.94D ．2 3【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.【答案】 C1．把例4条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，②由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．2．将例4条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3. 又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 两式相减得：2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：11．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].直线与圆的最值与范围问题【例】 (1)设点P 是函数y ＝－4－x －2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a－3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．(2)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是______________．【解析】 (1)函数y ＝－4－x －2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，如图所示．由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋－2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.(2)因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径 1.所以|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1.由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋2 2.【答案】 (1)5－2 (2)[2＋22，＋∞) 解题策略：已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：如图，作OP ⊥AC 于点P ，OQ ⊥BD 于点Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，于是AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，所以S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．故四边形ABCD 面积的最大值为5.答案：A。

直线和圆的位置关系教学设计（高三第一轮复习）防城港市实验高级中学陈有发一、教材内容解析本节课内容是人教版A版全日制普通高中教科书（必修2）第四章《4.2直线与圆的位置关系》，本节课内容为高三第一轮复习。

本节课是平面解析几何的基础知识，它既是复习了前面学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础，也是高考重点考查的内容之一；它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力；2018年高考大纲要求：（1）能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；（2）能用直线与圆的方法解决一些简单的问题；（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

二、教学目标：知识目标：了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置的判定中的地位，并能应用几何法解决相关问题.能力目标：让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、分类讨论、函数与方程数学思想，注重培养学生的分析能力、计算、总结归纳等能力.情感态度价值观目标：培养学生善于思考的良好品质，激发学生学习数学的积极性. 重点：几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用.难点：通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力.三、教学设计： （一）知识回顾导入语：大家知道数学来源于生活，又服务于生活。

下面有一道生活问题，你能用学过哪方面的知识求解？一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为3km 的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西4km 处，港口位于小岛中心正北4km 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁的危险？问题1.将此生活问题转化为数学问题？ 分析：如图1所示生活问题转为数学问题：在平面直角坐标系中，以小岛为原点，判断直线40x y +-=与22O 9x y +=圆：的位置关系为引出课题：直线与圆的位置关问题2：回顾直线与圆的位置关系有哪些情形？是如何判定的？（二）自主构建例1.分别从几何角度和代数角度：判断直线40x y +-=与22O 9x y +=圆：的位置关系方法一 问题3.几何法判定直线与圆的位置关系解题步骤是什么？确定直线方程、圆心、半径R求圆心到直线的距离d比较d 与半径R 的大小方法二 问题4.代数法判定直线与圆的位置关系解题步骤是什么？直线方程确定直线与圆的方程联立22409x y x y ì+-=ïí+=ïî，消去y ，得22870x x -+= 联立方程组，消元， 得一元二次方程判别式D 与0的大小问题5.对比几何法与代数法，你更加喜欢哪一个？为什么？ 分析：几何法更加简洁、计算量少；代数法运用比较广泛 （三）应用探索请用你喜欢的方法解决以下问题：例2.已知过点(4,4)P 作22C 40x x y -+=圆：切线l ，则切线l 有几条？并且求切斜l 方程.分析：如图2所示，容易漏掉切线斜率不存在的情况.解：1）当斜率不存在时，则切线方程为4x =2）当斜率存在时，设直接的斜率为k ， 则直线方程为(4)4y k x =-+， 圆心(2,0)C ，半径2R =，\圆心C 到直接440kx y k --+=的距离2d =，解得34k =，\切线方程为314y x =+.问题6.如果利用代数法解决例1，你能否说说解题思路？分析：虽然用“代数法”解决例1，计算比较繁琐，但是解题思路还是要了解。