(2)解：①AC 与⊙O 的相切，证明如下： ∵OC⊥AD， ∴∠AOC＋∠2＝90°. 又∵∠C＝∠BED＝∠2， ∴∠AOC＋∠C＝90°. ∴AB⊥AC，即 AC 与⊙O 相切．
②解：连结 BD.
∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB＝90°. 在 Rt△AOC 中，∠CAO＝90°. ∵AC＝8，∠ADB＝90°，cos∠C＝cos∠BED＝45， ∴AO＝6，∴AB＝12. 在 Rt△ABD 中，cos∠2＝cos∠BED＝45， ∴AD＝AB·cos∠2＝12×45＝458.
【点拨】数形结合的思想方法在本题中体现较多．
【解答】(1)A 通过画图和点与圆的位置关系判定条件可判断 A 不正确．注意：判断点 与圆的位置关系关键是比较 d 与 r 的大小关系．
(2)C 考查圆与圆位置关系的确定，关键比较圆心距与 R＋r、R－r 之间的大小关系． (3)B 掌握本节知识是做对此题的关键，①③④正确． (4)相离 考查直线与圆的位置关系，关键比较圆心到直线的距离与 r 的大小关系．∵4 cm>3 cm，∴直线 l 与⊙O 相离．
知识点一 点与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是 r，点 到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r；(3)点在圆外⇔d>r.
2．过三点的圆 (1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆． (2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角 形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． (3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离为半径．
答案：16
5．如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过 O 作 OH⊥AC 于点 H.若 OH＝2，AB＝12，BO＝13.
求：(1)⊙O 的半径； (2)AC 的值．
解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，A 为切点，∴OA⊥AB. 在 Rt△AOB 中，AO＝ OB2－AB2＝ 132－122＝5. ∴⊙O 的半径为 5. (2)∵OH⊥AC，∴在 Rt△AOH 中， AH＝ AO2－OH2＝ 52－22＝ 21. 又∵OH⊥AC，∴AC＝2AH＝2 21.
5．(2010·湖州)如图，已知△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，D 是 A B 的中点，过
点 D 作直线 BC 的垂线，分别交 CB，CA 的延长线于 E，F. (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)若 EF＝8，EC＝6，求⊙O 的半径．
证明：(1)连结 OD 交 AB 于点 G.
6．(2010·衢州)如图，直线 l 与⊙O 相交于 A，B 两点，且与半径 OC 垂直，垂足为 H， 已知 AB＝16 cm，cos∠OBH＝45.
(1)求⊙O 的半径； (2)如果要将直线 l 向下平移到与⊙O 相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
解：(1)∵直线 l 与半径 OC 垂直， ∴HB＝12AB＝12×16＝8. ∵cos∠OBH＝HOBB＝45， ∴OB＝54HB＝54×8＝10. ∴⊙O 的半径为 10. (2)在 Rt△OBH 中， OH＝ OB2－BH2＝ 102－82＝6. ∴CH＝10－6＝4. ∴向下平移的距离是 4 cm.
【点拨】(1)考查三角形的内切圆，注意内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．(2) 切线的判定方法有三种：①和圆仅有一个公共点的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等 于半径的直线是圆的切线；③过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．此小 题利用③证明 AC 与⊙O 的位置关系．
【解答】(1)D 连结 O 与三角形其中一顶点和一边的切点，构造直角三角形求解．
6．如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 P，PD⊥AC 于点 D，且 PD 与 ⊙O 相切．
(1)求证：AB＝AC； (2)若 BC＝6，AB＝4，求 CD 的值．
(1)证明：连结 OP，则 OP＝OB，则∠B＝∠OPB. 又∵PD 与⊙O 相切，∴OP⊥PD. 又∵PD⊥AC，∴OP∥AC . ∴∠C＝∠OPB，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC. (2)解：已知 AB＝4，∴AC＝4.连结 AP. ∵AB 为直径，∴∠APB＝90°，即 AP⊥BC.
第2讲 点、直线、圆与圆的位置关系
①点与圆；②直线与圆；③圆与圆．
1．(2008·湖州)已知两圆的半径分别为 3 cm 和 2 cm，圆心距为 5 cm，则两圆的位置关系 是( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
解析：∵d＝5 cm，R＋r＝5 cm，∴d＝R＋r，∴两圆外切．
答案：B
2．(2008·丽水)右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是 ()
知识点三 切线的判定和性质
1．切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线． 2．切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； (3)推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
已知⊙O1 和⊙O2 相切，⊙O1 的直径为 9 cm，⊙O2 的直径为 4 cm，则 O1O2 的长是( )
A．5 cm 或 13 cm
B．2..5 cm 或 6.5 cm
【解析】相切包含两种情况：内切和外切．当两圆内切时，O1O2＝R－r＝92－42＝2.5 (cm)； 当两圆外切时，O1O2＝R＋r＝29＋42＝6.5 (cm)．故选 D.
∵D 是 AB 的中点，OD 为半径，∴AG＝BG. ∵AO＝OC，∴OG 是△ABC 的中位线． ∴OG∥BC，即 OD∥CE. 又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF 是⊙O 的切线． (2)解：在 Rt△CEF 中，CE＝6，EF＝8， ∴CF＝10. 设半径 OC＝OD＝r，则 OF＝10－r， ∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE， ∴FFOC＝OCED， ∴101－0 r＝6r，∴r＝145， 即⊙O 的半径为145.
A．外离 C．外切
B．相交 D．内切
解析：观察图案易知两圆外切．
答案：C
3．(2009·湖州)已知⊙O1 与⊙O2 外切，它们的半径分别为 2 和 3，则圆心距 O1O2 的长是 ()
A．O1O2＝1 B．O1O2＝5 C．1<O1O2<5 D．O1O2>5
解析：∵⊙O1 与⊙O2 外切，∴d＝R＋r＝2＋3＝5，即 O1O2＝5.
答案：B
4．(2008·嘉兴)如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，以 E 为圆心，EC 为半径的 半圆与以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则 sin∠EAB 的值为( )
43 A.3 B.4
43 C.5 D.5 解析：设⊙A，⊙E 半径分别为 R，r，则 AE＝R＋r，AB＝R，BE＝BC－CE＝R－r.在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2，∴(R＋r)2＝R2＋(R－r)2，∴R＝4r.∴BE＝3r，AE＝5r， ∴sin∠EAB＝ABEE＝35rr＝53. 答案：D
类型一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a，⊙A 的半径为 2， 下列说法中不正确的是( )
A．当 a<5 时，点 B 在⊙A 内 B．当 1<a<5 时，点 B 在⊙A 内 C．当 a<1 时，点 B 在⊙A 外 D．当 a>5 时，点 B 在⊙A 外 (2)⊙O1 的半径为 3 cm，⊙O2 的半径为 5 cm，圆心距 O1O2＝2 cm，这两圆的位置关系是 () A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 (3)有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角 形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 (4)已知⊙O 的半径为 3 cm，圆心 O 到直线 l 的距离是 4 cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系 是________．
类型二 三角形的内切圆和圆的切线的判定
(1)如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么这个正三角形的边长为( )
A．2 B．3 C. 3 D．2 3 (2)如图，AB 是半圆 O 的直径，过点 O 作弦 AD 的垂线交半圆 O 于点 E，交 AC 于点 C， 使∠BED＝∠C.
①判断直线 AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ②若 AC＝8，cos∠BED＝54，求 AD 的长．
知识点四 切线长定理
1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长．
2．切．线．长．定．理．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分这两条切线的夹角．
知识点五 两圆的位置关系
设 R、r 为两圆的半径，d 为圆心距． (1)两圆外离⇔d>R＋r； (2)两圆外切⇔d＝R＋r； (3)两圆相交⇔R－r<d<R＋r(R≥r)； (4)两圆内切⇔d＝R－r(R>r)； (5)两圆内含⇔d<R－r(R>r)． (注意：两圆内含时，如果 d 为 0，则两圆为同心圆)
∵AB＝AC，∴P 为 BC 的中点．∵BC＝6，∴PC＝3. ∵∠DCP＝∠PCA，∠PDC＝∠APC，∴△CDP∽△CPA， ∴CPDC＝APCC，即C3D＝43，亦即 CD＝94.
7．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的⊙O 与 AD、 AC 分别交于点 E、F，且∠ACB＝∠DCE.
