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直线与圆的位置关系(复习课).ppt

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2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)

2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)
条数
4
3
2
.
.
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两


(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.

直线与圆的位置关系课件(人教版)

直线与圆的位置关系课件(人教版)
？ 的线段中,最短的是_垂__线__段_
3、如何根据圆心到点的距离d与半径r的
？ .A 关系判别点与圆的位置关系
.O
1、点到圆心的距离___于半径时，点在圆外。 2、点到圆心的距离___于半径时，点在圆上。
C. . B 3、点到圆心的距离___于半径时，点在圆内。
.O
r d .A
.B
H.
l
相离
.O
3、直线与圆相交 < => d<r
符号“< => ”读作等___价___于_____，它表示两个方面： （1）“＝＞”即从左____端可以推右出___端
（反应直线与圆的某种位置关系的性质。）；
（2）“＜＝”即右从____端可以推左出___端
（反应直线与圆的某种位置关系的判定。）。
归纳与小结 直线与圆的位置关系
小结：
直线与圆有_三____种位置关系，是
用直线与圆的_公__共___点__的个数来定义
的。这也是判断直线 与圆的位置关系 的重要方法.
判断
练习1
１、直线与圆最多有两个公共
点 。…………………（√ ）
.O
２、若直线与圆相交，则直线上的 点都在圆内。… … … …(× )
.A m
..BO .C
3 、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB 与⊙O相离。… … … … …( × )
解：过C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，
AB=
2
2=
2
2
=5（cm） 根据三角形面积公式有
在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径的圆 与AB有怎样的位置关系？ 为什么？（1）r=2cm； （2）r=2.4cm (3)r=3cm。

人教版九年级上册-24.直线和圆的位置关系课件(共17张)

人教版九年级上册-24.直线和圆的位置关系课件(共17张)
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置 关系是（ C ）：
A．相离ห้องสมุดไป่ตู้
B.相交
C.相切
D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( √ )
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆
与直线BC的位置关系是 相离 ,以A为圆心,
3
为半径的圆与直线BC相切.
应用
例 已知：如图，∠AOB=30°，P为OB 上一点，且OP=5 cm，以P为圆心，以R为半径 的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？
(1) R 2cm
A
(2) R 2.5cm (3) R 4cm O
PB
练习
1.已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直
线 a 的距离为3 cm，则⊙O与直线a的
24.2直线和圆的位置关系
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r （2）d=r （3）d>r
点在圆内 点在圆上 点 在圆外
2、“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王 维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景 象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一 条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象 一下，直线和圆的位置关系有几种？
练习
5.设⊙O的半径为 4，圆心O到直线 a 的距离 为d，若⊙O与直线 a 至多只有一个公共点，
则 d 为（ C ）.
A d≤4 B d＜4 C d≥4 D d＝4
6.设⊙P 的半径为4 cm，直线 l 上一点A到圆心的
距离为4 cm，则直线 l 与⊙O的位置关系是（D ）.

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
, 到直线： − − = 的距离 =


≤ + ，解得−


≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】

2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】

题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得 的弦长．
分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
解析：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5. 点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×03＋2＋11－2 6|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为
|0＋0－8| 2
－
1＝(4 2－1) km.
即DE的最短距离为(4 2－1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意． 2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际 问题中建立直线与圆的方程． 3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． 4．把代数结果还原为实际问题的解释．
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ 51， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 51(m)．
答案：(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点 A(1,2)， 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为________．
5，则弦长＝2
r2－d2＝4
5.
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝

浙教版九年级下册2.1.3直线和圆的位置关系课件(共21张PPT)

浙教版九年级下册2.1.3直线和圆的位置关系课件(共21张PPT)

3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.
练一练
4、如图，∠APＣ=50°，PA、PC、DE都为⊙O的切线，
则∠DOE为 65° 。 变式：改变切线ＤＥ的位置，
C D
则∠DOE＝ 6；5°
CD
Ｆ
O
P
Ｆ
E
O
P
A
E
A
归纳：只要∠APＣ的大小不变，∠DOE也不变．
切线的性质３、４、５可归纳为：已知直线满 足a、过圆心，b、过切点，c、垂直于切线中任 意两个，便得到第三个结论。
试一试
1、如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l，请说明 AP=PB
的理由
圆的切线垂直于经过切点的半径 T
C
O
A
B
BOA
P
l
2、如图，AT切⊙O于点A，AB⊥AT，交⊙O于点B，BT
交⊙O于点C。已知∠B=300，AT= 3 。求⊙O的直径
如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D，E, 连结CD，CE.
1)求证: ∠ACD=∠AEC
2)找出图中的一对相似三角形，并说明理由。
E O
D
A
C
B
弦切角
弦切角定义：
顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与 圆相切的角叫弦切角.
C
∠BAC的特征：
(1) 顶点在圆上；
B
(2) 一边和圆相交； A B (3) 一边和圆相切。
练一练
练习1、判别下列图形中的角是不是弦切角， 并说明理由。（图中AB与圆相切于A）（ D）
A
B
C
D
弦切角

人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》圆PPT精品课件

出去的?
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
半径的直线是圆的切线.
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的 三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版 数学 九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点 和⊙，过点 能否作
1
• ∴MN= 2 OM=2.5cm.
• 所以(1)⊙M与直线OA相离，因为r<MN.
• (2)⊙M与直线OA相交，因为r>MN.
• (3)⊙M与直线OA相切，因为r=MN.
综合应用
• 6.已知⊙O的半径为 2 ，直线l与点O的距离为d，

第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习


(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)


|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|<r2+r1,所以两圆相交.
7.(人教A版选择性必修第一册第93页2.5.1节练习第3题改编)直线2x-y+2=0
8 5
被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为__________.
5
解析 圆的圆心坐标为(1,2),半径 r=2.
圆心到直线的距离 d=
)
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册2.5.1节例1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位
置关系为( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心(0,0)到直线 y=x+1,即 x-y+1=0 的距离 d=
而
2
0< <1,但是圆心不在直线
2
1
2
=
2
,
2
y=x+1 上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.
3
=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0
相切,则m=__________.
3
解析 圆的方程可化为 x2+(y-2)2=1,双曲线的一条渐近线方程为 x=my(m>0),
由题意得
|2|
1+
=1,解得
2
3
m= 或
3
3
m=- .又
3
m>0,所以
3
m= .
3
研考点
精准突破
考点一
直线与圆的位置关系
于m,则m的值为__________.
2
解析 由题知,圆心(1,1)到直线

《直线与圆的位置关系》PPT


（2）
（3）
l
·O
·O
l
·O
l
相离 （4）
相交
相切
·O
相交
l
思考讨论
O
l
相交
O
Al
相切
O
l
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
温馨提示
过直线外一点作这条直线的垂线段, 垂线段的长度叫点到直线 的距离.
.A
D
l
二、直线与圆的位置关系量化
直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.
一、直线与圆的位置关系（公共点的个数）
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆
公共点的个数) 2.用图形表示如下:
有两个公共点
有一个公共点
没有公共点
.o
l
相交
.o
.
.o
l
l
相切
相离
交 点
割 线
切 点
切 线
请你判断
看图判断直线l与⊙O的位置关系.
（1）
O 30°
2.5
MC= 1 OM= 1 x5=2.5
2
2
5M
B
即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
(1) 当 r = 2 cm 时，有 d > r, 因此⊙M 和 直线OA 相离. (2) 当 r = 4 cm 时，有 d < r, 因此⊙M 和直线O A 相交.
(3) 当 r = 2.5cm 时，有 d = r ，因此⊙M 和直线 OA 相切.
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(1)请你作出该小朋友将圆盘从点A滚动到点D时，其
圆心所经过的路线示意图;
C
(2) 求出此圆心经过路线的总长度。
D
40cm
o
10cm
A
60cm
40cm
60°
B
练一练
5、A村和B村在一条路的两端，这条路经过一条圆湖。 因为大桥整修，请你设计一条路线，使得A村到B村的 距离最短。
A
o
B
想一想
如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆 的面积尽可能的大？
O
A
B
切线性质：
1.经过切点的半径垂直于圆的切线。 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 前者为判定垂直，后者为判定直径或半径
在下列语句中：（1）OC是⊙O的半径；（2）直线 AB切⊙O于点C；（3）AB⊥OC. 请以其中两个语句为 条件，一个语句为结论。你能写出一个真命题吗？ （用序号表示）
已知： OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径6厘米。 求证：AB与⊙O相切。
以上两题辅助线的作法是否相
O
同？你分析出了什么结论？
A
C
B
证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线
若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再 证明直线与半径垂直 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线 作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。 如图⊙， O的半径 8厘 为米，圆A内 B＝8弦3厘米， 以O为圆心 4厘， 米为半径作小 证圆 ：， 小求 圆与 直线 AB相切。
练一练
1、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，
OC平行于弦AD。
求证：DC是⊙O的切线。
C
D
AO
B
A C
E OF
B
D
2、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和 CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。
练一练
3、如图，PC切⊙O于点C,PC=4cm，PO=6cm,求⊙O的半
A
O
B
C
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内 切圆的圆心叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外 切三角形。
三角形的内心是三角形内角平分线的交点。
A
三角形的内心是否也
有在三角形内、三角
形外或三角形上三种 O
不同情况。
B
C
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O
B
C
B
I C
做一做
1、在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°， （1）点O是三角形的内心，求∠BOC的度数。
两个圆有两个公共点。
没有公共点 外离 从公共点个数看两圆
公
（相离）
内含
位置关系
共 点 个
一个公共点 （相切）
外切 内切
数 两个公共点
• d：圆心距
（相交）
• R、r：两圆半径（R>r
两圆位置关系的 内）含 相交
外离
数量特征
R－r 内切
R＋r 外切
相切两圆的性质
A
B
P
A
B
P
如果两圆相切，那么切点在连心线上。
（2）若点O是三角形的外心呢？
A
A
O
E
B
C
B
C
2、△关AB于C中三，角E形是内内心心的，辅∠助A的线平：分线和D△ABC的外接 圆相交于点连D结。内求心证和：三DE角＝形DB的。顶点，该线平分三
角形的这一内角。
做一做
3、已知直角三角形的三边长分别为a，b，
B
c（斜边），求外接圆、内切圆半径；
R= —c2
____相__切_______.
（3）若d＝5，则直线L与⊙O的位置关系是
____相__离_______.
圆的切线的判定 直线和圆有唯一的公共点
圆心到直线的距离d等于半径r时，直线和圆相切 切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
相交两圆的性质
AO1ຫໍສະໝຸດ O2相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 B
1、今天我们一起复习哪些圆的有关知识？ 2、今天我们探究的问题都有什么特点？ 3、对今天的问题你还有什么困惑？ 4、今天你有什么收获吗？
1、如图，直线y= 4 x+4与x轴、 y轴分别交于Ｍ、Ｎ。
3
（１）求Ｍ、Ｎ的坐标。
（２）如果点Ｐ在坐标轴上，以点Ｐ为圆心，12 为半径
2020/11/10
d
dd
直线与圆相离〈=〉d>r,无公共点
直线与圆相切〈=〉d=r,一个公共点
r
●
直线与圆相交〈=〉d<r,两个公共点
2020/11/10
做一做
已知⊙O的半径r为4，设圆心O到直线L的距离是d. （1）若d＝3，则直线L与⊙O的位置关系是
____相__交_______.
（2）若d＝4，则直线L与⊙O的位置关系是
径。
C
变一变
P
O
若PC切⊙O于点C,延长PO交⊙O于A、B两点，AB=2PA.
（1）求∠P的正弦.
C
C
PA
OB
PA
OB
若PC切⊙O于点C,延长PO交⊙O于A、B两点，AB=2PA （2）连结BC，你还能得到什么结论？
练一练
（3)若过点P作∠CPB的平分线交BC于点M，求∠CMP的 度数。
C
M
PA
OB
一个圆的外部。
两个圆有唯一公共点， 并且除这公共点外，每 个圆上的点都在另一个 圆的内部。
R O1
r d O2
d>R+r
R r
O1 d O2
d<R-r
两个圆没有公共点， 并且每个圆上的点都 在另一个圆的外部。
两个圆没有公共点， 并且每个圆上的点都 在另一个圆的内部。
R r
O1
d
O2
R-r<d<R+r
r = —a—+b—-c— 2
4、已知等边三角形的边长为a，求
它的外接圆、内切圆半径
A
A
c
O a
I
b
C
基本思路：
RO
r
B
D
C
构造三角形BOD，BO为外 接圆半径，DO为内切圆半 径。
圆与圆的位置关系
R O1
r
d O2
R
O1 d
r O2
d=R+r
d=R-r
两个圆有唯一公共点， 并且除这公共点外， 每个圆上的点都在另
C
M
P
AO
B
(4)若点P在直径BA的延长线上运动（PC仍为切线）， ∠CMP的大小是否发生变化？试说明理由。
练一练
4、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上 滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水 平的，BC与水平面的夹角为600，其中AB=60cm， CD=40cm,BC=40cm.
的圆与直线y= 4 x+4相切，求点Ｐ的坐标。 5
3
y
Ｎ
Ｍ
Ｏ
x
2、在平面直角坐标下，⊙O的半径为2，圆心在原点， 已知反比例函数图象y=2/x 与⊙O在第一象限只有一个 交点B， （1）反比例函数图象与⊙O在第三象限也只有一个 交点吗？为什么？ （2）你能找到另一个反比例函数，使得在一个象限 内与⊙O只能有一个交点。 （3）你能求出点B的坐标吗？ （4）是否存在经过点B的切线与这两个交点（第（2） 题）所在的直线平行？若存在，求出这条切线，若不 存在，请说明理由？