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专题跟踪训练(十一)一、选择题1．(2015·重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6[解析] 由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0，故选B.[答案] B2．(2015·河南郑州第一次质量预测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2[解析] 依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，选D. [答案] D3．(2015·山西太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 [解析]在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，∴a 2＝2，a 4＝12，∴q 2＝a 4a 2＝14，∵a 3>0，a 2＋a 4>0，∴q >0，∴q ＝12，a 1＝a 2q ＝4，故选B.[答案] B4．(2015·辽宁沈阳质量监测一)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由题意S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.解法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.所以选D.[答案] D5．(2015·河南洛阳统考)设等比数列{a n }的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，而a 1的正负性未定，故无法判断数列{a n }的单调性，因此“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件，故选D.[答案] D6．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．48 [解析]由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎨⎧a 3＋a 5＝20a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎨⎧a 1q 2＝4a 1q 4＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1q ＝2，所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31，故选A.[答案] A7．设数列{a n }是首项为a 1，公差为1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1、S 2、S 4成等比数列，则a 2 015＝( )A ．4 030B ．4 029C ．2 014 D.4 0292[解析] 因为S 1、S 2、S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，所以(2a 1＋1)2＝a 1(4a 1＋6)，解得a 1＝12.所以a n ＝12＋(n －1)×1＝n －12(n ∈N *)，故a 2 015＝4 0292，选D.[答案] D8．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．3＋2 2 B ．3－2 2 C ．2＋3 2 D ．2＋2 2[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0.因为a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，故选A.[答案] A9．(2015·江西南昌调研)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2 015<0B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 015>0D ．若a 4>0，则S 2 014>0 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0，当q ≠1时，S 2 015＝a 1(1－q 2 015)1－q ，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.[答案] C10．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.12nB.12n －1C.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1D.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n[解析] 解法一：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意知a 1>0，且a n ＝12·q n －1，又S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以2(S 5＋a 5)＝S 3＋a 3＋S 4＋a 4，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝a 1＋a 2＋2a 3＋a 1＋a 2＋a 3＋2a 4，化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12，又q >0，故q ＝12，a n ＝12n ，选择A.解法二：在A 、B 、C 、D 四个选项中，令n ＝1，可以验证B 、D 不满足题设条件，排除；对于A 选项，由a n ＝12n 分别求出S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4，可以验证这三个值构成等差数列，故选A.[答案] A11．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] 据已知得2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，又a n ≠0，故a 7＝4，又由等比中项性质得b 6b 8＝b 27＝a 27＝16，故选D.[答案] D12．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)1an＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝21a n ＋1，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)．b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.[答案] C 二、填空题13．(2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.[解析] 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.[答案] 114．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]∵⎩⎨⎧a 1＋a 4＝9a 2a 3＝8，∴⎩⎨⎧a 1＋a 4＝9a 1a 4＝8，则a 1，a 4可以看作一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，故⎩⎨⎧a 1＝1a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8a 4＝1，∵数列{a n }是递增的等比数列，∴⎩⎨⎧a 1＝1a 4＝8，可得公比q ＝2，∴前n 项和S n ＝2n －1.[答案] 2n －115．(2015·江西九江一模)等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差为________．[解析] ∵a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，∴(m －n )d ＝1n －1m ，∴d ＝1mn ，∴a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12 015，即d ＝12 015. [答案] 12 01516．在等比数列{a n }中，2a 3－a 2a 4＝0，若{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n}的前5项和等于________．[解析]a23－2a3＝0，a3≠0，∴a3＝2，b3＝2，b n的前5项和为5(b1＋b5)2＝5b3＝10.[答案]10。
