2015年楚雄州普通高中高三上学期末教学质量检测(文科数学试题参考答案及评分标准)

2015-2016学年云南省楚雄州高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•新课标II）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）（2014•新课标II）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）（2016•绍兴二模）已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2016•安徽校级一模）已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（5分）（2016春•楚雄州期末）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前10项和S10=（）A．110 B．99 C．55 D．456．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）（2016春•楚雄州期末）过抛物线y=2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被它切得的弦长为（）A．2 B．1 C．0.25 D．0.58．（5分）（2016•曲靖校级模拟）一个算法程序如图所示，则输出的n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．39．（5分）（2016春•楚雄州期末）已知函数f（x）=x2﹣2x+b在区间（2，4）内有唯一零点，则b的取值范围是（）A．R B．（﹣∞，0）C．（﹣8，+∞）D．（﹣8，0）10．（5分）（2014•新课标II）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）11．（5分）（2010•湖南模拟）设F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若•=0 且||||=2ac（c=），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．（5分）（2015•西安校级三模）已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，3）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．（5分）（2011•江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．14．（5分）（2015•新课标II）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（5分）（2014•青岛二模）已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（x，y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为=x+60，其中的值没有写上．当x等于﹣5时，预测y的值为．16．（5分）（2014•红塔区校级模拟）在数列{a n}中，a n=﹣n2+λn，且{a n}为递减数列，则λ的取值范围为．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016•西宁校级模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．18．（12分）（2016春•楚雄州期末）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），f（x）=（﹣）•．．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）已知锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．其面积S=，f（A﹣）=﹣，a=3，求b+c的值．19．（12分）（2014•九江模拟）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．（Ⅰ）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？20．（12分）（2016春•楚雄州期末）如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=，AF=BE=2，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AM⊥平面ADF．21．（12分）（2016春•楚雄州期末）设椭圆+=1（a＞b＞0），过M（2，）、N（，1）两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+4（k＞0）与圆x2+y2=相切，并且与椭圆E相交于两点A、B，求证：⊥．22．（12分）（2016春•楚雄州期末）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx（x∈R）．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．2015-2016学年云南省楚雄州高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•新课标II）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•新课标II）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）（2016•绍兴二模）已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若¬p为真，则p且假命题，则p∧q为假成立，当q为假命题时，满足p∧q为假，但p真假不确定，∴￢p为真不一定成立，∴“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题真假之间的关系是解决本题的关键，比较基础，4．（5分）（2016•安徽校级一模）已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】求出，将式子展开计算．【解答】解：=2，=5，=﹣1﹣2=﹣3．∴=2+=4﹣3=1．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5．（5分）（2016春•楚雄州期末）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前10项和S10=（）A．110 B．99 C．55 D．45【分析】a2，a4，a8成等比数列，可得=（a1+2）（a1+14），解得：a1．再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵a2，a4，a8成等比数列，∴=a2a8，可得=（a1+2）（a1+14），化为：a1=2．则{a n}的前10项和S10=2×10+×2=110．故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2016春•楚雄州期末）过抛物线y=2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被它切得的弦长为（）A．2 B．1 C．0.25 D．0.5【分析】抛物线方程化为标准方程，即可得出结论．【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，焦点坐标为（0，），y=时，x=±，∴过抛物线y=2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被它截得的弦长为0.5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）（2016•曲靖校级模拟）一个算法程序如图所示，则输出的n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的n值是多少．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；m=1，n=0，m≤100，m=0+20•1=1；n=1，m≤100，m=1+21•1=3；n=2，m≤100，m=2+22•3=14；n=3，m≤100，m=3+23•14=115；n=4，m＞100，输出n=4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．9．（5分）（2016春•楚雄州期末）已知函数f（x）=x2﹣2x+b在区间（2，4）内有唯一零点，则b的取值范围是（）A．R B．（﹣∞，0）C．（﹣8，+∞）D．（﹣8，0）【分析】由题意知，函数f（x）=x2﹣2x+b在区间（2，4）内有唯一零点，必须满足f（2）f（4）＜0即可，转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：函数f（x）=x2﹣2x+b在区间（2，4）内有唯一零点，∴f（2）•f（4）＜0，∴（22﹣2×2+b）（42﹣2×4+b）＜0，∴﹣8＜a＜0，则b的取值范围（﹣8，0）．故选D．【点评】本题考查二次函数的性质、函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点．10．（5分）（2014•新课标II）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．11．（5分）（2010•湖南模拟）设F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若•=0 且||||=2ac（c=），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2﹣2||||，得到e2﹣e﹣1=0，解出e．【解答】解：由题意得，△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2﹣2||||=4a2﹣4ac，∴c2﹣ac ﹣a2=0，e2﹣e﹣1=0 且e＞1，解方程得e=，故选A．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用勾股定理及双曲线的定义建立a、c的关系是解题的关键．12．（5分）（2015•西安校级三模）已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，3）【分析】由f（﹣x）•x＞0，得f（x）•x＜0，由图象知，当x∈（0，3）时不等式的解，根据奇函数性质可得x∈（﹣3，0]时不等式的解．【解答】解：f（﹣x）•x＞0即﹣f（x）•x＞0，所以f（x）•x＜0，由图象知，当x∈（0，3）时，可得0＜x＜1，由奇函数性质得，当x∈（﹣3，0]时，可得﹣1＜x＜0，综上，不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（﹣1，0）∪（0，1），故选A．【点评】本题考查函数奇偶性的应用，考查数形结合思想，属基础题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．（5分）（2011•江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．14．（5分）（2015•新课标II）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（5分）（2014•青岛二模）已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（x，y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为=x+60，其中的值没有写上．当x等于﹣5时，预测y的值为70．【分析】样本点的中心为（10，40），代入回归直线方程，求出，再由x等于﹣5时，预测y的值．【解答】解：由题意，=（18+13+10﹣1）=10，=（24+34+38+64）=40，∵线性回归直线方程为=x+60，∵40=10+60，∴=﹣2，∴x等于﹣5时，预测y的值为（﹣2）×（﹣5）+60=70．故答案为：70．【点评】本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2014•红塔区校级模拟）在数列{a n}中，a n=﹣n2+λn，且{a n}为递减数列，则λ的取值范围为（﹣∞，3）．【分析】由于{a n}为递减数列，可得a n+1＜a n．即可得出．【解答】解：∵{a n}为递减数列，∴a n+1＜a n．∴﹣（n+1）2+λ（n+1）＜﹣n2+λn，化为λ＜2n+1，对于∀n∈N*都成立，∴λ＜2×1+1=3．∴λ的取值范围为（﹣∞，3）．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】本题考查了数列的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016•西宁校级模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【分析】（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．【解答】解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．18．（12分）（2016春•楚雄州期末）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），f（x）=（﹣）•．．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）已知锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．其面积S=，f（A﹣）=﹣，a=3，求b+c的值．【分析】（Ⅰ）根据数量积积的定义，求出f（x）的表达式，即可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），∴﹣=（cosx﹣sinx，），∴f（x）=（﹣）•=（cosx﹣sinx）cosx﹣=，，得，k∈Z．即函数的单调性递增区间为：．（Ⅱ）∵，∴，∵0，∴0＜2A＜π，∴，即A=，∵=，∴bc=4．由余弦定理得a2=b2+2﹣2bccos⁡A，∴9=b2+c2﹣bc，∵（b+c）2=b2+c2+2bc=9+3bc=21，∴b+c=．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出f（x）的表达式以及三角形的面积公式和余弦定理是解决本题的关键．19．（12分）（2014•九江模拟）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．（Ⅰ）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？【分析】（Ⅰ）利用中位数、平均值的意义即可得出；（Ⅱ）利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）男生共14人，中间两个成绩是175和176，它们的平均数为175.5．因此男生的成绩的中位数是175.5．女生的平均成绩==181．（Ⅱ）用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是=．根据茎叶图，“甲部门”人选有8人，“乙部门”人选有12人．所以选中的“甲部门”人选有=2人，“乙部门”人选有=3人．记选中的“甲部门”的人员为A1，A2，选中的“乙部门”人员为B，C，D．从这5人中选2人的所以可能情况为：（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A2，B），（A2，C），（A2，D），（B，C），（B，D），（C，D），共10种．其中至少有1人是“甲部门”人选的结果有7种．因此，至少有1人是“甲部门”人选的概率是．【点评】熟练掌握中位数、平均值的意义、分层抽样及列举法、古典概型的计算公式是解题的关键．20．（12分）（2016春•楚雄州期末）如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=，AF=BE=2，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AM⊥平面ADF．【分析】（Ⅰ）利用矩形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用平行四边形的判定定理和性质定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理即可得出．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC．∵四边形ABCD是矩形，Q为BD的中点．∴Q为AC的中点．又在△AEC中，P为AE的中点，∴PQ∥EC．∵EC⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE；（Ⅱ）∵M是EF的中点，∴EM=AB=，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AM∥BE，AM=BE=2，又∵AF=2，MF=．∴AM2+AF2=MF2，∴∠MAF=90°．∴MA⊥AF．∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥AM．又∵AF∩AD=A，∴AM⊥平面ADF．【点评】熟练掌握矩形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理是解题对的关键．21．（12分）（2016春•楚雄州期末）设椭圆+=1（a＞b＞0），过M（2，）、N（，1）两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+4（k＞0）与圆x2+y2=相切，并且与椭圆E相交于两点A、B，求证：⊥．【分析】（Ⅰ）利用代入法可求椭圆E的方程；（Ⅱ）联立与椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式，证明x1x2+y1y2=0，从而解决问题．【解答】（Ⅰ）解：因为椭圆+=1（a＞b＞0），过M（2，）、N（，1）两点，所以，所以…（3分）所以椭圆E的方程为…（4分）（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得：d==，所以k=…（6分）联立直线与椭圆方程可得11x2+16x+24=0，有x1+x2=﹣，x1x2=…（9分）所以x1x2+y1y2=6x1x2+4（x1+x2）+16=0 …（12分）所以⊥…（13分）【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．22．（12分）（2016春•楚雄州期末）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx（x∈R）．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，f（x）=x﹣﹣lnx，（x＞0），f′（x）=1+﹣，可得f′（1）=1，又f（1）=0，利用点斜式即可得出；（2）f′（x）=a+﹣=，函数f（x）在其定义域内为增函数，f′（x）≥0在其定义域内恒成立，即，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣﹣lnx，（x＞0），f′（x）=1+﹣，∴f′（1）=1，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为y=x﹣1；（2）f′（x）=a+﹣=，∵函数f（x）在其定义域内为增函数，∴f′（x）≥0在其定义域内恒成立，∴，∵x＞0，∴=．∴，∴a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、切线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i为虚数单位，607i=（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】A.【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B.【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力. 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性. 6.函数256()4||lg3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题. 【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b<时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA =，则OA OB⋅=_________．【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题. 【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB=.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2g a. 当a=_________=-在区间[0,1]上的最大值记为()()||f x x ax时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法. 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π125π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力. 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向. 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC.四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x'<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1MN=．当栓子D在DN ON==，3滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题. 【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。

2015届高三教学质量检测考试文科数学2014.12本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集2{0,1,2},{|20}M B x x x ==+-≤，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,2 2. 命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ） A. x ∀∈R ,20x ≤ B. x ∃∈R ,20x >C. x ∃∈R ，20x <D. x ∃∈R ，20x ≤3. 若复数z 满足()12z i i +=，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A (1，1) B (1，-l) C (-l ，1) D (-l ，-l)4. 等差数列{}n a 中，14725839,33a a a a a a ++=++=，则6a 的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,e ）D ．（3,4）7. 函数x y 2cos =的图像可以看作由x x x y cos sin 2cos 23+=的图像（ ）得到A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π单位长度 D ．向右平移6π单位长度8. 已知直线,,l m 平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出下列四个命题①若α∥β，则l m ⊥ ②若l m ⊥，则α∥β ③若αβ⊥，则l ∥m ④若l ∥m ，则αβ⊥ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④9. 圆222440x y x y +-+-=与直线2220()tx y t t ---=∈R 的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上都有可能 10. 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为（ ） A．2 B ．2 C ．2D ．2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607iA ．iB ．iC ．1D ．1【答案】A . 【解析】试题分析：因为6072303()ii i i ，所以应选A .考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“(0,)x ，00ln 1x x ”的否定是A ．0(0,)x ，00ln 1x x B ．0(0,)x ，00ln 1x x C ．(0,)x ，ln 1xx D ．(0,)x，ln 1xx 【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x，ln 1xx ，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x ，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A .考点：1、线性回归方程；5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg3xx f x x x 的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]【答案】C . 【解析】试题分析：由函数()yf x 的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03xx x x ，解之得22,2,3x xx，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .考点：1、函数的定义域求法；7.设xR ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x xx x则A ．|||sgn |x x x B ．||sgn ||x x x C ．||||sgn x x x D ．||sgn x x x【答案】D .考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12xy”的概率，2p 为事件“12xy”[来源:]的概率，则A ．1212p p B ．1212p pC ．2112p p D ．2112p p 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意知，事件“12xy ”的概率为11111222118p ，事件“12xy”的概率02S p S，其中11021111(1ln 2)222S dx x，111S，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S，故应选B .考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b 同时增加(0)m m个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e eB ．当a b 时，12e e ；当a b 时，12e eC ．对任意的,a b ，12e e D ．当ab 时，12e e ；当ab 时，12e e 【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}Ax y xyx y Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x yZ ，定义集合[来源:]12121122{(,)(,),(,)}A B x x yy x y A x y B ，则A B 中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ，||3OA ，则OA OB_________．【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,xy x y xy 则3xy 的最大值是_________．【答案】10.【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得:目标函数3zx y 过点(3,1)B 取得最大值，即max33110z ，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x xx 的零点个数为_________.【答案】2.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【解析】[来源:学科网]试题分析：由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.12.50.10.11a ，解之得3a .于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000，故应填3；6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；[来源:学科网ZXXK]16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________. 【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y ；（Ⅱ）12.【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；ABCD17.a为实数，函数2f x x ax在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a_________时，()||g a的值最小.()【答案】22 2.[来源:学科网ZXXK]考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；。

2015高三数学质量检测一文科答案一、选择题：1-5CBCBA 6-10BADCC 11-12 DB二、填空题：13. 6 14. 12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦15． －13 16. 5π三、解答题17．解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+=202)14(44211d a a 解得2=d ………………3分 故，n a n 2= ……………………… 5分 (Ⅱ)由已知可得)111(41)1(41+-=+=n n n n b n ， ……………………… 6分)1(4)111(41)111()111()3121()211(41+=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--++-+-⨯=n n n n n n n T n ……………………… 10分18. 解：(Ⅰ)由b C a 33sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+π 变形为B C C A sin 33sincos 3cossin sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+ππ()[]C A C A C A +-=+πsin 3cos sin 3sin sin()C A C A C A +=+sin 3cos sin 3sin sin ………………2分C A C A C A C A sin cos 3cos sin 3cos sin 3sin sin +=+ C A C A sin cos 3sin sin =因为0sin ≠C 所以A A cos 3sin =3tan =A ………………4分又()3,0ππ=∴∈A A ………………6分(Ⅱ)在ABD ∆中，3=AB ，13=BD ，3π=A利用余弦定理，222cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+解得4=AD ， ………………8分 又E 是AC 的中点 8=∴AC36sin 21=⋅⋅⋅=∆A AC AB S ABC ………………12分 19．证明(Ⅰ)：取AD 的中点E ，连接PE ，BE ，BD ．∵P A ＝PD ＝DA ，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，∴△P AD 和△ABD为两个全等的等边三角形， ．．．．．．．．．2分 则PE ⊥AD ， BE ⊥AD ，PEBE E =∴AD ⊥平面PBE ， ．．．．．．．．．4分又PB ⊂平面PBE ，∴PB ⊥AD ； ．．．．．．．．．6分 (Ⅱ)在△PBE 中，由已知得，PE ＝BE ＝3，PB ＝6，则PB 2＝PE 2＋BE 2，∴∠PEB ＝90°，即PE ⊥BE ，又PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ； ．．．．．．．．．8分 在等腰△PBD 中，PD ＝BD ＝2，PB ＝6，∴△PBD 面积为 1 2×6×102；又△BCD 面积为3， ．．．．．．．．．10分设点C 到平面PBD 的距离为h ，由等体积即V C －PBD ＝V P －BCD 得： 1 3× 1 2×6×102h ＝ 1 3×3×3，∴h ＝2155， ∴点C 到平面PBD 的距离为2155． ．．．．．．．．．12分 20.解：（I ）北方工厂灯具平均寿命：3500.124500.285500.46500.127500.08526x =++++=⨯⨯⨯⨯⨯北方小时；…………3分南方工厂灯具平均寿命：3500.124500.285500.366500.24522x =+++=⨯⨯⨯⨯南方小时. …………6分（Ⅱ）由题意样本在[600,700)的个数为3个，在[700,800)的个数为2个；…………8分 记灯具寿命在[600,700)之间的样本为1,2,3；灯具寿命在[700,800)之间的样本为a ，b . 则：所抽取样本有（1,2），（1,3），（1,a ），（1，b ），（2,3），（2，a ），（2，b ），（3，a ），（3，b ），（a ，b ），共10种情况，…………10分 其中，至少有一个灯具寿命在[700,800)之间的有7种情况， 所以，所求概率为710P =. …………12分ABCDPE .21.解：（Ⅰ）由题意得322643c a c =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，得23a =. ……2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ……3分所以，椭圆的方程为131222=+y x . ……4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+， ……6分易知，22AF BF ⊥， ……7分 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ……8分即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ……9分 将其整理为 422424218818111818a a k a a a a -+==---+-. ……10分因为24k >，所以21218a <<，即2332a <<23e <<.……12分 22.解：（Ⅰ）由已知2()f x x a x '=++，2(2)202f a '=++=，3a =- 经检验3a =-时，()f x 在2x =处取得极值………2分2()3f x x x'=-+， (1)0f '=，又5(1)2f =-………3分所以曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程52y =-……… 4分（Ⅱ）函数的定义域为(0,)+∞，()222x ax f x x a x x++'=++=………5分设()22g x x ax =++，当280-≤a ，即a -≤≤时，()()0,0g x f x '≥≥，()f x 在(0,)+∞单调递增；………7分当280,->a 即a >或a <-若a >()()0,0g x f x '>>，()f x 在(0,)+∞单调递增；………8分若a <-()0=g x 在(0,)+∞有两个正根12,x x12x x ==………9分则1(0,)x x ∈时，()()0,0g x f x '>>，()f x 在区间1(0,)x 单调递增；12(,)x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，()f x 在区间12(,)x x 单调递减；2(,)x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>>，()f x 在区间2(,)+∞x 单调递增；………11分综上所述：a ≥-()f x 在(0,)+∞单调递增；a <-()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增；()f x 在12(,)x x 单调递减. ………12分法2：()222++'=++=x ax f x x a x x………5分函数的定义域为(0,)+∞，从而()2f x x a a x '=++≥+当a ≥-()20f x x a a x'=++≥+≥， 函数()f x 在(0,)+∞单调递增；………7分当a <-()22g x x ax =++，此时方程()0=g x 在(0,)+∞有两个正根12,x x12x x ==………9分则1(0,)x x ∈时，()()0,0g x f x '>>，()f x 在区间1(0,)x 单调递增；12(,)x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，()f x 在区间12(,)x x 单调递减；2(,)x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>>，()f x 在区间2(,)+∞x 单调递增；………11分综上所述：a ≥-()f x 在(0,)+∞单调递增；a <-()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增；()f x 在12(,)x x 单调递减. ………12分。

楚雄州2015年高三年级上学期期末考试卷文科数学（考试时间：120分钟）第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）设集合M ={x| x(1-x)<0}，N =｛-2，-1，0，1，2｝，则M N ⋂=(A)｛-2，-1，1，2｝ (B)｛-2，-1，0，1｝ (C)｛-1，1｝ (D)｛-2，-1，2｝（2）i 为虚数单位，复数1+i i在复平面内对应的点到原点的距离为 (A)21 (B)22 (C) 1(D) 2（3）已知向量(2,2)m x =+ ，(1,1)n x =+ 。

若()()m n m n +⊥-，则x =（A ） -3（B ） -1（C ）-3或-1（D ） 1（4）已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =--1的最大值为（A ）5 （B ）4 （C ）12（D ） 3- （5）某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据及线性回归方程a bx y+=ˆ(b =-2)可预测气温为-4℃时，用电量的度数约为 (A) 65.5(B) 66.5(C) 67.5(D) 68.5（6）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2a =2，243a a +=16，则5a =（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4（7）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的单位长度，可得这个几何体的体积是（A ）3π （B ）23π （C ） 1524π （D ） 43π（8）若函数f(x)=sin ωx ，x ∈[0,π],则 “函数f(x)仅有两个极值点”是“函数f(x)至少有一个零点”的（A ）充要条件 （B ）既不充分也不必要条件 （C ）充分但不必要条件 （D ）必要但不充分条件 （9）执行如图所示程序框图，则输出的S= （A ）10 （B ）-6（C ）3 （D ）-15（10）已知抛物线y=x 2+2x+2的焦点坐标是（A ）（-34，1） （B ） （-1，1） （C ）（-1，54） （D ）（-1，-54）(11) 设三棱锥的所有棱的长都相等，顶点都在一个球面上， 则该球半径与该三棱锥的高的比为（A ）43 （B ）2 （C ）12 （D ）34（12）已知函数f(x)=x+e x(x<0)与g(x)=x-ln(x+a)的图象上存在关于原点对称的点，则a的取值范围是(A) (,0]-∞ (B)(,]e -∞ (C) （-∞，e ） (D) [0,)e第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） （13）若sin 2(α+4π)=13，则sin2α= . (14) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1-m S =-2，m S =0，1+m S =3，则等差数列{}n a 的公差d=___________.(15) 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是y=±x ，则它的离心率是 .（16）设曲线sin x y e x π-=+在点（π，1）处的切线为m ，则m 上的点到曲线x 2+y 2-2x+2y+1=0上的点之间的最大距离是 .三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） （17）(本小题满分12分)设函数2()cos 2cos f x x x x =+.（I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边。

数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8． 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．30二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________．12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半 轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.第16题图第14题图 第15题图AB三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 第20题图21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．第22题图1第22题图2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．9 12．10 13．2 14．（Ⅰ）3；（Ⅱ）600015． 16．（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1-- 17．2三、解答题（本大题共5小题，共65分） 18．（12分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 19．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9nn n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得 221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-.20．（13分）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠ （Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE CE ==， 于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅21．（14分） （Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22．（14分）（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为，短半轴长为，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.第22题解答图（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

2015届高三文科数学综合测试（一）参考答案一、选择题1-5，CBBDB 6-10,CBCBC 二、填空题11、150 12、-9 13、3 14、213- 15、 12三、解答题16、解：（1）(0)2sin()16f π=-=- 4分（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 6分16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3c o s 5β= 8分 ∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= 10分∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 12分 17、解： ⑴优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110………………………3分（2）假设成绩与班级无关，则()22211010302050()7.5()()()()30805060n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯-==≈++++⨯⨯⨯则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。

………………………8分（3）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为),(y x .所有的基本事件有:)1,1(、)2,1(、)3,1(、 、)6,6(共36个. ………………………10分事件A 包含的基本事件有:)6,3(、)5,4(、)4,5(、)3,6(、)5,5(、)6,4(、)4,6(共7个………………… …12分所以367)(=A P ,即抽到9号或10号的概率为367. ………………………13分18、（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ ………………………2分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分 注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ ……………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥…………………………5分 PCAC C =， ∴BE ⊥平面PAC ……………………6分（2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG . ……………7分 ∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ， ∴//CG 平面BEF .…………8分 同理可证：//GM 平面BEF .又CG GM G =， ∴平面//CMG 平面BEF . …………9分 ∵CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . …………10分 （3）由（1）可知BE ⊥平面PAC ，又由已知可得22=BE .238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF …………11分∴93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F …………12分所以三棱锥ABE F -的体积为932. …………13分19、解：（1）由已知和得，当2≥n 时，23))1(21)1(23()2123(221-=-----=-=-n n n n n S S b n n n ……2分又21311-⨯==b ，符合上式。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知11aii+-为纯虚数（i 是虚数单位）则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-3．在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且2=，s r +=，则s r += （ ） A ．32 B ．34 C ．3- D ．0 【答案】D 【解析】4．设函数=)(x f 2ln x x +，曲)(x f y =线在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A ．x y 3= B ．23-=x y C ．12-=x y D ．32-=x y5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为﹣4，则输出y 的值为（ ） A.0.5 B.1 C.2 D.4第三次运行，3x >成立，1x =所以6．在ABC∆中，若1tantan>BA，则ABC∆是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定7．若实数x，y满足线性约束条件3122x yx y x+≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，则z=2x y+的最大值为（）A． 0 B． 4 C． 5 D．78．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29 D ．199．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π10．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若12AB BC=，则双曲线的离心率是（）A B C考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质.11．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③12．已知函数*()21,f x x x =+∈N ，若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有（ ） A ．2个 B .3个 C .4个 D . 5个考点：1、新定义；2数列求和.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设()f x =2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝ ．14．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.15．已知角α为第二象限角，,53sin =α则=α2sin _ _____．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角的三角函数公式.16．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，则当CPQ ∆的面积最大时，实数a 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为92n a n =-，n S 是{}n a 的前n 项的和。