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§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
即将s复平面的纵坐标向左 平移一个单位,变成z平面.
×
× ×
z s
σ =1
例:验证系统 2s 3 + 11s 2 + 22s + 15 = 0 是否有σ=1的裕量? 解:首先判定系统稳定性
s3 s2 s1 s0 2 11 19 . 3 15 22 15
系统稳定
s n2 b1 s n3 c1 n 4 s d1 s
0
列计算到其余项为0为止 行计算到s0行为止
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
其中
1 an an4 1 an an6 1 an an2 b2 = b3 = b = 1 an1 an1 an5 an1 an1 an7 an1 an1 an3
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
3. 临界稳定 临界稳定:系统输出在原平衡状态附近等 幅振荡,有闭环共轭极点分布在虚轴上. 4. 不稳定 不稳定:系统扰动消失后不能回到平衡位 置且偏差越来越大(发散).
二,线性系统稳定的充要条件
由上一节,线性系统暂态分量的衰减与否,决 定于闭环系统传函的极点(系统的特征根)在s 复平面的分布.
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
检验是否有σ=1的裕量 令 z = s +1 即
s = z 1 代入原特征方程
得到新的特征方程式
2( z 1) 3 + 11( z 1) 2 + 22( z 1) + 15 = 0
2 z + 5z + 6 z + 3 = 0
3 2
z z
3 2
2 5 4 .8 3
�
s3 s s1
2
2.s4+3s3+s2+3s=1=0 2.
s4 s3 s2 s1 s0 1 3 1 3 1 1
1 2
1 2
设ε无穷小 且ε>0 符号改变
ε
2
ε
1
s0
3ε 3
ε
临界稳定
不稳定
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
(2)劳斯表中某行全为零,表明存在若干对 对称于原点的特征根(如下图所示),利用该 行上面一行的系数构成辅助多项式,对其求导 后,用得到的系数补入该行,继续运算.对称 于原点的特征根可通过解辅助方程得到.
T1 +T2 +T3 1+ Kk
s0
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
T1T2T3 > 0 T1 + T2 + T3 > 0 T1T2 + T1T3 + T2T3 > 0 (T1T2 + T1T3 + T2T3 )(T1 + T2 + T3 ) T1T2T3 (1 + K k ) > 0
可 增 大 时 开 间 环 放 大 倍 数 . 则 开 原 错 数 常 用
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
例
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0
4 3 2 1 0
解: ① 特征方程所有系数都为正 ② 劳斯表
s s s s s 1 2 1 6 5 3 4 5 5
③ 左端第一列有负数,系统不稳定,符号改 变两次,有两个特征根在S右半平面
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
Kk
1 T1s + 1
1 T2 s + 1
1 T3 s + 1
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
系统闭环传函 WB ( s) = 特征方程为
Kk (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1) + K k
(T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1) + K k = 0
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
一,稳定性概念
1. 稳定 稳定:指系统受扰消失后,经过一段过渡过 程仍能恢复到平衡状态. 2. 相对稳定 相对稳定:系统距零阶稳定状态有一定稳 定余量,和绝对稳定相比,则要求过渡过程短, 振荡次数少.实际系统二者都严格要求,这样 才能正常工作.
an s + an 1s
n
n 1
+ + a1s + a0 = 0
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
n
⑵ 列劳斯阵列表
sn s n1 an an1
an s + an 1s
n 1
+ + a1s + a0 = 0
说明:用正整数乘 除某行不影响判断 稳定性
an 2 an 4 an6 an 3 an 5 an7 b2 c2 d2 b3 c3 d3 b4 c4 d4
[(s + α
k0
]
若系统稳定-σi<0,-αk<0,上式展开后各项 系数都>0.实际上,对于1,2阶系统上述结 论也是充分的,对于三阶以上的高阶系统则需 进一步判断.
2.劳斯判据(1877,Routh) 2.劳斯判据 1877,Routh) 劳斯判据( ⑴ 列出特征方程式,并按s的降幂顺序排列,先 进行初步判别.
6 3
z1 z0
系统稳定,有 σ=1 的稳 定余量
问题讨论: ①系统稳定性是其自身的属性,与输入类 型,形式无关. ②闭环稳定与否,只取决于闭环极点,与 闭环零点无关. ③ 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否 无直接关系.
作业
已知下方框图, 求 1)信号流图 2)闭环传递函数 3)判断系统稳定性,并求不在左半s平面 的特征根个数.
k =1
l
+ ∑Ck e
k =1
l
ζ kωnkt
sinωnk 1 ζ t
2 k
其中q为实根个数,l 为复根个数, q + l = n
§3-1控制系统的暂态响应分析
2,分析 ① 可以认为高阶系统是由多个一阶系统,二阶系 统叠加而成,系统闭环零极点分布决定了暂态响 应分量衰减快慢. ② 闭环极点决定响应类型(一阶单调,二阶振 荡),零点决定响应幅值,速度. ③ 若某极点距离虚轴(实部)比其它极点近很多 (1/5以上)且附近无零点(零极点太近而相抵), 则系统响应主要由此极点决定,称其为主导极点. ④ 通过主导极点的概念而简化高阶系统的分析, 用二阶来近似.
采
1+ Kk > 0
T1 T2 T3 T2 T3 T1 0 < Kk < + + + + + + 2 T2 T3 T1 T1 T2 T3
T1 = T2 = T3
系统稳定的
T2 = T3 T1 = 10T2
系数 K k = 8
K k = 24.2
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
求系统临界稳定参数范围 例:系统开环传函为
将系数写在 s 3 行
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
s3 s2 s1 s
0
4 12 6 16 4 3 16
结论: 劳斯表第一列各元素 为正,系统临界稳定,有 2对共轭虚根,可通过求 解辅助方程得到.
令 F ( s ) = s 4 + 6 s 2 + 8 = 0 得 s1, 2 = ± j 2 s3, 4 = ± j 2 其余2根可通过下式求得,
1 an1 an3 c1 = b1 b1 b2
1 b1 b2 d1 = c1 c1 c2
1 an1 an5 c2 = b1 b1 b3
1 b1 b3 d2 = c1 c1 c3
规律 A.上两行(第一列, 后一列) B.上行第一元素
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
⑶ 考察劳斯表第一列元素符号判断稳定性. 系统稳定的充分必要条件: 闭环特征方程式的各项系数全部为正. 劳斯表左边第一列元素全部为正. 若符号改变一次就有s右半平面一个闭环特征根.
§3-1控制系统的暂态响应分析
四,高阶系统暂态响应分析
要求①系统稳定 1.单位阶跃响应 ②极点互不相同,有共 m * 轭复极点 K ∏ (s + z i )
设函数
W B (s ) =
输出为
q i =1
∏ (s +
n j =1
i =1
pj)
xc (t ) = A0 ∑ Ai eσ it + ∑ Bk e ζ kωnk t cosωnk 1 ζ k2 t
K Wk ( s ) = s ( s + 1)( s + 2)
求使单位负反馈系统稳定的开环放大系数K的范围. 检验相对稳定性 由于参数的变化,引起系统稳定性的变化,这 样需要知道系统距离稳定边界有多少余量,即相对 稳定性和稳定余量的问题. 可用根的负实部定义相对稳定性,例如要检查 系统是否有 σ = 1 的稳定余量,可令 z = s + 1
三,系统稳定性代数判据
1,初步判据: 定理: 定理:系统稳定的必要条件是特征方程所有系 数都为正.特征方程所有系数全为正,系统未 必稳定;但若有为零(缺项)或小于零的系数, 则可判定必不稳定.
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
证明: 证明: 由特征方程式可得
a n ∏ (s + σ i )∏
i =1 q l k =1
§3-2自动控制系统的稳定性及代数判据
例 s3+10s2+16s+160=0 s3 1 16 s2 10 160 (10s2+160) s1 20 (20s+0) s0 160 符号无变化,临界稳定,对称特征根为±j4.
