2020届安徽省安庆二中、天成中学高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2024学年安徽省安庆二中、天成中学数学高三第一学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A．250cm B．260cm C．295cm D．305cm2．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降3．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（）A．13B．310C．25D．344．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．2 B ．23 C ．23- D ．35．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．766．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．47．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[2,3] 8．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12] 9．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A 5 B ．4 C ．2 D 5 10．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–2011．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301x x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前安徽省安庆市普通高中2020届高三年级上学期期末教学质量统一监测数学(理)试题(解析版)2020年1月一、选择题：1.设集合{|A x y ==，{|ln(1)}B x y x ==-，则()A R B =（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C. (1,2]-D. (1,2]【答案】B【解析】【分析】分别将集合A 和集合B 求出来，再求A R ，最后求()A R B 即可.【详解】{| 2 1}A x x x =≥≤-或，{|1}B x x =>，{|12}R A x x =-<<， 故()A B {|12}R x x =<<.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算,属于基础题.2.若2020i 3i 1i z -=+,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】因为2020i 1=,故2020i 3i 13i 12i 1i 1iz --===--++,然后根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为13121i z i i-==--+,所以z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的代数运算,考查复数的几何意义,属于基础题.3.已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,32log 5c =,则（ ） A. c a b << B. c b a << C. b c a << D. a b c <<【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较即可. 【详解】因为2153110133⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭<⎝⎭,332log log 105<=,所以c a b <<. 故选：A.【点睛】本题考查利用利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,此类题常用中间值0和1进行比较,属于常考题.4.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2: 6: 4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人数为100,则n =（ ）A. 400B. 200C. 150D. 300【答案】D【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义计算即可.【详解】用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人数为10,则1004264n =++, 解得300n =.故选：D.【点睛】本题考查分层抽样的应用,属于基础题.。

安徽省安庆市第二中学、天成中学2020届高三上学期期末联考数学试题（文）一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一个是符合题意的选项．）1.已知集合A ={|12x x -≤≤}，B ={0,1,2}，则A B =()A. {|12}x x -≤≤B. {0,1,2}C. {1,2-}D. {0,1}『答案】B『解析】A ={|12x x -≤≤}中整数有-1，0，1，2， 所以{}0,1,2AB =故选B 项.2.已知数列{}n a 满足()121,4n n n a na a ++==，等比数列{}n b 满足1122,b a b a ==，则{}n b 的前6项和为 A. 63- B. 126-C. 63D. 126『答案】D『解析】因为()11n n n a na ++=， 所以1224a a ==，则12a =，11222,4b a b a ====，∴等比数列{}n b 的首项为2，公比为2，则{}n b 的前6项和()6762122212612S -==-=-，故选D.3.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案】A『解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则cos2=α( )A. 23-B.23C. 13-D.13『答案】D『解析】∵M 为角α终边上一点，∴cos α===∴221cos 22cos 1213αα=-=⨯-=． 故选D ．5.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数()g x 的最小正周期是πB. ()g x 图像关于直线7π12x =对称 C. 函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 『答案】C『解析】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选C ．6.某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A.32+B. 12+C. 12+D. 32+『答案】A『解析】由三视图可知三棱锥为如图所示，在△ABC 中,AB BC ⊥,ABCS =在△ABD 中,AB BD ⊥,1ABDS =；在△ACD 中,AD CD ⊥,ACDS =； 在△BCD 中,BD CD ⊥,12BCDS=；故表面积为32. 7.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)(3)f x f x +=-，当(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，则(2020)(f -= )A. 11B. 5C. 9-D.1-『答案】C 『解析】(3)(3)f x f x +=-，()(6)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为6，(2020)(20203376)(2)(2)2(2)59f f f f ∴-=-+⨯==-=⨯--=-．故选：C ．8.已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题『答案】A『解析】令()x f x e x =+，则易知()xf x e x =+在R 上单调递增，所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-； 因此命题:,2xp x R x e ∃∈->为真命题；由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<； 因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A9.设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.『答案】B『解析】根据双曲线定义：12||||2PF PF a -=，21tan 3PF F ∠=， ∴12||3||PF PF =，∴1||3PF a =，2||PF a =，r c ， ∴12F F 是圆的直径，∴1290F PF ∠=︒，在12Rt F PF △中，222(3)(2)a a c +=，得e ． 故选B ．10.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵111A ABC B C - 中，12AC BC AA ⊥=，，当阳马11B ACC A - 体积为43时，堑堵111A ABC B C -的外接球的体积的最小值（ ）A.43π B.C.323πD.3『答案】B『解析】设AC ＝x ，BC ＝y ，由题意得x ＞0，y ＞0，又11B ACC A - 体积为43，142233xy xy ⨯=∴= 堑堵111A ABC B C -的外接球即以1,,CA CB CC 为棱的长方体的外接球故2R =≥=，当且仅当x ＝y =∴外接球的体积为343R π=3故选B ．11.已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案】A『解析】圆C ：222x y r +=（0r >）圆心坐标为()0,0 则圆心到直线距离为1d =所以当112r <≤时恰有两个不同的点到l 的距离为12当C 上恰有不同的两点到l 的距离为12时，满足1322r <<所以“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的充分不必要条件所以选A12.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦『答案】C『解析】令31()()12xxg x f x x x e e =-=-+-，x ∈R ． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 上为奇函数． 21()320220x xg x x e e '=-+++-=， ∴函数()g x 在R 上单调递增．2(1)(2)2f a f a -+，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-， 即2(1)(2)0g a g a -+，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a --=-， 221a a ∴-，即2210a a +-， 解得112a-． ∴实数a 的取值范围是1[1,]2-．故选C ．二、填空题.共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效.13.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____． 『答案】15.5尺． 『解析】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{}n a ，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，∴14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧⎨=+=⎩，解得1d =-，115.5a =．∴冬至的日影子长为15.5尺．故答案为：15.5尺．14.若实数x ，y 满足2022020x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪++⎩，设目标函数32z x y =-+，则z 的取值范围为_____．『答案】[14,8]-『解析】画出实数x ，y 满足2022020x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪++⎩表示的平面区域，如图所示由32z x y =-+得3122y x z =+， 平移直线3122y x z =+，由图象可知当直线3122y x z =+经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小； 由20220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(6,4)B ，此时36414min z =-⨯+=-，由22020x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得(2,0)A -，32z x y ∴=-+的最大值为8．则z 的取值范围为：[14,8]-故答案为：[14,8]-.15.已知向量(1,),(1,2)a m b m ==+，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为_____．『答案】1(,2)(2,)3-∞---⋃『解析】向量(1,),(1,2)a m b m ==+，若a 与b 的夹角为钝角，则(1)20a b m m ⋅=++<，且a 、b 不共线，即(1)20m m +-≠， 求得13m <-，且2m ≠-， 则实数m 的取值范围为1(,2)(2,)3-∞---⋃，故答案为：1(,2)(2,)3-∞---⋃．16.若函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩，恰有3个零点，则实数a 的取值范围为_____．『答案】11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭『解析】当2x -时，可得31xa x =-+， 函数1xy x =+的图象如图：方程至多一个解，此时满足132a <-， 可得2[3a ∈-，1)3-，当(2,0)x ∈-时，xae x=，即x a xe =， 令xy xe =，可得(1)xy x e '=+，令(1)0xx e +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为1e-， 2x =-时，22y e=-，方程有两个解， 可得212(,)a ee ∈--， 故实数a 的取值范围为11(,)3e--．故答案为：11(,)3e --.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效.17.已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-，(cos ,cos )n C B =，且//m n ，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．解：（1）向量(2sin sin ,sin )m A C B =-，(cos ,cos )n C B =，且//m n ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=， 2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=， 0B π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==， ∴四边形ABCD的面积．111224S DAC ABC =⨯∠+∠=． 18.已知数列的前n 项和为n S ，且满足*11()2n n a S n N =+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，11n n n c b b +=，且数列{}n c 前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 解：（1）当1n =时，11112a S =+，解得12a =， 当2n 时，11112n n a S --=+⋯① 112n n a S =+⋯② ②-①得112n n n a a a --=，即12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n n a =；（2）22log log 2n n n b a n === ∴11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++， ∴11111111112233411n T n n n =-+-+-+⋯+-=-++， *n N ∈，∴11(0,]12n ∈+ ∴1[,1)2n T ∈.19.如图，圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，1C C 是母线，12AC BC CC ===．（1）证明：1//AC 平面1B CD ；（2）求三棱锥11A CDB -的体积．（1）证明：连接1BC 交1CB 于E 由题意在矩形11CBB C 中可得E 为1BC 的中点，又圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，即D 为AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DE 为三角形的中位线，所以1//DE AC ，DE ⊂ 平面1CDB ， AC ⊄平面1CDB ，1//AC ∴面1B CD ；（2）解：因为12AC BC CC ===又D 位AB 的中点，DC AB ∴⊥，又面1A B ⊥面圆O ，AB =面1A B ⋂面圆O ，DC ⊂面圆O ，DC ∴⊥面1A B ，h CD ∴=111111111114233263A CDBC A DB A DB V V S h AB CC CD --==⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，焦距为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为点M ，与圆22:4O x y +=的另一个交点为点N ，是否存在直线l 使得||||AM MN =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，可知2a =，1c =．则24a =，222413b a c =-=-=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）由题意，假设存在直线l 使得||||AM MN =，可设直线l 的斜率为k ．则直线:(2)l y k x =+．||||AM MN =，即点M 为线段AN 中点，∴根据圆的性质，可知OM AN ⊥，且OM 平分AN ．根据题意画图如下：则||OM ==． 在Rt AMO ∆中，AM === 联立直线l 与椭圆C 方程，可得：22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，整理得2222(43)164(43)0k x k x k +++-=． 则△42225616(43)(43)1440k k k =-+-=>． 21221643k x x k +=-+，21224(43)43k x x k -⋅=+．||AM ===．∴=2230k +=．很明显矛盾， 故直线l 不存在．21.已知函数2()(0)f x ax lnx x x =-->.（1）设1x =是()f x 的一个极值点，求a 的值并求()f x 的单调区间；（2）设3a ，求证1()24f x ln +. 解：（1）2121()21ax x f x ax x x--'=--=， 1x =是()f x 的一个极值点，∴(1)220f a '=-=，解得1a =．此时可得：221(1)(21)()(0)x x x x f x x x x---+'==>， (0,1)x ∴∈时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．（2）当3a 时，22()3(0)f x ax lnx x x lnx x x =---->，令2()3(0)g x x lnx x x =-->， 1(21)(31)()61(0)x x g x x x x x-+'=--=>． 12x ∴=时，函数()g x 取得极小值，11()()224g x g ln ∴=+． 1()24f x ln ∴+． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点． （1）证明：AOB ∆为钝角三角形．（2）若直线l 与直线AB 平行，直线l 与抛物线C 相切，切点为P ，且PAB ∆的面积为16，求直线l 的方程．（1）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=， 则124x x =-，所以21212()116x x y y ==， 从而121230OA OB x x y y ⋅=+=-<，则AOB ∠为钝角，故AOB ∆为钝角三角形．（2）解：由（1）知，124x x k +=，21212()242y y k x x k +=++=+，则212||44AB y y p k =++=+． 由24x y =，得24x y =，12y x '=，设0(P x ，0)y ，则02x k =，20y k =，则点P 到直线1y kx =+的距离d ==从而PAB ∆的面积2||2(16S d AB k ==+=，解得k =故直线l 的方程为3y =-．。

安庆二中天成中学 2019-2020学年度第一学期期末高三联考数学（理科）试题命题：天城中学命题中心满分：150分 时间：120分一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有一个是符合题意的选项。

）1、若复数z 的共轭复数满足i z i 21)1(+-=-，则=z （ ）A 、22B 、210C 、23D 、21 2、函数216)2lg(1x x y -+-=的定义域为（ ） A 、)3,2( B 、]4,3( C 、]4,2( D 、]4,3()3,2(3、已知命题1,0:+>>∀x e x p x；命题1ln ),,0(:000-=+∞∈∃x x x q ；下列命题为真命题的是（ ）A 、q p ∧B 、q p ⌝∧C 、q p ∧⌝D 、q p ⌝∧⌝ 4、三个数33ln ,2ln ,22===c b e a 的大小顺序为（ ） A 、a c b << B 、c a b << C 、b a c << D 、c b a << 5、函数xe x x xf 22)2()(+=的图象大致是（ ）6、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-044082033y x y x y x ，则y x z 3+=的最大值是（ ）A 、9B 、8C 、3D 、47、正偶数数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=16+14；18+20+22+24=26+28+30；…按照这样的规律，2016所在等式为（ ）A 、第29个B 、第30个C 、第31个D 、第32个8、设R ∈λ，则“3-=λ”是“直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的A 、充分必要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件9、已知某几何体如图所示，则该几何体的体积为（ ）、A 、38πB 、π3C 、310π D 、π6 10若直线)0,0(02>>=++n m ny mx 截得圆1)1()3(22=+++y x 的弦长为2，则n m 31+的最小值为（ ）A 、4B 、12C 、16D 、611、在三棱锥ABC S -中，2,2=====AC SC SA BC AB ，二面角B AC S --的余弦值是33，则三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A 、π23 B 、π2 C 、π6 D 、π6 12、已知函数2)(m mx xe x f x +-=（e 为自然对数的底数）在),0(+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ）A 、),0(eB 、),2(+∞eC 、),(+∞eD 、)2,0(e二、填空题（本大题共四小题，每题5分，共20分。

2020届安徽省安庆市第二中学、天成中学高三上学期期末联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={|12x x -≤≤}，B ={0,1,2}，则AB =() A ．{|12}x x -≤≤ B ．{0,1,2}C ．{1,2-}D ．{0,1} 2．已知数列{}n a 满足()121,4n n n a na a ++==，等比数列{}n b 满足1122,b a b a ==，则{}n b 的前6项和为A ．63-B ．126-C ．63D ．126 3．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）． A ． B ．C ．D ．4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则cos2=α( )A ．23-B ．23C ．13- D ．135．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ） A ．函数()g x 的最小正周期是πB ．()g x 图像关于直线7π12x =对称C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A ．322+B ．12+C ．12D ．32 7．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)(3)f x f x +=-，当(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，则(2020)(f -= )A ．11B ．5C ．9-D ．1-8．已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A ．命题p q ∧⌝是真命题B ．命题p q ∨⌝是假命题C ．命题p q ∨是假命题D ．命题p q ∧是真命题9．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）．A B ．2 C D10．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3 Bπ C ．32π3 D11．已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 12．已知函数31()21x x f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____．14．若实数x ，y 满足2022020x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪++⎩，设目标函数32z x y =-+，则z 的取值范围为_____．15．已知向量(1,),(1,2)a m b m ==+，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为_____．16．若函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩，恰有3个零点，则实数a 的取值范围为_____．三、解答题17．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-，(cos ,cos )n C B =，且//m n，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．18．已知数列的前n 项和为n S ，且满足*11()2n n a S n N =+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，11n n n c b b +=，且数列{}n c 前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 19．如图，圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，1C C 是母线，12AC BC CC ===．（1）证明：1//AC 平面1B CD ；（2）求三棱锥11A CDB -的体积．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，焦距为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为点M ，与圆22:4O x y +=的另一个交点为点N ，是否存在直线l 使得||||AM MN =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数2()(0)f x ax lnx x x =-->.（1）设1x =是()f x 的一个极值点，求a 的值并求()f x 的单调区间；（2）设3a ，求证1()24f x ln +. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点．（1）证明：AOB ∆为钝角三角形．（2）若直线l 与直线AB 平行，直线l 与抛物线C 相切，切点为P ，且PAB ∆的面积为16，求直线l 的方程．参考答案1．B【分析】写出集合A 中的整数，然后与集合B 取交集，得到答案【详解】A ={|12x x -≤≤}中整数有-1，0，1，2，所以{}0,1,2A B =故选B 项【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．D【解析】【分析】由已知求得1a ，可得等比数列{}n b 的首项为2 ，公比为2，再利用等比数列的前n 和公式求解即可.【详解】因为()11n n n a na ++=，所以1224a a ==，则12a =，11222,4b a b a ====，∴等比数列{}n b 的首项为2，公比为2，则{}n b 的前6项和()6762122212612S -==-=-，故选D.【点睛】本题主要考查递推公式的应用以及等比数列的前n 和公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3．B【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D ，从而选B .【详解】 因为11011ln 1f e e e e⎛⎫==> ⎪⎝⎭--，所以A 错； 因为11()0ln 12f e e e e ==>---，所以C 错； 因为()222211()ln 13f e f e e e e ==<---，所以D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题.4．D【分析】先根据三角函数的定义求出cos α=，然后再根据二倍角的余弦公式求出cos2α． 【详解】∵M 为角α终边上一点，∴cos 3α===，∴221cos 22cos 1213αα=-=⨯-=． 故选D ．【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题．5．C【解析】【分析】根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-， 对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的； 对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确； 对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==， ()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的， 故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．6．A【分析】通过三视图的特点,还原为三棱锥,然后计算三棱锥面积.【详解】由三视图可知三棱锥为如图所示，在△ABC 中,AB BC ⊥,ABC S =； 在△ABD 中,AB BD ⊥,1ABD S =；在△ACD 中,AD CD ⊥,ACD S =； 在△BCD 中,BD CD ⊥,12BCD S =；故表面积为32. 【点睛】 本题考查了三视图的还原问题以及三棱锥表面积的计算,关键是根据三视图特点还原为三棱锥.7．C【分析】可求得函数的周期为6，则(2020)(2)f f -=，再利用偶函数的性质，结合已知解析式即可求得答案．【详解】(3)(3)f x f x +=-，()(6)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为6，(2020)(20203376)(2)(2)2(2)59f f f f ∴-=-+⨯==-=⨯--=-．故选：C ．【点睛】本题考查函数周期性及奇偶性的综合运用、函数的求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．8．A【分析】先分别判断命题p 与命题q 的真假，进而可得出结果.【详解】令()x f x e x =+，则易知()x f x e x =+在R 上单调递增，所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-； 因此命题:,2xp x R x e ∃∈->为真命题； 由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<； 因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A 【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型. 9．B 【解析】 【分析】先由双曲线定义与题中条件得到12||||2PF PF a -=，21tan 3PF F ∠=，求出1||3PF a =，2||PF a =，再由题意得到1290F PF ∠=︒，即可根据勾股定理求出结果. 【详解】解：根据双曲线定义：12||||2PF PF a -=，21tan 3PF F ∠=， ∴12||3||PF PF =，∴1||3PF a =，2||PF a =，r c ==， ∴12F F 是圆的直径，∴1290F PF ∠=︒，在12Rt F PF △中，222(3)(2)a a c +=，得e =． 故选B ． 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 10．B 【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解. 【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径R ==所以外接球的体积3433V r π==, 故选:B 【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 11．A 【分析】根据圆心到直线距离d ，比较d 与r 的关系即可判断． 【详解】圆C ：222x y r +=（0r >） 圆心坐标为()0,0 则圆心到直线距离为1d = 所以当112r <≤时恰有两个不同的点到l 的距离为12当C 上恰有不同的两点到l 的距离为12时，满足1322r << 所以“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题． 12．C 【分析】令31()()12xxg x f x x x e e =-=-+-，x ∈R ．判断其奇偶性单调性即可得出． 【详解】令31()()12xxg x f x x x e e =-=-+-，x ∈R ． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 上为奇函数． 21()320220x xg x x e e '=-+++-=， ∴函数()g x 在R 上单调递增．2(1)(2)2f a f a -+，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-，即2(1)(2)0g a g a -+，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a --=-， 221a a ∴-，即2210a a +-， 解得112a-． ∴实数a 的取值范围是1[1,]2-．故选C ． 【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13．15.5尺． 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长． 【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{}n a ，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，∴14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧⎨=+=⎩，解得1d =-，115.5a =．∴冬至的日影子长为15.5尺．故答案为：15.5尺． 【点睛】本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.． 14．[14,8]- 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最值． 【详解】画出实数x ，y 满足2022020x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪++⎩表示的平面区域，如图所示由32z x y =-+得3122y x z =+， 平移直线3122y x z =+，由图象可知当直线3122y x z =+经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小； 由20220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(6,4)B ，此时36414min z =-⨯+=-，由22020x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得(2,0)A -，32z x y ∴=-+的最大值为8．则z 的取值范围为：[14,8]-故答案为：[14,8]-.【点睛】本题考查简单的线性规划的应用问题，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用. 15．1(,2)(2,)3-∞---⋃【分析】由题意可得0a b ⋅<，且a 、b 不共线，由此求得实数m 的取值范围． 【详解】向量(1,),(1,2)a m b m ==+，若a 与b 的夹角为钝角，则(1)20a b m m ⋅=++<，且a 、b 不共线，即(1)20m m +-≠， 求得13m <-，且2m ≠-， 则实数m 的取值范围为1(,2)(2,)3-∞---⋃，故答案为：1(,2)(2,)3-∞---⋃．【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意考虑向量共线是不成立的. 16．11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】将函数零点个数转化为函数图象与x 叫交点的个数． 【详解】当2x -时，可得31xa x =-+， 函数1xy x =+的图象如图：方程至多一个解，此时满足132a <-， 可得2[3a ∈-，1)3-，当(2,0)x ∈-时，xa e x=，即x a xe =，令x y xe =，可得(1)x y x e '=+， 令(1)0x x e +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为1e -，2x =-时，22y e =-，方程有两个解， 可得212(,)a e e∈--，故实数a 的取值范围为11(,)3e --．故答案为：11(,)3e --.【点睛】本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求单调性．17．（1）3B π=（2 【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案；（2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积． 【详解】 （1）向量(2sin sin ,sin )m A C B =-，(cos ,cos )n C B =，且//m n ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=， 1cos 2B ∴=， 0B π<<， 3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos 3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==，∴四边形ABCD 的面积．11122S DAC ABC =⨯∠+∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和.18．（1）2nn a =（2）112n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，【分析】 （1）由11112a S =+，可求1a ，然后由2n 时，1n n n a s s -=-可得12n n a a -=，根据等比数列的通项可求（2）由22log log 2nn n b a n ===，而11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++，利用裂项相消法可求n T . 【详解】（1）当1n =时，11112a S =+，解得12a =， 当2n 时，11112n n a S --=+⋯① 112n n a S =+⋯② ②-①得112n n n a a a --=，即12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴2n n a =；（2）22log log 2nn n b a n ===∴11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++， ∴11111111112233411n T n n n =-+-+-+⋯+-=-++， *n N ∈，∴11(0,]12n ∈+ ∴1[,1)2n T ∈.【点睛】本题考查递推公式1n n n a s s -=-(2)n 在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 19．（1）见解析（2）43． 【分析】（1）有中点一般寻找中位线找出平行的线，再由线面平行的判断定理可证明线面的平行； （2）用等体积法求出体积，先证明线面垂直，进而求出高，再求体积． 【详解】（1）连接1BC 交1CB 于E 由题意在矩形11CBB C 中可得E 为1BC 的中点，又圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，即D 为AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DE 为三角形的中位线，所以1//DE AC ，DE ⊂ 平面1CDB ，AC ⊄平面1CDB ，1//AC ∴面1B CD ；（2）因为12AC BC CC ===又D 位AB 的中点，DC AB ∴⊥，又面1A B ⊥面圆O ，AB =面1A B ⋂面圆O ，DC ⊂面圆O ，DC ∴⊥面1A B ，h CD ∴=111111111114233263A CDBC A DB A DB V V Sh AB CC CD --==⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理、三棱锥的体积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20．（1）22143x y +=．（2）直线l 不存在．见解析 【分析】（1）据题意有2a =，1c =，则通过计算可得椭圆C 的标准方程；（2）可先假设直线l 存在，可设直线l 的斜率为k ，则直线:(2)l y k x =+．根据||||AM MN =及圆的性质可知OM 垂直平分AN ．再根据点到直线的距离公式可得OM 的关于k 的表达式，再解Rt AMO ∆可得AM 的关于k 的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有21221643kx x k +=-+，21224(43)43k x x k -⋅=+．根据弦长公式可得AM 的关于k 的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果k 值存在则直线存在；如果没有k 值则直线不存在． 【详解】（1）由题意，可知2a =，1c =．则24a =，222413b a c =-=-=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意，假设存在直线l 使得||||AM MN =，可设直线l 的斜率为k ． 则直线:(2)l y k x =+．||||AM MN =，即点M 为线段AN 中点，∴根据圆的性质，可知OM AN ⊥，且OM 平分AN ．根据题意画图如下：则||OM ==．在Rt AMO ∆中，AM ===联立直线l 与椭圆C 方程，可得：22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(43)164(43)0k x k x k +++-=． 则△42225616(43)(43)1440k k k =-+-=>． 21221643k x x k +=-+，21224(43)43k x x k -⋅=+．||AM ==243k =+．∴=2230k +=．很明显矛盾， 故直线l 不存在．【点睛】本题考查直线、圆和椭圆三者综合的问题、弦长公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．21．（1）1a =，见解析（2）见解析【分析】（1）2121()21ax x f x ax x x--'=--=，根据1x =是()f x 的一个极值点，可得(1)220f a '=-=，解得a ，即可得出函数()f x 的单调区间；（2）当3a 时，22()3(0)f x ax lnx x x lnx x x =---->，令2()3(0)g x x lnx x x =-->，利用导数研究函数的单调性极值与最值．【详解】（1）2121()21ax x f x ax x x--'=--=， 1x =是()f x 的一个极值点，∴(1)220f a '=-=，解得1a =．此时可得：221(1)(21)()(0)x x x x f x x x x---+'==>， (0,1)x ∴∈时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．（2）当3a 时，22()3(0)f x ax lnx x x lnx x x =---->，令2()3(0)g x x lnx x x =-->， 1(21)(31)()61(0)x x g x x x x x-+'=--=>． 12x ∴=时，函数()g x 取得极小值，11()()224g x g ln ∴=+． 1()24f x ln ∴+． 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）见解析（2）3y =-．【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，利用韦达定理以及向量的数量积证明AOB ∆为钝角三角形．（2）求出212||44AB y y p k =++=+，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点P 到直线1y kx =+的距离，写出||AB ，利用PAB ∆的面积，转化求解即可．【详解】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=， 则124x x =-，所以21212()116x x y y ==， 从而121230OA OB x x y y ⋅=+=-<，则AOB ∠为钝角，故AOB ∆为钝角三角形．（2）由（1）知，124x x k +=，21212()242y y k x x k +=++=+，则212||44AB y y p k =++=+．由24x y =，得24x y =，12y x '=，设0(P x ，0)y ，则02x k =，20y k =，则点P 到直线1y kx =+的距离d ==从而PAB ∆的面积2||2(16S d AB k ==+=，解得k =故直线l 的方程为3y =-．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．。

212安庆二中期末联考理科数学一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ） A ．(1,1)- B ． (1,1)- C ． (1,1) D ．(1,1)--2. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22139y x -=的两渐近线围成的三角形的面积为 （ ）A. 33B. 23C. 3D. 2 3. 设集合{}4log 1P x x =<,01x Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，那么“m P ∈”是“m Q ∈”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4.设0.545a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,0.454b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,445log (log 5)c =,则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<5. 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积．．． 是( ) A ．525+ B ． 625+C ．725+D ． 825+6. 直线13=+by ax 与圆222=+y x 相交于B ,A 两点（R b ,a ∈），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点)b ,a (P 的轨迹方程为（ ）A ． 2231x y += B ．2231x y -= C ．2231x y += D ． 2231x y -=7.已知各项为正的等比数列{}n a 中，7a 与11a 是函数2()68f x x x =-+的零点，则231152log log a a -为（ ）A ．13B ．22C ．3D ．48. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥．若|AB u u u r |＝a ，|AD u u u r|＝b ，则AC BD ⋅=u u u r u u u r ( ) A ．22b a - B ．22a b - C ．22b a + D ．ab9.直线l 与函数[])0,(sin )(π-∈-=x x x f 的图象相切于点A ，且//l OP ，其中O 为坐标原点， ),(p p y x P 在)(x f 图象上，且()0p f x '=,则点A 的纵坐标是（ ）A.2πB.24ππ-C.242π-D. 242π-10. 数列{}n a 共有10项，其中10a =,52a =,103a =，且11,1,2,39,k k a a k +-==⋅⋅⋅则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A. 40B.36C.24D.16 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 的值为，则71010221010)1(.......)1()1(a x a x a x a a x-++-+-+= ．12. 已知变量,x y 满足约束条件0,1,42,x yx y z x y ≥⎧⎪≤=⋅⎨⎪≤⎩则的最大值为 ．13. 已知0,0x y >>，若2229(5)x y m m xy +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．14.在极坐标系中，曲线L ：2sin 2cos ρθθ=，过点(5,)A α（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点。

2019-2020学年高三上学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．x|﹣1≤x≤2 B．{0，1，2} C．{﹣1，2} D．{0，1}2．已知数列{a n}满足（n+1）a n＝na n+1，a2＝4，等比数列{b n}满足b1＝a1，b2＝a2，则{b n}的前6项和为（）A．﹣63 B．﹣126 C．63 D．1263．已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M为其终边上一点，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到g（x）图象，则下列判断错误的是（）A．函数g（x）的最小正周期是πB．g（x）图象关于直线x＝对称C．函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减D．g（x）图象关于点（，0）对称6．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是R上的偶函数，且对任意的x∈R有f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈（﹣3，0）时，f（x）＝2x﹣5，则f（﹣2020）＝（）A．11 B．5 C．﹣9 D．﹣18．已知命题p：∃x∈R，2﹣x＞e x，命题q：∀a∈R+，且a≠1，log a（a2+1）＞0，则（）A．命题p∧￢q是真命题B．命题p∨￢q是假命题C．命题p∨q是假命题D．命题p∧q是真命题9．设P是双曲线与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝2，当阳马B﹣ACC1A1体积为时，堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积的最小值为（）A．B．C．D．11．已知圆C：x2+y2＝r2（r＞0），直线l：x＝1，则“”是“C上恰有不同的两点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．已知函数f（x）＝x3﹣2x+1+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题.共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效.13．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为．14．若实数x，y满足，设目标函数z＝﹣3x+2y，则z的取值范围为．15．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为．16．若函数f（x）＝，恰有3个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效.17．已知角A，B，C为等腰△ABC的内角，设向量＝（2sin A﹣sin C，sin B），＝（cos C，cos B），且∥，BC＝（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧上取一点D，使得AD＝1，求sin∠DAC及四边形ABCD 的面积．18．已知数列的前n项和为S n，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．19．如图，圆柱的轴截面是ABB1A1，D为下底面的圆心，C1C是母线，AC＝BC＝CC1＝2．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1﹣CDB1的体积．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为点M，与圆O：x2+y2＝4的另一个交点为点N，是否存在直线l使得|AM|＝|MN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x（x＞0）（1）设x＝1是f（x）的一个极值点，求a的值并求f（x）的单调区间（2）设a≥3，求证f（x）≥22．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点．（1）证明：△AOB为钝角三角形．（2）若直线l与直线AB平行，直线l与抛物线C相切，切点为P，且△PAB的面积为16，求直线l的方程．参考答案一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一个是符合题意的选项．）1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．x|﹣1≤x≤2 B．{0，1，2} C．{﹣1，2} D．{0，1}【分析】进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．已知数列{a n}满足（n+1）a n＝na n+1，a2＝4，等比数列{b n}满足b1＝a1，b2＝a2，则{b n}的前6项和为（）A．﹣63 B．﹣126 C．63 D．126【分析】由已知求得a1，可得等比数列{b n}的首项为2，公比为2，再由等比数列的前n 项和公式求解．解：由（n+1）a n＝na n+1，得2a1＝a2＝4，则a1＝2，∵b1＝a1，b2＝a2，∴等比数列{b n}的首项为2，公比为2，则{b n}的前6项和．故选：D．3．已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M为其终边上一点，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解．解：∵M，∴OM＝＝．∴sinα＝＝．∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝．故选：D．5．将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到g（x）图象，则下列判断错误的是（）A．函数g（x）的最小正周期是πB．g（x）图象关于直线x＝对称C．函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减D．g（x）图象关于点（，0）对称【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x﹣）＝sin（2x﹣）图象．所以：①函数的最小正周期为，②当x＝时，函数的值为，所以关于x＝对称．③当x＝时，f（）＝0，故：ABD正确，故选：C．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】画出三视图对应几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由三视图可知三棱锥为如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，；在△ABD中，AB⊥BD，S△ABD＝1；在△ACD中，AD⊥CD，；在△BCD中，BD⊥CD，；故表面积为．故选：A．7．已知函数f（x）是R上的偶函数，且对任意的x∈R有f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈（﹣3，0）时，f（x）＝2x﹣5，则f（﹣2020）＝（）A．11 B．5 C．﹣9 D．﹣1【分析】可求得函数的周期为6，则f（﹣2020）＝f（2），再利用偶函数的性质结合已知解析式即可求得答案．解：∵f（x+3）＝f（x﹣3），∴f（x）＝f（x+6），即函数f（x）的周期为6，∴f（﹣2020）＝f（﹣2020+337×6）＝f（2）＝f（﹣2）＝2×（﹣2）﹣5＝﹣9．故选：C．8．已知命题p：∃x∈R，2﹣x＞e x，命题q：∀a∈R+，且a≠1，log a（a2+1）＞0，则（）A．命题p∧￢q是真命题B．命题p∨￢q是假命题C．命题p∨q是假命题D．命题p∧q是真命题【分析】根据举例子分别判定命题p，q的真假，进一步判定复合命题的真假解：∵x＝0时，2﹣0＞e0＝1，∴命题p是真命题，∵a＝时，log（+1）＜log1＝0，∴命题q是假命题，∴命题p∧￢q是真命题．故选：A．9．设P是双曲线与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】连接PF1，PF2，可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m ﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，tan∠PF2F1＝＝3，解得m＝3a，n＝a，可得c，a的关系式，由双曲线的离心率公式可得所求值．解：P是双曲线与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，连接PF1，PF2，可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，tan∠PF2F1＝＝3，则m＝3a，n＝a，9a2+a2＝4c2，即有c2＝a2，e＝＝．故选：B．10．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝2，当阳马B﹣ACC1A1体积为时，堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设AC＝x，BC＝y，由阳马B﹣A1ACC1体积求得xy＝2，把堑堵ABC﹣A1B1C1补形为长方体，求其对角线长的最小值，可得堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的半径的最小值，代入球的面积公式得答案．解：设AC＝x，BC＝y，则阳马B﹣A1ACC1体积V＝，∴xy＝2，把堑堵ABC﹣A1B1C1补形为长方体，则长方体的对角线长L＝，当且仅当x＝y＝时上式取“＝”．∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积的最小值为．故选：B．11．已知圆C：x2+y2＝r2（r＞0），直线l：x＝1，则“”是“C上恰有不同的两点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】圆C：x2+y2＝r2（r＞0），直线l：x＝1，由C上恰有不同的两点到l的距离为，可得＜r＜，且r≠1．即可判断出结论．解：圆C：x2+y2＝r2（r＞0），直线l：x＝1，由C上恰有不同的两点到l的距离为，则＜r＜，且r≠1．∴则“”是“C上恰有不同的两点到l的距离为”的既不充分也不必要条件．故选：D．12．已知函数f（x）＝x3﹣2x+1+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】令g（x）＝f（x）﹣1＝x3﹣2x+e x﹣，x∈R．判断其奇偶性单调性即可得出．解：令g（x）＝f（x）﹣1＝x3﹣2x+e x﹣，x∈R．则g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）在R上为奇函数．g′（x）＝3x2﹣2+e x+≥0+2﹣2＝0，∴函数g（x）在R上单调递增．f（a﹣1）+f（2a2）≤2，化为：f（a﹣1）﹣1+f（2a2）﹣1≤0，即g（a﹣1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤﹣g（a﹣1）＝g（1﹣a），∴2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得﹣1≤a≤．∴实数a的取值范围是．故选：C．二、填空题.共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效.13．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为15.5尺．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长．解：∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，∴，解得d＝﹣1，a1＝15.5．∴冬至的日影子长为15.5尺．故答案为：15.5尺．14．若实数x，y满足，设目标函数z＝﹣3x+2y，则z的取值范围为[﹣14，8] ．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最值．解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示由z＝﹣3x+2y得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象可知当直线y＝x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小；由，解得B（6，4），此时z min＝﹣3×6+4＝﹣14，由，解得A（﹣2，0）∴z＝﹣3x+2y的最大值为8．则z的取值范围为：[﹣14，8]故答案为：[﹣14，8]．15．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣）．【分析】由题意可得＜0，且、不共线，由此求得实数m的取值范围．解：∵向量，若与的夹角为钝角，则＝（m+1）+2m＜0，且、不共线，即m（m+1）﹣2≠0，求得m＜﹣，且m≠﹣2，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣）．16．若函数f（x）＝，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（﹣，﹣）．【分析】本题利用数形结合思想以及转化思想，将函数零点个数转化为图象交点求解．解：x≤﹣2时，可得＝﹣3a，函数y＝的图象如图：方程至多一个解，此时满足1＜﹣3a≤2，可得a∈[﹣，﹣），当x∈（﹣2，0）时，e x＝，即a＝xe x，令y＝xe x，可得y'＝（1+x）e x，令（1+x）e x＝0，可得x＝﹣1，x∈（﹣2，﹣1）时，y'＜0，函数是减函数，x∈（﹣1，0）时，函数是增函数，函数的最小值为﹣，x＝﹣2时，y＝﹣，方程有两个解，可得a∈（﹣，﹣），故实数a的取值范围为（﹣，﹣）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效.17．已知角A，B，C为等腰△ABC的内角，设向量＝（2sin A﹣sin C，sin B），＝（cos C，cos B），且∥，BC＝（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧上取一点D，使得AD＝1，求sin∠DAC及四边形ABCD 的面积．【分析】（Ⅰ）利用向量共线的条件，即可求角B；（Ⅱ）求出CD，∠ADC＝，由正弦定理可得sin∠DAC，即可求出四边形ABCD的面积．解：（Ⅰ）∵向量＝（2sin A﹣sin C，sin B），＝（cos C，cos B），且∥，∴（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin（B+C），∴2sin A cos B＝sin A，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（Ⅱ）根据题意及（Ⅰ）可得△ABC是等边三角形，∠ADC＝△ADC中，由余弦定理可得，∴CD2+CD﹣6＝0，∴CD＝2，由正弦定理可得sin∠DAC＝＝，∴四边形ABCD的面积．S＝+＝．18．已知数列的前n项和为S n，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【分析】（1）由，可求a1，然后由n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1可得a n＝2a n﹣1，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项可求T n，即可求解解：（1）当n＝1时，，解得a1＝2当n≥2时，…①…②②﹣①得即a n＝2a n﹣1∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴（2）＝∵n∈N*∴∴19．如图，圆柱的轴截面是ABB1A1，D为下底面的圆心，C1C是母线，AC＝BC＝CC1＝2．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1﹣CDB1的体积．【分析】（1）有中点一般寻找中位线找出平行的线，再由线面平行的判断定理可证明线面的平行；（2）用等体积法求出体积，先证明线面垂直，进而求出高，再求体积．【解答】（1）证明：连接BC1交CB1于E由题意在矩形CBB1C1中可得E为BC1的中点，又圆柱的轴截面是ABB1A1，D为下底面的圆心，即D为AB的中点，所以在△ABC1中，DE为三角形的中位线，所以DE∥AC1，DE真包含于面CDB1，AC不包含于CDB1，∴AC1∥面B1CD；（2）因为AC＝BC＝CC1＝2又D位AB的中点，∴DC⊥AB，又面A1B⊥面圆O，AB＝面A1B∩面圆O，DC真包含于面圆O，∴DC⊥面A1B，∴h＝CDV＝V＝S•h＝•CD＝•2＝．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为点M，与圆O：x2+y2＝4的另一个交点为点N，是否存在直线l使得|AM|＝|MN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）据题意有a＝2，c＝1，则通过计算可得椭圆C的标准方程；（2）可先假设直线l存在，可设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k（x+2）．根据|AM|＝|MN|及圆的性质可知OM垂直平分AN．再根据点到直线的距离公式可得OM的关于k的表达式，再解Rt△AMO可得AM的关于k的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据弦长公式可得AM的关于k的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果k 值存在则直线存在；如果没有k值则直线不存在．解：（1）由题意，可知a＝2，c＝1．则a2＝4，b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．∴椭圆C的标准方程为+＝1．（2）由题意，假设存在直线l使得|AM|＝|MN|，可设直线l的斜率为k．则直线l：y＝k（x+2）．∵|AM|＝|MN|，即点M为线段AN中点，∴根据圆的性质，可知OM⊥AN，且OM平分AN．根据题意画图如下：则|OM|＝＝．在Rt△AMO中，AM＝＝＝．联立直线l与椭圆C方程，可得：，消去y，整理得（4k2+3）x2+16k2x+4（4k2﹣3）＝0．则△＝256k4﹣16（4k2+3）（4k2﹣3）＝144＞0．x1+x2＝﹣，x1•x2＝．|AM|＝•＝•＝．∴＝．整理，得2k2+3＝0．很明显矛盾，故直线l不存在．21．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x（x＞0）（1）设x＝1是f（x）的一个极值点，求a的值并求f（x）的单调区间（2）设a≥3，求证f（x）≥【分析】（1）f′（x）＝2ax﹣﹣1＝，根据x＝1是f（x）的一个极值点，可得f′（1）＝2a﹣2＝0，解得a．即可得出函数f（x）的单调区间．（2）a≥3，f（x）＝ax2﹣lnx﹣x≥3x2﹣lnx﹣x（x＞0），令g（x）＝3x2﹣lnx﹣x（x ＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值．解：（1）f′（x）＝2ax﹣﹣1＝，∵x＝1是f（x）的一个极值点，∴f′（1）＝2a﹣2＝0，解得a＝1．此时可得：f′（x）＝＝（x＞0），∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．（2）证明：a≥3，f（x）＝ax2﹣lnx﹣x≥3x2﹣lnx﹣x（x＞0），令g（x）＝3x2﹣lnx﹣x（x＞0）．g′（x）＝6x﹣﹣1＝（x＞0）．∴x＝时，函数g（x）取得极小值，∴g（x）≥g（）＝+ln2．∴f（x）≥．22．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点．（1）证明：△AOB为钝角三角形．（2）若直线l与直线AB平行，直线l与抛物线C相切，切点为P，且△PAB的面积为16，求直线l的方程．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，利用韦达定理以及向量的数量积证明△AOB为钝角三角形．（2）求出|AB|＝y1+y2+p＝4k2+4，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点P到直线y ＝kx+1的距离，写出|AB|，利用△PAB的面积，转化求解即可．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，（1分）则x1x2＝﹣4，所以y1y2＝＝1，从而•＝x1x2+y1y2＝﹣3＜0，则∠AOB为钝角，故△AOB为钝角三角形．（得到x1x2，y1y2的值分别给（1分）；若只是得到其中一个，且得到•＝﹣3＜0，可以共给）．（2）解：由（1）知，x1+x2＝4k，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则|AB|＝y1+y2+p＝4k2+4．由x2＝4y，得y＝，y'＝，设P（x0，y0），则x0＝2k，y0＝k2，则点P到直线y＝kx+1的距离d＝＝．从而△PAB的面积S＝d|AB|＝2（k2+1）＝16，解得k＝±，故直线l的方程为y＝±x﹣3．。

2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

安徽省安庆第二中学2024学年数学高三上期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．192．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要3．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 的极大值为2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④4．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a b B ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b5．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 7．已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到8．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．9． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．211．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,712．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|(1)(2)}A x y x x ==+-，{|(1)}B x y ln x ==-，则()(R A B =I ð ) A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1-，2]D ．(1，2]2．（5分）若202031i i z i-=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知251()3a =，132()5b =，32log 5c =，则( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．（5分）某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4．用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，则(n = ) A ．400B ．200C ．150D ．3005．（5分）函数3()cos ||f x x x xln x =+在[π-，0)(0⋃，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）在等比数列{}n a 中，241a a +=，689a a +=，则2(a = ) A ．14B ．13C ．12D ．47．（5分）设x ，y 满足约束条件2302403x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则z x y =+的最小值为( ) A ．2 B ．0 C ．1- D ．18．（5分）鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是( )A ．94m >？B ．94m =？C ．35m =？D ．35m …？9．（5分）已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=+>的图象的相邻对称轴间的距离为2π，把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是( )A ．函数()g x 是奇函数B ．其图象关于直线4x π=对称C ．在2[,]43ππ上的值域为[2-，0]D ．在[0,]4π上是增函数10．（5分）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )A ．8(6623)+B ．6(8823)+C ．8(632)+D ．6(8832)+11．（5分）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A．)+∞B．，)+∞ C． D ．(1，12．（5分）若存在0a >，使得函数2()6f x a lnx =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为( ) A ．213e-B ．216e-C ．216eD ．213e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）281()x x-的展开式中7x 的系数为 （用数字作答）14．（5分）已知向量m r ，n r的夹角为60︒，且||1m =r，||m n -r r ||n =r ．15．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为9π，则p =16．（5分）已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O ．若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=．点D 为边BC的中点，且AD ．（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积． 18．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a +++⋯+=----． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：11226n T <…． 19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，PA PC ⊥，PA PC =，4PB =（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ．（2）点M 在棱PC 上，且2MC PM =，求二面角M AB C --的大小．20．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9，10)，[10，11)，[11，12)，[12，13)，[13，14)，五个小组（所调查的芯片得分均在[9，14]内），得到如图所示的频率分布直方图，其中0.18a b-=．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测．若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．21．（12分）设椭圆2222:1(0)y xC a ba b+=>>的离心率是22，直线1x=被椭圆C截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M ，斜率为的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．22．（12分）已知函数213()2(0)22f x lnx ax x a =+-+…．（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．2019-2020学年安徽省安庆市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|A x y ==，{|(1)}B x y ln x ==-，则()(R A B =I ð ) A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1-，2]D ．(1，2]【解答】解：{|(1)(2)0}{|1A x x x x x =+-=-厔或2}x …，{|10}{|1}B x x x x =->=>， {|12}R A x x ∴=-<<ð， ()(1R A B ∴=I ð，2)．故选：B ．2．（5分）若202031i i z i-=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 202045053313111i i i i iz i i i⨯---===+++ (13)(1)12(1)(1)i i i i i --==--+-， z ∴在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--，位于第三象限．故选：C ．3．（5分）已知251()3a =，132()5b =，32log 5c =，则( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：1()3xy =Q 在R 上是减函数，且2153>，215311()()33∴<，又13y x =Q 在(0,)+∞上为增函数，且2153>，113321()()53∴>，2115331120()()()1335∴<<<<，01a b ∴<<<，332log log 105∴<=，0c ∴<，c a b ∴<<，故选：A ．4．（5分）某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4．用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，则(n = ) A ．400B ．200C ．150D ．300【解答】解：用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查， 其中青年人数为100， 则1004264n =++，解得300n =． 故选：D ．5．（5分）函数3()cos ||f x x x xln x =+在[π-，0)(0⋃，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：()f x 是奇函数，排除C ，D ；2()()0f ln ππππ=-<，排除A ． 故选：B ．6．（5分）在等比数列{}n a 中，241a a +=，689a a +=，则2(a = ) A ．14B ．13C ．12D ．4【解答】解：由题意，241a a +=， 故46824()9a a a a q +=+=， 解得23q =．22422(1)41a a a q a +=+==Q ， 214a ∴=． 故选：A ．7．（5分）设x，y满足约束条件2302403x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则z x y=+的最小值为()A．2B．0C．1-D．1【解答】解：由x，y满足约束条件2302403x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„作出可行域，联立230240x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A-，化目标函数z x y=+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过点(1,2)A-时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为：1．故选：D．8．（5分）鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是()A ．94m >？B ．94m =？C ．35m =？D ．35m …？【解答】解：由题意知：i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量， 根据题意，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束． 因此判断框中应填入“94m =”． 故选：B ．9．（5分）已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象的相邻对称轴间的距离为2π，把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是( )A ．函数()g x 是奇函数B ．其图象关于直线4x π=对称C ．在2[,]43ππ上的值域为[2-，0]D ．在[0,]4π上是增函数【解答】解：Q ()sin 3cos 2sin()3f x x x x πωωω=+=+，()f x 的图象的相邻对称轴间的距离为2π， 故()f x 的最小正周期为T π=，所以，22T πω==，于是()2sin(2)3f x x π=+． 把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()2sin[2()]2cos2123g x x x ππ=++=的图象，故()g x 为偶函数，并在[0,]2π上为减函数，所以A ，D 错误；又()04g π=，所以B 错误；因为243xππ剟，所以，4223x ππ剟，2cos2[2x ∈-，0]，所以，C 正确， 故选：C ．10．（5分）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )A ．8(6623)+B ．6(8823)+C ．8(632)+D ．6(8832)+【解答】解：由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为22，则该几何体的表面积为2116[(222)422]8238(6623)22S x =+-⨯+⨯⨯=+．故选：A ．11．（5分）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(5)+∞B ．5(，)+∞ C ．5 D ．(1，(5)【解答】解：设过1F 与渐近线0ay bx -=平行的直线l 为()by x c a=+，由题知2F 到直线l 的距离d a >，即222d b a a b =>+，所以离心率2251c b e a a ==+>．故选：B ．12．（5分）若存在0a >，使得函数2()6f x a lnx =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为( )A ．213e-B ．216e-C ．216eD ．213e【解答】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为0(x ，0)y ，Q 26()a f x x'=，()24g x x a '=-，∴200624a x a x -=，则220230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =． 00()()f x g x =Q ，∴2200046x ax b a lnx --=，22363(0)b a a ln a a =-->．设h （a ）b =，h '∴（a ）12(13)a ln a =-+， 令h '（a ）0=，得13a e=． ∴当103a e<<时，h '（a ）0>； 当13a e>时，h '（a ）0<． b ∴的最大值为211()33h e e=． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）281()x x -的展开式中7x 的系数为 56- （用数字作答）【解答】解：281631881()()(1)r rr r r r r T x x x--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()x x∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．14．（5分）已知向量m r ，n r的夹角为60︒，且||1m =r，||m n -r r ||n =r 2 ． 【解答】解：设||n x =r ，Q 向量m r ，n r的夹角为60︒，且||1m =r，||m n -=r r ，由2222||213m n m m n n x x -=-+=-+=r r r r r rg ，即220x x --=，解得2x =，或1x =-（舍去），故||2n =， 故答案为：2．15．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为9π，则p = 4 【解答】解：因为OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFM ∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．因为圆的面积为9π，即圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上， 因为||2p OF =，所以324p p+=， 4p =．故答案为：4．16．（5分）已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O ．若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为74【解答】解：设正三棱锥P ABC -的底面边长为2a ，高为h ，如图所示： 则圆柱高为2h3，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径22163h a R =+由2h R =，可求得43h a =．设正三棱锥P ABC -的外接球的半径为r ， 则球心到底面距离为h r -，23aOA =， 利用勾股定理22223()()r h r a =-+， 可得76r a =，故74r R =，故答案为：74．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=．点D 为边BC 的中点，且7AD ．（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）ABC ∆中，(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=Q ；(sin sin )()(sin sin )A B a b C B c ∴+-=-，由正弦定理可得，()()()a b a b c b c +-=-， 化简可得，222b c a bc +-=，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<<Q ，3A π∴=，（2）222b c a bc +-=Q ，2b c =，22223a c b c ∴==-，2B π∴=，6C π=；；∴在直角BAD ∆中，222223()7224a AD c c c c =+⇒=+⇒=，23a =1232ABC S ac ∆∴==18．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a +++⋯+=----． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：11226n T <„． 【解答】（1）解：123123252525253n n na a a a +++⋯+=----，① 当1n =时，14a =． 当2n …时，1111125253n n n a a ---+⋯+=--，② 由①-②，得352n n a +=， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=， （2）证明：114411()(35)(38)33538n n a a n n n n +==-++++ 4111111411()()3811111435383838n T n n n =-+-+⋯+-=-+++，因为1103811n <+„， 所以11226n T <„． 19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，PA PC ⊥，PA PC =，4PB =（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ．（2）点M 在棱PC 上，且2MC PM =，求二面角M AB C --的大小．【解答】解：（1）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，OB ． 因为ABC ∆是正三角形，所以OB AC ⊥． 因为PA PC =，所以PO AC ⊥．在POB ∆中，2PO =，23OB =4PB =，所以222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥． 因为OB AC O =I ，所以PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ．（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则(0A ，2-，0)，(23B ，0，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，2)，(0M ，23，4)3． 所以(23AB =u u u r ，2，0)，(0AM =u u u u r ，83，4)3．设平面ABM 的法向量为(n x =r，y ，)z ，所以3208433AB n x y AM n y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r rg u u u u r r g ，令3x =(3n =r 3-，6)． 取平面ABC 的一个法向量为(0m =r，0，1)，记二面角M AB C --为θ，由||3cos ||||m n m n θ==r r g r r g ，由图知θ为锐角，所以二面角M AB C --为30︒．20．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[9，10)，[10，11)，[11，12)，[12，13)，[13，14)，五个小组（所调查的芯片得分均在[9，14]内），得到如图所示的频率分布直方图，其中-=．0.18a b（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测．若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．【解答】解：（1）依题意，(0.050.350.28)11a b ++++⨯=， 故0.32a b +=．又因为0.18a b -=．所以0.25a =，0.07b =，所求平均数为9.50.0510.50.2511.50.3512.50.2813.50.0711.57x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万分）； （2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率10.050.250.7p =--=．设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 的可能取值为600，900，1200，1500，2(600)0.30.09P X ===，32(900)0.70.70.30.30.70.30.469P X ==+⨯+⨯⨯=，123(1200)0.3070.30.1323P X C ==⨯⨯⨯=g ，123(1500)0.3070.70.3087P X C ==⨯⨯⨯=g ，故每颗芯片的测试费用的数学期望为()6000.099000.46912000.132315000.30871097.91E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元)，因为1001097.91100000⨯>，所以预算经费不够测试完这100颗芯片．21．（12分）设椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率是22，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为22（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点2)M ，斜率为2的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【解答】解：（1）由已知可得，椭圆经过点(1,， 由，解得2a =，b =，故椭圆C 的方程为22142y x +=．（2）设直线l的方程为y m =+，A ，B 的坐标1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立方程组22142y my x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，整理得22440x m ++-=，则△222816(4)8(8)0m m m =--=->，所以(m ∈-．由12x x +=，21244m x x -=，得||AB ．又点M 到AB 的距离d =，所以221(8)||22MABm m S AB d ∆+-===g g 当且仅当228m m =-，即2m =±时取等号． 此时直线l的方程为2y =±．22．（12分）已知函数213()2(0)22f x lnx ax x a =+-+…．（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．【解答】（1）解：2121()2ax x f x ax x x -+'=+-=，(0,)x ∈+∞．①当0a =时，21()x f x x-+'=．当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上单调递增；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(,)2+∞上单调递减．即函数()f x 只有一个极大值点12，无极小值点． ②当01a <<时，△440a =->，令()0f x '=，得x =当)x ∈+∞U 时，()0f x '>，所以()f x 在，)+∞上单调递增；当x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在上单调递减．即函数()f x ③当1a …时，△440a =-„，此时()0f x '…恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点．综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点； 当1a …时，()f x 没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1x ，2x 为方程2210ax x -+=的两根， 即122x x a +=，121x x a=， 所以2212121212214242()()()2()3()3222a a f x f x lnx x x x x x ln lna a a a a a+=++-++=+--+=--+．令2()2g a lna a=--+，(0,1)a ∈， 则22122()0ag a a a a-'=-+=>恒成立，所以g （a ）在(0,1)上单调递增， 所以g （a ）g <（1）1220ln =--+=， 即12()()0f x f x +<．。