高数同济五版 (47)

习题8−11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y −1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y −2)2≤4}.解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为{(x , y )|x 2+(y −1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y −2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22−+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅−+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x −y , xy ).解 f (x +y , x −y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x −y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2−2x +1);解 要使函数有意义, 必须y 2−2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2−2x +1>0}.(2)yx y x z −++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x −y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x −y >0}.(3)y x z −=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥−y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z −−+−=; 解 要使函数有意义, 必须y −x >0, x ≥0, 1−x 2−y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y −x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u −+++−−−=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2−x 2−y 2−z 2≥0且x 2+y 2+z 2−r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +−→; 解110011lim 22)1,0(),(=+−=+−→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim)0,0(),(+−→; 解 xy y x 42lim)0,0(),(+−→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++−=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(−=++−=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(−+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(−+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(−+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xyxy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++−→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→⋅++−=++− 01sin lim cos 1lim 00==−=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:(1)y x y x y x −+→)0,0(),(lim; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(==−+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(−=−=−+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x −+→)0,0(),(lim不存在. (2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),则 1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==−+→=→x x y x y x y x x xy y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),则 044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=−+→=→x x x y x y x y x x xy y x . 因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→不存在. 8. 函数xy x y z 2222−+=在何处间断？ 解 因为当y 2−2x =0时, 函数无意义,所以在y 2−2x =0处, 函数x y x y z 2222−+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x .证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x yx xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x yx y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤−+22|0|2222y x yx xy , 所以0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x −x 0|<δ时, 有|f (x )−f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x −x 0|<δ, 从而 |F (x , y )−F (x 0, y 0)|=|f (x )−f (x 0)|<ε,所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8−21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y −y 3x ;解 323y y x xz −=∂∂, 233xy x y z −=∂∂. (2)uvv u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s −=+∂∂=∂∂, 21)(v u u u v v u v v s −=+∂∂=∂∂. (3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理)ln(21xy y y z =∂∂. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅−⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y −= 根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz −=∂∂. (5)yx z tan ln =; 解 y x y y y x yxx z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂, y x y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222−=−⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(−−+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz , ]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++++=. (7)z yx u =;解 )1(−=∂∂z y x zy x u , x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂, x x zy z y x x z u z y z y ln )(ln 22⋅−=−=∂∂. (8) u =arctan(x −y )z ;解 z z y x y x z x u 21)(1)(−+−=∂∂−, z z y x y x z y u 21)(1)(−+−−=∂∂−, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(−+−−=∂∂. 2. 设gl T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解 因为l g l T ⋅⋅=∂∂1π, g g g l gT 121(223⋅−=⋅−⋅=∂∂−ππ, 所以 0=⋅−⋅=∂∂+∂∂gl g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +−=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 解 因为211(1xe x z y x ⋅=∂∂+−, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+−, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+−+− 4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(−+=, 求. )1 ,(x f x解 因为x x x x f =−+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dxd x f x . 5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 242x x x z ==∂∂, αtan 1)5,4,2(==∂∂xz , 故4πα=. 6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4−4x 2y 2;解 2384xy x x z −=∂∂, 2222812y x xz −=∂∂; y x y y z 2384−=∂∂, 2222812x y yz −=∂∂; xy y x y yy x z 16)84(232−=−∂∂=∂∂∂. (2)x y z arctan=; 解 22222)(11y x y x y xy x z +−=−⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy y z +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +−=∂∂; 22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +−=+−+−=+−∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y x z x ln =∂∂, y y xzx 222ln =∂∂; 1−=∂∂x xy y z , 222)1(−−=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂−−y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, −1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,f yz (0, −1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyy x xy x z , x xy y x z 122==∂∂, 023∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z −=∂∂∂. 9. 验证:(1)满足nx e y tkn sin 2−=22xy k t y ∂∂=∂∂; 证明 因为nx e kn kn nx e ty t kn t kn sin )(sin 2222⋅−=−⋅⋅=∂∂−−, nx ne x y t kn cos 2−=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222−−=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 222−−=∂∂, 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. (2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r x r −=∂∂−=∂∂, 由对称性知32222ry r y r −=∂∂, 32222r z r z r −=∂∂, 因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r −+−+−=∂∂+∂∂+∂∂ r r r r r z y x r 23)(332232222=−=++−=.习题8−31. 求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=; 解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=. (2)x ye z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=. (3) 22yx y z +=; 解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−, 2/3222222222)(y x x y x y x y y y x z +=++⋅−+=∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=. (4)u =x yz .解 因为1−⋅=∂∂yz x yz x u , x zx y u yz ln =∂∂, x yx zu yz ln =∂∂, 所以xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=− 2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分.解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x x z, 3221=∂∂==y x y z,所以 dy dx dz y x 323121⋅+===. 3. 求函数xy z =当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时的全增量和全微分. 解 因为x y x x y y z −Δ+Δ+=Δ, y x x xy dz Δ+Δ−=12, 所以, 当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=Δz , 125.0)2.0(211.041−=−+×−=dz . 4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时的全微分.解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂= 所以, 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时,e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5. 计算33)97.1()102(+的近似值.解 设33y x z +=, 由于y y z x x z y x y y x x Δ∂∂+Δ∂∂++≈Δ++Δ+3333)()(332233233y x y y x x y x +Δ+Δ++=, 所以取x =1, y =2, Δx =0.02, Δy =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y Δ∂∂+Δ∂∂+≈Δ+Δ+)(y x x x yx x y y y Δ+Δ+=−ln 1, 所以取x =2, y =1, Δx =−0.03, Δy =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z Δ+Δ+=Δ+Δ=≈Δ, 当x =6, y =8, Δx =0.05, Δy =−0.1时,05.0)1.0805.0686122−=⋅−⋅+≈Δz . 这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,ΔV ≈dV =2πRh ΔR +πR 2Δh ,当R =4, h =20, ΔR =Δh =0.1时,ΔV ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂≤≈Δ|)|||(122y y x x yx Δ+Δ+=. 令x =7, y =24, |Δx |≤0.1, |Δy |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈Δ. 令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则 55.2718021278631.0232631.023278=×××+××+××≈πδs , 82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS , %29.182.212755.27==S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55 m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂=≈Δ. 所以两数之和的绝对误差|Δu |等于它们各自的绝对误差|Δx |与|Δy |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明 设u =xy , yx v =, 则Δu ≈du =ydx +xdy , 2y xdy ydx dv v −=≈Δ, 由此可得相对误差;ydy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈Δy y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤; y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v −=⋅−==Δ2y y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤.习题8−41. 设z =u 2−v 2, 而u =x +y , v =x −y , 求x z ∂∂, yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x , yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(−1)=2(u −v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而yx u =, v =3x −2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x −+−=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )2()(ln 222−+−⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x −−−−=. 3. 设z =e x −2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz . 解 dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅−⋅+=−− .)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x −=−=−− 4. 设z =arcsin(x − y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x −−−+⋅−−= 232)43(1)41(3t t t −−−=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz . 解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xx x e x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+−=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx du . 解 dxdz dz u dx dy y u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂= )sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax −⋅+−⋅+++−= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++−+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan =, 而x =u +v , y =u −v , 验证22v u v uv z u z +−=∂∂+∂∂. 证明 )()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂ )()(111)(11222y x y x y y x −⋅++⋅+=)1()()(111)(11222−⋅−⋅++⋅++y x yx y y x 22222v u v u y x y +−=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) u =f (x 2−y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号,2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy ′+′=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy ′+′−=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂. (2) ,(zy y x f u =; 解 1211)()(f yz y x f y x x f x u ′=∂∂⋅′+∂∂⋅′=∂∂, )()(21z y y f y x y f y u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂2121f z f yx′+′−=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂22f z y ′−=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅′+⋅′+⋅′=∂∂3211321f yz f y f ′+′+′=, 3232f xz f x xz f x f yu ′+′=⋅′+⋅′=∂∂, 33f xy xy f zu ′=⋅′=∂∂. 9. 设z =xy +xF (u ), 而xy u =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅)([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂′+⋅+∂∂′++= )]([)]()([u F x y u F xy u F y x ′+⋅+′−+= =xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f y z −=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222′−=⋅′⋅−=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()(′−+=−⋅′⋅−=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+′+′−=∂∂⋅+∂∂⋅211y z zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22xz ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ),f x xu u f x z ′=∂∂′=∂∂2)(, f y y u u f y z ′=∂∂′=∂∂2)(, f x f x u f x f xz ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ′′=∂∂⋅′′=∂∂∂422, f y f y u f y f y z ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).u f y vf y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0, vf u f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数.)()()(22u f x y uf y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=, )(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yv v u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u f y uf xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x vf u f x y y z y y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yv v f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vf x u v f v u f x u f x2222222v f v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =; 解 令u =x , yx v =, 则z =f (u , v ). v f y u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1, vf y xdy dv v f y z ∂∂⋅−=⋅∂∂=∂∂2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xv v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂= 22222212v f y v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=, 1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= yv v f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂⋅∂∂∂=22211 221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂∂⋅−= ()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322vf y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅−∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1′⋅y 2+f 2′⋅2xy =y 2f 1′+2xyf 2′,z y =f 1′⋅2xy +f 2′⋅x 2=2xyf 1′+x 2f 2′;z xx =y 2[f 11′′⋅y 2+f 12′′⋅2xy ]+2yf 2′′+2xy [f 21′′⋅y 2+f 22′′⋅2xy ] =y 4f 11′′+2xy 3f 12′′+2yf 2′′+2xy 3f 21′′+4x 2y 2 f 22′′=y 4f 11′′+4xy 3f 12′′+2yf 2′′+4x 2y 2 f 22′′,z xy =2y f 1′+y 2[f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+2xf 2′+2xy [f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2y f 1′+2xy 3f 11′′+x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+4x 2y 2f 21′′+2x 3yf 22′′ =2y f 1′+2xy 3f 11′′+5x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+2x 3yf 22′′,z yy =2xf 1′+2xy [f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+x 2[f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+2x 3y f 12′′+2x 3yf 21′′+x 4f 22′′=2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+4x 3y f 12′′+x 4f 22′′.(4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1′⋅cos x + f 3′⋅e x +y =cos x f 1′+e x +y f 3′,z y =f 2′⋅(−sin y )+ f 3′⋅e x +y =−sin y f 2′+e x +y f 3′,z xx =−sin x f 1′+cos x ⋅(f 11′′⋅cos x + f 13′′⋅e x +y )+e x +y f 3′+e x +y (f 31′′⋅cos x + f 33′′⋅e x +y ) =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e x +y cos x f 31′′+e 2(x +y ) f 33′′ =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+2e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e 2(x +y ) f 33′′, z xy =cos x [f 12′′⋅(−sin y )+ f 13′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′+e 2(x +y )f 33′ =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+e 2(x +y )f 33′′, z yy =−cos y f 2′−sin y [f 22′′⋅(−sin y )+ f 23′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+ f 33′′⋅e 2(x +y ) =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−2e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′+f 33′′⋅e 2(x +y ).13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而3t s x −=, 3t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321y u x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅−=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(2yu x u s s u s s u ∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ (23)(212222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= 2321(23)2321(212222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(2yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(232222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂−= )2123(21)2123(232222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−+∂∂∂⋅+∂∂⋅−−=22222412343y uy x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−∂∂⋅=,所以 22222222y u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8−51. 设sin y +e x −xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x −xy 2, 则F x =e x −y 2, F y =cos y −2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222−−=−−−=−=.2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy. 解 令xyy x y x F arctan ln ),(22−+=, 则22222222)()(11221y x y x xy x y y x x y x F x ++=−⋅+−+⋅+=,22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +−=⋅+−+⋅+=,yx y x F F dx dyy x −+=−=. 3. 设022=−++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(−++=, 则 xyz yz F x −=1, xyzxz F y −=2, xyz xyF z −=1,xy xyz xyz yz F F x z z x −−=−=∂∂, xy xyz xyz xz F F y zz y −−=−=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及yz ∂∂, 解 令yz z x z y x F ln ),,(−=, 则z F x 1=, y yzyz F y 1)(12=−⋅−=, 2211z z x y y z z x F z +−=⋅−−=,所以 z x z F F x z z x +=−=∂∂, )(2z x y z F F y z z y +=−=∂∂.5. 设2sin(x +2y −3z )=x +2y −3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y −3z )−x −2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y −3z )−1,F y =2cos(x +2y −3z )⋅2−2=2F x , F z =2cos(x +2y −3z )⋅(−3)+3=−3F x ,313=−−=−=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=−−=−=∂∂x x z y F F F F y z ,于是 13231=+=−−=∂∂+∂∂z z z x F FF F yz x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z yy x .解 因为x y F F y x −=∂∂, y z F F zy −=∂∂, z x F F x z−=∂∂,所以 1()()(−=−⋅−⋅−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F xz z yy x .7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx −az , cy −bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足c yz b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为v u uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a v u vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z−xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z −xyz , 则F x =−yz , F z =e z −xy , xye yzF F x z z x −=−=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z −−∂∂−−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y z z z −−−−+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz −−−=. 9. 设z 3−3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3−3xyz −a 3, 则xy z yz xy z yz F F x z z x −=−−−=−=∂∂22333, xyz xz xy z xz F F y z z y −=−−−=−=∂∂22333, )()(22xyz yzy x z y y x z −∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂222)()2())((xy z x y z z yz xy z yz y z −−∂∂−−∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz y z −−−−−⋅−+=322224)()2(xy z y x xyz z z −−−=.10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设, 求⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z dx dy , dx dz; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−xdx dz z dxdy y xdx dz dx dy y 3222.解方程组得)13(2)16(++−=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设, 求⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x dz dx ,dz dy ;解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dzdx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+zdz dy y dz dx x dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x −−=∂∂, yx xz z y −−=∂∂. (3)设, 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求⎩⎨⎧−=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u x u ∂∂,x v ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅′+−∂∂⋅′=∂∂∂∂⋅′+∂∂+⋅′=∂∂x v yv g x u g x v x v f x u x u f x u 21212)1()( , 即⎪⎩⎪⎨⎧′=∂∂⋅⋅−′+∂∂′′′−=∂∂⋅′+∂∂−′121121)12()1(g x v g yv x u g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ′′−−′−′′′−−′′−=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ′′−−′−′−′+′′=∂∂.(4)设, 求⎩⎨⎧−=+=v u e y v u e x u u cos sin x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得, 即, ⎩⎨⎧+−=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin ⎩⎨⎧=+−=++dy vdv u du v e dxvdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (从中解出du , dv 得dy v v e v dxv v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +−−++−=, v v e u e v dx v v e u e v dv u uu u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +−+++−−=,从而1)cos (sin sin +−=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +−−=∂∂v v e vy u u ,]1)cos (sin [cos +−−=∂∂v v e u e v x v u , ]1)cos (sin [sin +−+=∂∂v v e u e v y v u.11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组可确定两个一元隐函数, 方⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y 程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dxdt t f x f dx dy ,移项得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂−x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂−=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yF t f t F x Ft f t F x f t Fx F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂−∂∂−∂∂⋅=1.习题8−61. 求曲线x =t −sin t , y =1−cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (−π处的切线及法平面方程.解 x ′(t )=1−cos t , y ′(t )=sin t , 2cos 2)(t t z =′. 因为点)22 ,1 ,12 (−π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (−π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(−π处, 切线方程为22211121−=−=−+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=−+−⋅++−⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=′, 21)(t t y −=′, z ′(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(−=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为21124121−=−−=−z y x , 即8142121−=−−=−z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=−+−−−z y x , 即2x −8y +16z −1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m −x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m −x 的两边 对x 求导, 得m dx dyy22=, 12−=dxdz z , 所以y m dx dy=, z dx dz 21−=.曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m −=T , 所求的切线方程为000211z z z y m y y x x −−=−=−, 法平面方程为0)(21)()(00000=−−−+−z z z y y y m x x . 4. 求曲线在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y .解此方程组得z y z x dx dy 61015410−−−−=, z y y x dx dz 610946−−−+=. 因为169)1,1,1(=dx dy, 161)1,1,1(−=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111−−=−=−z y x , 即1191161−−=−=−z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=−−−+−z y x , 即16x +9y −z −24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x ′=1, y ′=2t , z ′=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =−1, 31−=t . 于是所求点的坐标为(−1, 1, −1)和)271 ,91 ,31(−−. 6. 求曲面e z −z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z −z +xy −3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z −1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x −2)+2(y −1)+0⋅(z −0)=0, 即x +2y −4=0,法线方程为02112−=−=−z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x −x 0)+by 0(y −y 0)+cz 0(z −z 0)=0,即 , 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++法线方程为00000cz z z by y y ax x x −=−=−.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x −y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, −1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =−=, 即z x 21=, z y 41−=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+−+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221∓=y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±±∓. 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+−±z y x ∓, 即 2112±=+−z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2−16, 则点(−1, −2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(−1, −2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(−1, −2, 3)=(−6, −4, 6).点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F −++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=−+−+−z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8−71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)cos ,(cos 23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy ′=4, 解得yy 2=′. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y ′(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +−=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222−+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a xF F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22b a b y a x b a −=−=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ,(2222βα=+−+−=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, bb y y z b a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, 所以 222222222cos cos b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(−=−=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=−=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=−=∂∂xy z z u , 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9−5, 4−1, 14−2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u, 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u, 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2−1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111cos cos cos z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x −2y −6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).。

高数课后答案详解【篇一：高数课后习题答案】txt>▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆《全新版大学英语综合教程》（第三册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=77fromuid=164951《全新版大学英语综合教程》（第一册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=75fromuid=164951《会计学原理》同步练习题答案/viewthread.php?tid=305fromuid=164951《微观经济学》课后答案（高鸿业版）/viewthread.php?tid=283fromuid=164951《统计学》课后答案（第二版，贾俊平版）/viewthread.php?tid=29fromuid=164951《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印/viewthread.php?tid=289fromuid=164951毛邓三全部课后思考题答案(高教版)/毛邓三课后答案/viewthread.php?tid=514fromuid=164951新视野大学英语听说教程1听力原文及答案下载/viewthread.php?tid=2531fromuid=164951西方宏观经济高鸿业第四版课后答案/viewthread.php?tid=2006fromuid=164951《管理学》经典笔记（周三多，第二版）/viewthread.php?tid=280fromuid=164951《中国近代史纲要》课后习题答案/viewthread.php?tid=186fromuid=164951《理论力学》课后习题答案/viewthread.php?tid=55fromuid=164951《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）/viewthread.php?tid=17fromuid=164951高等数学（同济第五版）课后答案（pdf格式，共527页）/viewthread.php?tid=18fromuid=164951中国近现代史纲要课后题答案/viewthread.php?tid=5900fromuid=164951曼昆《经济学原理》课后习题解答/viewthread.php?tid=85fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）参考答案/viewthread.php?tid=5fromuid=164951谢希仁《计算机网络教程》（第五版）习题参考答案（共48页）/viewthread.php?tid=28fromuid=164951《概率论与数理统计》习题答案/viewthread.php?tid=57fromuid=164951《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版） /viewthread.php?tid=42fromuid=164951《机械设计》课后习题答案（高教版，第八版，西北工业大学）《大学物理》完整习题答案/viewthread.php?tid=217fromuid=164951《管理学》课后答案（周三多）/viewthread.php?tid=304fromuid=164951机械设计基础(第五版)习题答案[杨可桢等主编]/viewthread.php?tid=23fromuid=164951程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导/viewthread.php?tid=3fromuid=164951新视野大学英语课本详解（四册全）/viewthread.php?tid=1275fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第四册）课后答案/viewthread.php?tid=7fromuid=164951新视野大学英语读写教程3册的课后习题答案/viewthread.php?tid=805fromuid=164951新视野大学英语第四册答案（第二版）/viewthread.php?tid=5310fromuid=164951《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）/viewthread.php?tid=181fromuid=164951《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）/viewthread.php?tid=232fromuid=164951完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案/viewthread.php?tid=47fromuid=164951《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）/viewthread.php?tid=90fromuid=164951《电路》习题答案上（邱关源，第五版）/viewthread.php?tid=137fromuid=164951《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）/viewthread.php?tid=112fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）课文翻译/viewthread.php?tid=6fromuid=164951《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）/viewthread.php?tid=258fromuid=164951《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）/viewthread.php?tid=21fromuid=164951《概率论与数理统计及其应用》课后答案（浙江大学盛骤谢式千编著）/viewthread.php?tid=178fromuid=164951《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）《全新版大学英语综合教程》（第四册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=78fromuid=164951《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）/viewthread.php?tid=195fromuid=164951《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎）大学英语综合教程 1-4册练习答案/viewthread.php?tid=1282fromuid=164951《流体力学》习题答案/viewthread.php?tid=83fromuid=164951《传热学》课后习题答案（第四版）/viewthread.php?tid=200fromuid=164951高等数学习题答案及提示/viewthread.php?tid=260fromuid=164951《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）/viewthread.php?tid=236fromuid=164951/viewthread.php?tid=6417fromuid=164951《计算机网络》课后习题解答（谢希仁，第五版）/viewthread.php?tid=3434fromuid=164951《概率论与数理统计》优秀学习资料/viewthread.php?tid=182fromuid=164951《离散数学》习题答案（高等教育出版社）/viewthread.php?tid=102fromuid=164951《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版） /viewthread.php?tid=41fromuid=164951《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）/viewthread.php?tid=74fromuid=164951《教育心理学》课后习题答案（皮连生版）/viewthread.php?tid=277fromuid=164951《理论力学》习题答案（动力学和静力学）/viewthread.php?tid=221fromuid=164951选修课《中国现当代文学》资料包/viewthread.php?tid=273fromuid=164951机械设计课程设计——二级斜齿圆柱齿轮减速器（word+原图）/viewthread.php?tid=35fromuid=164951《成本会计》配套习题集参考答案/viewthread.php?tid=300fromuid=164951《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）/viewthread.php?tid=249fromuid=164951《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） /viewthread.php?tid=294fromuid=164951《计算机操作系统》习题答案（汤子瀛版，完整版）/viewthread.php?tid=262fromuid=164951《线性代数》9套习题+9套相应答案（自学，复习推荐）/viewthread.php?tid=244fromuid=164951《管理理论与实务》课后题答案（手写版，中央财经大学，赵丽芬）统计学原理作业及参考答案/viewthread.php?tid=13fromuid=164951机械设计课程设计——带式运输机的传动装置的设计/viewthread.php?tid=222fromuid=164951/viewthread.php?tid=50fromuid=164951《新编大学英语》课后答案（第三册）/viewthread.php?tid=168fromuid=164951《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版） /viewthread.php?tid=203fromuid=164951《c语言程序与设计》习题答案（谭浩强，第三版）/viewthread.php?tid=59fromuid=164951《微生物学》课后习题答案（周德庆版）/viewthread.php?tid=291fromuid=164951新视野第二版全四册听说教程答案/viewthread.php?tid=6959fromuid=164951《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）/viewthread.php?tid=138fromuid=164951《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）/viewthread.php?tid=164fromuid=164951《土力学》习题解答/课后答案/viewthread.php?tid=43fromuid=164951《公司法》课后练习及参考答案/viewthread.php?tid=307fromuid=164951《全新版大学英语综合教程》（第二册）练习答案及课文译文 /viewthread.php?tid=76fromuid=164951新视野大学英语视听说第三册答案/viewthread.php?tid=5161fromuid=164951《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）/viewthread.php?tid=191fromuid=164951《理论力学》详细习题答案（第六版，哈工大出版社）/viewthread.php?tid=2445fromuid=164951《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）/viewthread.php?tid=301fromuid=164951《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）/viewthread.php?tid=52fromuid=164951《复变函数》习题答案（第四版）/viewthread.php?tid=118fromuid=164951《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）/viewthread.php?tid=268fromuid=164951《有机化学》课后答案（第二版，高教版，徐寿昌主编）/viewthread.php?tid=3830fromuid=164951《电工学——电子技术》习题答案（下册）《财务管理学》章后练习参考答案（人大出版，第四版）/viewthread.php?tid=292fromuid=164951现代汉语题库（语法部分）及答案/viewthread.php?tid=211fromuid=164951《概率论与数理统计》习题详解（浙大二、三版通用）/viewthread.php?tid=80fromuid=164951《有机化学》习题答案（汪小兰主编）/viewthread.php?tid=69fromuid=164951《微机原理及应用》习题答案/viewthread.php?tid=261fromuid=164951《管理运筹学》第二版习题答案（韩伯棠教授）/viewthread.php?tid=34fromuid=164951《古代汉语》习题集（附习题答案）福建人民出版社/viewthread.php?tid=1277fromuid=164951《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版） /viewthread.php?tid=279fromuid=164951《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）/viewthread.php?tid=308fromuid=164951现代汉语通论（邵敬敏版）词汇语法课后练习答案/viewthread.php?tid=1429fromuid=164951《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） /viewthread.php?tid=281fromuid=164951《教育技术》课后习题答案参考（北师大）/viewthread.php?tid=199fromuid=164951《金融市场学》课后答案（郑振龙版）/viewthread.php?tid=24fromuid=164951《组织行为学》习题集答案（参考下，还是蛮好的）/viewthread.php?tid=297fromuid=164951《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）/viewthread.php?tid=122fromuid=164951大学英语精读第3册答案(外教社)/viewthread.php?tid=9fromuid=164951《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）/viewthread.php?tid=155fromuid=164951《复变函数与积分变换》习题答案/viewthread.php?tid=70fromuid=164951《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社） /viewthread.php?tid=136fromuid=164951《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）/viewthread.php?tid=293fromuid=164951《物理化学》习题解答(天津大学, 第四版，106张)/viewthread.php?tid=2647fromuid=164951新视野大学英语视听说教程第一册【篇二：高数练习题及答案】xt>一、填空题（每空3分，共15分）z?的定义域为y2yy2（1）函数（2）已知函数z?arctan20?zx，则?x?＝(x?y)ds?（3）交换积分次序，?dy?f(x,y)dx（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则?l（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）?x?3y?2z?1?0?（1）设直线l为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（） a. l平行于? b. l在?上 c. l垂直于?d. l与?斜交（2（）xyz?确定，则在点(1,0,?1)处的dz??2a.dx?dyb.dx?22d.dx?2?2（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（） a.?0c.2????(x?y)dv5d??rdr?dz235?2?0d??rdr?dz2?22543?2?0d??20rdr?5dz2r35d. （）1?d??rdr?dz（4）已知幂级数a. 2b. 1c. 2d. （5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（）a.xx??xxb.(ax?b)xec.(ax?b)?ced.(ax?b)?cxe三、计算题（每题8分，共48分）x?11、求过直线l1:12?y?20?z?3?1且平行于直线l2：x?22?y?11?z1的平面方程?z?z2、已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y3、设d?{(x,y)x?y?4}22，利用极坐标求??dxdxdy24、求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?5、计算曲线积分l，其中l为摆线?y?1?cost从点2y2x2o(0,0)到a(?,2)的一段弧x?xy?y?xe6、求微分方程满足 yx?1?1的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算半球面z????2xzdydz?yzdzdx?z?dxdy，其中?由圆锥面z?与上(10? )?2、（1）判别级数?n?1(?1)n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）n?（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1?nx的和函数（6?）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z?（1）函数ln(1?x?y)的定义域为；elnx0xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz?（3）交换积分次序，?1dx?f(x,y)dy2＝；（4）已知l是抛物线y?x上点o(0,0与点b(1,1之间的一段弧，则?l?；（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）?x?y?3z?0?（1）设直线l为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则l与?的夹角为（）；???z?a. 0b. 2c. 3d. 4 （2）设z?f(x,y)是由方程z?3xyz?a确定，则?x yz2233?（）；xy2yz2x?xz2?a. xy?zb. z?xyc. xy?zd. z?xy （3）微分方程y???5y??6y?xe 的特解y的形式为y?（）；a.(ax?b)e2xb.(ax?b)xe222xc.(ax?b)?ce22xd.(ax?b)?cxe2x（4）已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将三次积分为（）； a?02?2???dv?在球面坐标系下化成a?20d??sin?d??rdra2b.?02??20d??d??rdr2?a20c.?02?d??d??rdr?ad.?02nd??sin?d??rdr??（5）已知幂级数n?1?2n?1xn，则其收敛半径（）.1a. 2b. 1c. 2三．计算题（每题8分，共48分）5、求过a(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .?z?z6、已知z?f(sinxcosy,e22x?y)，求?x， ?y.7、设d?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算22??arctandyxdxdy.8、求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、利用格林公式计算? 222l(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyxx，其中l为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从a(2a,0)到o(0,0)的弧段.x?16、求微分方程四．解答题（共22分）y??y3?(x?1)2的通解.?1、（1）（6?）判别级数敛；n?1(?1)n?12sinn?3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收?n（2）（4?）在区间(?1,1)内求幂级数2、(12?)利用高斯公式计算 z?x?y(0?z?1)的下侧22?n?1?xnn的和函数 .??2xdydz?ydzdx?zdxdy，?为抛物面高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .2、n??3n?3n?2=.3、已知y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy?.2lim(n?2)22?4、定积分1?1(x2006sinx?x)dx?2.dy5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx57.二．选择题（每空3分，共15分）x?3x?2的间断点 1、x?2是函数（a）可去（b）跳跃（c）无穷（d）振荡y?x?1222、积分?10=.(a) ?(b)??(c) 0 (d) 13、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是。

an
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档
实用文档。

同济大学高等数学一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim sin 3x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

习题1-61. 计算下列极限:(1)xx x ωsin lim 0→; 解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x . (4)x x x cot lim 0→; 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→x x x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 10)1(lim -→;解 {}11)(10)1()(1010)](1[lim )](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x . (2)x x x 10)21(lim +→; 解 []22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 []222)11(lim )1(lim e xx x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ; 证明 因为nn 11111+<+<, 而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n , 由极限存在准则I, 111lim =+∞→nn . (2)()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 ()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n nn n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增. 因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)11lim 0=+→n x x ; 证明 当|x |≤1时, 则有1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n ,1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n ,从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 00=+=-→→x x x x , 根据夹逼准则, 有11lim 0=+→n x x . (5)[]11lim 0=+→xx x . 证明 因为[]x x x 1111≤<-, 所以[]111≤<-xx x . 又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有[]11lim 0=+→x x x .。

同济5版高等数学教材同济大学出版社出版的《同济大学高等数学教材》（第5版）是一本经典的高等数学教材，广泛应用于中国各大高校数学专业的教学中。

该教材分为上、下两册，分别涵盖了高等数学的基础知识和进阶内容。

本文将从教材的编写背景、内容特点以及教学应用等方面对《同济大学高等数学教材》（第5版）进行介绍。

一、编写背景同济大学高等数学教材（第5版）的编写背景可以追溯到上个世纪50年代初。

这个时期，中国的高等教育迎来了大规模的重建和发展，为了培养更多的数学专业人才，编写一本符合国内高等数学教学需求的教材就成为当时急需解决的问题。

同济大学被委以重任，派出一批优秀的教师和数学专家组成了编写团队，开始了《高等数学》教材的编写工作。

二、内容特点1.全面系统：《同济大学高等数学教材》（第5版）涵盖了高等数学的各个分支，包括数学分析、线性代数、概率论与数理统计等，形成了一个全面而系统的知识体系。

2.理论与实践相结合：教材注重将理论与实践相结合，将数学的抽象概念与实际问题相联系，通过大量的例题和应用题，帮助学生理解和掌握数学知识，提高问题解决能力。

3.逻辑清晰：教材结构严谨，逻辑清晰，由浅入深，层层递进。

每个章节都以明确的学习目标为导向，便于学生掌握知识的重点和难点。

4.突出思维方法：教材注重培养学生的数学思维方法，强调解题的思路和方法，注重培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

三、教学应用1.大学本科教学：《同济大学高等数学教材》（第5版）在中国各个高校的本科数学专业的教学中广泛应用。

教师可以根据教学内容和学生的学习进度，灵活选用教材中的章节和题目，进行课堂讲解和习题训练。

2.自学和复习指导：除了大学本科教学外，该教材也可以作为自学和复习的指导书。

学生可以通过系统地学习教材中的知识点和例题，提高自己的数学水平。

3.参考书目：该教材还可以作为其他高校教材的参考书目，教师可以根据自己的教学需求，结合其他教材进行教学。

高数课后答案详解【篇一：高数课后习题答案】txt>▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆《全新版大学英语综合教程》（第三册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=77fromuid=164951《全新版大学英语综合教程》（第一册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=75fromuid=164951《会计学原理》同步练习题答案/viewthread.php?tid=305fromuid=164951《微观经济学》课后答案（高鸿业版）/viewthread.php?tid=283fromuid=164951《统计学》课后答案（第二版，贾俊平版）/viewthread.php?tid=29fromuid=164951《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印/viewthread.php?tid=289fromuid=164951毛邓三全部课后思考题答案(高教版)/毛邓三课后答案/viewthread.php?tid=514fromuid=164951新视野大学英语听说教程1听力原文及答案下载/viewthread.php?tid=2531fromuid=164951西方宏观经济高鸿业第四版课后答案/viewthread.php?tid=2006fromuid=164951《管理学》经典笔记（周三多，第二版）/viewthread.php?tid=280fromuid=164951《中国近代史纲要》课后习题答案/viewthread.php?tid=186fromuid=164951《理论力学》课后习题答案/viewthread.php?tid=55fromuid=164951《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）/viewthread.php?tid=17fromuid=164951高等数学（同济第五版）课后答案（pdf格式，共527页）/viewthread.php?tid=18fromuid=164951中国近现代史纲要课后题答案/viewthread.php?tid=5900fromuid=164951曼昆《经济学原理》课后习题解答/viewthread.php?tid=85fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）参考答案/viewthread.php?tid=5fromuid=164951谢希仁《计算机网络教程》（第五版）习题参考答案（共48页）/viewthread.php?tid=28fromuid=164951《概率论与数理统计》习题答案/viewthread.php?tid=57fromuid=164951《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版） /viewthread.php?tid=42fromuid=164951《机械设计》课后习题答案（高教版，第八版，西北工业大学）《大学物理》完整习题答案/viewthread.php?tid=217fromuid=164951《管理学》课后答案（周三多）/viewthread.php?tid=304fromuid=164951机械设计基础(第五版)习题答案[杨可桢等主编]/viewthread.php?tid=23fromuid=164951程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导/viewthread.php?tid=3fromuid=164951新视野大学英语课本详解（四册全）/viewthread.php?tid=1275fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第四册）课后答案/viewthread.php?tid=7fromuid=164951新视野大学英语读写教程3册的课后习题答案/viewthread.php?tid=805fromuid=164951新视野大学英语第四册答案（第二版）/viewthread.php?tid=5310fromuid=164951《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）/viewthread.php?tid=181fromuid=164951《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）/viewthread.php?tid=232fromuid=164951完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案/viewthread.php?tid=47fromuid=164951《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）/viewthread.php?tid=90fromuid=164951《电路》习题答案上（邱关源，第五版）/viewthread.php?tid=137fromuid=164951《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）/viewthread.php?tid=112fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）课文翻译/viewthread.php?tid=6fromuid=164951《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）/viewthread.php?tid=258fromuid=164951《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）/viewthread.php?tid=21fromuid=164951《概率论与数理统计及其应用》课后答案（浙江大学盛骤谢式千编著）/viewthread.php?tid=178fromuid=164951《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）《全新版大学英语综合教程》（第四册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=78fromuid=164951《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）/viewthread.php?tid=195fromuid=164951《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎）大学英语综合教程 1-4册练习答案/viewthread.php?tid=1282fromuid=164951《流体力学》习题答案/viewthread.php?tid=83fromuid=164951《传热学》课后习题答案（第四版）/viewthread.php?tid=200fromuid=164951高等数学习题答案及提示/viewthread.php?tid=260fromuid=164951《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）/viewthread.php?tid=236fromuid=164951/viewthread.php?tid=6417fromuid=164951《计算机网络》课后习题解答（谢希仁，第五版）/viewthread.php?tid=3434fromuid=164951《概率论与数理统计》优秀学习资料/viewthread.php?tid=182fromuid=164951《离散数学》习题答案（高等教育出版社）/viewthread.php?tid=102fromuid=164951《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版） /viewthread.php?tid=41fromuid=164951《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）/viewthread.php?tid=74fromuid=164951《教育心理学》课后习题答案（皮连生版）/viewthread.php?tid=277fromuid=164951《理论力学》习题答案（动力学和静力学）/viewthread.php?tid=221fromuid=164951选修课《中国现当代文学》资料包/viewthread.php?tid=273fromuid=164951机械设计课程设计——二级斜齿圆柱齿轮减速器（word+原图）/viewthread.php?tid=35fromuid=164951《成本会计》配套习题集参考答案/viewthread.php?tid=300fromuid=164951《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）/viewthread.php?tid=249fromuid=164951《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） /viewthread.php?tid=294fromuid=164951《计算机操作系统》习题答案（汤子瀛版，完整版）/viewthread.php?tid=262fromuid=164951《线性代数》9套习题+9套相应答案（自学，复习推荐）/viewthread.php?tid=244fromuid=164951《管理理论与实务》课后题答案（手写版，中央财经大学，赵丽芬）统计学原理作业及参考答案/viewthread.php?tid=13fromuid=164951机械设计课程设计——带式运输机的传动装置的设计/viewthread.php?tid=222fromuid=164951/viewthread.php?tid=50fromuid=164951《新编大学英语》课后答案（第三册）/viewthread.php?tid=168fromuid=164951《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版） /viewthread.php?tid=203fromuid=164951《c语言程序与设计》习题答案（谭浩强，第三版）/viewthread.php?tid=59fromuid=164951《微生物学》课后习题答案（周德庆版）/viewthread.php?tid=291fromuid=164951新视野第二版全四册听说教程答案/viewthread.php?tid=6959fromuid=164951《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）/viewthread.php?tid=138fromuid=164951《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）/viewthread.php?tid=164fromuid=164951《土力学》习题解答/课后答案/viewthread.php?tid=43fromuid=164951《公司法》课后练习及参考答案/viewthread.php?tid=307fromuid=164951《全新版大学英语综合教程》（第二册）练习答案及课文译文 /viewthread.php?tid=76fromuid=164951新视野大学英语视听说第三册答案/viewthread.php?tid=5161fromuid=164951《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）/viewthread.php?tid=191fromuid=164951《理论力学》详细习题答案（第六版，哈工大出版社）/viewthread.php?tid=2445fromuid=164951《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）/viewthread.php?tid=301fromuid=164951《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）/viewthread.php?tid=52fromuid=164951《复变函数》习题答案（第四版）/viewthread.php?tid=118fromuid=164951《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）/viewthread.php?tid=268fromuid=164951《有机化学》课后答案（第二版，高教版，徐寿昌主编）/viewthread.php?tid=3830fromuid=164951《电工学——电子技术》习题答案（下册）《财务管理学》章后练习参考答案（人大出版，第四版）/viewthread.php?tid=292fromuid=164951现代汉语题库（语法部分）及答案/viewthread.php?tid=211fromuid=164951《概率论与数理统计》习题详解（浙大二、三版通用）/viewthread.php?tid=80fromuid=164951《有机化学》习题答案（汪小兰主编）/viewthread.php?tid=69fromuid=164951《微机原理及应用》习题答案/viewthread.php?tid=261fromuid=164951《管理运筹学》第二版习题答案（韩伯棠教授）/viewthread.php?tid=34fromuid=164951《古代汉语》习题集（附习题答案）福建人民出版社/viewthread.php?tid=1277fromuid=164951《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版） /viewthread.php?tid=279fromuid=164951《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）/viewthread.php?tid=308fromuid=164951现代汉语通论（邵敬敏版）词汇语法课后练习答案/viewthread.php?tid=1429fromuid=164951《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） /viewthread.php?tid=281fromuid=164951《教育技术》课后习题答案参考（北师大）/viewthread.php?tid=199fromuid=164951《金融市场学》课后答案（郑振龙版）/viewthread.php?tid=24fromuid=164951《组织行为学》习题集答案（参考下，还是蛮好的）/viewthread.php?tid=297fromuid=164951《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）/viewthread.php?tid=122fromuid=164951大学英语精读第3册答案(外教社)/viewthread.php?tid=9fromuid=164951《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）/viewthread.php?tid=155fromuid=164951《复变函数与积分变换》习题答案/viewthread.php?tid=70fromuid=164951《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社） /viewthread.php?tid=136fromuid=164951《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）/viewthread.php?tid=293fromuid=164951《物理化学》习题解答(天津大学, 第四版，106张)/viewthread.php?tid=2647fromuid=164951新视野大学英语视听说教程第一册【篇二：高数练习题及答案】xt>一、填空题（每空3分，共15分）z?的定义域为y2yy2（1）函数（2）已知函数z?arctan20?zx，则?x?＝(x?y)ds?（3）交换积分次序，?dy?f(x,y)dx（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则?l（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）?x?3y?2z?1?0?（1）设直线l为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（） a. l平行于? b. l在?上 c. l垂直于?d. l与?斜交（2（）xyz?确定，则在点(1,0,?1)处的dz??2a.dx?dyb.dx?22d.dx?2?2（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（） a.?0c.2????(x?y)dv5d??rdr?dz235?2?0d??rdr?dz2?22543?2?0d??20rdr?5dz2r35d. （）1?d??rdr?dz（4）已知幂级数a. 2b. 1c. 2d. （5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（）a.xx??xxb.(ax?b)xec.(ax?b)?ced.(ax?b)?cxe三、计算题（每题8分，共48分）x?11、求过直线l1:12?y?20?z?3?1且平行于直线l2：x?22?y?11?z1的平面方程?z?z2、已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y3、设d?{(x,y)x?y?4}22，利用极坐标求??dxdxdy24、求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?5、计算曲线积分l，其中l为摆线?y?1?cost从点2y2x2o(0,0)到a(?,2)的一段弧x?xy?y?xe6、求微分方程满足 yx?1?1的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算半球面z????2xzdydz?yzdzdx?z?dxdy，其中?由圆锥面z?与上(10? )?2、（1）判别级数?n?1(?1)n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）n?（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1?nx的和函数（6?）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z?（1）函数ln(1?x?y)的定义域为；elnx0xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz?（3）交换积分次序，?1dx?f(x,y)dy2＝；（4）已知l是抛物线y?x上点o(0,0与点b(1,1之间的一段弧，则?l?；（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）?x?y?3z?0?（1）设直线l为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则l与?的夹角为（）；???z?a. 0b. 2c. 3d. 4 （2）设z?f(x,y)是由方程z?3xyz?a确定，则?x yz2233?（）；xy2yz2x?xz2?a. xy?zb. z?xyc. xy?zd. z?xy （3）微分方程y???5y??6y?xe 的特解y的形式为y?（）；a.(ax?b)e2xb.(ax?b)xe222xc.(ax?b)?ce22xd.(ax?b)?cxe2x（4）已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将三次积分为（）； a?02?2???dv?在球面坐标系下化成a?20d??sin?d??rdra2b.?02??20d??d??rdr2?a20c.?02?d??d??rdr?ad.?02nd??sin?d??rdr??（5）已知幂级数n?1?2n?1xn，则其收敛半径（）.1a. 2b. 1c. 2三．计算题（每题8分，共48分）5、求过a(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .?z?z6、已知z?f(sinxcosy,e22x?y)，求?x， ?y.7、设d?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算22??arctandyxdxdy.8、求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、利用格林公式计算? 222l(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyxx，其中l为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从a(2a,0)到o(0,0)的弧段.x?16、求微分方程四．解答题（共22分）y??y3?(x?1)2的通解.?1、（1）（6?）判别级数敛；n?1(?1)n?12sinn?3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收?n（2）（4?）在区间(?1,1)内求幂级数2、(12?)利用高斯公式计算 z?x?y(0?z?1)的下侧22?n?1?xnn的和函数 .??2xdydz?ydzdx?zdxdy，?为抛物面高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .2、n??3n?3n?2=.3、已知y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy?.2lim(n?2)22?4、定积分1?1(x2006sinx?x)dx?2.dy5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx57.二．选择题（每空3分，共15分）x?3x?2的间断点 1、x?2是函数（a）可去（b）跳跃（c）无穷（d）振荡y?x?1222、积分?10=.(a) ?(b)??(c) 0 (d) 13、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是。

习题3-1 1.验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65,6[p p 上的正确性.解因为y =ln ln sin sin x 在区间]65,6[p p 上连续, 在)65,6(p p 内可导, 且)65()6(pp y y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65,6(pp x Î, 使得y ¢(x )=cot x =0.由y ¢(x )=cot x =0得)65,6(2pp p Î.因此确有)65,6(2pp p x Î=, 使y ¢(x )=cot x =0.2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x Î(0, 1), 使001)0()1()(=--=¢yy y x .由y ¢(x )=12x2-10x +1=0得)1,0(12135α=x .因此确有)1,0(12135α=x , 使01)0()1()(--=¢y y y x .3.对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[p 上验证柯西中值定理的正确性.解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[p 上连续, 在)2,0(p 可导, 且F ¢(x )=1-sin x 在)2,0(p 内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(px Î, 使得)()()0()2()0()2(x x p p F f F F f f ¢¢=--.令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=¢¢p p , 即22sin 1cos -=-p x x .化简得14)2(8sin 2-+-=p x . 易证114)2(802<-+-<p , 所以14)2(8sin 2-+-=p x 在)2,0(p 内有解, 即确实存在)2,0(px Î, 使得)()()0()2()0()2(x x p p F f F F f f ¢¢=--.4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点x 总是位于区间的正中间.证明证明证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x Î(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y ¢(x )(b -a ), 即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p x +q )(b -a ). 化间上式得化间上式得p (b -a )(b +a )=2p x (b -a ),故2b a +=x .5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f ¢(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x 1Î(1, 2), 使f ¢(x 1)=0. 同理存在x 2Î(2, 3), 使f ¢(x 2)=0; 存在x 3Î(3, 4), 使f ¢(x 3)=0. 显然x 1、x 2、x 3都是方程f ¢(x )=0的根. 注意到方程f ¢(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ¢(x )=0的全部根. 6. 证明恒等式: 2arccos arcsi n p=+x x (-1£x £1).证明证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为因为 01111)(22º---=¢xxx f ,所以f (x )ºC , 其中C 是一常数. 因此2arccos arcsin )0()(p=+==x x f x f , 即2arccos arcsin p=+x x .7. 若方程a 0x n+a 1x n -1+ × × × + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程证明方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + × × × +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ × × × + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x Î(0, x 0), 使F ¢(x )=0, 即方程即方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)xn -2 + × × × +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点x , 使得f ¢¢(x )=0. 证明证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x 1Î(x 1, x 2), 使f ¢(x 1)=0. 同理存在一点x 2Î(x 2, x 3), 使f ¢(x 2)=0. 又由于f ¢(x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f ¢(x 1)=f ¢(x 2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x Î(x 1, x 2)Ì(x 1, x 3), 使f ¢¢(x )=0. 9. 设a >b >0, n >1, 证明:nb n -1(a -b )<a n-b n<na n -1(a -b ) .证明证明 设f (x )=x n, 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x Î(b , a ), , 使 f (a )-f (b )=f ¢(x )(a -b ), 即a n -b n =n x n -1(a -b ).因为因为 nb n -1(a -b )<n x n -1(a -b )< na n -1(a -b ),所以所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10. 设a >b >0, 证明:bb a b a a b a -<<-ln . 证明证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x Î(b , a ), , 使f (a )-f (b )=f ¢(x )(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-x.因为b <x <a , 所以所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即bb a b a a b a -<<-ln . 11. 证明下列不等式:(1)|arctan a -arctan b |£|a -b |; (2)当x >1时, e x>e ×x . 证明证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x Î(a , b ), 使f (b )-f (a )=f ¢(x )(b -a ), 即)(11arctan arctan 2ab a b -+=-x,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -£-+=-x, 即|arctan a -arctan b |£|a -b |. (2)设f (x )=e x, 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x Î(1, x ), 使 f (x )-f (1)=f ¢(x )(x -1), 即 e x -e =e x(x -1). 因为x >1, 所以所以e x -e =e x (x -1)>e (x -1), 即e x >e ×x .12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明证明 设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +¥)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f ¢(x )存在零点, 但f ¢(x )=5x 4+1¹0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a ,b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点x , 使 )()()()()()()()()(xx g a g f a f a b b g a g b f a f ¢¢-=.解 设)()()()()(x g a g x f a f x =j , 则j (x )在[a ,b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x Î(a ,b ), 使 j (b )-j (a )=j ¢(x )(b -a ),即 úûùêë颢+¢¢-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(x x x x g a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此因此 )()()()()()()()()(xx g a g f a f a b b g a g b f a f ¢¢-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-¥, +¥)内满足关系式f ¢(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x. 证明证明 令x ex f x )()(=j , 则在(-¥, +¥)内有内有0)()()()()(2222º-=-¢=¢xxx x eex f e x f ee xf e x f x j , 所以在(-¥, +¥)内j (x )为常数.因此j (x )=j (0)=1, 从而f (x )=e x. 15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f ¢(0)= × × × =f (n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明: !)()()(n x fx x f n n q =(0<q <1).证明证明 根据柯西中值定理 111)(0)0()()(-¢=--=n nn f x f x f xx f x x (x 1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----¢¢=×-¢-¢=¢n n n n n n f n n f f n f x x x x x x (x 2介于0与x 1之间),3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------¢¢¢=×---¢¢-¢¢=-¢¢n n n n n n n f n n n n f f n n f x x x x x x (x 3介于0与x 2之间), 依次下去可得依次下去可得 !)(02)1(2 )1()0()(2)1()()(1)1(1)1(11)1(n fn n n n ffn n fn n n n n n n n n x x xx x=××××--××××--=××××--------(x n 介于0与x n -1之间), 所以!)()()(n fxx f n n n x =由于x n 可以表示为x n =qx (0<q <1), 所以!)()()(n x fx x f n n q = (0<q <1).习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限:解 (1)111lim 111lim )1ln(lim 0=+=+=+®®®xxxx x x x . (2)2cos limsin lim=+=--®-®xeex ee xxx xxx .(3)a x a x a x ax a x cos 1cos lim sin sin lim ==--®®.(4)535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==®®xx x xx x pp . (5)812csclim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-×-=-®®®xx x x x x x x pppp p .(6)nm n m n m ax nnm m ax anm namx nxmx axa x -----®®===--1111lim lim .(7)177sec22sec lim 277tan 2tan lim 2722sec2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim220220=××==××××=++®®++®®+®+®x x xx x xx x xxx x x x .(8))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim 31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -×-==×=®®®®pp p p3sin 3sin 3limcos 3cos lim22=---=-=®®xx xx x x pp.(9)122lim212lim1lim11)1(111limcot arc )11ln(lim 2222==+=++=+-×+=++¥®+¥®+¥®+¥®+¥®x x x x x xx xx x x xxxx.(10)xxxx x xx x x x x 220222cos 1lim cos1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+®®®®(注: cos x ×ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 0==--=®®xx x x xx x .(11)2122sec1lim2tan lim 2cot lim2=×==®®®®x xx x x x xx .(12)+¥====+¥®+¥®®®1lim lim 1limlim 2101222ttttxx xx ete xee x (注: 当x ®0时, +¥®=21xt).(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=÷øöçèæ---®®®x x x x x x x x .(14)因为)1ln(lim )1(lim x a x x x x e xa +¥®¥®=+,而aa ax ax xxa xa xxa xa x x x x x x ==+=--×+=+=+¥®¥®¥®¥®¥®1limlim1)(11lim1)1ln(lim)1(ln(lim 22,所以所以ax a x x xx ee xa==++¥®¥®)1l n (lim )1(lim ..(15)因为xx x xxe xln sin 0sin 0lim lim +®+®=, ,而0cos sinlim cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 2=-=×-==+®+®+®+®xx xxx x x xx x x x x x ,所以所以1lim lim 0ln sin 0sin 0===+®+®ee x xx x xx .(16)因为xx xx exln tan tan 0)1(lim -+®=, ,而sinlim csc1lim cot ln lim ln tan lim 22000=-=-==+®+®+®+®xxxx x x x x x x x x ,所以所以1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===-+®+®e exx x x xx .2. 验证极限xxx x sin lim +¥®存在, 但不能用洛必达法则得出.解1)s i n 1(lim sin lim =+=+¥®¥®xx xxx xx , 极限xxx x si n lim +¥®是存在的.但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (lim x xx x x xxx +=+=¢¢+¥®¥®¥®不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim2®存在, 但不能用洛必达法则得出. 解011sinsin limsin 1sinlim2=×=×=®®xx xx x x x x x , 极限xxx x sin 1sinlim2®是存在的.但xxxx x xx x x cos 1cos1sin2lim )(sin )1sin(lim 02-=¢¢®®®不存在, 不能用洛必达法则.4. 讨论函数ïïîïïíì£>+=-0 0 ])1([)(2111x e x ex x f x x在点x =0处的连续性. 解21)0(-=ef , )0(lim )(lim 212100f e ex f x x ===---®-®, ,因为因为]1)1ln(1[101100lim ])1([lim )(lim -+-®-®+®=+=x xx x xxx x e ex x f , ,而21)1(21lim 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[1lim 00200-=+-=-+=-+=-++®+®+®+®x x x xx x x x x x x x x ,所以所以)0(lim ])1([lim )(lim 21]1)1ln(1[101100f e e ex x f x xx x xxx x ===+=--+-®-®+®.因此f (x )在点x =0处连续.习题3-3 1. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 因为f (4)=-56, f ¢(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21,f ¢¢(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f ¢¢¢(4)=(24x -30)|x =4=66,f (4)(4)=24,所以按(x -4)的幂展开的多项式为的幂展开的多项式为435234+-+-x x x x 4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-¢¢¢+-¢¢+-¢+=x fx f x f x f f=-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为因为 f ¢(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ¢¢(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2),f ¢¢¢(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2),f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(xfx fx fx f x f x f f x f +++¢¢¢+¢¢+¢+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为24)4(==f 4121)4(421==¢=-x xf , 32141)4(423-=-=¢¢=-x xf ,328383)4(425×==¢¢¢=-x xf , 27)4(1615)(--=xx f,所以所以 4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-¢¢¢+-¢¢+-¢+=x fx f x f x f f x x4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+×--+---+=x x x x x q(0<q <1).4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为因为f ¢(x )=x -1, f ¢¢(x )=(-1)x -2, f ¢¢¢(x )=(-1)(-2)x -3, × × × , nn nnxn x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-×××--=--;kk kk f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, × × ×, n +1) 所以所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32nn n x o x n fx f x f x f f x -+-+×××+-¢¢¢+-¢¢+-¢+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322nnnn x o x n x x x -+-×-+×××--×+-×--+=-.5. 求函数xxf 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解 因为因为f (x )=x -1, f ¢(x )=(-1)x -2, f ¢¢(x )=(-1)(-2)x -3, × × × ,1)1()(!)1()()2)(1()(++--=-×××--=n nn n xn x n x f;!)1(!)1()1(1)(k k fk kk -=--=-+(k =1, 2, × × ×, n ),所以所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132×××++-¢¢¢++-¢¢++-¢+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n fx n fx12132)1()]1(1[)1(])1()1()1()1(1[++++++--+++×××+++++++-=n n n n x x x x x x q (0<q <1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为因为f ¢(x )=sec 2x , f ¢¢(x )=2sec x ×sec x ×tan x =2sec 2x ×tan x , f ¢¢¢(x )=4sec x ×sec x ×tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ×tan 2x +2sec 4x , f (4)(x )=8sec 2x ×tan 3x +8sec 4x ×tan x +8sec 4x ×tan x xx x 52cos)2(sinsin 8+=;f (0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2, 所以所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a n x x x x x x x q q q +++=(0<q <1).7. 求函数f (x )=xe x的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为因为 f ¢(x )=e x +x e x , f ¢¢(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x, f ¢¢¢(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , × × ×,f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, × × ×, n ),所以所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32nn n xx o x n fx f x f x f f xe ++××××+¢¢¢+¢¢+¢+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-×××+++=.8. 验证当210££x 时, 按公式62132xx x e x +++»计算e x的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解 因为公式62132xxx e x+++»右端为e x的三阶麦克劳林公式, 其余项为其余项为43!4)(xex R x=,所以当210££x 时，按公式62132xxx e x+++»计算e x的误差01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<»£=x ex R x.645.1)21(61)21(212113221»×+×++»=e e . 9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330;(2)sin 18°. 解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-×-×+-×+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--×+-××+--x x x(x 介于27与x 之间).于是于是 33823532333)272710(!313)2792(!21327312730×××+××-×+××+»---10724.3)3531311(31063»+-+»,其误差为其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---´=×=×××<×-×=x R .(2) 已知已知 43!4s i n!31s i n x x x x x +-=(x 介于0与x 之间),所以所以 sin 18°3090.0)10(!311010sin 3»-»=p p p ,其误差为44431003.2)10(!46sin|)10(!4sin ||)10(|-´=<=p pp x pR .10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x xx x --++¥®;(2))]1ln([cos lim 222x x x ex xx -+--®;(3)222sin )(cos 1211lim 2xe x xx xx -+-+®.解 (1)ttt xx xx x x x t x x 43434343232131lim 12131lim )23(lim --+=--+=--++®+¥®+¥®.因为)(1313to t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以所以23])(23[lim )](211[)](1[lim )23(lim 00434323=+=+--++=--++®+®+¥®t t o tt o t t o t x x x x t t x .(2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim )]1ln([cos lim 13442442222x x xx x x x o x x x o x x x x x ex -++×+--++-=-+-®-®010)1l n (1)(121lim 1134=+=-++-=-®ex xx o x xx .(3)244244244222220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x xe x xx x xx +++-++-+-+-+=-+-+®®12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=×+--+=®®xx o x x x o x o x x x x o x x x .习题3-4 1. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性. 解 因为011111)(22£+-=-+=¢xxx f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-¥, +¥)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0£x £2p )的单调性. 解 因为f ¢(x )=1-sin x ³0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2p ]上单调增加.3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)x x y 82+=(x >0); (3)xx x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3; (6))0.())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x(n >0, x ³0);(8)y =x +|sin 2x |. 解 (1) y ¢=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y ¢=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得列表得可见函数在(-¥, -1]和[3, +¥)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少. (2) 0)2)(2(28222=+-=-=¢xx x xy ,令y ¢=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y ¢<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +¥)内单调x (-¥, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +¥) y ¢ + 0 - 0 +y ↗ ↘ ↗增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=¢, 令y ¢=0得驻点211=x ,x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得列表得x (-¥, 0) 0 (0, 21) 21 (21, 1) 1 (1, +¥) y ¢- 不存在不存在-0 + 0 - y↘↘０↗↘可见函数在(-¥, 0), ]21,0(, [1, +¥)内单调减少, 在]1,21[上单调增加. (4)因为011)1221(11222>+=++++=¢xxx xx y , 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加.(5) y ¢=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y ¢<0; 当21>x 时, y ¢>0, 所以函数在]21 ,(-¥内单调减少, 在) ,21[¥+内单调增加. (6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=¢, 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得列表得x )2,(a -¥2a)32 ,2(a a32a ),32(a aa (a , +¥) y ¢ + 不存在不存在 + 0 - 不存在不存在 +y↗↗↘↗可见函数在)2 ,(a -¥, ]32 ,2(aa , (a , +¥)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y ¢=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时,y ¢>0; 当x >n 时, y ¢<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +¥)内单调减少.(8)ïïîïïíì+<<+-+££+=p p p p p p p k x k x x k x k x x y 2 2sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, × × ×),ïïîïïíì+<<+-+££+=¢pp p p p p p k x k x k x k x y 2 2cos 212 2cos 21(k =0, ±1, ±2, × × ×).y ¢是以p 为周期的函数, 在[0, p ]内令y ¢=0, 得驻点21p =x , 652p =x , 不可导点为23p =x .列表得列表得x )3,0(p3p)2,3(p p2p)65 ,2(p p65p ) ,65(p py ¢ + 0 - 不存在不存在 + 0 - y↗↘ ↗↘根据函数在[0, p ]上的单调性及y ¢在(-¥, +¥)的周期性可知函数在]32,2[ppp+k k 上单调增加,在]22 ,32[pp p p++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, × × ×). 4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, xx +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20p<<x 时, sin x +tan x >2x ; (4)当20p<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x>x 2; 证明证明 (1)设xx x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +¥)内是连续的. 因为因为x x f +-=¢12121)(01211>+-+=x x ,所以f (x )在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +¥)内是连续的. 因为因为0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++×++×+++=¢x x xx xx xx x x x x f , 所以f (x )在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即01)1l n (122>+-+++x x xx , 也就是也就是 221)1l n (1x x xx +>+++. (3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2 ,0[p内连续,f ¢(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=.因为在)2,0(p 内cos x -1<0, cos 2x -1<0,-cos x <0, 所以f ¢(x )>0, 从而f (x )在)2,0(p 内单调增加, 因此当20p<<x 时,f (x )>f (0)=0, 即 sin x +tan x -2x >0, 也就是也就是 sin x +tan x >2x . (4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[p内连续,))(t a n (t a nt a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--=¢. 因为当20p<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f ¢(x )在)2,0(p 内单调增加, 因此当20p<<x 时,f (x )>f (0)=0, 即 031t a n 3>--x x x ,也就是也就是 231tan x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +¥)内连续, 因为因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-=¢e x x x f ,所以当x >4时, f ¢(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是也就是2x>x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？有几个实根？解 设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +¥)内连续, xax a xx f -=-=¢11)(, 驻点为ax 1=.因为当a x 10<<时, f ¢(x )>0, 所以f (x )在)1,0(a内单调增加; 当ax 1>时, f ¢(x )<0, 所以f (x )在) ,1(¥+a内单调减少. 又因为当x ®0及x ®+¥时, f (x )®-¥, 所以如果011ln )1(>-=aa f ,即ea 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即ea 1>, 则方程没有实根. 如果11ln )1(=-=aa f , 即ea1=, 则方程仅有一个实根.6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解 单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-¥,+¥)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f ¢(x )=1+cos x ³0, 这就明f (x )在(-¥, +¥)内是单调增加的. f ¢¢(x )=-sin x 在(-¥, +¥)内不保持确定的符号, 故f ¢(x )在(-¥, +¥)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2; (2) y =sh x ;(3)xy 11+= (x >0);(4) y =x arctan x x ; 解 (1)y ¢=4-2x ,y ¢¢=-2, 因为y ¢¢<0, 所以曲线在(-¥, +¥)内是凸的.(2)y ¢=ch x , y ¢¢=sh x . 令y ¢¢=0, 得x =0. 因为当x <0时, y ¢¢=sh x <0; 当x >0时, y ¢¢=sh x >0, 所以曲线在(-¥, 0]内是凸的, 在[0, +¥)内是凹的. (3)21xy -=¢, 32xy =¢¢.因为当x >0时, y ¢¢>0, 所以曲线在(0, +¥)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=¢,22)1(2x y +=¢¢.因为在(-¥, +¥)内, y ¢¢>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-¥, +¥)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ;(2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ;(4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ;(6) y =x 4(12ln x -7), 解 (1)y ¢=3x 2-10x +3,y ¢¢=6x -10. 令y ¢¢=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ¢¢<0; 当35>x 时, y ¢¢>0, 所以曲线在]35 ,(-¥内是是凸的, 在),35[¥+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y ¢=e -x-xe -x, y ¢¢=-e -x-e -x+x e -x=e -x(x -2). 令y ¢¢=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ¢¢<0; 当x >2时, y ¢¢>0, 所以曲线在(-¥, 2]内是凸的, 在[2, +¥)内是凹的,拐点为(2, 2e -2). (3)y ¢=4(x +1)3+e x , y ¢¢=12(x +1)2+e x . 因为在(-¥, +¥)内, y ¢¢>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x的在(-¥, +¥)内是凹的, 无拐点. (4)122+=¢x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+×-+=¢¢x x x x xx x y . 令y ¢¢=0, 得x 1=-1,x 2=1. 列表得列表得可见曲线在(-¥, -1]和[1, +¥)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2). (5)2arctan 11xe y x+×=¢,)21(12arctan x xey x-+=¢¢. 令y ¢¢=0得, 21=x .因为当21<x 时, y ¢¢>0; 当21>x 时, y ¢¢<0, 所以曲线y =earctg x在]21,(-¥内是凹的, 在) ,21[¥+内是凸的, 拐点是),21(21arctan e .(6) y ¢=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ¢¢=144x 2×ln x . 令y ¢¢=0, 得x =1. 因为当0<x <1时, y ¢¢<0; 当x >1时, y ¢¢>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nnny x y x )2()(21+>+ (x >0,y >0, x ¹y , n >1); x (-¥, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +¥) y ¢¢-0 +0 -y Ç ln2 拐点拐点È ln2 拐点拐点Ç(2))(22y x ee e y x yx ¹>++;(3)2ln)(ln ln y x y x y y x x ++>+ (x >0,y >0, x ¹y ). 证明证明 (1)设f (t )=t n, 则f ¢(t )=nt n -1, f ¢¢(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ¢¢(t )>0, 所以曲线f (t )=tn 在区间(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ¹y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+,即 nnn y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t, 则f ¢(t )=e t, f ¢¢(t )=e t. 因为f ¢¢(t )>0, 所以曲线f (t )=e t在(-¥, +¥)内是凹的.由定义, 对任意的x , y Î(-¥, +¥),x ¹y 有 )2()]()([21yx f y f x f +>+, 即)(22y x ee e y x yx¹>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f ¢(t )=ln t +1, t t f 1)(=¢¢. 因为当t >0时, f ¢¢(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0,y >0, x ¹y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即 2ln )(ln ln y x y x y y x x ++>+.10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明证明 222)1(12+++-=¢x x x y , 323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=¢¢x x x x x x x x y .令y ¢¢=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得例表得x (-¥. -1) -1 )32 ,1(-- 32-)32 ,32(+- 32+),32(¥++y ¢-0 +0 - 0 +。