锐角三角函数学案

28.1锐角三角函数（3）【学习目标】1. 能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义.2. 会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.3. 能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.4. 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程发展同学们的推理能力和计算能力.【重点难点】探索30°、45°、60°角的三角函数值【学习过程】一、情景创设同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？ 探索活动活动一.观察与思考 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？活动二.根据以上探索完成下列表格 30°45° 60° sinθcosθtanθ典例分析例1：求下列各式的值。

（1）2sin30°-cos45° （2）sin60°·cos60°（3）sin 230°+cos 230°练习：计算.（1）cos45°－sin30° （2）sin 260°＋cos 260°(3)tan45°－sin30°·cos60° (4) 020230tan 45cos 三角函数值 三角函数 θ例2.求满足下列条件的锐角α: (1) cosα=23 (2)2sinα=1 (3)2sinα－2=0 (4)3tanα－1=0 练习：1、若sinα=22,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________. 2、若sinα=21,则锐角α=_________.若sinα=23,则锐角α=_________. 3、若∠A 是锐角，且tanA=33,则cosA=_________. 4、求满足下列条件的锐角α:(1)cosα-23=0 (2)-3tanα+3=0 (3)2cosα-2=0 (4)tan （α+10°）=3五.拓展与延伸1.等腰三角形的一腰长为6㎝,底边长为63㎝,请你判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形?六、小结回忆知识找不足，七、作业习题28.1；1、2、3、4答案1、45o，0602、030，0603、3 24、1）、0302）、0453）、0454）、050。

专题十八 锐角三角函数 学案班级 姓名 组别 等级【复习目标】1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2.掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．3.通过复习提高分析问题、解决问题的能力，养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.4.通过复习发展自己的数感、符号意识和运算能力，并养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.【复习过程】一、自主复习（一）复习指导根据下面的题纲自主复习有关的基础知识快速记忆，构建知识体系，为后面的训练作好准备. 1.锐角三角函数定义在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．∠A 的正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝________；∠A 的余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝________；∠A 的正切：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝________.它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的取值范围：0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，tan α＞0注意：锐角三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．sin α cos α tan α 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°-90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 3.锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1)1cos sin 22=+A A（2）互余关系:若∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB ，cosA=sinB 4.解直角三角形 (1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)(2)直角三角形的性质：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ． ①三边之间的关系：____________； ②锐角之间的关系：____________；③边角之间的关系：sin A ＝ac ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. ④在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何表示：【∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】 ⑥射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项.几何表示：【在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°CD ⊥AB ，∴ BD AD CD •=2;AB AD AC •=2;AB BD BC •=2 】⑦等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高.（a b c h =）由上图可得：AB ·CD=AC ·BC. 类型已知条件 解法两边两直角边a 、b22c a b =+，tan aA b =，90B A ∠=︒-∠ 直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin aA c =，90B A ∠=︒-∠一边 一锐角直角边a ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，tan a b A =，sin ac A= 斜边c ，锐角A90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =（二）复习检测要求:自主学习完成后,独立完成复习检测题.完成后,组长组织本组同学统一答案，个人自己批阅，用红笔改错,不明白的求助于小组其他成员.1.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．12.如图，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC ＝a 米，∠BAC＝90°，∠ACB ＝40°，则AB 等于( )米．A ．a sin 40° B．a cos 40° C．a tan 40° D．atan 40°3.在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0， 则∠C ＝__________.4.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．二、合作探究组内交流自学环节中存在的疑惑，组长掌握组内的情况，记录组内没能解决的问题，准备班内解决.发言要求：言简意赅、明确清晰.下面的探究题，先独立完成，然后小组内交流，准备充分的小组准备班内展示.探究一: 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为( )A ．43B ．35C ．34D ．45探究二: 如图4，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。

C B锐角三角函数----正弦姓名： 九年级下学期第一周第1课时【学习目标】1、理解锐角正弦的定义，并能运用sinA 表示直角三角形中两边的比。

(重点)2、能灵活运用正弦的定义进行简单的计算。

（难点）【学习过程】一、知识回顾1．在直角三角形中有哪些元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这些元素中，你还记得它们之间有哪些性质吗？①三边之间的等量关系：__________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：__________________________________．3. 直角三角形ABC 中，究竟边与角之间有什么特殊的关系呢？我们将在这一章的知识中不断探究学习.二、探究导学 1、正弦的定义：（课本第75页）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA ＝_____________________=________.2、概念诊断：（1）sinA 表示sin 与A 的乘积 （ ）（2）sinA 表示∠A 的邻边与斜边的比值 （ ）（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sinB=AB AC （ ） (4) 在△ABC 中，则sinA= ACBC （ ） 4、自学课本第76页例1，并尝试在课本上完成第第77页练习5、根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦值。

三、能力提升1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，（1）若AC ＝6，BC ＝8，求 sinB 的值（2）若sinB=53，求sinA 的值 解题提示：（1）已知AC 和BC ，要求sinB 的值，需先求得什么？如何再求sinB 的值? 解：（2）根据sinB=53，设AC=3k ，如何表示其他两边的长度？求sinA 的值又如何呢？解：2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=54， AB ＝15，求△ABC 的周长四、课堂小结（1）、sinA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

28.1 锐角三角函数锐角三角函数(第2课时)学习目标1.探究体验,当直角三角形的锐角固定时,它是邻边与斜边、对边与邻边都固定这一事实.2.理解余弦、正切的概念,能根据余弦、正切的概念进行相关计算.学习过程一、自主复习1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的,记作.二、新知探究1.问题如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'.那么(1)AAAA 与A'A'A'A'有什么关系?(2)AAAA与A'A'A'A'呢?解析:(1)∵∠C=∠C'=90°,, ∴△ABC∽△A'B'C',∴,即AAAA =A'A'A'A'.(3)∵△ABC∽△A'B'C', ∴,即AAAA =A'A'A'A'.2.结论:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的邻边斜边叫做∠A的,记作,即cos A=.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边∠A的邻边叫做∠A的,记作,即tan A=.(3)锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的.三、例题探析1.例题:(教材例2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A、 cos A、tan A 的值.解:由勾股定理,得AC===,故sin A=∠A的对边斜边==,cos A=∠A的邻边斜边==,tan A=∠A的对边∠A的邻边==.2.拓展:在例题的条件下,求sin B,cos B,tan B的值.解:四、知识梳理本节课你所学习的三个定义分别是什么?答:评价作业(满分100分)1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下列等式中不正确的是()A.a=c×sin AB.b=a×tan BC.b=c×sin BD.c=Acos A2.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则ta n B的值是()A.35B.34C.45D.433.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=43,BC=8,则AC等于()A.6B.323C.10D.124.(8分)如图所示,若cos α=√1010,则sin α的值为()A.√1010B.23C.34D.3√10105.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则cos∠ABC的值是.6.(8分)如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则tan∠ADC=.7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=3,则tan B5的值是.,AB=26.求cos B及AC的长.8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=239.(10分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.(1)求证AC=BD;,BC=12,求AD的长.(2)若sin C=121310.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.(1)求sin α,cos α,tan α的值;(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.11.(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°,请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.参考答案学习过程一、自主复习1.固定的2.正弦sin A二、新知探究1.解析:(1)∠A=∠A' AAA'A'=AAA'A'(2)AAA'A'=AAA'A'2.结论:(1)余弦c os A AA(2)正切tan A AA(3)锐角三角函数三、例题探析1.解:√AA2-AA2√102-628AAAA 35AAAA45AAAA342.解:sin B=AAAA =45,cos B=AAAA=35,tan B=AAAA=43.四、知识梳理答:略评价作业1.D2.D3.A4.D5.√556.347.238.解:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∴tan A=AA AA =23,∴设BC=2k ,AC=3k ,由勾股定理可得AB=√13k ,∴√13k=26,∴k=2√13,∴BC=2k=4√13,AC=3k=6√13,∴cos B=AA AA =4√1326=2√1313.∴AC 的长为6√13,cos B=2√1313.9.(1)证明:∵AD 是BC 边上的高,∴AD ⊥BC ,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt △ABD 和Rt △ADC 中,tan B=AA AA ,cos ∠DAC=AA AA ,又∵tan B=cos ∠DAC ,∴AAAA=AAAA,∴AC=BD. (2)解:在Rt △ADC 中,sin C=AA AA =1213,故可设AD=12k ,AC=13k ,∴CD=√AC 2-AD 2=5k ,∵BC=BD+CD ,又AC=BD ,∴BC=13k+5k=18k ,∵BC=12,∴18k=12,∴k=23,∴AD=12k=12×23=8.10.解:在Rt △ACD 中,∵AC=2,DC=1,∴AD=√AC 2+CD 2=√5.(1)si n α=CDAD =1√5=√55,cos α=AC AD =2√5=2√55,tan α=CD AC =12.(2)在Rt △ABC 中,tan B=ACBC ,即tan α=2BC =12,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 11.解:∠A 的正弦、余弦值的平方和等于1,理由如下:∵sin A=AA ,cos A=AA ,a 2+b 2=c 2, ∴sin 2A+cos 2A=(A A )2+(A A )2=A 2+A 2A 2=1.。

斜边c对边abC B A28．1锐角三角函数（2） 余弦、正切学案一．知识巩固。

（每个题目5分，合计20分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ，2、 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。

已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）A ．53B ．23C ．255D ．523、 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．4、在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则 ∠A 的正弦值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变二．新知探究。

（每个题目10分，合计100分）1、类似于正弦的情况， 如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是 ．我们 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 ；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，记作 。

2、当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=； 当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．(1)CB A436CB A判断题 4、cos x =21=60°． （ ）5、α是锐角，且sin α=23，则α=30°． （ ）6、cos45°－cos15°=cos30°=23． （ ）7、若α为锐角，则2)1(cos -α=cos α－1．（ ） 8、若A 为锐角则0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1． （ ） 9、 若a 为锐角，则sin a +cos a ＞1． （ ） 10、已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则AC 的长是( ).A.3B.6C.9D.12三．运用提高。

第28章锐角三角函数复习学案一、课程学习目标1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2、能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3、理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。

二、本章知识结构框图三、知识点与方法（一）正弦、余弦、正切的意义【第1课时】（1）在Rt△ABC中，∠C=90度，则锐角A的与的比叫做∠A的正弦，记作；则锐角A的与的比叫做∠A的余弦，记作；则锐角A的与的比叫做∠A的正切，记作。

（2）锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的。

【练习】1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2、如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cos α的值等于（ ）A ．34B ．43C ．45D ．35图1 图2 图3 3、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ）A ．a=c ·sinB B ．a=c ·cosBC ．a=c ·tanBD ．以上均不正确 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，32cos =A ，则tanB 等于（ ）A ．35B ．C ．25．5、、如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，c=220，则∠B 的度数为_______．7、已知：α是锐角，247tan =α，则sin α=_____，cos=_______． 8、如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，•另一边经过点P ()32,2，求角α的三个三角函数值．9、（2013•自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是 。

第二章直角三角形的边角关系2.3 用计算器求锐角的三角函数值（1）【自主探究】知识点一：用计算器求锐角的三角函数值用科学计算器求三角函数值，要用到sin， cos 和tan键。

常见的计算器，先按开机键ON/C后，使屏幕的标记栏中显示“DEG”，这表明计算器已进入以度为角的度量单位的运算状态。

在此状态下，就可以输入角的度数求相应的三角函数值了。

若没有显示“DEG”，可按D/R键，直至出现“DEG”为止。

针对训练一1.利用计算器求sin 30°时，依次按键sin30＝，则计算器上显示的结果是( )A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．12. 用计算器求cos9°，以下按键顺序正确的是( )A.cos9＝B.9cos＝C.cos90＝D.90cos＝3.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18′，按键顺序正确的是( )A．sin36·18＝B．sin36DMS18＝C．2nd F sin36DMS18＝D．sin36DMS18DMS＝4. 用计算器求sin48°30′28″＋cos53°26′34″＋tan32″的值是(结果精确到0.0001)__________【基础巩固】1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是( )2.用计算器求下列各式的值：(1)sin47°；(2)cos25°18′；(3)tan44°59′59″；(4)sin18°+cos55°tan59°【素养提优】1.如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点，已知坡角为20°，山高BC＝2千米，用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是( )A.2÷sin20＝B.2×sin20＝B.C.2÷cos20＝ D.2×tan20＝2.利用计算器求值时，小明将按键顺序为的显示结果记为a，的显示结果记为b，则a，b的大小关系为( )A.a b> C.a b= D.不能比较< B.a b【中考链接】（2021·山东东营）如图，在ABC中，90∠=︒，42CB∠=︒，8BC=，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是（）A．8sin42÷︒= C．8tan42÷︒= B．8cos42⨯︒=÷︒=D．8tan42【方法提炼】先按开机键ON/C后，使屏幕的标记栏中显示“DEG”，再输入sin， cos 和tan相应的键，“度，分，秒”用DMS键分隔。

锐角三角函数数学教案标题：锐角三角函数数学教案一、教学目标：1. 理解并掌握正弦、余弦、正切等基本概念。

2. 学会利用直角三角形的边长关系求解三角函数值。

3. 能够运用锐角三角函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 锐角三角函数的基本概念- 正弦、余弦、正切的定义- 特殊角的三角函数值2. 锐角三角函数的应用- 利用直角三角形的边长关系求解三角函数值- 利用三角函数解决实际问题三、教学过程：1. 引入新课：- 通过展示一些生活中常见的角度和比例问题，引入锐角三角函数的概念。

2. 讲授新知：- 介绍正弦、余弦、正切的定义，并举例说明。

- 介绍特殊角的三角函数值，并让学生记住这些基本的三角函数值。

3. 巩固练习：- 给出一些简单的直角三角形，让学生计算对应的三角函数值。

4. 拓展应用：- 给出一些实际的问题，让学生尝试使用锐角三角函数来解决。

5. 总结归纳：- 回顾本节课的主要知识点，强调锐角三角函数在实际生活中的应用。

四、教学方法：1. 直观演示法：通过实物或模型直观展示锐角三角函数的概念。

2. 启发引导法：通过提出问题，引导学生思考，激发他们的学习兴趣。

3. 实践操作法：让学生亲自参与实践活动，提高他们解决问题的能力。

五、教学评估：1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，包括他们的参与度、理解程度等。

2. 结果评价：通过作业和测试，检查学生对知识的掌握情况。

六、教学反思：1. 对于学生的反馈进行分析，找出教学中的不足，以便改进。

2. 根据学生的接受程度，调整教学进度和难度。