《用锐角三角函数解决问题(3)》导学案

7.6锐角三角函数解决问题(3)学习目标：1.掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、角有关的实际问题，培养学生。

2.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.教学流程提纲1.仰角、俯角的定义：如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是俯角，∠2就是仰角。

2.课本例题讲解3.课本练习4.拓展例题如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离．变式：如上图，飞机在一定高度上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行10km后，在B处测得该小岛的俯角为60°,求飞机的飞行高度。

本节课2个目标你达成个？分别是：7.6锐角三角函数解决问题(3)过关检测1.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30º，看这栋高楼底部C处的俯角为60º，若热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋高楼有多高？（结果保留整数，2≈1.414，3≈1.732）2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．3.据黄石地理资料记载：东方山海拔DE＝453.20米，月亮山海拔CF＝442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图，已知tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0．1秒）。

《用锐角三角函数解决问题》教案1教学目标1、了解测量中坡度、坡角的概念．2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题．3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．重点难点重点：有关坡度的计算．难点：构造直角三角形的思路．教学设计一、引入新课如下图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B l 的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A ．从图形可以看出，1111B C BC AC AC ，即tan A 1＞tan A ．在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．二、新课1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．2．习题讲解．1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0．1米)分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12．51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决．2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角．和坝底宽AD．(i ＝CE：ED，单位米，结果保留根号)三、练习课本第114页课内练习．四、小结会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．五、作业课本117页习题7．6的1、2题．《用锐角三角函数解决问题》教案2教学目标知识与技能1．通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系．2．把实际问题转化为数学问题，同时借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．数学思考与问题解决经历实际问题数学化的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用，不断探索解决实际问题的方法和规律．情感与态度在独立思考探索解决问题方法的过程中，培养学生不断克服困难，增强应用数学的意识和解决实际问题的能力．重点难点重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系．难点：把实际问题抽象为数学问题．教学设计一、创设情境，引入新知晴朗的天气到游乐园玩耍是一件很开心的事情，游乐园有大型的摩天轮、翻滚列车．我们在玩耍的同时还可以学习到很多数学知识．下面就让我们一起来看看摩天轮中的数学问题．教师提出问题，引起学生思考，然后小组内讨论回答．二、自主探究，合作交流1．问题探究．“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，旋转1周需要12min ．小明从摩天轮底部的点A (与地面相距0．3m )处开始观光．2min 后到达B ，求此时小明离地面的高度．教师提出问題，学生思考，小组交流讨论，尝试解答．分析：求小明离地面髙度AD ，关键是求出OC 的髙度．在Rt △COB 中，OB 是20m ，需求出∠BOA 的度数．因为2min 旋转了一周的16，即360°÷6=60°．根据∠BOA 的余弦就可求得OC 的长．教师出示题目，分析解题过程，明确要求的问题在图中的表示．学生写出解题过程，最后教师板书解题过程．2．拓展延伸．在上面的问题中，(1)摩天轮转动多长时间后，小明离地面的高度将首次达到15．3m？(2)摩天轮转动一周，办明在离地面30．3m以上的空中有多长的时间？教师引导学生讨论、交流，得出(1)就是在图中OC=20．3-15．3=5时，∠AOB的度数，然后再求时间．(2)仿(1)求出首次到达离地面30．3m的时间和第二次离地面30．3m的时间，二者相减就是离地面30．3m以上的空中时间．学生独立完成．3．巩固练习．教材第115页练习第1、2题．学生独立完成，老师巡回检査，指导，最后归纳．三、总结提高1．师生总结．本节学习了哪些内容？你有哪些收获和本明白的地方？师生一起回顾总结，重点总结用锐角三角函数解决实际问题的一般方法．2．作业．教材第120页复习巩固第10题．《用锐角三角函数解决问题》教案3教学目标1、进一步掌握解直角三角形的方法；2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．重点难点重点：解直角三角形在测量方面的应用；难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析．教学设计我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢？如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角．二、习题讲解1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的C处，用1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度．分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1．20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决，在△BDE中，已知DE＝CA＝22．7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢？显然正切或余切都能解决这个问题．2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)．(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形．(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．分析：如图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度．三、练习课本第116页练习．四、小结本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决．五、作业课本117页习题7．6的3、4、5、6题．。

COS 450 — tan 450 0 Sin45
当
堂
堂
训 14、等腰三角形的腰长为 5cm,底边长为 8cm，求它的底角的正切值 练
训
练
盘 点 收 获 教 学 反 思
预
Байду номын сангаас
1、 【量一量】画一个锐角是30°的直角三角形，量一下30°所对的直角边 与斜边的长分别是多少 ?它们的比等于多少 ? 邻边与斜边的比是多 少？对边与邻边的比呢？ 当 2、 【想一想】老师上课时用的那块不等腰的三角尺中，30°角所对的直 角边与斜边的比也是等于1∶2吗？其他边的比呢? 3、 【比一比】Δ ABC~Δ A’B’C’
4、 计算 2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是 A．2 B． 3 C． 2
） ．
5．已知∠A 为锐角，且 cosA≤
1 ，那么 2 A．0°<∠A ≤60°B．60°≤∠A<90 ° C．0°<∠ A≤30°D．30°≤∠A<90° 1 ， 2
（
） 13、在如图所示的 Rt△ ABC 中你会求∠ A 的三角函数值吗？∠ B 呢？
6．在△ABC 中，∠A、∠B 都是锐角，且 sinA= cosB=
当
3 ，则△ABC 的形状是 （ ） 2 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 7．当锐角 a>60°时，cosa 的值 （ ） ． 1 1 3 A．小于 B．大于 C．大于 D．大于 1 2 2 2 二、填空题 8、设α 、β 均为锐角，且 sinα -cosβ =0，则α +β =______ 2 9．若（ 3 tanA-3） +│2cosB- 3 │=0，则△ABC 是 三角形 10、 已知， 等腰△ABC•的腰长为 4 3 ， •底为 30•°， •则底边上的高为______， • 周长为______． 5 11．在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，已知 tanB= ，则 cosA=________． 2 三解答题 12、求下列各式的值 （ 1） COS 2 600 + sin 2 600 （ 2）

锐角三角函数[教学反思]课题锐角三角函数〔3〕授课时间课型新授二次修改意见课时1 授课人科目数学主备教学目标知识与技能⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式过程与方法能推导特殊角的三角函数值情感态度价值观培养学生的类比能力，通过画图，推导增强他们的学习兴趣教材分析重难点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式教学设想教法三主互位导学法学法合作探究教具常规教具课堂设计一、目标展示⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式二、预习检测一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？三、质疑探究两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．四、精讲点拨归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求以下各式的值．〔1〕cos260°+sin260°．〔2〕cos45sin45︒︒-tan45°．五、当堂检测1．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，那么α+β=_______．2．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．3．，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•那么底边上的高为______，•周长为______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=52，那么cosA=________．5．sin272°+sin218°的值是〔〕．A．1 B．0 C．12D．32六、作业布置习题28。

锐角三角函数的应用复习班级 姓名教学目标:使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。

教学重点、难点：使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。

一．知识点知识回顾解直角三角形应用的知识。

1．边与边关系：a 2＋b 2＝c 22．角与角关系：∠A ＋∠B ＝90°3．边与角关系，sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，cota ＝ba4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角， 从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。

坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度 与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)， 读作i ，即i ＝ACBC ，坡度通常用1:m 的形式，例如上图的1:2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tanB 。

显然， 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

二、考点1 锐角三角函数、解直角三角形【例1】（2016广东）如图1-6-3-1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，3），那么cos α的值是( )线，∠ABC=150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是____________考题再现1. 如图1-6-3-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是( )2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=53，则cosB 的值是3. 如图1-6-3-3，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA 等于4. 如图1-6-3-4，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE.若BE=9，BC=12，则cosC=_______.考点演练5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（ ）6. 如图1-6-3-5，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 （ ）7. △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA ，cosA ，tanA 的值。

第七章锐角三角函数〔 1〕正切函数学习目标1、认识锐角的正切的看法。

2、会求一个锐角的正切值。

3、经历操作观察思虑求解等过程，感觉数形结合的数学思想方法。

学习要点：锐角的正切的看法学习难点：锐角的正切的看法，感觉数形结合的数学思想方法知识要点在 Rt △ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比值是∠ A 的正切，记作一、情境创立问题 1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中，∠ C=∠ C′ =90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们第一应思虑：当锐角固准时，两直角边的比值可否也固定？②给出正切看法：如图，在Rt △ABC中，，把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作：tan A .二、典型例题例 1．依照以以下图中所给条件分别求出以以下图中∠A、∠ B 的正切值。

B A C1133A2CC1B B5A经过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值．例 2．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， CD是 AB 边上的高， AC=3,AB=5，求∠ ACD 、∠ BCD的正切值。

文档结论：等角的正切值．例 3．如图〔 1〕，∠ A=30°，∠ C=90°，依照三角函数定义求出30°、 45°、 60°的正切值．BA C〔1〕〔2〕〔3〕例 4．如图，∠ A=15°，∠ C=90°，求出 15°正切值．BA C随堂演练1. 〔 1〕在直角三角形中，∠ =90°， =9,a =12, 那么tan A =， tan B=。

ABC C b〔 2〕如图，△ ABC的三个极点分别在正方形网格的格点上，那么tan A 的＝．〔 3〕在 Rt △ ABC中 , ∠ C=90° ,AC=12,tanA=2 ，那么 BC长为。

锐角三角函数（第3课时）【教学目标】1．记忆特殊角的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角． 2．比较锐角三角函数值的大小.运用三角函数的性质计算并能熟练解题．【复习引入】1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=2，BC=3，则cos A = ．2. 对于锐角α，总有=+αα22cos sin ． 3. 在Rt △ABC 中,∠C =90°，135sin =A ，则B sin = ． 4. 在Rt △ABC 中,∠C =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若b =2a ，则tan A = ．【探究新知】三角函数角度sinα cosα tanα30° 45° 60°例1（1）cos 260°＋ sin 260°； （222(sin 451)(1cos45)︒--︒；（3）2sin45°＋ cos30°tan60°－()23-； (4) ︒-︒︒45tan 45cos 45sin1.若α=30°，则α的余角是 ，cosα= ，sinα= ，tanα= .2.计算︒-︒︒45tan 30cos 60sin = ．二、锐角三角函数的增减性：例2 （1）用不等号连接下面的式子:①cos30° cos28°; ②sin45° sin55°; ③tan60° tan50°.（2）已知∠A 为锐角,且cos A ≤21,则∠A 的取值范围是 .三、应用例3 （1）如图甲所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝3，求∠A 的度数．（2）如图乙所示，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求∠α的度数．【巩固练习】1．等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）A ．cm 41B ．cm 21C ．cm 43D ．cm 233．在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tan A 等于 （ ）4．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cos α的值等于 （ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．1 5．某市在“旧城改造”中计划把一块如图所示的三角形空地上种植某种 草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要 （ ） A ．450a 元 B ．225a 元 C ．150a 元 D ．300a 元6．计算(1)sin30°＋cos45°； (2) sin60°－tan45°；(3) 22sin45°＋sin60°－2cos45°； (4)cos60°＋tan60°；(5)sin60°＋︒-60tan 11； （6）13230sin 1+-︒；(7) (2＋1)－1＋2sin30°－8； （8）(1＋2)0－｜1－sin30°｜＋(21)-1；（9）sin60°＋︒-60tan 11； （10）2-3－(2003＋π) °－cos60°－211-；︒15020米30米。

28.1.2锐角三角函数导学设计杜庄中学王春梅28.1.2锐角三角函数导学设计【学习目标】1．掌握余弦、正切的概念；能较正确地用sin A 、cos A 、tan A 表示直角三角形中两边长的比．2．能够综合运用sin A 、cos A 、tan A 解决简单的实际问题． 【学习重点】 理解余弦、正切的概念．【学习难点】 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算． 一、自学提纲1．我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？ 2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，那么sin∠ABC ＝2．3．如图28－1－52，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于点D .已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( A )图28－1－52 A .53 B .23 C .2 55 D .52 4.(1)如图28－1－53，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3.则sin ∠BAC ＝__35__；sin ∠ADC ＝__45__；图28－1－53 图28－1－54(2)如图28－1－54，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比是__正切__，二、合作交流如图28－1－55，Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠B ＝∠B ′＝α，图28－1－55那么BC AB 与B ′C ′A ′B ′有什么关系？AC AB 与A ′C ′A ′B ′有什么关系？BC AC 与B ′C ′A ′C ′有什么关系？例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8, 求sin A, cos A ，tan B 的值．例2 如图28－1－56，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A ，tan B 的值．图28－1－56四、学生展示1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ＝3，b ＝4，则cos A ＝__45__，tan B ＝__43__．(提高：如把条件中∠C ＝90°去掉，你会求吗？)2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos A ＝45，那么tan B 的值为( D )A .35B .54C .34D .433．如图28－1－57，P 是∠α的边OA 上的一点，且点P 的坐标为(3，4)，则cos α＝ __35__．课后作业：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cos A ＝13__，sin B ＝13，tan B ＝__32__．2．已知∠α是锐角，tan α＝512，则sin α＝__513__．3．Rt △ABC 的面积为24 cm 2，直角边AB 为6 cm ，∠A 是锐角，则cos A ＝__35__．4．等腰三角形底边长10 cm ，周长为36 cm ，则一底角的正切值为__125__．5．在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍，则tan A 的值( C )A ．扩大100倍B ．缩小100倍C ．不变D ．不能确定6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝34，则sin A ＝( C ) A .43 B .34 C .53 D .357．如图28－1－58，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD .若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( A )图28－1－58A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm8．在正方形网格中，△ABC 的位置如图28－1－59所示，则cos B 的值为( B )A .12B .22C .32D .33图28－1－59。

3．2sin60°＋sin30°＋4cot45°
【课外拓展】
1.求值(1) (2)
(3)tg42°tg43°tg44°tg45°tg46°tg47°tg48°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB=4
求∠B的度数和AC、BC的长．
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数值．
3．利用特殊角的三角函数值进行有关计算。
【教学重点难点】
重点:特殊角的三角函数值。
难点:特殊角的三角函数值的熟练应用。
学习过程
自主
学习
【课前预习】 自学课本完成下列问题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝21，AB＝29，分别求∠A、∠B的四个三角函数值．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AB＝1∶2，求∠A、∠B的四个三角函数值．
证明:如图,取AB中点D,连接CD
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．
2．填写下列表格:
α
sinα
cosα
tanα
cotα
30°
45°
1
1
60°
归纳:(1)当锐角A的角度增大时,它的正弦值随着∠A的增大而___________.
(2)当锐角A的角度增大时,它的正切值随着∠A的增大而___________.
(3)当锐角A的角度增大时,它的余弦值随着∠A的增大而___________.
(4)当锐角A的角度增大时,它的余切值随着∠A的增大而___________.
3.同学互测:(例:已知sinA＝ ,则∠A＝___________°;或tan45°＝____________)

EDCB响水县双语学校九（8）班数学导学案（059）课题：7.6锐角三角函数的简单应用第3课 学生姓名教学目标：使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学过程： 一、自主探究坡度的概念，坡度与坡角的关系.如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝ACBC ，坡度通常用l ：m 的形式，例如下图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.二、自主合作例3.如图，水坝的横截面是梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角α为30°背水坡AD 的坡度i （即tan β）为1：1.2,坝顶宽DC=2.5m ，坝高4.5m . 求（1）背水坡AD 的坡角β（精确到0. 1°）； （2）坝底宽AB 的长（精确到0.1m ）三、自主展示3.如果在例题3中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶CD 加宽0.5m ，水坡AD 的坡度i （即tan β）为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km ，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1m 3）四、自主拓展1．京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横断面中，将坡面AB 的坡角由45°减至30°．已知原坡面的长为6cm （BC 所在地面为水平面）（1）改造后的台阶坡面会缩短多少？（2）改造后的台阶高度会降低多少？（精确到0.1m ，参考数据： 1.73≈≈）二、基础训练1、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6m ，背水坡AB 的坡度i ＝1：2，则斜坡AB 的长为＿＿＿＿＿m2、如图，河堤横断面为梯形，上底为4m ，堤高为6m ，斜坡AD 的坡比为1：3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为（ ）A 、96m 2B 、48m 2C 、192m 2D 、84m 2第1题 第2题3、如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高度为20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡的坡度i ＝51，则AC 的度数是＿＿＿＿＿D BCAA BC4、如图，某水坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽BC＝3m，坝高15m，斜坡AB的坡度i＝3：1，斜坡CD＝25m，坝长为5m，求：（1）坝底AD的宽；（2）建这一水坝需土多少方？5、水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡AD坡角为30°，背水坡BC的坡度为1：1，坝顶AB的宽为4m，坝高为6m，求：（1）坝底CD的长；（精确到0.01m）（3≈1.73）（2）迎水坡AD的坡度；（3）若将此1000m长的堤坝加高0.5m，需要多少方土？（精确到1m3）6、如图，小河的横断面是梯形，河床底宽6米，上口宽20米，斜坡BH的坡度i＝1：1.5，斜坡AD的坡度i’＝1：2.（1）求河深；（2）现将2000米长的小河加深0.5米，求土方量.三、能力提升1、如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）2、（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i，山坡AC长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和1∶3庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）3、某商场为缓解我市“停车难”的问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m，根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮则认为应该以CE的长作为限制的高度，小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果（结果精确到0.1m）。

《28.1锐角三角函数（3）》导学案【学习目标】1.知识技能：熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。

2. 数学思考：加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练。

3.问题解决：会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。

4.情感态度：通过对30°，45°，60°锐角的正弦、余弦、正切的学习，积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心和学好数学的自信心。

【学习重点】会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。

【学习难点】会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。

【头脑风暴】同学们，我们学习了正弦、余弦、正切的知识，拿出一副三角尺，你能说出各个锐角的三角函数值各是多少吗？【追根溯源】(友情提示：先自学课本第79—80页，然后独立解决1——4题,上课时举手展示，比一比，看谁做得又快又对)（一）我思考，我尝试1、如右图，如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、 ∠B 、∠C 的对边．那么①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，的邻边A A ∠=)(tan ＝______2、在一副三角板中，根据正弦、余弦、正切的定义分别说出30°、45°、60°的各个锐角三角函数值。

（二）我自学，我探索3、 根据自己探求的三角函数值填表：4、 观察上表，尝试归纳三角函数值谁角度变化的特点，以及数字规律。

【基础闯关】(友情提示:可以在试卷上记录大致的解题思路,尝试独立完成，要自信哦！)5、求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 222 【方法导航】(友情提示:自学课本80页例3、例4后完成,10分钟完成，课堂上再展示) 6、求适合下列条件的锐角α ．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α7、已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．【拓展提升】(友情提示:根据自己的学习需要选择适合自己的题组并完成，将解题思路适当的记录在试卷上)题组一锐角α 30° 45° 60° sin αcos α tan α8、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ACB的值．9、已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tan D及tan∠DBC；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．【课外探究】10、已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D 是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．【小结提炼】●经过本节学习你有什么收获？●在这部分学习中，你还有什么困难？【实战演练】必做题：课本82--83页，3，10.11、已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3==BCAC ，作∠DAC ＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan ∠BAD．12、已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tan=∠B，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan ∠CAD．选做题：13、已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：(1)sin2A＋cos2A＝1；(2)⋅=AAAcossintan14、化简：ααcossin21⋅-(其中0°＜α ＜90°)15、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．。

锐角三角函数的应用学案
学习目标：熟练运用三角函数知识解决实际问题，进一步加深对三角函数的理解。

学习过程：
学习准备：
1、熟记直角三角边角关系
（1）角越大，其正弦值越，余弦值越，正切值越。

（2）
3仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做角。

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做角.
图示：
3、坡角与坡度
坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比），记做i ，i= ，通常写作1：m的形式。

坡度就是坡角的 值。

坡度越大，坡角就越 ，坡面就越 。

二：应用
１、如图，为了测量旗杆的高度AB ，在离旗杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得旗杆顶端A 的仰角 ＝22°，求旗杆AB 的高.（精确到0.1米） 22.7米
２、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=20°，求飞机A 到控制点B 的距离.(精确到1米
３、小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角（如图所示），量得两幢楼之间的距离为32m ，问大厦有多高？（结果精确到1m)
22E A
D A C
B
三、思想和方法
1将实际问题抽象为数学问题（建模）画出平面图形→转化为
2根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用 ，解直角三角形 3得到数学问题的答案
4得到 的答案。

四、我的收获和疑问。

46A B
C C 29
D A。

3、思考 P83 第 9、10 题
忻州市十二中学
九年级 （数学）导学案 （教师版）
主备人：王小平 审核人：刘文华
授课人： 学生姓名：
授课时间： 小组： 课时
班级： 得分： 备注 （教师复备栏及学 生笔记）
课题 ：28．1 锐角三角函数（3） 【学习目标】
1、 能推导并熟记 30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这 些值说出对应锐角度数。 2、 能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式。 【重点】熟记 30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。 【自学指导】仔细看：课本 P79—P80 例 4 结束。 想一想：1、30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。测】 课本 P80 练习 1、2。
【合作探究】
忻州市十二中学
九年级 （数学）导学案 （教师版）
【总结反思】
【当堂训练】 1、课本 P82 第 3 题
2、若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（ ） ． A．是直角三角形 B．是等边三角形 C． 是含有 60°的任意三角形 D． 是顶角为钝角的等腰三角形

华师大版数学九年级上册《锐角三角函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《锐角三角函数》是学生在初中阶段最后一册数学教材中学习的内容。

在此之前，学生已经学习了平面几何、立体几何、概率统计等知识。

本节课的内容主要包括正弦、余弦和正切函数的定义及性质，以及它们在实际问题中的应用。

这部分内容是学生进一步学习高中数学的基础，也是培养学生解决实际问题能力的重要环节。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何、立体几何、概率统计等知识有一定的了解。

但是，对于三角函数的概念和性质，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解三角函数的定义和性质。

三. 教学目标1.理解正弦、余弦和正切函数的定义及性质；2.能够运用三角函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.三角函数的定义及性质；2.三角函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入三角函数的概念，让学生在解决问题的过程中理解三角函数的定义和性质；2.引导发现法：教师引导学生发现三角函数的性质，培养学生的数学思维能力；3.实例讲解法：通过具体例子，讲解三角函数在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入三角函数的概念；2.准备三角函数的性质的讲解例子；3.准备一些应用题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入三角函数的概念。

例如，用量角器测量一个角的度数，引导学生思考如何用数学表达式来表示这个角的度数。

2.呈现（10分钟）讲解三角函数的定义及性质。

首先，讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；然后，讲解它们的性质，如周期性、奇偶性等。

3.操练（10分钟）让学生做一些有关三角函数的练习题，巩固所学知识。

例如，计算一些特殊角的三角函数值，判断一些函数的奇偶性等。

第三节 28.1.3 锐角三角函数【知识脉络】【学习目标】探索30°、45°、60°的三角函数值，要求能够熟记或快速地口算出相应的值，并能用于简单的计算。

【要点检索】1、30°、45°、60°的三角函数值2、三角函数的简单计算。

【方法导航】1、为你支招：（1）借助锐角三角函数的概念，探索出30°、45°、60°的三角函数值；（2）涉及有关特殊角的三角形函数参与的代数运算，其运算顺序与普通代数运算顺序相同。

2、课前热身：在直角三角形ABC 中，锐角A 的正弦、余弦、正切分别是怎样定义的？3、自主探究：（1）用锐角三角函数的定义分别求当锐角A 为30°、45°、60°的正弦、cosA tanA（2）观察归纳：①用“＜”或“＞”号连接： sin30°______sin45°______sin60° cos30°______cos45°______cos60° tan30°______tan45°______tan60°②你能从①中发现什么？③归纳：锐角A 的正弦（切）随着角度数的增大而增大，余弦值随着角度数的增大而减小；锐角A 的正弦值等于它的余角的余弦值；同角的正弦与余弦之比等于其正切；为锐角ααα,1cos sin 22=+（3）即兴演练： 问题1：求下列各式的值．①cos 260°+sin 260°． ②cos 45sin 45︒︒-tan45°．问题2：①如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，6，3，求∠A 的度数．②如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求α． 分析导引：①要求∠A 的度数，从题中给出的条件6，3求出什么？②的实质是什么？问题3：已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°（4）理理便清晰：本节课主要学习了什么？锐角α的三角函数之间有什么关系？你能根据锐角三角函数的定义解释这种关系吗？ 【基础过关】1．下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55°D ．tan45°>sin45° 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．13、若sina=21，则锐角a= ，若cosa=22，则锐角a= 。

年 班 姓名_________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆CBA斜边c对边a B(2)1353CB A(1)34C BA 静宁县双岘初级中学年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间： 课题：28．1锐角三角函数（1） 执笔人： 王爱斌 【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【设问导读】 一、自学提纲：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC3、问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =ac． sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、自学检测1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43 B ．34 C ．53 D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）A ．a bB ．ba CD四、控顾训练：1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．CBA斜边c 对边abC B年 班 姓名_________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆2、 做课本第64页练习．五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ，•记作 ，六、作业设置：课本 第68页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）七、自我反思：本节课我的收获: 。

《锐角三角函数》导学案一、学习目标1、理解锐角三角函数的定义，能够准确说出正弦、余弦、正切的概念。

2、掌握锐角三角函数的求值方法，会利用已知条件求出锐角的三角函数值。

3、能够运用锐角三角函数解决与直角三角形相关的实际问题。

二、学习重难点1、重点（1）锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义。

（2）特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值及其应用。

2、难点（1）理解锐角三角函数的本质，以及如何在直角三角形中准确地表示出三角函数值。

（2）运用锐角三角函数解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。

三、知识回顾1、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（勾股定理）。

2、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

四、新课导入在生活中，我们常常会遇到需要测量高度、距离等问题，比如测量大树的高度、河流的宽度等。

而这些问题往往可以通过直角三角形的知识来解决。

今天，我们就来学习一种新的数学工具——锐角三角函数，它将帮助我们更方便、更准确地解决这类问题。

五、知识讲解1、锐角三角函数的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。

即 sinA ＝对边／斜边。

同理，如果一个锐角的邻边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的余弦，记作 cosA。

即 cosA ＝邻边／斜边。

如果一个锐角的对边与邻边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正切，记作 tanA。

即 tanA ＝对边／邻边。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，BC 为∠A 的对边，AC 为∠A 的邻边，AB 为斜边。

则 sinA ＝ BC ／ AB，cosA ＝ AC ／ AB，tanA ＝ BC ／ AC。