泰州市2012届高三数学一模

泰州市2012届一模高三第一学期期末考试数学(考试时间：120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.在ABC ∆中，060,2,1===B c a ，则b = ▲ .2.某年级有三个班级，人数分别为45、50、55，为加强班级学生民主化管理，拟就某 项决策进行问卷调查，按分层抽样的方法抽取30人，则各个班级被抽取的人数分别 为 ▲ .3.命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是 ▲ .4.复数ii +12的模为 ▲ .（其中i 是虚数单位）5.已知ABCD 是半径为2圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为 ▲ .6.右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s = ▲ .7.设A 为奇函数a a x x x f ()(3++=为常数）图像上一点，在A 处的切线平行于直线x y 4=，则A 点的坐标为 ▲ .8.已知)0,0(>>=+b a t b a ，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t = ▲ .9.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像仍过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ . 10.在集合{x |2012x∈Z ,x ∈Z } 中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为 ▲ .11. 设α、β、γ表示是三个不同的平面，a 、b 、c 表示是三条不同的直线，给出下列 五个命题：(1)若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；(2)若a ∥α，b ∥α，ββαβ⊂⊂=⋂b a c ,,，则b a //； (3)若ααα⊥⇒⊂⊂⊥⊥a c b c a b a ,,,；i ←1,s ←1s ←s ·9i ←i +1开始结束否是输出s i ≥3(4)若,,γβγα⊥⊥则βα//或βα⊥；(5)若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b ． 其中正确命题的序号是 ▲ .12．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则21r r = ▲ . 13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+-23，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 ▲ .14. 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足})1()()1(f t f t f +=+，下列函数k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y （2）)0(2≠++=a c bx ax y （3）)10(<<=a a y x （4）)0(≠=k xk y（5）x y sin =属于M 的函数有 ▲ . (只须填序号) 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥A —BCD ，BC =3，BD =4，CD =5，AD ⊥BC ，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，连结CE ，G 为CE 上一点．(1)求证：平面CBD ⊥平面ABD ；(2)若 GF ∥平面ABD ，求CGGE 的值．16．(本题满分14分)某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具(5π24≤θ≤π3 )，现准备定制长与宽分别为a 、b (a >b )的硬纸板截成三个符合要求的△AED 、△BAE 、△EBC ．(如图所示)(1)当θ=6π时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；(2)现有三种规格的硬纸板可供选择，A 规格长80cm ，宽30cm ，B 规格长60cm ，宽40cm ，C 规格长72cm ，宽32cm ，可以选择哪种规格的硬纸板使用．ABCDFEGABCDθE17．（本题满分14分）如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ．（1）当C 为圆弧 AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值. （2）当C 在圆弧 AB ︵上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求CE ·DE 的取值范围．18．（本题满分16分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a bya x，左、右焦点分别为21,F F ，右顶点为A ，上顶点为B , P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若221PAFF PF S S ∆∆=,求椭圆的离心率；（2）若1221PBF PAF F PFS S S ∆∆∆==，求直线1PF 的斜率k ；（3）若2P A F S ∆、21F PFS ∆、1PBF S ∆成等差数列，椭圆的离心率⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,41e ，求直线1PF 的斜率k 的取值范围.19．（本题满分16分）已知函数ax x a a x x f 2ln )2143(21)(22-++=(1)当21-=a 时，求)(x f 的极值点;(2)若)(x f 在'()f x 的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围.AE D CBOF 2AxyP BF 120．（本题满分16分）已知数列{}n a ，对于任意n ≥2，在1-n a 与n a 之间插入n 个数，构成的新数列{}n b 成等差数列，并记在1-n a 与n a 之间插入的这n 个数均值为1-n C .(1)若2832-+=n n a n ，求321C C C 、、；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{1+n C -λn C }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由； (3)求出所有的满足条件的数列{}n a .泰州市2011～2012学年度第一学期期末考试高三数学试题参考答案(考试时间：120分钟 总分160分)一、填空题1．3 2．9，10，11 3．01,2≠+-∈∀x x R x 4．2 5．π26．81 7．（1，2）或（-1，-2） 8．22 9．6π10．2,21±±11．(2) 12．25 13．或231≤≤a 25≥a 14.(2)（4）15．解：(1)在△BCD 中，BC=3，BD=4，CD=5，∴BC ⊥BD 又∵BC ⊥AD ，BD ∩AD=D∴BC ⊥平面ABD …………………………4′ 又∵BC ⊂平面BCD∴平面CBD ⊥平面ABD …………………………7′ (2) ∵GF ∥平面ABD, FG ⊂平面CED平面CED ∩平面ABD=DE ∴GF ∥ED …………………………10′ ∴G 为线段CE 的中点 ∴CGGE=1 …………………………14′ 16．解：(1)由题意∠AED=∠CBE=θ∵b=BE ·cos300=AB ·sin300·cos300=3 4a ∴ab =4 3 3…………………………4′ (2)∵b=BE ·cos θ=AB ·sin θ·cos θ=12 AB ·sin2θ ∴b a =12 sin2θ∵5π24 ≤θ≤π3 ∴5π12 ≤2θ≤2π3 ∴b a ∈[ 3 4 ，12]…………………10′ A 规格：3080 =38 < 3 4 , 不符合条件. …………………………11′B 规格：4060 =23 >12 , 不符合条件. …………………………12′C 规格：3272 =49 ∈[ 3 4 ，12],符合条件. …………………………13′∴选择买进C 规格的硬纸板. …………………………14′17．解：（1）以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系，设D （t ，0）（0≤t ≤1），C （2222，-）………………………2′∴OD OC +=（2222t ，+-）∴2||OD OC +=212212++-t t =122+-t t （0≤t ≤1）…4′当22=t 时，最小值为22…………………………6′（2）设OC =（cos α，sin α）（0≤α≤23π）OC OE CE -==（0，21-）—（cos α，sin α）=（ααsin 21cos ---，）………8′又∵D （021，），E （0，21-）∴DE =（2121--，）…………………………10′∴CE ·DE =)sin 21(cos 21αα++=41)4sin(22++πα…………12′∵4π≤4πα+≤47π…………………………13′∴CE ·DE ∈[22412241+-，]…………………………14′18．解：（1）∵21F PFS ∆=2PAF S ∆ ∴A F F F 221=∵a-c=2c ∴e =31…………………………2′（2）设)(1c x k y PF +=的直线方程为，∵21F PF S ∆=1PBF S ∆∴12·211·212121+=+-k kcPF k kc b PF …………………………4′∴b-kc=2kc∴b=3kc∵a=3c ∴b=22c ∴k=322…………………………7′(3)设21F PFS ∆=t ，则t cc a S PAF 22-=∆…………………………8′∵P 在第一象限 ∴cb k >kckc b k kc k kcb S S F PF PBF 212122211-=++-=∆∆ ∴t kc kc b S PBF ·21-=∆…………………………9′∴2t=t kckcb tc c a ·22-+- ∴kc b ck ak kc -+-=4 ∴b a c k =-)6(∴a c b k -=6…………………………11′∴c ba c b>-6∴151<<e 又由已知141<≤e∴141<≤e …………………………12′∴22221236a ac c bk +-==22221236aac c ca +--=11236122+--e e e=22)16(1--e e（令16-=e m ，∴61+=m e ）……13′=22)61(1m m +-=221236361mm m ---=)1235(3612--mm∵141<≤e ∴521<≤m∴2151≤<m∴41502≤<k∴2150≤<k …………………………16′19．解 (1)f(x)= 12 x 2- 116 lnx+x （0>x ）f’(x)=x - 116x + 1=16x 2+16x-116x =0∴x 1=-2- 5 4 ，x 2=-2+ 54…………………………2′∵(0，-2+ 54]单调[-2+ 54，+∞)单调增…………………………3′ ∴f(x)在x= -2+ 54时取极小值…………………………4′(2)解法一：f’(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12ax )0(>x …………………………5′令g(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12 a ， △=4a 2-3a 2-2a=a 2-2a ，设g(x)=0的两根)(,2121x x x x <…………………………7′ 10当△≤0时 即0≤a ≤2，f’(x)≥0∴f(x)单调递增，满足题意…………………………9′20 当△>0时 即a<0或a>2时(1)若210x x <<，则 34 a 2 + 12 a<0 即- 23<a<0时,)(x f 在),0(2x 上减，),(2+∞x 上增f’(x)=x+ 34 a 2 + 12a x-2af’’(x)=1- 34 a 2 + 12a x2≥0 ∴f ’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意……………11 (2)若021<<x x 则⎪⎩⎪⎨⎧<≥+0021432a a a 即a ≤- 23时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。

2012-2013学年江苏省泰州市某校高三（下）期初数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）1. 若全集U =R ，集合A ={x|x +1<0}，B ={x|x −3<0}，则集合(C U A)∩B =________．2. 已知复数z =(a 2−4)+3i ，a ∈R ，则“a =2”是“z 为纯虚数”的________条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）3. 如图，是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________．4. 已知a →=(1,2)，b →=(−2,log 2m)，若|a →⋅b →|=|a →||b →|，则正数m 的值等于________．5. 如图所示的算法流程图中，若f(x)=2x ，g(x)=x 2，则ℎ(3)的值等于________．6. 已知正六棱锥P −ABCDEF 的底面边长为1cm ，侧面积为3cm 2，则该棱锥的体积为________cm 3．7. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m ，n ，设a →=(m,n)，则满足|a →|<5的概率为________．8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π3对称，且π12为函数f(x)的一个零点，则ω的最小值为________．9. 设圆x 2+y 2=4的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则|AB|的最小值为________． 10. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=(1+cos 2nπ2)a n +sin 2nπ2，则该数列的前10项和为________． 11. 已知F 是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且PQ →=QF →，则椭圆C 的离心率为________．12. （文） 如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第 （2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n 个图形的表面积是________个平方单位．13. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD =2x ，梯形面积为S ．则S 的最大值是________． 14. 设x ，y 是正实数，且x +y ＝1，则x 2x+2+y 2y+1的最小值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB →⋅AC →≤2，设AB →和AC →的夹角为θ （1）求θ的取值范围；（2）求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．16.如图，已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为菱形，∠DAB =120∘，E 为线段CC 1的中点，F 为线段BD 1的中点． （1）求证：EF // 平面ABCD ； （2）当D 1D AD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1EB ，并说明理由．17. 一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治．经调研，该厂第一个月的污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；第一个月开始工厂的污染模式：f(x)=20|x −4|(x ≥1)，g(x)=203(x −4)2(x ≥1)，ℎ(x)=30|log 2x −2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f(x)，g(x)，ℎ(x)分别表示污染度．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？18. 已知双曲线E:x224−y212=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有|GF||GP|=12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19. 已知f(x)=ax−lnx，x∈(0, e],g(x)=lnxx，其中e是自然常数，a∈R．（I）当a=1时，研究f(x)的单调性与极值；（II）在(I)的条件下，求证：f(x)>g(x)+12；（III）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20. 设数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，已知对任意n∈N∗，S n是12a n2和a n的等差中项（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：12≤1S1+1S2+⋯+1S n<1；（3）设集合M={m|m=2k, k∈Z, 且1000≤k<1500}，若存在m∈M，使对满足n> m的一切正整数n，不等式2S n−4200>a n22恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．2012-2013学年江苏省泰州市某校高三（下）期初数学试卷答案1. [−1, 3)2. 充分不必要3. 874. 1165. 96. √347. 13368. 29. 410. 7711. √5312. 3n(n+1)13. 322714. 1415. 解：（1）设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，∵ △ABC 的面积为1，且满足0<AB →⋅AC →≤2，设AB →和AC →的夹角为θ， ∴ 12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴ 0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵ θ∈(0, π)， ∴ θ∈[π4, π2)；（2）f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1，∵ θ∈[π4, π2)，2θ−π6∈[π3, 5π6) ∴ 当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．16. （1）证明：连接AC 1，由题意可知点F 为AC 1的中点．∵ 因为点E 为CC 1的中点，∴ 在△ACC 1中，EF // AC ．…又∵ EF ⊄面ABCD ，AC ⊆面ABCD ，∴ EF // 面ABCD ．…（2）解：当D 1DAD =√3时，DF ⊥平面D 1EB ． …∵ 四边形ABCD 为菱形，且∠DAB =120∘，∴ BD =√3AD ．∵ 四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴ 四边形DBB 1D 1为矩形．又DD 1=√3AD ，∴ BD =DD 1，∴ 四边形DBB 1D 1为正方形，∴ DF ⊥D 1B…在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥底面ABCD ，AC ⊆面ABCD ，∴ AC ⊥DD 1∵ 四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，BD ∩DD 1=D ， ∴ AC ⊥面DBB 1D 1．∵ DF ⊆面DBB 1D 1，∴ AC ⊥DF ，又EF // AC ，∴ EF ⊥DF ．…∵ EF ⊆面D 1EB ，D 1B ⊆面D 1EB ，EF ∩D 1B =F ，∴ DF ⊥平面D 1EB ．… 17. 解：（1）由题意知f(2)=40，g(2)≈26.7，ℎ(2)=30 … f(3)=20，g(3)≈6.7，ℎ(3)≈12.5 …由此可得ℎ(x)更接近实际值，所以用ℎ(x)模拟比较合理．…（2）因ℎ(x)=30|log2x−2|在x≥4上是增函数，又因为ℎ(16)=60…这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，故应在2012年5月起开始再次整治．…18. 解：（1）由双曲线E:x224−y212=1，得l:x=−4，C(−4, 0)，F(−6, 0)．…又圆C过原点，所以圆C的方程为(x+4)2+y2=16．…（2）由题意，设G(−5, y G)，代入(x+4)2+y2=16，得y G=±√15，…所以FG的斜率为k=±√15，FG的方程为y=±√15(x+6)．…所以C(−4, 0)到FG的距离为d=√152，…直线FG被圆C截得的弦长为2√16−(√152)2=7…（3）设P(s, t)，G(x0, y0)，则由|GF||GP|=12，得√(x0+6)2+y02√(x0−s)2+(y0−t)22整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144−s2−t2=0．①…又G(x0, y0)在圆C：(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0②②代入①，得(2s+24)x0+2ty0+144−s2−t2=0．…又由G(x0, y0)为圆C上任意一点可知，{2s+24=02t=0144−s2−t2=0…解得：s=−12，t=0．…所以在平面上存在一定点P，其坐标为(−12, 0)．…19. （I）解：f(x)=x−lnx，f′(x)=x−1x…∴ 当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减当1<x<e时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增…∴ f(x)的极小值为f(1)=1…（II）证明：∵ f(x)的极小值为1，即f(x)在(0, e]上的最小值为1，∴ f(x)>0，f(x)min=1…令ℎ(x)=g(x)）+12=lnxx+12，ℎ′(x)=1−lnxx2，…当0<x<e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, e]上单调递增…∴ ℎ(x)max=ℎ(e)=1e +12<12+12=1=|f(x)|min…∴ 在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12；…（III）解：假设存在实数a，使f(x)的最小值是3，f′(x)=ax−1x①当a≤0时，x∈(0, e]，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴ a=4e（舍去），所以，此时f(x)无最小值．…②当0<1a <e时，f(x)在(0, 1a)上单调递减，在(1a, e]上单调递增，f(x)min=f(1a)=1+lna =3，∴ a =e 2，满足条件．… ③当1a ≥e 时，x ∈(0, e]，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min =f(e)=ae −1=3，∴ a =4e （舍去）， 所以，此时f(x)无最小值．…综上，存在实数a =e 2，使f(x)的最小值是3．…20. （1）证明：由已知，4S n =a n 2+2a n ，且a n >0． …当n =1时，4a 1=a 12+2a 1，解得a 1=2． …当n ≥2时，有4S n−1=a n−12+2a n−1．于是4S n −4S n−1=a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1．于是a n 2−a n−12=2a n +2a n−1，即(a n +a n−1)(a n −a n−1)=2(a n +a n−1)． 因为a n +a n−1>0，所以a n −a n−1=2(n ≥2)．故数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，且a n =2n ．… （2）证明：因为a n =2n ，则1S n=1n(n+1)=1n−1n+1，…所以1S 1+1S 2+⋯+1S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1<1．…因为1−1n+1随着n 的增大而增大，所以当n =1时取最小值12． 故原不等式成立． … （3）解：由2S n −4200>a n22，得2n(n +1)−4200>2n 2，所以n >2100． … 由题设，M ={2000, 2002, ..., 2008, 2010, 2012, ..., 2998}．因为m ∈M ，所以m =2100，2102，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．设这个等差数列共有k 项，则2100+2(k −1)=2998，解得k =450． 故集合M 中满足条件的正整数m 共有450个． …。

（下）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）
1．（5分）若全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，则集合（C U A）∩B=[﹣1，3）．
2．（5分）已知复数z=（a2﹣4）+3i，a∈R，则“a=2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
3．（5分）如图，是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为87．
=
4．（5分）已知，若，则正数m的值等于．先求出+8log
解：∵，∴．
•，4+4m=20+5
+8log
=0
．
5．（5分）（2012•惠州模拟）如图所示的算法流程图中，若f（x）=2x，g（x）=x2，则h（3）的值等于9．
6．（5分）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为1cm，侧面积为3cm2，则该棱锥的体积为cm3．AQ=BQ=
PO==
V==
7．（5分）（2010•长宁区二模）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设，则满足
的概率为．。

臭氧层被破坏的原因 自然原因： 人为原因： 太阳活动异常等原因 氟利昂和含氮废气的排出 危害： 大量紫外线辐射到地面，从而危害人类和其他生物的健康。

例如，人类的皮肤癌和白内障等疾病因此而明显增多。

防治： 控制和停止使用氟利昂，以及减少含氮废气的排放等，是防止臭氧层破坏的关键。

三大全球性大气污染问题 酸雨 温室效应 臭氧层破坏 二氧化硫、二氧化氮 CO2 氟利昂、含氮化合物 环境保护，从现在做起 “我们不要过分陶醉于我们对自然界的胜利。

对于每一次这样的胜利，自然界都报复了我们。

”-----恩格斯 1、酸雨中没有的成分是（? ） A、醋酸 B、硫酸 C、水? D、硝酸 2、各种电池中，造成环境污染最严重的电池含有的重金属不包括（? ） A、汞 B、银 C、镉? D、铂 3、引起酸雨和温室效应的主要物质是（? ） A、二氧化碳和二氧化硫?B、二氧化硫和二氧化碳 C、盐酸和二氧化碳? D、二氧化硫和氮气 4、探究酸雨对生物的影中，注意事项不包括（? ） A、需进行对照实验? B、需重复几次 C、实验变量为模拟酸雨 D、要用真正的酸雨 5、酸雨的危害表现在（? ） A、腐蚀建筑物和户外雕塑? B、使农作物枯萎甚至死亡 C、使土壤、河流、湖泊酸化? D、以上三项都是 A D B D D 6、探究废电池对生物的影响过程中，错误的操作是（? ） A、对废电池液要进行稀释 ?B、同时进行3组对照实验 C、实验结束，将手洗净? D 、探究结束，将废电池液倒入下水道 7、下列现象中，由废旧电池污染所致的是（? ） A、饮用水中带有霍乱菌B、水中藻类迅速繁殖, 使鱼窒息而死 C、镉扩散到土壤中? D、渤海海域出现赤潮 8、形成酸雨的根本原因是（ ） A臭氧层的破坏B噪声污染 C化肥、农药的大量使用 D工厂大量使用煤、石油作为能源 9、酸雨是指PH值为多少的大气降水？（ ） A．5.6 B 7 C 5.6 D7 10、有“空中死神”之称的是（ ） A酸雨 B臭氧层破坏 C温室效应 D沙尘暴 D C D C A 第二节 探究环境对生物的影响 生长期的水稻 成熟期的水稻 一、酸雨对生物的影响 1、什么是酸雨？ 2、酸雨形成的原因？ 3、酸雨的成分？ 1、什么是酸雨？ 简单地说：酸雨就是酸性较强的雨。

a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑. （2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22log y x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 311=， 33129+=，By1A 2OBCF 1F 2Dxy (第13题)33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭 圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.A（第16题）BCDD 1C 1B 1A 12Cy..16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证： （1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲AE BCDO·（第21－A 题）（本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）F B xyO ACD M N（第23题）a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 答案：22． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22logy x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，OBDCy x（第9题）11 A 2O BCF 1F 2Dxy (第13题)面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b =．从而2s iAC B =可化为2cos a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．A（第16题）BCDD 1 C 1B 1A 1M整理得a c =，即1a c=. …………………………………………………………………7分 （2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+． 整理，得4s AC A C=-， ………………………………………………12分因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠， 所以t a taA C =-．………………………………………………………………………14分 16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分 14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以B ⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ， 所以1AA ⊥.…………………………………………………………………………7分（2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD平面11D D CC D D=，……………………11分 所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ， 所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；……………………………………………2分 B组活动所需时间12001002()5252g x x x⨯==--．……………………………………………4分xyO1C 2CC1l2l令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的距离为244451k k -=+．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l的方程为43x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =， 即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-． 化简得30x y +-=，即动圆圆心C在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C 的半径为222111(1)(3)CC m m +=+++-．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得31223 222x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，；或31223 2 2.2x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．………………………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ………………………………6分（2）当a ≤时，()s i n f x x x a x x=+≥≥恒成立．………………………………………8分当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2(2a g -+≤≤．……………………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α；AE BCDO ·（第21－A 题）2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以12ααα==，不妨记12αααα===，且43t α=． ……………………………12分于是()(32)1133211k k k a a a αα----==，()2(31)12233315111k k k k k a a a t a a αααα------====，()1313233339111k k k k k a a a t a a αααα----====， 所以()131n n a a α-=，故{na }为等比数列．……………………………………………16分南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠= ．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠ ．而60ABD ∠= ，故30C BDC ∠==∠ ．所以3DB BC ==． 在△O中，3322DE DB ==．……………………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，…………………………5分代入直线y kx =，得x ky ''=． 将点(P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()co s 1ρθπ+=4化成普通方程为20x y --=． ……………………………………6分由题意，得2222a a --=．解得422a =+．…………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥ 327abc =⋅ 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立． （1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ……………………………………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．……………………………4分②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，F BxyO ACD M N（第23题）所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．…………………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．……………………………………………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得2y x =，所以1y x'=．所以切线AC 的方程为1111()y y x x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．……………………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M Nx x =，即MN⊥x轴． …………………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB过定点(1 0)-，．………………………………………………………………10分。

江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷 2012.3.10数学（Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U R =，集合{|20}A x x =+<，{|28}x B x =<，那么集合()B A C U ⋂=___▲___. 2．我校高三(18)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为___▲___.3．设复数121,2z i z a i =-=+，若21z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为___▲___.4．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =___▲___. 5．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式240a b -+<成立的事件发生的概率等于___▲___. 6．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,． 其中正确命题的序号是___▲___.7．在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{2}n S +也是等比数列，则q =___▲___.8．已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___▲___.9．设()g x 是定义在R 上以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[2,5]上的值域为___▲___.10．设A 和B 是抛物线L 上的两个动点，在A 和B 处的抛物线切线相互垂直，已知由A B 、及抛物线的顶点P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为1L ．对1L 重复以上过程，又得一抛物线2L ，以此类推．设如此得到抛物线的序列为12,,,n L L L ，若抛物线L 的方程为26y x =，经专家计算得，21:2(1)L y x =-， 222124:(1)()3333L y x x =--=-， 23211213:(1)()93999L y x x =---=-，，22:()n n n nT L y x S S =-． 则23n n T S -=___▲___.11．已知O 是△ABC 的外心，若2(0,0),(2,0),1,3A B AC BAC π=∠=，且AO AB AC λμ=+，则λμ+=___▲___.12．已知A 、B 、C 是平面上任意三点，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则c by a b c=++的最小值是___▲___.13．已知点F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A 、P ，PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率e =___▲___.14．已知函数()ln f x x x ax =-+在(0,)e 上是增函数，函数2()||2xa g x e a =-+.当[0,ln 3]x ∈时，函数()g x 的最大值M 与最小值m 的差为32，则a =___▲___.江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷答卷 2012.3.10 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．_____________ 2．____________ 3．____________ 4．____________ 5．_____________6．_____________ 7．____________ 8．____________ 9．____________ 10．____________11．____________ 12．____________ 13．___________ 14．____________二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中如图，在四棱锥O ABCD点，F为BC的中点，求证：（Ⅰ）平面BDO⊥平面ACO；（Ⅱ）EF//平面OCD.考资源网注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.16.（本小题满分14分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交与点A ，与钝角α的终边OB 交于点()B B y x B ,，设BAO β∠=. （Ⅰ）用β表示α；（Ⅱ）如果4sin 5β=,求点()B B y x B ,的坐标；（Ⅲ）求B B y x -的最小值.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.17.（本小题满分14分）O BAxyα角终边16.某工厂统计资料显示，一种产品次品率p 与日产量()10080,*≤≤∈x N x x 件之间的关系如下表所示：其中()x a x p-=（a 为常数）.已知生产一件正品盈利k 元，生产一件次品损失3元（k为给定常数）.（Ⅰ）求出a ，并将该厂的日盈利额y （元）表示为日生产量x （件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.18.圆C ：222()()(0,,0)x a y b r a b R r -+-=>∈>与双曲线M 的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C 被x 轴截得的弦长为4.（Ⅰ）求双曲线M 的方程；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）过圆C 内一定点Q （s ，t ）（不同于点C ）任作一条直线与圆C 相交于点A 、B ，以A 、B 为切点分别作圆C 的切线PA 、PB ，求证：点P 在定直线l 上，并求出直线l 的方程.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.19.数a 1x +（Ⅲ）求证：2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>(*)n N ∈.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.20.（本小题满分16分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列；（ⅱ）若数列}{nan 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.数学（Ⅱ）21．B ．选修4－2 矩阵与变换 已知,a b R ∈，若13a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换M T 把直线:23L x y -=变换为自身，求实数,a b ，并求M 的逆矩阵．C ．选修4－4 坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232221（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=．（Ⅰ）求直线l 的倾斜角；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求||AB ．22．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为1P 3=，乙的命中率为2P ，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”.（Ⅰ）若2P 21=，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ， 如果5≥ξE ，求2P 的取值范围．23．已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-.（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．数学（Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．[2,3)- 2．20 3．6 4．16 5．146．②④ 7．3 8．3[,3]2-9．[3,6]- 10．-1 11．136 1212 13 14．52 二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA BD ⊥， ∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OAAC A =，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO ． ……………………6分 ⑵取OD 中点M ，连接EM ,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖，∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =， ∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， DABCFE OM∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ， 又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD ．∴EF ‖平面OCD ．…14分16．（Ⅰ）如图βπαβππα223,22-=∴-=-=∠AOB .（Ⅱ）由sin By r α=，又1=r ,得3sin sin(2)2B y παβ==- 2571)54(21sin 22cos 22=-⋅=-=-=ββ. 由钝角α，知224cos 1sin ,25B x αα==--=- )257,2524(-∴B .（Ⅲ）【法一】)4cos(2sin cos πααα+=-=-B B y x ， 又)45,43(4),,2(πππαππα∈+∈，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+22,1)4cos(πα,B B y x -∴的最小值为2-.【法二】α为钝角，1,0,022=+><∴B B B B y x y x , )(B B B B y x y x +--=-，2)(2)(222=+≤+-B B B B y x y x ,2-≥-∴B B y x ,B B y x -∴的最小值为2-.17．18．（Ⅰ） 2214y x -=，（Ⅱ）22(3)(1)5x y -+-=，（Ⅲ）(3)(1)350s x t y s t -+---+=19．解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=， x >0，则2ln ()xf x x'=-， 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值. 因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<. （Ⅱ）不等式(),1k f x x ≥+即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++= 所以[]2(1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x x x -=令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-， 1x ≥， ()0,h x '∴≥()h x ∴在[1,)+∞上单调递增， []min ()(1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以[]min ()(1)2g x g ==，所以2k ≤ . （3）由（2）知：2(),1f x x ≥+恒成立，即122ln 1111x x x x x-≥=->-++， 令(1)x n n =+，则[]2ln (1)1(1)n n n n +>-+，所以 2ln(12)112⨯>-⨯, 2ln(23)123⨯>-⨯，2ln(34)134⨯>-⨯， … …()[]()1211ln +->+n n n n ，叠加得：232111ln 123(1)21223(1)n n n n n ⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦ =n-2(1-11+n )＞n-2+12+n ＞n-2 . 则2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>20．（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++2(1)11222n n n n-⨯=+=-+.又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+. （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分（ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥ 所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分当76i i a ≠时，17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii i a a i f f a k i k i k i k i +---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调减数列；②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调增数列； 综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =--74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{nan 中必有某数重复出现无数次.当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 21．B ．41b a =-⎧⎨=⎩,13141M --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦C ．（Ⅰ） 60（Ⅱ）l 的直角坐标方程为223+=x y ， )4cos(2πθρ-=的直角坐标方程为1)22()22(22=-+-y x ， 所以圆心)22,22(到直线l 的距离46=d ，210||=∴AB22．解（Ⅰ）=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31；………………4分 （Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=而ξ～),12(P B ，所以P E 12=ξ 由5≥ξE 知512)9498(222≥⋅-P P 解得：1432≤≤P ……………10分23． （Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当n=1时，(1)1f =,结论成立.②假设当n=k （k ≥1，k ∈N ）时，结论成立，即5431111()52330f k k k k k =++-是整数，则当n=k+1时，5431111(1)(1)(1)(1)(1)52330f k k k k k +=+++++-+0514233245041322145555554444452C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+03122333331(1)330C k C k C k C k ++++-+=432()4641f k k k k k +++++根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数.∴(1)f k +是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数. ……………………………………………7分 （Ⅱ）当n=0时，(0)0f =是整数.……………………………………………………………8分 (Ⅲ)当n 为负整数时，令n= -m ，则m 是正整数，由（1）()f m 是整数， 所以5431111()()()()()()52330f n f m m m m m =-=-+-+--- 543111152330m m m m =-+-+=4()f m m -+是整数.综上，对一切整数n ，()f n 一定是整数.……………………………………………………10分。

2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第1部分 集合 苏教版
（2012年兴化）已知集合,集合，
则集合中所有元素之和为______▲______. 答案：
（苏锡常二模）.设集合，，则 .
答案：（-1,2）
（盐城二模）已知集合, , 若, 则整数=▲ .
答案：0
（南京二模）1.已知集合,若,则实数的取值范围是_______________
答案：(－∞，0]
（天一）2.已知全集，集合，，则集合=▲ .
答案：
（南京三模）1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是 ▲ ． 答案:1
（常州期末）1、已知集合，若,则实数的值为 。

（南通三模）已知集合，那么=▲ .
解析：考查集合中元素的互异性、集合的并集运算。

答案：。

（苏锡常一模）已知集合，集合，则 .
答案：
（南通一模）设全集Z，集合，则 ▲ （用列举法表示）.
答案：{0，1}。

南通市2012届高三第二次调研测试 解析数学Ⅰ参考公式：1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}1,1,1,0A B =-=，那么AB = ▲ .解析：考查集合中元素的互异性、集合的并集运算。

答案：{}1,0,1-。

2．已知()(1)z a i i =-+（,a R i ∈为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ▲ . 解析：考查复数的乘法运算。

复数z 对应点在实轴上等价于z 为实数，即实部为0。

答案：13．若抛物线22(0)y px p =>上的点(2,)A m 到焦点的距离为6，则p = ▲ .解析：考查抛物线的定义。

可知：抛物线)0(22>=p px y 上的点()00,y x 到焦点的距离为20p x +答案：84．已知函数2()log f x x =，在区间1[,2]2上随机取一0x ，则使得0()f x ≥0的概率为 ▲ . 解析：考查几何概型的运用。

10)(00≥⇔≥x x f ，选择长度为相应测度，所以概率3221212=--=P 答案：235.若直线2(2)10a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ▲ .解析：考查倾斜角和斜率的概念和关系。

此题倾斜角为钝角等价于斜率小于0，从而得到：022>+a a ； 答案：(2,0)-6.某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为 ▲ .（茎表示十位数字，叶表示个位数字）解析：考查茎叶图的意义，在理解意义方差与标准差定义和关系的基础上简化计算。

∑∑∑==='-'=-=-=n i i n i i n i i x n x n x n x n x x n s 122122212)(1)(1)(1；标准差2s s =，相当于计算2,1,0,1,2--这一组数的标准差. 答案7.若执行如图所示的程序框图,则输出的a 的值为 ▲ . 解析：考查流程图的循环结构、判断语句。

函数的基本性质 高考试题1.(2013年北京卷,文3)以下函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) (A)y=1x(B)y=e -x解析:y=1x是奇函数,选项A 错;y=e -x 是指数函数,非奇非偶,选项B 错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D 错;只有选项C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.应选C. 答案:C2.(2012年陕西卷,文2)以下函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x 3 (C)y=1x(D)y=x|x|解析:若为奇函数,排除A,若为增函数,排除B 、C,应选D. 答案:D3.(2010年北京卷,文6)给定函数①y=12x ,②y=12log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:显然幂函数y=12x 及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=12log (x+1)可看作是y=12log u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=12log (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.应选B. 答案:B4.(2012年浙江卷,文10)设a>0,b>0,e 是自然对数的底数( ) (A)若e a +2a=e b +3b,则a>b (B)若e a +2a=e b +3b,则a<b (C)若e a -2a=e b -3b,则a>b (D)若e a -2a=e b -3b,则a<b解析:设函数f(x)=e x +2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a +2a=e b +3b 时,一定有e a +2a>e b +2b,此时a>b.应选A. 答案:A5.(2012年安徽卷,文13)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:函数的图象是以,02a⎛⎫- ⎪⎝⎭为端点的2条射线组成,所以-2a=3,a=-6. 答案:-6考点二 函数的奇偶性1.(2013年山东卷,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x 2+1x,则f(-1)等于( ) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2 解析:因x>0时f(x)=x 2+1x. 所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 应选D. 答案:D2.(2013年湖南卷,文4)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩⇒()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得g(1)=3. 应选B. 答案:B3.(2013年天津卷,文7)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f(log 2a)+f(12log a)≤2f(1),则a的取值范围是( ) (A)[1,2] (B)10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)(0,2] 解析:由题得f(log 2a)+f(-log 2a)≤2f(1), 即f(log 2a)≤f(1), 则-1≤log 2a ≤1, 所以12≤a ≤2,应选C. 答案:C4.(2012年广东卷,文4)以下函数为偶函数的是( ) (A)y=sin x (B)y=x 3 (C)y=e x 21x +解析:选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数,对于D 有()21x -+21x +=f(x). 答案:D5.(2012年天津卷,文6)以下函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) (A)y=cos 2x,x ∈R (B)y=log 2|x|,x ∈R 且x ≠0(C)y=2x xe e --,x ∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:函数y=log2|x|为偶函数,且当x>0时,函数y=log2|x|=log2x为增函数,所以在(1,2)上也为增函数.应选B.答案:B6.(2011年上海卷,文15)以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2(B)y=x-1(C)y=x2(D)y=1 3 x解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递增函数.应选A.答案:A7.(2010年山东卷,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.应选A.答案:A8.(2013年江苏卷,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.解析:设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=224,0,4,0. x x xx x x⎧-≥⎨--<⎩当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞)9.(2012年重庆卷,文12)函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .解析:因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,所以f(-x)=f(x),由f(x)=(x+a)(x-4)=x 2+(a-4)x-4a, 得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a, 即a-4=0,a=4. 答案:410.(2011年湖南卷,文12)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)= .解析:g(-2)=f(-2)+9=3, 则f(-2)=-6, 又f(x)为奇函数, 所以f(2)=-f(-2)=6. 答案:611.(2011年广东卷,文12)设函数f(x)=x 3cos x+1.若f(a)=11,则f(-a)= .解析:f(a)+f(-a)=a 3cos a+1+(-a)3cos (-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9. 答案:-9考点三 函数的周期性1.(2013年湖北卷,文8)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R 上为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数解析:因为f(x+1)=(x+1)-[x+1] =(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x). 所以f(x)是周期函数,应选D. 答案:D2.(2011年大纲全国卷,文10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x),则f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )(A)-12 (B)-14 (C)14 (D)12解析:f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 522⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫⎪⎝⎭ =-2×12×112⎛⎫- ⎪⎝⎭=-12.应选A. 答案:A3.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 .解析:T=2π2=π. 答案:π4.(2013年大纲全国卷,文13)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= . 解析:f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 答案:-15.(2012年浙江卷,文16)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f 32⎛⎫⎪⎝⎭= .解析:f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 322⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭=12+1=32. 答案:326.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a,b ∈R .若f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫⎪⎝⎭,则a+3b 的值为 .解析:由题意f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭,所以2232b=-12a+1,∴32a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10模拟试题考点一函数的单调性1.(2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )(A){x|x≤0或1≤x≤4}(B){x|0≤x≤4}(C){x|x≤4}(D){x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如下图,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4}.应选A.答案:A2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数x(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是a∈ .解析:x(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可.答案:(-∞,t)(t<2)考点二函数的奇偶性1.(2012广东佛山模拟)已知函数f(x)=()()120,210,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数是( )(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增 (D)奇函数,且单调递减解析:当x>0时,f(x)=1-2-x,这时-x<0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,这时-x>0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x<0时,f(x)=2x-1也单调递增,所以f(x)单调递增.应选C.答案:C2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x 与函数y=-log2010x有一个交点,知2010x+log2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上有3个实数根.答案:C考点三函数基本性质的综合应用1.(2013浙江宁波高三第一学期期末)函数f(x)=15,0,51,0,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数为( )(A)单调递增函数,奇函数(B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数(D)单调递减函数,偶函数解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=5-x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.应选A.答案:A2.(2012北京朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )(A)0 (B)0或-12(C)-14或-12(D)0或-14解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如下图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y'=(x2)'=2x=1,∴x=12.∴A11,24⎛⎫⎪⎝⎭,又A点在y=x+a上,∴a=-14.综上知选D.答案:D3.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)= .解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.答案:1综合检测1.(2013重庆一中第一次摸底)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=()1f x 对任意x ∈R 恒成立,则f(2011)等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由f(x+2)=()1f x , 得f(-1+2)=()1f x -, 即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)=()12f x +=f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.应选A. 答案:A2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R ,m,n ∈R ,假如不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在以下给出的四个不等式中,准确的是( )(A)m+n<0 (B)m+n>0 (C)m-n<0 (D)m-n>0解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当m<n 时,-n<-m,则有f(m)>f(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.应选C. 答案:C3.(2012琼海一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x +2(a>0且a ≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( ) (A)2 (B)174(C)154(D)a 2 解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a -x -a x+2, 联立f(x)+g(x)=a x -a -x+2,求解得g(x)=2,f(x)=a x -a -x .故a=2,f(2)=22-2-2=4-14=154.应选C. 答案:C1.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A 2- B 4- C 6- D 10-答案：D解析：令3()()4F x f x ax bx =+=+，则3()F x ax bx =+为奇函数(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10F f F f f -=-+==+=-=-。

2012-2013学年江苏省泰州某校高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若A ={x ∈Z|2≤2x ≤8}，B ={x ∈R|log 2x >1}，则A ∩B =________．2. 设p:|4x −3|≤1；q ：(x −a)(x −a −1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．3. 已知复数z 1=1−i ，z 2=1+i ，那么z2z 1=________．4. 若角α终边落在射线y =−x(x ≥0)上，则√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα=( )A 0B 1C −1D 25. 在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=12，2an+1=1a n+1an+2(n ∈N ∗)，则该数列的通项a n =________．6. 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）7. 在闭区间[−1, 1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．8. 已知对称中心为原点的双曲线x 2−y 2=12与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为________． 9. 阅读下列程序： Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S +I Print S End for End输出的结果是________．10. 给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是________．①若cosα=cosβ，则α−β=2kπ，k ∈Z ；②函数y =2cos(2x +π3)的图象关于x =π12对称；③函数y =cos(sinx)(x ∈R)为偶函数，④函数y =sin|x|是周期函数，且周期为2π． 11. 若函数y =mx 2+x +5在[−2, +∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 12. 设a ，b ∈R ，a 2+2b 2=6，则b a−3的最大值是________．13. 已知f(x)=a −12x −1是定义在(−∞, −1]∪[1, +∞)上的奇函数，则f(x)的值域为________． 14. 已知平面上的向量PA →、PB →满足|PA →|2+|PB →|2=4，|AB →|=2，设向量PC →=2PA →+PB →，则|PC →|的最小值是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数f(x)=a →⋅b →，其中向量a →=(2cosx,1)，b →=(cosx,√3sin2x)(x ∈R) （1）求f(x)的最小正周期；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，f(A)=2，a =√3，b +c =3，b >c ，求b ，c 的长．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，E 为PB 的中点． (1)求证：PD // 面AEC ；(2)求证：平面AEC ⊥平面PDB ．17. 某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的税收．设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x （e 为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 为椭圆x 29+2y 29=1的右顶点，点D(1, 0)，点P ，B 在椭圆上，BP →=DA →．（1）求直线BD 的方程；（2）求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；（3）是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．19. 已知数列{a n }中，a 1=1，且点P(a n , a n+1)(n ∈N ∗)在直线x −y +1=0上． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若函数f(n)=1n+a 1+1n+a 2+1n+a 3+⋯+1n+a n(n ∈N ，且n ≥2)，求函数f(n)的最小值；（3）设b n =1a n，S n 表示数列{b n }的前项和．试问：是否存在关于n 的整式g(n)，使得S 1+S 2+S 3+...+S n−1=(S n −1)⋅g(n)对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20. 已知f(x)=ax −ln(−x)，x ∈(−e, 0)，g(x)=−ln(−x)x，其中e 是自然常数，a ∈R ．（1）讨论a =−1时，f(x)的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，|f(x)|>g(x)+12．（3）是否存在实数a ，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．2012-2013学年江苏省泰州某校高三（上）期初数学试卷答案1. {3}2. [0,12] 3. i 4. A 5. 1n 6. 甲 7. 788. x 22+y 2=1 9. 2，5，10 10. ①②④ 11. [0,14] 12. 113. [−32，−12)∪(12,32]14. 215. 解：（1）f(x)=2cos 2x +√3sin2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1， ∴ 周期T =π．（2）f (A)=2，即sin(2A +π6)=12，A =π3，∵ a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ， ∴ b 2+c 2−bc =3，又b 2+c 2+2bc =9，∴ bc =2，b +c =3，b >c ，解得{b =2c =1．16. 证明：(1)设AC ∩BD =O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点, 所以PD // EO ,而PD ⊄面AEC ，EO ⊂面AEC ， 所以PD // 面AEC . (2)连接PO ， 因为PA =PC ， 所以AC ⊥PO ，又四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD ,而PO ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，PO ∩BD =O ， 所以AC ⊥面PBD . 又AC ⊂面AEC ， 所以面AEC ⊥面PBD .17. 该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式为L(x)=10e 40x−30−a e x．（2）L ′(x)=10e 4031+a−x e x①当2≤a ≤4时，33≤a +31≤35，当35<x <41时，L′(x)<0 ∴ 当x =35时，L(x)取最大值为10(5−a)e 5②当4<a ≤5时，35≤a +31≤36，令L′(x)=0，得x =a +31， 易知当x =a +31时，L(x)取最大值为10e 9−a 综合上得L(x)max={10(5−a)e 5，(2≤a ≤4)10e 9−a ，(4<a ≤5)．答：当2≤a ≤4时，当每件产品的日售价35无时，为L(x)取最大值为10(5−a)e 5；当4<a ≤5时，每件产品的日售价为a +31元时，该商品的日利润L(x)最大，最大值为10e 9−a ． 18. 解：（1）因为BP →=DA →，且A(3, 0)，所以|BP|=|DA|=2， 因为BP →=DA →，及BP 与x 轴平行，即可得B ，P 关于y 轴对称，所以点P 的横坐标为1，从而得P(1, 2)，B(−1, 2)… 所以直线BD 的方程为x +y −1=0…（2）线段BP 的垂直平分线方程为x =0，线段AP 的垂直平分线方程为y =x −1， 所以圆C 的圆心为(0, −1)，且圆C 的半径为r =√10… 又圆心(0, −1)到直线BD 的距离为d =√2，所以直线BD 被圆C 截得的弦长为2√r 2−d 2=4√2…（3）假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中PB 是圆M 的弦，PA 是圆N 的弦， 则点M 一定在y 轴上，点N 一定在线段PA 的垂直平分线y =x −1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且|PM|=|PN|…设M(0, b)，则N(2, 4−b)，根据N(2, 4−b)在直线y=x−1上，∴ 4−b=2−1，∴ b=3…所以M(0,3),N(2,1),|PM|=|PN|=√2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2+(y−3)2=2，(x−2)2+(y−1)2=2…19. 解：（1）由点P(a n, a n+1)在直线x−y+1=0上，即a n+1−a n=1，且a1=1，数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列a n=1+(n−1)⋅1=n(n≥2)，a1=1同样满足，所以a n=n（2）f(n)=1n+1+1n+2+⋯+12nf(n+1)=1n+2+1n+3+⋯+12n+2f(n+1)−f(n)=12n+1+12n+2−1n+1>12n+212n+2−1n+1=0所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)=712（3）b n=1n ，可得S n=1+12+13++1n，S n−S n−1=1n(n≥2)∴ nS n−(n−1)S n−1=S n−1+1，∴ (n−1)S n−1−(n−2)S n−2=S n−2+1…2S2−S1=S1+1∴ nS n−S1=S1+S2+S3+...+S n−1+n−1∴ S1+S2+S3+...+S n−1=nS n−n=n(S n−1)，n≥2∴ g(n)=n故存在关于n的整式g(x)=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．20. 解：（1）∵ f(x)=−x−ln(−x)f′(x)=−1−1x =−x+1x∴ 当−e≤x<−1时，f′(x)<0，此时f(x)为单调递减当−1<x<0时，f′(x)>0，此时f(x)为单调递增∴ f(x)的极小值为f(−1)=1（2）∵ f(x)的极小值，即f(x)在[−e, 0)的最小值为1∴ |f(x)|min=1令ℎ(x)=g(x)+12=−ln(−x)x+12又∵ ℎ′(x)=ln(−x)−1x2当−e≤x<0时ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−e, 0)上单调递减∴ ℎ(x)max=ℎ(−e)=1e +12<12+12=1=|f(x)|min∴ 当x ∈[−e, 0)时，|f(x)|>g(x)+12（3）假设存在实数a ，使f(x)=ax −ln(−x)有最小值3，x ∈[−e, 0)f′(x)=a −1x①当a ≥−1e 时，由于x ∈[−e, 0)，则f′(x)=a −1x ≥0 ∴ 函数f(x)=ax −ln(−x)是[−e, 0)上的增函数 ∴ f(x)min =f(−e)=−ae −1=3 解得a =−4e <−1e （舍去）②当a <−1e 时，则当−e ≤x <1a 时，f′(x)=a −1x <0 此时f(x)=ax −ln(−x)是减函数当1a <x <0时，f′(x)=a −1x >0，此时f(x)=ax −ln(−x)是增函数 ∴ f(x)min =f(1a)=1−ln(−1a)=3解得a =−e 2。