【苏教版】高中数学新学案选修2-1同步讲义：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2_含答案

2．3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．[知识链接]1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉．答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距F 1F 2＝2c ，c 2＝a 2＋b 2要点一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9. (舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪演练1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1 (－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.要点二 由方程判断曲线的形状例2 已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin a >0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1.它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x 2和y 2的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定． 跟踪演练2 方程ax 2＋by 2＝b (ab <0)表示的曲线是____________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 原方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∵ab <0，∴ba <0，知曲线是焦点在y 轴上的双曲线．要点三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为 x 22－y 26＝1(x >2)． 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪演练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1．椭圆x 234－y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是________________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 3．过点(1,1)且ba ＝2的双曲线的标准方程是________________________．答案 x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝6，则动点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 29－y 216＝1(x ≥3)解析 根据双曲线的定义可得．1.双曲线定义中|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)不要漏了绝对值符号，当2a ＝F 1F 2时表示两条射线． 2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解．一、基础达标1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________．答案 43解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3. 2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案 m >－1解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，P A －PB ＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为________________． 答案 双曲线一支或一条射线解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时AB ＝10， ∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )． 当a ＝5时，2a ＝10，此时AB ＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有MB ＝r ，另设A (4，0)，则有MA ＝r ±4，即MA －MB ＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<AB ，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1. 6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________． 答案 18解析 由双曲线定义可知AF 1＝2a ＋AF 2＝4＋AF 2； BF 1＝2a ＋BF 2＝4＋BF 2，∴AF 1＋BF 1＝8＋AF 2＋BF 2＝8＋AB ＝13. △AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝18.7．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形． 解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上； 当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)． 二、能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 (1,3)解析 将方程化为x 2k －1－y 23－k ＝1，若表示焦点在x 轴上的双曲线，则有k －1>0且3－k >0，即1<k <3.10．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的值为________． 答案 33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33. 又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33.11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m 的值．解 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7； (2)当焦点在y 轴上时，有m <0， 则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2； 综上，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．三、探究与创新13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23，又F 1F 2＝25， 因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212·MF 2·F 1F 2<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

2.3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a ，b ，c ，e 间的关系．[&^@~%]知识点一 双曲线的性质 [*&^@~]知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点． (1)x 2－y 2＝1；(2)4x 2－4y 2＝1. [*&~#%] 答案 (1)的实半轴长为1，虚半轴长为1(2)的实半轴长为12，虚半轴长为12.它们的实半轴长与虚半轴长相等． [*%~&#]梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为 2.1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√) [^#*%&]2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×) [%*&~@]3．等轴双曲线的离心率为 2.(√)4．离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一 双曲线的几何性质例1 求双曲线nx 2－my 2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为x 2m －y2n＝1(m>0，n>0)，[%*^~#]由此可知，实半轴长a ＝m ， [%~*#&] 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a ＝m ＋nm＝1＋nm， [#*&^@] 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x.引申探究将本例改为“求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y24＝1， [@&%~*]即x 232－y 222＝1， [^*%&@] 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， [@^~*#] 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x.反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 [~@%#&] (1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值． [@~%&^] (3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1. [^~@*&]由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)， [%^@*~] 离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x. [*%@^#]类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程。

2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学习目标1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√) 3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x 表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2P A . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又P A ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程．解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax (a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0， ∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定． 跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎨⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43.3．直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)解析 设直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1. 4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )， 则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． (4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案 π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0，解得m 2＝34. 5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________．答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________．答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且P A →·PB→＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________．答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB →＝x 2－2＋y 2.由P A →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0. 令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________．答案 33 解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a， 由椭圆定义得3b 2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2， 则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0， 设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝6＋3k 2k 2， ∵弦长为12，∴6＋3k 2k 2＋3＝12， ∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)． 13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋62，y ＝y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y . 由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32. 三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________．答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若MN 和MQ 的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 连结ON ，OM ，则ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆的半径是1，∴MN 2＝OM 2－ON 2＝OM 2－1.由题意，MN MQ＝λ(λ＞0)，∴MN ＝λMQ ， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2， 整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54， 该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。

2.3.2 双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1．双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abx(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2；②等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直． 思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那么双曲线的离心率为________．53 [因为渐近线方程为y ＝43x ，所以b a ＝43， 所以离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.]由双曲线的方程求其几何性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究] 此题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出根本量a ，b ，c 即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作草图，如下图：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式； 2．判断焦点的位置； 3．写出a 2与b 2的值； 4．写出双曲线的几何性质．1．求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解] 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2. 求双曲线的标准方程【例2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[思路探究] 利用待定系数法，当渐近线方程时，可利用双曲线设出方程进展求解． [解] (1)设以直线y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a ，b ，c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可防止分类讨论．2．求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，假设焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1. ②由①②联立，无解．假设焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.求双曲线的离心率及其取值范围ABC ABC A B C 曲线的离心率为________．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．[思路探究] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有b a≥tan 60°.(1)1＋32 [由题意2c ＝AB ＝BC ，∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝23c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a＝13－1＝1＋32.] (2)[解] 因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a， 直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有b a≥3，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．双曲线离心率的求法1．求双曲线的离心率就是求a 和c 的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a ，b ，c 三者中两者的关系，进而利用c 2＝a 2＋b 2进展转化．2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c >a ，或c >b .3．F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．[解] 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°， 知PF 1＝F 1F 2，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0， 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为准确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x .( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，那么双曲线的方程是________．x 2－y 29＝1 [双曲线的焦点在x 轴上，那么c ＝10，b a∵a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝1，b 2＝9， ∴方程为x 2－y 29＝1.]4．求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．[解] (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y216＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a 2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.。

1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段AB ＝4，P A ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于P A ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案52．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 PF 1＋PF 2＝2a ＝10， 所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫1022＝25，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ， 此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，F 1F 2＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1，①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② 将②代入①，得PF 1＝65.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF 1，PF 2的方程组，消去PF 2可求PF 1.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案3－1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________. 解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为b 7，∴b 7＝|－bc ＋ab |a 2＋b2， ∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝ca 知，8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线P A ，PB 互相垂直，P A ＝PB .又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ， 则四边形OAPB 是正方形， 故OP ＝2OA ， 即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率． 解 由正弦定理得2c sin90°＝MF 1sin15°＝MF 2sin75°＝MF 1＋MF 2sin15°＋sin75°＝2asin15°＋sin75°，∴e ＝c a ＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63.点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 因为动圆C 与两定圆相外切，所以⎩⎪⎨⎪⎧CC 1＝r ＋1，CC 2＝r ＋4，即CC 2－CC 1＝3<C 1C 2＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0,5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1⎝⎛⎭⎫y ≥32.点评 依据动圆与两定圆外切建立关系式，可得到CC 2－CC 1＝3<C 1C 2，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 2．求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A ，B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析 由双曲线的定义知AF 2－AF 1＝8，BF 2－BF 1＝8， 两式相加得AF 2＋BF 2－(AF 1＋BF 1)＝AF 2＋BF 2－AB ＝16， 从而有AF 2＋BF 2＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为AF 2＋BF 2＋AB ＝22＋6＝28. 答案 28点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．3．最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4,2)，求PM＋PF 的最小值．解 设双曲线的左焦点为F ′， 则F ′(－2,0)， 由双曲线的定义知： PF ′－PF ＝2a ＝23， 所以PF ＝PF ′－23，所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23，要使PM ＋PF 取得最小值，只需PM ＋PF ′取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，PM ＋PF ′有最小值MF ′＝210， 故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.点评 本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1,1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4．求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，试求该双曲线离心率的取值范围． 解 因为PF 1＝4PF 2，点P 在双曲线的右支上， 所以设PF 2＝m ，则PF 1＝4m ，由双曲线的定义，得PF 1－PF 2＝4m －m ＝2a ， 所以m ＝23a .又PF 1＋PF 2≥F 1F 2， 即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53. 点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)AB ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点坐标的关系)； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p ；(4)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x A x B ＝p 24，y A y B ＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A ，O ，B 1三点共线； (7)1F A ＋1FB ＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在， 即与x 轴垂直时，F A ＝FB ＝p ， ∴1F A ＋1FB ＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，并代入y 2＝2px ， ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp22＝2px ， 即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0. 由A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵F A ＝x A ＋p 2，FB ＝x B ＋p2，∴F A ＋FB ＝x A ＋x B ＋p ， F A ·FB ＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )．∴F A ＋FB ＝F A ·FB ·2p ，即1F A ＋1FB ＝2p.点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴NA ＝NM .∴NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝CM ＝2a >2＝AC ，∴N 的轨迹是以C ，A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由(1)知a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称， ∴⎩⎨⎧yx －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb 2＋1.∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34，∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b ≤2，当且仅当b ＝1时取等号．又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫|3x －2y ＋3|132－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －3y ＋2|132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以OF ＝c ，AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2 ＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵点P 是线段QN 的中点，∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1， 即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)． 又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P ，Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解 如图，设OP 的斜率为k ，则P (2,2k )．当k ≠0时，直线l 的方程：y ＝－1kx ，① 直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．6 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a 2. ∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0. ∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2. 又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得 λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2， x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1. 同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③ ③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意知mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋P A 的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，PF －PF ′＝4，∴PF ＋P A ＝4＋PF ′＋P A ，∴要使PF ＋P A 最小，只需PF ′＋P A 最小即可，PF ′＋P A 最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋F ′A ＝4＋9＋16＝4＋5＝9.答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2， 解得a ＝32，经检验知满足Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a .2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使QF ＝OF ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0， 解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN ， ∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12. 由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0.故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程．错解 如图所示，设A (0，y )，B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，连结OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有OP ＝12AB ＝12a .故⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝⎛⎭⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.错因分析 求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为(x ，y ).上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n,0)，则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m 2， 于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2. 2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为________． 错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故填椭圆． 错因分析 在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF 1＋MF 2>F 1F 2，亦即2a >2c .而本题中MF 1＋MF 2＝F 1F 2，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为F 1F 2，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 线段3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m 4. 又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4.故－m 4＝－2或－m 4＝4.∴m ＝8或m ＝－16. ∴抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ， 其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且AF ＝5，求抛物线的标准方程．错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2＋m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2＋m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2＋m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)． 所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x . 综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝AF ＝p 2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12， 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2－m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .9 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若AB ＝25，求椭圆的方程．解 由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0，Δ＝16－4(8－2b 2)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2.∵AB ＝25，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25， 即52·16－4(8－2b 2)＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1. 2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值． 解 ∵x 24＋y 2b2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2≥0， 即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝⎛⎭⎫1－y2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋4＋b 24. 当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b .综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足OQ ·OP ＝OR 2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α.∵OR 2＝OQ ·OP ，∴⎝⎛⎭⎫OR cos α2＝OQ cos α·OP cos α. 由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.① 又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y R x R.② 由①②得y 2R ＝12y 2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R 16＝1.④ 由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)，∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)．4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程． 分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0)． 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1. 综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. 5．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设BC ＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程． 解 以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m 2，0. 设点A 坐标为(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |. 根据正弦定理，得|AB －AC |＝m 2<m ＝BC . 可知点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上．2a ＝m 2，∴a ＝m 4. 又c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m2＝1(y ≠0)．。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21. 而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26， ∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ， 又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)． 4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 答案 x 25＋y 24＝1解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线． ∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33.11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33 解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。

§2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？答案 (1)对称轴为坐标轴；(2)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于p2.梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y 2＝2px (p >0)，y 2＝－2px (p >0)，x 2＝2py (p >0)，x 2＝－2py (p >0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p21．抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．(×) 2．方程x 2＝2py (p ＞0)表示开口向上的抛物线．(√) 3．抛物线的焦点到准线的距离为p .(√) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1 已知抛物线的方程y ＝ax 2(a ≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 解 将抛物线方程化为标准方程x 2＝1a y (a ≠0)，则抛物线焦点在y 轴上， (1)当a ＞0时，p ＝12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a .(2)当a ＜0时，p ＝－12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________． 答案 2 x ＝－1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y 2＝40x ；②4x 2＝y ；③3y 2＝5x ；④6y 2＋11x ＝0. 解 ①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x ＝－10. ②由4x 2＝y 得x 2＝14y .∵2p ＝14，∴p ＝18.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程为y ＝－116. ③由3y 2＝5x ，得y 2＝53x .∵2p ＝53，∴p ＝56.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫512，0，准线方程为x ＝－512. ④由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－1124，0，准线方程为x ＝1124. 类型二 求解抛物线的标准方程例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5. 解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高34m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为34m ，所以h ＝|y A |＋34＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解 如图所示，以点B 为坐标原点，过点B 与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0， 即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8m.1．已知抛物线的准线方程为x ＝7，则抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝－28x解析 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由准线方程为x ＝7知，p2＝7，即p ＝14.故抛物线的标准方程为y 2＝－28x .2．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p 的值为________． 答案 4解析 焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由两点间的距离公式得⎝⎛⎭⎫－2－p 22＋32＝5⇒p ＝4.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)， 所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.5．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点N (2,3)，则MN ＋MF 的最小值为________． 答案10解析 将x ＝2代入抛物线方程，得y ＝±2 2. ∵3>22，∴点N 在抛物线的外部． MN ＋MF ≥NF ，而F (1,0)， 则NF ＝(2－1)2＋32＝10，∴MN ＋MF ≥10，当N ，M ，F 三点共线时有最小值，最小值为10.1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF ＝x 0＋p 2.一、填空题1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．答案 y ＝－1解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p 2＝－1.2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________． 答案 y 2＝－4x解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)，则有－p2＝－1，得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝－4x .3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝x 或x 2＝－8y解析 设所求抛物线的标准方程为y 2＝2mx (m ≠0)或x 2＝2ny (n ≠0)， 代入点P (4，－2)，解得m ＝12或n ＝－4，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝x 或x 2＝－8y .4．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .5．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝x 对称，则C 2的准线方程是________． 答案 x ＝－18解析 y ＝2x 2关于y ＝x 对称的曲线为抛物线y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－18.6．已知一个圆的圆心C 在抛物线y 2＝4x 上，并且与x 轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________． 答案 2解析 设圆心C (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，① 依题意得，半径r ＝|y 0|＝|x 0＋1|，② 由①②得x 0＝1， 故圆的半径r ＝2.7．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________． 答案 x 2＝±12y解析 因为顶点与焦点距离等于3，∴2p ＝12， 又∵对称轴是y 轴， ∴抛物线的方程为x 2＝±12y .8．抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－716，0 解析 方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－716，0. 9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________． 答案324解析 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.10．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________． 答案 (1,2)或(1，－2)解析 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)， AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)． ∴x 0＝1，y 0＝±2.则点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．11．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________． 答案112－1 解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)， 要求PQ 的最小值，只需求PO ′的最小值． 设点P 坐标为(y 20，y 0)， 则PO ′＝(y 20－3)2＋y 20＝y 40－5y 20＋9＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴PO ′的最小值为112，从而PQ 的最小值为112－1.二、解答题12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程． 解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此可知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且AF ＋BF ＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程． 解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线方程为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF ＋BF ＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴QA ＝QB ， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x . 三、探究与拓展14．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 54解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.15．设点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求PB ＋PF 的最小值． 解 (1)如图，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于点P，故最小值为22＋12＝ 5.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即最小值为4.。