复 数
专题一 复数与数列
复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．
例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4
1
i +的等比复数列． （1）求4z ．
（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2
1)26(41ππi i r +=+=
．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6
r 的等比数列．所以
4
3
3=
a ． （3）这个级数是公比8
1
6
-
==r 的无穷等比级数，从而和3
128
)
8
1(148=
--=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）
分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．
解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13
1tan ∞→→+-=n n
n θ． （2）当1≠k 时，21111
1)1(a k k k a a n n n --++--=k
k k k k n n n ---++
--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1
3313)13(1tan 1∞→??
?
??<<>+-→---+=-n k k k k k k k n
n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．
（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2
1223)(αα=-=-z z z z (1)
211)(----=-=-n n n n n z z z z α
α
于是，从1≠α得，α
α--=11n
n z ．
（2）)3
sin
3
(cos
231π
π
αi i +=+=，所以)3
sin 3(cos
2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2 c o s 21(3 1 21n n n n n z z +-=?+π ， ∴100)23cos 2 1(3 121 <+-+n n n π．又n n n 2123 cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+， 能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个． 例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为 r 的等比数列． （1）若10< （2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定2 1 =r 而θ变动时，点Q 所 描述的是怎样的曲线？ 解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有n n n z z ω=--1，其中1 -z 就是原点O ．于是)1(11112 ≠--=++++=+ωωωωωωn n n z ．| 1||1||||11|1 1ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10< -11所表示的点最靠近． （2）ω-= 11z ，则有z z 1-=ω，2 1 =r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||= ω，故有2|1|| |=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为 圆心， 3 2 为半径的圆上． 例5 设在复平面上: （1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||k =，, 的交角为θ所确定。试求 表示点B 的复数。这里k 是实数。 （2）点列 ,,,,,210n A A A A 由下述方式确定：0A 取)0,0(，1A 取 )0,1(，),3,2,1(1 =+n A n 由||2||11n n n n A A A A -+=，以及n n n n A A A A 11,-+的夹角θ所定义。试求被表示为n A 复数n z 。 （3）若（2）中，2 π θ=，且记12311-+++=n z z z S ，n z z z S 2422+++= ，将212iS S +化 简。 解：（1）将表示B 的复数记作ω，则对有关系AB OC =的点C 表示为复数，就是z -ω，从而 )sin (cos θθωi kz z +=-，所以z ik k ]sin )cos 1[(θθω++=。 （2）A A A A n n n n ==+-11,所表示的点Q P ,，则用复数分别表示为n n n n z z z z --+-11,。由 θ=∠POQ ，推出n n z z -+12=)s i n )(c o s (1θθi z z n n +--，因此，数列}{1--n n z z 是首项为 10101=-=-z z ，公比为)sin (cos 2θθi +的等比数列。所以1--n n z z 11)sin (cos 2--+=n n i θθ（n 是正整数）。所以) sin (cos 21)sin (cos 21θθθθi n i n z n n +-+-=。 （3）数列}{},{212k k z z -仍为等比数列，故可求得ni iS S =+212。 专题二 复数与几何 1. 有关轨迹问题： 例1 已知一圆B 及圆外一点A ，在圆上任取一点Q ，以AQ 为边按逆时针作正三角形AQP ，求点P 的轨迹. 解：如图：建立复平面，设a AB =，圆B 半径为r .P 、Q 分别对应复数为1,z z 则r a z =-1.令3sin 3cos 0π πi z +=， 3 π=∠QAP ，∴0 1,01z z z z z z =?=故r a z z =-0 ,∴r z r az z ==-00.故点P 的轨迹是圆，圆心对应的复数 为0az ，即 i a a 2 32+，半径为r . 例2 已知复数2121,,z z z z +在复平面上分别对应点A 、B 、C ，O 为复平面的原点. (1) 若i z 2 1 231+= ，向量逆时针旋转?90，模变为原来的2倍后与向量重合，求2z ； （2）若)(22121z z z z +=-，试判断四边形OACB 的形状. 解：向量逆时针旋转?90，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为i z 21?，而对应的复 数为21z z +，故21z z +=i z 21?.故=+-=)21(12i z z )21)(2 1 23(i i +-+ 整理可得：i z 2 1 322322-++- =. (2) )(22121z z z z +=-,OC BA ⊥.又 四边形OACB 为平行四边形，∴四边形OACB 为菱形. 2. 复数的模与辐角 求复数的辐角主值常有两种方法： (1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解. (2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解. 例3 设复数z 满足1=z ,求复数2-z 的辐角主值的最大值与最小值。 解：1=z ∴可设)20(sin cos πθθθ<≤+=i z ,θθsin 2cos 2i z +-=-∴.设a z =-)2arg(,由于,1sin 1,02cos ≤≤-<-θθ故2 32 π π < cos sin -= =θθ tga y 则可先求出y 的最值。由,2cos sin ,sin 2cos y y y y -=-=-θθθθ 得)(2)sin(12 y tg y y =-=-+??θ其中,1)sin(≤-?θ ,212y y +≤-∴, 即,3333,142 2≤≤- +≤y y y 3 3 33≤≤-∴tga ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z . 方法二:由1=z ，知z 对应的点Z 在单位圆122=+y x 上，设A （2，0），根据复数减法的几何意义，复数2-z 对应的向量是AZ .（如图）， 当射线AZ 是圆O 的切线时，2-z 对应的向量分别为21AZ AZ 和，其中 Z 1，Z 2为切点.连接OZ 1，则11AZ OZ ⊥，可知1OAZ ?为直角三角形. 由2,11==OA OZ ,故67)2arg(,65)2arg(max min π π=-= -z z 例4 设{} {},,1z 12 C z z z z A ∈≤?≤+=求A 中辐角主值最大的复数z . 解：12≤+z 满足 的点在以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1≤z 的点在单位圆内，（包括圆周），A ∴对应如图两圆共同部分 .A ∴中辐角主值最大的复数P 点对应的复数 i i z 2 2 2245sin 45cos --=+=ππ 例5 若c z z ∈21,,求证：21211z z z z ?-=-成立的充分必要条件是21z z 、中至少有一个是1. 证：必要性：212 2 11z z z z ?-=- ,2 212 211z z z z ?-=-∴,故有 ()()()()2 1 2 1 2 1 2 1 11z z z z z z z z ?-??-=-?-.根据互为共轭的复数间关系有： ()())1)(1(2 1 2 1 2 1 2 1 z z z z z z z z ?-?-=--.化简整理得：212 12 2 1 1 1z z z z z z z z ??+=?+? 2 22 12 22 11z z z z ?+=+∴,( )( ) 0112 22 1=--∴z z ,1z ∴、2z 至少有一个为1 。 充分性：以上过程均可逆。 ∴ 结论成立。 常用到的与复数的模相关的结论： （1）22||||z z z z ==? （2）||||||2121z z z z ?=? )(||||N n z z n n ∈=? （3）)0(| ||||| 22121≠=z z z z z （4）||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-. （5）)(|||||,|||bi a z z b z z a z +=≤≤-≤≤-,.||2||2||||2221221221z z z z z z +=-++ 例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐? 90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐? 90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝. 解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点 为原点O ，建立如图所示的坐标系，设A 、B 为橡、松二树，其坐标分别为 （-1，0），（1，0）. 令点Z 表示绞架，Z 1、Z 2、Z 0分别表示第一个桩、第二个 桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z ,z 1,z 2,z 0. 由复数减法的几何意义，知 1AZ 对应的复数为11+z ；1BZ 对应的复数为12-z .依照乘法的几何几何意义，知1AZ 可由逆时针旋转? 90得到.i z z )1(11+=+,即i z z )1(11++-= Z 2 同理,i z z )1(12--=,其中点Z 0 对应的复数为i z z z =+= 2 2 10.即Z 0 为虚轴上的点i .∴不论绞架位置 在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为 的那一点，故宝可取. 例7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km 后向左转? 30，后向前 走1km 后向左转? 30，如此下去，能回到出发点吗？ 解：以出发点作为坐标原点O ，走第一个1km 时所沿的直线作为 Ox 轴， 建立如图所示的复平面. ∴第一个1km 的终点A 对应的复数是1，第二个1km 的终点B 对应的复数是 1+(? ?+30sin 30cos i )，第三个1km 的终点C 对应的复数是1+(? ? +30sin 30cos i )+(? ? +60sin 60cos i ). 如此下去，走第n 个1km 时所达到的点对应的复数是1+(??+30sin 30cos i )+(? ?+60sin 60cos i ) +??-+-+30)1sin(30)1cos(n i n ，即1+(??+30sin 30cos i )+(? ?+30sin 30cos i )2 + 1 ) 30sin 30(cos -??++n i =) 30sin 30(cos 1)30sin 30(cos 1? ???+-+-i i n 当 n =12时，上述复数为0，即可回到出发点。 专题三 复数与方程 1. n 次方程一定有n 个复数根． 例1 求1=n z 的根． 解：设)sin (cos θθi r z +=，根据隶莫佛定理，1)sin (cos =+θθn i n r n ，从而方程的根 是n i n ππ2sin 2cos +（ ,3,2,1,0=n ）． 注：这n 个根的模都等于1，它的辐角按n π 2增加，由此可见，这n 个根均位于单位圆上把圆周作了n 等分． 例2 设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为ω，问12 ++ωω的值是多少？再问，当n 是整数时，13+n ω 的值是多少？ 解：0)1)(1(12 3=++-=-x x x x ，于是012 =++ωω．213=+n ω ． 例3 （1）设ω是1的5次方根（1≠），当ω ωα1 + =时，求αα+2 的值． （2）以原点位中心，以)0,1(为顶点作五边形．求与)0,1(相邻的两个顶点的x 坐标β的值． （3）试构造一个以βββ--2 32为一个根的整系数二次方程． 解：（1）αα+2ω ωωωω ωω ω1 1 21 )1 (2 22+ ++ +=+ ++ =1)1(1 2342 +++++= ωωωωω, 又1≠ω，故有12 3 4 ++++ωωωω01 1 5=--= ωω，所以12=+αα． （2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形．5 2sin 52cos ππωi +=, ===ω ωωω154 52sin 52cos ππi -,ω及4 ω是点)0,1(的相邻两顶点，他们的横坐标都是52cos π，于是有ω ω1 + 24=+=ωωβπ252cos =，而由（1），ωωα1+= 得到012 =-+αα，解得2 51--=α（舍），4 1 5-= β． （3）4 1 5-= β，即514=+β，两边平方，518162=++ββ，所以01242=-+ββ （1） x =--βββ232 （2） （1）β?2)2(?-，x 242-=+ββ，所以x 242--=ββ，将此式 代入（1），有01)12(2)12(42=-+++x x ，于是有0520162 =++x x ． 根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内． 例4 设关于x 的方程 0322 2 =-++a a ax x 至少有一个模等于1的根，确定实数a 的值． 解：0322 2 =-++a a ax x . （1） （1）实根的情形：08)(892 22≥+=--=a a a a a D ，所以0≥a 或8-≤a （2） 将1=x 代入（1）式，0322=-++a a a ，所以0222 =++a a ，解得i a ±-=1，因为a 是实数，所以不符合条件．其次，用1-=x 代入（1）整理后有 0242 =+-a a ，解得22±=a ，这是实数，且 在（2）的范围内，故适合题中条件． （2）虚根的情形：08)(892 2 2 <+=--=a a a a a D ，所以，08<<-a ．解（1）有， 4832i a a a x --±-=，为使它的模等于1，只须1)4 8()43(2 22=--+-a a a ， 整理后，022=--a a ，∴2=a （舍）或1-=a ． 综上，满足条件的a 为1,22-±． 判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题． 例5 试求满足01||23=+-z z 非实数的复数z 的个数．式中y x yi x z ,(+=为实数时)． 分析：根据yi x +作为根的条件，求出y x ,的关系式，由此对单变数x 的函数求导，再求根． 解：满足01||23=+-z z （1）的非实数的复数记为：y x yi x z ,(+=为实数时，0≠y )，代入 原方程，012)(223=++-+y x yi x ，所以0)3()123(3 22223=-+++--y y x i y x xy x ， ∴?????=-=++--0 30123322223y y x y x xy x 0≠y ，由（3），223y x =,将它代入)2(，有01||483=-+x x .从而，如果0=x ，则由（4），0=y 这 不合题意，为此0≠x ， （1）当0>x 时，可化为01483=-+x x ,（6）等式左边看成是关于x 的函数求导数得 0)16(42>+x ， 这表明方程左侧关于x 的函数是增函数，又01)0(<-=f ，+∞=∞ →)(lim x f x ．可以推知，方程（6）只有 一个正根，在此，由)4(可确定两个复数． （2）0 =--x x , （7）所以 0)124)(12(2=--+x x x ，从而，（7） 式可以取两个负根：4 5 1, 21-- ．这两个值对应于（4）可确定4个复数． 综上，满足（1）的非实复数共有6个． 初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组 123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++= 初一数学竞赛系列讲座(9) 应用题（一） 一、一、知识要点 1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问 题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是： (1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3) 根据这个相等关系列出方程； (4) (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) (5) 写出答案(包括单位名称)。 3、行程类问题 行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度?时间=路程 4、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两 数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。 二、二、例题精讲 例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21 7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析 本题用方程来解简单自然。 解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 ?????=+=+(2) 2172035(1) 93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第 一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351 也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( 201+351)=9+217 初中数学竞赛讲座之数论初步(一) 整数的整除性 定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N ②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N ⑧．13||41n n a a a -－a a a |?13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a ∴ 11|a ＋c ＋d －b －a 即11|c ＋3 ∴ c ＝8 1≤a ≤9，且a ∈Z 2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值. 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|b 673 a ，且9| b 673a ∴ 8|b 73 ? b ＝6 且 9|a ＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a ＝5 3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ， 高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量 一、三角函数部分 1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且 A C ， A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ， 因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A= 41，而sinA>0，∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π 3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ= 11+-b ab B ．cos θ=1 1+-a ab C ．tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间， ∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C) A ．[0, ]4 π B ．[,]4 ππ C ．5[, ]4 4ππ D ．3[,)42 ππ 7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310 cos 10 B =．若△AB C 的最长边为1，则最短边的长为 （ D ） A ．455 B ．355 C ．255 D ．5 5 8．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x x f 2cos 2 sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】： 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数, 初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)， 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1 ，求 分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零． 解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4 化简分式： 分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分 母分解因式，然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法， 它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法． 解 说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求 分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成 (x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解． 解 令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w ，则分式变为 u 2+v 2+w 2 +2(uv+vw+wu)=0． 由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2 +v 2 +w 2 ≠0，从而有 说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算 过程简化． 例7 化简分式： 适当变形，化简分式后再计算求值． (x -4)2 =3，即x 2 -8x+13＝0． 原式分子=(x 4 -8x 3 +13x 2 )+(2x 3 -16x 2 +26x)+(x 2 -8x+13)+10 =x 2 (x 2 -8x+13)+2x(x 2 -8x+13)+(x 2 -8x+13)+10 第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断． 初一数学竞赛系列讲座 解一次方程（组）与一次不等式（组） 一、知识要点 1．一次方程组 解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。 定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数 解可表示为：???-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x 3.一元一次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。 它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0） 解不等式的根据是不等式的同解原理。 4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质 (1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a (2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 5．解一元一次不等式的步骤 （1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）； 6．不等式组及其解集 几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 7．解一元一次不等式组的方法和步骤： 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 全国初中数学知识竞赛辅导方案 王选民 为了在全国数学知识竞赛中取得优异成绩，将对学生辅导方案总结如下： 一、了解掌握优生的特点 一般我们选择参加竞赛的学生都是学优生，当我们与“优生”进行面谈时，应该清醒地认识到，他们能成为“优生”，是学生家长和老师共同教育的结果。尤其要看到这些“优生”的两重性：一方面，他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外，也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。 具体说来，“优生”一般具有以下特点： 1、思想比较纯正，行为举止较文明，自我控制的能力比较强，一般没有重大的违纪现象。 2、求知欲较旺盛，知识接受能力也较强，学习态度较端正，学习方法较科学，成绩较好。 3、长期担任学生干部，表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强，在同学中容易形成威信。 4、课外涉及比较广泛，爱好全面，知识面较广。 5、由于智力状况比较好，课内学习较为轻松，因而容易自满，不求上进。 6、长期处于学生尖子的位置，比较骄傲自负，容易产生虚心。 7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的 不正当竞争。 8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺境之中，因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。 以上几点，只是就一般“优生”的共性而，当然不一定每一个“优生”都是如此。 辅导优生的具体措施 1、创设能引导学优生主动参与的教育环境。 2、了解学生在兴趣、学习偏好、学习速度、学习准备以及动机等方面的情况。这些资料为教师制定活动和计划时的依据，也是“促进学生主动地、富有个性地学习的需要”。 3、为尖子设计学习方案。学优生学习新知识时，比其他学生花的时间少，他不需要很多的练习就已经理解新知识，因此，做的练习也少。让他们做那些已经理解的题目就很多难让学生体会到智力活动的乐趣。长此以往，反而可能在一定程度上降低学生对于智力生活的敏感性。教师应该备有不同层次介绍同一主题的资料，采用向学生布置分组作业的方法，从众多的方案和活动中选取与他们的知识、技能水平相当的项目，指定他们完成。 4、解决学优生心理问题：学优生在心理状态上，易产生骄气，居高临下，听不进半点批评，心理脆弱。在价值取向上，易产生唯我独尊，以自我为中心的个性倾向和价值取向，不把其他同学的感觉、好恶、需要放在一定的位置；在行为方式上，由于始终把自己当学优生，与一般同学不一样，束缚了自己，娱乐活动不愿参加，集体劳动怕吃苦。 针对这种状况，教学中应注意： 学优生学习成绩优异，但不能“一俊遮百丑”。在鼓励保持学习上的竞争姿态和上进好胜的同时，要创造条件和环境，磨练他们的意志，培养他们的创造能力，规范他们的行为意识。 高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？ 有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！ 在平面几何中，我们已经知道以下定理． 定理1 相似形周长的比等于相似比． 定理2 相似形面积的比等于相似比的平方． 例1 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)． 证△ABC的周长是 2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)， △A′B′C′的周长是 3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)， 所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3． 例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是32∶42． 证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42． 从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子． 例3 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比． 解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc， 长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc， 所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc＝33∶53 例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比． 解小圆柱的体积是 (2a)2π·2b＝23a2bπ，大圆柱的体积是 (3a)2π·3b＝33a2bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33． 定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方． 初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 一、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末 位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末 位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条 件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需 要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其 个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着 次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序 数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式， 从而解决问题。 例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新 排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正 好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差 后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100 第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点 高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记 第一讲：因式分解(一) (1) 第二讲：因式分解(二) (4) 第三讲实数的若干性质和应用 (7) 第四讲分式的化简与求值 (10) 第五讲恒等式的证明 (13) 第六讲代数式的求值 (16) 第七讲根式及其运算 (19) 第八讲非负数 (23) 第九讲一元二次程 (27) 第十讲三角形的全等及其应用 (30) 第十一讲勾股定理与应用 (34) 第十二讲平行四边形 (37) 第十三讲梯形 (40) 第十四讲中位线及其应用 (43) 第十五讲相似三角形(一) (46) 第十六讲相似三角形(二) .......................................... 49 第十七讲* 集合与简易逻辑 (52) 第十八讲归纳与发现 (57) 第十九讲特殊化与一般化 (61) 第二十讲类比与联想 (65) 第二十一讲分类与讨论 (68) 第二十二讲面积问题与面积法 (72) 第二十三讲几不等式 (75) 第二十四讲* 整数的整除性 (79) 第二十五讲* 同余式 (82) 第二十六讲含参数的一元二次程的整数根问题 (85) 第二十七讲列程解应用问题中的量 (88) 第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (92) 第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (96) 第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99) 第一讲：因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多数学问题的有力工具．因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-… -ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 w 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 初一数学竞赛讲座特殊 的正整数 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数 一、 知识要点 1、完全平方数及其性质 定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质： 性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。 性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。 性质3 偶完全平方数是4的倍数。 性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。 性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、质数与合数 定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。 定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合 数。 1既不是质数也不是合数。 3、质数与合数的有关性质 (1) 质数有无数多个 (2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。 (3) 若质数p ?a ?b ，则必有p ?a 或p ?b 。 (4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p. (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=, 其中p 1
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