斯特林发动机原理图解
2010-02-10 18:53
如图1 把橡皮绑在容器口上，我们能容易瞭解到受热时橡皮会膨胀(图2)，冷却时橡皮会缩收(图3)，这是加热时，内部气体压力作用在橡皮上(图2)，当然人的眼睛是无法看到气体压力的。
A2移气器
如果我们放入一个移气器(Displacer)到容器内(图4)，而这个移气器的直径比容器的内径小一些，当移气器自由上下移动时，即可以把容器内的气体挤下或挤上。这个时候，如果我们在容器底端加热，而在容器上端冷却，使上下两端具有足够的温差，即可看见此时橡皮会不断膨胀及收缩。其原理如下：
当移气器上移，容器内的气体被挤至容器底端，此时由於容器底端加热，因此气体受热，压力变大，此压力经由活塞与容器间的空隙传到橡皮，使得橡皮会膨胀(图5)。
相反的，若施以适当的力量把移气器下移，则容器内的气体被挤至容器上端，此时由於容器上端為冷却区，因此气体被冷却，使气体温度降低，压力变小，而使得橡皮会缩收(图5)。
如此，不断使移气器自由上下移动，即可看见此时橡皮会不断膨胀及收缩。
由此，可知移气器的功用主要在於移动气体，使气体在冷热两端之间来回流动。国立成功大学航太系郑金祥教授把Displacer 命名為”移气器”，实在更為贴切，也比较不容易混淆，比较不会使人误以為它的作用跟输出功率的动力活塞一样。
A3 曲柄机构
要让移气器上下移动，只要将移气器与一曲轴连结(图6) 。当曲轴旋转时，移气器就会被带上及带下。将移气器与曲轴连结完毕之后，在容器底端加热上端冷却，只要用手转动曲轴，使得移气器移上及移下，此时橡皮便会重复膨胀及收缩(图7)。
A4 动力活塞
橡皮的膨胀及收缩运动，可以转换為动力输出，此时，橡皮的作用即如同一动
力活塞。我们可以另加一根连桿接到上述的曲轴上，便可将橡皮的膨胀及收缩运
动转换為曲轴的旋转运动。连接到移气器的曲轴部位与连接到动力活塞的曲轴部
位必须呈固定的角度差，一般是90度(图8,9)。橡皮的膨胀及缩收所產生的曲轴
的旋转运动提供了移气器上下移动的力量，多餘的力量则可以输出。必须注意的
是，移气器本身不会动，而是被曲轴带动，动力来源是动力活塞。
為何相位角是 90 度?
如图 9 当移气器移到最顶点的位置时，底部加热空间最大，此时所產生的压力也最大，当移气器移到最底点的位置时，顶部冷却空间最大，此时所產生的压力也最小，如把动力活塞的曲柄连接到曲轴水平位置最远的地方时可產生最大的扭力，此时可看到连接到移气器的曲轴部位与连接到动力活塞的曲轴部位呈90度的角度差，该角度称為相位角。曲柄连接到曲轴水平的位置也决定了引擎旋转方向。
上述的条件為静态环境的结果，当随著引擎的转速、负载、温度及使用气体的不同则会有不同的最佳相位角，一般以 90度作為通用的相位角。A5 飞轮
如果只有上述的零件，引擎还是不能运转。因為利用橡皮的膨胀或收缩 (图8,9)，并无法让曲轴旋转一整圈。因此，必须加上一个有旋转惯性的设备，即“飞轮”，才能达成连续的运转。
一般採用的飞轮，最常见的是圆形飞轮，如图10所示。如果除了惯性需求外，还要考虑平衡问题，则在曲轴旋转面的另一端加一配重物充当飞轮，便可解决平衡问题(图11)。
B. 进阶篇
史特灵引擎是一种高效率的能量转换装置，系採用封闭气体循环（Closed gas cycle）及再生器（Regenerator）设计。理论上，理想史特灵引擎的热效率(Thermal efficiency)与卡诺引擎(Carnot engine)相当，二者皆属可逆热机（Reversible cycle），具最高热力循环转换效率。史特灵引擎的使用的工作气体可為高压之空气、氮气、氦气、或氢气。一般而言，大致分為两种可能的配置：第一种配置利用一个动力活塞（Piston）压缩或膨胀气体，另利用一个移气器（Displacer）使工作气体在气缸内来回流动；第二种配置则不用移气器，完全利用两个活塞来达到压缩膨胀气体与来回驱赶气体的目的。当气缸内部气体被驱赶至加热部而受热时，即因膨胀推动动力活塞而对外作功。
正态分布推导
正态分布的推导 斯特林(Stirling)公式的推导 斯特林（Stirling）公式： 这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。 1，Wallis公式 证明过程很简单，分部积分就可以了。 由x的取值可得如下结论： 即 化简得 当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。 2，Stirling公式的求解 继续兜圈。 关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是： 显然， 代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方） 所以得公式： 正态分布推导 在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。 前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章： 斯特林(Stirling)公式的推导 如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。 本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。 本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。
航空发动机原理 航空发动机的主要功用是为飞行器提供推进动力或支持力，是飞行器的心脏。自从飞机问世以来的几十年中，发动机得到了迅速的发展，从早期的低速飞机上使用的活塞式发动机，到可以推动飞机以超音速飞行的喷气式发动机，还有运载火箭上可以在外太空工作的火箭发动机等，时至今日，航空发动机已经形成了一个种类繁多，用途各不相同的大家族。 航空发动机常见的分类原则有两种：按空气是否参加发动机工作和发动机产生推进动力的原理。按发动机是否须空气参加工作，航空发动机可分为两类 1、吸空气发动机简称吸气式发动机，它必须吸进空气作为燃料的氧化剂（助燃剂），所以不能到稠密大气层之外的空间工作，只能作为航空器的发动机。一般所说的航空发动机即指这类发动机。如根据吸气式发动机工作原理的不同，吸气式发动机又分为活塞式发动机、燃气涡轮发动机、冲压喷气式发动机和脉动喷气式发动机等。 2、火箭喷气式发动机是一种不依赖空气工作的发动机，航天器由于需要飞到大气层外，所以必须安装这种发动机。它也可用作航空器的助推动力。按形成喷气流动能的能源不同，火箭发动机又分为化学火箭发动机、电火箭发动机和核火箭发动机等。 按产生推进动力的原理不同，飞行器的发动机又可分为 1、直接反作用力发动机 直接反作用力发动机是利用向后喷射高速气流，产生向前的反作用力来推进飞行器。直接反作用力发动机又叫喷气式发动机，这类发动机有涡轮喷气发动机、冲压喷气式发动机，脉动喷气式发动机，火箭喷气式发动机等。 2、间接反作用力发动机两类。 间接反作用力发动机是由发动机带动飞机的螺旋桨、直升机的旋翼旋转对空气作功，使空气加速向后（向下）流动时，空气对螺旋桨（旋翼）产生反作用力来推进飞行器。这类发动机有活塞式发动机、涡轮螺旋桨发动机、涡轮轴发动机、涡轮螺旋桨风扇发动机等。而涡轮风扇发动机则既有直接反作用力，也有间接反作用力，但常将其划归直接反作用力发动机一类，所以也称其为涡轮风扇喷气发动机。 附图: 活塞式发动机 航空活塞式发动机是利用汽油与空气混合，在密闭的容器（气缸）内燃烧，膨胀作功的机械。活塞式发动机必须带动螺旋桨，由螺旋桨产生推（拉）力。所以，作为飞机的动力装置时，发动机与螺旋桨是不能分割的。 为航空器提供飞行动力的往复式内燃机。发动机带动空气螺旋桨等推进器旋转产生推进力。 从1903年第一架飞机升空到第二次世界大战末期，所有飞机都用活塞式航空发动机作为动力装置。40
斯特林发动机原理图解 如图1 把橡皮绑在容器口上，我们能容易瞭解到受热时橡皮会膨胀(图2)，冷却时橡皮会缩收(图3)，这是加热时，内部气体压力作用在橡皮上(图2)，当然人的眼睛是无法看到气体压力的。 A2移气器 如果我们放入一个移气器(Displacer)到容器内(图4)，而这个移气器的直径比容器的内径小一些，当移气器自由上下移动时，即可以把容器内的气体挤下或挤上。这个时候，如果我们在容器底端加热，而在容器上端冷却，使上下两端具有足够的温差，即可看见此时橡皮会不断膨胀及收缩。其原理如下： 当移气器上移，容器内的气体被挤至容器底端，此时由於容器底端加热，因此气体受热，压力变大，此压力经由活塞与容器间的空隙传到橡皮，使得橡皮会膨胀(图5)。 相反的，若施以适当的力量把移气器下移，则容器内的气体被挤至容器上端，此时由於容器上端為冷却区，因此气体被冷却，使气体温度降低，压力变小，而使得橡皮会缩收(图5)。 如此，不断使移气器自由上下移动，即可看见此时橡皮会不断膨胀及收缩。 由此，可知移气器的功用主要在於移动气体，使气体在冷热两端之间来回流动。国立成功大学航太系郑金祥教授把 Displacer 命名為”移气器”，实在更為贴切，也比较不容易混淆，比较不会使人误以為它的作用跟输出功率的动力活塞一样。
A3 曲柄机构 要让移气器上下移动，只要将移气器与一曲轴连结(图6) 。当曲轴旋转时，移气器就会被带上及带下。将移气器与曲轴连结完毕之后，在容器底端加热上端冷却，只要用手转动曲轴，使得移气器移上及移下，此时橡皮便会重复膨胀及收缩(图7)。 A4 动力活塞 橡皮的膨胀及收缩运动，可以转换為动力输出，此时，橡皮的作用即如同一动力活塞。我们可以另加一根连桿接到上述的曲轴上，便可将橡皮的膨胀及收缩运动转换為曲轴的旋转运动。连接到移气器的曲轴部位与连接到动力活塞的曲轴部位必须呈固定的角度差，一般是90度(图8,9)。橡皮的膨胀及缩收所產生的曲轴的旋转运动提供了移气器上下移动的力量，多餘的力量则可以输出。必须注意的是，移气器本身不会动，而是被曲轴带动，动力来源是动力活塞。
韩山师范学院 学生毕业论文 （2012届） 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。 关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差 Abstract：ThispaperconjecturesanewsearchofStirlingformulabasedontheresearchofProfesso
rCaiCongming,anditalsoimprovestheprovingmethods.Byusingtheexperimentalda tageneratedbycomputer,weguessoutthereform-typeofStirlingformulaaudacity,wh ichhasprovedtobemoreaccurateeconomicalythanthatofusingthetraditionalmathem aticalmethods.Bydeterminingitserrorlimitandrelativeerrorrange,itsolvestheproble mwhichtheauthorofrefs[2]CaiYongyuleft. Keywords:Stirlingformula;improved;error;relativeerror
《气体动力学基础》试卷 一、 填空（30分，每空1分） 1. 气体密度是指_单位容积内气体的质量_。从微观上讲，密度的大小代表了_气体分子的疏密程度_。气体流过航空发动机的喷管时，其密度的变化规律是__减小__。 2．从微观上讲，气体压力是_大量气体分子无规则运动碰撞器壁的总效应_。在比容一定的情况下，气体温度升高，引起气体压力的变化规律是_增大 。 3．定压比热是指_在压力一定的条件下，1kg 气体温度升高或降低1℃，所需吸收或放出的热量_；定压比热与定容比热的关系式可以写成 R c c v p +=。 4．绝热过程是指 气体在和外界没有任何热交换的前提下，所进行的热力过程 ；在该过程中压力和比容的关系式可以写成k v v p p )(2 112=；该过程的外（容积）功的计算式可以写成)(1 11122v p v p k l --=。 5．“一维定常流”中“一维”是指_气流参数是一维坐标的函数_。 6.可压流的连续性方程可以写成 常数=V A ρ ，它说明_在一维定常流的条件下，流过各截面的气体流量相等_。 7. 一维定常流能量（焓）方程的一般形式是 1221222 i i V V l q -+-=±±外 。气体流过发动机的涡轮时，能量方程可以改写成 l V V i i +-=-2 212221 ，此方程表示的能量转换关系是 气体焓的下降，用来对外作功和增加气体的动能 ；气体流过发动机进气道时，能量方程可以改写成常数=+2 2 V i ，此方程表示的能量转换关系是_焓和动能之和保持不变 。 8.滞止压力（总压）是指_理想绝能条件下，将气流滞止到速度为零时的压力_。气体流过发动机的进气道时，在不考虑流动损失的情况下，总压的变化规律是 不变_的。
运用向量法证明几个数学 向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。 例1、用向量证明和差化积公式 cos cos 2cos cos 22αβ αβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22αβαβ αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量 (cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r 取 ?PQ 的中点M ，则 (cos ,sin )2 2 M αβαβ ++ 连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x 和∠MOQ 分别为,22αβαβ +-，所以||||cos cos 22 ON OM αβαβ --==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin ) 22 ON ON αβαβ ++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+ 又11 ()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r 所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1 (cos cos ,sin sin )2 αβαβ=++ 即cos cos 2cos cos 22 αβαβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式：
sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 2 2 αβ αβ αβ+--=- 如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r ， ∠ QPF ＝ ∠ QNE ＝ ∠ Mox ＝ 2 αβ +， ||2||2||sin 2sin 22 PQ NQ OQ αβαβ --===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r 即sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 22 αβαβ αβ+--=- 例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积 12211 ||2 OAB S a b a b ?= - 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出 ||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b a b α?=r r r r 所以222sin 1cos 1()|||| a b a b αα?=-=-r r r r 222222 1122122111221221222222222 222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++ 所以sin α=
《航空发动机原理》复习 一、单项选择题（共20题每题2分共40分） 1.以下哪个是衡量发动机经济性的性能参数（ A ）。 A EPR B FF C SFC D EGT 2.涡轮风扇发动机的涵道比是（ D ）。 A流过发动机的空气流量与流过内涵道的空气流量之比 B流过发动机的空气流量与流过外涵的空气流量之比 C流过内涵道的空气流量与流过外涵道的空气流量之比 D流过外涵道的空气流量与流过内涵道的空气流量之比 3.高涵道比涡扇发动机是指涵道比大于等于（ C ）. A 2 B 3 C 4 D 5 4.涵道比为4的燃气涡轮风扇发动机外涵产生的推力约占总（C ）。 A20％ B40％ C80％ D90％ 5.涡桨发动机的喷管产生的推力约占总推力的（ B ） A.85-90％ B.10-15％ C.25% D. 0 6.涡桨发动机使用减速器的主要优点是：( C ) A能够增加螺旋桨转速而不增加发动机转速 B螺旋桨的直径和桨叶面积可以增加 C可以提高发动机转速而增大发动机的功率输出又能使螺旋桨保持在较低转速而效率较高 D在增大螺旋桨转速情况下，能增大发动机转速 7.双转子发动机高压转子转速Ｎ2与低压转子转速Ｎl之间有（ C ） A Ｎ2＜Ｎl B Ｎ2＝Ｎl C Ｎ2＞Ｎl D设计者确定哪个大 8.亚音速进气道是一个（ A ）的管道。 A扩张形B收敛形 C先收敛后扩张形 D圆柱形 9.亚音速进气道的气流通道面积是（ D ）的。 A扩张形 B收敛形 C先收敛后扩张形 D先扩张后收敛形10.气流流过亚音速进气道时，（ D ）。 A速度增加，温度和压力减小 B速度增加，压力增加，温度不变 C速度增加，压力减小，温度增加 D速度减小，压力和温度增加11.在离心式压气机里两个起扩压作用的部件是（ D ）。 Ａ涡轮与压气机Ｂ压气机与歧管Ｃ叶片与膨胀器Ｄ叶轮与扩压器12.轴流式压气机的一级由（ C ）组成。 A转子和静子 B扩压器和导气管 C工作叶轮和整流环 D工作叶轮和导向器 13. 空气流过压气机工作叶轮时, 气流的（ C ）。 A相对速度增加, 压力下降B绝对速度增加, 压力下降
一、活塞式发动机 航空活塞式发动机是利用汽油与空气混合，在密闭的容器（气缸）内燃烧，膨胀作功的机械。活塞式发动机必须带动螺旋桨，由螺旋桨产生推（拉）力。所以，作为飞机的动力装置时，发动机与螺旋桨是不能分割的。主要由气缸、活塞、连杆、曲轴、气门机构、螺旋桨减速器、机匣等组成。气缸是混合气（汽油和空气）进行燃烧的地方。气缸内容纳活塞作往复运动。气缸头上装有点燃混合气的电火花塞（俗称电嘴），以及进、排气门。发动机工作时气缸温度很高，所以气缸外壁上有许多散热片，用以扩大散热面积。气缸在发动机壳体（机匣）上的排列形式多为星形或V形。常见的星形发动机有5个、7个、9 个、14个、18个或24个气缸不等。在单缸容积相同的情况下，气缸数目越多发动机功率越大。活塞承受燃气压力在气缸内作往复运动，并通过连杆将这种运动转变成曲轴的旋转运动。连杆用来连接活塞和曲轴。曲轴是发动机输出功率的部件。曲轴转动时，通过减速器带动螺旋桨转动而产生拉力。除此而外，曲轴还要带动一些附件（如各种油泵、发电机等）。气门机构用来控制进气门、排气门定时打开和关闭。 二、涡轮喷气发动机 在第二次世界大战以前，所有的飞机都采用活塞式发动机作为飞机的动力，这种发动机本身并不能产生向前的动力，而是需要驱动一副螺旋桨，使螺旋桨在空气中旋转，以此推动飞机前进。这种活塞式发动机＋螺旋桨的组合一直是飞机固定的推进模式，很少有人提出过质疑。到了三十年代末，尤其是在二战中，由于战争的需要，飞机的性能得到了迅猛的发展，飞行速度达到700－800公里每小时，高度达到了10000米以上，但人们突然发现，螺旋桨飞机似乎达到了极限，尽管工程师们将发动机的功率越提越高，从1000千瓦，到2000千瓦甚至3000千瓦，但飞机的速度仍没有明显的提高，发动机明显感到“有劲使不上”。问题就出在螺旋桨上，当飞机的速度达到800公里每小时，由于螺旋桨始终在高速旋转，桨尖部分实际上已接近了音速，这种跨音速流场的直接后果就是螺旋桨的效率急剧下降，推力下降，同时，由于螺旋桨的迎风面积较大，带来的阻力也较大，而且，随着飞行高度的上升，大气变稀薄，活塞式发动机的功率也会急剧下降。这几个因素合在一起，决定了活塞式发动机＋螺旋桨的推进模式已经走到了尽头，要想进一步提高飞行性能，必须采用全新的推进模式，喷气发动机应运而生。 喷气推进的原理大家并不陌生，根据牛顿第三定律，作用在物体上的力都有大小相等方向相反的反作用力。喷气发动机在工作时，从前端吸入大量的空气，燃烧后高速喷出，在此过程中，发动机向气体施加力，使之向后加速，气体也给发动机一个反作用力，推动飞机前进。事实上，这一原理很早就被应用于实践中，我们玩过的爆竹，就是依*尾部喷出火药气体的反作用力飞上天空的。早在1913年，法国工程师雷恩．洛兰就获得了一项喷气发动机的专利，但这是一种冲压式喷气发动机，在当时的低速下根本无法工作，而且也缺乏所需的高温耐热材料。1930年，弗兰克．惠特尔取得了他使用燃气涡轮发动机的第一个专利，但直到11年后，他的发动机在完成其首次飞行，惠特尔的这种发动机形成了现代涡轮喷气发动机的基础。现代涡轮喷气发动机的结构由进气道、压气机、燃烧室、涡轮和尾喷管组成，战斗机的涡轮和尾喷管间还有加力燃烧室。涡轮喷气发动机仍属于热机的一种，就必须遵循热机的做功原则：在高压下输入能量，低压下释放能量。因此，从产生输出能量的原理上讲，喷气式发动机和活塞式发动机是相同的，都需要有进气、加压、燃烧和排气这四个阶段，不同的是，在活塞式发动机中这4个阶段是分时依次进行的，但在喷气发动机中则是
用向量法证明海伦公式 杜云 （六盘水师范学院数学系；贵州六盘水553004） 摘要：从数与形的角度对向量进行再认识，通过应用向量方法证明海伦公式，更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁，是一个重要的数学模型，它能为解决问题提供新的方法和视角。 关键词：向量；几何；海伦公式；数形结合 中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：1671-055X （2009）03-0063-03 To prove Heron's Formula with the Vector DU Yun (Mathematics Department of Liupanshui Nornal College;Liupanshui,553004,China) Abstract:Recognized the vector from algebra and geometry and by proving Heron's Formula further expounds ,If shows thar the vector is a natural bridge between algebra and geometry,and it is an important mathematics style,and also provides the new method and view to solve the problems. Key words :vector ；geometry;Heron's Formula;combination between algebra and geometry 收稿日期：2009-03-03 作者简介：杜云（1982-），男，贵州盘县人，助教，研究方向：高等代数与解析几何。 第21卷第3期 2009年6月六盘水师范高等专科学校学报Journal of Liupanshui Teachers College Vol.21NO.3June 2009 63--
高中数学必修3海伦公式的证明方法 海伦公式的证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1] cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b- c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 海伦公式的证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角
形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果 这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来 求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜 求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方， 送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”， 作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 当P=1时，△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 因式分解得 △^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c)
从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬 摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。 关键词：抽签；概率；起源；发展 生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。 概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。 第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段 说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？ 赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。 德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》
1. 涵道比：外涵道与内涵道空气流量的比值 2. 增压比：压气机出口静压与周围大气压力之比 3. 加热比：燃烧室出口温度与外界大气温度之比 4. 热效率：加入每千克空气的热量中所产生的可用功与所加热量之比 5. 比功：单位质量空气所做的功 6. 最佳增压比：使比功达极大值的增压比 7. 最经济增压比：使热效率达极大值的增压比 8. 有效推力：从计算推力中扣除附加阻力，波阻，外表摩擦阻力后得到的发动机实际推力 9. 单位燃油消耗率：每小时产生1N推力所消耗的燃油量 10. 总效率：加入发动机的燃料完全燃烧所放出的热量转变为推进功的量 11. 攻角：流入叶栅的气流方向与叶型中弧线前缘切线之间的夹角 12. 喘振裕度：压气机的工作点与喘振边界线之间的距离值 13. 巡航状态调节规律；在一定的飞行状态下，发动机从最大工作状态减小推力的循环规律 14. 发动机压比：涡轮后压力与压气机进口压力之比 15. 对转涡轮：使高低压涡轮相反旋转而省去低压涡轮导向器 16. 燃气发生器：各类燃气轮机的热机部分，包括压气机，燃烧室，带动压气机的那一部分 涡轮 17. 旋转失速：在地面观察时，失速区附着在压气机工作轮上以较低转速，相同方向旋转运 动 18. 转速悬挂：由于燃油增加过猛使发动机转速停滞在某一转速上无法上升的现象 19. 复燃加力：在涡轮后面再喷入燃油进行燃烧 20. 功分配系数：传给外涵可用功与全部可用功之比 1. 理想燃气轮机循环的3个结论 答：①热效率只与增压比有关，随增压比增大而单调增加 ②在加热比一定的条件下，存在最佳增压比。最佳增压比随加热比的增加而增大③在增压比相同的条件下，比功随加热比增大而增加 2. 实际燃气轮机循环的4个结论 答：①热效率与增压比，加热比都有关 ②存在最经济增压比 ③在加热比一定的条件下，存在最佳增压比。实际循环增压比小于理想循环增压比。各增压比下，实际循环比功都小于理想循环比功 ④加热比越大，热效率越大，最佳增压比和最经济增压比也越高 3．双轴发动机的优点
斯特林发动机的工作原理及应用前景 【摘要】随着全球能源危机的发展与环境的恶化，传统的化石燃料日益枯竭，且燃烧的排放物造成了温室效应、雾霾天气及极端的气候等人为的灾害，为了地球的可持续发展和人类生活水平的改善，人们清楚地认识到开发利用新能源的重要性。其中，可再生能源的利用越来越广泛，可再生能源对环境无害或危害极小，且资源分布广泛。越来越多的国家采取鼓励生产和使用可再生能源的政策和措施，中国也确立了到2020年可再生能源占总能源比重15%的目标。外部燃烧系统的作用是给闭式循环系统提供能源，闭式循环系统由冷腔、冷却器、回热器、加热器和热腔组成，工质在闭式循环系统中来回流动一次，完成一个斯特林循环。 【关键词】发动机；原理；前景 1 斯特林发动机闭式循环系统的组件简介 （1）冷腔处于循环的低温部分，和冷却器联接，压缩热量由冷却器导至外界，在压缩过程中有相当一部分工质居于冷腔。 （2）冷却器位于回热器和冷腔之间，功能是将压缩热传到外界，保证工质在较低的温度下进行压缩。 （3）回热器串联在加热器和冷却器之间，是循环系统的一个内部换热器，它交替从工质吸热和向工质放热，使工质反复地受到冷却和加热。回热器并不是必需装置，但它对发动机的效率影响极大。在往复式斯特林发动机中，回热器的使用既使斯特林循环的热效率明显提高，但又增加了工质的阻力和压力损失，工质吸热、散热交替进行，限制了斯特林发动机的转速，影响了功率的输出。因此，优化回热器的设计是斯特林发动机的核心技术问题。 （4）加热器加热器是将外部热源的热能传给工质，使其受热膨胀。加热器的一端与热腔联接，另一端与回热器联接。 （5）热腔始终处于循环的高温部分，连续地将外部热源传给工质，在膨胀时相当部分的工质居于热腔。因此其必须能承受高温和高压，大量的热损失是由热腔散失的。 2 斯特林发动机的基本结构 根据工作空间和回热器的布置方式，斯特林发动机可以分为α、β和γ三种基本类型。 α型斯特林发动机的结构最简单，具有两个汽缸，两个汽缸中间通过加热器、回热器、冷却器连通，热活塞和冷活塞分别位于各自的汽缸内，热活塞负责工质
斯特林公式及其精确化形式 (总16页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
韩山师范学院 学生毕业论文 （2012届） 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。 关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差 Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving
methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left. Key words:Stirling formula;improved;error;relative error
简易斯特林发动机制作原理 史特灵引擎属於外燃引擎，只要高温热源温度够高，无论是使用太阳能、废热、核原料、牛粪、丙烷、天然气、沼气（甲烷）、丁烷与石油在内的任何燃料，皆可使之运转，不同於必须使用特定燃料的汽油引擎、柴油引擎等内燃引擎。 A.基础篇 A1气体的特性 如图1把橡皮绑在容器口上，我们能容易瞭解到受热时橡皮会膨胀(图2)，冷却时橡皮会缩收(图3)，这是加热时，内部气体压力作用在橡皮上(图2)，当然人的眼睛是无法看到气体压力的。 A2移气器 如果我们放入一个移气器(Displacer)到容器内(图4)，而这个移气器的直径比容器的内径小一些，当移气器自由上下移动时，即可以把容器内的气体挤下或挤上。这个时候，如果我们在容器底端加热，而在容器上端冷却，使上下两端具有足够的温差，即可看见此时橡皮会不断膨胀及收缩。其原理如下：当移气器上移，容器内的气体被挤至容器底端，此时由於容器底端加热，因此气体受热，压力变大，此压力经由活塞与容器间的空隙传到橡皮，使得橡皮会膨胀(图5)。 相反的，若施以适当的力量把移气器下移，则容器内的气体被挤至容器上端，此时由於容器上端为冷却区，因此气体被冷却，使气体温度降低，压力变小，而使得橡皮会缩收(图5)。 如此，不断使移气器自由上下移动，即可看见此时橡皮会不断膨胀及收缩。 由此，可知移气器的功用主要在於移动气体，使气体在冷热两端之间来回流动。国立成功大学航太系郑金祥教授把Displacer命名为”移气器”，实在更为贴
切，也比较不容易混淆，比较不会使人误以为它的作用跟输出功率的动力活塞一样。 A3曲柄机构 要让移气器上下移动，只要将移气器与一曲轴连结(图6)。当曲轴旋转时，移气器就会被带上及带下。将移气器与曲轴连结完毕之后，在容器底端加热上端冷却，只要用手转动曲轴，使得移气器移上及移下，此时橡皮便会重复膨胀及收缩(图7)。 A4动力活塞 橡皮的膨胀及收缩运动，可以转换为动力输出，此时，橡皮的作用即如同一动力活塞。我们可以另加一根连桿接到上述的曲轴上，便可将橡皮的膨胀及收缩运动转换为曲轴的旋转运动。连接到移气器的曲轴部位与连接到动力活塞的曲轴部位必须呈固定的角度差，一般是90度(图8,9)。橡皮的膨胀及缩收所產生的曲轴的旋转运动提供了移气器上下移动的力量，多餘的力量则可以输出。必须注意的是，移气器本身不会动，而是被曲轴带动，动力来源是动力活塞。
经典合同 海伦公式的证明 姓名：XXX 日期：XX年X月X日
海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 +b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+ b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式 =√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：海伦公式的几种证明与推广 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重 要且优美的公式——海伦公式〔heron's formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 第 2 页共 32 页
正态分布的推导 斯特林(Stirling)公式的推导 斯特林（Stirling）公式： 这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。 1，Wallis公式 证明过程很简单，分部积分就可以了。 由x的取值可得如下结论： 即 化简得 当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。 2，Stirling公式的求解 继续兜圈。 关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是： 显然， 代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方） 所以得公式： 正态分布推导 在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。 前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章： 斯特林(Stirling)公式的推导 如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。 本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。 本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。 这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。 斯特林公式： 根据斯特林公式,
发动机原理部分 进气道 1.进气道的功用： 在各种状态下, 将足够量的空气, 以最小的流动损失, 顺利地引入压气机; 2.涡轮发动机进气道功能 冲压恢复—尽可能多的恢复自由气流的总压并输入该压力到压气机。提供均匀的气流到压气机使压气机有效的工作.当压气机进口处的气流马赫数小于飞行马赫数时, 通过冲压压缩空气, 提高空气的压力 3.进气道类型： 亚音进气道：扩张型、收敛型；超音速：内压式、外压式、混合式 4.冲压比：进气道出口处的总压与远前方气流静压的比值∏i=P1*/P0*。 影响进气道冲压比的因素：流动损失、飞行速度、大气温度。 5.空气流量：单位时间流入进气道的空气质量称为空气流量。 影响因素:大气密度, 飞行速度、压气机的转速 压气机 6.压气机功用：对流过它的空气进行压缩，提高空气的压力。供给发动机工作时所需 要的压缩空气，也可以为坐舱增压、涡轮散热和其他发动机的起动提供压缩空气。7.压气机分类及其原理、特点和应用 （1）离心式压气机：空气在工作叶轮内沿远离叶轮旋转中心的方向流动. （2）轴流式压气机：空气在工作叶轮内基本沿发动机的轴线方向流动. （3）混合式压气机： 8.阻尼台和宽叶片功用 阻尼台：对于长叶片，为了避免发生危险的共振或颤振，在叶身中部带一个减振凸台。 宽弦叶片：大大改善叶片减振特性。与带减振凸台的窄弦风扇叶片比，具有流道面积大，喘振裕度宽，及效率高和减振性好的优点。 9.压气机喘振： 是气流沿压气机轴向发生的低频率、高振幅的气流振荡现象。 10.喘振的表现: 发动机声音由尖锐转为低沉，出现强烈机械振动. 压气机出口压力和流量大幅度波动，出现发动机熄火. 发动机进口处有明显的气流吞吐现象，并伴有放炮声. 11.造成喘振的原因 气流攻角过大，使气流在大多数叶片的叶背处发生分离。 燃烧室 12.燃烧室的功用及有几种基本类型 功用：用来将燃油中的化学能转变为热能，将压气机增压后的高压空气加热到涡轮前允许的温度，以便进入涡轮和排气装置内膨胀做功。 分类：单管（多个单管）、环管和环形三种基本类型 13.简述燃烧室的主要要求点火可靠、燃烧稳定、燃烧完全、燃烧室出口温度场符合要 求、压力损失小、尺寸小、重量轻、排气污染少 14.环形燃烧室的结构特点、优缺点 结构特点：火焰筒和壳体都是同心环形结构，无需联焰管 优点：与压气机配合获得最佳的气动设计，压力损失最小；空间利用率最高，迎风面积最小；可得到均匀的出口周向温度场；无需联焰管，点火时容易传焰。 缺点：调试时需要大型气源； 采用单个燃油喷嘴，燃油—空气匹配不够好； 火焰筒刚性差；